Espacios vectoriales

Trabajo Final de Álgebra Lineal

Unidad 5

Introducción

5.1 Definición de vectores.

5.2 Definiciones y propiedades básicas de los espacios vectoriales

5.3 Combinación Lineal y espacio generado

5.4 Base y dimensión de un espacio vectorial

5.5 Espacio vectorial y producto interno y sus propiedades

5.6 Cambio de base, base ortonormal, proceso de ortonormalización de

Gram-Schmidt

5.1Definición de vectoresUn vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vectorposee unas características que son:

Origen: también denominado Punto de aplicación. Es el punto exactosobre el que actúa el vector.

Módulo: Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es precisoconocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es elmódulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.

Dirección: Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que locontiene.

Sentido: Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremodel vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige elvector.

Sistema de Coordenadas Cartesianas es usado comúnmente paravectores.

5.2 Espacio vectorial

Un espacio vectorial es una terna (V, +, ·), donde V es un conjunto no vacío y +, · son dos operaciones del tipo +: V × V → R, · : R × V → V a las que llamaremos ’suma de vectores’ y ’producto por escalares respectivamente y con las siguientes propiedades: denotando +(u, v) = u + v y ·(λ, v) = λv,

1. u + (v + w) = (u + v) + w, ∀u, v, w ∈ V (asociativa).

2. u + v = v + u, ∀u, v ∈ V (conmutativa).

3. Existe e ∈ V tal que e + v = v + e = v, ∀v ∈ V (elemento neutro).

4. Para cada v ∈ V existe w tal que v + w = w + v = e (elemento opuesto).

5. λ(µv) = (λµ)v, ∀v ∈ V , ∀λ, µ ∈ R (seudo-asociativa).

6. λ(u+v) = λu+λv y (λ+µ)v = λv +µv, ∀u, v ∈ V y ∀λ, µ ∈ R (distributiva).

7. 1v = v,∀v ∈ V (unimodular).

5.3 Combinación Lineal y espacio generado

Combinación lineal.

Dado un conjunto de vectores v1, . . ., vn se llama una combinación lineal de ellos a cualquier vector de la forma

v = α1 v1 + . . . + αn vn

donde α1 , . . . , αn son escalares, llamados coeficientes de la combinación lineal.

Espacio generado

Sea V un espacio vectorial, y v1, v2, . . . ,vk vectores de V . El conjunto formado por todas las posibles combinaciones lineales de los vectores v1, v2, . . . ,vk se llama el espacio generado por v1, v2, . . . ,vk.

5.4 Base y dimensión de un espacio vectorialBase: Se llama base de un espacio (o subes pació) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subes pacio, que sea a la vez linealmente independiente.

Propiedades de las bases.

1. Una base de S es un sistema generador mínima de S (lo más pequeño posible).

2. Además es un conjunto independiente máxima dentro de S (lo más grande posible).

3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.

Dimensión

La dimensión de un espacio vectorial se define como el cardinal de una base vectorial para dicho espacio. Por el axioma de elección todo espacio tiene una base (incluso el espacio {0}, ya que el vacío es una base), y puesto que puede demostrarse que todas las bases vectoriales tienen el mismo cardinal, el concepto de dimensión está bien definido. Conviene notar que existen espacios vectoriales de tanto de dimensión finita como de dimensión infinita (el espacio vectorial de los polinomios de una variable, por ejemplo tiene dimensión.

La dimensión de un espacio coincide además con los dos cardinales siguientes:

El máximo número de vectores linealmente independientes de dicho espacio.

El mínimo número de vectores que forman un conjunto generador para todo el espacio

5.5 Espacio vectorial y producto interno y sus propiedadesEl espacio vectorial complejo V se conoce como un espacio con producto interior si para cualquier par de vectores u y v en V, existe un único número complejo (u, v), llamado el producto interior de u y v, tal que si u, v y w están en V y si α ∈ C, entonces

Propiedades:

I. (v, v) ≥ 0

II. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0.

III. (u, v +w) = (u, v)+ (u, w)

IV. (u + v, w) = (u, w)+(v, w)

V. (u, v) = (v, u)

VI. (αu, v) = α(u, v)

VII. (u, αv) = α(u, v)

La barra en las condiciones (v) y (vii) denota el conjugado complejo.

5.6 Cambio de base, base orto normal, proceso de orto normalización de Gram-SchmidtCambio de baseEl cambio de base consiste en conocidas las coordenadas de un vector respecto a una base B, encontrar las coordenadas de dicho vector con respecto a otra base B’.

(La inversa de la matriz de transición).

Si P es la matriz de transición de una base B a una base B’ en , entonces P es invertible y la matriz de transición de B’a B es .

(Matriz de transición de una base B a una base B’).

Sean y dos bases de Rn, entonces la matriz de transición P-1 de B a B’ puede determinarse mediante eliminación de Gauss – Jordan en la matriz.

En la matriz B’ representa la matriz que tiene por columnas las componentes de los vectores de la base B’ respectivamente, de forma similar B representa la matriz que tiene por columnas las componentes de los vectores de la base B respectivamente.

Base ortonormal

En álgebra lineal, una base orto normal de un espacio prehilbertiano V (es decir, un espacio vectorial con producto interno) o, en particular, de un espacio de Hilbert H, es un conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de magnitud unitaria. Una base ortogonal satisface las mismas condiciones, salvo la de magnitud unitaria; es muy sencillo transformar una base ortogonal en una base orto normal mediante el producto por un escalar apropiado y de hecho, esta es la forma habitual en la que se obtiene una base orto normal: por medio de una base ortogonal.

Así, una base orto normal es una base ortogonal, en la cual la norma de cada elemento que la compone es unitaria.

Estos conceptos son importantes tanto para espacios de dimensión finita como de dimensión infinita.

Una base ortonormal por lo general no es una "base", es decir, en general no es posible escribir a cada elemento del espacio como una combinación lineal de un número finito de elementos de la base ortonormal. En el caso de dimensión infinita, esta distinción cobra importancia: la definición dada requiere solo que el spande una base ortonormal sea densa en el espacio vectorial, y no que iguale al espacio entero.

Proceso de ortonormalizaciónGram – Schmidt

El proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt de álgebra lineal es un proceso utilizado en matemática y análisis numérico, para ortogonalizar un conjunto de vectores en un espacio prehilbertiano, más comúnmente el espacio euclídeo Rn. Ortogonalización en este contexto significa lo siguiente: comenzamos con vectores v1,…, vk los cuales son linealmente independientes y queremos encontrar mutuamente vectores ortogonales u1, …, uk los cuales generan el mismo subespacioque los vectores v1, …, vk.Este proceso lleva el nombre en honor a Jørgen Pedersen Gram y Erhard Schmidt. Proceso de Gram–Schmidt Definimos el operador proyección condonde los corchetes angulares representan el producto interior, proyecta el vector v ortogonalmente en el vector u. Antes de ver el proceso, debemos comprender el porqué de la definición de proyección. Si recordamos la definición de producto escalar, tenemos para el caso del numerador, módulo de u por módulo de v por el coseno del ángulo que forman.En el denominador tenemos módulo de u por módulo de u, ya que el coseno sería 1. Si separamos los dos módulos de u en el denominador, vemos que a la izquierda tenemos únicamente “módulo de v * cos (ángulo que forman)”, lo que nos da claramente el módulo del vector proyección. Teniendo el módulo del vector proyección lo único que debemos hacer es asignarle una dirección, cosa que hacemos multiplicándolo por u/módulo(u), lo que es el vector de módulo 1 con dirección u (el vector unitario).