Optimizando tiempos de espera en filas o colas

Optimizando tiempos de espera en filas o colasO. Crdoba-Rodrguez 1,2, M. A.3 de la Lama Zubirn,4, M. del Castillo-Mussot 1, A . de la Lama Garca 5.1. Instituto de Fsica, UNAM , A. P. 20 -364, 01000, Mxico D. F. Mxicxo2. Facultad de Ciencias UNAM, Universidad 3000 Circuito Exterior S/N, C.P. 04510 Ciudad Universitaria 3. UAM Xochimilco, Calzada del Hueso 1100, Col. Villa Quietud, Delegacin Coyoacn, C.P. 04960, Mxico, D.F 4. Instituto de Ingeniera, UNAM , A. P. 70-472, Mxico D.F. Mxico. 5. UAM Iztapalapa,, Av. San Rafael Atlixco N 186, Col. Vicentina C.P. 09340, Iztapalapa, Mxico D.F. MxicoWe show two forms to measure the times of delay in establishments of service where queues are generated. The first method measures the delay times from the supply (number of cashiers), the demand (number of clients) and the number of operations per customer. The second method measures the delay times from the customers entrance and exit speeds.Keywords: Fluids; optimization; granular systems; science and society; control systems..

Mostramos dos formas de medir los tiempos de espera en locales de servicio en donde se generan filas o colas. El primer mtodo mide los tiempos de espera a partir de la oferta (nmero de cajeros), la demanda (nmero de clientes) y el nmero de operaciones por cliente. El segundo mtodo mide el tiempo de espera a partir de las velocidades de entrada y salida de los clientes.Descriptores: Fluidos; Optimizacin; Sistemas granulares; Ciencia y Sociedad; Sistemas de control..PACS: 47.10.-g; 87.55.de; 45.70.-n; 01.75.+m; 07.05.Dz

1. Introduccin

Los ciudadanos son cada vez ms conscientes del valor del tiempo (trabajo, transporte, recreacin, etc.). Por eso mismo, les irrita aquellas situaciones en las que se ven obligados a esperar para obtener un producto o un servicio, no importando si se trata de una oficina gubernamental o una privada; del cine, del estadio, del supermercado, la sucursal bancaria o la ventanilla universitaria. Todos los clientes son reticentes a hacer filas o colas.

Este articulo busca responder a las siguientes preguntas, no sera posible disear un sistema que mida el tiempo de atencin al usuario y que adems le permitiera predecir el comportamiento de la demanda y en consecuencia pudiera actuar sobre la oferta antes de que los tiempos de espera se acrecienten No sera posible desarrollar uno sencillo y barato que pudiera se usado por cualquier empresa dispuesta a ofrecer un mejor servicio a sus clientes, sin importar su tamao?

Para poder encontrar la respuesta a estas preguntas, es crucial poder saber si es posible ofrecer al usuario o cliente de un servicio un tiempo promedio de atencin que corresponda a los niveles de calidad previamente establecidos. Para ello, primero necesitamos saber si es posible medir el tiempo promedio de espera de los clientes, para despus ver qu variables se pueden manipular y as poder disminuir este tiempo de espera. Los sistemas de colas son muy comunes en la sociedad. La adecuacin de estos sistemas puede tener un efecto importante sobre la calidad de vida y la productividad. Para estudiar estos sistemas, la teora de colas formula modelos matemticos, tratando de predecir la forma en que los clientes arriban a los establecimientos representan su operacin y despus usa estos modelos para obtener medidas de desempeo. La aparicin de nuevas teoras de la organizacin que enfocan su atencin a los deseos e intereses de los clientes o usuarios del servicio que se ofrece no es nueva, y estn ligadas a las teoras del control Total de Calidad son conocidas como TQC [1] (Control Total de Calidad, por sus siglas en ingls).

La teora de colas es el estudio matemtico de las lneas de espera (o colas) [2]. El rea de fsica con el que podemos ligar los correspondientes tiempos de espera es, en primera aproximacin, la dinmica de fluidos. Imaginamos a las personas como un medio continuo que se desplaza en cierta direccin a travs de algn recipiente; donde la fila hace las veces del recipiente y el fluido las personas. El proceso bsico supuesto por la mayor parte de los modelos de colas es el siguiente. Los clientes que requieren un servicio se generan a travs del tiempo en una fase de entrada. Estos clientes entran al sistema y se unen a una cola. En determinado momento se selecciona un miembro de la cola, para proporcionarle el servicio, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio. Luego, se lleva a cabo el servicio requerido por el cliente en un mecanismo de servicio, despus de lo cual el cliente sale del sistema de colas. Es en estos conceptos donde se ocupan los modelos matemticos, desde tratar de predecir la llegada de los clientes y con que distribucin lo hacen, pasando por el mecanismo de servicio y la distribucin de salida de los clientes. Sin embargo no siempre son adecuados los modelos, o se pueden volver muy complicados [3]. En este artculo presentamos dos formas sencillas de medir los tiempos de espera en las filas, a partir de los conceptos bsicos de nmero de clientes, operadores, tiempo de espera y numero de operaciones por clientes.En nuestro problema, se puede aplicar, como en un tubo de corriente de algn fluido, la ecuacin de continuidad:

EMBED Microsoft Equation 3.0 , donde es la densidad del fluido, t el tiempo y la velocidad.

Esta expresin nos dice que el cambio en el tiempo de la densidad de un fluido es igual al cambio en el flujo de la densidad de corriente. Pero como para un flujo permanente de una tubera la masa del fluido que atraviesa cualquier seccin de la tubera es constante tenemos que

y por tanto,

EMBED Microsoft Equation 3.0 .El siguiente ejemplo nos ayuda a visualizar la semejanza del problema con el fenmeno de fluidos. Supongamos una serie de pelotas, las cuales caen en un recipiente que tiene una salida en el fondo del mismo. En esta salida hay un diablito que slo permite la salida de las bolas a una determinada velocidad. Dadas estas condiciones, el tiempo de permanencia de las pelotas en el cubo estara dado por la relacin entre el nmero de pelotas que entran y la velocidad con que el diablito las deja salir. La figura 1 muestra dicho comportamiento:

Fig. 1. Esquema de filas de espera con diablito a la salida del recipiente.Existen tres situaciones:A Si el nmero de pelotas que caen es igual al nmero de pelotas que el diablito deja salir, entonces, tendremos un tiempo de espera constante, en el cual las pelotas tienden a permanecer dentro del cubo. B. Si aumenta el nmero de bolas que caen dentro del recipiente y el diablito mantiene constante la velocidad de salida, que es menor a la entrada de las pelotas, entonces, las pelotas se acumularn en el recipiente, su tiempo de permanencia aumentar y su opinin sobre la calidad del servicio caer. C. Existe una cantidad de pelotas previas en el recipiente. Si ahora el nmero de las pelotas que entran al recipiente disminuye y el diablito mantiene constante la velocidad a que deja salir las pelotas, que es mayor a la velocidad a que entran, entonces, el tiempo de espera de las pelotas dentro del recipiente tender a disminuir. Como se puede apreciar por las tres situaciones presentadas, cuando el tiempo de salida es constante, el tiempo de espera estar determinado por el nmero de pelotas que entran al recipiente. Entre mayor sea el nmero de bolas que entran al recipiente, mayor ser su tiempo de espera y viceversa.

Pasemos a una situacin diferente, donde el diablito se interesa por lograr que el tiempo de salida de las pelotas vare para lograr un tiempo de permanencia constante de las bolas dentro del cubo. Supongamos que el diablito conoce de antemano el nmero de pelotas que caen y adems tiene libertad para adecuar la velocidad de salida de las bolas, entonces, dependiendo del nmero de pelotas que caigan podr controlar, mediante la aceleracin o el retardo de la salida de las pelotas el tiempo en que las pelotas permanecen en el cubo. De lo anterior se desprende los siguientes comportamientos:

D. Si el nmero de pelotas que entra disminuye, el diablito a su vez, disminuir la velocidad de salida. E. A la inversa, al aumentar el nmero de pelotas que entran al cubo, el diablito apresura la salida de las bolas, de tal manera que el tiempo de permanencia pueda mantenerse ms o menos constante.

En otras palabras, si el sistema es capaz de controlar la salida de las pelotas y adems conoce previamente el nmero que entrar, entonces, ser capaz de adecuar el sistema para que haya una velocidad constante de salida, de esta manera se podr mantener un tiempo de permanencia de las pelotas constante dentro de la cubeta.

Si este sencillo modelo se adeca al comportamiento real aunque simplificado de una ventanilla o caja de pagos entonces, entonces podra ser la base para combinar sabiamente costos y calidad del servicio.

La clave, por tanto, consiste en determinar el tiempo promedio de espera del cliente. Proponemos dos mtodos para medir este tiempo tomando en cuenta el modelo anterior y la ecuacin de continuidad. El primero tiene como variables el nmero de clientes que arriban a la sucursal y el nmero de cajeros que atienden; la segunda asocia las velocidades de llegada y de salida.2. Mtodos de Optimizacin Caso 1: Mtodo de oferta y demanda

Determinaremos el tiempo promedio de espera del cliente, a travs de asociarlo directamente con el nmero clientes que arriban (numero de pelotas en el recipiente) y al comportamiento de los operadores (numero de pelotas que deja salir el diablito). Si el fenmeno de atencin al pblico se comporta de manera estable, entonces, es posible establecer tiempos promedio de atencin por usuario sin medirlos uno por uno; sabiendo a cuantos clientes atiende cada uno de los cajeros. Supongamos que hay D clientes y O cajeros, entonces este tiempo promedio de espera (T) del cliente est dado por la siguiente ecuacin:

..............................................................................................................................(1)

Donde ti es el tiempo de espera del cliente i, i las operaciones del cliente i, y [ ] denota la funcin mayor entero (mayor nmero entero inferior o igual a la fraccin). Es decir, simplemente en Ec. (1) se suman los tiempos de espera de todos los clientes dividido entre el nmero de clientes.

.

Notemos que la persona que est el principio de la lnea, realmente no tiene que esperar casi nada de tiempo, mientras que las personas que vienen atrs tienen que esperar ms tiempo. Es decir, las condiciones iniciales son cruciales.Suponiendo que el tiempo de atencin por operacin de los cajeros es el mismo (t) y que en promedio los clientes hacen operaciones, podemos pensar en lo siguiente: la primera persona no se espera a ser atendida, as, el tiempo que ocupa en realizar su operacin y de espera es t. La segunda persona tarda el tiempo en que la primer persona sea atendida (t) mas el tiempo que tarden en atenderla (t ), as el tiempo total de espera de las segunda persona es 2t, para la tercer persona ser 3t, y as sucesivamente. La suma del tiempo de las n primeras personas es:

t +2t +3t +...+nt = t (1+2+3...+n) = t [n(n+1)/2].Por tanto, de Ec. (1);

..........................................................................................................(2)

De Ec. (2) podemos observar que hay tres maneras para reducir el tiempo de espera; a) reduciendo el tiempo de operacin o b) reduciendo el nmero de transacciones por cliente o c) aumentando el nmero de cajeros.Obviamente los mecanismos a) y b) son ms difciles de cambiar; una reduccin en el tiempo de operacin del cajero podra llevarlo a cometer errores, y no es factible condicionar a los clientes con el nmero de operaciones que deban realizar.. As, la opcin viable es disminuir n, es decir aumentar el nmero de operadores.

Este mtodo se aplica muy bien cuando hay interrupciones en el flujo (flujo no estacionario), porque tenemos una fraccin importante de clientes que estn al principio de cada inyeccin, como se ilustra en el gotero de Fig. 2.

Fig. 2. Analogas de lolas con regmenes de flujos; el primero es discontinuo como un gotero y el segundo es continuo como en una manguera. Caso 2: Mtodo de velocidades de flujo

Este mtodo supone que se conoce la velocidad de entrada de los clientes (velocidad de entrada de las pelotas al recipiente) y la velocidad de salida de los mismos (velocidad de salida de las pelotas del recipiente), de tal modo que a partir de estas velocidades, podemos saber el tiempo que pas una persona en la fila.

Sean N nmero de personas llegan a la fila a una velocidad V0 y que salen de la fila a una velocidad Vs. El tiempo de espera de cada persona depender del tiempo que tarde en entrar y del tiempo que tarden en salir, siendo la diferencia de estos dos tiempos el tiempo de espera para cada persona.

El tiempo en que la persona en el lugar j tardar en entrar (tej) est dado por los que ya entraron antes y la velocidad de entrada de stas:

..........................................................................................................(3)

Donde Pj es la posicin de la persona j en la fila de espera.Y el tiempo en que la persona en el lugar j tardar en salir (tsj) est dado por las pelotas que le precedieron en salir y la velocidad de salida de ellas.

...............................................................................................................(4)

As, el tiempo que la persona en el lugar j tardar en ser atendida (Tj), est dado por la diferencia de estos dos tiempos

...........................................................................................................(5)

De tal modo que si lo que queremos es encontrar el tiempo promedio de espera, solo necesitamos encontrar el promedio (T) de los tiempos Tj:

(6)

Como estamos pensando que la velocidad de entrada y la de salida es la misma para todas las personas, dejaremos el tiempo promedio de espera en trminos de la velocidad de entrada, la velocidad de salida y el numero de clientes; para eso, necesitamos dejar la ecuacin (6) de la siguiente manera:

(7)

Si desarrollamos la primer suma de la ecuacin (7), tenemos que la primera persona tarda en salir 1/Vs, la segunda persona tarda en salir 2/Vs, la tercer persona tarda en salir 3/Vs; y as, la persona en el lugar n tarda en salir n/Vs ; entonces, tenemos que:

.. (8)

De Ec. (7), donde ahora la primera persona tardar en entrar 1/V0, la segunda persona tarda 2/V0, etc. ;

.. (9)

De Ecs. (7-9):

.............................(10)

De la ecuacin (10), para reducir el tiempo promedio de espera necesitamos disminuir el nmero de personas, la velocidad de entrada o la velocidad de salida. Pero al igual que en el modelo pasado, no podemos restringir el nmero de personas que llegan, tampoco la velocidad que lo hagan, por tanto para reducir el tiempo promedio de espera debemos aumentar le velocidad de salida.

4 Conclusiones

Para aplicar estos modelos es necesario contar con datos precisos sobre el nmero de clientes que arriban a los establecimientos, el nmero de operaciones por cliente, adems del nmero de operadores. Teniendo una base de datos estadsticos de diferentes das y de diferentes horarios se pueden tomar las decisiones necesarias para dar una mejor atencin a los usuarios. Es importante establecer las horas pico para los diferentes das de la semana. Por ejemplo no es la misma cantidad de clientes que arriban a un banco en da de quincena que otro da normal de la semana. Adems en un da de quincena existe hora especficas de mayor afluencia. Con la tecnologa actual, se pueden obtener fcilmente datos de desempeo pertinentes mediante el desarrollo de un programa de computadora para simular la operacin del sistema.Los modelos presentados en este artculo proporcionan una til herramienta de cmo medir los tiempos de espera en todo establecimiento en el cual se originen filas. El primero de ellos nos muestra una forma de medir el tiempo promedio de espera a partir del nmero de operadores que se encuentren en el establecimiento, mientras que el segundo lo hace a partir de la velocidad de salida del cliente. En el primer caso los clientes llegan de forma discontinua al establecimiento, como en paquetes, en un flujo discontinuo. En el segundo modelo los clientes llegan de forma continua, con cierta velocidad constante, como un flujo continuo. Por ello el gotero o la manguera son buenas analogas, pero para ambos casos, la opcin ms prctica o viable es adecuar el flujo de clientes con el nmero de cajeros u operadores.

Esperamos que este artculo estimule la investigacin de problemas interdisciplinarios con herramientas o analogas de la fsica.Bibliografa[1] W. Edwards, Calidad, productividad y competitividad. La salida de la crisis (Daz de Santos Mxico 1989); J. M. Juran, Juran y el liderazgo para la calidad. Un Manual para directivos (Ed. Daz de Santos, Mxico (1990); K. Ishikawa, Qu es el control total de calidad? La modalidad japonesa (Norma, Mxico 1985).

[2] H.C. Tijms, First Course in Stochastic Models, Capitulo 9 (Chichester, 2003); H. Moskowitz y G.P. Wright, Investigacin de Operaciones (Prentice_Hall Hispanoamericana S.A. 1991); S. Bose, An Introduction to Queueing Systems, Capitulo 1 (Kluwer/Plenum Publishers, 2002).

[3] D. Gross y C. Harris, Fundamentals of Queueing Theory (Ed. Wiley Series in Probability and Statistics. 1998). La figura del diablito no es accidental, supone un reconocimiento a Maxwell, quin dise un modelo similar para estudiar el comportamiento de las molculas de un gas. Vase por ejemplo, Everitt C. W. F. La creatividad de Maxwell, en Aris Rutherford, et al, (comp.), Resortes de la creatividad cientfica, Mxico, Fondo de Cultura Econmica, 1995.

1

_143557952.unknown

_1301406461.unknown

_1301409630.unknown

_1303069640.unknown

_1303078137.unknown

_1301409637.unknown

_1301409634.unknown

_1301408404.unknown

_1301409318.unknown

_1301408393.unknown

_145244384.unknown

_145509680.unknown

_145670768.unknown

_145838536.unknown

_145284944.unknown

_143813360.unknown

_143196560.unknown

_143273136.unknown

_142355208.unknown