Espacios vectoriales

1. Espacios vectoriales

M. Josune [email protected]

(E,+): grupo abeliano. Ley de composicin externa sobre K:

Distributiva respecto de + Distributiva respecto de Elemento neutro: 1v=v.

Josune Urien. UNED Bergara

Es un subconjunto de un e.v. que a su vez posee la misma estructura de e.v:

Espacio vectorial Subespacio: UE,talqueU,K,,estambine.v.

Userunsubespacio vectorialsii cumple:

E,talqueU,K,,estambine.v.

Userunsubespacio vectorialsii cumple:


Combinacin lineal : los vectores, multiplicados por un escalar, se suman (o restan)

3u+2v-4w s es una c.l.

3uv + w no es una c.l.

Vectores ligados o dependientes: Vectores ligados o dependientes:

Al menos uno de ellos puede ponerse en combinacin lineal de los dems.

Ejemplo: {(1,0), (2,1), (-3,-2)}, ya que : (-3,-2) = (1,0)-2(2,1)


Vectores libres o independientes: no puede ponerse ninguno en c.l. del resto, es decir:

Sistemas de slo dos vectores: sern ligados si son proporcionales, en caso contrario sern proporcionales, en caso contrario sern independientes:

{(1,0,2), (-2,0,-4)} es un sistema ligado.

{(1,0,2), (1,1,3)} es un sistema libre.

Sistemas de 3 o ms vectores: debe plantearse la condicin de independencia lineal, y hallar si los coeficientes son forzosamente cero o no, por ejemplo:


Ejemplo: son libres los siguientes vectores de 3 ?

{(1,0,1), (0,-1,-1),(1,2,1)}

a(1,0,1) + b(0,-1,-1) + c(1,2,1)=(0,0,0)

a+c=0

-b+2c=0

a-b+c=0

a+c=0

-b+2c=0

a-b+c=0

Resolviendo el sistema (por ejemplo, por sustitucin) llegamos a:

a=b=c=0 luego el sistema de vectores es libre.


Base de un e.v. ( o un subespacio vectorial)

Sistema generador de vectores

Sistema de vectores independientes.

Dimensin: n de vectores de la base.

El nmero mximo de vectores libres de un e.v.nunca puede superar su dimensin:

Ej: slo puede haber 3 vectores libres en 3

Ej: el sistema de 2 formado por{(1,1), (e5,0),(7/5, )} es ligado. Lo sabemos sin necesidad de realizar operaciones, ya que son 3vectores en un e.v. de dimensin 2.


Un sistema que contenga al vector 0E es ligado:

{(8,9,9,1) (0,0,0,0) (1,2,-1,3)}

El sistema {(1,0,1), (2,1,2)} es un sistema libre en 3

pero no puede ser sistema generador ni base de 3, ya que slo posee 2 vectores.

{(1,0,1), (1,1,1), (-8,03), (3,2,-1)} puede ser sistema generador de 3 pero no sistema libre, ni base, ya que posee demasiados vectores.

{(1,0,2), (0,1,2), (0,0, -1)} es un sistema libre (lo comprobaramos) de 3 vectores en 3 , de modo que constituye una base de 3.


Sea el subespacio V de 3 generado por los vectores:{(1,1,1), (0,1,1)}

Dimensin del subespacio: son dos vectores libres, luego la dimensin es dos. Es decir, estos 2 vectores constituyen una base de dicho subespacio.

Ecuaciones paramtricas: cualquier otro vector de V Ecuaciones paramtricas: cualquier otro vector de V puede escribirse como:(x,y,z)=a(1,1,1) + b(0,1,1)= (a,a+b,a+b)luego:x=ay=a+bz=a+b

Nota: podra simplificarse ms, utilizando el parmetro a y un parmetro c=a+b.


Continuacin: Sea el subespacio V de 3 generado por los vectores: {(1,1,1), (0,1,1)}

Ecuaciones NO paramtricas: despejamos a y b en las ecuaciones paramtrica. El n de ecuaciones no paramtricas es igual al n de variables menos el n de parmetros:

x=ax=ay=c y=z (3 variables -2 parmetros= 1 ecuacin)

z=c

En resumen, el subespacio V de 3 puede escribirse como:

1) V generado por {(1,1,1) (1,0,1)}

2) V={(a,c,c)}

3) V={(x,y,z) / y-z=0}


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