ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS EN SEÑALES...

Ingeniería de Telecomunicación

Señales y Sistemas II

PRÁCTICA 2

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS EN SEÑALES ALEATORIAS

CURSO 2008 / 2009

Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones

Señales y Sistemas II Práctica 2: Estimación

Curso 2008 / 2009 1

LasseñalesconlasqueuningenierodeTelecomunicacióntrabajaenlaprácticanoson,

la mayor parte de las veces, deterministas. Por ejemplo, una señal de voz no puede ser

descritaporunaecuación,yaquelosparámetrosquelacaracterizancambianconstantemente

con el tiempo. No obstante, esta señal tiene ciertas características que la distinguen, por

ejemplo, de una señal de televisión. De hecho, casi todas las señales que se manejan en

comunicacionesyenotrosmuchoscamposdelaingenieríaydelacienciasondenaturaleza

estocástica(tambiénllamadaaleatoria).

Unaseñalaleatoriatienedosfacetas:una,quesuvalor(amplitud)enuninstantede

tiempodeterminadoesunavariablealeatoria,yotra,queparacadaresultado(realización)del

experimentoaleatoriotenemosunafuncióntemporal.Endefinitiva,ladefinicióndeunaseñal

aleatoriaserealizapormediodesuspropiedadesestadísticas,comoson:sufuncióndensidad

deprobabilidad,sufuncióndensidaddeprobabilidadconjunta,sumedia,sufuncióndeauto‐

correlación, etc. En los problemas teóricos, estas descripciones cuantitativas consideran el

conjunto de todas las realizaciones del proceso aleatorio particular, siendo estas funciones

deterministas, las cuales poseen, desde un punto de vista matemático, un buen

comportamiento.Sinembargo,enunproblemapráctico,estasfuncionesdebenserestimadas,

utilizando medidas de un conjunto finito de datos tomados a partir de observaciones del

procesoaleatorio.Lasestimacionesasírealizadassonensímismasvariablesaleatorias,dado

que se forman a partir de variables aleatorias. Por ello, sólo podemos hacer aseveraciones

probabilísticasacercadelaproximidaddelosvaloresestimadosrespectoalosvaloresreales,

por ello es por lo que suele hablar de parámetros como el intervalo de confianza de una

estimaciónoelmáximoerrorcometidoenlaestimación,comoseanalizóenlapráctica1de

estaasignatura.

Enelconjuntodeejerciciosqueacontinuaciónsepresentan,setrataráladescripcióny

el procesado de señales aleatorias, principalmente bajo los supuestos deestacionariedad y

ergodicidad.Ademásestudiaremoscómoseveninfluenciadoslospromediosdedeterminadas

variablesdelasseñalescuandounaseñalestocásticaseprocesaatravésdeunsistemalinealo

se somete a una transformación no lineal. En lamayoría de los casos, las estimaciones se

realizaránconMATLAB©calculandopromediostemporalesodeconjuntosderealizaciones.


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Lasestimacionesasírealizadasdebenentoncescompararseconlosvaloresexactosconocidos

apartirdelateoría.

El conocimientodeestos resultadosdebeabrirel caminoparadiseñar sistemasque

generen señales aleatorias con unas propiedades determinadas. Por ejemplo, se puede

obtenerunadescripciónparamétricadeunaseñalaleatoriadadaenfuncióndeloscoeficientes

deun filtro linealqueproduce la señaldeseadacuando seexcitacon“ruidoblanco” (señal

incorrelada).Relacionadoconestarepresentación,apareceelproblemadelaprediccióny la

decorrelación,esdecir,eldiseñodeunsistemacuyasalidaseaaproximadamenteunaversión

adelantadadelaentrada,otalqueapartirdeunasecuenciadeentradacorreladaseobtenga

unasecuenciaqueesruidoblanco,esdecir,elprocesoinversoalanteriormenteexpuestodel

filtrolineal.

Comoen el casode las señales deterministas, interesa unadescripcióntanto enun

dominiotemporalcomofrecuencial.Desafortunadamente,latransformadadeFourierdirecta

de las señalesaleatoriasnoesútildebidoa la variabilidad temporalde losparámetrosque

caracterizan la señal; sin embargo, la transformada de Fourier directa de su función de

autocorrelaciónsíloes,lacualrecibeelnombrededensidadespectraldepotencia.

ESTUDIO1:VARIABLESALEATORIAS

Enesteestudioseintroduciránlaspropiedadeselementalesdelasvariablesaleatorias.

Losdistintosapartadosdelosqueconstaesteestudioseconcentranenestimarlamedia,la

varianzaylafuncióndedensidaddeprobabilidaddeunaseriedevariablesaleatorias.

En general, una variable aleatoria (v.a.) se describe por su función densidad de

probabilidad(f.d.p.)delasiguientemanera:

€

fv(v) =ddvFv (v) (1)

donde

€

Fv(v) representa la probabilidad de que una variable aleatoria

€

v no supere un valor

particular de la misma

€

v , es decir:

€

Fv(v) = Probabilidad v ≤ v( ) (2)


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En muchos casos, para caracterizar la variable aleatoria bajo estudio, tan sólo son

necesariosdeterminadosmomentos,dondelasmásutilizadossonlamediaylavarianza,los

cualessepuedencalcularmediantelasexpresionesdadasen(3).

€

mv = E v{ } = vfv(v)dv−∞

∞

∫

σ v2 = E v −mv[ ]2{ } = v−mv( )2 fv(v)dv

−∞

∞

∫ (3)

Losmomentosde lavariablealeatoriabajoestudiosonconstantes,peronopueden

determinarsedeformaexactaapartirdeunaseriederealizacionesdelavariablealeatoria.En

losdistintosapartadospresentadosacontinuación,lasrealizacionesdelavariablealeatoriase

crearánconungeneradordenúmerospseudo‐aleatorios,cuyaspropiedadesseconocencon

suficienteprecisión.Deestemodo,suf.d.p.,sumediaysuvarianzaseestimaránapartirdeun

número finito de realizaciones de la variable aleatoria y se compararán entonces con los

valoresteóricos.

La funciónde generación de datos pseudo‐aleatoriosdeMATLAB rand(M,N) genera

unamatriz deM filas yN columnasdenúmerospseudo‐aleatorios conunadistribuciónde

probabilidaddetipouniformeenelintervalo[0,1].Porotrolado,lafunciónrandn(M,N)trabaja

de la misma manera que la anterior pero generando datos pseudo‐aleatorios con una

distribucióndeprobabilidaddetipogaussianaconmedianulayvarianzaunitaria.

OtrafuncióndeMATLABquetambiénnospuedeserdebastanteutilidadeslafunción

hist(x),que tambiénsepuede invocarcomohist(x,nbarras).Esta funcióncalculaydibujael

histograma (en formadediagramadebarras)correspondientea losdatos contenidosenel

vector omatriz x, que para nuestro caso de estudio consideraremos que esun vector de

númerospseudo‐aleatoriosconunaciertafuncióndedistribucióndeprobabilidad.Elnúmero

debarrasqueutilizaestafunciónespordefectode10,perosepuedeindicarotropormedio

deelsegundoparámetro(nbarras)indicadoconanterioridad.


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Estudio1.1.: Estudiodedatospseudo‐aleatoriosconunaf.d.p.detipouniforme

Genereunvectordenúmerospseudo‐aleatoriosconunaf.d.p.detipouniformeenel

intervalo[0,1].Paraello,utilicealmenosvariosmilesdeelementos(realizaciones)enelvector.

Posteriormenterealicelossiguientespasos:

1. UtilicelasfuncionesdeMATLABhist(…),mean(…)ystd(…)paraestimarsuf.d.p.,su

mediaysuvarianza,respectivamente.Tengaencuentaque,sisequiereestimarla

f.d.p.,el histogramadebe ser normalizado, de tal formaquepresente un área

totaligualalaunidad.

2. Comohemoscomentadoanteriormente,lafuncióndeMATLABrand(…)produce

númerospseudo‐aleatoriosconunaf.d.p.uniformeenel intervalo[0,1].Deeste

modoesposibledeterminarteóricamentelosvaloresdelamediaylavarianzade

la variable aleatoria generada.Por todoello, determineestos valores teóricos y

compáreloscon losestimados.¿Coinciden losvaloresteóricoscon losobtenidos

enlapráctica?¿Bajoquécondicionescoincidesestosvalores?

3. Repita100veceselexperimentonuméricorealizadopreviamente.¿Seobtienen

siemprelosmismosvaloresestimados?Encasodequenoseobtengansiemprelos

mismosresultados,deberíaobservarcómolosvaloresestimadoscaenalrededor

de los valores teóricos. Finalmente, dibuje para ello un histograma de los

resultados estimados demedia yotro de varianza. ¿Qué relación aprecia entre

estoshistogramasylosresultadosteóricos?

Estudio1.2.: Estudiodedatospseudo‐aleatoriosconunaf.d.p.detipogaussiana

Genereunvectordenúmerospseudo‐aleatoriosconuna f.d.p.de tipogaussianade

media y varianza la que usted desee. Para ello, utilice almenos variosmiles de elementos

(realizaciones)enelvector.Posteriormenterealicelossiguientespasos:

1. Como en el estudio 1.1., calcule las estimaciones de su f.d.p., su media y su

varianza. Compare la media y la varianza obtenidas con sus valores teóricos y

repitaelprocesovariasvecesparaobservarcómovaríanesosmomentos.


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2. Larepresentacióndelhistogramadeberíaaproximarsea la f.d.p.teórica,queen

estecasotienelaformadelatípicacampanadeGauss.Porsinosesdeayuda,la

expresióndelaf.d.p.deunagaussianademedia

€

mv ydesviacióntípica

€

σ v es:

€

fv(v) =1

σ v 2πe− v−mv( )2 /2σ v

2

(4)

Comoenelestudio1.1,elhistogramaobtenidomediantelafunciónhist(…)deMATLAB

debe ser normalizado. Una vez normalizado, en su representación gráfica superponga la

representacióndelaf.d.p.teórica(utilicehelpplotohelpholdparaverlosdiferentesmodos

enquesepuedenvervariascurvasenunamismagráfica)conlaobtenidodeformapráctica.Es

más,pruebecondiferentesnúmerosdebarrasydiferentes longitudesdelosvectoreshasta

conseguirunajusterazonable.

Estudio1.3.: Estudiodevariablesaleatoriasindependientes

Podemos llamar dos veces al generador de números pseudo‐aleatorios deMATLAB

(rand(…) o randn(…)) para obtener valores de dos variables aleatorias diferentes. La

interrelación de estas dos variables aleatorias se describe por su f.d.p. conjunta, la cual es

función de dos variables aleatorias.De estemodo, suponga quev1 y v2 son dos variables

aleatorias.Laf.d.p.conjuntaes:

€

f (x, y) =∂2F(x, y)∂x∂y

(5)

donde su función de distribución de probabilidad

€

F(x, y) viene dada por la siguiente

expresión:

€

F(x, y) = Probabilidad v1 ≤ x,v2 ≤ y{ } (6)

Porejemplo,laf.d.p.gaussianabidimensionalpuedeexpresarsecomo:

€

fv1,v2 (x, y) =1

2π Ce−12(v−mv )

T C−1 (v−mv ) (7)

dondeelvectoraleatoriov=[xy]T,mientrasquemv=[mv1mv2]TyCeslamatrizdecovarianzade

lasdosvariablesaleatorias.Definiendo

€

˜ v i = vi −mvi,lamatrizdecovarianzabuscadasepuede

expresarcomo:


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€

C = E˜ v 1˜ v 2

˜ v 1 ˜ v 2[ ]

=E ˜ v 1

2{ } E ˜ v 1 ˜ v 2{ }E ˜ v 2 ˜ v 1{ } E ˜ v 2

2{ }

(8)

Comosepuedecomprobar,lamatrizdecovarianzaessiempresimétricaydefinidano

negativa.Haydosformasdeestimarlaf.d.p.conjunta:unaconsisteencalcularelhistograma

bidimensional,mientrasquelaotraconsisteenasumirquelaf.d.p.esgaussianayestimarla

matriz de covarianza para utilizarla más adelante. Para probar estos métodos, genere dos

vectores aleatorios conteniendo resultados de dos variables aleatorias gaussianas. Utilice

vectores de al menos varias miles de realizaciones, de media nula y con varianzas 1 y 3,

respectivamente.Unavezgeneradosestosdatospseudo‐aleatorios:

1. Deduzca laexpresiónmatemáticade la f.d.p. conjunta,la cualesunagaussiana

bidimensional. Observe la ayuda de la función de MATLAB meshgrid(…) para

generar el dominio (x,y) para el cálculo y representación de dicha expresión.

Representelascurvasdeniveldelaf.d.p.gaussianaconjunta,utilizandoparaello

lafuncióncontour(…)deMATLAByobservequesuformaeselíptica.

2. Calculeunaestimacióndelamatrizdecovarianzatomandopromedios(esperanzas

matemáticas) de

€

v12,

€

v22 y

€

v1v2 . Compare estas estimaciones con los valores

teóricosdelamatrizdecovarianza.Representelafuncióngaussianabidimensional

utilizandoestamatrizdecovarianzaestimadaycomparesuscurvasdenivelcon

lasdelanteriorapartado.

3. Escriba una función en MATLAB (llámesehist2(…)) para calcular el histograma

bidimensionaldeunpardevectores.Incluyacomoparámetroelnúmerodebarras

arepresentar.Aprovechelaexistenciadelaversiónparaunadimensión,asícomo

delafunciónfind(…)paracalcularunacolumna(ofila)encadaiteración.

4. Utilicehist2(…)paraestimardirectamentelaf.d.p.apartirdelosdatos.Represente

estaf.d.p.sobrelamismagráficaquelaf.d.p.teórica.Utilicelafuncióncontour(…),

pararepresentarunaspocascurvasdenivelparacadaf.d.p.detalformaquela

comparaciónentrecurvassepuedarealizardeformafácilysencilla.

5. Dado que estas variables aleatorias estaban generadas independientemente,

dichasvariablesdebenestarincorreladas.Ladefinicióndeindependenciasupone


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que la f.d.p. bidimensional puede expresarse como producto de las f.d.p.

unidimensionales. Esto implica que la media del producto de las variables

aleatoriaseselproductodelasmedias,queenelcasodevariablesaleatoriasde

media nula será cero. Verifique que se trata de variables aleatorias

independientes, realizando lo siguiente: estime las funciones densidad de

probabilidad unidimensionales de las variables aleatorias, obtenga una nueva

estimacióndelaf.d.p.bidimensionalmultiplicandolasdosfuncionesdensidadde

probabilidad unidimensionales. Represente las curvas de nivel de esta nueva

estimaciónjuntoconlaf.d.p.bidimensionalteórica.

Estudio1.4.: Estudiodevariablesaleatoriascorreladas

Enesteestudio secalculará la f.d.p. conjuntadedos variables aleatorias correladas.

Paraello,generedosvectoresaleatorioscondistribucióngaussiana,conteniendocadaunode

ellos variosmiles de elementos. Estos vectores deberán tenermedia nula y varianza 1 y 2,

respectivamente.Formedosnuevosvectoresaleatoriostomandolasumayladiferenciadelos

primeros. Estos vectores suma y diferencia serán utilizados para las siguientes pruebas a

realizarduranteesteestudio.Deestemodo:

1. Determine la forma teórica de la f.d.p. gaussiana conjunta.Obtenga los valores

exactosdeloselementosdelamatrizdecovarianza.

2. Realice la representación gráfica de la gaussiana bidimensional a partir de la

función obtenida en el apartado anterior. Utilice la funciónmeshgrid(…) para

generareldominio(x,y)sobreelquecalcularlayrepresentarla.

3. Estime los elementos de la matriz de covarianza bidimensional a partir de los

vectores de prueba y represente la f.d.p. conjunta estimada. Compare la f.d.p.

estimaday lateóricarealizandounarepresentaciónconunnúmeropequeñode

curvasdenivelparacadauna.Paraelloutilicelafuncióncontour(…).

4. Estimelaf.d.p.calculandoelhistogramabidimensional.Realiceunarepresentación

de sus curvas de nivel y compárelo con la f.d.p. teórica. En este caso, las dos

variables aleatorias están correladas, por ello debería verificar que la f.d.p.


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bidimensionalnopuedeexpresarsecomoproductodedosfuncionesdensidadde

probabilidadunidimensionales.

ESTUDIO2:SEÑALESALEATORIASERGÓDICAS,ESTACIONARIASYNOESTACIONARIAS

Dadoquelaideasubyacentedelprocesadodeseñalesestocásticasesconoceralgunos

detalles acerca de la/s f.d.p. que definen dicho proceso, un problema importante para el

procesadodeseñalesestocásticasescómoestimardichaf.d.p.apartirdeunaúnicarealización

dedichoproceso,dondeporrealizacióndenominamosaunconjuntodeelementos(datoso

valores) de dicho proceso aleatorio. De este modo, si sólo tenemos una realización, no

podemospromediarsobreunconjuntocómosehaceenelcasodelasvariablesaleatorias.En

sulugar,debemostrabajarconlasuposicióndequeelpromediadotemporalsobreunasola

señal será suficiente para conocer la f.d.p. La suposición que nos permite tomar esta

aproximaciónsellamaergodicidad,queestableceque“lospromediostemporalesconvergenal

valorquesepretendeestimar”.Porello,unprocesoergódicodebeserestacionario,dadoque

seríaimposibleestimarunaf.d.p.varianteeneltiempoapartirdeunaúnicarealización.

En los estudios siguientes se examinan las propiedades de las señales de los tres

procesosaleatoriossiguientesdeterminadosporlassiguientesfunciones:

function v=rp1(M,N) % Proceso aleatorio número 1.

A=0.02;

B=5;

Mc=ones(M,1)*B*sin((1:N)*pi/N);

Ac=A*ones(M,1)*[1:N];

v=(rand(M,N)-0.5).*Mc+Ac;

function v=rp2(M,N) %Proceso aleatorio número 2.

Ar=rand(M,1)*ones(1,N);

Mr=rand(M,1)*ones(1,N);

v=(rand(M,N)-0.5).*Mr+Ar;


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function v=rp3(M,N) %Proceso aleatorio número 3.

A=0.5;

M=3;

v=(rand(M,N)-0.5)*M+A;

Comosepuedeapreciar,esrecomendablerealizarcadafunción(procesoaleatorio)en

unscriptdeMATLAB,de tal formaquesecreeunamatrizde tamaño[MxN]quecontenga

númerosaleatorios.

Estudio2.1.: ¿Procesoestacionariooergódico?

Paraesteestudio,generediferentesrealizacionesde lostresprocesoseneldominio

deltiempo,paraobtenerunaideaaproximadadelaestacionariedadydelaergodicidad.Para

laestacionariedad, la clave está en comprobar si ciertas propiedades cambian o no con el

tiempo;para laergodicidad, laclaveestáencomprobarsiunaúnicarealizacióndelproceso

estacionariorepresentaalprocesocompleto.

Portodoello,generecuatrorealizacionesdecadaunodelosprocesosdelongitud100

(M=4, N=100) y represente cada uno de ellos en una misma figura utilizando la función

subplot(…).Apartirdeestarepresentaciónindiquesiestosprocesospuedenserergódicosy/o

estacionarios.

Estudio2.2.: Esperanzasapartirdepromediosdeconjuntos

Para este estudio, genere un conjunto de realizaciones de los tres procesos, por

ejemploconM=80(númerodeprocesos)yN=100(númerodeelementosdecadaproceso).

UtilicelasfuncionesdeMATLABmean(…)ystd(…)paraestimarlamediayladesviacióntípica

de estos procesos en cada instante de tiempo. El resultado de la estimación debe ser una

función del tiempo, que debe representar, y decidir a partir de dicha representación si los

procesospuedenserestacionariosensentidoamplio.

Nota:Elpromediodelconjunto,enelcasodelafunciónmean(…),es:


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€

ˆ m unn[ ] =

1M

uλ n[ ]λ=1

M

∑ ≈ E un{ } (9)

Deformaparecida,paraelpromediodeconjuntodelavarianza,debemoscalcularla

sumadeloscuadradosdespuésdeeliminarlamedia,esdecir:

€

ˆ σ u n

2 =1M

uλ n[ ] − ˆ m u nn[ ]( )

2

λ=1

M

∑ (10)

Estudio2.3.: Esperanzasapartirdepromediostemporales

Obtenga,deformaaproximada,lamediadecadaprocesocomopromediostemporales

paracuatrorealizaciones(

€

λ =1,2,3,4 )decadaproceso,esdecir:

€

uλ =1N

uλ n[ ]n= 0

N−1

∑

uλ − uλ2

=1N

uλ n[ ] − uλ n[ ]( )2

n= 0

N−1

∑ (11)

Para ello, utiliceM=4 yN=1000 cuando genere las señales.A raíz de los resultados

obtenidos,indiquesilosprocesossonergódicosono.

NOTA:Hablandoestrictamente,lospromediostemporalesnecesitanellímitecuandoN

tiende a infinito, pero podemos aproximar el valor en el límite considerando longitudes

suficientementegrandes,N=1000.Unprocesonoestacionarionopuedeserergódico,porello

enesoscasosnosonútileslospromediostemporales.

ESTUDIO3:SISTEMASLINEALESCONENTRADASALEATORIAS

En lossiguientesejerciciosestudiaremostressistemas linealesdiferentesqueactúan

comofiltrosysuefectoenelprocesadodeseñalesaleatoriasdeentrada,generadaspormedio

de las funciones rand(…) y randn(…). Los sistemas lineales comentados anteriormente se

describen por medio de los coeficientes de sus funciones de transferencia, las cuales son

funcionesracionales(cocientedepolinomiosenZ).Deestemodo,loscoeficientesdelostres

sistemaslineales(filtros)conlosquevamosatrabajarson:


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Filtro 1:

B1=[0.3 0];

A1=[1 -0.8];

Filtro 2:

B2=0.06*[1 2 1];

A2=[1 -1.3 0.845];

Filtro 3:

B3=[0.845 -1.3 1];

A3=fliplr(B3); %filtro paso todo.

ParaimplementarestosfiltrosenMATLABsepuedehacerusodelafunciónfilter(…),

asícomoobtenerlasalidadelprocesodadaunaentradayloscoeficientesdelfiltro.Además,la

funciónfreqz(…)sepuedeutilizarparaobtenermuestrasdelarespuestaenfrecuenciadelos

filtros.

La estimación de la secuencia de autocorrelación y de la correlación cruzada puede

obtenerseconlafuncióndeMATLABxcorr(…).Mientrasqueladensidadespectraldepotencia

puede calcularse, de forma aproximada, como la FFT de la secuencia de autocorrelación

medida,paralocualpodemoshacerusodelafunciónfft(…)deMATLAB.

Estudio3.1.: Autocorrelacióndeunprocesoderuidoblanco

Las funciones rand(…) y randn(…) producen valores que son estadísticamente

independientes.Generesegmentosdedossecuenciasaleatoriasdeentradapormediode:

N=5000;

v1=sqrt(12)*(rand(1,N)-0.5); %proceso de media nula.

v2=randn(1,N); %proceso gaussiano de media nula y varianza 1.


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Llameaestasseñalesv1[n]yv2[n].Determinelavarianzadev1[n].Calculeyrepresente

64 valores de sus secuencias de autocorrelación utilizandoxcorr(…). ¿Cómo se aproxima la

secuenciadeautocorrelaciónobtenidaalateóricaesperada?.

Estudio3.2.: RuidoBlancoFiltrado

Lasseñalesv1[n]yv2[n]generadasenelanteriorestudioseránutilizadascomoentradas

aunfiltrodeprimerorden.Paraello:

1. Suponga que la respuesta al impulso del filtro esh[n]=b an u[n], donde |a|<1.

Deduzca teóricamente la función de autocorrelación y calcule entonces las

secuenciasdeautocorrelaciónde las salidascorrespondientesaambasentradas

v1[n]yv2[n],sielfiltroconsideradoeselfiltro1,ya=0.8yb=0.3.Compareestos

resultados con los calculados de forma teórica y explique cualquier diferencia

significativa.

2. Estime la f.d.p. de la salida cuando a la entrada tenemos la secuencia, de

distribución uniforme, v1[n]. Repita la estimación anterior si la entrada es

gaussiana,v2[n].Expliqueporquéambasfuncionesdedensidaddeprobabilidad

sonprácticamenteiguales.

3. Repita el primer apartado para el filtro paso todo (filtro 3) de primer orden

mostradoalcomienzodeesteestudio.Deduzca lasecuenciadeautocorrelación

teórica,deformaqueelresultadoseaaplicableaunfiltropaso‐todoconcualquier

númerodepolos.¿Seesperaalgunadiferenciaparalasdosseñalesdeentrada?.

Estudio3.3.: Medidadelaautocorrelación

El estudio que desarrollaremos a continuaciónpretende demostrar el efecto de un

filtrocualquierasobrelasecuenciadeautocorrelación.Paraello:

1. Exciteelfiltro2conlasdosseñalesderuidoblancov1[n]yv2[n].Llameasussalidas

correspondientesy21[n]ey22[n].

2. Calcule y represente el histograma de ambas secuencias de saliday2i[n]. Tenga

cuidadodeutilizarsólolosdatosdelaparteestacionariadelasseñales.Explique


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cómo la respuestaal impulsoh2[n] puedeutilizarseparaestimar la longituddel

transitorio.

3. Obtenga la secuencia de autocorrelación de la parte estacionaria de las dos

secuenciasdesaliday21[n]ey22[n].Representelassecuenciasdeautocorrelación

de las señales de entrada y las de salida en un gráfico cuádruple utilizando la

funciónsubplot(…).

4. Obtenga las varianzas de las cuatro señales (dos entradas y dos salidas) y

compárelasconlosresultadosteóricos.

5. Exciteel filtro3conv1[n] yv2[n].Obtenga la secuenciadeautocorrelacióny los

histogramas de las dos secuencias de salida y31[n] e y32[n]. Represente los

resultadossiguienteunprocedimientocomoelpresentadoparaelcasoanteriory

expliquelassimilitudesydiferenciasentreellas.

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