ESPACIOS VECTORIALES

OBJETIVO

Resolver problemas relacionados con los espacios vectoriales reales o complejos, interpretándolos como una

estructura algebraica, utilizando matrices, determinantes, rango e inversa y sistemas de ecuaciones lineales, en

situaciones reales, propias de la ingeniería.

CONTENIDO:

5.1 ESPACIOS VECTORIALES

5.2 SUBESPACIOS VECTORIALES

5.3 COMBINACIONES LINEALES. SUBESPACIOS GENERADOS

5.4 INTERSECCION Y SUMA DE SUBESPACIOS. SUMA DIRECTA

5.5 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

5.6 BASE Y DIMENSION

5.7 VECTOR DE COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE

5.8 CUESTIONARIO

5.1 ESPACIOS VECTORIALES

En esta sección se generalizará el concepto de vector. Se enunciará un conjunto de axiomas que, si una clase

de objetos hace que se cumplan, permitirá denominar vectores a esos objetos. Los axiomas se elegirán abstra-

yendo las propiedades más importantes de los vectores en n. El trabajo desarrollado en esta sección es muy

útil, ya que proporciona una herramienta poderosa para extender la representación geométrica a una amplia

variedad de problemas matemáticos importantes en los que de otra forma no se contaría con la intuición geo-

métrica.

La resolución de los problemas de cualquier género se reduce, al fin y al cabo, al

estudio de ciertos conjuntos y, en primer lugar, al estudio de la estructura de di-

chos conjuntos. Para estudiar la estructura de conjuntos se emplean los más diver-

sos métodos. Por ejemplo, partiendo de la propiedad característica que poseen los

elementos o bien partiendo de las propiedades de las operaciones, si están defini-

das para los elementos.

El último método parece ser de atracción especial debido a su generalidad. Efec-

tivamente, ya hemos visto repetidamente que en los más diversos conjuntos pue-

den introducirse las más diversas operaciones que, no obstante, poseen propieda-

des iguales. Será evidente por esta razón que si en la investigación de los conjun-

tos se obtiene cierto resultado sólo en la base de las propiedades de una opera-

ción, este resultado tendrá lugar en todos los conjuntos, donde las operaciones

poseen las mismas propiedades. En este caso la naturaleza concreta tanto de los

elementos como de las operaciones sobre ellos puede ser completamente diferen-

te.

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186

Se conoce que en realidad detrás de los vectores están los objetos físicos bien

reales. Por esto, la investigación detallada de la estructura de los conjuntos repre-

senta interés por lo menos para la física. Hay una tentación, originada por la sen-

cillez de los conjuntos citados, que conduce al deseo de estudiarlos apoyándose

sólo en las peculiaridades concretas de los elementos. Sin embargo, no podemos

sino observar el hecho de que dichos conjuntos tienen mucho en común, razón

por la cual parece racional comenzar su estudio partiendo de ciertas posiciones

generales, abrigando esperanza, por lo menos, que tendremos éxito en evitar repe-

ticiones fastidiosas y monótonas al pasar de la investigación de un conjunto a la

del otro.

No se desarrollaran las diferentes propiedades de los cuerpos abstractos y no

trataremos de cuerpo específico alguno que no sea de los números racionales,

reales y complejos. Es conveniente y cómodo, por el momento, no especificar la

naturaleza exacta del cuerpo de escalares, porque gran parte de los espacios vec-

toriales es válida para cuerpos arbitrarios. El estudiante que no conoce los cuerpos

abstractos no estará en desventaja, pues basta con que piense en K como en uno

de los cuerpos que le son familiares. Todo lo que importa es que podamos efec-

tuar las operaciones de adición y sustracción, multiplicación y división, en la

forma usual. Más adelante tendremos que restringir a K al cuerpo de los números

reales o al cuerpo de los números complejos, para obtener ciertos resultados clási-

cos; pero se pospondrá ese momento tanto como podamos. En general, usaremos

letras minúsculas del alfabeto latino para denotar a los vectores. Una excepción es

el vector nulo que se denotará por .

DEFINICION 5.1.1

Sea V un conjunto cualesquiera no vacío de elementos sobre el que están

definidas dos operaciones: la adición y la multiplicación por escalares.

Por adición se entiende una regla que asocia a cada par de elementos u y

v en V un elemento u + v denominado suma de u y v; por multiplicación

escalar se entiende una regla que asocia a cada escalar y cada elemento

u en V un elemento u, denominado múltiplo escalar de u por . Si los

elementos u, v, w en V y los escalares y satisfacen los axiomas si-

guientes, entonces V se denomina espacio vectorial, y sus elementos se

denominan vectores:

1.- Si u, v están en V, entonces u + v está en V.

2.- Si u, v están en V, entonces u + v = v + u.

3.- Si u, v, w están en V, entonces u + (v + w) = (u + v) + w.

4.- Existe un único elemento en V, denominado vector cero de V, tal

que se cumple que + u = u + = u para todo u en V.

5.- Para todo u en V existe un elemento -u en V, denominado opuesto

de u, tal que se cumple u + (-u) = (-u) + u = .

6.- Si es cualquier escalar y u es cualquier elemento en V, entonces

u está en V.

7.- Si u, v están en V y es un escalar, entonces (u + v) = u + v.

8.- Si u está en V y , son escalares, entonces ( + )u = u + u.

9.- Si u está en V y , son escalares, entonces (u) = ()u.

10.- Si u está en V y 1 es un escalar, 1u = u.

Los elementos de cualquier espacio vectorial los llamaremos vectores, a pesar de

que según su naturaleza concreta dichos elementos pueden ser bien distintos de

los segmentos dirigidos. Las representaciones geométricas, relacionadas con el

nombre de vectores, nos ayudaran en aclarar y, con frecuencia, en prever los

resultados necesarios, como también en buscar la interpretación geométrica de

diferentes hechos la cual no siempre resulta obvia. Cualquier tipo de objeto pue-


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187

de ser un vector, y es posible que las operaciones de adición y multiplicación

escalar no guarden ninguna relación o semejanza con las operaciones vectoriales

usuales sobre Rn. El único requisito es que se cumplan los axiomas de la defini-

ción de espacio vectorial.

A continuación damos a conocer algunas propiedades que provienen de la exis-

tencia de las operaciones de adición y multiplicación por un número. Conciernen,

en lo esencial, a los vectores nulo y opuesto.

TEOREMA 5.1.1

Sean V un espacio vectorial, u un elemento de V y a un escalar, entonces

se cumple lo siguiente:

1.- 0u = .

2.- a = .

3.- (-1)u = -u.

4.- Si au = , entonces a = 0 o u = .

DEMOSTRACION

1.- Se puede escribir

0u + 0u = (0 + 0)u = 0u

Por el axioma 5, el vector 0u tiene un negativo: -0u. Al sumar este negativo a

ambos miembros de la última expresión se obtiene

(0u + 0u) + (-0u) = 0u + (-0u)

o

0u + (0u + (-0u)) = 0u + (-0u)

0u + =

0u =

2.- Ya que a(v + ) = av + a, entonces a = .

3.- Para probar (-1)u = -u, es necesario demostrar que u + (-1)u = . Para ver

esto, obsérvese que

u + (-1)u = 1u + (-1)u = (1 + (-1))u = 0u = .

4.- Efectivamente, si la igualdad au = se realiza, puede haber una de las dos

posibilidades: o bien a = 0 o bien a 0. El caso a = 0 confirma la afirmación. Sea

ahora, a 0. En este caso

1 1 11 ( )u u a u au

a a a

= .

De esta forma, desde el punto de vista de las operaciones de multiplicación, adi-

ción y sustracción tienen lugar formalmente todas las reglas de transformaciones

equivalentes para las expresiones algebraicas.

En algunas aplicaciones, es necesario alterar la definición de espacio vectorial

para que los escalares sean números complejos. Entonces se habla de un espacio

vectorial complejo. En gran medida, la teoría de los espacios vectoriales reales es

igual que la teoría de los espacios vectoriales complejos. En consecuencia, a lo

largo del capítulo, se puede reemplazar la expresión espacio vectorial por espacio

vectorial complejo.

EJEMPLO 5.1.1

Considérese las funciones f : . Dentro del conjunto de todas estas funciones

está el subconjunto que consiste en todas las funciones f derivables dos veces que

satisfacen a la ecuación diferencial f ´´ + f = 0, donde cada signo de prima indica

derivación. Por supuesto, f ´´ es nuevamente una función de en . Podemos

afirmar que el subconjunto () formado por todas las funciones f que satisfacen la

ecuación diferencial, es un espacio vectorial sobre , donde utilizamos las mismas

operaciones de suma y producto por escalares en este subconjunto que en ().


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SOLUCION

Verifíquense los axiomas (1) y (6). Para hacerlo con (1), hemos de demostrar que si

las funciones f y g satisfacen ambas la ecuación diferencial, entonces también la

satisfará f + g. Pero esto es trivial, puesto que de f ´´ + f = 0 y g´´ + g = 0 obtenemos

fácilmente (f + g)´´ + (f + g) = 0. De forma análoga, si es un número real, entonces

de f ´´ + f = 0 se halla que (f)´´ + (f) = 0. Por tanto, también es satisfecho el

axioma (6). Los otros axiomas automáticamente se cumplen.

EJEMPLO 5.1.2

Determine cuáles de los conjuntos siguientes constituyen espacios vectoriales:

a.- En (-; ), los polinomios de grado mayor o igual que 2;

b.- En (-; ), los polinomios que tienen un cero en x = 2.

SOLUCION

a.- Tenemos que analizar el conjunto

S = {p(t) P / p(t) = a2t2 + a3t

3 + ... + ant

n, donde a2, a3, ..., an }.

A continuación comprobamos los 10 axiomas de la definición de espacio vectorial:

1.- Si p1, p2 están en S, entonces p1 + p2 están en S. Es decir:

(p1 + p2)(t) = p1(t) + p2(t) = (a2t2 + a3t

3 + ... + ant

n) + (b2t

2 + b3t

3 + ... + bnt

n)

= (a2 + b2)t2 + (a3 + b3)t

3 + … + (an + bn)t

n = c2t

2 + c3t

3 + … + cnt

n S.

2.- Si p1, p2 están en S, entonces p1 + p2 = p2 + p1. Es decir:

(p1 + p2)(t) = p1(t) + p2(t)

= (a2t2 + a3t

3 + ... + ant

n) + (b2t

2 + b3t

3 + ... + bnt

n)

= (a2 + b2)t2 + (a3 + b3)t

3 + … + (an + bn)t

n

= (b2 + a2)t2 + (b3 + a3)t

3 + … + (bn + an)t

n

= p2(t) + p1(t)

= (p2 + p1)(t).

3.- Si p1, p2, p3 están en S, entonces p1 + (p2 + p3) = (p1 + p2) + p3. Es decir:

[p1 + (p2 + p3)](t) = p1(t) + [p2(t) + p3(t)]

= (a2t2 + a3t

3 + ... + ant

n) + [(b2 + c2)t

2 + … + (bn + cn)t

n]

= (a2 + b2 + c2)t2 + (a3 + b3 + c3)t

3 + … + (an + bn + cn)t

n]

= [(a2 + b2) + c2]t2 + [(a3 + b3) + c3]t

3 + … + [(an + bn) + cn]t

n

= [(a2 + b2)t2 + (a2 + b2)t

2 + … + (an + bn)t

n] + (c2t

2 + c3t

3 + ... + cnt

n)

= [p1(t) + p2(t)] + p3(t) = [(p1 + p2) + p3](t).

4.- Existe un único elemento p en S, denominado vector cero de S, tal que se

cumple que p + p = p + p = p para todo p en S. Es decir:

(p + p)(t) = p(t) + p(t)

= (0t2 + 0t

3 + ... + 0t

n) + (a2t

2 + a3t

3 + ... + ant

n)

= (0 + a2)t2 + (0 + a3)t

3 + … + (0 + an)t

n

= a2t2 + a3t

3 + ... + ant

n = p(t).

5.- Para todo p en S existe un elemento –p en S, denominado opuesto de p, tal

que se cumple p + (-p) = (-p) + p = p. Es decir:

[p + (-p)](t) = p(t) + [-p(t)]

= (a2t2 + a3t

3 + ... + ant

n) + (- a2t

2 - a3t

3 - ... - ant

n)

= (a2 - a2)t2 + (a3 – a3)t

3 + … + (an - an)t

n

= 0t2 + 0t

3 + … + 0t

n = p(t).

6.- Si es cualquier escalar y p es cualquier elemento en S, entonces p está en

S. Es decir:

(p)(t) = p(t)

= (a2t2 + a3t

3 + ... + ant

n)

= (a2)t2 + (a3)t

3 + ... + (an)t

n

= b2t2 + b3t

3 + ... + bnt

n S.

7.- Si p1, p2 están en S y es un escalar, entonces (p1 + p2) = p1 + p2. Es

decir:

[(p1 + p2)](t) = [p1(t) + p2(t)]

= [(a2 + b2)t2 + (a3 + b3)t

3 + … + (an + bn)t

n]


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= (a2 + b2)t2 + (a3 + b3)t

3 + … + (an + bn)t

n

= (a2t2 + a3t

3 + ... + ant

n) + (b2t

2 + b3t

3 + ... + bnt

n)

= (a2t2 + a3t

3 + ... + ant

n) + (b2t

2 + b3t

3 + ... + bnt

n)

= p1(t) + p2(t).

8.- Si p está en S y , son escalares, entonces ( + )p = p + p. Es decir:

[( + )p](t) = ( + )p(t)

= ( + )(a2t2 + a3t

3 + ... + ant

n)

= ( + )a2t2 + ( + )a3t

3 + ... + ( + )ant

n

= (a2t2 + a3t

3 + ... + ant

n) + (a2t

2 + a3t

3 + ... + ant

n)

= (a2t2 + a3t

3 + ... + ant

n) + (a2t

2 + a3t

3 + ... + ant

n)

= p(t) + p(t).

9.- Si p está en S y , son escalares, entonces (p) = ()p. Es decir:

[(p)](t) = [p(t)]

= (a2t2 + a3t

3 + ... + ant

n)

= a2t2 + a3t

3 + ... + ant

n

= (a2t2 + a3t

3 + ... + ant

n) = ()p(t).

10.- Si p está en S y 1 es un escalar, 1p = p. Es decir:

(1p)(t) = 1p(t)

= 1(a2t2 + a3t

3 + ... + ant

n)

= 1a2t2 + 1a3t

3 + ... + 1ant

n

= a2t2 + a3t

3 + ... + ant

n = p(t).

Como se prueban todos los axiomas, entonces S es un espacio vectorial.

b.- En este caso tenemos que S = {p n / p(t) = (t – 2)q(t), q(t) n-1}. A

continuación comprobamos los 10 axiomas de la definición de espacio vectorial:

1.- Si p1, p2 están en S, entonces p1 + p2 están en S. Es decir:

p1(t) + p2(t) = (t – 2)q1(t) + (t – 2)q2(t) = (t – 2)(q1(t) + q2(t)) = (t – 2)h(t) S.

2.- Si p1, p2 están en S, entonces p1 + p2 = p2 + p1. Es decir:

p1(t) + p2(t) = (t – 2)q1(t) + (t – 2)q2(t) = (t – 2)[q1(t) + q2(t)]

= (t – 2) )[q2(t) + q1(t)] = (t – 2)q2(t) + (t – 2)q1(t) = p2(t) + p1(t).

3.- Si p1, p2, p3 están en S, entonces p1 + (p2 + p3) = (p1 + p2) + p3. Es decir:

p1(t) + [p2(t) + p3(t)] = (t – 2)q1(t) + [(t – 2)q2(t) + (t – 2)q3(t)]

= (t – 2)q1(t) + (t – 2)q2(t) + (t – 2)q3(t)

= [(t – 2)q1(t) + (t – 2)q2(t)] + (t – 2)q3(t)

= [p1(t) + p2(t)] + p3(t).

4.- Existe un único elemento p en S, denominado vector cero de S, tal que se

cumple que p + p = p + p = p para todo p en S. Es decir:

p(t) + p(t) = p(t) + (t – 2)q(t) = (t – 2)q(t) + p(t) = (t – 2)q(t) = p(t).

5.- Para todo p en S existe un elemento –p en S, denominado opuesto de p, tal

que se cumple p + (-p) = (-p) + p = p. Es decir:

p(t) + [-p(t)] = (t – 2)q(t) + [- (t – 2)q(t)]

= (t – 2)q(t) - (t – 2)q(t)

= (t – 2)[q(t) - q(t)]

= (t – 2)p(t) = p(t).

6.- Si es cualquier escalar y p es cualquier elemento en S, entonces p está en

S. Es decir:

p(t) = [(t – 2)q(t)] = (t – 2)q(t) = (t – 2)h(t) S.

7.- Si p1, p2 están en S y es un escalar, entonces (p1 + p2) = p1 + p2. Es

decir:

[p1(t) + p2(t)] = [(t – 2)q1(t) + (t – 2)q2(t)]

= (t – 2)q1(t) + (t – 2)q2(t)

= p1(t) + p2(t).

8.- Si p está en S y , son escalares, entonces ( + )p = p + p. Es decir:

( + )p(t) = ( + )[(t – 2)q(t)] = (t – 2)q(t) + (t – 2)q(t) = p(t) + p(t).

9.- Si p está en S y , son escalares, entonces (p) = ()p. Es decir:


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[p(t)] = [(t – 2)q(t)] = (t – 2)q(t) = ()(t – 2)q(t) = ()p(t).

10.- Si p está en S y 1 es un escalar, 1p = p. Es decir:

1p(t) = 1(t – 2)q(t) = (t – 2)q(t) = p(t).


EJEMPLO 5.1.3


a.- Todas las f en C2[0; 1] tales que f ´´(x) = x

2f(x);

b.- Todas las f en C(-1; 1), tales que f es monótona y estrictamente creciente.

SOLUCION

a.- En este caso tenemos que S = {f F / f ´´(x) = x2f(x)}. A continuación

comprobamos los 10 axiomas de la definición de espacio vectorial:

1.- Si f1, f2 están en S, entonces f1 + f2 están en S. Es decir:

(f1 + f2)´´(x) = f1´´(x) + f2´´(x) = x2f1(x) + x

2f2(x) = x

2[f1 + f2](x) = x

2g(x) S.

2.- Si f1, f2 están en S, entonces f1 + f2 = f2 + f1. Es decir:

(f1 + f2)´´(x) = f1´´(x) + f2´´(x) = x2f1(x) + x

2f2(x) = x

2[f1 + f2](x) = x

2[f2 + f1](x)

= x2f2(x) + x

2f1(x) = (f2 + f1)´´(x).

3.- Si f1, f2, f3 están en S, entonces f1 + (f2 + f3) = (f1 + f2) + f3. Es decir:

[f1 + (f2 + f3)]´´(x) = f1´´(x) + (f2 + f3)´´(x) = x2f1(x) + x

2(f2 + f3)(x)

= x2f1(x) + x

2f2(x) + x

2f3(x) = x

2(f1 + f2)(x) + x

2f3(x)

= (f1 + f2)´´(x) + f3´´(x) = [(f1 + f2) + f3]´´(x).

4.- Existe un único elemento f en S, denominado función cero de F, tal que se

cumple que f + f = f + f = f para toda f en S. Es decir:

[f + f]´´(x) = f ´´(x) + f ´´(x) = + x2f(x) = x

2f(x) + = x

2f(x) = f ´´(x).

5.- Para todo f en S existe un elemento –f en S, denominado opuesto de f, tal que

se cumple f + (-f) = (-f) + f = f. Es decir:

[f + (-f)]´´(x) = f ´´(x) – f ´´(x) = x2f(x) - x

2f(x) = x

2(f – f)(x) = x

2f(x) = f ´´(x).

6.- Si es cualquier escalar y f es cualquier elemento en S, entonces f está en

S. Es decir:

(f)´´(x) = f ´´(x) = [x2f(x)] = x

2[f(x)] = x

2g(x) S.

7.- Si f1, f2 están en S y es un escalar, entonces (f1 + f2) = f1 + f2. Es decir:

(f1 + f2)´´(x) = f1´´(x) + f2´´(x) = [x2f1(x)] + [x

2f2(x)]

= x2f1(x) + x

2f2(x) = f1´´(x) + f2´´(x).

8.- Si f está en S y , son escalares, entonces ( + )f = f + f. Es decir:

( + )f ´´(t) = ( + )x2f(x) = x

2f(x) + x

2f(x) = f ´´(x) + f ´´(x).

9.- Si f está en S y , son escalares, entonces (f) = ()f. Es decir:

(f)´´(x) = [f ´´(x)] = [x2f(x)] = x

2f(x) = ()x

2f(x) = ()f ´´(x).

10.- Si f está en S y 1 es un escalar, 1f = f. Es decir:

1f ´´(x) = 1x2f(x) = x

2f(x) = f ´´(x).


b.- En este caso tenemos que S = {f / f ´(x) > 0}. A continuación comprobamos

los 10 axiomas de la definición de espacio vectorial:


(f1 + f2)´(x) = f1´(x) + f2´(x) > 0 + 0 = 0 S.


(f1 + f2)´(x) = f1´(x) + f2´(x) > 0 + 0 = f2´(x) + f1´ = (f2 + f1)´(x).


[f1 + (f2 + f3)]´(x) = f1´(x) + (f2 + f3)´(x) > 0 + (0 + 0) = (0 + 0) + 0

= (f1 + f2)´(x) + f3´(x) = [(f1 + f2) + f3]´(x).

4.- Existe un único elemento f en S, denominado función cero de S, tal que se


(f + f)´(x) = f ´(x) + f ´(x).

Como la primera derivada de la función nula es igual a cero, entonces la función nula

no pertenece al conjunto S. Entonces, S no tiene estructura de espacio vectorial.


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EJEMPLO 5.1.4


a.- El conjunto de las funciones diferenciables en [a; b];

b.- El conjunto de todas las funciones con derivada segunda en [0; 1].

SOLUCION

a.- En este caso tenemos que 0

( ) ( )/ (́ ) lim ,

h

f x h f xf f x a x b

h

S F .



1 2 1 21 2

0

( )( ) ( )( )( ) (́ ) lim

h

f f x h f f xf f x

h

1 1 2 2

0

[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]limh

f x h f x f x h f x

h

1 1 2 2

0 0

( ) ( ) ( ) ( )lim limh h

f x h f x f x h f x

h h

1 2(́ ) (́ )f x f x S.


1 2 1 21 2

0

( )( ) ( )( )( ) (́ ) lim

h

f f x h f f xf f x

h

1 1 2 2

0

[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]limh

f x h f x f x h f x

h

2 2 1 1

0

[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]limh

f x h f x f x h f x

h

2 1 2 1

0

( )( ) ( )( )limh

f f x h f f x

h

2 1 2 1( ) (́ ) ( ) (́ )f f x f f x .


1 2 3 1 2 31 2 3

0

[ ( )]( ) [ ( )]( )[ ( )] (́ ) lim

h

f f f x h f f f xf f f x

h

1 1 2 3 2 3

0

[ ( ) ( )] [( )( ) ( )( )]limh

f x h f x f f x h f f x

h

1 1 2 2 3 3

0

[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]limh

f x h f x f x h f x f x h f x

h

1 2 1 2 3 3

0

[( )( ) ( )( )] [ ( ) ( )]limh

f f x h f f x f x h f x

h

1 2 3 1 2 3

0

[( ) ]( ) [( ) ]( )limh

f f f x h f f f x

h

1 2 3[( ) ] (́ )f f f x .



0

( )( ) ( )( )( ) (́ ) lim

f f

fh

f x h f xf x

h

0

[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]lim

f f

h

x h x f x h f x

h

0 0

( ) ( ) ( ) ( )lim lim

f f

h h

x h x f x h f x

h h

0 (́ ) (́ )f x f x .




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192

0

[ ( )]( ) [ ( )]( )[ ( )] (́ ) lim

h

f f x h f f xf f x

h

0

( )( ) ( )( )limh

f f x h f f x

h

(́ )0

( ) ( )lim

f f

f xh

x h x

h


S. Es decir:

0 0

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) (́ ) lim lim (́ )

h h

f x h f x f x h f xf x f x

h h

S.


1 2 1 21 2

0

[ ( )]( ) [ ( )]( )[ ( )] (́ ) lim

h

f f x h f f xf f x

h

1 2 1 2

0

( )( ) ( )( )limh

f f x h f f x

h

1 1 2 2

0

[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]limh

f x h f x f x h f x

h

1 1 2 2

0 0

( ) ( ) ( ) ( )lim limh h

f x h f x f x h f x

h h

1 2(́ ) (́ )f x f x .


0

[( ) ]( ) [( ) ]( )[( ) ] (́ ) lim

h

f x h f xf x

h

0

( )( ) ( )( )limh

f f x h f f x

h

0

[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]limh

f x h f x f x h f x

h

0 0

( ) ( ) ( ) ( )lim limh h

f x h f x f x h f x

h h

(́ ) (́ )f x f x .


0 0

[ ( )]( ) [ ( )]( ) [( )( ) ( )( )][ ( )] (́ ) lim lim

h h

f x h f x f x h f xf x

h h

0 0

( )( ) ( )( ) ( ) ( )lim lim ( ) (́ )h h


h h

.


0 0

(1 )( ) (1 )( ) ( ) ( )(1 ) (́ ) lim lim (́ )

h h


h h

.

Como se prueban todos los axiomas, entonces S tiene estructura de espacio vectorial.

b.- En este caso tenemos que 0

(́ ) (́ )/ ´́ ( ) lim , 0 1

h

f x h f xf f x x

h

S F .



1 2 1 21 2

0

( ) (́ ) ( ) (́ )( )´́ ( ) lim

h

f f x h f f xf f x

h

1 1 2 2

0

[ (́ ) (́ )] [ (́ ) (́ )]limh

f x h f x f x h f x

h

1 1 2 21 2

0 0

(́ ) (́ ) (́ ) (́ )lim lim ´́ ( ) ´́ ( )h h


h h

S.



JOE GARCIA ARCOS

193

1 2 1 21 2

0

( ) (́ ) ( ) (́ )( )´́ ( ) lim

h

f f x h f f xf f x

h

1 1 2 2

0

[ (́ ) (́ )] [ (́ ) (́ )]limh

f x h f x f x h f x

h

2 2 1 1

0

[ (́ ) (́ )] [ (́ ) (́ )]limh

f x h f x f x h f x

h

2 1 2 1

0

( ) (́ ) ( ) (́ )limh

f f x h f f x

h

2 1( )´́ ( )f f x .


1 2 3 1 2 31 2 3

0

[ ( )] (́ ) [ ( )] (́ )[ ( )]´́ ( ) lim

h


h

1 1 2 3 2 3

0

[ (́ ) (́ )] [( ) (́ ) ( ) (́ )]limh

f x h f x f f x h f f x

h

1 1 2 2 3 3

0

[ (́ ) (́ )] [ (́ ) (́ )] [ (́ ) (́ )]limh

f x h f x f x h f x f x h f x

h

1 2 1 2 3 3

0

[( ) (́ ) ( ) (́ )] [ (́ ) (́ )]limh

f f x h f f x f x h f x

h

1 2 3 1 2 31 2 3

0

[( ) ] (́ ) [( ) ] (́ )lim [( ) ]´́ ( )h


h

.



0

( ) (́ ) ( ) (́ )( ) (́ ) lim

f f

fh

f x h f xf x

h

0

[ (́ ) (́ )] [ (́ ) (́ )]lim

f f

h

x h x f x h f x

h

0 0

(́ ) (́ ) (́ ) (́ )lim lim

f f

h h

x h x f x h f x

h h

0 ´́ ( ) ´́ ( )f x f x .



0

[ ( )] (́ ) [ ( )] (́ )[ ( )]´́ ( ) lim

h

f f x h f f xf f x

h

0

( ) (́ ) ( ) (́ )limh

f f x h f f x

h

´́ ( )0

(́ ) (́ )lim

f f

f xh

x h x

h


S. Es decir:

0 0

( ) (́ ) ( ) (́ ) (́ ) (́ )( )´́ ( ) lim lim ´́ ( )

h h


h h

S.


1 2 1 21 2

0

[ ( )] (́ ) [ ( )] (́ )[ ( )]´́ ( ) lim

h

f f x h f f xf f x

h

1 2 1 2

0

( ) (́ ) ( ) (́ )limh

f f x h f f x

h

1 1 2 2

0

[ (́ ) (́ )] [ (́ ) (́ )]limh

f x h f x f x h f x

h


JOE GARCIA ARCOS

194

1 1 2 2

0 0

(́ ) (́ ) (́ ) (́ )lim limh h

f x h f x f x h f x

h h

1 2´́ ( ) ´́ ( )f x f x .


0

[( ) ] (́ ) [( ) ] (́ )[( ) ]´́ ( ) lim

h

f x h f xf x

h

0

( ) (́ ) ( ) (́ )limh

f f x h f f x

h

0

[ (́ ) (́ )] [ (́ ) (́ )]limh

f x h f x f x h f x

h

0 0

(́ ) (́ ) (́ ) (́ )lim limh h

f x h f x f x h f x

h h

´́ ( ) ´́ ( )f x f x .


0 0

[ ( )] (́ ) [ ( )] (́ ) [( ) (́ ) ( ) (́ )][ ( )]´́ ( ) lim lim

h h


h h

0 0

( ) (́ ) ( ) (́ ) (́ ) (́ )lim lim ( ) ´́ ( )h h


h h

.


0 0

(1 ) (́ ) (1 ) (́ ) (́ ) (́ )(1 )´́ ( ) lim lim ´́ ( )

h h


h h

.


EJEMPLO 5.1.5

Verifique que los conjuntos siguientes de funciones no son espacios vectoriales:

a.- El conjunto de todas las funciones f diferenciables en [0; 1] tales que f ´ = f – 1;

b.- El conjunto de todas las funciones f en [0; 2] con la propiedad que x f(x) en

0 x 2;

SOLUCION

a.- En este caso tenemos que S = {f F / f ´(x) = f(x) - 1, 0 x 1}. A



(f1 + f2)´(x) = f1´(x) + f2´(x) = [f1(x) – 1] + [f2(x) – 1] = (f1 + f2)(x) – 2 S.

Como no se cumple el primer axioma, entonces S no tiene estructura de espacio

vectorial.

b.- En este caso tenemos que S = {f F / f(x) x, 0 x 2}. A continuación



(f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x) f1(x) + f2(x) = x + x = 2x S.

Como no se cumple el primer axioma, entonces S no tiene estructura de espacio

vectorial.

EJEMPLO 5.1.6


a.- S consiste en todas las soluciones de y´´ - 8xy = 0, con la suma de funciones y la

multiplicación de una función por un escalar usuales;

b.- V consta de todas las funciones reales y continuas definidas en [0; 1] tales que 1

0( ) 0f x dx , con la suma de funciones y la multiplicación de una función por un

escalar usuales.

SOLUCION

a.- En este caso tenemos que S = {y F / y´´ - 8xy = 0}. A continuación


JOE GARCIA ARCOS

195


1.- Si y1, y2 están en S, entonces y1 + y2 están en S. Es decir:

(y1 + y2)´´ – 8x(y1 + y2) = y1´´ + y2´´ – 8xy1 – 8xy2 = (y1´´ – 8xy1) + (y2´´ – 8xy2)

= 0 + 0 = 0 S.

2.- Si y1, y2 están en S, entonces y1 + y2 = y2 + y1. Es decir:

(y1 + y2)´´ – 8x(y1 + y2) = y1´´ + y2´´ – 8xy1 – 8xy2 = (y1´´ – 8xy1) + (y2´´ – 8xy2)

= (y2´´ – 8xy2) + (y1´´ – 8xy1) = (y2 + y1)´´ – 8x(y2 + y1).

3.- Si y1, y2, y3 están en S, entonces y1 + (y2 + y3) = (y1 + y2) + y3. Es decir:

[y1 + (y2 + y3)]´´ – 8x[y1 + (y2 + y3)] = y1´´ + (y2 + y3)´´ – 8xy1 – 8x(y2 + y3)

= y1´´ + y2´´ + y3´´ – 8xy1 – 8xy2 - 8xy3

= (y1 + y2)´´ + y3´´ – 8x(y1 + y2) – 8xy3

= [(y1 + y2) + y3)]´´ – 8x[(y1 + y2) + y3].

4.- Existe un único elemento y en S, denominado función cero de S, tal que se

cumple que y + y = y + y = y para toda y en S. Es decir:

(y + y)´´(x) – 8x(y + y) = y´´(x) + y´´(x) – 8xy – 8xy = y´´(x) – 8xy = 0.

5.- Para todo y en S existe un elemento –y en S, denominado opuesto de y, tal

que se cumple y + (-y) = (-y) + y = y. Es decir:

[y + (-y)]´´ – 8x[y + (-y)] = y ´´ – y´´ – 8xy + 8xy = y´´ - 8xy = 0.

6.- Si es cualquier escalar y y es cualquier elemento en S, entonces y está en

S. Es decir:

(y´´ – 8xy) = y´´ - 8xy = (y)´´ - 8x(y) = z´´ - 8xz = 0 S.

7.- Si y1, y2 están en S y es un escalar, entonces (y1 + y2) = y1 + y2. Es

decir:

[(y1 + y2)]´´ - 8x(y1 + y2) = (y1 + y2)´´ - 8x(y1 + y2)

= y1´´ + y2´´ - 8xy1 - 8xy2

= (y1´´ - 8xy1) + (y2´´ - 8xy2)

= (y1´´ - 8xy1) + (y2´´ - 8xy2)

8.- Si y está en S y , son escalares, entonces ( + )y = y + y. Es decir:

( + )(y´´ - 8xy) = ( + )y´´ - 8( + )xy = y´´ + y´´ - 8xy - 8xy

= (y´´ - 8xy) + (y´´ - 8xy) = (y´´ - 8xy) + (y´´ - 8xy).

9.- Si y está en S y , son escalares, entonces (y) = ()y. Es decir:

[(y´´ - 8xy)] = (y´´ - 8xy) = y´´ - 8xy = ()(y´´ - 8xy).

10.- Si y está en S y 1 es un escalar, 1y = y. Es decir:

1(y´´ - 8xy) = 1y´´ - 18xy) = y´´ - 8xy.

Como se prueban todos los axiomas, entonces S tiene estructura de espacio vectorial.

b.- En este caso tenemos que 1

0/ ( ) 0, 0 1f f x dx x V F . A


1.- Si f1, f2 están en V, entonces f1 + f2 están en V. Es decir: 1 1 1

1 2 1 20 0 0( )( ) ( ) ( ) 0 0 0f f x dx f x dx f x dx S.

2.- Si f1, f2 están en V, entonces f1 + f2 = f2 + f1. Es decir: 1 1 1 1 1

1 2 1 2 2 10 0 0 0 0( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0f f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

3.- Si f1, f2, f3 están en V, entonces f1 + (f2 + f3) = (f1 + f2) + f3. Es decir:

1 1 1

1 2 3 1 2 30 0 0[ ( )]( ) ( ) ( )( )f f f x dx f x dx f f x dx

1 1 1

1 2 30 0 0( ) ( ) ( )f x dx f x dx f x dx

1 1

1 2 30 0( )( ) ( )f f x dx f x dx

1

1 2 30[( ) ]( )f f f x dx .


JOE GARCIA ARCOS

196

4.- Existe un único elemento f en V, denominado función cero de V, tal que se

cumple que f + f = f + f = f para toda f en V. Es decir: 1 1 1 1 1

( ) ( )0 0 0 0 0( )( ) ( ) ( ) 0 0 0f f x f xf x dx dx f x dx f x dx dx

.

5.- Para todo f en V existe un elemento –f en V, denominado opuesto de f, tal

que se cumple f + (-f) = (-f) + f = f. Es decir:

1 1 1

0 0 0[ ( )]( ) ( ) ( )( )f f x dx f x dx f x dx

1 1

0 0( ) ( ) 0 0 0f x dx f x dx .

6.- Si es cualquier escalar y f es cualquier elemento en V, entonces f está en

V. Es decir: 1 1 1

0 0 0( )( ) ( ) ( ) 0 0f x dx f x dx f x dx S

7.- Si f1, f2 están en V y es un escalar, entonces (f1 + f2) = f1 + f2. Es decir: 1 1 1 1

1 2 1 2 1 20 0 0 0[ ( )]( ) ( )]( ) ( ) ( )f f x dx f f x dx f x dx f x dx

1 1

1 20 0( ) ( ) 0 0 0f x dx f x dx

8.- Si f está en V y , son escalares, entonces ( + )f = f + f. Es decir: 1 1 1 1

0 0 0 0[( ) ]( ) ( )( ) ( ) ( )f x dx f f x dx f x dx f x dx

1 1

0 0( ) ( ) 0 0 0f x dx f x dx

9.- Si f está en V y , son escalares, entonces (f) = ()f. Es decir: 1 1 1 1

0 0 0 0( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0 0f x dx f x dx f x dx f x dx .

10.- Si f está en V y 1 es un escalar, 1f = f. Es decir:

1 1 1

0 0 0(1 )( ) 1 ( ) ( ) 0f x dx f x dx f x dx .

Como se prueban todos los axiomas, entonces S es espacio vectorial.

PROBLEMAS

5.1.1 Demuéstrese que el conjunto compuesto solamente

por el número 0 es un espacio vectorial, con las reglas

habituales de la adición y la multiplicación de números.

5.1.2 Sea Pm el conjunto de todos los polinomios con

coeficientes reales y de grado m. Demuestre que Pm es

un espacio vectorial, con la suma de polinomios y la

multiplicación de un polinomio por un escalar usuales.

5.1.3 V consta de todas las funciones reales y continuas

definidas en 0; 1 tales que f(1) =1, con la suma de fun-

ciones y la multiplicación de una función por un escalar

usuales. Muestre que V no es un espacio vectorial.

5.1.4 m consiste en todos los polinomios con coefi-

cientes reales. Demuestre que m es un espacio vecto-

rial, con la suma de polinomios y la multiplicación de un

polinomio por un escalar usuales.

5.1.5 Sea n un entero positivo. Sea n el conjunto de

todos los polinomios con coeficientes reales y de grado

n, con la suma de polinomios y la multiplicación de un

polinomio por un escalar usuales. Demuestre que n no

es un espacio vectorial. ¿Qué condiciones de la defini-

ción fallan?

5.1.6 Demuéstrese que cada uno de los conjuntos si-

guientes de funciones es un espacio vectorial:

a.- Todos los polinomios a0 + a1x2 + … + akx

2k que no

contienen términos de grado impar.

b.- Todas las funciones continuas en 0; 1 que tienen

un cero en 1.

c.- Todas las funciones definidas en 0; 1 cuyos límites

existen cuando x 0+.

d.- Todas las combinaciones lineales de Cosx, Cos2x,

Cos3x, con dominio - < x < + .


JOE GARCIA ARCOS

197

e.- El conjunto de los polinomios reales que tienen a i

como ceros.

f.- El conjunto de los polinomios reales que son divisi-

bles entre x2 + x + 1.

g.- El conjunto de todas las funciones en 0; 10 que

valen cero en 2; 3.

h.- El conjunto de todas las funciones f en 0; 1 con

derivada tercera en ese intervalo y tales que f ´´´- xf ´ +

(Senx)f = 0.

i.- El conjunto de todas las funciones que tienen deriva-

da segunda en todos los valores reales y la propiedad de

que f ´´(x) = 0.

j.- El conjunto de todas las funciones racionales cuyo

denominador es x2 + x + 1.

k.- El conjunto de todos los polinomios tales que p(0) =

p(1).

l.- El conjunto de todas las funciones escalonadas en

0; 3.

5.1.7 V consiste en todos los (a, b), donde a y b son

números reales. Definimos la suma en V por

(a, b) + (c, d) = (2a + 2c, b + d)

y definimos la multiplicación por un escalar por

( , ) ,2 2

ka kbk a b

¿Es V un espacio vectorial con estas operaciones?

5.1.8 Determine cuáles de los sistemas son espacios

vectoriales:

a.- V es el conjunto de todos los pares ordenados (x, y)

de números reales. La suma se define como (x, y) + (u, v)

= (x + 3u, y – v), y la multiplicación escalar como (x, y)

= (x, y).

b.- El conjunto V del literal a). La suma definida como

(x, y) + (u, v) = (x + u, y + v), y la multiplicación escalar

como (x, y) = (-x, y).

c.- El conjunto V del literal a). La suma definida como

(x, y) + (u, v) = (x – u, y – v), y la multiplicación escalar

como (x, y) = (-x, -y).

d.- El conjunto V del literal a). La suma definida como

(x, y) + (u, v) = (u, v), y la multiplicación escalar como

(x, y) = (x, y).

5.1.9 Demostrar que cada uno de los siguientes conjun-

tos constituye un espacio vectorial:

a.- El conjunto de todos los vectores cuya segunda com-

ponente es cero;

b.- El conjunto de todos los vectores de la forma (i + 2j

– k), donde es un escalar;

c.- El conjunto de todos los vectores de la forma (i – k)

+ j, donde , son escalares;

d.- El conjunto de todos los números reales;

e.- Todas las funciones de la forma f(x) = Cosx +

Senx, donde , son números, con la forma usual de

adición y multiplicación por números;

f.- El conjunto de todos los polinomios cuadráticos,

lineales y constantes en x, con la adición y multiplica-

ción usuales.

5.1.10 De los conjuntos de funciones que se dan a con-

tinuación, todas definidas en 0 < x < , cuáles constitu-

yen una espacio vectorial?:

a.- Todas las funciones cuyos límites existen cuando

x .

b.- Todas las funciones cuyos límites existen cuando

x 0+.

c.- Todas las funciones con límite 0 cuando x .

d.- Todas las funciones con límite 0 cuando x 0+.

e.- Todas las funciones con límite cuando x .

f.- Todas las funciones con límite - cuando x 0+.

5.1.11 Considérense sucesiones infinitas sn, tn, …,

n = 1, 2, …, con la adición y la multiplicación definidas

de la siguiente manera:

sn + tn = sn + tn y csn = csn

a.- Hágase ver que las sucesiones reales convergentes

forman un espacio vectorial e interprétese ese espacio

vectorial como espacio de funciones.

b.- Verifíquese que el conjunto de todas las sucesiones

complejas forma un espacio vectorial. ¿Se le puede

interpretar como espacio vectorial de funciones?

5.1.12 V consiste en todas las funciones reales y conti-

nuas definidas en 0; 1 tales que f(1) = 0, con la suma

de funciones y la multiplicación de una función por un

escalar usuales. Demuestre que V es un espacio vecto-

rial.

5.1.13 En los conjuntos siguientes, investíguese si son

espacios vectoriales:

a.- Todas las funciones f en 0; 1 tales que f ´(x) > 0

en 0; 1.

b.- Todas las funciones f en 0; 1 tales que se puede

expresar f como g – h, donde g y h son monótonas y

estrictamente crecientes.

c.- Todas las funciones f en 0; 1 tales que f ´´(x) =

Senx.

d.- Todas las funciones f en 0; 1 tales que f ´´(x) +

Senx f ´(x) = 0.

e.- V es el conjunto de todas las matrices de 2 x 2 con

componentes reales. La suma es la suma habitual de

matrices y la multiplicación escalar está definida por

0

0

a b a

c d b

.

f.- El conjunto V del literal e). La suma definida por

a b e f a b

c d g h c d

y la multiplicación escalar es la habitual.

g.- El conjunto V del literal e). La suma definida como


JOE GARCIA ARCOS

198

a b e f e f

c d g h g h

y la multiplicación escalar definida por

0 0

0

a b

c d d

.

h.- El conjunto V del literal e). La suma definida por

0

0

a b e f b f

c d g h c g

y la multiplicación escalar por

a b a b

c d c d

.

5.1.14 Determine si el conjunto dado, junto con las

operaciones indicadas, es un espacio vectorial. En caso

negativo, indique que axiomas no se cumplen:

a.- El conjunto de todas las matrices singulares de n x n

con las operaciones normales;

b.- El conjunto de todas las matrices no singulares de n x

n con las operaciones normales;

c.- El conjunto de todas las matrices diagonales de n x n

con las operaciones normales.

5.1.15 Determine si el conjunto dado, junto con las

operaciones indicadas, es un espacio vectorial. En caso

negativo, indique que axiomas no se cumplen:

a.- Todas las funciones escalonadas definidas en [0; 1];

b.- Todas las funciones con período 2;

c.- Todas las f integrable en [0; 1] con 1

0( ) 0f x dx ;

d.- Todos los polinomios de Taylor de grado n para un

n fijo (incluyendo el polinomio cero);

e.- Todas las soluciones de una ecuación diferencial

lineal homogénea de segundo orden y´´ + P(x)y´ + Q(x)y

= 0, siendo P y Q funciones dadas, continuas para todo x;

f.- Todas las sucesiones reales acotadas;

g.- Todas las sucesiones reales convergentes;

h.- Todas las gentes;

i.- Todas las series reales convergentes.

5.1.16 Demuestre que los números reales pueden

considerarse como un espacio vectorial sobre los

números racionales.

5.1.17 Demuestre que los números complejos se pueden

considerar como un espacio vectorial sobre los números

reales.

5.1.18 Sean V y W espacios vectoriales. Sea U el con-

junto de todos los pares ordenados (v, w), donde v está

en V y w está en W. Definamos por analogía con V2 la

adición y la multiplicación por escalares en U. Verifí-

quense que el sistema que se obtiene es un espacio vecto-

rial. Es habitual denotar a U con el símbolo V x W.

5.1.19 Demuéstrese que con las reglas habituales de la

adición y la multiplicación por escalares, los conjuntos

siguientes de funciones son espacios vectoriales:

a.- El conjunto de las funciones diferenciables en a; b.

b.- El conjunto de todas las funciones con derivada

segunda en 0; 1.

c.- El conjunto de las funciones definidas en 0; 2 que

tienen ceros en 0, 1 y 2.

5.1.20 Considérense todas las sucesiones infinitas con

índices que empiezan desde 1. Demuéstrese que cada

uno de los conjuntos siguientes constituye un espacio

vectorial de funciones:

a.- Todas las sucesiones infinitas.

b.- Todas las sucesiones convergentes.

c.- Todas las sucesiones con límite 0.

d.- Todas las sucesiones que están acotadas superior e

inferiormente.

5.1.21 Verifíquese que los conjuntos siguientes de

funciones no son espacios vectoriales:

a.- El conjunto de todas las funciones diferenciables en

0; 1 cuya derivada es 3x2.

b.- El conjunto de todas las funciones diferenciables f en

0; 1 tales que f ´ = f – 1.

c.- El conjunto de todas las funciones f en 0; 2 con la

propiedad de que ( )x f x en 0 x 2.

d.- El conjunto de todas las funciones f en 0; 2 tales

que f(1) = 1.

5.1.22 Demuéstrese que cada uno de los conjuntos

siguientes es espacio vectorial de funciones:

a.- Todas las funciones f en 0; 1 con derivadas conti-

nuas de primero, segundo y tercer órdenes.

b.- Todas las funciones f en 0; 1 con la propiedad de

que f ´´ + f = 0.

c.- Todas las funciones f en 0; 1 tales que f ´´ - 4f = 0.

d.- El conjunto de todas las funciones continuas por

tramos en 0; 3.

e.- El conjunto de todas las funciones representables

como suma de una serie convergente de potencias n

na x en (-1; 1).

5.1.23 Demuéstrese que cada uno de los conjuntos

siguientes de funciones no es un espacio vectorial:

a.- Todas las funciones f definidas y no negativas: f(x)

0 para todo x, en un intervalo dado.

b.- Todas las funciones definidas y no continuas en un

intervalo dado.

c.- Todas las funciones que son continuas en 0; 1 y

cuyo valor en x = 1 es 1.

d.- Todas las funciones definidas que tienen un núme-

ro finito de ceros en 0; 1.


JOE GARCIA ARCOS

199

5.2 SUBESPACIOS VECTORIALES

En esta sección se estudiará con detalle los espacios vectoriales que estén contenidos en un espacio vectorial

más grande. Se enunciarán y demostrarán sus propiedades.

Con frecuencia, se tiene que un espacio vectorial está contenido en otro, y que la

adición y la multiplicación por escalares del primer espacio vectorial se llevan a

cabo de manera exactamente igual a la del segundo. Cuando esto es así, se dice

que el primer espacio vectorial es subespacio del segundo.

En términos generales, para demostrar que un conjunto U con la adición y la mul-

tiplicación escalar En términos generales, para demostrar que un forma un espacio

vectorial es necesario verificar los 10 axiomas de espacio vectorial. Sin embargo,

si U es parte de un conjunto más grande V del que se sabe es un espacio vectorial,

entonces no es necesario verificar ciertos axiomas para U porque son heredados de

V.

DEFINICION 5.2.1

Un subconjunto U de un espacio vectorial V se denomina subespacio de

V si U es un espacio vectorial bajo la adición y la multiplicación escalar

definidas sobre V.

Es importante tener en cuenta que para que un subconjunto no vacío U de un espa-

cio vectorial V sea un subespacio, el subconjunto y las operaciones de suma de

vectores y multiplicación por un escalar deben formar un sistema autocontenido.

Es decir, cualquier suma o multiplicación por un escalar efectuada con vectores

del subconjunto U siempre produce un vector que está en U. Si U es no vacío y

cerrado bajo la suma y multiplicación por un escalar, con seguridad constituye un

espacio vectorial por derecho propio. Por tanto, se ha llegado a un criterio eficien-

te para determinar si un subconjunto es un subespacio de un espacio vectorial.

TEOREMA 5.2.1

Si U es un conjunto formado por uno o más vectores de un espacio vecto-

rial V, entonces U es un subespacio de V si y sólo si se cumplen las con-

diciones siguientes:

1.- Si u, v son elementos de U, entonces u + v está en U.

2.- Si a es cualquier número y u es un elemento de U, entonces au está

en U.

DEMOSTRACION

Si U es un subespacio de V, entonces se cumplen todos los axiomas de espacio vecto-

rial; en particular, se cumplen los axiomas 1 y 6. Pero éstas son precisamente las

condiciones 1 y 2. Recíprocamente, supóngase que se cumplen las condiciones 1 y 2.

Como estas condiciones son los axiomas 1 y 6 de espacio vectorial, basta demostrar

que U satisface los ocho axiomas restantes. Los vectores de U cumplen automática-

mente los axiomas 2, 3, 7, 8, 9 y 10, ya que estos axiomas se cumplen para todos los

vectores en V. En consecuencia, para completar la demostración, basta verificar que

los axiomas 4 y 5 se cumplen para vectores en U. Sea u cualquier vector de U. Por la

condición 2, au está en U para cualquier escalar a. Haciendo a = 0, se concluye que

0u = está en U, y haciendo a = -1 se concluye que (-1)u = -u está en U.

Se dice que un conjunto U formado por uno o más vectores de un espacio vectorial

V es cerrado bajo la adición si se cumple la condición 1 del teorema anterior, y

cerrado bajo la multiplicación escalar si se cumple la condición 2. Así, de esta

manera se establece que U es un subespacio de V si y sólo si U es cerrado bajo la

adición y cerrado bajo la multiplicación escalar.


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200

Si AX = B es un sistema de ecuaciones lineales, entonces todo vector que satisface

esta ecuación se denomina vector solución del sistema. El teorema siguiente mues-

tra que los vectores solución de un sistema lineal homogéneo forman un espacio

vectorial, que se denomina espacio solución del sistema.

TEOREMA 5.2.2

Si AX = es un sistema lineal homogéneo de m ecuaciones con n incóg-

nitas, entonces el conjunto de vectores solución es un subespacio de n.

DEMOSTRACION

Sea U el conjunto de vectores solución. En U existe por lo menos un vector, a

saber, . Para probar que U es cerrado bajo la adición y la multiplicación escalar,

es necesario demostrar que si X y Y son vectores solución cualesquiera y a es

cualquier escalar, entonces X + Y y aX también son vectores solución. Pero si X y

Y son vectores solución, entonces AX = y AY = . A partir de lo cual se dedu-

ce que

A(X + Y) = AX + AY = + = y A(aX) = aAX = a = .

Lo cual demuestra que X + Y y aX son vectores solución.

Dado un espacio vectorial V, siempre se le puede considerar como subespacio se

sí mismo. Por lo tanto, cada espacio vectorial V contiene siempre los subespacios

{} y V; a estos subespacios se les llama, por lo común, subespacios impropios

de V. Un subespacio de V distinto a uno de los subespacios impropios de V se le

llama subespacio propio de V.

Sea U un subespacio propio de 2. Entonces, U contiene un vector u distinto de

cero, y U contiene también a todos los múltiplos escalares de u. Si U contuviera un

vector v, que no fuera múltiplo escalar de u, entonces u, v serían linealmente inde-

pendientes, y U habría de contener a todos los vectores en R2 de la forma u + v,

donde , son escalares arbitrarios. Pero así se puede representar todo vector del

plano y, en consecuencia, U coincidiría con 2. Por lo tanto, no existe el tal vector

v, y U consta de los múltiplos escalares de u.

Por consiguiente, cada subespacio propio U de 2 corresponde a una recta que

pasa por el origen, en el plano.

Sea U un subespacio propio de 3. Entonces, U contiene un vector distinto de

cero, u = OQ y, en consecuencia, contiene a todos los múltiplos escalares u; es

decir, a todos los vectores OP, con P en la recta L que pasa por O y por Q. Esto

puede ser la totalidad de U. De no ser así, entonces U contiene un vector v = OR,

donde R no está en L. En consecuencia, U también contiene a todos los vectores

u = OP, de la forma OQ + OR. Puesto que y toman todos los valores reales,

P varía en un plano que pasa por O. Con esto, tal vez tengamos a todo U. De no

ser así, entonces en U hay un vector w = OS, donde S no está en . En consecuen-

cia, U contiene a todos los vectores u = OP de la forma OQ + OR + OS. Pero,

como S no está en , los puntos P van por todo el espacio tridimensional, y U

resulta ser la totalidad de 3. Pero, con esto, U ya no sería subespacio propio de

R3. Por lo tanto, sólo hay dos clases de subespacios propios de

3: los que corres-

ponden a rectas que pasan por O y los que corresponden a planos que pasan por O.

También se ve claramente que toda recta que pase por O y todo plano que pasa por

O corresponderán a subespacios propios U de 3.

EJEMPLO 5.2.1

El conjunto de funciones diferenciables f en [0; 1], con la propiedad de que

f ´ = f, es subespacio vectorial.


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201

SOLUCION

Se ve claramente que contiene a la función cero, de manera que es un conjunto

no vacío de funciones en [0; 1]. Si f y g están en , entonces f + g y f son funcio-

nes diferenciables en [0; 1], y

(f + g)´ = f ´ + g´ = f + g = (f + g), (f)´ = f ´ = (f) = (f).

En consecuencia, es cerrado bajo la adición y la multiplicación por escalares.

Por lo tanto, es subespacio vectorial.

EJEMPLO 5.2.2

Demostrar que el conjunto S = A M(n x n) / A = AT de las matrices simétricas,

forman un subespacio vectorial del espacio de las matrices cuadradas de orden n.

SOLUCION

Sean A = AT, B = B

T S. Entonces para escalares cualesquiera y tenemos:

(A + B)T = (A)

T + (B)

T = A

T + B

T = A + B S.

Si además S, entonces:

(A + B)T = ( + )

T =

T +

T = + = S.

Luego (A + B)T S, y por lo tanto S es un subespacio de M(n x n).

EJEMPLO 5.2.3

Sea el conjunto solución de un sistema no homogéneo AX = B, con las operaciones

usuales de adición de matrices y multiplicación por escalares. Demostrar que este

conjunto no es un subespacio vectorial.

SOLUCION

Supongamos que Y y Z son soluciones del sistema AX = B; es decir Y, Z n.

Entonces para escalares cualesquiera y , tenemos:

A(Y + Z) = A(Y) + A(Z) = (AY) + (AZ) = B + B = ( + )B B

Como (Y + Z) no es solución del sistema, entonces no es un subespacio vectorial

de n.

EJEMPLO 5.2.4

Determine si los siguientes subconjuntos son subespacios de 3. En caso afirmativo,

pruébelo, en caso contrario de una razón para la cual no sea un subespacio vectorial:

a.- S = {(a, b, c) / a + b – 3 = 2c}; b.- S = {(a, b, c) / a + b = 4c};

c.- S = {(a, b, c) / a, b, c 0}; d.- S = {(a, b, c) / a2 + b

2 + c

2 = 1}.

SOLUCION

a.- Está claro que S es vacío, puesto que el vector (0, 0, 0) S. Además el vector

más general de S es de la forma (-b + 2c + 3, b, c), donde b y c son números reales

cualesquiera. Sean los vectores (-x + 2y + 3, x, y) y (-u + 2v + 3, u, v) de S y sea k un

número real cualquiera. Entonces:

(-x + 2y + 3, x, y) + (-u + 2v + 3, u, v) = (-x – u + 2y + 2v + 6, x + u, y + v) S,

k(-x + 2y + 3, x, y) = (-kx + 2ky + 3k, kx, ky) S.

Lo que prueba que S no es un subespacio vectorial.

b.- Está claro que S es no vacío, puesto que el vector (0, 0, 0) S. Además el vector

más general de S es de la forma (-b + 4c, b, c), donde b y c son números reales

cualesquiera. Sean los vectores (-x + 4y, x, y) y (-u + 4v, u, v) de S y sea k un número

real cualquiera. Entonces:

(-x + 4y, x, y) + (-u + 4v, u, v) = (-x – u + 4y + 4v, x + u, y + v) S,

k(-x + 4y, x, y) = (-kx + 4ky, kx, ky) S.

Lo que prueba que S es un subespacio vectorial.

c.- Está claro que S es no vacío cuando a = b = c = 0, puesto que el vector (0, 0, 0)

S, pero cuando a, b, c > 0, S es vacío puesto que el vector (0, 0, 0) S. Lo que

prueba que S no es un subespacio vectorial.

d.- Está claro que S es vacío, puesto que el vector (0, 0, 0) S. Lo que prueba que S

no es un subespacio vectorial.


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202

EJEMPLO 5.2.5

Explique si cada uno de los siguientes subconjuntos del espacio vectorial 3 son

subespacios vectoriales de él:

a.- S = {p(x) / a + b = 0; b.- S = {p(x) / a = b = c = d};

c.- S = {p(x) / a = b = c = 0}; d.- S = {p(x) / p(-1) = p(1) = 0}.

SOLUCION

a.- Claramente se puede ver que S es no vacío, puesto que el polinomio 0x3 + 0x

2 +

0x + 0 S. Como S 3, entonces p(x) = ax3 + bx

2 + cx + d y como a = b, entonces

el polinomio más general de S es de la forma p(x) = bx3 + bx

2 + cx + d, donde b, c y d

son números reales cualesquiera. Sean los polinomios q(x) = x3 + x

2 + x + y

r(x) = mx3 + mx

2 + nx + s de S y sea k un número real cualquiera. Entonces:

q(x) + r(x) = ( + m)x3 + ( + m)x

2 + ( + n)x + ( + s) S,

kq(x) = k(x3 + x

2 + x + ) = kx

3 + kx

2 + kx + k S.


b.- Claramente se puede ver que S es no vacío, puesto que el polinomio 0x3 + 0x

2 +


2 + cx + d y como a = b = c = d,

entonces el polinomio más general de S es de la forma p(x) = dx3 + dx

2 + dx + d,

donde d es un número real cualesquiera. Sean los polinomios q(x) = x3 + x

2 + x +

y r(x) = x3 + x

2 + x + de S y sea k un número real cualquiera. Entonces:

q(x) + r(x) = ( + )x3 + ( + )x

2 + ( + )x + ( + ) S,

kq(x) = k(x3 + x

2 + x + ) = kx

3 + kx

2 + kx + k S.


c.- Claramente se puede ver que S es no vacío, puesto que el polinomio 0x3 + 0x

2 +


2 + cx + d y como a = b = c = 0,

entonces el polinomio más general de S es de la forma p(x) = 0x3 + 0x

2 + 0x + d,

donde d es un número real cualesquiera. Sean los polinomios q(x) = 0x3 + 0x

2 + 0x +

y r(x) = 0x3 + 0x

2 + 0x + de S y sea k un número real cualquiera. Entonces:

q(x) + r(x) = (0 + 0)x3 + (0 + 0)x

2 + (0 + 0)x + ( + )

= 0x3 + 0x

2 + 0x + ( + ) S,

kq(x) = k(0x3 + 0x

2 + 0x + ) = 0x

3 + 0x

2 + 0x + k S.


d.- Como S 3, entonces

p(x) = ax3 + bx

2 + cx + d y p(-1) = - a + b - c + d = 0, p(1) = a + b + c + d = 0.

Por lo tanto

0

0

a b c d

a b c d

Resolviendo este sistema, obtenemos lo siguiente:

1 1 1 1 0

1 1 1 1 0

1 1 1 1 0

0 2 0 2 0

1 1 1 1 0

0 1 0 1 0

1 0 1 0 0

0 1 0 1 0

donde a = -c y b = -d. El nuevo conjunto S = {p(x) / a = -c y b = -d}. Claramente se

puede ver que S es no vacío, puesto que el polinomio 0x3 + 0x

2 + 0x + 0 S.

Además el polinomio más general de S es de la forma p(x) = - cx3 - dx

2 + cx + d,

donde c y d son números reales cualesquiera. Sean los polinomios q(x) = - x3 - x

2

+ x + y r(x) = - mx3 - nx

2 + mx + n de S y sea k un número real cualquiera.

Entonces:

q(x) + r(x) = - ( + m)x3 – ( + n)x

2 + ( + m)x + ( + n) S,

kq(x) = k(- x3 - x

2 + x + ) = - kx

3 - kx

2 + kx + k S.


EJEMPLO 5.2.6

Sea 1 el plano en el espacio 3 dado por la ecuación a + 2b + c = 6. ¿Cuál es la

ecuación del plano 2 que pasa por el origen y es paralelo a 1? ¿Son 1 y 2

subespacios de 3?


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203

SOLUCION

Para que el plano 2 pase por el origen y sea paralelo al plano 1 es necesario y

suficiente que los coeficientes del plano 2 sean iguales a los de 1 y el término

independiente sea igual a cero; es decir 2 : a + 2b + c = 0. El plano 1 = {(a, b, c) / a

+ 2b + c = 6} no es un subespacio de 3 porque no contiene al elemento nulo

(0, 0, 0) 1. Para 2 = {(a, b, c) / a + 2b + c = 0}, está claro que 2 es no vacío,

puesto que el vector (0, 0, 0) 2. Además el vector más general de 2 es de la forma

(-2b – c, b, c), donde b y c son números reales cualesquiera. Sean los vectores

(-2x - y, x, y) y (-2u - v, u, v) de 2 y sea k un número real cualquiera. Entonces:

(-2x - y, x, y) + (-2u - v, u, v) = (-2x – 2u – y – v, x + u, y + v) S;

k(-2x - y, x, y) = (-2kx - ky, kx, ky) S.

Lo que prueba que 2 es un subespacio vectorial.

PROBLEMAS

5.2.1 Sea 5 el espacio vectorial y considere el conjunto

U de todos los polinomios de la forma (x3 + x)p(x),

donde p(x) está en 2. ¿U es un subespacio de 5?

5.2.2 Demuestre que los únicos subespacios de 2 son:

1. el propio 2;

2. el subespacio trivial que consiste únicamente del

vector cero (0, 0);

3. cualquier conjunto de vectores (x, y) representados por

flechas que están a lo largo de una recta que pase por el

origen.

Esto es, dada cualquier recta que pase por el origen,

todos los vectores de 2 que puedan representarse como

vectores a lo largo de esta recta constituyen un subespa-

cio de 2. Además, cualquier subespacio distinto de

2 y

del subespacio trivial consiste en vectores a lo largo de

una recta que pasa por el origen.

5.2.3 Demuestre que los únicos subespacios de 3 son

los siguientes:

1. el propio 3;

2. el subespacio trivial que consiste solamente del vector

cero (0, 0, 0);

3. todos los vectores paralelos a una recta dada que pasa

por el origen;

4. todos los vectores que están en un plano dado que

pasa por el origen.

5.2.4 En cada uno de los subconjuntos siguientes de

4, determínese si el subconjunto es un subespacio:

a.- W: todos los u = (a1, a2, a3, a4) tales que a1 = a2.

b.- U: todos los u tales que

a1 = a2 y a1 + a2 + a3 + a4 = 0.

c.- J: todos los u tales que a1 es racional.

d.- K: todos los u tales que a1 + a2 + a3 + a4 0.

e.- L: todos los u tales que 21 2x x .

f.- M: todos los u tales que, o bien a1 = a2, o bien

a3 = a4.

g.- N: todos los u tales que

1 2 3 4 0a a a a .

5.2.5 Determine cuándo el conjunto S de vectores de

n forman un subespacio de

n:

a.- S consta de todos los vectores de 5 de la forma

(x, y, z, x, x);

b.- S consta de todos los vectores de 4 de la forma

(x, 2x, 3x, y);

c.- S consta de todos los vectores de 6 de la forma

(x, 0, 0, 1, 0, y);

d.- S consta de todos los vectores de 3 de la forma

(0, x, y);

e.- S consta de todos los vectores de R4 de la forma

(x, y, x + y, x - y);

f.- S consta de todos los vectores de 7 con cero en la

tercera y quinta componentes;

g.- S consta de todos los vectores de 4 con la primera

y segunda componentes iguales;

h.- S consta de todos los vectores de 4 con la tercera

componente igual a 2;

i.- S consta de todos los vectores de 7 con la séptima

componente igual a la suma de las primeras seis compo-

nentes;

j.- S consta de todos los vectores de 8 con cero en la

primera, segunda y cuarta componentes y la tercera

componente igual a la sexta.

5.2.6 Sea U el espacio vectorial de todas las funciones

reales f en -1; 1. Determínese si cada uno de los con-

juntos siguientes es subespacio de U:

a.- U: el conjunto de todas las f tales que f(0) = 0.

b.- U: el conjunto de todas las f tales que f(x) = 0 en -1

x ½.

c.- U: el conjunto de todas las f tales que f es continua

en x = ½.

d.- U: el conjunto de todas las f tales que f(x) = f(-x) en

-1 x 1.


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204

e.- U: el conjunto de todas las f tales que f es monótona

y estrictamente creciente en -1; 1.

5.2.7 Demuéstrese: si a1, …, ak son escalares, no todos

0, y si W es el conjunto de todos los (u1, …, uk) con la

propiedad de que a1u1 + … + akuk = 0, entonces W es

subespacio de k, y W es espacio no trivial si k 2.

5.2.8 Sean U y W subespacios de un espacio vectorial

V. Hágase ver que, si U es subconjunto de W, entonces

U es subespacio de V.

5.2.9 Sea W subespacio de V y sea U subespacio de

W. Hágase ver que U es subespacio de V.

5.3 COMBINACIONES LINEALES Y SUBESPACIOS GENERADOS

En esta sección estudiaremos un conjunto de vectores S que genera un espacio vectorial dado si todo vector en

este espacio se puede expresar como una combinación lineal de los vectores de S. En general, puede haber

más de una forma de expresar un vector del espacio vectorial como una combinación lineal de vectores en un

conjunto generador.

Suponga que en el espacio vectorial V, definido sobre un cuerpo real o complejo,

se ha elegido un número determinado de vectores arbitrarios u1, u2, ..., uk que no

son necesariamente diferentes. Llamaremos a estos vectores sistema de vectores.

DEFINICION 5.3.1

Un sistema de vectores se denominará subsistema del segundo sistema,

si el primer sistema sólo contiene ciertos vectores del segundo y no con-

tiene ningún otro vector.

Sobre los vectores del sistema dado y los vectores obtenidos de los primeros se

realizarán las operaciones de adición y multiplicación por escalares. Está claro

que todo vector u de la forma u = a1u1 + a2u2 + ... + akuk donde a1, a2, ..., ak son

escalares, se obtiene de los vectores del sistema dado u1, u2, ..., uk con ayuda de

las operaciones citadas. Más aún, cualquiera que sea el orden en que se realicen

estas operaciones, obtendremos solamente los vectores del tipo antes mencionado.

DEFINICION 5.3.2

Un vector u se denomina combinación lineal de los vectores u1, u2, ..., uk

si se puede expresar en la forma u = a1u1 + a2u2 + ... + akuk donde a1, a2,

..., ak son escalares.

Si k = 1, entonces la ecuación de la definición precedente se reduce a u = a1u1; es

decir, u es una combinación lineal de un solo vector u1 si es un múltiplo escalar

de u1. Respecto del vector u suele decirse que se expresa linealmente en términos

de los vectores u1, u2, ..., uk. El segundo miembro de la expresión u = a1u1 + a2u2

+ ... + akuk se denomina combinación lineal de estos vectores y los números a1, a2,

..., ak son los coeficientes de la combinación lineal.

EJEMPLO 5.3.1

Está dado el sistema de polinomios p(t) = 1 - t2, q(t) = 1 + t

3, r(t) = t - t

3, s(t) = 1 + t +

t2 + t

3. Hallar las combinaciones lineales de los polinomios de ese sistema:

a.- 5p(t) + q(t) – 4r(t); b.- p(t) + 9q(t) – 4s(t).

Discutir los resultados obtenidos.

SOLUCION

a.- Para la combinación lineal 5p(t) + q(t) - 4r(t), obtenemos

5(1 - t2) + (1 + t

3) – 4(t - t

3) = 6 – 4t – 5t

2 + 5t

3.

b.- Para la combinación lineal p(t) + 9q(t) – 4s(t), obtenemos

(1 - t2) + 9(1 + t

3) – 4(1 + t + t

2 + t

3) = 6 – 4t - 5t

2 + 5t

3.

Podemos observar que tanto 5p(t) + q(t) - 4r(t), como p(t) + 9q(t) – 4s(t) tienen la

misma combinación lineal.


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205

EJEMPLO 5.3.2

a.- Verifíquese que el polinomio p(t) = t2 + 4t - 3 es una combinación lineal de los

polinomios q(t) = t2 - 2t + 5, r(t) = 2t

2 - 3t, s(t) = t + 3.

b.- Verifique si el vector v = (2, -5, 3) se puede expresar como combinación lineal

de los vectores v1 = (1, -3, 2), v2 = (2, -4, -1), v3 = (1, -5, 7).

SOLUCION

a.- Según la definición, debemos resolver p(t) = aq(t) + br(t) + cs(t). Es decir

t2 + 4t – 3 = a(t

2 - 2t + 5) + b(2t

2 – 3t) + c(t + 3)

Agrupando términos semejantes, obtenemos

t2 + 4t – 3 = (a + 2b)t

2 + (-2a - 3b + c)t + (5a + 3c)

Establecemos el sistema de ecuaciones y resolvemos

2 1

2 3 4

5 3 3

a b

a b c

a c

3

2

4

a

b

c

Por lo tanto

p(t) = - 3q(t) + 2r(t) + 4s(t).

b.- Según la definición, debemos resolver v = av1 + bv2 + cv3. Es decir

(2, -5, 3) = a(1, -3, 2) + b(2, -4, -1) + c(1, -5, 7)


(2, -5, 3) = (a + 2b + c, -3a – 4b – 5c, 2a – b + 7c)


2 2

3 4 5 5

2 7 3

a b c

a b c

a b c

.

Este sistema tiene un número indeterminado de soluciones. Por lo tanto el vector

v no se puede expresar como combinación lineal de los vectores v1, v2, v3.

EJEMPLO 5.3.3

Verifique si la matriz 3 1

1 1

A se puede expresar como combinación lineal de

las matrices 1 1

1 0

B , 0 0

1 1

C , 0 2

0 1

D ,

0 1

1 0

E .

SOLUCION

Según la definición, debemos resolver A = aB + bC + cD + dE. Es decir

3 1 1 1 0 0 0 2 0 1

1 1 1 0 1 1 0 1 1 0a b c d


3 1 2

1 1

a a c d

a b d b c


3

2 1

1

1

a

a c d

a b d

b c

3

2

1

0

a

b

c

d

Por lo tanto A = 3B - 2C – D.

EJEMPLO 5.3.4

Compruebe que el vector p(t) = t2 + 3t – 2 se puede expresar como combinación

lineal de los vectores q(t) = 3t2 + t - 4, r(t) = 2t – 5, s(t) = 2t

2 – 2t + 3.


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206

SOLUCION

Según la definición, debemos resolver p(t) = aq(t) + br(t) + cs(t). Es decir

t2 + 3t – 2 = a(3t

2 + t - 4) + b(2t – 5) + c(2t

2 – 2t + 3)


t2 + 3t – 2 = (3a + 2c)t

2 + (a + 2b – 2c)t + (- 4a - 5b + 3c)


3 2 1

2 2 3

4 5 3 2

a c

a b c

a b c

13/ 3

20 / 3

6

a

b

c

13 20

( ) ( ) ( ) 6 ( )3 3

p t q t r t s t .

% COMPRUEBA SI UN VECTOR ES COMBINACION LINEAL DE UN SISTEMA DE VECTORES S

clc;clear;

fprintf('\n COMBINACION LINEAL \n')

fil=input('Ingrese el numero de vectores: ');

col=input('Ingrese la dimension del vector: ');

%Ingreso de elementos

fprintf('\n Ingrese los vectores del sistema S\n')

for f=1:fil

fprintf('\n Ingrese el vector (%d)\n', f)

for c=1:col

fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',c,f)

S(c,f)=input(' :');

end

end

fprintf('\n El SISTEMA DE VECTORES S ES:\n')

S

fprintf('\n Ingrese el vector u \n')

%for f=1:col

for c=1:col

fprintf('Ingrese el elemento %d',c)

u(c,1)=input(' :');

end

fprintf('El VECTOR u es:\n')

u

end

fprintf('LA MATRIZ REDUCIDA ES:')

R1= rref(S);

R1

RangS=rank(S)

fprintf('\n LA MATRIZ AUMENTADA ES: \n',c);

A=[S,u];

A

R2= rref(A);

R2

RangA=rank(A)

end

if RangA==col-1

fprintf('El vector u si se expresa como combinacion lineal de S\n')

else

fprintf('El vector u no se puede expresar como combinacion lineal de S\n')

end

DEFINICION 5.3.3

Si S = {v1, v2, ..., vk} es un conjunto de vectores en un espacio vectorial

V, entonces el subespacio U de V que consta de todas las combinaciones

lineales de los vectores en S se denomina espacio generado por v1, v2, ...,

vk, y se dice que los vectores v1, v2, ..., vk generan a U. Para indicar que U

es el espacio generado por los vectores del conjunto S.

Fijemos el sistema de vectores u1, u2, ..., uk y dejemos que los coeficientes de las


JOE GARCIA ARCOS

207

combinaciones lineales tomen cualesquiera valores. En este caso quedará definido

cierto conjunto de vectores de V. Este conjunto lleva el nombre de subespacio

generado de los vectores u1, u2, ..., uk.

El interés hacia los subespacios generados se debe a dos circunstancias. En primer

lugar, si U es un subespacio de V que contiene a v1, v2, ..., vk, entonces U contiene

a todas las combinaciones lineales de esos vectores; es decir, U contiene a

Span{v1, v2, ..., vk}. Segundo, podemos decir que Span{v1, v2, ..., vk} es el menor

de los subespacios de V que contienen a los vectores v1, v2, ..., vk.

Si U es subespacio de V y si S es un subconjunto de V con la propiedad de que

Span(S) = U, decimos que S genera a U. Subconjuntos diferentes pueden generar

el mismo subespacio U. También podemos hablar del subespacio que genera un

subconjunto infinito S de V. En ese caso, Span(S) es el conjunto de todas las

combinaciones lineales de todos los subconjuntos finitos de S.

TEOREMA 5.3.1

Si v1, v2, ..., vk son vectores en un espacio vectorial V, entonces:

1.- El conjunto U de las combinaciones lineales de v1, v2, ..., vk es

subespacio de V;

2.- U es el menor subespacio de V que contiene a v1, v2, ..., vk, en el sen-

tido de que cualquier otro subespacio que contenga a v1, v2, ..., vk debe

contener a U.

DEMOSTRACION

1.- Para demostrar que U es un subespacio de V, es necesario probar que es ce-

rrado bajo la adición y la multiplicación escalar. En U existe por lo menos un

vector, a saber, , ya que

= 0v1 + 0v2 + ... + 0vk.

Si u y v son vectores en U, entonces

u = a1u1 + a2u2 + ... + akuk

y

v = b1u1 + b2u2 + ... + bkuk

donde a1, a2, ..., ak, b1, b2, ..., bk son escalares. Por consiguiente,

u + v = (a1 + b1)v1 + (a2 + b2)v2 + ... + (ak + bk)vk

y, para cualquier escalar a,

au = (aa1)v1 + (aa2)v2 + ... + (aak)vk.

Así, u + v y au son combinaciones lineales de v1, v2, ..., vk, y, en consecuencia,

están en U. Por tanto, U es cerrado bajo la adición y la multiplicación escalar.

2.- Cada vector vi es una combinación lineal de v1, v2, ..., vk, ya que es posible escri-

bir vi = 0v1 + 0v2 + ... + 0vk. Por consiguiente, en el subespacio U están todos y cada

uno de los vectores v1, v2, ..., vk. Sea W cualquier otro subespacio que contiene a v1,

v2, ..., vk. Como W es cerrado bajo la adición y la multiplicación escalar, debe conte-

ner todas las combinaciones lineales de v1, v2, ..., vk. Así, W contiene a cada vector de

U.

Ahora surgen unas preguntas: ¿En qué condiciones los subespacios generados de

dos sistemas diferentes de vectores consisten de los mismos vectores del espacio

inicial? ¿Qué número mínimo de vectores define un mismo subespacio vectorial?

¿Será el espacio vectorial inicial un subespacio generado de algunos de sus vecto-

res? Las respuestas a estas preguntas y otras las daremos más adelante.

Con este fin emplearemos en gran escala la noción de combinación lineal y, en

particular, la propiedad de su transitividad. A saber, si un cierto vector u es una

combinación lineal de los vectores v1, v2, ..., vk, y cada uno de ellos, a su turno, es

una combinación lineal de los vectores w1, w2, ..., wk, entonces el vector u también

puede ser representado como combinación lineal de los vectores w1, w2, ..., wr.


JOE GARCIA ARCOS

208

DEFINICION 5.3.4

Dos sistemas de vectores S = {v1, v2, ..., vk} y S´ = {w1, w2, ..., wk} de un

espacio vectorial V, se dicen equivalentes, cuando ambos engendran el

mismo subespacio.

Es evidente que, para el conjunto de los sistemas finitos de vectores de un espacio

vectorial, la equivalencia recién definida es una relación de equivalencia. De aquí

se desprende que si los subespacios generadores de dos sistemas de vectores coin-

ciden, entonces los sistemas son equivalentes. Así pues, los conjuntos generado-

res no son únicos.

TEOREMA 5.3.2

Si S = {v1, v2, ..., vk} y S´= {w1, w2, ..., wk} son dos conjuntos de vectores

en un espacio vectorial V, entonces Span(S) = Span(S´) si y sólo si todo

vector en S es una combinación lineal de los vectores en S´ y, recípro-

camente, todo vector en S´ es una combinación lineal de los vectores en

S.

DEMOSTRACION

Los sistemas S y S´ son equivalentes, es decir, si Span(S) = Span(S´), todo vector

de uno de estos subespacios, y en particular los vectores que le engendran

pertenecen al otro, es decir, depende linealmente de los vectores que engendran al

otro. Recíprocamente, si todos los vectores del sistema S dependen linealmente de

los del sistema S´, entonces, todo vector que depende linealmente de los vectores

de S también depende linealmente de los de S´, es decir Span(S) Span(S´), si

además, también los vectores de S´ dependen linealmente de los de S, se

verificará que Span(S´) Span(S).

EJEMPLO 5.3.5

Determine en caso de existir el subespacio generado por el conjunto de vectores

a.- S = {t2 + 3t – 1, 2t

2 + 1, 3t

2 + t – 1}; b.- S = {1- t

2, t – t

2, 2 – t – t

2}.

SOLUCION

a.- Dado at2 + bt + c un elemento de 2, debemos expresar este elemento como

combinación lineal de los elementos de S. Es decir

at2 + bt + c = (t

2 + 3t – 1) + (2t

2 + 1) + (3t

2 + t – 1)

Agrupando los términos comunes, obtenemos

at2 + bt + c = ( + + 3)t

2 + (3 + )t + (- + - )

Establecemos el sistema de ecuaciones


JOE GARCIA ARCOS

209

3

3

a

b

c

Resolvemos este sistema, utilizando el método de operaciones elementales

1 1 3

3 0 1

1 1 1

a

b

c

1 1 3

0 3 8 3

0 2 2

a

a b

a c

1 1 3

0 3 8 3

0 0 10 3 2 3

a

a b

a b c

Como el Rang(A) = 3, no existe subespacio generado por el conjunto S.

b.- Dado at2 + bt + c un elemento de 2, debemos expresar este elemento como


at2 + bt + c = (1 - t

2) + (t - t

2) + (2 – t - t

2).

Formamos el determinante de la matriz de coeficientes:

1 0 1

0 1 1 0

2 1 1

.

Como este determinante es igual cero, entonces procedemos a encontrar el subes-

pacio generado:

1 0 1

0 1 1

2 1 1

a

b

c

1 0 1

0 1 1

0 1 1 2

a

b

a c

1 0 1

0 1 1

0 0 0 2

a

b

a b c

.

En este caso, el subespacio generado tiene la siguiente forma:

Span(S) = {(a, b, c)/ 2a - b – c = 0}.

EJEMPLO 5.3.6

Hallar el menor subespacio de 3 en el que se encuentran los polinomios:

q(t) = 2t3 + 2t

2 - 2t, r(t) = t

3 + 2t

2 - t + 5, s(t) = t

3 + 2t

2 - 6t - 6.

SOLUCION

Como q(t) + r(t) + s(t) = p(t), entonces

(2t3 + 2t

2 - 2t) + (t

3 + 2t

2 - t + 5) + (t

3 + 2t

2 - 6t - 6) = at

3 + bt

2 + ct + d

2 1 1

2 2 2

2 1 6

0 5 6

a

b

c

d

2 1 1

0 1 1

0 0 5

0 5 6

a

a b

a c

d

2 1 1

0 1 1

0 0 5

0 0 11 5 5

a

a b

a c

a b d

2 1 1

0 1 1

0 0 5

0 0 0 14 25 11 5

a

a b

a c

a b c d

Por lo tanto, el subespacio mínimo es

Span{q(t), r(t), s(t) = Span{(a, b, c, d) / 14a - 25b – 11c + 5d = 0}.

EJEMPLO 5.3.7

Demuestre que el menor subespacio de 3 en el que se encuentran los vectores

v1 = (1, 0, -1), v2 = (0, 2, -2), v3 = (0, -2, 2) es el plano a + b + c = 0.

SOLUCION

El menor subespacio de 3 que contiene a v1, v2 y v3 es Span(S), donde:

Span(S) = Span{(a, b, c) = (1, 0, -1) + (0, 2, -2) + (0, -2, 2) / , , }

= Span{(a, b, c) = (, 2 - 2, - - 2 + 2) / , , }

Se desea describir este subespacio de 3 en otros términos. Obsérvese que de la


JOE GARCIA ARCOS

210

última expresión para Span(S) se obtiene

2 2

2 2

a

b

c

que puede interpretarse como un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas , , , el

cual se sabe que tiene solución. Al aplicar el método de eliminación Gaussiana a este

sistema se obtiene

1 0 0

0 2 2

1 2 2

a

b

c

1 0 0

0 2 2

0 2 2

a

b

a c

1 0 0

0 2 2

0 0 0

a

b

a b c

Entonces, el hecho de la existencia de soluciones del sistema es equivalente a que a

+ b + c = 0. Es decir, el vector v es una combinación lineal de v1, v2 y v3 si, y sólo si

a + b + c = 0. Por lo tanto, el subespacio Span{v1, v2, v3} puede ser escrito como:

Span{v1, v2, v3} = Span{(a, b, c) / a + b + c = 0},

lo cual es subespacio vectorial de 3 que representa geométricamente un plano que

pasa por el origen.

EJEMPLO 5.3.8

Demuestre que no existe subespacio propio de 3 en el que se encuentren los

vectores (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0).

SOLUCION

Span(S) = Span{(a, b, c) = (1, 1, 1) + (1, 1, 0) + (1, 0, 0) / , , }

= {( + + , + , ) / , , }

Se desea describir este subespacio de 3 en otros términos. Obsérvese que de la

última expresión para Span{v1, v2, v3} se obtiene

a

b

c

que puede interpretarse como un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas , , . Al

aplicar el método de eliminación Gaussiana a este sistema se obtiene

1 1 1

1 1 0

1 0 0

a

b

c

1 1 1

0 0 1

0 1 1

a

b a

c a

1 1 0

0 0 1

0 1 0

a b

b a

c b

Podemos ver que no existe condición restrictiva para que el vector v sea combinación

lineal de los vectores v1, v2, v3. Por lo tanto no existe subespacio propio de 3.

EJEMPLO 5.3.9

Hallar el menor subespacio del subespacio solución S del sistema de ecuaciones

homogéneo:

2 2 2 0

2 3 2 0

2 4 7 0

a b c d e

a b c d e

a b c d e

.

SOLUCION

Resolvemos el sistema de ecuaciones homogéneas:

1 2 2 2 1 0

1 2 1 3 2 0

2 4 7 1 1 0

1 2 2 2 1 0

0 0 1 1 1 0

0 0 3 3 1 0

1 2 2 2 1 0

0 0 1 1 1 0

0 0 0 0 2 0

Por lo tanto, el subespacio mínimo de S es

Span(S) = Span{(a, b, c, d, e) / a = - 2b – 4d, c = - d, e = 0}.


JOE GARCIA ARCOS

211

EJEMPLO 5.3.10

a.- Demuéstrese que si U es un subconjunto de V, entonces Span(U) es un

subespacio de V.

b.- Demostrar que Span(U) es el menor subespacio que contiene a U, si W es un

subespacio de V y si U W, entonces Span(U) W.

SOLUCION

a.- Sabemos por hipótesis que U V y que U Span(U). El Span(U) es el

subespacio generado por todas las combinaciones lineales de U, si U es subconjunto

de V, entonces sus elementos cumplen con los axiomas del espacio vectorial V. Por

lo tanto, el subespacio generado por U también cumple dichos axiomas, por lo cual

el Span(U) es un subespacio de V.

b.- Si U genera un subespacio, éste es el resultado de todas las combinaciones

lineales posibles a partir de U, si no se tomaran todas las combinaciones lineales

posibles para generar el Span(U), éste no heredaría los axiomas del espacio vectorial,

y por tanto solamente sería un conjunto contenido en el espacio vectorial. En

consecuencia, Span(U) es el menor subespacio de V que puede contener a U.

Además, si el conjunto U está contenido en un subespacio W del espacio vectorial V,

este subespacio W contiene al Span(U). En un caso muy particular, W puede ser

igual al Span(U), debido a que el Span(U) es el menor subespacio que puede ser

generado por el conjunto U en el espacio vectorial V.

EJEMPLO 5.3.11

Describir el subespacio generado por los sistemas de vectores siguientes:

a.- S = {(1, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 1)};

b.- S = {(1, 0, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1, 0), (0, 0, 1, 0, 0)};

c.- S = {(1, 0, 0, 0, -1), (0, 1, 0, 0, -1), (0, 0, 1, 0, -1), (0, 0, 0, 1, -1)}.

SOLUCION

a.- Dado (a, b, c, d, e) un elemento de 5, debemos expresar este elemento como


(a, b, c, d, e) = (1, 0, 0, 0, 0) + (0, 0, 1, 0, 0) + (0, 0, 0, 0, 1).

Formamos la matriz aumentada del sistema generado por la combinación lineal:

1 0 0

0 0 0

0 1 0

0 0 0

0 0 1

a

b

c

d

e

.


Span(S) = {(a, b, c, d, e) / b = d = 0}.

b.- Dado (a, b, c, d, e) un elemento de 5, debemos expresar este elemento co-

mo combinación lineal de los elementos de S. Es decir

(a, b, c, d, e) = (1, 0, 0, 0, 1) + (0, 1, 0, 1, 0) + (0, 0, 1, 0, 0).


1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 1 0

1 0 0

a

b

c

d

e

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 1 0

0 0 0

a

b

c

d

a e

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0

0 0 0

a

b

c

b d

a e

.


Span(S) = {(a, b, c, d, e) / b - d = 0, a – e = 0}.

c.- Dado (a, b, c, d, e) un elemento de 5, debemos expresar este elemento como


(a, b, c, d, e) = (1, 0, 0, 0, -1) + (0, 1, 0, 0, -1) + (0, 0, 1, 0, -1) +


JOE GARCIA ARCOS

212

+ (0, 0, 0, 1, -1)


1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 1 1 1

a

b

c

d

e

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 1 1 1

a

b

c

d

a e

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 1 1

a

b

c

d

a b e

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 1

a

b

c

d

a b c e

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

a

b

c

d

a b c d e

.


Span(S) = {(a, b, c, d, e) / a + b + c + d + e = 0}.

EJEMPLO 5.3.12

Demuéstrese que si V es el espacio de las funciones doblemente diferenciables

definidas en a t b y S es el conjunto de funciones Sent, Cost}, entonces Span(S)

es el espacio de las funciones que cumplen f ´´ = - f.

SOLUCION

Sabemos que S = {Sent, Cost}. Haciendo la combinación lineal obtenemos

f(t) = aSent + bCost

derivamos dos veces esta expresión

f ´(t) = aCost – bSent

f ´´(t) = - aSent – bCost = - (aSent + bCost) = - f(t)

Por lo tanto concluimos que

Span(S) = {f C2[a; b] / f ´´(t) = - f(t)}.

PROBLEMAS

5.3.1 Pruebe que S = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} es una

base, demostrando que Span(S) contiene a (1, 0, 0), (0, 1,

0) y (0, 0, 1). ¿Por qué basta esto?

5.3.2 Los números reales forman un espacio vectorial

sobre los racionales. Demuestre que {1, 2} y

{1 2,1 2} generan al mismo subespacio.

5.3.3 Encontrar la ecuación del plano generado por los

vectores u = (-1, 4, 5) y v = (6, -3, 2).

5.3.4 Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta

generada por el vector u = (5, -1, 4).

5.3.5 Sean S = {(1, 0, -2), (0, 3, 6), (-4, -2, 3)} y u = (4, 1,

-4) y sea W = Span(S):

a.- ¿Está u en S? ¿Cuántos vectores hay en S?;

b.- ¿Está u en W? ¿Cuántos vectores hay en W?

c.- Demuestre que (1, 0, -2) está en W.

5.3.6 Determine el menor subespacio de las matrices de 3

x 3 que contenga todas las matrices simétricas y todas las

matrices triangulares inferiores. ¿Cuál es el mayor

subespacio contenido en ambos subespacios?

5.3.7 Demuestre que los sistemas de vectores S1 = {(1, 6,

4), (2, 4, -1), (-1, 2, 5)} y S2 = {(1, -2, -5), (0, 8, 9)}

generan el mismo subespacio de 3.

5.4 INTERSECCION Y SUMA DE SUBESPACIOS. SUMA DIRECTA

En esta sección se estudiarán los subespacios intersección, suma y suma directa. Con el trabajo aquí realizado

se comprenderá mejor la relación que hay entre las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales y las pro-

piedades de su matriz de coeficientes.


JOE GARCIA ARCOS

213

Considere el espacio vectorial arbitrario V. Este espacio engendra el conjunto de

todos los subespacios suyos, El cual se representa por S. En este conjunto S se

pueden definir dos operaciones algebraicas que, a base de unos subespacios, per-

miten construir otros.

DEFINICION 5.4.1

Se denomina intersección de los subespacios vectoriales U y W, al conjunto

de todos los vectores pertenecientes simultáneamente tanto a U como a W.

TEOREMA 5.4.1

Dados un subespacio vectorial S, sobre un cuerpo K, y dos subespacios

suyos U y W, demuestre que el conjunto U W es también un subespacio

vectorial de S.

DEMOSTRACION

Si u U y w W, se debe verificar, por una parte, que u U W y w U W, y

por otra parte, que u + w U, u + w W y u + w U W. De la misma manera,

se llega a la conclusión u + w U W, para todo a K, que demuestra como

U W es un subespacio vectorial de S.

Como el vector nulo de V pertenece a todos sus subespacios, no hay subespacio de

intersección vacía. Cuando se diga que dos subespacios U y W son disjuntos,

se debe entender que no tienen más elemento en común que el vector cero, es

decir, se verifica que U W = {}.

Resulta evidente que el subespacio intersección de varios subespacios dados es el

más amplio de todos los subespacios contenidos en todos ellos.

EJEMPLO 5.4.1

Sean

U = {(a, b, c, d) / b – 2c + d = 0} y W = {(a, b, c, d) / a = d, b = 2c}

subespacios de 4. Hallar U W.

SOLUCION

Tomando las condiciones de los conjuntos U y W, tenemos el siguiente sistema de

ecuaciones homogéneo:

2 0

0

2 0

b c d

a d

b c

0 1 2 1 0

1 0 0 1 0

0 1 2 0 0

0 1 2 1 0

1 0 0 1 0

0 0 0 1 0

.

Por lo tanto U W = {(a, b, c, d) / a = d = 0, b = 2c}.

EJEMPLO 5.4.2

Sean

U = {(1, -1, -1, 0, 0), (1, -2, -2, 0, -3), (1, -1, -2, -2, 1)}

y

W = {(1, -2, -3, 0, -2), (1, -1, -3, 2, -4), (1, -1, -2, 2, -5)}

subespacios de 5. Hallar U W.

SOLUCION

Primera encontramos los subespacios generados Para U y W:

1 1 1

1 2 1

1 2 2

0 0 2

0 3 1

a

b

c

d

e

1 1 1

0 1 0

0 1 1

0 0 2

0 3 1

a

a b

a c

d

e

1 1 1

0 1 0

0 0 1

0 0 2

0 0 1 3 3

a

a b

b c

d

a b e


JOE GARCIA ARCOS

214

1 1 1

0 1 0

0 0 1

0 0 0 2 2

0 0 0 3 4

a

a b

b c

b c d

a b c e

.

Por lo tanto

Span(U) = {(a, b, c, d, e) / 3a + 4b – c – e = 0, 2b – 2c + d = 0}.

1 1 1

2 1 1

3 3 2

0 2 2

2 4 5

a

b

c

d

e

1 1 1

0 1 1 2

0 0 1 3

0 2 2

0 2 3 2

a

a b

a c

d

a e

1 1 1

0 1 1 2

0 0 1 3

0 0 0 4 2

0 0 1 6 2

a

a b

a c

a b d

a b e

1 1 1

0 1 1 2

0 0 1 3

0 0 0 4 2

0 0 0 9 2

a

a b

a c

a b d

a b c e

Por lo tanto

Span(W) = {(a, b, c, d, e) / 4a + 2b – d = 0, 9a + 2b + c – e = 0}.

Luego, para encontrar la intersección entre estos subespacios debemos resolver el

sistema de ecuaciones homogéneas, que resulta de las condiciones restrictivas de

cada uno de estos subespacios:

3 4 0

2 2 0

4 2 0

9 2 0

a b c e

b c d

a b d

a b c e

3 4 1 0 1 0

0 2 2 1 0 0

4 2 0 1 0 0

9 2 1 0 1 0

3 4 1 0 1 0

0 2 2 1 0 0

0 10 4 3 4 0

0 10 4 0 2 0

3 4 1 0 1 0

0 2 2 1 0 0

0 0 6 2 4 0

0 0 6 5 2 0

3 4 1 0 1 0

0 2 2 1 0 0

0 0 6 2 4 0

0 0 0 3 2 0

Por lo tanto

Span(U W) = {(a, b, c, d, e) / a = -d/2, b = 5d/6, c = 4d/3, e = 3d/2}.

EJEMPLO 5.4.3

El conjunto U de todas las ternas de 3 cuya primera coordenada es 0 es subespacio

de 3, como también lo es el conjunto W de todas las ternas (a, b, c) en donde la

primera componente es igual a la segunda componente. Demuestre que U W es

subespacio de 3.

SOLUCION

Por el ejemplo anterior, el conjunto U W es subespacio de 3; U W consta de

todas las termas (0, 0, c) en las que c es arbitrario.

Sean U, W subconjuntos, no necesariamente subespacios, de un espacio vectorial V.

Denotaremos por U + W el conjunto de todos los vectores v de V que se pueden

expresar como suma de un vector de U y de un vector de W. Por lo tanto, v estará en

U + W exactamente cuando existan un vector u de U y un vector w en W tales que

v = u + w. El conjunto U + W se denomina suma de los conjuntos U y W.


JOE GARCIA ARCOS

215

DEFINICION 5.4.2

Dados un subespacio vectorial S, sobre un cuerpo K, y dos subespacios su-

yos U y W, se denominan suma de dichos subespacios, y se representa por

U + W, al conjunto de todos los vectores de S que pueden expresarse como

suma de un vector de U y otro de W.

Obsérvese que, tanto la intersección como la suma de subespacios siempre son

conjuntos no vacíos, ya que les pertenece a ciencia cierta el vector nulo del espacio

vectorial V.

TEOREMA 5.4.2

Como U + W es subespacio de S, entonces el subespacio U + W contiene

tanto a U como a W. Además, si S es también subespacio de V que

contenga tanto a U como a W, entonces S también contiene a U + W. Por

lo tanto, U + W es el menor de los subespacios de S que contienen tanto a

U como a W; es decir, U + W = Span(U W). Además si U y W son

subespacios de S, entonces U + W es un subespacio de S.

DEMOSTRACION

Puesto que U y W, el elemento neutro pertenece a la suma, ya que

= + U + W.

Por otra parte, si suponemos que

u1 + w1 U + W y u2 + w2 U + W,

debe verificarse que

(u1 + w1) + (u2 + w2) = (u1 + u2) + (w1 + w2) U + W

y

a(u1 + w1) = au1 + aw1 U + W,

cuyas dos condiciones justifican que U + W es un subespacio vectorial de V. Dado

que U, W U + W. De igual modo, U U + W. Ya que U + W es un

subespacio que contiene a U W, Span(U W) U + W. Para cualquier v U +

W, v se puede escribir en la forma v = u + w donde u U y w W. Entonces u U

Span(U W) y w W Span(U W). Como Span(U W) es un subespacio,

v = u + w Span(U + W). De donde U + W = Span(U + W).

En 2, supongamos que en U sólo está el vector u = OQ, y sea W el conjunto de

todos los vectores OP desde el origen O hasta un punto P situado en el segmento de

recta AB. Entonces, U + W consta de todos los vectores OR = OQ + OP, donde Q es

fijo y P varía en el segmento AB. En consecuencia, U + W corresponde al segmento

de recta CD que se obtiene de AB al trasladar cada punto en el vector u; en particu-

lar, AC = u, BD = u.

En 3 sean u, v vectores no nulos, ninguno de ellos múltiplo escalar del otro. Supon-

gamos que U es el conjunto de todos los múltiplos escalares de u y que W es el con-

junto de todos los múltiplos escalares v. Entonces, U + W consta de todos los vecto-

res au + bv. Aquí, U corresponde a la recta L1 que pasa por O, W a la recta L2 que

pasa por O, y U + W a un plano que también pasa por O y contiene a L1 y a L2.

Indiquemos, finalmente, las propiedades siguientes de la suma de subespacios, que

se desprenden directamente de la definición:

1.- U + W = W + U;

2.- U + (W + V) = (U + W) + V;

3.- Si U está contenido en un subespacio W, se tiene U + W = W.

EJEMPLO 5.4.4

Si U y W son subespacios de un espacio vectorial V, se define U + W como el

conjunto de vectores de V que pueden escribirse como suma de uno de U más otro


JOE GARCIA ARCOS

216

de W, es decir, U + W = {w V / w = u + v con u U y v W}. Demostrar que U

+ W es el mínimo subespacio vectorial que contiene a U y a W.

SOLUCION

En efecto, U + W, pues es = + y U y W. Además, si w1 y w2

son de U + W, serán w1 = u1 + v1 y w2 = u2 + v2 donde u1, u2 U y v1, v2 W, y

por tanto, será w1 + w2 = (u1 + u2) + (v1 + v2), lo que por ser u1 + u2 U y v1 + v2

W, indica que es w1 + w2 U + W. Por otro lado, si k es un escalar cualquiera y w

U + W, es w = u + v con u U y v W, de donde, kw = k(u + v) = ku + kv, y como

ku U y kv W, es kw U + W. Consecuentemente, U + W es un subespacio.

Además, U + W contiene a U, pues si u U, es u = u + , y W; del mismo

modo contiene a W, pues si v W, es v = + v, y U. Y por fin, si un

subespacio contiene a U y a W, entonces debe contener todas las sumas del tipo u +

v donde u U y v W, y por tanto, debe contener a U + W, lo que prueba que U +

W es el mínimo subespacio que contiene a U y a W.

EJEMPLO 5.4.5

Sean

U = {(a, b, c, d) / b – 2c + d = 0} y W = {(a, b, c, d) / a = d, b = 2c}

subespacios de 4. Hallar U + W.

SOLUCION

Los subespacios U y W generan las siguientes bases U = {(1, 0, 0, 0), (0, 2, 1, 0),

(0, -1, 0, 1)} y W = {(0, 2, 1, 0), (1, 0, 0, 1)} construimos una matriz con los

vectores de ambos subespacios, para poder determinar los elementos que contiene el

subespacio U + W:

1 0 0 0

0 2 1 0

0 1 0 1

0 2 1 0

1 0 0 1

1 0 0 0

0 2 1 0

0 0 1 2

0 0 0 0

0 0 0 1

Por lo tanto

Base(U + W) = {(1, 0, 0, 0), (0, 2, 1, 0), (0, 0, 1, 2), (0, 0, 0, -1)}.

Como Dim(U + W) = 4, entonces U + W = 4.

EJEMPLO 5.4.6

Sean

U = {(1, -1, -1, 0, 0), (1, -2, -2, 0, -3), (1, -1, -2, -2, 1)}

y

W = {(1, -2, -3, 0, -2), (1, -1, -3, 2, -4), (1, -1, -2, 2, -5)}

subespacios de 5. Hallar U + W.

SOLUCION

Para encontrar el subespacio U + W, debemos construir una matriz cuyas filas sean

los elementos de los conjuntos U y W, y luego procedemos a eliminar filas mediante

operaciones elementales. Las filas no nulas formarán la base de U + W:

1 1 1 0 0

1 2 2 0 3

1 1 2 2 1

1 2 3 0 2

1 1 3 2 4

1 1 2 2 5

1 1 1 0 0

0 1 3 0 3

0 0 3 2 1

0 1 4 0 2

0 0 4 2 4

0 0 3 2 5

1 1 1 0 0

0 1 3 0 3

0 0 3 2 1

0 0 1 0 1

0 0 4 2 4

0 0 3 2 5


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217

1 1 1 0 0

0 1 3 0 3

0 0 3 2 1

0 0 0 1 1

0 0 0 7 8

0 0 0 2 3

1 1 1 0 0

0 1 3 0 3

0 0 3 2 1

0 0 0 1 1

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

Por lo tanto:

Base(U + W) = {(1, -1, 1, 0, 0), (0, 1, 3, 0, 3), (0, 0, 3, 2, -1), (0, 0, 0, 1, 1),

(0, 0, 0, 0, 1)}.

Como Dim(U + W) = 5, entonces U + W = 5.

EJEMPLO 5.4.7

Sea W el conjunto de todos los vectores de la forma (r, 2r – t, r + t, t) de 4, donde

r, t son arbitrarios. Sea U el conjunto de todos los vectores de la forma (2a + 2b, b, -

b, 3a + 2b), donde a, b son arbitrarios:

a.- Compruebe que U + W es el conjunto de todos los vectores de la forma (u + 2w,

2u – v, u + v, v + 3w);

b.- Compruebe que U, W y U + W son subespacios de 4;

c.- Encuéntrese U W.

SOLUCION

a.- Encontramos las bases de W y U respectivamente:

(r, 2r – t, r + t, t) = r(1, 2, 1, 0) + t(0, -1, 1, 1)

BaseW = {(1, 2, 1, 0), (0, -1, 1, 1)},

(2a + 2b, b, -b, 3a + 2b) = a(2, 0, 0, 3) + b(2, 1, -1, 2)

BaseU = {(2, 0, 0, 3), (2, 1, -1, 2)}.

A continuación encontramos una base para el subespacio U + W:

1 2 1 0

0 1 1 1

2 0 0 3

2 1 1 2

1 2 1 0

0 1 1 1

0 4 2 3

0 3 3 2

1 2 1 0

0 1 1 1

0 0 6 1

0 0 6 1

1 2 1 0

0 1 1 1

0 0 6 1

0 0 0 0

.

De esta manera podemos decir que la base de U + W es:

Base(U + W) = {(1, 2, 1, 0), (0, -1, 1, 1), (2, 0, 0, 3)}.

Esta base es exactamente la misma que genera el subespacio U + W dada:

(u + 2w, 2u – v, u + v, v + 3w) = u(1, 2, 1, 0) + v(0, -1, 1, 1) + w(2, 0, 0, 3)

Base(U + W) = {(1, 2, 1, 0), (0, -1, 1, 1), (2, 0, 0, 3)}.

Con esto queda demostrado el inciso a).

b.- Por el inciso a), U, W y U + W tienen estructura de subespacio vectorial de 4,

por cuanto cada uno de ellos generan su propia base.

c.- En el inciso a) nos podemos dar cuenta que en la matriz se anula una fila, por

lo tanto la base del subespacio intersección U W es:

Base(U W) = {(2, 1, -1, 2)}.

EJEMPLO 5.4.8

Hallar U + W y U W dados los siguientes sistemas:

a.- U = {(0, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 2), (-2, 0, 1, 1)} y W = {(-1, 3, 2, -1), (1, 1, 0, -1)}.

b.- U = {(2, -5, 3, 4), (1, 2, 0, -7), (3, -6, 2, 5)} y W = {(2, 0, -4, 6), (1, 1, 1, 1),

(3, 3, 1, 5)}.

SOLUCION

a.- Debemos construir una matriz cuyas filas sean los elementos de los conjuntos U

y W, y luego procedemos a eliminar filas mediante operaciones elementales. Las

filas no nulas formarán la base de U + W:


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218

0 1 1 1

1 1 1 2

2 0 1 1

1 3 2 1

1 1 0 1

0 1 1 1

0 0 1 3

0 2 1 1

0 4 2 2

1 1 0 1

0 1 1 1

0 0 1 3

0 0 1 3

0 0 2 6

1 1 0 1

0 1 1 1

0 0 1 3

0 0 0 0

0 0 0 0

1 1 0 1

Por lo tanto:

Base(U + W) = {(0, 1, 1, 1), (0, 0, -1, -3), (1, 1, 0, -1)}.

Para encontrar el subespacio U + W, debemos hallar el subespacio generado con

respecto a la base encontrada:

0 0 1

1 0 1

1 1 0

1 3 1

a

b

c

d

1 0 1

0 0 1

1 1 0

1 3 1

b

a

c

d

1 0 1

0 0 1

0 1 1

0 3 2

b

a

b c

b d

1 0 1

0 0 1

0 1 1

0 0 1 2 3

b

a

b c

b c d

1 0 1

0 0 1

0 1 1

0 0 0 2 3

b

a

b c

a b c d

.

Por lo tanto

Span(U + W) = {(a, b, c, d) / a – 2b + 3c – d = 0}.

Podemos observar que (-2, 0, 1, 1) y (-1, 3, 2, -1) son los vectores que se eliminaron

al encontrar la base de U + W, entonces estos elementos forman la base de U W.

Para encontrar el subespacio U W, debemos hallar el subespacio generado con

respecto a la base encontrada:

2 1

0 3

1 2

1 1

a

b

c

d

2 1

0 3

0 3 2

0 3 2

a

b

a c

a d

2 1

0 3

0 0 2

0 0 2

a

b

a b c

a b d

.

Por lo tanto Span(U W ) = {(a, b, c, d) / a – b + 2c = 0, a + b + 2d = 0}.

b.- Debemos construir una matriz cuyas filas sean los elementos de los conjuntos U

y W, y luego procedemos a eliminar filas mediante operaciones elementales. Las

filas no nulas formarán la base de U + W:

2 5 3 4

1 2 0 7

3 6 2 5

2 0 4 6

1 1 1 1

3 3 1 5

2 5 3 4

0 3 1 6

0 3 5 2

0 5 7 2

0 7 1 2

0 21 7 2

2 5 3 4

0 3 1 6

0 0 1 1

0 0 4 9

0 0 1 9

0 0 0 1

2 5 3 4

0 3 1 6

0 0 1 1

0 0 0 1

0 0 0 1

0 0 0 1

2 5 3 4

0 3 1 6

0 0 1 1

0 0 0 1

0 0 0 0

0 0 0 0

Por lo tanto:

Base(U + W) = {(2, -5, 3, 4), (0, -3, 1, 6), (0, 0, -1, 1), (0, 0, 0, 1)}.

Como Dim(U + W) = 4, entonces el subespacio U + W = 4. Podemos observar que

(1, 1, 1, 1) y (3, 3, 1, 5) son los vectores que se eliminaron al encontrar la base de


JOE GARCIA ARCOS

219

U + W, entonces estos elementos forman la base de U W. Para encontrar el

subespacio U W, debemos hallar el subespacio generado con respecto a la base

encontrada:

1 3

1 3

1 1

1 5

a

b

c

d

1 3

0 0

0 2

0 2

a

a b

a c

a d

1 3

0 0

0 2

0 0 2

a

a b

a c

a c d

.

Por lo tanto

Span(U W ) = {(a, b, c, d) / a – b = 0, 2a – c – d = 0}.

DEFINICION 5.4.3

Sean U y W subconjuntos del espacio vectorial V y sea S el conjunto com-

puesto por todos los vectores v de V que están en U, en W o en ambos. El

conjunto S se llama unión de U y W. La unión la denotamos por , y po-

nemos S = U W.

Se puede deducir que U + W contiene a U W, y que es el menor de los subespa-

cios que contienen a U W. En general, U + W es un conjunto mucho mayor que

U W. Esto sirve para observar que, en contraste con la intersección, la unión de

dos subespacios no es necesariamente otro subespacio. Aquellos casos en los cuales

U W = {} merecen atención especial. Si U W = {}, se dice que la suma

U + W es directa: U + W es una suma directa de U y W.

Dados un espacio vectorial V y los subespacios suyos, U y W se dice que su suma,

U + W es suma directa, y se representa como U W, si todo vector de dicha suma

puede expresarse de manera única como suma de vectores de los espacios sumandos.

Los subespacios U1, U2, ..., Un, del espacio vectorial V, son independientes si, y sólo

si, la descomposición del vector cero en suma de vectores de dichos subespacios es

única. Si en un espacio vectorial V, varios subespacios son independientes, entonces

son disjuntos dos a dos.

Es muy importante observar que la proposición recíproca, en general, no es cierta; es

decir, el sólo hecho de ser unos subespacios disjuntos dos a dos no implica forzosa-

mente que ellos sean independientes. Como consecuencia de esta afirmación, pode-

mos establecer que dos subespacios U y W son independientes si, y sólo si, son

disjuntos.

TEOREMA 5.4.3

Demuestre que el espacio vectorial V es la suma directa de los subespacios

U y W si y solamente si se verifica que V = U + W y U W = {}.

DEMOSTRACION

Si se acepta que V = U W, para todo v V puede expresarse de una sola manera

en la forma v = u + w, con u U y w W, en cuyo caso particular se verifica que

V = U + W. Si suponemos que v U W, debe ocurrir que

v = v + , en donde v U y W;

v = + v, en donde U y v W;

pero al no ser posible nada más que de una sola forma la descomposición anterior, ha

de verificarse que v = y, por tanto, U W = {}. Recíprocamente, vamos a

probar que si se cumplen las condiciones del problema, se trata de una suma directa,

lo que exige demostrar que la suma v = u + w es única. Si existe otra posible

descomposición, tal como v = u1 + w1, con u1 U y w1 W, se tiene que u + w = u1

+ w1, de donde, u – u1 = w1 - w; pero como u – u1 U y w1 - w W y por hipótesis

U W = {}, debe ocurrir que u – u1 = w1 - w = , de donde u = u1 y w = w1.


JOE GARCIA ARCOS

220

TEOREMA 5.4.4

Los subespacios U1, U2, ..., Un, del espacio vectorial V, son independientes

si, y sólo si, la descomposición del vector cero en suma de vectores de

dichos subespacios es única.

DEMOSTRACION

Para demostrar este teorema basta con cerciorarse de que los subespacios U1, U2, ...,

Un, son independientes, pues con repetir la demostración un número finito de veces

se prueban todos los casos que se pueden presentar. Supóngase que U1, U2, ..., Un, no

fuesen independientes, es decir, que un cierto vector u de su suma admitiese dos

descomposiciones distintas como suma de vectores de los subespacios sumandos

u = u1 + u2 + ... + un y u = v1 + v2 + ... + vn, con ui, vi Ui y siendo uj vj para

algunos índices j, entonces, tomando un vector cualquiera u U1, el vector v = u1 +

u pertenece a la suma U1 + U2 + ... + Un y sería expresable, como suma de vectores

de U1, U2, ..., Un, de dos formas distintas, u = u1 + u2 + ... + un y u = v1 + v2 + ... + vn,

lo cual no es posible, pues estos subespacios son independientes; esta imposibilidad

obliga a rechazar el supuesto de ser U1 + U2 + ... + Un no independientes, es decir, la

proposición es verdadera.

TEOREMA 5.4.5

Si en un espacio vectorial V, varios subespacios son independientes,

entonces son disjuntos dos a dos.

DEMOSTRACION

Si dos de los subespacios, Ui y Uj, con i j, no fuesen disjuntos, es decir, si existe v

que pertenece a ambos, todo vector u = u1 + u2 + ... + un de la suma podría

expresarse también en la forma u = u1 + ... + (ui + v) + ... + (uj + v) + ... + un, como

suma de vectores de los subespacios sumandos, distinta de la de partida, lo cual no es

posible, ya que dichos subespacios son independientes.

Es muy importante observar que la proposición recíproca, en general, no es cierta; es

decir, el sólo hecho de ser unos subespacios disjuntos dos a dos no implica

forzosamente que ellos sean independientes. Como consecuencia de este teorema,

podemos establecer que dos subespacios U y W son independientes si, y sólo si, son

disjuntos.

EJEMPLO 5.4.9

Si S1 genera a U y S2 genera a W, entonces S1 S2 genera a U + W.

SOLUCION

Dado que U, W U + W. De igual modo, U U + W. Ya que U + W es un

subespacio que contiene a U W, Span(U W) U + W. Para cualquier u U +

W, u se puede escribir en la forma u = v + w donde v U y w W. Entonces v U

Span(U W) y w W Span(U W). Como Span(U W) es un subespacio,

u = v + w Span(U W). De donde U + W = Span(U W).

La segunda parte de la demostración se deduce ahora directamente. U = Span(S1)

Span(S1 S2) y W = Span(S2) Span(S1 S2), de manera que U W Span(S1

S2) Span(U W) y, por lo tanto, Span(U W) = Span(S1 S2).

EJEMPLO 5.4.10

Sean U, W y S subespacios de un espacio vectorial V:

a.- Pruébese que U + W = Span(U W), es decir que U + W es el menor

subespacio que contiene a U W.

b.- Pruébese que U S, entonces S (U + W) = U + (S W).

SOLUCION

a.- Como U y W están ambos contenidos en U + W se tiene que U W U +

W. Supongamos que U es un subespacio que contiene a U W. Para todo elemento

u de U + W existen v U y w W con u = v + w. El elemento u es una suma de


JOE GARCIA ARCOS

221

dos elementos de X y por lo tanto pertenece a X. Hemos visto así que U + W X.

Por tanto, todo subespacio X que contiene a U W contiene a U + W y, en

consecuencia, U + W es el menor subespacio que contiene a U W.

b.- Como W U + W tenemos en cualquier caso que S W S (U + W).

Además U S y U U + W, de donde U S (U + W). Entonces, U (S W)

S (U + W) y por a) U + (S W) S (U + W). Para demostrar la extensión

recíproca, consideramos un elemento u S (U + W). Entonces u S y existen

v U y w W con u = v + w. Como U S, el elemento w = u – v S y por tanto

u = v + w, con v U y w S W. Es decir u U + (S W).

EJEMPLO 5.4.11

La intersección de dos subespacios diferentes y propios de 2 será siempre el

espacio nulo {}.

SOLUCION

Esto se ve con facilidad si se recuerda que los espacios propios de 2 correspondían

a rectas que pasan por el origen, y que dos rectas diferentes entre sí y que pasan por

el origen se interceptan necesariamente sólo en el origen. Por lo tanto, el espacio de

la intersección consta solamente del vector cero; es decir la intersección es el espacio

nulo {}. De forma general, cuando dos subespacios de un espacio vectorial V se

interceptan en el espacio cero, decimos que se interceptan sólo trivialmente.

EJEMPLO 5.4.12

Demuestre que si dos subespacios, U y W de un espacio vectorial V tienen la misma

dimensión finita y U W, entonces U = W.

SOLUCION

Existe una base de U que se puede extender hacia una base de W. Pero como DimU

= DimW, la base de W no puede tener más elementos que la base de U. Esto

significa que una base de U es también una base de W; es decir, U = W.

EJEMPLO 5.4.13

La suma de los subespacios U y W se denomina suma directa y se nota U W si

sólo si todo vector de este subespacio se escribe como suma de uno de U y otro de W

de manera única. Demuestre que la suma de los subespacios U y W es directa si y

sólo si es U W = {}.

SOLUCION

En efecto, supongamos que la suma de los subespacios U y W es directa y que existe

un vector v que pertenece a U y a W. Sería entonces = + y = v + (-v),

y por tanto, el vector se expresaría como suma de uno de U más otro de W cuando

menos de dos maneras distintas, contradiciendo el hecho de ser la suma de U y W

directa. Luego, el único vector que a la vez es de U y W es el vector .

Recíprocamente, sea U W = {}. Si fuese u1 + v1 = u2 + v2, donde u1 y u2 son de

U y v1 y v2 son de W, sería el vector u1 + (-u2) de U igual al vector v2 + (-v1) de W,

de donde, debe ser u1 = u2 y v1 = v2, lo que prueba que la suma de los subespacios U

y W es directa.

EJEMPLO 5.4.14

Si V = U W y S es un subespacio cualquiera de V tal que U S, pruebe que

S = (S U) (S W).

SOLUCION

Ya que U S, U + (S W) S. Todo u S (U + W) se puede escribir en la

forma u = v + w donde v U y w W. Como U S, v S. Así, w S y u (S

U) + (S W) = U + (S W). De donde, S = S (U + W) = U + (S W).

Finalmente, es fácil ver que esta última suma es directa.


JOE GARCIA ARCOS

222

PROBLEMAS

5.4.1 Suponga que U1, U2 y U3 son subespacios de V,

entonces:

a.- Demuéstrese que (U1 U3) + (U2 U3) (U1 + U2)

U3;

b.- Dé un ejemplo en 2, de tal forma que se cumpla el

inciso anterior.

5.4.2 Demuéstrese con un ejemplo que si U, W, S son

subconjuntos de un espacio vectorial V y si U está

contenido en W, entonces U + S está contenido en W + S.

5.4.3 Descríbanse las intersecciones de los subconjuntos

siguientes U, W de C(-; +) y determínese si la inter-

sección es un subespacio:

a.- U: todas las f tales que f(0) = 0; W: todas las f tales

que f(1) = 0.

b.- U: todos los polinomios; W: todas las funciones pares.

c.- U: todos los polinomios; W: todas las funciones acota-

das.

d.- U: todas las f que tienen período 3; W: todas las f

que tienen período 2.

e.- U: todas las f con límite 0 cuando x ; W: todas

las f con límite 1 cuando x .

f.- U: todas las f tales que existe 0

( )f x dx

; W: todas las

f tales que existe 0

( )f x dx .

5.4.4 Sean U = Span{(1, 2, 3, 6), (4, -1, 3, 6), (5, 1, 6,

12)} y W = Span{(1, -1, 1, 1), (2, -1, 4, 5)} subespacios

de 4. Encuentre bases para U W y U + W. Extienda

la base de U W hacia una base de U, y extienda la

base de U W hacia una base de W. De estas bases,

obtenga una base de U + W.

5.4.5 Demuestre con un ejemplo que si U1, U2, U3 son

subespacios de V y U3 U1, U3 U2 entonces U3 U1

U2.

5.4.6 Sea U el subespacio de 3 de todos los

polinomios tales que p(0) = 0, y sea W el subespacio de

todos los polinomios tales que p(1) = 0. Determine una

base de U, una base de W y una base de su intersección

U W.

5.4.7 Examínese desde el punto de vista geométrico

la clase posible de intersección de dos subespacios no

triviales U, W de 3 en cada uno de los casos siguien-

tes:

a.- U y W corresponden a rectas que pasan por 0.

b.- U corresponde a una recta que pasa por 0, W a un

plano que pasa por 0.

c.- U y W corresponden a planos que pasan por 0.

5.5 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

En esta sección se estudiarán condiciones en las que cada vector en un espacio vectorial se puede expresar de

manera única como una combinación lineal de los vectores generadores. Los conjuntos generadores con esta

propiedad son fundamentales en el estudio de los espacios vectoriales.

Considere los vectores arbitrarios u1, u2, ..., uk en un espacio vectorial V. Puede

ocurrir que uno de ellos se expresa como combinación lineal de los demás. Sea,

por ejemplo, el vector u1. Entonces, cada uno de los vectores u1, u2, ..., uk se ex-

presa linealmente en términos de u2, ..., uk. Por esta razón cualquier combinación

lineal de los vectores u1, u2, ..., uk es también una combinación lineal de los vecto-

res u2, ..., uk. Por consiguiente, los subespacios generados por los vectores u1, u2,

..., uk y u2, ..., uk coinciden.

Suponga luego que entre los vectores u2, ..., uk hay un vector, por ejemplo, u2

que también se expresa linealmente en términos de los vectores restantes. Al

repetir estos razonamientos, llegamos a la conclusión de que ahora cualquier

combinación lineal de los vectores u1, u2, ..., uk es también una combinación lineal

de los vectores u3, ..., uk. Continuando este proceso, pasamos, del sistema u1, u2,

..., uk a un sistema de vectores del cual ya no podemos excluir ni uno de los vecto-

res.

El subespacio generado del nuevo sistema de vectores coincide con el subespacio

generado de los vectores u1, u2, ..., uk. Además, podemos decir que si entre u1, u2,

..., uk hubo aunque un solo vector no nulo, el nuevo sistema de vectores o bien


JOE GARCIA ARCOS

223

consiste solamente en un vector no nulo o bien ninguno de sus vectores se expresa

linealmente en términos de los vectores restantes. Tal sistema de vectores se de-

nomina linealmente independiente.

DEFINICION 5.5.1

Si S = {u1, u2, ..., uk} es un conjunto no vacío de vectores, entonces la

ecuación vectorial a1u1 + a2u2 + ... + akuk = tiene por lo menos una so-

lución, a saber, a1 = a2 ... = ak = 0. Si esta es la única solución, entonces

S se denomina conjunto linealmente independiente. Si existen otras solu-

ciones, entonces S se denomina conjunto linealmente dependiente.

Es evidente que la definición de independencia lineal de un conjunto no tendría

sentido si un vector de un conjunto pudiera aparecer un número arbitrario de

veces en una relación simple. Sin embargo, si se da un conjunto de vectores, par-

ticularizando los vectores de dicho conjunto, resulta inconveniente insistir en que

todos los vectores enumerados sean distintos.

La expresión linealmente dependiente sugiere que los vectores dependen entre sí

de alguna manera. La dependencia y la independencia lineal constituyen las pro-

piedades del sistema de vectores.

TEOREMA 5.5.1

Un conjunto S con dos o más vectores es:

1.- Linealmente dependiente si y sólo si por lo menos uno de los vecto-

res en S puede expresarse como combinación lineal de los demás vecto-

res en S.

2.- Linealmente independiente si y sólo si ningún vector en S se puede

expresar como una combinación lineal de los demás vectores en S.

DEMOSTRACION

1.- Sea S = {v1, v2, ..., vk} un conjunto con dos o más vectores. Si se supone que S

es linealmente dependiente, entonces existen escalares a1, a2, ..., ak, no todos igua-

les a cero, tales que

a1v1 + a2v2 + ... + akvk = .

Para ser más específicos, suponga que a1 0. Entonces la expresión anterior se

puede volver a escribir como

21 2

1 1

... kk

aav v v

a a

que expresa a v1 como una combinación lineal de los demás vectores en S. De

manera semejante, si ai 0 en la misma expresión para alguna j = 2, 3, ..., k, en-

tonces vi se puede expresar como una combinación lineal de los demás vectores

en S. Recíprocamente, se supone que por lo menos uno de los vectores en S se

puede expresar como una combinación lineal de los demás vectores. En concreto,

supóngase que

v1 = c1v1 + c2v2 + ... + ckvk

de modo que

v1 – c2v2 – c3v3 - ... – ckvk = .

Se concluye que S es linealmente dependiente, ya que la ecuación

a1v1 + a2v2 + ... + akvk =

se satisface por a1 = 1, a2 = -c2, a3 = -c3, ..., ak = -ck que no todos son cero. La

demostración para el caso en que algún vector diferente de v1 se puede expresar

como una combinación lineal de los demás vectores en S es semejante. La segun-

da parte del teorema se demuestra de forma análoga.

Si entre los vectores u1, u2, ..., uk no todos son nulo en términos de los vectores

citados nulos y si dicho sistema es linealmente dependiente, entonces en éste


JOE GARCIA ARCOS

224

puede existir un subsistema linealmente independiente de vectores, en cuyos

términos es linealmente expresado cualquiera de los vectores u1, u2, ..., uk. Una

circunstancia, inesperada a primera vista, determina si un sistema de vectores u1,

u2, ..., uk es linealmente dependiente o linealmente independiente.

Ya se observo que el vector nulo pertenece al subespacio generado y es represen-

tado por la combinación lineal u = a1u1 + a2u2 + ... + akuk con valores nulos de los

coeficientes. A pesar de esto, puede expresarse linealmente en términos de los

vectores a1u1 + a2u2 + ... + akuk de otro forma. La independencia lineal de los

vectores u1, u2, ..., uk está estrechamente vinculada con la unicidad de la represen-

tación del elemento nulo en términos de los vectores citados. El siguiente teorema

establece un hecho sencillo sobre independencia lineal que es importante conocer.

TEOREMA 5.5.2

Un conjunto finito de vectores que contiene al vector cero es linealmente

dependiente.

DEMOSTRACION

Para vectores cualesquiera v1, v2, ..., vk, el conjunto S = {v1, v2, ..., vk, } es lineal-

mente dependiente, ya que la ecuación 0v1 + 0v2 + ... + 0vk + 1() = expresa al

vector como una combinación lineal de los vectores en S con coeficientes no

todos iguales a cero.

Este teorema es una conclusión del hecho de que dos vectores son linealmente

independientes si y sólo si ninguno de ellos es un múltiplo escalar del otro. Geo-

métricamente, esto equivale a afirmar que los vectores no están en la misma recta

cuando se colocan con sus puntos iniciales en el origen.

TEOREMA 5.5.3

Cualquier parte de un sistema de vectores linealmente independientes

{u1, u2, ..., un} V es linealmente independiente.

DEMOSTRACION

Si {u1, u2, ..., uk, uk+1,..., un} es un conjunto linealmente independiente, mientras el

subconjunto {u1, u2, ..., uk} (h < n) es linealmente dependiente, debe existir en a1u1 +

... + akuk existe al menos un ai diferente de cero, en contra de la hipótesis que exige el

valor cero para todos los ai que figuran en la expresión a1u1 + ... + akuk + ak+1uk+1 + ...

+ anun = .

TEOREMA 5.5.4

Si algunos de los vectores del sistema {u1, u2, ..., un} son linealmente de-

pendientes, todo el sistema {u1, u2, ..., un} será linealmente dependiente.

DEMOSTRACION

Sin restringir la generalidad podemos considerar que los primeros vectores del

sistema {u1, u2, ..., uk} son linealmente dependientes. Por consiguiente, existen tales

escalares a1, a2, ..., ak, entre los cuales hay distintos de cero, que a1u1 + a2u2 + ... +

akuk = . De aquí fluye la legitimidad de la igualdad a1u1 + a2u2 + ... + akuk + 0uk+1

+ ... + 0un = . Mas, esta igualdad significa dependencia lineal de los vectores del

sistema {u1, u2, ..., un}, puesto que entre los escalares a1, a2, ..., ak, 0, ..., 0 hay algu-

nos que no son nulos.

La independencia lineal de los vectores u1, u2, ..., uk está estrechamente vinculada

con la unicidad de la representación del elemento.

Con todo este análisis, podemos decir que un conjunto con exactamente dos vec-

tores es linealmente independiente si y sólo si ninguno de los vectores es un múl-

tiplo escalar del otro. Esta afirmación es una conclusión del hecho de que tres

vectores son linealmente independientes si y sólo si ninguno de ellos es una com-


JOE GARCIA ARCOS

225

binación lineal de los otros dos. Geométricamente, esto equivale a decir que nin-

guno de los vectores está en el mismo plano que los otros dos o, de otro modo,

que los tres vectores no están en un plano común cuando se colocan con sus pun-

tos iniciales en el origen.

TEOREMA 5.5.5

Sea S un subconjunto de un espacio vectorial V, y suponga que S contie-

ne a dos o más elementos. Entonces, S es linealmente dependiente si, y

sólo si, hay un subconjunto propio S´ de S con la propiedad de que

Span(S) = Span(S´).

DEMOSTRACION

Suponga que existe ese subconjunto S´. Entonces, debe haber un vector u que está

en S sin estar en S´. Ahora bien, u está en Span(S) y, como Span(S) = Span(S´), u

también está en Span(S´). Por lo tanto, u = a1u1 + a2u2 + ... + akuk, donde u1, u2, ...,

uk están en S´. Por lo tanto, los ui están en S y son diferentes de u. Pero, entonces,

a1u1 + a2u2 + ... + akuk + (-1)u = y concluimos que S es linealmente dependiente.

A continuación, sea S un conjunto linealmente dependiente. Entonces, existen

vectores u1, u2, ..., uk en S tales que a1u1 + a2u2 + ... + akuk = donde no todos los

coeficientes son cero; supongamos que a1 0. Entonces, podemos expresar u1

como combinación lineal de u2, ..., uk. Por lo tanto, podemos expresar toda combi-

nación lineal de elementos de S como una combinación lineal así, sin usar a u1.

Por lo tanto, si tomamos a S´ como S sin el vector u1, entonces Span(S´) =

Span(S), y S´ es subconjunto propio de S.

El siguiente teorema muestra que un conjunto linealmente independiente en n

puede contener cuando mucho n vectores.

TEOREMA 5.5.6

Sea S = {v1, v2, ..., vk} un conjunto de vectores en n. Si k > n, entonces S

es linealmente dependiente.

DEMOSTRACION

Se supone que

1 11 1 2 1

2 21 2 2 2

1 2

( , , ..., )

( , , ..., )

( , , ..., )

n

n

k k k k n

v a a a

v a a a

v a a a

Considérese la ecuación b1v1 + b2v2 + ... + bkvk = . Si reemplazamos los vectores

anteriormente definidos en la ecuación, ambos miembros de esta se expresan en

términos de las componentes

b1(a11, ..., a1n) + b2(a21, ..., a2n) + ... + bk(ak1, ..., akn) = (0, 0, ..., 0)

y después se igualan las componentes correspondientes, se obtiene el sistema

11 1 21 2 1

12 1 22 2 2

1 1 2 2

0

0

0

k k

k k

n n k n k

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

Este es un sistema homogéneo de n ecuaciones en k incógnitas b1, b2, ..., bk. Como

k > n, se concluye que el sistema tiene soluciones no triviales. Por consiguiente, S

es un conjunto linealmente dependiente.

Este teorema establece que un conjunto en 2 con más de dos vectores es lineal-

mente dependiente, y que un conjunto 3 con más de tres vectores es linealmente

dependiente.


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226

EJEMPLO 5.5.1

Mostrar que cualesquiera que sean los vectores u, v, w y los números a, b, c el

sistema de vectores {au - bv, cv - aw, bw - cu} es linealmente dependiente.

SOLUCION

Hacemos la combinación lineal con el vector nulo:

= (au - bv) + (cv - aw) + (- cu + bw)

= (a - c)u + (- b + c)v + (- a + b)w

Establecemos un sistema de ecuaciones homogéneas:

0

0

0

a c

b c

a b

0

0 0

0

a c

b c

a b

Como el determinante de la matriz de coeficientes del sistema homogéneo es igual a

cero, entonces éste tiene un número indeterminado de soluciones. Lo cual indica que

el sistema dado es linealmente dependiente.

EJEMPLO 5.5.2

Sea u, v, w un sistema de vectores linealmente independiente. Serán linealmente

independientes los sistemas de vectores siguientes:

a.- {u, u + v, u + v + w}; b.- {u + v, v + w, w + u}; c.- {u – v, v – w, w – u}.

SOLUCION

a.- Hacemos la combinación lineal con el vector nulo:

= u + (u + v) + (u + v + w) = ( + + )u + ( + )v + w

como u, v, w forman un sistema linealmente independiente, entonces:

0

0

0

1 1 1

0 1 1 0

0 0 1

Como el determinante de la matriz de coeficientes del sistema homogéneo es

diferente de cero, entonces éste tiene solución única y por lo tanto = = = 0. Lo

cual indica que el sistema dado es linealmente independiente.

b.- Hacemos la combinación lineal con el vector nulo:

= (u + v) + (v + w) + (u + w) = ( + )u + ( + )v + ( + )w


0

0

0

1 0 1

1 1 0 0

0 1 1

Como el determinante de la matriz de coeficientes del sistema homogéneo es

diferente de cero, entonces éste tiene solución única y por lo tanto = = = 0. Lo

cual indica que el sistema dado es linealmente independiente.

c.- Hacemos la combinación lineal con el vector nulo:

= (u - v) + (v - w) + (- u + w) = ( - )u + (- + )v + (- + )w


0

0

0

1 0 1

1 1 0 0

0 1 1

Como el determinante de la matriz de coeficientes del sistema homogéneo es igual a

cero, entonces éste tiene un número indeterminado de soluciones. Lo cual indica que

el sistema dado es linealmente dependiente.

EJEMPLO 5.5.3

Establecer, si los siguientes sistemas de vectores de sus correspondientes espacios,

son linealmente dependientes o no:

a.- {(1, i, 2 – i, 3 + i), (1 – i, 1 + i, 1 – 3i, 4 – 2i)};


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227

b.- {(1, 1, 1, 1), (1, -1, -1, 1), (1, -1, 1, -1), (1, 1, -1, -1)}.

SOLUCION

a.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del sistema

dado y luego procedemos a calcular el rango de dicha matriz:

1 2 3

1 1 1 3 4 2

i i i

i i i i

1 2 3

0 0 0 0

i i i

.

Como el rango de la matriz es igual a 1, entonces el sistema es linealmente

dependiente.

b.- Para verificar si el sistema dado es linealmente dependiente o no, formamos un

determinante con sus elementos:

1 1 1 1

1 1 1 10

1 1 1 1

1 1 1 1

.

Como el determinante es diferente de cero, entonces el sistema es linealmente

independiente.

EJEMPLO 5.5.4

Sean a, b, c distintos números reales. Será linealmente dependiente el siguiente

sistema de polinomios {(x - a)(x - b), (x - a)(x - c), (x - b)(x - c)}?

SOLUICION

Hacemos la combinación lineal con el vector nulo:

= (x – a)(x – b) + (x – a)(x – c) + (x – b)(x – c)

0x2 + 0x + 0 = ( + + )x

2 + [-(a + b) - (a + c) - (b + c)]x + (ab + ac + bc).

Establecemos un sistema de ecuaciones homogéneas:

0

( ) ( ) ( ) 0

0

a b a c b c

ab ac bc

1 1 1

( )( )( )a b a c b c a b a c c b

ab ac bc

.

Si (a – b)(a – c)(c – b) = 0, el sistema es linealmente dependiente.

Si (a – b)(a – c)(c – b) 0, el sistema es linealmente independiente.

EJEMPLO 5.5.5

Verifíquese que los conjuntos siguientes son subconjuntos linealmente

independientes del espacio vectorial de todos los polinomios:

a.- {1, t – 1, t2 – t, t

3 – t

2}; b.- {1, 1 + t, 1 + t + t

2, 1 + t + t

2 + t

3}.

SOLUCION

a.- Para verificar si el sistema dado es linealmente dependiente o no, formamos un


0 0 0 1

0 0 1 10

0 1 1 0

1 1 0 0

.


independiente.

b.- Para verificar si el sistema dado es linealmente dependiente o no, formamos un


1 0 0 0

1 1 0 00

1 1 1 0

1 1 1 1

.


JOE GARCIA ARCOS

228


independiente.

Algunas veces la dependencia lineal de funciones se puede deducir a partir de

identidades conocidas. Sin embargo, tales identidades se pueden aplicar sólo en

situaciones especiales. Aunque no existe ningún método general para establecer

independencia lineal o dependencia lineal de funciones en (-, ), a continua-

ción desarrollaremos un teorema que algunas veces se puede aplicar para demos-

trar que un conjunto de funciones dado es linealmente independiente.

DEFINICION 5.5.2

Las funciones f1, f2, ..., fn se dicen linealmente independientes en el inter-

valo [a; b] si existen constantes a1, a2, ..., an todas nulas, tales que a1f1 +

a2f2 + … + anfn = . Caso contrario son linealmente dependientes.

Es decir, las funciones f1, f2, ..., fn son linealmente independientes en [a; b] si la

relación a1f1 + a2f2 + … + anfn = para todo x, tal que a x b implica que

a1 = a2 = ... = an = 0. En otras palabras, la única combinación lineal de f1, f2, ..., fn

que es idénticamente nula en [a; b], es la combinación lineal trivial. Si un conjun-

to de funciones f1, f2, ..., fn es linealmente dependiente en un intervalo [a; b], se

deduce inmediatamente que para cada x [a; b], el correspondiente conjunto de n

vectores constantes es linealmente dependiente. Sin embargo, una afirmación

equivalente sobre la independencia lineal de n funciones no es válida, es decir, si

el conjunto de funciones f1, f2, ..., fn es linealmente independiente en un intervalo

[a; b] no se verifica que necesariamente los n vectores constantes sean linealmen-

te independientes.

TEOREMA 5.5.7

Si las funciones f1, f2, ..., fn admiten n - 1 derivadas continuas sobre el in-

tervalo (-; ) y si el wronskiano de estas funciones no es idénticamente

cero sobre este intervalo, entonces las funciones forman un conjunto li-

nealmente independiente de vectores en (n-1)

(-, ).

DEMOSTRACION

Si las funciones f1, f2, ..., fn son derivables n - 1 veces sobre el intervalo (-, ),

entonces el determinante

1 2

1 2

( 1) ( 1) ( 1)1 2

´ ´ ´W

n

n

n n nn

f f f

f f f

f f f

se llama wronskiano de f1, f2, ..., fn. Supóngase, por el momento, que f1, f2, ..., fn

son vectores linealmente dependientes en (n-1)

(-; ). Entonces existen escalares

a1, a2, ..., an, no todos iguales a cero, tales que a1f1 + a2f2 + … + anfn = para

toda x en el intervalo (-, ). Al combinar esta ecuación con las ecuaciones obte-

nidas al derivar sucesivamente n - 1 veces, se obtiene

1 1 2 2

1 1 2 2

( 1) ( 1) ( 1)1 21 2

0

´ ´ ´ 0

0

n n

n n

n n nn n

a f a f a f

a f a f a f

a f a f a f

Así, la dependencia lineal de f1, f2, ..., fn indica que el sistema lineal


JOE GARCIA ARCOS

229

1 2 1

1 2 2

( 1) ( 1) ( 1)1 2

0

´ ´ ´ 0

0

0

n

n

n n nnn

f f f a

f f f a

af f f

tiene una solución no trivial para toda x en el intervalo (-, ). Esto a su vez

significa que para toda x en (-, ) la matriz de coeficientes es singular o, de

manera equivalente, que su determinante es cero para toda x en (-, ). Por tanto,

si el wronskiano no es idénticamente cero sobre (-, ), entonces las funciones f1,

f2, ..., fn deben ser vectores linealmente independientes en (n-1)

(-, ).

El recíproco del teorema es falso. Si el wronskiano de f1, f2, ..., fn es idénticamente

cero sobre (-, ), entonces no es posible llegar a ninguna conclusión respecto a

la independencia lineal de {f1, f2, ..., fn}; este conjunto de vectores puede ser li-

nealmente independiente o linealmente dependiente.

EJEMPLO 5.5.6

Determínese si los subconjuntos siguientes de C(0; ) son linealmente

independientes:

a.- {Sen2t, Sent, t}; b.- {Sent, Sen2t, Sen3t}; c.- {Sent, Sen(t + 1), Cost};

d.- {et, te

t, t

2e

t}; e.- {Cost, Cos

2t, Cos

3t}.

SOLUCION

a.- Construimos el Wronskiano: 2

2 2 3W{ , , } 2 1 2 2 2 3

2 2 0

Sen t Sent t

Sen t Sent t Sen t Cost Sent tSen t tCost Sen t

Cos t Sent

.

Si t = 0, entonces W = 0. Por lo tanto el conjunto {Sen2t, Sent, t} es linealmente

dependiente.

b.- Construimos el Wronskiano:

2 3

W{ , 2 , 3 } 2 2 3 3

4 2 9 3

Sent Sen t Sen t

Sent Sen t Sen t Cost Cos t Cos t

Sent Sen t Sen t

9 2 3 (5 2 16 2 ) 3SentSen tCos t CostSen t SentCos t Sen t

Si t = 0, entonces W = 0. Por lo tanto el conjunto {Sent, Sen2t, Sen3t} es

linealmente dependiente.

c.- Construimos el Wronskiano:

( 1)

W{ , ( 1), } ( 1) 0

( 1)

Sent Sen t Cost

Sent Sen t Cost Cost Cos t Sent

Sent Sen t Cost

.

Como W = 0, entonces el conjunto {Sent, Sen(t + 1), Cost} es linealmente

dependiente.

d.- Construimos el Wronskiano:

2

2 2 3

2

W{ , , } ( 1) ( 2 ) 2

( 2) ( 4 2)

t t t

t t t t t t t

t t t

e te t e

e te t e e t e t t e e

e t e t t e

.

Como W 0, entonces el conjunto {et, te

t, t

2e

t} es linealmente independiente.


JOE GARCIA ARCOS

230

e.- Construimos el Wronskiano:

2 3

2 3 2 3

2

1W{ , , } 2 3 2

42 2 (9 3)

Cost Cos t Cos t

Cost Cos t Cos t Sent Sen t SentCos t Sen t

Cost Cos t Sen t Cost

.

Si t = 0, entonces W = 0. Por lo tanto el conjunto {Cost, Cos2t, Cos

3t} es lineal-

mente dependiente.

% COMPRUEBA LA DEPENDENCIA LINEAL DE UN SISTEMA DE VECTORES S

clc;clear;

fprintf('\n DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL \n')




fprintf('Ingrese los vectores del sistema S\n')

for f=1:fil

fprintf('\nIngrese la Ecuacion (%d)\n', f)

for c=1:col

fprintf('Ingrese el elemento %d',f)

S(c,f)=input(' :');

end

end

fprintf('La matriz de vectores es:\n')

S

fprintf('La matriz reducida es:')

R= rref(S);

R

RangS=rank(R)

if (rank(S)==fil)

fprintf('El sistema S es linealmente independiente :\n')

else

fprintf('El sistema S es linealmente dependiente :\n')

end

PROBLEMAS

5.5.1 Demuestre que un subconjunto no vacío de un

conjunto finito de vectores linealmente independientes es

linealmente independiente.

5.5.2 Demuestre que si S1 es un subconjunto de S2 y S1 es

linealmente dependiente, entonces también S2 es

linealmente dependiente.

5.5.3 Demuestre que cualquier conjunto de vectores que

contenga al vector cero es linealmente dependiente.

5.5.4 Demuestre que dos vectores son linealmente

dependientes sí y sólo si están en una misma recta que pasa

por el origen. Si u y v son linealmente independientes y si

{u, v, w} es linealmente dependiente, entonces e está en

Span{u, v}.

5.5.5 Dado que {u1, u2, ..., uk} es un conjunto de

vectores linealmente independientes, pero el conjunto

{u1, u2, ..., uk, u} es linealmente dependiente, demuestre

que u es una combinación lineal de los ui.

5.5.6 Si u y v son linealmente independientes y w está en

Span{u, v} entonces {u, v, w} es linealmente dependiente.

5.5.7 Demuestre que si u1, u2, u3, u4 están en 4 y u3 =

2u1 + u2, entonces {u1, u2, u3, u4} es linealmente

dependiente.

5.5.8 Demuestre que si u1, u2, u3, u4 están en 4 y u3 =

, entonces {u1, u2, u3, u4} es linealmente dependiente.

5.5.9 Demuestre que si u1 y u2 están en 4 y u1 no es un

múltiplo escalar de u2, entonces {u1, u2} es linealmente

independiente.

5.5.10 Demuestre que si u1, u2, u3, u4 están en 4 y u3 no

es combinación lineal de u1, u2, u4, entonces {u1, u2, u3,

u4} es linealmente independiente.

5.5.11 Demuestre que si u1, u2, u3, u4 son vectores

linealmente independientes en 4, entonces {u1, u2, u3, u4}

es linealmente independiente.


JOE GARCIA ARCOS

231

5.5.12 Demuestre que si u1, u2, u3, u4 están en 4 y {u1,

u2, u3} es linealmente dependiente, entonces {u1, u2, u3, u4}

también es linealmente dependiente.

5.5.13 ¿En qué condiciones un conjunto que consta de

un solo vector es linealmente independiente?

5.5.14 Demuéstrese que, si W es subespacio de V y si

U es subconjunto linealmente independiente de W, en-

tonces U es subconjunto linealmente independiente de V.

5.5.15 Demuestre que si {u, v, w} es un conjunto de

vectores linealmente independiente en un espacio vectorial

V y x es cualquier vector en V, entonces {u, v, w, x}

también es linealmente independiente.

5.5.16 Demuestre que dos vectores u y v son linealmente

dependientes sí y sólo si uno es un múltiplo escalar del

otro.

5.5.17 Sean A y B dos matrices de n x n con A y B no

nulas. Demuestre que si A es simétrica y B es antisimétrica,

entonces {A, B} es un conjunto linealmente independiente.


U es subconjunto de W que además es subconjunto

linealmente independiente de V, entonces U es

subconjunto linealmente independiente de W.

5.5.19 En cada caso, determínese un valor de k, de ma-

nera que el par dado de vectores sea linealmente depen-

diente:

a.- {(k + 1)u + v, 4u + (k + 1)v};

b.- {u – 2v, 3u + kv}.

5.5.20 Demuestre que si {u, v, w} es un conjunto de

vectores linealmente independiente, entonces también {u,

v}, {u, w}, {v, w}, {u}, {v} y {w} son linealmente

independientes.

5.5.21 Demuestre que todo conjunto con más de tres

vectores de 2 es linealmente dependiente.


U es base de W, entonces U es subconjunto linealmente

independiente de V.

5.5.23 Determínese si los subconjuntos siguientes de

C(0; ) son linealmente independientes:

a.- Senx, Cosx, 1; b.- lnx, lnx2, lnx

3;

c.- ex, lnx, x.

5.5.24 De los subconjuntos siguientes de 3, ¿cuáles

son linealmente independientes?

a.- (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1);

b.- (1, 2, 3), (3, 4, 5), (5, 6, 7);

c.- (1, 2, 3), (3, 2, 1), (1, 1, 1), (2, 3, 1);

d.- (1, 2, 3), (3, 2, 1), (-7, -2, 1);

e.- (1, 1, 2), (2, 3, -1), (-1, -6, 9).

5.5.25 Sean U, W subconjuntos de un espacio vectorial

V. Demuéstrese que:

a.- Si U es conjunto linealmente dependiente y si U está

contenido en W, entonces W es conjunto linealmente

dependiente.

b.- Si W es conjunto linealmente independiente y si U

está contenido en W, entonces U es conjunto linealmen-

te independiente.

5.5.26 Suponga que A es una matriz de m x n con la

propiedad de que para cada B de m la ecuación AX = B

tiene a lo más una solución. Utilice la definición de

independencia lineal para explicar por qué las columnas

de A deben de ser linealmente independientes.

5.5.27 Verifíquese que los conjuntos siguientes son

subconjuntos linealmente independientes del espacio

vectorial de todos los polinomios:

a.- 1, x – 1, x2 – x, x

3 – x

2;

b.- 1+ x, 1 + 2x, 1 + 3x;

c.- x, x + x2, x + x

2 + x

3, x

4;

d.- x, x2 – x, x

3 – x;

e.- x3 - 1, 2x

3 - 2, x

4;

f.- 1, 1 + x, 1 + x + x2, 1 + x + x

2 + x

3;

g.- x2 - 1, 2x

2 - 4, x

2 + 1;

h.- x4 – 2x

2, x

4 + 2x

2, - x

4 - 2x

2;

i.- x2 + 1, x

2 - x, x

2 - x.

5.5.28 Demuestre que si {u, v} es linealmente

independiente y w no está en Span{u, v}, entonces {u, v,

w} es linealmente independiente.

5.6 BASE Y DIMENSION

En esta sección se estudiará la base y dimensión de un espacio vectorial, porque es común imaginar a una

recta como unidimensional, a un plano como bidimensional y al espacio circundante como tridimensional. Se

enunciarán y demostrarán las propiedades más importantes.

Sea dado un espacio vectorial V arbitrario que se compone no sólo de un vector

nulo. En tal espacio se tiene a ciencia cierta aunque un vector no nulo y, por lo


JOE GARCIA ARCOS

232

tanto, existe un sistema linealmente independiente, por lo menos, de un vector.

Por consiguiente, son posibles dos casos: o bien existe un sistema linealmente

independiente que contiene un número de vectores tan grande como se quiera o

bien existe un sistema linealmente independiente que contiene el número má-

ximo de vectores. En el primer caso el espacio vectorial se dice que es de di-

mensión infinita y en el segundo caso, de dimensión finita.

Nuestra atención estará dirigida a lo largo de este trabajo exclusivamente a los

espacios vectoriales de dimensión finita. En particular, un espacio vectorial de

dimensión finita lo constituirá cualquier conjunto generador construido con un

número finito de vectores de un espacio vectorial arbitrario.

DEFINICION 5.6.1

Si V es cualquier espacio vectorial y S = {v1, v2, ..., vn} es un conjunto

de vectores en V, entonces S se llama base de V si se cumplen las dos

condiciones siguientes:

1.- S es linealmente independiente.

2.- S genera a V.

Si S = {v1, v2, ..., vn} es una base de V, según la definición, un vector v de V se

puede escribir en la forma v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn. Lo interesante de una

base, a diferencia de otros conjuntos generadores, es que los coeficientes están

determinados en forma única por v. Porque, supóngase que también tenemos v =

b1v1 + b2v2 + ... + bnvn. Restando, se obtiene la relación lineal (a1 – b1)v1 + (a2 –

b2)v2 + ... + (an – bn)vn = ya que S es un conjunto linealmente independiente,

a1 – b1 = 0, a2 – b2 = 0, ..., an – bn = 0 y, por tanto, a1 = b1, a2 = b2, ..., an = bn.

Como veremos, un hecho relacionado con esto es que una base es un conjunto

generador particularmente eficiente.

Una base es la generalización de espacio vectorial de un sistema de coordenadas

en el espacio bidimensional y en el espacio tridimensional. El siguiente teorema

ayudará a ver por qué es así.

TEOREMA 5.6.1

Si S = {v1, v2, ..., vn} es una base de un espacio vectorial V, entonces

todo vector v en V se puede expresar en forma única como v = a1v1 +

a2v2 + ... + anvn.

DEMOSTRACION

Como S genera a V, por la definición de subespacio generado se concluye que

todo vector v en V se puede expresar como una combinación lineal de los vecto-

res en S. Para ver que sólo existe una manera de expresar un vector como una

combinación lineal de los vectores en S, supóngase que algún vector v se puede

escribir como

v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn

y también como

v = b1v1 + b2v2 + ... + bnvn.

Restando la segunda ecuación de la primera se obtiene

= (a1 – b1)v1 + (a2 – b2)v2 + ... + (an – bn)vn.

Como el miembro derecho de esta ecuación es una combinación lineal de vecto-

res en S, la independencia lineal de S indica que a1 – b1 = 0, a2 – b2 = 0, ..., an –

bn = 0, es decir, a1 = b1, a2 = b2, ..., an = bn. Así, las dos expresiones para v

son iguales.

Este teorema indica que dos combinaciones lineales de vectores de una base

resultan en el mismo vector si, y sólo si, el coeficiente de cada vector de la base

es el mismo en las dos expresiones; es decir, si {v1, v2, ..., vn} es base de V y si


JOE GARCIA ARCOS

233

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = b1v1 + b2v2 + ... + bnvn

entonces a1 = b1, a2 = b2, ..., an = bn. Este es el método de comparación de

coeficientes, que frecuentemente se usa.

EJEMPLO 5.6.1

Todo conjunto linealmente independiente de tres vectores de 3 es base de

3.

SOLUCION

Si u = OP, v = OQ, w = OR son linealmente independientes, entonces O, P, Q, R

no están en el mismo plano y, por consiguiente, cada vector x = OS se puede

expresar como combinación lineal de u, v, w; esto se puede observar en la figu-

ra.

La noción de base está ligada con un sistema linealmente independiente que

contiene el número máximo de vectores. No obstante, es evidente que todas las

bases de un mismo espacio vectorial de dimensión finita representan sistemas

equivalentes linealmente independientes. Estos hechos nos sirven para asignar

un número, que se llama dimensión, a cada espacio vectorial.

Dos combinaciones lineales de vectores de una base resultan en el mismo vector

sí, y sólo si, el coeficiente de cada vector de la base es el mismo en las dos ex-

presiones; es decir, si {v1, v2, ..., vn} es base de V y si

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = b1v1 + b2v2 + ... + bnvn

entonces a1 = b1, a2 = b2, ..., an = bn. Este es el método de comparación de

coeficientes, que frecuentemente se usa.

La noción de base está ligada con un sistema linealmente independiente que

contiene el número máximo de vectores. No obstante, es evidente que todas las

bases de un mismo espacio vectorial de dimensión finita representan sistemas

equivalentes linealmente independientes. Estos hechos nos sirven para asignar

un número, que se llama dimensión, a cada espacio vectorial.

DEFINICION 5.6.2

La dimensión de un espacio vectorial V de dimensión finita, denotada

por Dim(V), se define como el número de vectores que hay en una base

de V. Además, por definición, el espacio vectorial cero es de dimensión

cero.

Obsérvese que el espacio cero, {}, no tiene base, pues {} sólo contiene al

vector , por lo cual no contiene ningún subconjunto linealmente independien-

te. Se puede demostrar que todos los demás espacios vectoriales sí tienen bases,

aunque a veces las bases son conjuntos infinitos.

DEFINICION 5.6.3

Se dice que un espacio vectorial V diferente de cero es de dimensión

finita si contiene un conjunto finito de vectores v1, v2, ..., vn que forma

una base. Si no es así, se dice que V es de dimensión infinita. Además,

se considera que el espacio vectorial cero es de dimensión finita.

Indicaremos que la dimensión de un espacio vectorial depende del sistema nu-

mérico que se use para los escalares. La dimensión de C, el conjunto de los

números complejos, como espacio vectorial complejo, es 1. Pero C también se

puede considerar como espacio vectorial real, y, en este caso, su dimensión es 2.

El siguiente teorema proporciona la clave del concepto de dimensión.

TEOREMA 5.6.2


JOE GARCIA ARCOS

234

Si V es un espacio vectorial de dimensión finita y {v1, v2, ..., vn} es

cualquier base, entonces:

1.- Todo conjunto con más de n elementos es linealmente dependiente.

2.- Ningún conjunto con menos de n vectores genera a V.

DEMOSTRACION

1.- Sea S´ = {u1, u2, ..., um} cualquier conjunto de m vectores en V, donde m > n.

Se quiere demostrar que S´ es linealmente dependiente. Como S = {v1, v2, ..., vn}

es una base, todo ui se puede expresar como una combinación lineal de los vec-

tores en S, por ejemplo

1 11 1 21 2 1

2 1 2 1 2 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m m n m n

u a v a v a v

u a v a v a v

u a v a v a v

(1)

Para demostrar que S´ es linealmente dependiente, es necesario encontrar esca-

lares b1, b2, ..., bm, no todos cero, tales que

b1u1 + b2u2 + ... + bmum = (2)

Usando las ecuaciones anteriores en esta expresión, obtenemos

b1(a11v1 + a21v2 + ... + an1vn) + b2(a12v1 + a22v2 + ... + an2v2) + ...

+ bm(a1mv1 + a2mv2 + ... + anmvn) = ,

de donde

(b1a11 + b2a12 + ... + bma1m)v1 + (b1a21 + b2a22 + ... + bma2m)v2 + ...

+ (b1an1 + b2an2 + ... + bmanm)vn = .

Así, a partir de la independencia lineal de S, el problema de demostrar que S´ es

un conjunto linealmente dependiente se reduce a probar que existen escalares b1,

b2, ..., bm, no todos cero, que satisfacen

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

0

0

0

m m

m m

n n nm m

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

(3)

Pero este sistema contiene más incógnitas que ecuaciones, de modo que la de-

mostración está completa, ya que de esta manera se garantiza la existencia de

soluciones no triviales.

2.- Sea S´ = {u1, u2, ..., um} cualquier conjunto de m vectores en V, donde m <

n. Se quiere demostrar que S´ no genera a V. La demostración será por contra-

dicción: Se probará que suponiendo que S´ genera a V se llega a una contradic-

ción de la independencia lineal de {v1, v2, ..., vn}.

Si S´ genera a V, entonces todo vector en V es una combinación lineal de los

vectores en S´. En particular, cada vector básico vi es una combinación lineal de

los vectores en S´, por ejemplo,

1 11 1 21 2 1

2 1 2 1 2 2 2 2

1 1 2 2

m m

m m

n n n m n m

v a u a u a u

v a u a u a u

v a u a u a u

(4)

Para obtener la contradicción, se demostrará que existen escalares b1, b2, ..., bm,

no todos cero, tales que

b1v1 + b2v2 + ... + bnvn = (5)

Pero obsérvese que (4) y (5) son de la misma forma que (1) y (2), excepto que

se han intercambiado m y n, así como las u y las v. Por tanto, los cálculos con

los que se llegó a (3) ahora producen


JOE GARCIA ARCOS

235

11 1 1 2 2 1

21 1 2 2 2 2

1 1 2 2

0

0

0

n n

n n

m m m n n

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

Este sistema lineal tiene más incógnitas que ecuaciones y por lo tanto posee

soluciones no triviales.

De este teorema se deduce que si S = {v1, v2, ..., vn} es cualquier base para un

espacio vectorial V, entonces todos los conjuntos en V que simultáneamente

generan a V y son linealmente independientes deben tener precisamente n vecto-

res. Así, todas las bases de V deben tener el mismo número de vectores que la

base arbitraria S. Esto lleva al siguiente teorema, que es uno de los más impor-

tantes en álgebra lineal.

TEOREMA 5.6.3

Todas las bases de un espacio vectorial de dimensión finita tienen el

mismo número de vectores.

DEMOSTRACION

Supóngase que S es una base con un número finito n de elementos y S´ otra base

cualquiera. Ya que S genera a V y S´ es linealmente independiente, el número m

de elementos en S´ debe ser a lo más n. Esto prueba que S´ es finita y m n.

Pero entonces pueden intercambiarse los papeles de S y S´ para obtener la de-

sigualdad en el otro sentido, así que m = n.

Este teorema afirma que, en un espacio vectorial V de dimensión finita, cual-

quier conjunto dado de vectores linealmente independientes de V forma parte de

alguna base de V. En realidad, hay muchas bases así. Se dice que la base S =

{v1, ..., vm, ..., vn} es la extensión a una base de V del conjunto linealmente inde-

pendiente {v1, v2, ..., vm}.

EJEMPLO 5.6.2

Hallar todas las bases de los sistemas de vectores siguientes:

a.- {(4, -2, 12, 8), (-6, 12, 9, -3), (-10, 5, -30, -20), (-14, 28, 21, -7)};

b.- {(1, 2, 3, 0, -1), (0, 1, 1, 1, 0), (1, 3, 4, 1, -1)};

c.- {(1 + i, 1 – i, 2 + 3i), (i, 1, 2), (1 – i, - 1 – i, 3 – 2i), (4, -4i, 10 + 2i)}.

SOLUCION

a.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del

sistema dado y luego procedemos a calcular el rango de dicha matriz:

4 2 12 8

6 12 9 3

10 5 30 20

14 28 21 7

2 1 6 4

2 4 3 1

2 1 6 4

2 4 3 1

2 1 6 4

0 1 3 1

0 0 0 0

0 1 3 1

2 1 6 4

0 1 3 1

0 0 0 0

0 0 0 0

Como el rango de la matriz es igual a 2, entonces cada una de las bases tiene dos

elementos:

S1 = {(4, -2, 12, 8), (-6, 12, 9, -3)} y S2 = {(-10, 5, -30, -20), (-14, 28, 21, -7)}.

b.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del


1 2 3 0 1

0 1 1 1 0

1 3 4 1 1

1 2 3 0 1

0 1 1 1 0

0 1 1 1 0

1 2 3 0 1

0 1 1 1 0

0 0 0 0 0

Como el rango de la matriz es igual a 2, entonces cada una de las bases tienen dos

elementos:


JOE GARCIA ARCOS

236

S1 = {(1, 2, 3, 0, -1), (0, 1, 1, 1, 0)} y S2 = {(1, 2, 3, 0, -1), (1, 3, 4, 1, -1)}.

c.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del


1 1 2 3

1 2

1 1 3 2

4 4 10 2

i i i

i

i i i

i i

1 1 2 3

0 0 1

0 0 0

0 0 0

i i i

Como el rango de la matriz es igual a 2, entonces cada una de las bases tienen dos

elementos:

S1 = {(1 + i, 1 – i, 2 + 3i), (i, 1, 2)}, S2 = {(i, 1, 2), (1 – i, - 1 – i, 3 – 2i)},

S3 = {(i, 1, 2), (4, -4i, 10 + 2i)}.

Cualquier vector distinto de cero v constituye un subconjunto linealmente inde-

pendiente de V y, en consecuencia, el teorema afirma que cada vector v distinto

de cero aparece en alguna base de V. Entre otras cosas, lo que nos enseña el

teorema es que existen muchas bases diferentes de V y que tenemos algo de

libertad en la elección de una base de V.

TEOREMA 5.6.4

Un conjunto de n vectores en un espacio vectorial V es una base si, y

sólo si es linealmente independiente.

DEMOSTRACION

Sea S = {v1, v2, ..., vn} un conjunto linealmente independiente y v un vector

cualquiera en V. Ya que {v1, v2, ..., vn, v} contiene n + 1 elementos, debe ser

linealmente dependiente. Cualquier relación no trivial que exista debe contener

a v con un coeficiente diferente de cero, porque si ese coeficiente fuera cero, la

relación equivaldría a una relación en S. Así pues, v depende de S. Por lo tanto,

S genera a V y es una base.

EJEMPLO 5.6.3

Todo conjunto linealmente independiente de tres vectores de 3 es base de

3.

SOLUCION

Si u = OP, v = OQ, w = OR son linealmente independientes, entonces O, P, Q, R

no están en el mismo plano y, por consiguiente, cada vector x = OS se puede

expresar como combinación lineal de u, v, w.

EJEMPLO 5.6.4

Hallar una base cualquiera de cada uno de los siguientes sistemas de vectores:

a.- {(0, 2, -1), (3, 7, 1), (2, 0, 3), (5, 1, 8)};

b.- {(-1, 4, -3, -2), (3, -7, 5, 3), (3, -2, 1, 0), (-4, 1, 0, 1)};

c.- {(14, -27, -49, 113), (43, -82, -145, 15), (-29, 55, 96, -17), (85, -163, -13, 77)};

d.- {(3 – i, 1 – 2i, - 7 + 5i, 4 + 3i), (1 + 3i, 1 + i, - 6 – 7i, 4i), (0, 1, 1, -3)}.

SOLUCION



0 2 1

3 7 1

2 0 3

5 1 8

0 2 1

3 7 1

0 2 1

0 32 19

0 2 1

3 7 1

0 0 0

0 0 3

Como el rango de la matriz es igual a 3, entonces la base buscada esta formada por:

{(0, 2, -1), (3, 7, 1), (5, 1, 8)}.




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237

1 4 3 2

3 7 5 3

3 2 1 0

4 1 0 1

1 4 3 2

0 5 4 3

0 5 4 3

0 5 4 3

1 4 3 2

0 5 4 3

0 0 0 0

0 0 0 0


{(-1, 4, -3, -2), (3, -7, 5, 3)}.

c.- En este caso formamos un determinante, donde sus filas son los elementos del

sistema dado y luego procedemos a calcular dicho determinante:

14 27 49 113

43 82 145 150

29 55 96 17

85 163 13 77

Como el determinante es diferente de cero, entonces el sistema dado es base.

d.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del


3 1 2 7 5 4 3

1 3 1 6 7 4

0 1 1 3

i i i i

i i i i

3 1 2 7 5 4 3

0 3 3 9 3

0 1 1 3

i i i i

i i i

3 1 2 7 5 4 3

0 3 3 9 3

0 0 0 0

i i i i

i i i


{(3 – i, 1 – 2i, - 7 + 5i, 4 + 3i), (1 + 3i, 1 + i, - 6 – 7i, 4i)}.

EJEMPLO 5.6.5

Determínese si el subconjunto S es linealmente independiente y, cuando sea

posible, encuéntrese una base del espacio que contiene a S:

a.- S = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4)} 4; b.- S = {t + t

3, t

2 + t

6, 1 – t – t

3} 6.

SOLUCION



1 1 1 1

1 2 3 4

1 0 , 1 1

01 2

.

Como el rango de la matriz es igual a 2, entonces el sistema dado es linealmente

independiente. Para extender hasta encontrar una base del espacio 4 que contenga

a S, aumentamos a la matriz inicial una fila de variables:

1 1 1 1

1 2 3 4

a b c d

1 1 1

1 2 3 2a b c

a b c

.

Para que el vector (a, b, c, d) forme parte de la base de 4, entonces debe satisfacer

a – 2b + c 0, es decir un posible vector puede es, (1, 1, -1, 0). Para encontrar el

último vector que formará parte de la base del espacio 4, a la última matriz le

aumentamos una fila de variables:

1 1 1 1

1 2 3 4

1 1 1 0

x y z u

1 1 1 1

1 2 3 43 4 2

1 1 1 0x y z u

x y z u

.

Para que el vector (x, y, z, u) forme parte de la base de 4, entonces debe satisfacer


JOE GARCIA ARCOS

238

3x – 4y – z + 2u 0, es decir un posible vector puede es, (1, 1, 1, 0). Por lo tanto la

base de 4 buscada tiene la forma:

Base 4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4), (1, 1, -1, 0), (1, 1, 1, 0)}.



0 1 0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1

1 1 0 1 0 0 0

1 0 , 0 1

01 0

,

0 1 0

0 0 1 0

1 1 0

.

Como el rango de la matriz es igual a 3, entonces el sistema dado es linealmente

independiente. Para extender hasta encontrar una base del espacio 6 que contenga

a S, aumentamos a la matriz inicial una fila de variables:

0 1 0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1

1 1 0 1 0 0 0

a b c d e f g

0 1 0 1

0 0 1 0

1 1 0 1d b

a b c d

.

Para que el polinomio a + bt + ct2 + dt

3 + et

4 + ft

5 + gt

6 forme parte de la base de

6, entonces debe satisfacer b - d 0, es decir un posible vector puede es, 1 + t +

t2 - t

3 + t

4 + t

5 + t

6. Para encontrar el último vector que formará parte de la base del

espacio 6, a la última matriz le aumentamos una fila de variables:

0 1 0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1

1 1 0 1 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1

a b c d e f g

0 1 0 1 0

0 0 1 0 0

21 1 0 1 0

1 1 1 1 1

b d e

a b c d e

.

Para que el vector a + bt + ct2 + dt

3 + et

4 + ft

5 + gt

6 forme parte de la base de 6,

entonces debe satisfacer b – d – 2e 0, es decir un posible vector puede es, t4. De

esta forma seguimos encontrando los polinomios necesarios para formar la base del

espacio 6:

0 1 0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1

1 1 0 1 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 1 0 0

a b c d e f g

0 1 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0

1 1 0 1 0 02

1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 1 0

b d f

a b c d e f

1 + t + t3 + t

5;

0 1 0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1

1 1 0 1 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 1 0 0

1 1 0 1 0 1 0

a b c d e f g

0 1 0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1

1 1 0 1 0 0 0

2 21 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 1 0 0

1 1 0 1 0 1 0

c g

a b c d e f g

1 + t + t2 + t

3 + t

4 + t

5 - t

6.

Por lo tanto la base de 6 buscada tiene la forma:

Base 6 = {t + t3, t

2 + t

6, 1 – t – t

3, 1 + t + t

2 - t

3 + t

4 + t

5 + t

6, t

4, 1 + t + t

3 + t

5, 1 + t

+ t2 +

t3 + t

4 + t

5 - t

6}.


JOE GARCIA ARCOS

239

TEOREMA 5.6.5

En un espacio vectorial de dimensión finita, todo conjunto generador

contiene una base.

DEMOSTRACION

Sea S´ un conjunto que genera a V. Si V = {}, entonces S´ es una base de

{}. Si V {}, entonces S´ debe contener al menos un vector v1, diferente de

cero. Busquemos otro vector en S´ que no dependa de {v1}. Llamemos a este

vector v2 y busquemos otro vector en S´ que no dependa del conjunto linealmen-

te dependiente {v1}. Continuamos de la misma manera hasta donde podamos,

pero el proceso debe terminar ya que no podemos encontrar más de n vectores

linealmente independientes en S´. Supongamos que se ha hallado el conjunto

S = {v1, v2, ..., vm} con la propiedad de que todo vector en S´ es linealmente

dependiente de S. Entonces el conjunto S también debe generar a V y es una

base.

TEOREMA 5.6.6

En un espacio vectorial de dimensión finita, cualquier conjunto lineal-

mente independiente de vectores se puede extender hasta tener una ba-

se.

DEMOSTRACION

Sea S = {v1, v2, ..., vn} una base de V y S´ = {u1, u2, ..., um} un conjunto lineal-

mente independiente m n. El conjunto {u1, u2, ..., um, v1, v2, ..., vn} genera a V.

Si este conjunto es linealmente dependiente, entonces algún elemento es una

combinación lineal de los elementos precedentes. Este elemento no puede ser

uno de los ui, porque entonces S´ sería linealmente dependiente. Pero entonces

puede eliminarse este vi para obtener un conjunto menor que genera a V. Conti-

nuamos de esta manera, quitando elementos mientras se tenga un conjunto gene-

rador linealmente dependiente. En ningún paso se elimina a alguno de los ui. Ya

que nuestro conjunto generador es finito, este proceso debe terminar con una

base que contenga a S´ como subconjunto.

Como caso especial del teorema, podemos enunciar lo siguiente: si {v1, v2, ...,

vm} es base de un subespacio S de un espacio vectorial V de dimensión finita,

entonces existe una base de V que contiene a v1, v2, ..., vm. Por consiguiente, se

puede extender cada base de un subespacio a una base de la totalidad del espa-

cio vectorial.

TEOREMA 5.6.7

Sea S un conjunto no vacío de vectores en un espacio vectorial V. Si S

es un conjunto linealmente independiente y v es un vector en V que no

pertenece a Span(S), entonces el conjunto que se obtiene al incluir v en

S aún es linealmente independiente.

DEMOSTRACION

Supóngase que S = {v1, v2, ..., vk} es un conjunto linealmente independiente de

vectores en V y que v es un vector en V fuera de Span(S). Para probar que S´ =

{v1, v2, ..., vk, v} es un conjunto linealmente independiente, es necesario demos-

trar que los únicos escalares que satisfacen

a1v1 + a2v2 + ... + akvk + ak+1v =

son a1 = a2 = ... = ak = ak+1 = 0. Pero se debe tener que ak+1 = 0; en caso contra-

rio, v se podría despejar en la ecuación como una combinación lineal de S, con-

tradiciendo la hipótesis de que v es un vector que no pertenece a Span(S). Así, la

ecuación se simplifica a a1v1 + a2v2 + ... + akvk = lo cual, debido a la indepen-

dencia lineal de S, significa que a1 = a2 = ... = ak = 0.

EJEMPLO 5.6.6

Sea Span(S) = {(a, b, c) / a – b + c = 0} y v = (1, -2, 1) 3. Demostrar que el


JOE GARCIA ARCOS

240

conjunto que se forma con la base de Span(S) y el vector v es linealmente inde-

pendiente y, además es base de 3.

SOLUCION

Encontramos una base para el subespacio; Base Span(S) = {(1, 1, 0), (-1, 0, 1)}.

Para verificar que los elementos de la base del subespacio y el vector v forman

una base de 3, construimos una matriz con sus correspondientes elementos y

calculamos su determinante

1 1 0

1 0 1 0

1 2 1

como el determinante de la matriz es diferente de cero, el rango es igual 3 y la

dimensión del conjunto formado por estos elementos es linealmente indepen-

diente y tiene dimensión 3. Por lo tanto el conjunto

S´ = {(1, 1, 0), (-1, 0, 1), (1, -2, 1)}

es base de 3.

Un conjunto S de tres vectores linealmente independientes en 3 genera un

plano que pasa por el origen. Si S se aumenta insertando cualquier vector v fuera

de este plano, entonces el conjunto resultante de tres vectores todavía es lineal-

mente independiente, ya que ninguno de los tres vectores está en el mismo plano

que los otros dos.

TEOREMA 5.6.8

Sea S un conjunto no vacío de vectores en un espacio vectorial V. Si v

es un vector en S que se puede expresar como una combinación lineal

de los demás vectores en S, y si S - {v} denota el conjunto que se ob-

tiene al quitar v de S, entonces S y S - {v} generan el mismo espacio; es

decir,

Span(S) = Span(S - {v}).

DEMOSTRACION

Supóngase que S = {v1, v2, ..., vk} es un conjunto de vectores en V y, para ser

específicos, supóngase que vk es una combinación lineal de v1, v2, ..., vk-1, por

ejemplo

vk = a1v1 + a2v2 + ... + ak-1vk-1 (1)

Se quiere demostrar que si vk se extrae de S, entonces el conjunto de vectores

restantes {v1, v2, ..., vk-1} sigue generando a Span(S); es decir, se debe demostrar

que todo vector u en Span(S) se puede expresar como una combinación lineal de

{v1, v2, ..., vk-1}. Pero si u está en Span(S), entonces u se puede expresar en la

forma

u = b1v1 + b2v2 + ... + bk-1vk-1 + bkvk (2)

o bien, sustituyendo en la ecuación (1)

u = b1v1 + b2v2 + ... + bk-1vk-1 + bk(a1v1 + a2v2 + ... + ak-1vk-1)

que expresa a u como una combinación lineal de v1, v2, ..., vk-1.

Si S es un conjunto de tres vectores no colineales en 3 que están en un plano

común que pasa por el origen, entonces los tres vectores generan el plano. Sin

embargo, si de S se extrae cualquier vector v que sea una combinación lineal de

los otros dos, entonces el conjunto restante de dos vectores sigue generando el

plano.

En general, para probar que un conjunto de vectores {v1, v2, ..., vn} es una base

de un espacio vectorial V, se debe demostrar que los vectores son linealmente

independientes y generan a V. Sin embargo, si se sabe que la dimensión de V es

n, entonces basta verificar ya sea, la independencia lineal o la generación: la otra

condición se cumple automáticamente.


JOE GARCIA ARCOS

241

TEOREMA 5.6.9

Si U es un subespacio vectorial de un espacio vectorial V de dimensión

finita, entonces Dim(U) Dim(V); además, si Dim(U) = Dim(V), en-

tonces U = V.

DEMOSTRACION

Sea S = {u1, u2, ..., um} una base para U. S puede ser una base para V o no. Si es

así, entonces Dim(U) = Dim(V) = m. Si no es así, entonces es posible agregar

vectores al conjunto linealmente independiente S a fin de convertirlo en una

base para V de modo que Dim(U) < Dim(V). Por tanto, Dim(U) Dim(V) en

todos los casos. Si Dim(U) = Dim(V), entonces S es un conjunto de m vectores

linealmente independientes en el espacio vectorial V de dimensión m; por tanto,

S es una base para V. Esto significa que U = V.

Considerando la suma de dos subespacios vectoriales arbitrarios U y W, podre-

mos ver fácilmente que su dimensión depende no sólo de la dimensión de los

subespacios U y W, sino también de cuán grande es la parte común de los mis-

mos. El valor exacto de la dimensión de la suma se determina por el siguiente

teorema.

TEOREMA 5.6.10

Si U y W son subespacios vectoriales de dimensión finita de un espacio

vectorial V, entonces

Dim(U + W) + Dim(U W) = Dim(U) + Dim(W).

DEMOSTRACION

Hemos de verificar que, si U y W son subespacios de dimensión finita de un

espacio vectorial V, entonces Dim(U + W) + Dim(U W) = Dim(U) +

Dim(W). Puesto que U W es subespacio del espacio de dimensión finita U.

Sabemos que U W es de dimensión finita. Como U + W está generado por la

unión de una base de U y una base de W, también es de dimensión finita. Sea

{u1, u2, ..., uk} una base de U W, existen vectores v1, v2, ..., vr en U tales que

{u1, u2, ..., uk, v1, v2, ..., vr} es base de U. De la misma manera, hay vectores w1,

w2, ..., wt en W tales que {u1, u2, ..., uk, w1, w2, ..., wt} es base de W. Vemos

claramente que

Span{u1, u2, ..., uk, v1, v2, ..., vr, w1, w2, ..., wt} = U + W.

Si

a1u1 + a2u2 + ... + akuk + b1v1 + b2v2 + ... + brvr + c1w1 + c2w2 + ... + ctwt = ,

entonces,

v = a1u1 + a2u2 + ... + akuk + b1v1 + b2v2 + ... + brvr = - c1w1 - c2w2 - ... - ctwt

está en U W. Luego existen escalares d1, d2, ..., dk con la propiedad de que

v = d1u1 + d2u2 + ... + dkuk,

de donde tenemos que

d1u1 + d2u2 + ... + dkuk + c1w1 + c2w2 + ... + ctwt = .

Pero {u1, u2, ..., uk, w1, w2, ..., wt} es un conjunto linealmente independiente de

V y, en consecuencia, c1 = c2 = ... = ct = 0. Pero, entonces vemos que

a1u1 + a2u2 + ... + akuk + b1v1 + b2v2 + ... + brvr =

y, como {u1, u2, ..., uk, v1, v2, ..., vr} es base de U y, por tanto, conjunto lineal-

mente independiente, tenemos que a1 = a2 = ... = ak = b1 = b2 = ... = br = 0. Por lo

tanto, hemos hecho ver que {u1, u2, ..., uk, v1, v2, ..., vr, w1, w2, ..., wt} es

linealmente independiente y genera a U + W. Por consiguiente,

Dim(U + W) = t + k + r = (t + k) + (r + k) – k

= Dim(U) + Dim(W) - Dim(U W).

De este teorema se puede deducir una desigualdad que ofrece el valor mínimo

de la dimensión de la intersección de unos subespacios. Consideremos los

subespacios vectoriales U y W de V y sean r y s las dimensiones de estos


JOE GARCIA ARCOS

242

subespacios, n la dimensión de V y m la dimensión de la intersección U W.

En virtud del teorema, la dimensión de la suma U + W es igual a r + s – m. Pero

la dimensión de la suma U + W es no mayor que la dimensión del espacio V.

Por consiguiente, r + s – m n, de donde se tiene m r + s – n. Es decir, la

dimensión de la intersección de dos subespacios vectoriales del espacio V no

puede ser menor que el exceso de la suma de las dimensiones de estos subespa-

cios respecto a la dimensión del espacio vectorial V. Por ejemplo, la intersec-

ción de dos planos del espacio de tres dimensiones contiene siempre una recta,

la intersección de un subespacio de dos dimensiones con un subespacio de tres

dimensiones en un espacio de cuatro dimensiones contiene una recta, la inter-

sección de dos subespacios de tres dimensiones de un espacio de cuatro dimen-

siones contiene un plano, etc.

EJEMPLO 5.6.7

Suponga que V es de dimensión n y que cada uno de los conjuntos U y W es

subespacio de V de dimensión n - 1. Suponga además, que U W. Entonces,

Dim(U W) = n - 2.

SOLUCION

Puesto que U W, uno de los espacios contiene un vector que no está en el otro.

En consecuencia, U + W contiene a uno de U, W o tal vez a ambos, como

subespacio propio. De acuerdo con eso n Dim(U + W) > n - 1 = Dim(U) =

Dim(W); de donde se desprende que Dim(U + W) = n. Entonces se deduce que

Dim(U W) = Dim(U) + Dim(W) - Dim(U + W)

= (n - 1) + (n - 1) – n

= n - 2.

EJEMPLO 5.6.8

Sea U el conjunto de elementos (a, b, c, d) tales que a – b + c = 0. Sea W el

conjunto de elementos (a, b, c, d) tales que b + c + d = 0. Entonces, U W = S

será el conjunto de elementos (a, b, c, d) que cumplan tanto con la condición a – b

+ c = 0 como con la condición b + c + d = 0, y DimS = 2.

SOLUCION

Como podemos apreciar, U, W son subespacios de 4, y DimU = DimW = 3.

Se ve claramente que (1, 1, 0, 0) está en U y no está en W, de manera que

U W. Por lo tanto DimS = 2.

Cuando se definen propiedades y se demuestran teoremas acerca de espacios

vectoriales, suele ser aconsejable, y, habitualmente, más fácil, trabajar sin tomar

una base particular. Cuando se define una propiedad por medio de una base, es

necesario determinar si esa propiedad es intrínseca del espacio vectorial o si

depende explícitamente de una base en particular. Por eso, al definir la dimen-

sión de un espacio vectorial, nos aseguramos con mucho cuidado de que no

dependíamos, al hacerlo, de una base en particular, sino que teníamos una pro-

piedad que poseen todas las bases y, por consiguiente, intrínseca al espacio

vectorial. Sin embargo, cuando se hacen cálculos, se encuentra que las cosas se

simplifican al usar una base en particular.

Si se sabe que la cantidad que se va a calcular es independiente, de la base usa-

da, entonces podemos estar seguros de que nuestro resultado será el mismo, al

margen de nuestra elección de base. Es habitual que los cálculos se pueden

hacer con mucha facilidad si se elige la base adecuada.

TEOREMA 5.6.11

La dimensión de una suma directa de subespacios es igual a la suma de

las dimensiones de estos subespacios.


JOE GARCIA ARCOS

243

DEMOSTRACION

Si tenemos dos sumandos, entonces la dimensión de la suma es igual, por el

teorema anterior. Pero, la intersección de subespacios en el caso de una suma

directa es nula y su dimensión es igual a cero. Por esto, la dimensión de una

suma directa de dos subespacios es igual a la suma de sus dimensiones.

TEOREMA 5.6.12

La dimensión del espacio de soluciones del sistema homogéneo con n

incógnitas AX = O es igual a la diferencia n – r, donde r es el rango del

sistema AX = O.

Como consecuencia de este teorema, podemos enunciar lo siguiente: para que

un sistema de n ecuaciones lineales homogéneas de n incógnitas AX = O no

tenga soluciones no nulas, es necesario y suficiente que la matriz A de este

sistema sea no singular. Efectivamente, la condición n = r significa que el rango

de la matriz A debe coincidir con su orden, es decir, la matriz A debe ser no

singular. Otra consecuencia es la siguiente: para que un sistema de n ecuaciones

lineales homogéneas de n incógnitas tenga solución no nula es necesario y sufi-

ciente que el determinante de la matriz de este sistema sea igual a cero. En efec-

to, una matriz cuadrada es singular si, y sólo si, su determinante es igual a cero.

En un espacio vectorial V de dimensión finita, cualquier conjunto dado de vec-

tores linealmente independientes de V forma parte de alguna base de V. En

realidad, hay muchas bases así. Se dice que la base S = {v1, ..., vm, ..., vn} es la

extensión a una base de V del conjunto linealmente independiente {v1, v2, ...,

vm}.

Un conjunto S de tres vectores linealmente independientes en 3 genera un

plano que pasa por el origen. Si S se aumenta insertando cualquier vector v fuera

de este plano, entonces el conjunto resultante de tres vectores todavía es lineal-

mente independiente, ya que ninguno de los tres vectores está en el mismo plano

que los otros dos.

Considerando la suma de dos subespacios vectoriales arbitrarios U y W, podre-

mos ver fácilmente que su dimensión depende no sólo de la dimensión de los

subespacios U y W, sino también de cuán grande es la parte común de los mis-

mos.

Consideremos los subespacios vectoriales U y W de V y sean r y s las dimen-

siones de estos subespacios, n la dimensión de V y m la dimensión de la inter-

sección U W. La dimensión de la suma U + W es igual a r + s – m. Pero la

dimensión de la suma U + W es no mayor que la dimensión del espacio V. Por

consiguiente, r + s – m n, de donde se tiene m r + s – n. Es decir, la dimen-

sión de la intersección de dos subespacios vectoriales del espacio V no puede

ser menor que el exceso de la suma de las dimensiones de estos subespacios

respecto a la dimensión del espacio vectorial V. Por ejemplo, la intersección de

dos planos del espacio de tres dimensiones contiene siempre una recta, la inter-

sección de un subespacio de dos dimensiones con un subespacio de tres dimen-

siones en un espacio de cuatro dimensiones contiene una recta, la intersección

de dos subespacios de tres dimensiones de un espacio de cuatro dimensiones

contiene un plano, etc.

% COMPRUEBA SI UN SISTEMA DE VECTORES S ES BASE

clc;clear;

fprintf('\n BASE Y DIMENSION \n')




JOE GARCIA ARCOS

244


fprintf('Ingrese los vectores del sistema S\n')

for f=1:fil

fprintf('\nIngrese la Ecuacion (%d)\n', f)

for c=1:col

fprintf('Ingrese el elemento %d',f)

S(f,c)=input(' :');

end

end

fprintf('LA MATRIZ DE VECTORES ES:\n')

S

fprintf('LA MATRIZ REDUCIDA ES:')

R= rref(S);

R

if (rank(S)==fil)

fprintf('EL SISTEMA DE VECTORES S ES UNA BASE \n')

DimS=rank(R)

else

fprintf('EL SISTEMA DE VECTORES S NO ES UNA BASE \n')

end

EJEMPLO 5.6.9

Si a, b, c son números reales, si c 0 y si S es el conjunto de todos los vectores (x, y, z) de 3

con la propiedad de que ax + by + cz = 0, entonces S es subespacio de V y Dim(S) = 2.

SOLUCION

Como ax + by + cz = 0 es un plano que pasa por el origen, entonces vemos que S es subespacio

de 3. Sean k = - a/c, r = - b/c. Entonces, podemos describir a S como el conjunto de todos los

(x, y, z) tales que kx + ry - z = 0. Además, observamos que u = (1, 0, k) y v = (0, 1, r) están en S.

Podemos demostrar que u, v son linealmente independientes. Si w = (x, y, z) S, entonces

z = kx + ry, de manera que w = (x, y, kx + by) = xu + yv. En consecuencia, Span{u, v} = S.

Como u, v es un conjunto linealmente independiente, concluimos que constituye una base de

S.

EJEMPLO 5.6.10

Sea S = {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (1, 1, 1), (3, 2, 1)} 3. Demuestre que tanto S como S´ = {(1, 2,

3), (0, 1, 2), (1, 1, 1)} generan el mismo subespacio.

SOLUCION

Para encontrar el Span(S), construimos la matriz aumentada de la siguiente manera:

1 0 1 3

2 1 1 2

3 2 1 1

a

b

c

1 0 1 3

0 1 1 4 2

0 2 2 8 3

a

a b

a c

1 0 1 3

0 1 1 4 2

0 0 0 0 2

a

a b

a b c

de donde

Span(S) = {(a, b, c) / a – 2b + c = 0}.

Para encontrar el Span(S´), construimos la matriz aumentada de la siguiente manera:

1 0 1

2 1 1

3 2 1

a

b

c

1 0 1

0 1 1 2

0 2 2 3

a

a b

a c

1 0 1

0 1 1 2

0 0 0 2

a

a b

a b c

de donde

Span(S´) = {(a, b, c) / a – 2b + c = 0}.

Por lo tanto concluimos que Span(S) = Span(S´).

EJEMPLO 5.6.11

Suponga que V es de dimensión n y que cada uno de los conjuntos U y W es subespacio de V

de dimensión n - 1. Suponga además, que U W. Entonces, Dim(U W) = n - 2.

SOLUCION

Puesto que U W, uno de los espacios contiene un vector que no está en el otro. En consecuen-


JOE GARCIA ARCOS

245

cia, U + W contiene a uno de U, W o tal vez a ambos, como subespacio propio. De acuerdo con

eso

n Dim(U + W) > n - 1 = Dim(U) = Dim(W)

de donde se desprende que Dim(U + W) = n. Entonces se deduce que

Dim(U W) = Dim(U) + Dim(W) - Dim(U + W) = (n - 1) + (n - 1) – n = n - 2.

EJEMPLO 5.6.12

Sea U el conjunto de elementos (a, b, c, d) tales que a – b + c = 0. Sea W el conjunto de elementos

(a, b, c, d) tales que b + c + d = 0. Entonces, U W = S será el conjunto de elementos (a, b, c, d)

que cumplan tanto con la condición a – b + c = 0 como con la condición b + c + d = 0, y

Dim(S) = 2.

SOLUCION

Como podemos apreciar, U, W son subespacios de R4, y Dim(U) = Dim(W) = 3. Se ve

claramente que (1, 1, 0, 0) está en U y no está en W, de manera que U W. Por lo tanto

Dim(S) = 2.

EJEMPLO 5.6.13

Hallar una base cualquiera y la dimensión del subespacio generado por los sistemas de polinomios

siguientes:

a.- {3t2 + 2t + 1, 4t

2 + 3t + 2, 3t

2 + 2t + 3, t

2 + t + 1, 4t

2 + 3t + 4};

b.- {t3 + 2t

2 + 3t + 4, 2t

3 + 3t

2 + 4t + 5, 3t

3 + 4t

2 + 5t + 6, 4t

3 + 5t

2 + 6t + 7}.

SOLUCION

a.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del sistema dado y luego

procedemos a calcular el rango de dicha matriz:

3 2 1

4 3 2

3 2 3

1 1 1

4 3 4

3 0 , 3 2

04 3

,

3 2 1

4 3 2 0

3 2 3

.

Como el rango de la matriz es 3, entonces la base buscada es {3t2 + 2t + 1, 4t

2 + 3t + 2, 3t

2 + 2t + 3}

y su dimensión es 3.

b.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del sistema dado y luego

procedemos a calcular el rango de dicha matriz:

1 2 3 4

2 3 4 5

3 4 5 6

4 5 6 7

1 2 3 4

0 1 2 3

0 2 4 6

0 3 6 9

1 2 3 4

0 1 2 3

0 0 0 0

0 0 0 0

Como el rango de la matriz es 2, entonces la base buscada es {t3 + 2t

2 + 3t + 4, 2t

3 + 3t

2 + 4t + 5} y

su dimensión es 3.

EJEMPLO 5.6.14

Hallar los valores de a y b, para que el sistema de vectores siguientes sea una base de 3:

a.- {(a, 1, 1), (1, a, 1), (1, 1, a)};

b.- {(a + 1, 1, 1), (1, a + 1, 1), (1, 1, a + 1)};

c.- {(1, a + 1, a), (a + 1, a + 2, a + 3), (a, 0, a + 4)};

d.- {(a – i, 0, 1), (0, a, 0), (1, -2ia, a – i)};

e.- {(a, 1, 1), (b, ab, b), (1, 1, a)};

f.- {(2a - b, 1, b – a), (0, a, 0), (2a - 2b, 2, 2b – a)}.

SOLUCION

a.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente

independiente. Por lo tanto formaremos un determinante, cuyas filas son los vectores del sistema:


JOE GARCIA ARCOS

246

2

1 1

1 1 ( 2)( 1)

1 1

a

a a a

a

.

En este caso (a + 2)(a – 1)2 0, de donde obtenemos que a -2 y a 1.

b.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente


2

1 1 1

1 1 1 ( 3)

1 1 1

a

a a a

a

.

En este caso a2(a + 3) 0, de donde obtenemos que a 0 y a -3.

c.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente


2

1 1

1 2 3 (1 )( 2)

0 4

a a

a a a a a

a a

.

En este caso (1 – a)(a + 2)2 0, de donde obtenemos que a 1 y a -2.

d.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente


0 1

0 0 ( 1 )( 1 )

1 2

a i

a a a i a i

ia a i

.

En este caso a(a + 1 – i)(a – 1 – i) 0, de donde obtenemos que a 0, a -1 + i y a 1 + i.

e.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente


2

1 1

( 2)( 1)

1 1

a

b ab b b a a

a

.

En este caso b(a + 2)(a – 1)2 0, de donde obtenemos que b 0, a -2 y a 1.

f.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente


2

2 1

0 0

2 2 2 2

a b b a

a a b

a b b a

.

En este caso a2b 0, de donde obtenemos que a 0 y b 0.

EJEMPLO 5.6.15

Sea S el conjunto de los vectores (a, b, c, d, e) de 5 tales que

0

0

a b c

b d e

Determínese una base de S. Encuéntrese una base de 5 que sea extensión de la base obtenida para

S.

SOLUCION

Para encontrar una base para S, debemos resolver el sistema de ecuaciones:

1 1 1 0 0 0

0 1 0 1 1 0

1 0 1 1 1 0

0 1 0 1 1 0

donde a = - c – d – e y b = - d – e. Con estas condiciones reemplazamos en el vector (a, b, c, d, e)

para obtener la base:

(a, b, c, d, e) = (- c – d – e, - d – e, c, d, e) = c(-1, 0, 1, 0, 0) + d(-1, -1, 0, 1, 0) + e(-1, -1, 0, 0, 1)

Base S = {(-1, 0, 1, 0, 0), (-1, -1, 0, 1, 0), (-1, -1, 0, 0, 1)}


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247

A continuación extendemos esta base a una para 5:

1 0 1 0 0

1 1 0 1 0

1 1 0 0 1

a b c d e

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 0 0a b c

a b c d

El cuarto elemento se puede obtener de la condición a – b + c 0, que puede ser (1, 1, 1, 0, 0). El

quinto elemento lo encontramos con la misma condición pero diferente al anterior, éste puede ser

(0, 0, 1, 1, 1). Entonces la base es:

Base 5 = {{(-1, 0, 1, 0, 0), (-1, -1, 0, 1, 0), (-1, -1, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1, 1)}.

EJEMPLO 5.6.16

Sea S el conjunto de los polinomios reales de grado no mayor que 5 que tienen a 1 como cero.

Determínese una base de S. Encuéntrese Dim(S). Encuéntrese una base de 5 que sea extensión de

la base ya determinada de S.

SOLUCION

Este conjunto se puede expresar como:

S = {p 5 / p(t) = (t – 1)(a + bt + ct2 + dt

3 + et

4), a, b, c, d, e }.

Expandiendo el polinomio, obtenemos:

p(t) = - a + (a – b)t + (b – c)t2 + (c – d)t

3 + (d – e)t

4 + et

5

Una base para S es:

Base S = {(-1, 1, 1, 0, 0, 0, 0,), (0, -1, 1, 0, 0, 0), (0, 0, -1, 1, 0, 0), (0, 0, 0, -1, 1, 0),

(0, 0, 0, 0, -1, 1)}.

Por tanto la dimensión de S es 5. Para encontrar una base de 5, debemos construir un

determinante cuya última fila este compuesta por un polinomio cuyos coeficientes sean

incógnitas:

1 1 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0

0 0 1 1 0 0

0 0 0 1 1 0

0 0 0 0 1 1

a b c d e f

a b c d e f

.

Como falta un elemento para completar la base de 5, entonces este elemento se puede obtener de

la condición a + b + c + d + e + f 0. Una posible base es:

Base P5 = {(-1, 1, 1, 0, 0, 0, 0,), (0, -1, 1, 0, 0, 0), (0, 0, -1, 1, 0, 0), (0, 0, 0, -1, 1, 0),

(0, 0, 0, 0, -1, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1)}.

EJEMPLO 5.6.17

Hallar los valores de a y b, para que el sistema de vectores siguientes sea una base de 4:

a.- {(1, a, b, a – b), (a, a, 0, 0), (b, 0, b, 0), (a – b, 0, 0, a – b)};

b.- {(1, a, a, a), (a, 1, a, a), (a, a, 1, a), (a, a, a, 1)};

c.- {(2, 1, 1, a), (b, b, 2b, b), (1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0)};

d.- {(a + 3, -a, a, -a), (a, 3 – a, a – 1, 1 – a), (0, 0, a + 1, 1 – a), (0, 0, a – 1, 3 – a)};

e.- {(a + 2, 0, -2, 0), (2a + 4, -1, -a – 3, a + 1), (0, 0, a, 0), (2a, -a – 1, 1 – a, 2a + 1)}.

SOLUCION

a.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente


1

0 0( )(2 1)

0 0

0 0

a b a b

a aab b a a

b b

a b a b

.

En este caso ab(b – a)(2a - 1) 0, de donde obtenemos que a 0, b 0, a ½ y b ½ .


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248

b.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente


3

1

1(1 ) (3 1)

1

1

a a a

a a aa a

a a a

a a a

.

En este caso (1 – a)3(3a + 1) 0, de donde obtenemos que a 1 y a -1/3.

c.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente


2 1 1

22 (1 )

1 1 0 0

0 1 1 0

a

b b b bb a .

En este caso 2b(1 – a) 0, de donde obtenemos que b 0 y a 1.

d.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente


3

3 1 136

0 0 1 1

0 0 1 3

a a a a

a a a a

a a

a a

.

En este caso para cualquier valor de a, el sistema es base de 4.

e.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente


3

2 0 2 0

2 4 1 3 1( 2)

0 0 0

2 1 1 2 1

a

a a aa a

a

a a a a

.

En este caso a3(a + 2) 0, de donde obtenemos que a 0 y a -2.

EJEMPLO 5.6.18

Sea S el conjunto de los polinomios reales de grado no mayor que 5 cuya derivada tercera es cero

en 0. Hágase ver que S es subespacio de 5. Determínese una base de S y hágase su extensión a

una base de 5.

SOLUCION


S = {p 5 / p´´´(0) = 0}.

Haciendo que p(t) = a + bt + ct2 + dt

3 + et

4 + ft

5, entonces p´´´(t) = 6d + 24et + 60ft

2, p´´´(0) = 6d =

0, d = 0. Una base para S es:

Base S = {(1, 0, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 0, 1)}.



incógnitas:

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

d

a b c d e f

.



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249

la condición d 0. Una posible base es:

Base P5 = {(1, 0, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 0, 1),

(1, 1, 1, 1, 1, 1)}.

EJEMPLO 5.6.19

Sea S el conjunto de los polinomios reales p(t) de grado no mayor que 5 con la propiedad de que

p´(3) = 0. Hágase ver que S es subespacio de 5. Determínese una base de S y hágase su extensión

a una base de 5.

SOLUCION


S = {p 5 / p´(3) = 0}.

Haciendo p(t) = a + bt + ct2 + dt

3 + et

4 + ft

5, entonces p´(3) = b + 6c + 27d + 108e + 405f, b + 6c +

27d + 108e + 405f = 0. Una base para S es:

Base S = {(1, 0, 0, 0, 0, 0), (0, -6, 1, 0, 0, 0), (0, -27, 0, 1, 0, 0), (0, -108, 0, 0, 1, 0),

(0, -405, 0, 0, 0, 1)}.



incógnitas:

1 0 0 0 0 0

0 6 1 0 0 0

0 27 0 1 0 06 27 108 405

0 108 0 0 1 0

0 405 0 0 0 1

b c d e f

a b c d e f

.


la condición b + 6c + 27d + 108e + 405f 0. Una posible base es:

Base 5 = {(1, 0, 0, 0, 0, 0), (0, -6, 1, 0, 0, 0), (0, -27, 0, 1, 0, 0), (0, -108, 0, 0, 1, 0),

(0, -405, 0, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1)}.

PROBLEMAS

5.6.1 Demuestre que si S = {u1, u2, ..., uk} es una base de

un espacio vectorial V y es un escalar no nulo,

entonces el conjunto S1 = {u1, u2, ..., uk} también es

una base de V.

5.6.2 Muéstrese gráficamente que w = u – v, z = u + v

son linealmente independientes y que, por lo tanto, for-

man una base.

5.6.3 Sea V el conjunto generado por

u = Cos2x, v = Sen

2x, w = Cos2x:

a.- Demuestre que S = {u, v, w} no es una base para V.

b.- Determine una base para V.

5.6.4 Sea V el espacio vectorial de todas las funciones

continuas en el intervalo [-; ]. Sea U el subconjunto de

V que consta de todas las funciones f que satisfacen las

tres ecuaciones ( ) 0f t dt

, ( ) 0f t Costdt

,

( ) 0f t Sentdt

:

a.- Demostrar que U es un subespacio de V.

b.- Demostrar que U contiene las funciones f(x) = Cosnx

y f(x) = Sennx para cada n = 2, 3, ...

c.- Demuestre que U es de dimensión infinita.

5.6.5 Sean f1, …, fk elementos de un espacio vectorial

V de funciones. Demuéstrense los siguientes enuncia-

dos:

a.- Si f1 = 0, entonces f1, …, fk son linealmente depen-

dientes.

b.- Si se puede expresar f1 como combinación lineal de

f2, …, fk, entonces f1, …, fk son linealmente dependien-

tes.

c.- Si k 2 y si f1, …, fk son linealmente dependientes,

entonces una de las funciones se puede expresar como

combinación lineal de las demás.

d.- Si f1, …, fk son linealmente independientes y si h <

k, entonces f1, …, fk son linealmente independientes.

e.- Si f1, …, fk constituyen una base de V, entonces f1,

…, fk son linealmente independientes.

f.- Si f1, …, fk son linealmente independientes y si c1f1

+ … + ckfk = a1f1 + … + akfk, entonces c1 = a1, …, ck =

ak.


JOE GARCIA ARCOS

250

5.6.6 Demuestre que si U es un subespacio de un

espacio vectorial V de dimensión finita, entonces la

dimensión de U es menor o igual que la dimensión de V.

5.6.7 Demuéstrese que Cosx, Cos2x, Cos3x son lineal-

mente independientes y que, por lo tanto, forman una

base.

5.6.8 Sea V el conjunto de todas las funciones raciona-

les de la forma

( 1)( 2)

ax b

x x

, x 1, x 2

a.- Hágase ver que V es espacio vectorial de dimensión

2.

b.- Demuéstrese que 1

1( )

1g x

x

, 2

1( )

2g x

x

están

en V, son linealmente independientes y forman una base

de V.

5.6.9 Sea V el conjunto de todas las funciones raciona-

les de la forma 2

2( 4)

ax bx c

x x

, x 0, x 2, x -2

a.- Hágase ver que V es espacio vectorial de dimensión

3.

b.- Demuéstrese que

1

1( )g x

x , 2

1( )

2g x

x

, 3

1( )

2g x

x

están en V, son linealmente independientes y forman una

base de V.

5.6.10 a.- Sea W el conjunto de los vectores de 5

tales que a1 – a2 + a3 = 0 y a2 + a4 + a5 = 0. Determínese

una base de W. Encuéntrese una base de 5 que sea

extensión de la base obtenida para W.

b.- Sea U el subespacio de los vectores de 5 tales que

2a1 – a2 + a3 – a5 = 0 y a1 + a2 – a4 + 6a5 = 0. Determíne-

se una base de U. Encuéntrese una base de 5 que sea

extensión de la base obtenida para U.

c.- Hágase ver que Dim(U W) 1.

d.- Encuéntrese una base de U W.

5.6.11 Demuestre que el conjunto de las matrices trian-

gulares de m x n constituye un espacio vectorial de

dimensión 21( )

2mn m m si m n, y de dimensión

21( )

2n n si n m.

5.6.12 Determine una base del subespacio S de n y

determine la dimensión del subespacio:

a.- S consiste en todos los vectores (x, y, -y, -x) en 4;

b.- S consiste en todos los vectores (x, y, 2x, 3y) en 4;

c.- S consiste en todos los vectores del plano 2x – y + z

= 0 en el espacio 3;

d.- S consiste en todos los vectores (x, y, -y, x – y, z) en

5;

e.- S consiste en todos los vectores en 4 con la segun-

da componente cero;

f.- S consiste en todos los vectores (-x, x, y, 2y) en 4;

g.- S consiste en todos los vectores paralelos a la recta

y = 4x en 2;

h.- S consiste en todos los vectores del plano 4x + 2y –

z = 0 en 3.

5.6.13 Sea {u, v, w} una base de un espacio vectorial V.

Demuestre que {x, y, z} también es una base, donde u = x,

y = u + v, z = u + v + w.

5.6.14 Sea W el espacio generado por f = Senx y

g = Cosx:

a.- Demuestre que para cualquier valor de , f1 = Sen(x +

) y g1 = Cos(x + ) son vectores en W.

b.- Demuestre que f1 y g1 forman una base para W.

5.6.15 En 3, todos los vectores de un plano que

pasa por el origen forman un subespacio S de 3. De-

termine la dimensión de S para cualquier plano .

5.6.16 En 2, todos los vectores paralelos a una recta

dada L que pasa por el origen forman un subespacio S.

Determine la dimensión de S para cualquier recta L.

5.7 VECTOR DE COORDENADAS. CAMBIO DE BASE

En esta sección se estudiará la relación entre los coeficientes de una combinación lineal con un vector de

coordenadas. Enunciaremos y demostraremos sus propiedades.

Anteriormente se ha considerado las propiedades generales de los espacios

vectoriales. Sin embargo, en las aplicaciones, además de conocer las propiedades

generales, es importante saber definir los vectores en términos de números y poder

reducir las operaciones vectoriales a operaciones con números. Este problema se

resuelve introduciendo las coordenadas de un espacio vectorial. Toda base de un

espacio vectorial V, cuyos vectores se toman en un orden determinado, se llamará


JOE GARCIA ARCOS

251

sistema de coordenadas de V. Por consiguiente, si B = {u1, u2, ..., un} es un sistema

de coordenadas de V, estos mismos vectores, pero tomados en otro orden,

representarán otro sistema de coordenadas de V.

DEFINICION 5.7.1

Sea V un espacio vectorial n-dimensional y sea B = {u1, u2, ..., un} una base

de V. Defínase el vector de coordenadas de u respecto de la base B, el cual

se denota por uB, como el vector uB = (a1, a2, ..., an) n, en donde los

escalares a1, a2, ..., an son tales que u = a1u1 + a2u2 + ... + anun.

Sean B1 = {u1, u2, ..., un} y B2 = {v1, v2, ..., vn} dos bases del espacio vectorial n

sobre el cuerpo K. Sea u un vector arbitrario del espacio vectorial. Nos proponemos

encontrar una relación entre las coordenadas de u respecto de la primera y segunda

base respectivamente. Para poder establecer esta relación se necesita conocer las

coordenadas de los vectores de una de las bases dadas respecto de la otra.

Supongamos conocidas las componentes de los vectores de la base B1 respecto de la

base B2.

1 11 1 1 2 2 1

2 21 1 2 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

n n n n n n

u a v a v a v

u a v a v a v

u a v a v a v

(1)

El vector u, respecto de la base B2, se expresa de forma única como u = a1u1 + a2u2 +

... + anun, por otro lado, al ser también B1 una base, el vector u admite la siguiente

expresión:

u = b1u1 + b2u2 + ... + bnun

Por (1) se tiene:

u = b1(a11v1 + a12v2 + ... + a1nvn) + b2(a21v1 + a22v2 + ... + a2nvn) + ... + bn(an1v1 + an2v2

+ ... + annvn)

= (b1a11 + b2a21 + ... + bnan1)v1 + (b1a12 + b2a22 + ... + bnan2)v2 + ... + (b1a1n + b2a2n

+ ... + bnan n)vn

Luego

1 1 11 2 21 1

2 1 12 2 22 2

1 1 2 2

n n

n n

n n n n nn

a b a b a b a

a b a b a b a

a b a b a b a

que son las ecuaciones que permiten relacionar las coordenadas de un mismo vector

respecto de las bases B1 y B2.

El concepto de espacio vectorial tiene dos facetas esencialmente diferentes. En

primer lugar, un espacio vectorial es un conjunto de ciertos entes que se denominan

vectores y, en segundo lugar, en un espacio vectorial actúan las operaciones de

adición y de multiplicación por un número. Por esto, o bien podemos limitarnos a

estudiar qué es lo que representan los vectores y cuáles son la naturaleza y las

propiedades de los mismos, o bien podemos tomar otro punto de vista y estudiar las

propiedades de las operaciones indicadas independientemente de la naturaleza de los

elementos con los cuales se efectúan estas operaciones. En lo sucesivo nos

interesarán solamente las propiedades del segundo género. Por ello, dos espacios de

la misma estructura respecto a las operaciones de adición y de multiplicación por

números se considerará que tienen las mismas propiedades o que son isomorfos.


JOE GARCIA ARCOS

252

DEFINICION 5.7.2

Dos espacios vectoriales U y V dados sobre un mismo cuerpo K se llaman

isomorfos, si se puede establecer tal correspondencia biyectiva entre sus

vectores que a la suma de cualesquiera dos vectores del primer espacio le

corresponda la suma de los vectores correspondientes del segundo espacio y

al producto de un escalar por un vector del primer espacio le corresponda el

producto de este mismo escalar por el vector correspondiente del segundo

espacio.

Toda correspondencia biyectiva que posee las propiedades indicadas se llama

isomorfismo.

TEOREMA 5.7.1

En una correspondencia isomorfa el vector nulo corresponde al vector nulo.

DEMOSTRACION

Supongamos que en una aplicación isomorfa de un espacio vectorial V sobre otro

espacio vectorial W el vector v de V corresponde al vector w de W. Entonces, según

la definición, el vector nulo del primer espacio debe transformarse en el vector nulo

del segundo espacio.

TEOREMA 5.7.2

En una aplicación isomorfa un sistema de generadores del primer espacio se

transforma en un sistema de generadores del segundo sistema.

DEMOSTRACION

Sean v1, v2, ..., vt unos generadores del espacio V y sean w1, w2, ..., wt los vectores

que les corresponden en el espacio W. Tomemos en W un vector arbitrario w y

consideremos el vector v de V. Por hipótesis, el vector v puede ser representado en la

forma v = a1v1 + a2v2 + ... + atvt.

Según la definición, la suma a1v1 + a2v2 + ... + atvt, debe transformarse en la suma

a1w1 + a2w2 + ... + atwt y, por consiguiente, el vector w debe coincidir con la suma

a1w1 + a2w2 + ... + atwt, es decir, los vectores w1, w2, ..., wt constituyen un sistema de

generadores del espacio W.

TEOREMA 5.7.3

A un sistema linealmente independiente de vectores le corresponde de

nuevo un sistema linealmente independiente.

DEMOSTRACION

Supongamos que los vectores linealmente independientes v1, v2, ..., vm del espacio V

se transforman en los vectores w1, w2, ..., wm del espacio W. Supongamos que entre

los últimos existe una relación de tipo

b1w1 + b2w2 + ... + bmwm = .

Según la definición, al primer miembro de esta igualdad corresponde en el espacio V

el vector

b1v1 + b2v2 + ... + bmvm

y al vector nulo corresponde en el espacio V el vector nulo . Por consiguiente

b1v1 + b2v2 + ... + bmvm = .

Puesto que los vectores v1, v2, ..., vm son linealmente independientes se tiene

b1 = b2 = ... = bm = 0,

es decir, los vectores w1, w2, ..., wm son linealmente independientes.

De estos teoremas se deduce directamente que en un isomorfismo una base de un

espacio vectorial se transforma de nuevo en una base de un espacio vectorial y, por

consiguiente, los espacios vectoriales isomorfos tienen la misma dimensión. La

afirmación recíproca es también válida: si dos espacios vectoriales sobre un mismo

cuerpo de coeficientes tienen la misma dimensión, son isomorfos.


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253

EJEMPLO 5.7.1

Considere el conjunto de vectores en 3, B = {(3, 1, 2), (-1, 0, 2), (4, 3, 5)}:

a.- Demuestre que B es una base de 3;

b.- Encuentre (3, 4, 6) en B;

c.- Para un vector cualquiera u 3, encuentre u en B.

SOLUCION

Es fácil verificar que los vectores {(3, 1, 2), (-1, 0, 2), (4, 3, 5)} forman una base de

3. Es decir, debemos aprovechar que podemos calcular el determinante del sistema

de vectores

3 1 4

1 0 3 0

2 2 5

como el determinante es diferente de cero, podemos concluir que el sistema B es

linealmente independiente y por lo tanto es una base. Aprovechando las operaciones

elementales que se pueden realizar sobre matrices para resolver sistemas de

ecuaciones, podemos evaluar los puntos b) y c) inmediatamente, es decir:

3 1 4 3

1 0 3 4

2 2 5 6

a

b

c

3 1 4 3

0 1 5 4 3

0 8 7 12 2 3

a

a b

a c

3 0 9 12 3

0 1 5 9 3

0 0 11 20 2 8 3

a

a b

a b c

33 0 0 48 18 39 9

0 11 0 1 7 5

0 0 11 20 2 8

a b c

a b c

a b c

De esta manera tenemos que 1

16

11 , 2

1

11 y 3

20

11 , con lo que podemos

decir que

16 1 20

(3, 4, 6) , ,11 11 11

B

1

(3, 4, 6) 6 13 3 , 7 5 , 2 811

a b c a b c a b c B

.

EJEMPLO 5.7.2

En 3 considere las dos bases

B1 = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} y B2 = {(2, 1, 2), (1, 0, 3), (-1, 4, -2)}:

a.- Encuentre 1

[(1,1, 3)]B ;

b.- Encuentre 2

[(1,1, 3)]B ;

c.- Encuentre la matriz de cambio de base de B1 a B2;

d.- Encuentre la matriz de cambio de base de B2 a B1;

e.- Obtenga los resultados de los incisos a) y b) use las matrices obtenidas en los

incisos c) y d).

SOLUCION a.- (1, 1, 3) = a1(1, 1, 1) + a2(1, 1, 0) + a3(1, 0, 0)

(1, 1, 3) = 3(1, 1, 1) – 2(1, 1, 0) + 0(1, 0, 0)

1[(1,1, 3)]B = (3, -2, 0)

T.

b.- (1, 1, 3) = b1(2, 1, 2) + b2(1, 0, 3) + b3(-1, 4, -2)

(1, 1, 3) = 1/17(2, 1, 2) + 10/17(1, 0, 3) + 4/17(-1, 4, -2)

2[(1,1, 3)]B = (1/17, 19/17, 4/17)

T.

c.-

2 1 1 1 1 1

1 0 4 1 1 0

2 3 2 1 0 0

2 1 1 1 1 1

0 1 9 1 1 1

0 2 1 0 1 1


JOE GARCIA ARCOS

254

2 0 8 2 2 0

0 1 9 1 1 1

0 0 17 2 1 3

1 0 0 9 /17 13/17 12 /17

0 1 0 1/17 8 /17 10 /17

0 0 1 2 /17 1/17 3/17

2 1

9 13 12

17 17 17

1 8 10P

17 17 17

2 1 3

17 17 17

B B

d.-

1 1 1 2 1 1

1 1 0 1 0 4

1 0 0 2 3 2

1 1 1 2 1 1

0 0 1 1 1 5

0 1 1 0 2 1

1 1 1 2 1 1

0 1 2 1 1 4

0 1 1 0 2 1

1 0 1 1 2 3

0 1 2 1 1 4

0 0 1 1 1 5

1 0 0 2 3 2

0 1 0 1 3 6

0 0 1 1 1 5

1 2

2 3 2

P 1 3 6

1 1 5

B B

e.- 1 21 2[(1,1, 3)] P [(1,1, 3)] B BB B = (3, -2, 0)

T

2 12 1[(1,1, 3)] P [(1,1, 3)] B BB B = (1/17, 19/17, 4/17)T.

PROBLEMAS

5.7.1 En 2 considere las dos bases

B1 = {1 - t – t2, - 1 – 2t

2, t + 2t

2}

y

B2 = {3 + 6t2, 2 + t + 6t

2, t

2}:

a.- Encuentre 1

2[1 ]t t B ;

b.- Encuentre 2

2[1 ]t t B ;



e.- Obtenga los resultados de los incisos a) y b) use las

matrices obtenidas en los incisos c) y d).

5.7.2 Sea P la matriz de transición de B2 a B1 y sea Q la

matriz de transición de B1 a B2. ¿Cuál es la matriz de

transición de B2 a B1?

5.7.3 En C3 considere las dos bases

B1 = {(1 + i, 2 – i, 1), (3 + 2i, 4 – 4i, 1), (i, 2, -i)}

y

B2 = {(1, i, 1 + i), (1, i, -i), (2i, 1, 1 – i)}:

a.- Encuentre 1

[(2 , 3,1 )]i i B ;

b.- Encuentre 2

[(2 , 3,1 )]i i B ;





5.7.4 En (2 x 2) considere las dos bases

B1 = 1 1 1 1 1 0 0 1

, , ,1 1 1 1 1 0 2 0

y

B2 = 1 1 1 1 1 1 1 0

, , ,1 1 1 0 0 0 0 0

:

a.- Encuentre

1

1 2

7 4

B

;

b.- Encuentre

2

1 2

7 4

B

;





5.7.4 Sea P la matriz de transición de B2 a B1, y sea Q

matriz de transición de B1 a B. ¿Cuál es la matriz de

transición de B a B2?


JOE GARCIA ARCOS

255

5.8 CUESTIONARIO

Responda verdadero (V) o falso (F) a cada una de las siguientes afirmaciones. Para las afirmaciones que sean falsas,

indicar por que lo es:

5.8.1 Todos los polinomios de grado 3 que poseen coe-

ficientes reales forman un espacio vectorial.

5.8.2 Las matrices antisimétricas no forman un subespa-

cio vectorial de todas las matrices cuadradas de n x n.

5.8.3 Todos los vectores de n, que tienen iguales la

primera y última coordenada forman un subespacio vec-

torial.

5.8.4 Tres vectores no coplanares u, v y w, son lineal-

mente dependientes.

5.8.5 Un sistema de vectores que contiene dos vectores

iguales es linealmente dependiente.

5.8.6 Un sistema de vectores cuyos dos vectores se

diferencian por un factor escalar es linealmente indepen-

diente.

5.8.7 Un sistema de vectores que contiene al vector

nulo es linealmente dependiente.

5.8.8 Si una parte del sistema de vectores es linealmente

dependiente, entonces todo el sistema también es lineal-

mente dependiente.

5.8.9 Cualquier parte de un sistema de vectores lineal-

mente independiente es por sí misma linealmente depen-

diente.

5.8.10 Si tres vectores u1, u2 y u3 son linealmente de-

pendientes y el vector u3 no se expresa linealmente a

través de los vectores u1 y u2, entonces estos últimos se

diferencian entre sí sólo por un factor numérico.

5.8.11 Sean S, U y W subespacios vectoriales de V.

Entonces S será la suma directa de U y W cuando y sólo

cuando S esté contenido en U y W.

5.8.12 Si los vectores u1, u2, ..., uk son linealmente de-

pendientes, y los vectores u1, u2, ..., uk, u son linealmente

independientes, entonces el vector u se expresa lineal-

mente a través de los vectores u1, u2, ..., uk.

5.8.13 Si la dimensión de la suma de dos subespacios

vectoriales del espacio V supera la dimensión de su in-

tersección en una unidad, la suma coincide con uno de

esos subespacios y la intersección con el otro.

5.8.14 Si un sistema de vectores dado, posee el rango

r, entonces cualesquiera r vectores linealmente indepen-

dientes forman la base de este sistema.

5.8.15 Cualquier subsistema linealmente dependiente

de un sistema dado puede completarse hasta la base de

ese sistema.

5.8.16 Suponga que el subespacio vectorial W contiene

el subespacio vectorial U. Entonces la dimensión de U

no supera a la de W, con la particularidad de que las

dimensiones son iguales entre sí cuando, y sólo cuando,

U = W.

5.8.17 La suma S = U + W de dos subespacios vecto-

riales de V es igual a la intersección de todos los subes-

pacios vectoriales de V que contienen tanto U, como

también W.

5.8.18 La suma U + W de los subespacios vectoriales U

y W será suma directa cuando, y sólo cuando, todos los

vectores u U + W se representen de forma única co-

mo u = ui + vj, donde ui U y vj W.

5.8.19 Suponga que el subespacio vectorial S es la

suma directa de los subespacios vectoriales U y W.

Entonces la dimensión de S es igual a la suma de las

dimensiones de U y W con la particularidad de que

cualesquiera bases de U y W dan juntas la base de S.

5.8.20 Para cualquier subespacio vectorial U del espa-

cio V puede hallarse otro subespacio W, tal que todo el

espacio V sea la suma directa de U y W.

5.8.21 Si los vectores u1, u2, ..., uk se expresan linealmen-

te a través de los vectores v1, v2, ..., vr, el rango del primer

sistema no supera el del segundo.

5.8.22 Si el vector u se expresa linealmente mediante

los vectores u1, u2, ..., uk, el rango del último sistema de

vectores no varía, añadiéndole el vector u.

5.8.23 Todas las bases de un sistema de vectores dado,

contienen la misma cantidad de vectores.

5.8.24 Si los vectores u1, u2, ..., um son linealmente inde-

pendientes y se expresan linealmente a través de los

vectores v1, v2, ..., vn, entonces m n.

ESPACIOS VECTORIALES

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