UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN

ENRIQUE GUZMÁN Y VALLE

“Alma Mater del Magisterio Nacional”

FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA

MONOGRAFÍA

ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO INTERIOR

para optar el Título Profesional de:

LICENCIADO EN EDUCACIÓN

Especialidad: MATEMÁTICA E INFORMÁTICA

presentado por:

BACH. PABLO GARCÍA MEZA

La Cantuta, 13 Noviembre del 2014

DEDICATORIA

INDICE

CAPITULO I: ESPACIOS VECTORIALES

1.1 Definición de Espacio Vectorial. Leyes de composición

interna y leyes de composición externa.

1.2 Ejercicios de aplicación de espacios vectoriales

1.2.1 Ejercicio de aplicación con matrices

1.2.2 Ejercicio de aplicación con función exponencial

1.2.3 Ejercicio de aplicación con función compuesta

1.2.4 Ejercicio de aplicación con ternas ordenadas

1.3 Subespacios vectoriales. Definición. Ejemplos

1.4 Combinación lineal de vectores. Ejemplos.

1.5 Dependencia e Independencia Lineal de vectores.

Ejemplos

1.6 Conjunto de generadores. Ejemplos

1.7 Base de un espacio vectorial. Ejemplos

CAPITULO II: ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO INTERNO

2.1 Espacio vectorial con producto interno. Propiedades.

2.2 Norma de vectores en un espacio con producto interno.

2.2.1 Espacio Euclídeo

2.2.2 Definición de Norma

2.2.3 Propiedades de la Norma

2.2.4 Desigualdad de Cauchy Schwartz

2.2.5 Ley del paralelogramo

2.2.6 Distancia entre dos vectores

2.3 Bases ortogonales y ortonormales

2.3.1 Vectores ortogonales

2.3.2 Interpretación geométrica de la ortogonalidad

de vectores

2.3.3 Vector unitario

2.3.4 Vectores ortogonales

2.3.5 Proyección ortogonal de un vector a⃗ sobre

un vector b⃗

2.3.6 Componente Ortogonal

2.3.7 Vectores paralelos

2.3.8 Proceso de ortonormalización de Gran

Schmidth. Ejemplo

CAPITULO I

ESPACIOS VECTORIALES

1.1 DEFINICIÓN. LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA Y COMPOSICIÓN

EXTERNA.

Un conjunto V, NO VACIO, se llama Espacio Vectorial sobre un cuerpo K, si

esta provisto de dos operaciones:

a) Una operación de suma entre los elementos de V, denotado del siguiente

modo:

⨁ : Vx V V

(U, V) U ⨁ V

b) Una operación de producto entre los elementos de K (cuerpo de escalares)

y los elementos de V denotado del siguiente modo:

⊙ : K x V V

(, V) ⊙ V

Y además, con respecto a las operaciones ya indicadas, se cumplen las

siguientes propiedades:

CON RESPECTO A LA SUMA ⨁

A1) Si U V V U ⨁ V V (Propiedad cerradura)

A2) Si U V V U ⨁ V = V⨁ U (Propiedad conmutativa)

A3) Si U V V w U ⨁ (V ⨁ w) = (U ⨁ V) ⨁ w (Propiedad

asociativa)

A4) Existe V / ⊝=⊝⊕V=V ,V V

Para V ⊕⊖=⊖ ,⊝ es el elemento neutro por derecha.

Para ⊝⊕V=V ,⊝ es el elemento neutro por izquierda.

Si el elemento neutro por derecha y el elemento neutro por izquierda son iguales

entonces podemos afirmar que el elemento neutro ⊖ existe y es único.

A5) Para todo V V existe – V / V ⨁ (-V) = (-V) ⨁ V = ⊝ ,⊝ V

Para V ⨁ (-V) = ⊝, -V es el elemento inverso aditivo por derecho.

Para (-V) ⨁ V = ⊝, -V es el elemento inverso aditivo por izquierdo.

Si el elemento inverso aditivo por derecha y el elemento inverso aditivo por

izquierda son iguales, entonces decimos que –V existe y es único.

Podemos observar que en las propiedades de A1 a As solo hemos considerado

elementos internos (vectores), más no elementos externos (escalares). Es por

este motivo que las propiedades de A1 hasta A2 reciben el nombre de LEYES DE

COMPOSICIÓN INTERNA.

CON RESPECTO AL PRODUCTO ⊙

M1) Si K y v V ⟹αV ϵ V (Propiedad cerradura)

M2) Si K K v V ⟹α (V )=(α β )V (Asociatividad

escalar)

M3) Si K K v V ⟹α+ β¿v=(αV )⨁ (β V )

(Distributividad

escalar)

M4) Si e K v K ⟹e v=V , donde e es el elemento neutro multiplicativo

Podemos observar que en las propiedades de multiplicación (de M1 a M5) además

de los elementos internos (vectores) tomamos elementos externos (escalares).

Por eso la spropiedades de multiplicación (de M1 a M5) reciben el nombre de

LEYES DE COMPOSICIÓN EXTERNA.

Si un conjunto V , provisto de las operaciones de suma ⨁ y producto ⊚

cumple con las 10 propiedades señaladas anteriormente decimos que V es un

espacio vectorial.

1.2. APLICACIÓN DIDACTICA

1.2.1 APLICACIÓN DIDÁCTICA CON MATRICES

Averiguar si el conjunto de elementos u=[a bc d ] son las operaciones:

u1u2=[−a1−a2b1+b2−c1−c2d1+d2]

⋏⊙u=[0⋏(a+b+c+d)00 ]Es un espacio vectorial. Indicar que axiomas se cumplen justificando.

Solución:

Con respecto a ⨁:

A1) P.D. u1 M2x2 y u2 M2x2 u1 ⨁u2 M2x2 (CERRADURA)

Veamos:

Sea u1 = [a1 b1c1 d1] y u2 =[a2 b2

c2 d2]Entonces:

u1 ⨁u2 = [a1 b1c1 d1] ⨁ [a2 b2

c2 d2]=[−a1−a2 b1+b2−c1−c2 d1+d2]

A2) Si u1 M2x2 y u2 M2x2 u1 ⨁u2= u2 ⨁u1 (CONMUTATIVA)

Veamos:

Sea u1 = [a1 b1c1 d1] y u2 =[a2 b2

c2 d2]Entonces:

u1 ⨁u2 = [−a1−a2 b1+b2−c1−c2 d1+d2] ¿ [−(a¿¿1−a2)¿b1+b2

¿d1+d2¿]

u1 ⨁u2 = [−(a¿¿1−a2)¿b1+b2−(c¿¿1−c2)¿d1+d2] ¿ [a2 b2

c2 d2]⨁ [a1 b1c1 d1]

u1 ⨁u2 = u2 ⨁u1 (CUMPLE)

A3) Si u1 M2x2 y u2 M2x2 u1 ⨁ (u2 ⨁u3) = (u1 ⨁u2) ⨁u3 (ASOCIATIVA)

Entonces:

u1 = [a1 b1c1 d1] , u2 =[a2 b2

c2 d2] y u3 =[a3 b3c3 d3]

Entonces:

⨁(u2 ⨁u3) = [a1 b1c1 d1] ⨁ ([a2 b2

c2 d2] [a3 b3c3 d3])

= [a1 b1c1 d1] ⨁ [−a2−a3 b2+b2

−c2−c3 d2+d3]= ¿

= ¿u1 ⨁ (u2 ⨁u3)

Veamos:

(u1 ⨁ u2 ) ⨁u3 = ([a1 b1c1 d1]⨁ [a2 b2

c2 d2])⊕[a3 b3c3 d3]

= [−(a¿¿1−a2)¿b1+b2−(c¿¿1−c2)¿d1+d2] ¿ [a3 b3

c3 d3]

= [−(a¿¿1−a2)−a3 ¿b1+b2+b3−(c¿¿1−c2)−c3 ¿d1+d2+d3]

= [a1+a2−a3 b1+b2+b3¿ ¿

d1+d2+d3¿]

Podemos ver que:

FALTA NO SE VE LA COPIA

A4) ∋ ⊖∈M 2 x2 / u ⊖ = ⊖ ⨁ u = u (ELEMENTO NEUTRO)

Por derecha:

Sea ⊖=[e1 e2e3 e4] y u=[a b

c d ]

Igualando: -a – e1 = a e1 = -2a

b + e2 = b e2 = 0

-c – e3 = c e3 = -2c

d+ e4 = d e4 = 0

por derecha: ⊖=[−2a 0−2c 0]

Por izquierda:

⊖ ⨁ u = u

[e1 e2e3 e4]⨁ [a b

c d]=[a bc d]

[−e1−a e2+b−e3−c e4+d ]=[a b

c d ]

Igualando: -e1 – a = a e1 = -2a

e2 + b = b e2 = 0

-e3 – c = c e3 = -2c

e4 + d = d e 4 = 0

Por izquierda:

⊖=[−2a 0−2c 0]

El neutro por derecha y el neutro por izquierda son iguales:

∋∈M 2x 2 / ⊖=[−2a 0−2c 0] y se cumple que: u ⊖ = ⊖ ⨁ u = u (CUMPLE)

A5) ∋ - V ∈M 2 x2 / V⨁ (-v) = (-v) ⨁ v = ⊖ (INVERSO ADITIVIO)

Por derecha

V⨁ (-v) = ⊖

[a bc d ]⨁[ x y

z w]=[−2a 0−2c 0]

[−a−x b+ y−c−z d+w ]=[−2a 0

−2c 0]Igualando:

-a - x = -2a x = a

y + b = 0 y = -b

-z – c = -2c z = c

w + d = 0 w = -d

- v = [a −bc −d ] (Por izquierda)

Por izquierda:

(-V) ⨁ v = ⊖

[ x yz w ]⨁[a b

c d ]=[−2a 0−2c 0]

[−x−a y+b−z−c w+d ]=[−2a 0

−2c 0]Igualando:

-x – a = -2a x = a

y + b = 0 y = -b

-z – c = -2x z = c

w + d = 0 w = -d

- v = [a −bc −d ](Por izquierda)

Podemos ver que –v por derecha e izquierda son iguales

∋ - v∈M 2 x2 / - v = [a −bc −d ] (CUMPLE)

CONTINUA PREGUNTA N° 1

CON RESPECTO A LA MULTIPLICACIÓN ⊚:

M1) Si K y v M 2x 2 ⊚ v M 2x 2

Tenemos: ⊚ v = d ⊚ [a bc d] = [0 ∝(a+b+c)

0 0 ] (CUMPLE)

M2) Si K, K M 2x 2 ⊚ (⊚ v) = ( )⊚ V

Veamos:

⊚ (⊚ v) = ⊚ [0 (a+b+c+d )0 0 ]

⊚ (⊚ v) = [0 (a+b+c+d )0 0 ]

⊚ (⊚ v) = ⊚ [a bc d] = ⊚ V

⊚ (⊚ v) = ⊚ v (CUMPLE)

M3) Si K y K y V M 2x 2 ( + ) ⊚ v = ( ⊚ v)

Veamos:

( + ) ⊚ v = ¿

También:

( ⊚ v) ⨁ (⊚ v) = [0 ∝(a+b+c+d)0 0 ] ⨁ [0 (a+b+c+d )

0 0 ]

( ⊚ v) ⨁ (⊚ v) = [0 ∝ (a+b+c+d )+(a+b+c+d)0 0 ]

( ⊚ v) ⨁ (⊚ v) = ¿

¿ v = ( ⊚ v) ⨁ (⊚ v) (CUMPLE)

M4) K v u V ⊚ (v ⨁ u) = ( ⊚ v) ⨁ (⊚v )

Sea: V = [a1 b1c1 d1] y u =[a2 b2

c2 d2]Veamos:

⊚ (v ⨁ u) = ⊚([a1 b1c1 d1]⊝ [a2 b2

c2 d2])

= ⊚([a1 b1c1 d1]⊝ [a2 b2

c2 d2])

= [0 (−a1−a2+b1+b2−c1−c2+d1+d2)0 0 ]

De igual forma:

( ⊚ v) ⨁ ( ⊚ v) = [[a1 b1c1 d1]] ⊝ [[a2 b2

c2 d2] ]( ⊚ v) ⨁ ( ⊚ v) = [0 (a1+b1−c1+d1)

0 0 ] ⊖ [0 (a2+b2+c2+d2)0 0 ]

( ⊚ v) ⨁ ( ⊚ v) = [0 (−a1+b1+c1+d1+a2+b2+c2+d2)0 0 ]

Podemos ver que:

⊚(v u) ( ⊚ v) ⨁ ( ⨁ v) (NO CUMPLE)

M5) ∋ e K V / e ⊚ V = V

Veamos:

e ⊚ V = V

e ⊚ [a bc d ] = [a b

c d ]

[0 e(a+b+c+d)0 0 ]=[a b

c d ]

Igualando: a = 0

e (a + b + c + d ) = b

c = 0

d = 0

e (0 + b + 0 + 0 ) = b e b = b ( b 0)

e = 1 (CUMPLE)

∋ e = 1 k V / 1 ⊚ v = v

1.2.2 APLICACIÓN DIDACTICA CON FUNCIÓN EXPONENCIAL

Sea V = {ex / x R}, se definen las siguientes operaciones suma (⨁) y producto (

⊚), tal que:

⋁ ex , ey V ex ⨁ ey = exy

V R y V ex V ⨀ ex = ex

Donde xy y x son productos usuales de números reales.

Indique los axiomas del espacio vectorial que se ucmplen en V y responda ¿Es V

un espacio vectorial? (4 p)

V = {ex / x R}

V ex, ey V ex ⨁ ey = exy

A1) V ex, ey V ex ⨁ ey = exy (CERRADURA)

SE CUMPLE POR QUE exy V

A2) P.D. ex ⨁ ey = exy = eyx = ey⨁ ex (CONMUTATIVA)

Tenemos: ex ⨁ ey = exy = eyx = ey ⨁ex

ex ⨁ ey = ey ⨁ex (CUMPLE)

A3) P.D. ex (e y⨁ez) = (ex⨁e y) ⨁ ez (ASOCIATIVA)

Tenemos:

ex ⨁ (ey ⨁ ez) = ex ⨁eyz

= ex(yz)

= e(xy)z

= e

= exy ⨁ ez

= (ex ⨁ ey) ⨁ ez

ex ⨁ (ey ⨁ ez )= (ex ⨁ ey) ⨁ ez (CUMPLE)

Sea ⊝V ex ⊝=⊝⨁ ex = ex

Sea ⊝ = ex ex ⨁ e = e ⨁ ex = ex

Por Derecha:

ex ⨁ e = ex

ex = ex x = x = 1

Por la Izquierda:

e ⨁ ex = ex ex = ex

x = x = 1

Como el neutro por derecha y por izquierda son iguales entonces el neutro existe /

ex ⨁ e = e ⨁ ex = ex

A5) P.D. ∋em V (INVERSO ADITIVO)

/ ex ⨁ em = em ⨁ ex = e

Por Derecha:

ex ⨁ em = e

exm = e1 m = 1 m = 1x

e1/x es inverso aditivo por izquierda

Como el inverso aditivo por derecha e izquierda son iguales entonces este existe

/ ex ⊝ e1/x = e1/x ⨁ ex = e

M1) ⨀ ex = ex

P.D. Si R y ex V ⨀ ex = ex V (CERADURA) CUMPLE

M2) P.D. Si R R ex V ⨀ ( ⨀ ex) = ⨀ ex

Veamos:

⨀ ( ⨀ ex) = ⨀ ex = ex

⨀ ex = ex

Se cumple que: ⨀ ( ⨀ ex) = ⨀ ex = ex

M3) P.D. Si R R ex V

( + ) ⨀ ex = ( ⨀ ex) ⨁ ( ⨀ ex)

Luego:

( + ) ⨀ ex = e( + )x

( ⨀ ex) ⨁ ( ⨀ ex) = ex ⨁ ex

= e(x)(x) = ex2

Vemos que:

( + ) ⨀ ex ( ⨀ ex) ⨁ ( ⨀ ex) (NO CUMPLE)

M4) P.D. ⨀ (ex ⨁ ey) = ( ⨀ ex) ⨁ ( ⨀ ey)

Veamos:

⨀ (ex ⨁ ey) = ⨀ exy = exy

( ⨀ ex) ⨁ ( ⨀ ey) = ex ⨁ ey = e2xy

Vemos que:

⨀ (ex ⨁ ey) ( ⨀ ex) ⨁ ( ⨀ ey) (NO CUMPLE)

M5) Si m R ex V m ⨀ ex = ex

Veamos: m ⨀ ex = ex

emx = ex

Igualando: mx = x m = 1 (CUMPLE)

V no es un espcaio vectorial por que no cumple las propiedades M4 y M5

1.2.3 APLICACIÓN DIDACTICA CON FUNCIÓN COMPUESTA

Suponga que la adición en F (conjunto de todas las funciones reales de variable

real), se define por f(x) ⨁ g(x) = f (g (x)), de tal manera que eleemnto neutro es

g(x) = x, y la multiplicación por une scalar permanece sin cambio y se dentoa por

c ⨀ f (x).

Con las condiciones definidas, indique ¿Cuáles de los 10 axiomas de espacio

vectorial se cumplen? ¿Es F une spacio vectorial?

(4 puntos)

SOLUCIÓN:

Con respecto a ⨁ :

Veamos si cumple las propiedades de adición:

A1) P.D. f(x) F y g (x) = f f(x) g(x ) F (CERRADURA)

Tenemos: f(x) ⨁ g (x) = f (g(x) F (CUMPLE)

A2) Si f(x) F y g(x) F f(x) g(x ) = g(x) ⨁ f(x) (CONMUTATIVA)

Tenemos: f(x) g(x ) = f (g((x))

f(x) f (x) = g (f (x))

Vemos que:

f(g(x)) g (f (x)) f (x) g(x ) g(x) f (x)

A3) P.D. f(x) F, g(x) F, h (x) F f (x)⨁ (g (x) ⨁ h (x))

= (f (x) ⨁ g (x)) h( x) (LA ASOCIATIVA)

Veamos:

f(x) ⨁ (g (x) ⨁ h (x)) = f(x) ⨁ (g (h (x)) = f (g (h (x)))

(f (x) ⨁ g (x)) ⨁ h (x) = f (g (x) ⨁ h (x) = f (g (h (x))

Vemos que: f (g (h (x)) f( (g (x)) ⨁ h (x) (SI CUMPLE)

A4) ∃ F / f(x) ⨁ = f(x) (NEUTRO POR DERECHA)

Por dato: g(x) = x ES EL ELEMENTO NEUTRO

Veamos: f(x) ⨁ g(x) = f(g (x)) = f (x)

A5) ∃ - f (x) F / f (x) ⨁ (- f (x)) = (-f (x)) ⨁ f(x) = x

Sea Z (x) = -f (x)

F(x) ⨁ Z (x) = f ( Z (x))

Z (x) ⨁ f (x) = Z (f (x))

Vemos que: f(x) ⨁ Z (x) Z (x) f (x)

Veamos si cumple las propiedades de multiplicación:

M1) Si K y F(x) F ⨀ f(x) F

Veamos: ⨀ f(x) = f (x) F (CUMPLE)

M2) P.D. Si K K f (x) F ⨀ ( ⨀ f(x)) = ( ) ⨀ f(x)

Veamos:

⨀ ( ⨀ f(x)) = ⨀ f( x) = f(x)

( ) ⨀ f(x) = f(x)

Podemos ver que: ⨀ ( ⨀ f(x)) = ( ) ⨀ f(x) (CUMPLE)

M3) Si K K f () F ( + ) ⨀ f(x) = ( ⨀ f(x)) ⨁ ( ⨀ f(x))

Veamos:

( + ) ⨀ f(x) = ( + ) f(x)

( ⨀ f(x)) ⨁ ( ⨀ g(x)) = f (x) ⨁ g(x) = h(z (x))

h(x) z(x)

Vemos que: ( + ) ⨀ f(x) (⨀ f(x)) ) ⨁ ( ⨀ g(x))

M4) P.D. Si K f(x) F g(x) F ⨀ (f(x) ⨁ g(x))

= (⨀ f(x)) ⨁ (⨀ g(x))

Vemos: ⨀ (f(x) ⨁ g(x)) = ⨀ f (g(x)) = f (g (x))

(⨀ f(x)) ⨁ (⨀ fg(x)) = df(x) ⨁ dg(x) = w (z (x))

w(x) z(x)

Vemos que:

⨀ (f(x) ⨁ g(x)) (⨀ f(x)) ⨁ (⨀ g(x)) (NO CUMPLE)

M5) Si e e K y f(x) F e ⨀ f(x) = f(x)

Veamos:

e ⨀ f(x) = f(x)

e f(x) = f(x)

e = 1 (SI CUMPLE)

1.2.4 APLICACIÓN DIDACTICA CON TERNAS ORDENADAS

Sea V el conjunto de puntos en R3 con dos operaciones internas que se definen

de la siguiente manera:

La suma:

U1 ⨁ U2 = (a1 ; b1 ; c1) ⨁ (a2 ; b2 ; c2) = (a1 + b2 + 1 ; b1+ b2 + 1; c1+ c2 + 1)

La multiplicación por un escalar:

⋌⊙U=⋌⊙ (a; b; c) = (⋌ + ⋌ a – 1; ⋌ + ⋌b – 1 ; ⋌ + ⋌ c – 1)

¿V es un espacio vectorial? Justifique

Resolución:

Con respecto A ⨁

A1) Por demostrar: Si U1 R3 U2 R3 U1 ⨁ U2 R3 (CERRADURA)

Podemos observar que:

U1 ⨁ U2 = (a1 ; b1 ; c1) ⨁ (a2 ; b2 ; c2) = (a1 + a2 + 1 ; b1+ b2 + 1; c1+ c2 + 1) R

A2) Por demostrar: x ⨁ y = y ⨁ x (CONMUTATIVA)

Veamos:

U1 ⨁ U2 = (a1 ; b1 ; c1) ⨁ (a2 ; b2 ; c2) = (a1 + a2 + 1 ; b1+ b2 + 1; c1+ c2 + 1)

U1 ⨁ U2 = (a2 + a1 + 1 , b2+ b1 + 1 , c2+ c1 + 1) = U2 ⨁ U1

U1 ⨁ U2 = U2 ⨁ U1 (CUMPLE)

A3) Por demostrar: U1 ⨁ (U2 ⨁ U3) = (U1 ⨁ U2) ⨁ U3 (ASOCIATIVA)

Veamos:

U1 ⨁ (U2 ⨁ U3) = (a1 ; b1 ; c1) ⨁ [(a2 ; b2 ; c2) ⨁ (a3 ; b3 ; c3)]

= (a1 ; b1 ; c1) ⨁ (a2 + a3 + 1 , b2 + b3 + 1, c2 + c3 + 1)

= (a1 + a2 + a3 + 2 , b1 + b2 + b3 + 2, c1 + c2 + c3 + 2)

(U1 ⨁ U2)⨁ U3 = [(a1 ; b1 ; c1) ⨁ [(a2 ; b2 ; c2)] ⨁ (a3 ; b3 ; c3)

= (a1 + a2 + 1 ; b1+ b2 + 1; c1+ c2 + 1) ⨁ (a3 ; b3 ; c3)

= (a1 + a2 + a3 + 2 , b1 + b2 + b3 + 2, c1 + c2 + c3 + 2)

Veamos que: (U1 ⨁ U2)⨁ U3 = U1 (U 2⨁U 3) (CUMPLE)

A4) ∋ R3 / U1 ⨁ = ⨁ U1 = U1

Sea = (a, b, c)

Hallamos el neutro por derecha:

⨁ U1 = U1

(a, b, c) ⨁ (a1, b2, c1) = (a1, b2, c1)

(a + a1 + 1, b + b1 + 1, c + c1 + 1) = (a1, b2, c1)

Igualando: a + a1 + 1 = a1 a = -1

b + b1 + 1 = b1 b = -1

c + c1 + 1 = c1 c = -1

= (-1, -1, -1) (Neutro por izquierda)

El elemento neutro por derecha y por izquierda son iguales, entonces existe y es

único

= (-1, -1, -1)

A5) ∋ vector –x / x ⨁ (-x) = = (-x) ⨁ x

Hallando el inverso por derecha:

x ⨁ (-x) =

(a, b, c) ⨁ (m, n, p) = (-1, -1, -1)

(a + m + 1, b + n + 1, c + p + 1) = (-1, -1, -1)

Igualando: a + m + 1 = -3 m = -2 – a

b + n + 1 = -1 n = -2 – b

c + b + 1 = -1 n = -2 – c

-x = (-2 –a, -2 – b, -2 – c)

Hallando el inverso por izquierda:

(-x) ⨁ x =

(m, n, p) ⨁ (a, b, c) = (-1, -1, -1)

(m + a + 1, n + b + 1, p + c+ 1) = (-1, -1, -1)

Igualando: m + a + 1 = -1 m = -2 – a

n + b + 1 = -1 n = -2 – b

p + c + 1 = -1 n = -2 – c

-x = (-2 –a, - 2 – b, - 2 – c) (CUMPLE)

El universo aditivo por derecha es igual al inverso aditivo por izquierda, entonces

existe y es único: -r = (-2 –a, -2 – b, -2 – c)

Con respecto a ⨀

M1) Por demostrar: ⋌ K ⋌U R3 (CERRADURA)

Podemos demostrar que:

⋌⨀U=⋌⨀ (a ,b , c )=¿ (CUMPLE)

M2) c1 ⨀ ( c2 ⨀ U) = (c1 c2) ⨀ U

Veamos: c1 ⨀ ( c2 ⨀ U) = c1 ⨀ ( c2 ⨀ (a, b, c)

= c1 ⨀ (c2 + c2 a – 1, c2 + c2 b – 1, c2 + c2 c-1)

c1 ⨀ ( c2 ⨀ U) = (c1 + c1 c2 + c1 c2 a – c1 – 1, c1 + c1 c2 + c2 c2 b – c1 – 1,

c1 + c1 c2 + c1 c2 c – c1 – 1)

c1 ⨀ ( c2 ⨀ U) = (c1 c2 + c1 c2 a –1, c1 c2 + c1 c2 b –1, c1 c2 + c1 c2 c – 1)

También: c1 c2⨀ U = c1 c2 ⨀ (a, b, c)

= (c1 c2 + c1 c2 a –1, c1 c2 + c1 c2 b –1, c1 c2 + c1 c2 c – 1)

Podemos ver que: c1 ⨀ ( c2 ⨀ U) = c1 c2⨀ U (CUMPLE)

M3) c ⨀ ( U ⨁ v) = (c ⨀ U) (c⨀U )

Veamos: c ⨀ ( U ⨁ v) = c ⨀ ((a1, b1, c1) ⨁ (a2, b2, c2))

c ⨀ ( U ⨁ v) = c ⨀ (a1 + a2 + 1 ; b1+ b2 + 1; c1+ c2 + 1)

= (c + ca1 + ca2 + c – 1, c + cb1 + cb2 + c – 1,

c + cc1 + cc2 + c – 1)

= (2x + ca1 + ca2 – 1, 2a + c b1 + cb2 -1, 2c + cc1 + cc2 – 1)

(c ⨀ U) ⨁ (c ⨀ V) = [c ⨀ (a1, b1, c1)] ⨁ [c ⨀ (a2, b2, c2)]

= (c + ca1 – 1, c + cb1 – 1, c + c1c – 1) ⨁ (c + ca2 – 1, c + cb2 – 1, c + c2c – 1)

= (2c + ca1 + ca2 – 1, 2c + cb1 + cb2 – 1, 2c + cc1 + cc2 – 1)

Vemos que: c ⨀ ( U ⨁ v) = (c ⨀ U)⨁ (c ⨀ V) (CUMPLE)

M4) (c1 ⨀ c2) ⨀ U = (c1 ⨀ U) ⨁ (c1 ⨀ U)

Vemos:

(c1 + c2) ⨀ U = (c1 + c2) ⨀ (a, b, c)

= (c1 + c2 + ac1 + ac2 – 1, c1 + c2 + c1b + c2b – 1,

c1 + c2 + c1c + c2c – 1)

De igual forma:

(c1 ⨀ U) ⨁ (c2 ⨀ U) = [c1 ⨀ (a, b, c)] ⨁ [c2 ⨀ (a, b, c)]

= (c1 + c1 a – 1, c1 + c1 b – 1, c1 + c1 c – 1) ⨁ (c2 + c2 a – 1, c2 + c2 b –

1, c2 + c2 c – 1)

= (c1 + c2 + c1a+ c2a – 1, c1 + c2 + c1b + c2b -1, c1 + c2 + c1c + c2 c-1)

Podemos observar que:

(e1 + e2) ⨀ U = (c1 ⨀ U) ⨁ (c2 ⨀ U) (CUMPLE)

M5) ∋ e / e ⨀ U = U

Veamos: ⨀ (a, b, c) = (a, b, c)

(e + ea – 1, e + eb – 1, e + ec – 1) = (a, b, c)

Igualando: e + ea – 1 = a e (a + 1) = a + 1

e = a+1a+1 e = 1

e + eb – 1 = b e (b + 1) b + 1

e = b+1b+1 = 1 e = 1

e + ec – 1 = c e (c+1) = c + 1

e = c+1c+1 = 1 e = 1

Entonces: ∋ e = 1 / e ⨀ U = U (CUMPLE)

1.3.- SUBESPACIOS VECTORIALES

DEFINICION: Sea V un espacio vectorial sobre K.

Se dice que W es un espacio vectorial de V, si cumple 3 condiciones:

1) W

Esta condición verifica la existencia del elemento nulo.

2) Si W1 W W2 W W1 + W2 W

Esta condición nos indica que “Si dos vectores pertenecen al conjunto W,

entonces la suma de dichos vectores también debe pertenecer a W”

3) Si K w W . w W

Esta condición nos indica que: “Si escogemos un escalar cualquier

perteneciente al cuerpo K y un vector cualquiera W perteneciente al

conjunto W, entonces el producto . w pertenece al conjunto W”

EJEMPLO:

Sea V = P2 (p2 es el conjunto de polinomios de grado 2)

Definimos W = {ax2 + bx + c P2 / a + 2b – c = 0}

¿Es W un subespacio vectorial de V?

PRUEBA

A1.- W θ

Sea θ (x) = 0x2 + 0x + 0 el polinomio nulo P2

Podemos observar que:

θ (x) = 0x2 + 0x + 0 cumple con la condición

Dada: 0 + 2(0) – 0 = 0

0 = 0 (Verdadero)

Podemos observar que θ (x) = W, por lo tanto como θ (x) W W

(Existe θ (x) W)

2.- Por demostrar: Si p(x) P2 q (x) P2 entonces

p(x) + q (x) W

Veamos:

Si p(x) = a1x2 + b1x + c1 W a1 + 2 b1 - c1 = 0 …… (I)

Si q(x) = a2x2 + b2x + c2 W a2 + 2 b2 - c2 = 0 …… (II)

Sumando miembro a miembro (I) y (II):

a1 + 2b1 – c1 + a2 + 2b2 – c2 = 0

(a1 + a2) + 2(b1 + b2) – (c1 + c2) = 0 (se mantiene la estructura)

Entonces: (a1 + a2) x2 + (b1 + b2) x + (c1 + c2) W

(a1 x2 + b1 x + c1) + (a2 x2 + b2 x + c2) W

p(x) q(x)

p(x) + q(x) W

3.- Por demostrar: Si K p(x) W (x) W

Veamos:

Sea p(x) = ax2 + bx + c W a + 2b – c = 0 …. (*)

Si multiplicamos cada miembro de (*) por K tenemos:

(a + 2b – c) = 0

a + 2b - c = 0 (la estructura no cambia)

Entonces: a x2 + b + c W

(ax2 + bc + c) W

p(x)

p(x) W

Como W cumple con las 3 propiedades, podemos afirmar que W es un

subespacio vectorial.

4.- a) Sea V el espacio vectorial de todas las matrices de orden 2 x 2 sobre los

reales R.

Verifique si W es o no un subespacio de V si:

W consta de todas las matrices A tales que A2 = A

Solución:

a) W = {A M2x2 / A2 = A}

i) w

Veamos si E 2 = = (VERDADERO)

W (CUMPLE)

ii) A W B W A + B W (P.D. (A + B)2 A + B)

A W A2 = A ………… (I)

B W B2 = B ………… (II)

Sumando miembro a miembro: A2 + B2 = A + B

A + B W

Como A + B W no cumple

Como no se cumple (i) entonces w no es un subespacio vectorial.

b) Si S y T son subespacio de V, demostrar que S T es un subespacio de V.

b) Si S y T son subespacios de V.

Veamos si S T es un subespacio de V

i) S T

S es un subespacio de V S …………. (I)

T es un subespacio de V T …………. (II)

PE (I) y (II) tenemos S T S T

ii) P.D. si U S T v S T U + v S T

Si U S T u S u T (Definición de )

Si v S T v S v T (Definición de )

Como S es subespacio u + v S

Como T es subespacio u + v T

u + V S T (Def. de )

iii) Si S T v S y v T (Def. de )

Pero S y T son subespacios de V, entonces

Si K v S v S (S es subespacio de V)

Si K v T v T (T es subespacio de V)

Entonces: v S T

Como se cumplen i), ii) y iii) entonces S T es un

subespacio de V.

1.4 COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES

DEFINICIÓN

Sea V un espacio vectorial cualquier y {V1, V2, V3 …. Vk} un conjunto de vectores

pertenecientes a V.

Diremos que el vector v V es una combinación lineal de los vectores V1, V2, V3

…. Vk, si el vector V se puede representar del siguiente modo:

V = 1V1 + 2V2 + 3V3 + …………. + akVk = ∑i=1

k

ai v i

Donde los escalares i K

Ejemplo:

1.- Exprese p(x) = 5x2 + 9x + 5 como combinación lineal de

p1(x) = 4x2 + x + 2, p2(x) = 3x2 - x + 1, y p3(x) = 3x2 + 2x + 3

Solución:

Expresando p(x) como combinación lineal de p1(x), p2(x) y p3(x):

p(x) = 1 p1 (x) + 2 p2 (x) + 3 p3(x)

5x2 + 9x + 5 = 1 (4x2 + x + 2) + 2 (3x2 - x + 1) + 3 (3x2 + 2x + 3)

5x2 + 9x + 5 = (4 1 + 3 1 + 3 3) x2 + (1 - 2 + 23) x + (21 + 2 + 3 3)

Igualando: 41 + 32 + 33 = 5

1 - 2 + 23 = 9

21 + 32 + 33 = 5

Resolviendo el sistema:

4 3 3 5 F2 (-4) 0 7 -5 -31

1 -1 2 9 1 -1 2 9

2 1 3 5 F23 (-2) 0 3 -1 -13

F1 ( 17 ) 0 1 -5/7 -31/7 F12 (1) 0 1 -5/7 -31/7

F3 ( 13 ) 1 -1 2 9 F13 (-1) 1 0 9/7 32/7

0 1 -1/3 -13/3 0 0 8/21 2/21

57−13=15−7

21= 821

317−133=93−91

21= 221

F3 ( 218 ) 0 1 -5/7 -31/7

1 0 9/7 32/7

0 0 1 ¼

327− 928

=128−928

=11928

528

−317=5−124

28=−11928

❑1 ❑2 ❑3

F31 ( 57 ) 0 1 0 -119/28

1 0 0 119/28

F32 (−97 ) 0 0 1 ¼

Tenemos: ❑1=11928

,❑2=11928

,❑3=14

Entonces escribiendo p(x) como combinación lineal de p1(x), p2(x) y p3(x):

p ( x )=11928

p2 ( x )−11928

p2 ( x )+ 14p3 ( x )

Verificando:

4 ( 11928 )+3(−11928 )+3( 14 )=11928 + 34=14023

=5

1( 11928 )−(−11928 )+2( 14 )=11928 + 11928

+ 34=23823

+ 24=25228

=9

2( 11928 )+3(−11928 )+3( 14 )=23828 −11928

+ 34=11928

+ 34=14028

=5

1.5 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES

DEFINICIÓN

Sea V un espacio vectorial y {V1, V2, ……..Vr} un conjunto de vectores

pertenecientes a V.

Diremos que los vectores V1, V2, V3, …. Vr son linealmente dependientes (l.d) si

existen escalares.

1 no todos cero, tales que:

1 V1 + 2 V2 + 3 V3 + …………… + r Vr =

DEFINICIÓN

Decimos que los vectores V1, V2, V3, …. Vr

Son linealmente independientes (l.i) si todos los escalares 1 son cero y además:

1 V1 + 2 V2 + 3 V3 + …………… + r Vr =

1.5.1 Aplicación didáctica con polinomios

En V = P2 determine si los polinomios p(x) = 3 – x, q (x) = 2 + x2 . r (x) =

4 + 5x – 2x2

son linealmente dependientes o independientes.

Veamos si son l.i:

∃β1, β2, β3 / β1 p(x) + β2 q (x) + β3 r(x) = 0

β1 (3 – x) + β2 (2 + x2) + β3 (4 + 5x – 2 x2) = 0

(β2 - 2β3) x2 + (-β1 + 5β3 ) x + (3β1 + 2β2 + 4β3) = 0

Igualando: β2 - 2β3 = 0

-β1, + 5β3 = 0

3β1 + 2β2 + 4β3 = 0

Tenemos:

[ 0 1 −2−1 0 53 2 4 ]F23 (3 )[ 0 1 −2

−1 0 50 2 19 ]F13 (−2 )[ 0 1 −2

−1 0 50 0 23 ]

F3 (1/23 ) [ 0 1 −2−1 0 50 2 1 ]¿

1 = 0, 2 = 0, 3 = 0, (UNICOS)

p(x), q(x) r(x) son l.i

1.5.2. Aplicación Didáctica con Vectores

c) Sabiendo que V1, V2, V3 son vectores linealmente independientes del espacio

(V1 + R1) Justifique la independencia o dependencia lineal del siguiente conjunto

de vectores: { V1, V2 + a V3 + b V2}

c) V1, V2, V3 son l.i. (por hipótesis)

∃ 1, 2, 3, / 1, = 2, = 3, = 0

Veamos si los vectores V1, V2 + a V3, V3 + b V3 son l.i.:

∃β1, β2, β3, / β1 V 1 + β2 (V2 + a V3) + β3 (bV2 + V3) = 0

β1 V 1 + (β2 + b β3) V2 + (a β2 + β3) = 0

Como V1, V3, V4 son l.i, tenemos:

β1 = 0

(-a) β2 + bβ3 = 0

(1) aβ2 + b β3 = 0

aβ2 – β3 = 0

-aβ2 – abβ3 = 0

aβ2 + β3 = 0

(1 – ab) β3 = 0

β3 = 0 (1 – ab 1)

β3 = 0 ( ab 1)

β3 = 0 β2 = 0 (ab 1)

Entonces: Si ab 1 β1 = β2 = β3 = 0 V1, V2, V3 son l. i.

Si ab = 1 V1, V2, V3 son l. d.

1.5.3 APLICACIÓN DIDACTICA CON VECTORES

4.- Si V1, V2, V3, V4 son linealmente independientes demostrar que los vectores

U1 = V2 + V3 + V4 U2 = V1 + V3 + V4 U3 = V1 + V2 + V4 y U4 = V1 + V2 + V3 son

linealmente independientes.

PRUEBA

V1, V2, V3, V4 son l.i. entonces:

∋β1 , β2 , β5 , β4/ β1U 1+β2U 2+ β3U 3+β4U 4=θ , β1= β2 = β3 = β4

Luego:

β1U 1+β2U 2+ β3U 3+β4U 4=θ

β1(V 2+V 3+V 4)+β2(V 1+V 3+V 4)+ β3(V 1+V 2+V 4)+β4 (V 1+V 3+V 3)=θ

Entonces:

(β2+ β3+β4) V 1 + (β1+ β3+β4) V 2 +(β1+ β3+β4) V 3 + (β1+ β2+3) V 4 = θ

Como: V 1+V 2+V 3+V 4 son l.i:

β2+ β3+β4 = 0 β3+β4=−β2 β1=β2

β1+ β3+β4 = 0 β3+β4=−β1 ……… (*)

β1+ β3+β4 = 0 β1+ β1+β4=0 β4 = -2β1

= -2β1

1.6.- CONJUNTO DE GENERADORES

DEFINICIÓN

Sea V un espacio vectorial. Si existe un conjunto de vectores {V1, V2, V3 ….. Vk} tal

que, todo vector v V se puede expresar como la combinación lineal de V1, V2,

….. Vk; diremos que {V1, V2, V3, ….. Vk} es un conjunto de generadores de

V.

NOTACIÓN

La notación V = {V1, V2, ….. Vk}

Se lee: “V es combinación lineal de los vectores

V1, V2, V3 ….. Vk

O también: “V está generado por los vectores V1, V2, ….. Vk”

EJEMPLO:

1.- Sea V = R2

Entonces:

V = (x, y) = (x, 0) + (o, y) = x (1, 0) + y (0, 1)

Donde: e1 = (1, 0) g e2 = (0,1)

Es decir:

R2 = L {e1, e2}

2.- V = R3

Ye2=(0.1)

X e2=(1.0)

Sea (x, y, z) un elemento que R3

Entonces:

(x, y, z) = (x, 0, 0) + (0, y, 0) + (0, 0, z)

(x, y, z) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 0, 1)

Donde:

e1 = (1, 0, 0)

e2 = (0, 1, 0)

e3 = (0, 0, 1)

Es decir: R3 L {e1, e2, e3}

3.- V = P2 (Conjunto de polinomios grado ≤ 2)

Sea p(x) = ax2 + bx + c

Entonces: p(x) ax2 + bx + c.1

Tenemos:

e1 = x2

e2 = x

e3 = 1

Luego:

P2 = L {e1, e2, e3}

P2 = L {x2, x1, 1}

4.- V = M2x2

Sea A = [a bc d ]∈M 2x 2

Luego:

A = [a 00 0]+[0 b

0 0 ]+[0 00 0]+[0 0

0 d ]

A = a [1 00 0 ]+b [0 1

0 0]+c [0 01 0 ]+d [0 0

0 1]

Donde:

e1 = [1 00 0]

e2 = [0 10 0]

e3 = [0 01 0]

e4 = [0 00 1]

Entonces:

M2x2 = L {e1, e2, e3, e4}

1.7 BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL

DEFINICIÓN:

El conjunto de vectores S = {V1, V2, ….. Vk}

(donde S V) será una base del espacio vectorial V, si cumple dos condiciones:

a) S genera a V

V = L { V1, V2, V3, ….. Vk}

Es decir: “Cualquier vector v V es una combinación lineal de los vectores V1,

V2, ….. Vk}

b) S es un conjunto de vectores linealmente independientes (l. i.)

DIMENSION

DEFINICION.- Se llama DIMENSIÓN de un espacio vectorial, al número de

elementos que tiene una base cualquiera.

Si el espacio vectorial V tiene una “base” de n elementos entonces denotamos:

dim V = n

Ejemplo:

1.- Sea V = R3

Tenemos que: (x, y, z) = (x, 0, 0) + (0, y, 0) + (0, 0, z)

(x, y, z) = x(1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 0, 1)

Donde:

e1 = (1, 0, 0), e2 = (1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1) constituye la base canónica de R3.

Además: dim R3 = 3

a.- Sea V el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual que

2. Indique si los polinomios p(x) = 1 + x + x2, q(x) = 1 + 2x2, r(x) = x + x2 son una

base de V. Justifique

RESOLUCIÓN:

A.- Veamos si los polinomios p(x) = 1 + x + x2, q(x) = 1 + 2x2 r(x) = x + x2 son

base de V. debe cumplir las siguientes condiciones:

I.- p(x), q(x) r(x) generar a P2

1 p(x) + 2 q(x) + 3 r(x) = a2 + bx + c

1 (1 + x + x2) + 2 (1 + 2 + x2) + 3 (x + x2) = a2 + b + c

Igualando:

1 + 2 2 + 3 = a

1 + 3 = b

1 + 2 = c

Tenemos:

[1 2 1a1 0 1b1 1 0c ]¿

F12 (1 )[0 1 1a−c

0 0 2a+b−2c1 1 0c ]F2(1/2)[0 1 1a−c

0 0 1a+b2c /21 1 0c ]

F21 (−1 )[0 1 0a−b /2

0 0 1a+b−2c /21 1 02c−a+b /2]

F13 (−1 )[0 1 0a−b /2

0 0 1a+b−2c /21 0 02c−a+b /2]

Vemos que: x1 = −a+b+2c

2 , 2 =

a−b2

, 3 =a+b−2c

2

Entonces p(x), q(x) r(x) general a V2

II- p(x), r(x) son linealmente independientes.

1 p(x) + 2 q(x) + 3 r(x) = 0 / 1 =2 = 3 = 0 (UNICOS)

(1 + 2 2 + 3) x2 + (1 + 3) x + (1 + 2) = 0x2 + 0x + 0

Igualando: 1 + 2 2 + 3 = 0

1 + 3 = 0

1 + 2 = 0

Tenemos:

[1 2 11 0 11 1 0]¿

F2(1/2)¿

F23−3¿ [0 1 1

0 0 11 1 0 ]

1 = 0, 2 = 2 = 0, 3 =0 (UNICOS)

Px). Q(s) r (x) = son L.I

Como se cumple (I) (II) entonces p(x), q(x) r(x) son base de V = P2.

a⃗ , b⃗ y c⃗ son linealmente independientes

Entonces existen escalares 1 = 2 = 3 = 0

Tal que

α 1 a⃗+α 2 b⃗+α3 c⃗ = 0

Veamos si los vectores 3 a⃗+4 b⃗ , a⃗+ b⃗+c⃗ ,5 a⃗+2 a⃗+b⃗

Son linealmente independientes

∋ escalares β1, β2 , β3 tal que:

β1 (3 a⃗+4 b⃗ )+β2 ( a⃗+b⃗+ c⃗ )+ β3 (5 c⃗+2 a⃗+b⃗ )=¿

(3 β¿¿1+ β2+2 β3) a⃗+(4 β¿¿1+β2+β3) b⃗+( β2+5 β3 )=θ ¿¿

Igualando a cero:

3 β1+β2+2 β3=0

4 β1+β2+β3=0

β2+5β3=0

Resolviendo el sistema:

[3 1 24 1 10 1 5 ]¿

1 2 3

¿

Tenemos:

β1−β3=0 β1=β3

β2+S β3=0 β2=−5β3

Luego:

(β1, β3 , β3) = (β2−S β ,β3)

= β3(1 ,−5 ,1)

Tenemos:

1 2 3

-2 10 -2

-1 5 -1

0 0 0

1 -5 1

NO ES UNICO

Por lo tanto los vectores dados son linealmente dependientes.

Analice si el conjunto S = {(1, -2, 1, 1) ; (3, 0, 2, -2) ; (0, 4, -1, 1), (5, 0, 3,1)}

Sean:

V⃗ 1=¿(1, -2, 1, 1)

V⃗ 2=¿(3, 0, 2, -2)

V⃗ 3=¿(0, 4, -1, 1)

V⃗ 4=¿ (5, 0, 3,1)

Para que estos vectores sean linealmente independientes deben existir escalares

1 =2 = 3 = 4 = 0 (UNICOS)

Tales que:

α 1V⃗ 1+α 2V⃗ 2+α3 V⃗ 3+α 4V⃗ 4=θ⃗ (θ⃗: VECTOR NULO)

Luego:

1 (1, -2, 1, 1) + 2 (3, 0, 2, -2) + 3 (0, 4, -1, 1) + 4 (5, 0, 3,1) = (0, 0, 0, 0)

1 + 35 + 5 4 , -2 1 + 4 3 , 1 + 22 - 3 + 34, 1 - 22 + 3 + 4 ) = (0, 0, 0, 0)

Igualando: 1 + 35 + 5 4 = 0

-2 1 + 4 3 = 0

1 + 22 - 3 + 34 = 0

1 - 22 + 3 + 4 = 0

Entonces:

1 3 0 5 F12(2) 1 3 0 5

-2 0 4 0 F13(-1) 0 6 4 10

1 2 1 3 F13(-1) 0 -1 -1 -2

1 -2 1 1 0 -5 1 -4

F2(1/2) 1 3 0 5 F31(-3) 1 0 -3 -1

0 3 2 5 F32(-3) 0 0 -1 -1

F3(-1) 0 1 1 2 F34(5) 0 1 1 2

0 -5 1 -4 0 0 6 6

Tenemos que:

1 + 2 4 = 0 1 = - 2 4

2 + 4 = 0 2 = - 4

Luego:

(1, 2, 3, 4) = (-24, - 4, -4, 4) = 4 (-2, -1, -1, 1)

Podemos ver que:

1 2 3 4

4 2 2 -2

2 1 1 -1

0 0 0 0

-2 -1 1 1

Como 1 =2 = 3 = 4 = 0 no son únicos, entonces los vectores son linealmente dependientes.

NO SON UNICOS

Sea = {u1, u2, u3, u4} una base del espacio vectorial R4. Analice si el conjunto 1 = {v1, v2, v3, v4} es una base de R4, donde v1 = 2u1 + 3u2 + u3 - u4 ,

v2 = u1 + 2u2 , v1 = u1 – u3 + 3u4 y v4 = u1

Sea = {u1, u2, u3, u4} una base del espacio vectorial R4.

Analizaremos si

v1 = 2u1 + 3u2 + u3 – u4

v2 = u1 +2u2

v3 = u1 – u3 + 3u4

v4 = u4

son linealmente independientes

En primer lugar como u1, u2, u3, u4 son base de R4 son linealmente independientes

es decir:

1 u1 + 2 u2 + 3 u3 + 4 u4 = (1 = 2 = 3 = 4 = 0)

HIPÓTESIS UNICOS

Veamos si v1, v2, v3, v4 son linealmente independientes:

Es decir si ∋ escalares 1 = 2 = 3 = 4 =

1 v1 + 2 v2+ 3 v3 + 4 v4=

1 (2 u1 + 3 u2 + u3 – u4) +2 (u1 + 2 u2 ) + 3 (u1 - u3 + 3u4) + 4 u4 =

(1 + 2 + 3 ) u1 + (31 + 22) u3 + (1 - 3) u3 + (-1 + 33 + 4) u4 =

Pero u1, u2, u3, u4 son linealmente independientes, entonces:

21 + 2 + 3 = 0

31 + 22 = 0 Sistema

1 - 3 = 0 Homogéneo

-1 + 33 + 4 = 0

Entonces:

2 1 1 0 F31 (-2) 0 1 3 0 F1

2 (-2) 0 1 3 0

3 2 0 0 F32 (-3) 0 2 3 0 0 0 -3 0

1 0 -1 0 F34 (1) 1 0 -1 0 1 0 -1 0

-1 0 3 1 0 0 2 1 0 0 2 1

1 2 3 4

F2 (-1/3) 0 1 3 0 F21 (-3) 0 1 0 0

0 0 1 0 F23 (1) 0 0 1 0

1 0 -1 0 F24 (-2) 1 0 0 0

0 0 2 1 0 0 0 1

Podemos ver que 1 = 2 = 3 = 4 = 0 (UNICOS), entonces los vectores v1, v2, v3,

v4 son linealmente independientes.

Para que valores de K, el conjunto S = {(1, 0, 1, k) , (1, k + 1, 0, k) (1, k, 1-k, 1), (1,

0, 1, k)} es una base del espacio vectorial R4.

SOLUCIÓN:

Para que S sea base de R4 los vectores v⃗1 = (1, 0, 1, k), v⃗2 = (1, k+1, 0, k),

v⃗3 = (1, k, 1-k, 1) y v⃗4 = (1, 0, 1, k)

Deben ser linealmente independientes, es decir debemos probar que existen

escalares 1 = 2 = 3 = 4 = 0 (UNICOS)

Tal que:

1 v⃗1= 2 v⃗2= 3 v⃗3= 4 v⃗4=

1 (1, 0, 1, k) + 2 (1, k + 1, 0, k) + 3 (1, k, 1-k, 1) y 3 = (1, 0, 1, k) = (0,0,0,0)

1 + 2 + 3 + 4 , (k + 1) 2 + k3 , 1 + (1-k) 3 + 4, k1 + k 2 + 3 + k 4 =

(0,0,0,0)

Igualando:

1 + 2 + 3 + 4 = 0

(k + 1) 2 + k3 = 0

1 + (1-k) 3 + 4 = 0

k1 + k 2 + 3 + k 4 = 0

Luego resolviendo el sistema homogéneo

1 1 1 1 F13 (-1) 1 1 1 1

0 k+1 k 0 F14 (-k) 0 k+1 k 0

1 0 1-k 1 0 -1 -k 0

K k 1 k 0 0 1-k 0

Podemos observar que si k = 1:

1 1 1 1 F3(-1) 1 1 1 1

0 2 1 0 0 2 1 0

0 -1 -1 0 0 1 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0

1 2 3 4

F31(-1) 1 0 0 1

0 0 -1 0

F32(-2) 0 1 1 0

0 0 0 0

Tenemos:

1 + 4 = 0 4 = - 1

- 3 = 0 3 = 0

2 + 3 = 0 2 + 0 = 0 2 =0

Tenemos:

(1, 2, 3, 4) = (1, 0, 0, 3, - 1) = 1 (1, 0, 0, -1)

1 2 3 4

-2 0 0 2

-1 0 0 1

0 0 0 0

1 0 0 -1

Para k=1 los vectores V⃗ 1 , V⃗ 2 , V⃗ 3 y V⃗ 4 son linealmente dependientes para

k R – {1} los vectores V⃗ 1 , V⃗ 2 , V⃗ 3 y V⃗ 4 son linealmente independientes

NO SON UNICOS

CAPITULO II

ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO INTERNO

2.1 Espacio vectorial con producto interno

2.2 Norma de vectores en un espacio con producto interno

2.3 Distancia entre dos vectores

2.4 Bases ortogonales

2.5 Bases ortonormales

2.5.1 Proceso de ortonormalización de Gran Schmidth

2.1 Espacio vectorial con producto interno

Definición:

Sea V un espacio vectorial sobre K.

Un producto escalar o interno sobre V es una aplicación tal que a cada par de

elementos x a y V le asigna un número < x, y> k tal que satisface las

siguientes propiedades:

P1) <x, y + <z, y> + <x, z> (Distribubitivdad)

P2) <z, y> = <y, x> (Simetría o conmutatividad)

P3) < x, y> = <x, y> (Homogeneidad)

P4) < x, x ≥ 0, <x, x> = o x = (Positividad)

Para cualquier x, y, z V, K.

APLICACIÓN DIDÁCTICA

Determinar si la siguiente relación es o no un producto interno

<x, y> = 2x1y1 + 3xy1 + x2 y2 – 3x1 y2

PRUEBA

P1) DISTRIBUTIVIDAD

Por demostrar: <x, y, z> = <x, y> + <x, z>

Tenemos que: x = (x1, x2) , y = (y1, y2) , z = (z1, z2) K

<x, y> = <(x1, x2) , (y1, y2)> = 2 x1, y2 + 3 x1, y2 + x2, y2 - 3 x1, y2

<x, z> = <(x1, x2) , (z1, z2)> = 2 x1, z2 + 3 x1, z2 + x2, z2 - 3 x1, z2

Veamos:

<x, y + z> = <(x1, x2) ; (y1 + z1, y2 + z2)

= 2x1 (y1 + z1) + 3x2 (y1 + z1) + x2 (y2 + z2) – 3x2 (y1 + z1)

= 2x1 y1 + 2x1 z1 + 3x2 y2 + 3x2 z1 + x2 y2 + x2 z2 – 3x1 y1 – 3x1 z1

Agrupando convenientemente:

<x, y + z> =2x1 y1 + 3x2 y1 + x2 y2 – 3x1 y1 + (2 x1 z1 + 3x2 z1 +x2 z2 - 3x1 z1

Luego: <x , y + z> = <x, y> + <x, z>

P2) SIMETRIA ó CONMUTAVIDAD

Por demostrar: <x, y> = <x, z>

Sean: x (x1. x2) y = (v1, v2)

Tenemos:

<x, y> = < (x1. x2) , (y1, y2)>

=2x1 y1 + 3x2 y1 + x2 y2 – 3x1 y1

<y, x> = < (y1. y2) , (x1, x2)>

=2y1 x1 + 3y2 x1 + y2 x2 – 3y1 x1

Entonces:

<x, y> = < (x1, x2) , (y1, y2)>

=2x1 y1 + 3x2 y1 + x2 y2 – 3x1 y1

=2y1 x1 + 3y2 x1 + y2 x2 – 3y1 x1 (Propiedad conmutativa de los

números reales)

= <y, x>

P3) HOMOGENEIDAD

Por demostrar < x, y> = < x, y>

Sea K, x = (x1, y1), y = (x1, y2)V

Veamos:

< x, y> = < (x1, x2) , y = (y1, y2)

= < (x1, x2) , (y1, y2) >

= 2 x1 y1 + 3 x2 y1 + x2 y2 - 3 x1 y1

= [ 2 x1 y1 + 3 x2 y1 + x2 y2 - 3 x1 y1]

= < x, y>

P4) POSITIVIDAD

Por demostrar: < x , x> ≥ 0

Tenemos:

< x , x> = <(x1, x2) , (x1, x2) >

= 2 x1, x1 + 3 x2 x1 + x2 x2 - 3 x1 x1

= 2 x12 + 3x1 x2 + x22 – 3x1x2

= 2 x12 + x2

2 ≥ 0

< x, x> ≥ 0

Como se cumplen las propiedades P1, P2, P3 y P4 podemos afirmar que la relación

dada es un producto interno.

2.2 Norma de vectores en un espacio con producto interno

2.2.1 Definición de Espacio Euclídeo

Un espacio vectorial con un producto interno se llama espacio vectorial euclídeo

2.2.1 Definición de Norma

En un espacio euclideo usaremos la notación: ∥ x∥=+√¿ x , y>¿¿ el número

∥ x∥ se llama norma euclidea o simplemente norma de x.

2.2.3 Desigualdad de Cauchy – Schavartz

Sea V un espacio vectorial euclideo y x y V, entonces se verifica:

/(x, y)/ ≤ : ∥ x∥∥ y ∥

Además la igualdad se da si y solo si x e y son proporcionales.

PRUEBA:

Probaremos teniendo en cuenta que V = R2

En primer lugar tomemos los vectores x = (x1, x2) , y =(y1, y2)

Y que el producto interno de estos vectores es:

<x , y> = x1y1 + x2 y2

Se presentan dos casos:

I) Si x //y En el mismo sentido: x

Y

θ=∡ ( x , y )=0 °

Sentidos opuestos:

= 180°

y x

θ=∡ ( x , y )=180 °

Si x//y Q = ∡ ( x , y )=0 ° - θ=∡ ( x , y )=180 °

Sabemos que: cos θ = cos 0° = ¿ x , y>¿

∥ x∥∥ y ∥=1¿

<x , y> =∥ x∥∥ y ∥ ---------------(I)

θ=180° cos180 °=¿x , y> ¿∥ x ∥∥ y∥

¿

-1= ¿ x , y>¿

∥ x∥∥ y ∥¿

<x, y> = -∥ x∥∥ y ∥ …………….(II)

De (I) y (II): <x , y> =∥ x∥∥ y ∥ ó <x , y> =−∥ x∥∥ y ∥

¿=∥ x∥∥ y ∥ ---------------(*)

II) Si x // y

y

x

PROYY X X

Podemos observar que: ∥ x∥>∥PROY y x ∥

∥PROY y x∥<∥x ∥

∥COMP y x ∥<∥ x∥

¿

¿¿

¿

De (*) y (**) : ¿

2.2 Ley del Paralelogramo

Sea V un espacio vectorial euclideo se cumple:

∥ x+ y∥2+∥ x− y∥2=2(∥ x∥2+∥ y∥2)

Cualquiera que sea x y V

PRUEBA: Sean x, y V entonces:

Sabemos que:

∥ x+ y∥2=¿+2 <x,z> + ∥ y ∥2 ¿ ……………… (I)

∥ x− y ∥2=¿- 2 <x,z> + ∥ y ∥2 ¿ ……………… (II)

Sumando miembro a miembro (I) y (II)

∥ x+ y∥2+∥ x− y∥2=∥ x∥2+2< x , y>+∥ y ∥2+∥ x∥2−2<x , y>+∥ y ∥2

∥ x+ y∥2+∥ x− y∥2=2(∥ x∥2+∥ y∥2)

2.1.4 Propiedades de la Norma