CENTRO DE GRAVEDAD :

CUERPOS COMPUESTOS

CENTRO DE GRAVEDADEs un punto que ubica el peso resultante de

un sistema de partículas. Esto requiere que el peso resultante sea igual al peso total de las n partículas; es decir :

W R = ∑ W

La suma de los momentos con respectos a los ejes x , y y z, es entonces igual al momento del peso de la resultante con respecto a esos ejes.

Considerando el peso diferencial dW podemos generalizar estas fórmulas como:

Si un objeto es subdividido en elementos de volumen dV:

Si un objeto es subdividido el área en elementos diferenciales dA:

Si la geometría del objeto tal como una barra delgada o un alambre toma la forma de una línea, la manera de encontrar su centroide es idéntica al anterior procedimiento:

CUERPOS COMPUESTOSUn cuerpo compuesto consiste en una serie

de cuerpos “más simples” conectados, los cuales pueden ser rectangulares, triangulares, semicirculares, etc.

Este cuerpo a menudo puede ser seccionado o dividido en sus partes componentes y si se conocen el peso y la ubicación de cada una de esas partes es posible eliminar la necesidad de la integración para determinar el centro de gravedad del cuerpo entero.

En todos los casos anteriores la localización de su centroide no necesariamente estará dentro del objeto, si no que puede situarse en el espacio del exterior del objeto. En los casos en que la forma tiene un eje de simetría, el centroide, estará a lo largo del eje.

Centros de Gravedad de Solidos Homogéneos

Ejemplo 1 Determine la ubicación del centro de gravedad del cuerpo de revolución

homogéneo que se muestra en la figura el cual se obtuvo al unir una semiesfera y un cilindro y removiendo un cono.

Solución: El cuerpo se despieza en:

V. Esfera V. Cilindro V. Cono

Ejemplo 2 Localice el centro de gravedad del elemento de una máquina hecho de acero

que se muestra en la figura , el diametro de cada agujero es 1 pulgada?

Solución: El cuerpo se despieza en:

Volumen de un ortoedro Volumen de un cilindro Area de un cuarto de círculo

MOMENTOS Y PRODUCTOS

DE INERCIA

MOMENTOS DE INERCIAEl momento de inercia es una propiedad

geométrica de una superficie o área que representa la distancia de un área con respecto a un eje dado. Se define como la suma de los productos de todas las áreas elementales multiplicadas por el cuadrado de las distancias a un eje.

Propiedades de figuras planas

Centroides de formas comunes de lineas

Ejemplo 1 Determine el momento de inercia del área sombreada que muestra la

figura con respecto al eje x. Solución 1 : Un elemento de área que es paralelo al eje x como se muestra en la figura, es elegido para la integración. Como el elemento tiene un espesor dy e interseca la curva en el punto arbitrario (x , y) el área es dA = (100 – x)dy. Además todas las partes del elemento se encuentran a la misma distancia y desde el eje x. Por tanto integrando con respecto a y, desde y = 0 hasta y = 200 mm.

Solución 2 : Para la integración, se elige un elemento diferencial paralelo al eje y, como se muestra en la figura. El elemento interseca la curva en el punto arbitrario (x , y), en este caso no todas las partes del elemento se encuentran a la misma distancia del eje x, y por lo tanto debe usarse el teorema de los ejes paralelos para determinar el momento de inercia del elemento con respecto a éste eje. Para un rectángulo con base b y altura h el momento de inercia con respecto a su eje centroidal es = (bh)³ /12. Para el elemento diferencial mostrado en la figura b = dx y

h = y, y entonces x´ = 1/12 dx y³ . Como el centroide del elemento está en desde

el eje x el momento de inercia del elemento con respecto a este eje es

Integrando con respecto a x, desde x = 0 hasta x = 100mm, resulta

Si el momento de un área se conoce con respecto a un eje que pasa a través de su centroide, es conveniente determinar el momento de inercia del área con respecto a un eje paralelo correspondiente usando el teorema de los ejes paralelos. Para derivar este teorema, considere encontrar el momento de inercia del área sombreada que muestra en la figura con respecto al eje x, en este caso un elemento diferencial dA esta ubicada a una distancia arbitraria y´ del eje centroidal x´mientras que la distancia fija entre los ejes paralelos x y x´es definida como dy .

I = Inercia con respecto a un eje AA´ A = Área d = Distancia = Inercia con respecto a un eje BB´

Teorema de los ejes paralelos

Ejemplo 1 Como una aplicación del teorema de los ejes paralelos, se procederá a

determinar el momento de inercia de Ir de un área circular con respecto a una linea tangente al círculo?

El área circular es simétrico, tenemos Ix = Iy

Entonces el centroide es ¼ π r⁴

Ejemplo 2 Calcule el momento de inercia del área compuesta mostrada, con respecto

al eje x ? El área compuesta se obtiene restando el área del circulo del área del recatngulo como se muestra en la figura. El centroide de cada área está señalado en la figura. Teorema de los ejes paralelos: Círculo

Rectangulo

Sumatoria

Respuesta