Espacios vectoriales

1

Espacios Vectoriales, Rectas y Planos

M.Sc. Alcides Astorga M.

Instituto Tecnologico de Costa Rica

Escuela de Matematica

· · ·Revista digital Matematica, educacion e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

2

El singular incidente de la Tribu Vectorial

Se cuenta que una vez existio una tribu de indios que

creıan firmemente que las flechas eran vectores. Si

querıan matar a un ciervo que se encontraba directa-

mente al Noroeste, no disparaban una flecha al Nooeste,

sino que disparaban dos flechas simultaneamente, una

directamente hacia el Oeste, confiados en que la

poderosa resultante de las dos flechas matarıan al ciervo.

Los cientıficos escepticos han dudado de la veracidad de

este rumor, basandose en que no se ha encontrado las

mas ligera huella de la existencia de tal tribu. Ahora

bien, la absoluta desaparicion de la tribu, a consecuen-

cia de la inanicion, es precisamente lo que cualquiera

hubiera esperado, dudas las condiciones. Y, puesto que

la teorıa afirma que la tribu existio confirma dos cosas

tan diversas como “el comportamiento no vertical de las

flechas” y el “principio darwinista de la seleccion natu-

ral”, no es, seguramente, una teorıa que pueda rechaz-

arse a la ligera.

(Tomado de la revista “Cuadernos de Educacion Matematica”, Vol.1, Departamento de Matematicas,

UNAM, Mexico.)

Creditos

Edicion y composicion Word: Alcides Astorga M.

Edicion y composicion LaTeX: Lisseth Angulo, Walter Mora F.

Graficos (version LaTeX): Walter Mora F.

Comentarios y correcciones: escribir a [email protected]

Contenido

1.1 Espacios vectoriales reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Ejemplos de espacios vectoriales reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.3 Combinacion lineal de vectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.5 Dependencia lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.8 Vectores paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.9 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.10 Independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.11 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.12 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.13 Base de unn espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.14 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2 Los espacios vectoriales R3 y R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.1 Representacion de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.2 Regla del paralelogramo para sumar vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.3 Longitud de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.5 Vectores unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.6 Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.7 Vectores perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2.9 Angulo entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2.10 Proyeccion vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2.11 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2.12 Producto vectorial en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3

4

1.3 Rectas en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.3.1 Diferentes formas de expresar la ecuacion de una recta en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.3.2 Ecuacion de una recta en R3 cuando se conocen dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.3.3 Rectas paralelas y rectas perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.3.4 Angulos entre rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.4 Planos en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.4.1 Ecuacion cartesiana del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.4.2 Ecuacion del plano cuando se conocen tres puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.4.3 Planos paralelos, planos perpendiculares y angulos entre planos . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.4.4 Rectas y planos paralelos. Rectas y planos perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.5 Algunos ejemplos resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Espacios vectoriales reales Prof. Alcides Astorga Morales 5

1.1 Espacios vectoriales reales

Sea V un conjunto sobre el cual se definen dos operaciones, a saber:

1.) La suma

Si u ∈ V y v ∈ V, entonces (u + v) ∈ V

2.) La multiplicacion escalar

Si α ∈ R y u ∈ V, entonces α · u ∈ V.

V se dice que es un espacio vectorial real para las operaciones definidas anteriormente, si estas cumplen las

siguientes propiedades:

a.) u + v = v + u, para todo u, v en V.

b.) (u + v) + w = v + (u + w), para todo u, v, w en V.

c.) Existe un elemento en V, denotado 0 y llamado vector cero, tal que para todo u en V cumple que

u + 0 = 0 + u = u.

d.) Para todo u en V, existe un elemento en V, denotado −u, tal que u + (−u) = −u + u = 0.

e.) (α + β) · u = α · u + β · u, para todo α, β en R, y para todo u en V.

f.) α · (u + v) = α · v + α · u, para todo α en R, y para todo u, v en V.

g.) (αβ) · u = α · (β · u) , para todo α, β en R, y para todo u en V.

h.) 1 · u = u, para todo u en R.

Los elementos de un espacio vectorial reciben el nombre de vectores.

1.1.1 Ejemplos de espacios vectoriales reales

1. Sea V el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2, con entradas en el conjunto de los numeros reales,

esto es:

V =

a b

c d

/a, b, c, d son numeros reales

entonces V con las operaciones siguientes es un espacio vectorial.

i.) Suma

Si u =

a b

c d

y v =

e f

g h

entonces u+v =

a b

c d

+

e f

g h

=

a + e b + f

c + g d + h

6

ii.) Multiplicacion escalar

Si u =

a b

c d

entonces α · u = α ·

a b

c d

=

αa αb

αc αd

2. Sea Pn el conjunto formado por todos los polinomios de grado menor o igual que n, esto es

Pn ={anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x + a0 / an, an−1, · · · , a1, a0 son numeros reales}

.

Se puede verificar que Pn con las operaciones suma y multiplicacion escalar que se definen a continuacion

constituye un espacio vectorial.

i.) Suma

Sean p(x) y q(x) dos polinomios en Pn tales que:

p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0 , q(x) = bnxn + bn−1x

n−1 + · · ·+ b1x + b0

Entonces se define:

p(x) + q(x) = (anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0) + (bnxn + bn−1x

n−1 + · · ·+ b1x + b0)

= (an + bn)xn + (an−1 + bn−1)xn−1 + · · ·+ (a1 + b1)x + (a0 + b0)


Sea p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0 y α ∈ R, entonces se define

αp(x) = α(anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0) = (αan)xn + (αan−1)xn−1 + · · ·+ (αa1)x + (αa0)

3. Se define el conjunto Rn de la siguiente manera:

Rn = {(x1, x2, x3, · · · , xn) / xi ∈ R para i = 1, 2, 3, · · · , n}

En Rn se define la suma y la multiplicacion escalar de la siguiente forma:

i.) Suma

Sean x, y en Rn tales que x = (x1, x2, x3, ..., xn), y = (y1, y2, y3, ..., yn), entonces

x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3, ..., xn + yn)


ii.) La multiplicacion escalar

Sea x = (x1, x2, x3, ..., xn) y α ∈ R, se define:

αx = α(x1, x2, x3, ..., xn) = (αx1, αx2, αx3, ..., αxn)

Se puede verificar que Rn es un espacio vectorial con las dos operaciones definidas anteriormente.

Dos casos especiales, que se analizaran posteriormente, lo constituyen:

a. R2 = { (x, y) / x ∈ R, y ∈ R}b. R3 = { (x, y, z) / x ∈ R, y ∈ R, z ∈ R}

1.1.2 Ejercicios

1. Sean a y b dos numeros reales, tales que a < b. Sea C[a, b] el conjunto de las funciones continuas de valor

real definidas en [a, b].

En C[a, b] se define la suma de funciones y la multiplicacion escalar de la siguiente forma:

i.) Suma

(f + g)(x) = f(x) + g(x)


(α · f)(x) = α · f(x)

Verifique que C[a, b], con las operaciones definidas anteriormente es un espacio vectorial.

2. Sea N [a, b] el subconjunto de C[a, b], definido de la siguiente forma:

N [a, b] =

{f ∈ C[a, b]/

∫ b

a

f(x) dx = 0

}

Verifique que N [a, b] con las operaciones definidas en el punto 1 de este ejercicio es un espacio vectorial.

3. Verifique que si se define Pn como

Pn ={anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x + a0 / an, an−1, · · · , a1, a0 son numeros enteros}

entonces Pn con las operaciones definidas en el punto 2 del ejemplo anterior, no es un espacio vectorial real.

1.1.3 Combinacion lineal de vectores.

Sean v1, v2, v3, ..., vn vectores de un espacio vectorial real V. Sea v otro vector en V. Se dice que v se puede

escribir como combinacion lineal de los vectores v1, v2, v3, ..., vn si existen numeros reales α1, α2, α3, ..., αn tales

que

v = α1v1 + α2v2 + α3v3 + ... + αnvn

8

Ejemplo 1

Sean u = (−1, 2), v = (1, 2) y w = (2, 3) vectores en R2.

Exprese, si es posible, u como combinacion lineal de v y w.

Solucion

Se tiene que determinar dos numeros reales, los cuales denotamos α y β, tales que

(−1, 2) = α(1, 2) + β(2, 3)

De la igualdad anterior se tiene que

(−1, 2) = (α + 2β, 2α + 3β)

De donde se obtiene que{−1 = α + 2β

2 = 2α + 3β

Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior se concluye que α = 7 y β = −4, y por lo tanto:

(−1, 2) = 7(1, 2)− 4(2, 3)

1.1.4 Ejercicios

Sean u = (−1, 2, 1), v = (0, 1, 1), w = (1,−1, 0) y r = (−1, 0, 1) vectores en R3.

Exprese u como combinacion lineal de v, w y r.

1.1.5 Dependencia lineal.

Sean v1, v2, v3, ..., vn vectores de un espacio vectorial real V. Se dice que v1, v2, v3, ..., vn son linealmente depen-

dientes si para cualesquiera numeros reales α1, α2, α3, ..., αn tales que cumplan

α1v1 + α1v2 + α1v3 + ... + α1vn = 0 (0 denota el vector cero de V)

entonces existe algun i en {1, 2, 3, ..., n} tal que αi 6= 0.

Ejemplo 2

Sean u = (1, 2), v = (3, 5) y w = (7, 11) vectores en R2.

Determine si u, v y w son linealmente dependientes.

Solucion

Supongase que existen α, β y δ tales que α(1, 2) + β(3, 5) + δ(7, 11) = (0, 0)


α(1, 2) + β(3, 5) + δ(7, 11) = (0, 0)

=⇒ (α + 3β + 7δ, 2α + 5β + 11δ) = (0, 0)

=⇒{

α + 3β + 7δ = 02α + 5β + 11δ = 0

(I)

Multiplicando la primera ecuacion por -2, la segunda por 1 y luego sumandolas, se tiene

{−2α− 6β − 14δ = 02α + 5β + 11δ = 0

−β − 3δ = 0 Por lo que β = −3δ

Sustituyendo el valor de β en la ecuacion α + 3β + 7δ = 0

α + 3(−3δ) + 7δ = 0 =⇒ α = 2δ

Como el sistema de ecuaciones (I) tiene infinitas soluciones, entonces u, v y w son linealmente dependientes,

pues, por ejemplo, se puede tomar δ = 1, de donde α = 2 y β = −3.

1.1.6 Ejercicios

Sean u = (1, 0,−1), v = (−1, 2, 3) y w = (−1, 6, 7) vectores en R3. Determine si u, v, w son vectores linealmente

dependientes.

Teorema 1

Sean v1, v2, v3, ..., vn vectores de un espacio vectorial real V. Diremos que v1, v2, v3, ..., vn son linealmente de-

pendientes si uno cualquiera de estos vectores se puede representar como combinacion lineal de los otros n− 1

vectores, esto es, si es posible determinar β1, β2, ..., βi−1, βi+1, ..., βn tales que

vi = β1v1 + β2v2 + ... + βi−1vi−1 + βi+1vi+1 + ... + βnvn

1.1.7 Ejercicios

Sean u = (1, 1, 1), v = (0,−2, 3) y w = (−2, 0, 5) vectores en R3. Utilizando el criterio anterior, determine si

u, v, w son linealmente dependientes.

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1.1.8 Vectores paralelos

Sean u y v dos vectores de un espacio vectorial V. Se dice que u y v son paralelos, si u y v son linealmente dependi-

entes, y por el teorema anterior, se puede decir que u y v son paralelos si existe un numero real β tal que u = βv.

1.1.9 Ejercicios

En cada uno de los casos siguientes, determine si cada par de vectores dados son paralelos.

a.) u = (−1, 3), v = (0, 1) b.) u = (−1, 1, 0), v = (4,−4, 0)

1.1.10 Independencia lineal

Sean v1, v2, v3, ..., vn vectores de un espacio vectorial real V. Se dice que v1, v2, v3, ..., vn son linealmente inde-

pendientes si para cualesquiera numeros reales α1, α2, α3, ..., αn tales que cumplan

α1v1 + α2v2 + α3v3 + ... + αnvn = 0 (0 denota el vector cero de V)

entonces, para todo i, con i = 1, 2, 3, 4, ..., n se cumple que αi = 0.

Ejemplo 3

Sean u = (−1, 2, 0), v = (−3, 0, 2) y w = (0, 1, 1) vectores en R3. Determine si u, v y w son linealmente inde-

pendientes.

Solucion

Sopongase que existen α, β y δ tales que α(−1, 2, 0) + β(−3, 0, 2) + δ(0, 1, 1) = (0, 0, 0)

α(−1, 2, 0) + β(−3, 0, 2) + δ(0, 1, 1) = (0, 0, 0)

=⇒ (−α− 3β, 2α + δ, 2β + δ) = (0, 0, 0)

=⇒

−α− 3β = 0

2α + δ = 0

2β + δ = 0


Multiplicando la ecuacion uno por 2, la ecuacion dos por 1, y luego sumando estas ecuaciones se obtiene que

{−2α− 6β = 02α + δ = 0

−6β + δ = 0 o sea que δ = 6β

Sustituyendo este valor de δ en la ecuacion tres se tiene que

2β + δ = 2β + 6β = 8β = 0 =⇒ β = 0

Por lo que, δ = 0, pues δ = 6β, y sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones anteriores los valores de β y δ

obtenidos, se tiene que tambien α = 0.

Como α = β = δ = 0 entonces se concluye que u, v, w son linealmente independientes.

1.1.11 Ejercicios

Sean u = (−1, 2, 4), v = (0, 2,−2) y w = (3,−1, 2). Verifique que u, v y w son linealmente independientes.

Teorema 2

Sean u, v dos vectores en R2 tales que u = (x1, x2), v = (y1, y2), y sea

D =x1 x2

y1 y2

Si D = 0 , entonces u, v son vectores linealmente dependientes, en caso contrario, u, v son linealmente indepen-

dientes.

Teorema 3

Sean u, v, w vectores en R2 tales que u = (x1, x2, x3), v = (y1, y2, y3), w = (z1, z2, z3), y sea

D =

x1 x2 x3

y1 y2 y3

z1 z2 z3

Si D = 0 , entonces u, v, w son vectores linealmente dependientes, en caso contrario, son linealmente indepen-

dientes.

12

1.1.12 Ejercicios

Determine si los siguientes vectores son dependientes o linealmente independientes.

1.) u = (−4, 5), v = (2, 7)

2.) u = (3, 5,−2), v = (−3, 0, 4), w = (3, 1, 2)

1.1.13 Base de unn espacio vectorial

Sean v1, v2, v3, ..., vn vectores, diferentes del vector cero, de un espacio vectorial V. Se dice que el conjunto

{v1, v2, v3, ..., vn} constituye una base de V, y a su vez se dice que V tiene dimencion n, si cumple las siguientes

condiciones:

i.) Los vectores v1, v2, v3, ..., vn son linealmente independientes

ii.) Todos los elementos de V se pueden expresar como combinacion lineal de v1, v2, v3, ..., vn. Cuando se

cumple esta condicion se dice que {v1, v2, v3, ..., vn} genera a V.

Ejemplo 4

Sean u = (−1, 2) y v = (3, 5). Demuestre que {u, v} constituye una base de R2.

Solucion

i.) u y v son linealmente independientes

Supongase que existen α y β tales que: α(−1, 2) + β(3, 5) = (0, 0)

α(−1, 2) + β(3, 5) = (0, 0)

=⇒ (−α + 3β, 2α + 5β) = (0, 0))

=⇒{−α + 3β = 0

2α + 5β = 0=⇒ multiplicando por 2

=⇒{−α + 3β = 0

2α + 5β = 0

11β = 0 =⇒ β = 0

Sustituyendo el valor de β en α + 3β = 0, se tiene que α = 0.


Como α = β = 0, entonces u y v son linealmente independientes.

ii. {u, v} generan a R2.

En este caso se debe demostrar que para cualquier vector w en R2, existen α y β tales que:

w = αu + βv

Sea que w = (x, y), entonces

w = αu + βv

=⇒ (x, y) = α(−1, 2) + β(3, 5)

=⇒ (x, y) = (−α + 3β, 2α + 5β)

=⇒{

x = −α + 3β

y = 2α + 5β

Del sistema de ecuaciones anterior se debe despejar tanto α como β en terminos de x y y.

{x = −α + 3β

y = 2α + 5β=⇒

{2x = −2α + 6β

y = 2α + 5β

2x + y = 11β =⇒ β =2x + y

11(∗)

Sustituyendo el valor de β en la ecuacion x = −α + 3β, se tiene que

x = −α + 3(2x + y

11)

=⇒ x =−11α + 6x + 3y

11

=⇒ 11x = −11α + 6x + 3y

=⇒ 11α = −11x + 6x + 3y

=⇒ 11α = −5x + 3y

=⇒ α =−11x + 6x + 3y

11(∗∗)

14

Por lo anterior, dado cualquier vector w = (x, y) en R2 siempre es posible expresarlo como combinacion

lineal de u y v, utilizando (∗) y (∗∗), de la siguiente forma:

(x, y) =−5x + 3y

11(−1, 2) +

2x + y

11(3, 5)

Por (i) y (ii) se concluye que {(−1, 2), (3, 5)} es una base de R2 y por tanto tiene dimencion 2.

1.1.14 Ejercicios

1.) Sean u = (−2, 5) y v = (3, 1) vectores en R2. Determine si {u, v} es una base de R2.

2.) Sean u = (−2, 1, 1) , v = (1, 3, 1) y w = (0, 2, 4) vectores en R3. Determine si {u, v, w} es una base de R3.

3.) Sean u = (1, 1, 1) , v = (1, 0, 1) y w = (−1,−2,−1) vectores en R3. Determine si {u, v, w} es una base de

R3.

Teorema 4

Sea V un espacio vectorial real de dimension n.

a.) La base de V no es unica.

b.) Todas las bases de V tienen exactamente n elementos.

c.) Cualquier subconjunto de V que contenga n+ 1 vector es linealmente dependiente.

d.) Si un subconjunto de V tiene n vectores linealmente independientes, entonces es una base de V.

Ejemplo 5

Sean u = (−1, 5,−2), v = (0,−2, 3) y w = (1, 1, 1) vectores en R3.

Sabiendo que R3 es un espacio vectorial real de dimencion 3, verique que {u, v, w} es una base de R3.

Solucion

Como R3 es un espacio vectorial de dimencion 3, y se tienen tres vectores de R3, basta demostrar que u, v y w

son linealmente independientes. Para hacer esto calculemos D, donde

D =

−1 5 −2

0 −2 3

1 1 1

= 5− 0 + 11 = 16

Los espacios vectoriales R3 y R3 Prof. Alcides Astorga Morales 15

Como D 6= 0, entonces los vectores u, v, w son linealmente independientes y por lo tanto {u, v, w} es una base

de R3.

1.2 Los espacios vectoriales R3 y R3

1.2.1 Representacion de vectores

El espacio vectorial R2 corresponde a lo que se denomina el plano real y tiene dimencion 2. Tradicionalmente

se toma para este espacio como base el conjunto de vectores {i, j} tal que:

i = (1, 0) y j = (0, 1)

El conjunto {i, j} recibe el nombre de base canonica.

En la representacion geometrica de elementos de este espacio, el vector i corresponde en el sistema de coorde-

nadas al eje x, y el vector j corresponde al eje y.

Ası cualquier vector u = (x, y) en el plano se acostumbra escribir como

u = (x, y) = xi + yj

Los numeros reales x, y reciben el nombre de componentes del vector u en la base {i, j}.

Similarmente, el espacio vectorial R3 corresponde al espacio real y su dimencion es 3. La base con que se trabaja

generalmente es {i, j,k} donde

i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)

Usando esta base, se tiene que si u = (x, y, z) entonces

u = (x, y, z) = xi + yj + zk

Los numeros reales x, y, z reciben el nombre de componentes del vector (x, y, z) en la base {i, j,k} y esta recibe

el nombre de base canonica.

En la representacion geometrica de elementos de este espacio el vector i corresponde al eje x, el j corresponde

al eje y, y el vector k al eje z.

16

Nota

Mientras no se mencione lo contrario, se supondra que todos los vectores en R2 y R3, estan dados en la base

canonica.

• Segmento de recta dirigido

Sean P y Q dos puntos en R2 o R3, entonces el segmento de recta dirigido de P a Q (en este orden), y

denotado −−→PQ, se define como el segmento de recta que se extiende de P a Q, a P se le llama punto inicial

y a Q punto terminal.

Si dos segmentos de recta −−→PQ y −→RS tienen la misma longitud y direccion se dice que son equivalentes.

• Representacion geometrica de un vector

La representacion geometrica de un vector u, cuyas componentes vienen dadas con respecto a la base

canonica, consiste de todos los segmentos de recta dirigidos equivalentes a u.

Y

X

Figura 1.1:

Asimismo:

• Los vectores cuyo punto inicial es el origen O, y punto terminal es P, se acostumbran a denotar como −−→OP .

Si u es un vector tal que u = −−→OP , entonces las componentes de u seran las coordenadas del punto P, e

inversamente, diremos que si P es un punto, entonces −−→OP es el vector cuyo punto inicial es el origen y


cuyo punto terminal es P.

j

y

x iO

P= (x , y) = xi + yi

Figura 1.2:

K

j

o

P = ( x, y, z) = xi + yj + zk

z

y

x

Figura 1.3:

• Si u es un vector tal que u = −−→PQ, donde P y Q son dos puntos, entonces diremos que u tiene como

punto inicial P y como punto terminal Q. Ademas, se puede verificar que este vector corresponde al vector−−→OQ−−−→OP , cuyas componentes estan dadas en la base canonica, y el cual es un vector cuyo punto inicial

es el origen y las coordenadas del punto terminal son las mismas que las de Q - P. Por lo anterior, se

acostumbra escribir:−−→PQ = −−→

OQ−−−→OP

18

1.2.2 Regla del paralelogramo para sumar vectores

La suma de vectores de R2 y R3 tiene una representacion grafica muy interesante. Para ilustrarla, supongase

que se tienen dos vectores u y v cuyas componenetes estan dadas en la base canonica. El resultado de sumar u

con v se puede representar como el vector u+v, el cual coincide con el vector situado a lo largo de la diagonal del

paralelogramo de lados u y v. Dicho paralelogramo, como se nota en la siguiente figura, se obtiene trasladando

los vectores u y v hasta que el punto inicial de cada vector coincida con el punto terminal del otro vector.

u + v

u

v

v

u

Figura 1.4:

1.2.3 Longitud de un vector

Sea u un vector, la longitud (magnitud, norma) de u se denota como ‖u‖, se tienen los siguientes casos:

i. Si u = (x, y) entonces ‖u‖ =√

x2 + y2.

ii. Si u = (x, y, z) entonces ‖u‖ =√

x2 + y2 + z2.

iii. Si u = −−→AB donde A = (x1, y1) y B = (x2, y2) entonces

u = −−→AB = −−→

OB −−→OA = (x2 − x1, y2 − y1)

Por lo que ‖u‖ = ‖−−→AB‖ =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.


iv. Si u = −−→AB donde A = (x1, y1, z1) y B = (x2, y2, z2) entonces

u = −−→AB = −−→

OB −−→OA = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1).

Por lo que: ‖u‖ = ‖−−→AB‖ =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2.

1.2.4 Ejercicios

Calcular la magnitud de los vectores siguientes

1.) −−→AB si A =(−2, 3, 0) y B =(−3, 4,−5)

2.) u = (−2, 1)

3.) u = (−1, 2,−6)

Teorema 5

Sean u y v dos vectores y α un numero real, entonces se cumple que:

a.) ‖u‖ ≥ 0

b.) ‖αu‖ = |α| · ‖u‖

c.) ‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖

1.2.5 Vectores unitarios

Sea v un vector. Se dice que v es unitario si cumple que ‖v‖ = 1.

Teorema 6

Sea v un vector diferente del vector cero, entonces se cumple que u = v‖v‖ es un vector unitario.

Por ejemplo, si v = (−2, 2, 1) entonces se tiene que ‖v‖ =√

(−2)2 + 22 + 12 = 3

20

Sea u = v‖v‖ = 1

3 (−2, 2, 1) = (−23

,23,13), entonces ‖u‖ =

√49

+49

+19

= 1

1.2.6 Producto escalar

a.) Sean u = (x1, y2) y v = (x2, y2). El producto escalar o producto punto de u y v, denotado u · v, se define

como el munero real que viene dado por

u · v = x1x2 + y1y2

b.) Sean u = (x1, y2.z1) y v = (x2, y2, z2). El producto escalar o producto punto de u y v, denotado u · v, se

define como el munero real que viene dado por

u · v = x1x2 + y1y2 + z1z2

Nota

Recuerde que el producto escalar se dos vectores siempre es un numero real.

Ejemplo 6

Calcular el producto escalar de los siguientes vectores

1.) u = (−2, 5), v = (3, 1)

2.) u = (−3, 1, 4), v = (−1,−7, 1)

Solucion

1.) u · v = (−2, 5)(3, 1) = (−2)(3) + (5)(1) = −6 + 5 = −1

2.) u · v = (−3, 1, 4)(−1,−7, 1) = (−3)(−1) + (1)(−7) + (4)(1) = 3− 7 + 4 = 0

1.2.7 Vectores perpendiculares

Sean u y v dos vectores diferentes de cero. Se dice que u y v son perpendiculares (ortogonales) si se cumple que

u · v = 0.


1.2.8 Ejercicios

De entre los siguientes vectores determine cuales son perpendiculares entre sı:

1.) u = (−2, 4), v = (1, 0.5), w = (1, 0)

2.) u = (−1, 2, 2), v = (1, 5, 2), w = (2, 0,−1)

Teorema 7

Sean u, v vectores y α un numero real, entonces

a.) u · v = v · u

b.) (α · u) · v = α(v · u)

c.) ‖u‖2 = u · u

Ejemplo 7

Sean u = (1, 0, 3) y v = (−2, 1, 4) vectores en R3.

Determine los vectores w en R3 que satisfagan simultaneamente las siguientes condiciones:

a.) w se puede expresar como combinacion lineal de u y v.

b.) w es perpendicular a u.

c.) ‖w‖ =√

44

Solucion

Sea w = (x, y, z) el vector buscado.

Por (a), existen α y β tales que (x, y, z) = α(1, 0, 3) + β(−2, 1, 4)

De donde se concluye que

22

x = α− 2β (i)

y = β (ii)

z = 3α + 4β (iii)

Por (b), como w es perpendicular a u, entonces se concluye que:

(x, y, z)(1, 0, 3) = 0, o sea que

x + 3z = 0, de donde

x = −3z

Por (i) y (iii) se tiene que x = α− 2β, z = 3α + 4β, por lo que:

x = −3z

=⇒ α− 2β = −3(3α + 4β)

=⇒ α− 2β = −9α− 12β)

=⇒ α + 9α = −12β + 2β, obteniendose que

α = −β

Como α = −β, entonces sustituyendo en (i) y (iii) se tiene que

x = α− 2β = −β − 2β = −3β, por lo tanto, x = −3β (iv)

z = 3α + 4β = −3β + 4β = β, por lo tanto, z = β (v)

Por (c), se tiene que ‖w‖ =√

44, de donde se tiene que

√x2 + y2 + z2 =

√44, o sea, que x2 + y2 + z2 = 44, usando (ii), (iv) y (v) se tiene que

x2 + y2 + z2 = 44


=⇒ (−3β)2 + β2 + β2 = 44

=⇒ 9β2 + 2β2 = 44

=⇒ 11β2 = 44

=⇒ β2 = 4

=⇒ β = 2, β = −2

Si β = 2, entonces x = −6, y = 2, z = 2.

Si β = −2, entonces x = 6, y = −2, z = −2.

Rspuesta: Los vectores que cumplen las condiciones dadas son (−6, 2, 2) y (6,−2,−2).

1.2.9 Angulo entre vectores

i. Sean u y v dos vectores diferentes de cero no paralelos, cuyos puntos iniciales coinciden con el origen.

Entonces se define el angulo ϕ entre los vectores u y v como el angulo no negativo mas pequeno formado

por estos vectores. Por lo anterior ϕ ∈ [0, π].

ii. Si u y v son vectores paralelos diferentes de cero, o sea existe α ∈ R tal que u = αv, entonces se define el

angulo “entre” u y v de la siguiente forma:

a.) si α > 0, entonces ϕ = 0.

b.) si α < 0, entonces ϕ = π.

Teorema 8

Sean u y v vectores diferentes de cero y no paralelos. Si ϕ es el angulo entre u y v, entonces

cosϕ =u · v

‖u‖ · ‖v‖Ejemplo 8

Sean u y v dos vectores tales que u = (−2, 1) y v = (1, 3), calcule la medida del angulo entre u y v.

24

Solucion

Sea ϕ el angulo buscado

u · v = (−2, 1)(1, 3) = −2 + 3 = 1

‖u‖ =√

(−2)2 + 12 ‖v‖ =√

12 + 32

Por lo que cos ϕ =1

(5)(10), y entonces se tiene que ϕ = arccos (

150

) ≈ 1.5507 (en radianes).

1.2.10 Proyeccion vectorial

Sean u y v dos vectores diferentes de cero, entonces la proyeccion de u sobre v es un vector denotado Proyv el

cual viene dado por

Proyvu = η · v donde se tiene que η =u · v‖v‖2

Note que la proyeccion de u sobre v es un vector paralelo a v.

u

v

Proy uv

Figura 1.5:

Ejemplo 9

Sea u = (2,−3) y v = (1,−4). Determine la proyeccion de u sobre v.


u

v

v Proy U

Figura 1.6:

Solucion

η =(2,−3)(1,−4)12 + (−4)2

=2 + 121 + 16

=1417

Por lo que Proyvu =1417

(1,−4) = (1417

,−5617

)

1.2.11 Ejercicios

Para cada par de vectores que se dan a continuacion determine la proyeccion de u sobre v.

1.) u = (3, 2, 1), v = (1, 2,−1).

2.) u = (0.5,−3, 0.25), v = (−2, 12, 1)

1.2.12 Producto vectorial en R3

Sean u = (x1, y1, z1) y v = (x2, y2, z2) vectores en R3. Se define el producto vectorial (producto cruz, producto

exterior), denotado u× v, como el vector que viene dado por

u× v = (y1z2 − z1y2, z1x2 − x1z2, x1y2 − y1x2)

Nota

Tenga presente que el producto vectorial se define unicamente para vectores en R3

La forma de como calcular el producto vectorial de dos vectores tal y como esta enunciada en la definicion

anterior es difıcil de recordar. Es por esto que dicho resultado se puede escribir en forma indicada utilizando

26

determinantes, de la siguiente forma

u× v =

i j k

x1 y1 z1

x2 y2 z2

(∗)

Note que en realidad, (∗) no es un determinante por cuanto i, j y k no son numeros reales y por lo tanto el

resultado de (∗) no es un numero real.

Teorema 9

Sean u, v y w vectores en R3 y sea α un numero real, entonces se cumple que:

1.) u× 0 = 0× v = 0 (0 denota el vector cero)

2.) u× v = −(v × u)

3.) (α · u)× v = α(u× v)

4.) u× (v + w) = (v × u) + (v × w)

5.) (u× v) · w = u · (v × w)

6.) u · (u× v) = 0(esta propiedad lo que afirma es que (u× v) es perpendicular a u)

7.) v · (u× v) = 0(esta propiedad lo que afirma es que (u× v) es perpendicular a v)

8.) u y v son paralelos ⇔ u× v = 0

9.) Si ϕ es el angulo entre u y v ( se supone que u y v no son paralelos) entonces

‖u× v‖ = ‖u‖ · ‖v‖ sin ϕ.

10.) El area de un paralelogramo generado por los vectores u y v viene dada por ‖u× v‖.

En particular el area del triangulo de lados u y v, viene dada por‖u× v‖

2.

Ejemplo 10

Sean A, B y C dos puntos en R3 tales que A = (1, 2, 1), B = (3,−1, 7) y C = (7, 4,−2).

a.) Verifique que A, B y C son los vertices de un triangulo isosceles.


b.) Calcule la medida del angulo cuyo vertices es C.

c.) Calcule el area del triangulo de vertices A, B y C.

Solucion

a.) Una forma de determinar si el triangulo de vertices A, B y C es isosceles es verificando que tiene dos lados

que miden lo mismo.

A

B

C

Figura 1.7:

i.) ‖−→CA‖ = ‖−→OA−−−→OC‖ = ‖(1, 2, 1)− (7, 4,−2)‖ = ‖(−6,−2, 3)‖

=√

(−6)2 + (−2)2 + 32 = 7

ii.) ‖−−→CB‖ = ‖−−→OB −−−→OC‖ = ‖(−4,−5, 9) =√

(−4)2 + (−5)2 + 92 =√

122

iii.) ‖−−→BA‖ = ‖−→OA−−−→OB‖ = ‖(−2, 3,−6) =√

(−2)2 + 32 + (−9)2 = 7

Como ‖−→CA‖ = ‖−−→BA‖, entonces el triangulo de vertices A, B y C es isosceles.

b.) Calculemos la medida del angulo cuyo vertice es C

Si α denota la medida del angulo cuyo vertice es C, entonces

cos α =−→CA · −−→CB

‖−→CA‖ · ‖−−→CB‖ =(−6,−2, 3) · (−4,−5, 9)

(7)(√

122)=

24 + 10 + 277√

122

28

C

alfa

A

B

Figura 1.8:

Por lo que α = arccos(61

7√

122), o sea que α ≈ 0.6616 (en radianes).

c.) Para calcular el area del triangulo se puede usar cualquiera de las formulas

12‖−−→CB ×−→CA‖, 1

2‖−→AC ×−−→AB‖, 1

2‖−−→CB ×−−→AB‖

En este ejemplo usaremos12‖−−→CB ×−→CA‖

−−→CB ×−→CA =

i j k

−4 −5 9

−6 −2 3

= 3i− 42j− 22k

Por lo que ‖−−→CB ×−→CA‖ =√

2257

Respuesta:

El area del triangulo de vertices A, B y C viene dada por√

22572

Ejemplo 11

Determine el vector C en R3 que cumpla las siguientes condiciones

a.) Forma un angulo de π6 con el vector A, donde A = (0, 1, 0)

b.) Es ortogonal al vector B, donde B = (0,−1,√

3)


c.) ‖C‖ = 2

Solucion

Sea C = (a, b, c)

Por la informacion (a) se tiene que

cosπ

6=

A · C‖A‖ · ‖C‖ =

(0, 1, 0) · (a, b, c)‖(0, 1, 0)‖ · 2 =

b

2

Por lo que √3

2=

b

2, o sea, b =

√3

Por la informacion (b) se tiene que C ·B = 0

C ·B = 0 =⇒ (a, b, c) · (0,−1,√

3) = 0

=⇒ −b + c√

3 = 0, pero como b =√

3

=⇒ √3 + c

√3 = 0

=⇒ c = 1

Por la informacion (c), se tiene que ‖C‖ = 2, por lo tanto:

‖C‖ = 2 =⇒ √a2 + b2 + c2 = 2, pero como b =

√3, c = 1

=⇒ √a2 + 3 + 1 = 2

=⇒ √a2 + 4 = 2

=⇒ a2 + 4 = 4

=⇒ a2 = 0

=⇒ a = 0.

30

Respuesta

El vector buscado es (0,√

3, 1).

Ejemplo 12

Sea u = (2,−1, 1) y v = (1,−6, 2).

Determine para que valores de k se cumple que el vector w = (4, k,−1) se puede expresar como combinacion

lineal de u y v.

Solucion

El vector w se puede expresar como combinacion lineal de u y v si existen α y β tales que:

(4, k,−1) = α(2,−1, 1) + β(1,−6, 2)

=⇒ (4, k,−1) = (2α,−α, α) + (β,−6β, 2β)

=⇒

2α + β = 4−α− 6β = k

α + 2β = −1

Para resolver este sistema se toma la primera y tercera ecuacion

{2α + β = 4

α + 2β = −1=⇒

{2α + β = 4−2α− 4β = 2

−3β = 6 =⇒ β = −2 (∗)

Sustituyendo β = −2 en la primera ecuacion se tiene que 2α + (−2) = 4, por lo que α = 3.

Sustituyendo α = 3 y β = −2 en la ecuacion −α− 6β = k se tiene que

−3− 6(−2) = k, o sea que k = 9.

Respuesta

El valor de k para que w se pueda expresar como combinacion lineal de u y v es 9.

Ejemplo 13


Considere los puntos A = (2, 2, 2), B = (3, 0, 2) y C = (4, 5, 7).

Sean v = −−→OC,

−−→OC es el vector de punto inicial el origen y punto terminal de C.

w = −−→OB,

−−→OB es el vector de punto inicial el origen y punto terminal de B.

Sea u = −−→OD, la proyeccion vectorial del vector −−→OC sobre el vector −−→OB.

Calcule el area del triangulo cuyos vertices son los puntos A, B, y D (D es el punto terminal del vector −−→OD).

Solucion

Como primer paso calculemos u, donde u = Proywv = αw y ademas se tiene que

α =−−→OC · −−→OB−−→OB · −−→OB

=(4, 5, 7) · (3, 0, 2)(3, 0, 2) · (3, 0, 2)

=12 + 0 + 149 + 0 + 4

=2613

= 2

Por lo que −−→OD = α−−→OB = 2(3, 0, 2) = (6, 0, 4)

Como segundo paso calculemos el area del triangulo de vertices A, B y D.

−−→AB = −−→

OB − −→OA = (1,−2, 0)

−−→AD = −−→

OD − −→OA = (4,−2, 2)

El area buscada viene dada por‖−−→AD ×−−→AB‖

2

‖−−→AD ×−−→AB‖ =

i j k

4 −2 2

1 −2 0

= −4i + 2j− 6k

Por lo que‖−−→AD ×−−→AB‖

2=

√(−4)2 + 22 + (−6)2

2=√

562

=2√

142

=√

56

Respuesta

El area buscada es de√

56 (u.l)2.

32

1.3 Rectas en R3

Sea A un punto en R3 y sea B un vector en R3, con B diferente al vector cero.

Se define la recta L que pasa por A y tiene como vector director a B como el conjunto de puntos X que cumplen

con la condicion−−→OX − −→

OA = tB, con t ∈ R (1)

OA

A

X

AX

y

z

o

u

L

OX

Figura 1.9:

En otras palabras X esta en la recta L, si y solo si el vector −−→OX −−→OA es paralelo el vector B.

La ecuacion (1) recibe el nombre de ecuacion vectorial de la recta L que pasa por A y es paralela a B.

1.3.1 Diferentes formas de expresar la ecuacion de una recta en R3

Sea A un punto y B un vector en R3.

Sea L la recta de ecuacion −−→OX = −→OA + tB, com t ∈ R.

Sean X = (x, y, z), A = (a1, a2, a3) y B = (b1, b2, b3), entonces se tiene:

• Ecuaciones parametricas de una recta−−→OX = −→

OA + tB =⇒ (x, y, z) = (a1, a2, a3) + t(b1, b2, b3), de donde realizando las correspondientes

operaciones se tiene que

x = a1 + tb1

y = a2 + tb2

z = a3 + tb3

con t ∈ R (2)

Rectas en R3 Prof. Alcides Astorga Morales 33

Las ecuaciones anteriores reciben el nombre de ecuaciones parametricas de la recta que pasa por (a1, a2, a3) y

cuyo vector director es (b1, b2, b3).

• Ecuaciones simetricas de una recta

Con respecto a las ecuaciones parametricas obtenidas en (2), si suponemos que b1 6= 0, b2 6= 0 y b3 6= 0

entonces se tiene que

x = a1 + tb1 =⇒ x− a1 = tb1, o sea quex− a1

b1= t (3)

y = a2 + tb2 =⇒ x− a2 = tb2, o sea quey − a2

b2= t (4)

z = a3 + tb3 =⇒ x− a3 = tb3, o sea quez − a3

b3= t (5)

Como en las ecuaciones (3), (4) y (5) el lado izquierdo esta igualado a t, entonces se cumple que

x− a1

b1=

y − a2

b2=

z − a3

b3

Las ecuaciones anteriores reciben el nombre de ecuaciones simetricas de la recta que pasa por (a1, a2, a3) y tiene

como vector director a (b1, b2, b3).

Nota

1.) Si b1 = 0, entonces las ecuaciones simetricas son: x = a1,y − a2

b2=

z − a3

b3.

2.) Si b2 = 0, entonces las ecuaciones simetricas son: y = a2,x− a1

b1=

z − a3

b3.

3.) Si b3 = 0, entonces las ecuaciones simetricas son: z = a3,x− a1

b1=

y − a2

b2.

Ejemplo 14

Determine las ecuaciones parametricas y simetricas de la recta que pasa por el punto (−2, 3, 1) y tiene como

vector director a (−5, 0, 4).

Solucion

1.) Ecuaciones parametricas

x = −2− 5t

y = 3

z = 1 + 4t, donde t ∈ R

34

2.) Ecuaciones simetricas

y = 3,x + 2−5

=z − 1

4

1.3.2 Ecuacion de una recta en R3 cuando se conocen dos puntos

Sean A y B dos puntos en R3. Entonces la ecuacion vectorial de la recta L que contiene a A y B viene dada

por:−−→OX = −→

OA + t(−−→OB −−→OA), donde t ∈ R

Ejemplo 15

Sean A = (−2, 3,−1) y B = (2, 1, 1) dos puntos en R3.

Determine las ecuaciones parametricas y simetricas de la recta que contiene a A y B.

Solucion

Si se denota por D el vector director de la recta que pasa por A y B, entonces:

D = −−→OB −−→OA, o sea D = (2, 1, 1)− (−2, 3,−1) = (4,−2, 2)

Por lo que se tiene:

1.) Ecuaciones parametricas

x = −2 + 4t

y = 3− 2t

z = −1 + 2t, con t ∈ R

2.) Ecuaciones simetricasx + 2

4=

y − 3−2

=z + 1

2

1.3.3 Rectas paralelas y rectas perpendiculares

• Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos.

• Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares.

Planos en R3 Prof. Alcides Astorga Morales 35

1.3.4 Angulos entre rectas

Se define el angulo que forman dos rectas como el angulo que determinan sus vectores directores.

1.4 Planos en R3

Sea N un vector en R3 diferente de cero. Sea T un punto en R3.

Se dice que el conjunto de puntos X generan un plano que contiene al punto T , si cumplen que:

(−−→OX −−→OT ) ·N = 0 (∗)

Si se denota por π el plano que contiene a T y los puntos X en R3 que satisfacen (∗), entonces se dice que N

es el vector normal de π.

X

y

Z

O

X

T

n

Figura 1.10:

Note que (∗) lo que afirma es que X pertenece al plano que contiene al punto T y cuyo vector normal es N si

y solo si el vector −−→OX −−→OT es perpendicular a N .

36

1.4.1 Ecuacion cartesiana del plano

Si N = (a, b, c), X = (x, y, z) y T = (t1, t2, t3), entonces se tiene que:

(−−→OX −−→OT ) ·N = 0 =⇒ (x− t1, y − t2, z − t3) · (a, b, c) = 0

=⇒ a(x− t1) + b(y − t2) + c(z − t3) = 0

=⇒ ax− at1 + by − bt2 + cz − ct3 = 0

=⇒ ax + by + cz + (−at1 − bt2 − ct3) = 0

=⇒ ax + by + cz + d, donde d = −at1 − bt2 − ct3

El resultado anterior se puede resumir ası:

Sea π un plano que contiene al punto T = (t1, t2, t3) y cuyo vector normal es N = (a, b, c), entonces la ecuacion

cartesiana de π, viene dada por:

a(x− t1) + b(y − t2) + c(z − t3) = 0, o

ax + by + cz + d, donde d = −at1 − bt2 − ct3

Ejemplo 16

Determine la ecuacion cartesiana del plano que contiene el punto (2, 2, 1) y tiene como vector normal a (−1, 1, 3).

Solucion

Sean X = (x, y, z), T = (2, 2, 1) y N = (−1, 1, 3), entonces:


(−−→OX −−→OT ) ·N = 0 =⇒ (x− 2, y − 2, z − 1) · (−1, 1, 3) = 0

=⇒ −1(x− 2) + 1(y − 2) + 3(z − 1) = 0

=⇒ −x + 2 + y − 2 + 3z − 3 = 0

=⇒ −x + y + 3z − 3 = 0

Respuesta

La ecuacion del plano que se busca es −x + y + 3z − 3 = 0.

1.4.2 Ecuacion del plano cuando se conocen tres puntos

Note que por la definicion de un plano, siempre es posible obtener su ecuacion si se conoce un punto plano y el

vector normal a ese plano.

En general tres puntos no alineados determinan en forma unica un plano, este hecho permite, dados tres puntos

A,B y C, no alineados, calcular la ecuacion del plano que los contiene.

Esto se hace de la siguiente forma:

• Sea π el plano que contiene los puntos A,B y C.

• Ses u = −−→AB y v = −→

AC

• Calculese el vector N , donde N = u× v. Recuerdese que N es un vector perpendicular a u y v.

• Si X es un punto de π, entonces cualquiera de las igualdades

(−−→OX −−→OA) ·N = 0, (−−→OX −−−→OB) ·N = 0, (−−→OX −−−→OC) ·N = 0

puede utilizarse para obtener la ecuacion de π.

Nota

En el caso anterior, el vector N puede ser cualquier vector paralelo a u× v.

Ejemplo 17

38

Determinar la ecuacion del plano que contiene los puntos A = (2, 2, 2), B = (3, 1, 1) y C = (6,−4,−6).

Solucion

Llamaremos (−−→OX −−→OA) ·N = 0 la ecuacion buscada, donde X = (x, y, z) y ademas se tiene que

N = −−→AB ×−→AC = (−−→OB −−→OA)× (−−→OC −−→OA)

N = −−→AB ×−→AC =

i j k

1 −1 1

4 −6 −8

= 2i + 4j− 2k

(−−→OX −−→OA) ·N = 0 =⇒ (x− 2, y − 2, z − 2) · (2, 4,−2) = 0

=⇒ 2(x− 2) + 4(y − 2)− 2(z − 2) = 0

=⇒ 2x + 4y − 2z − 8 = 0

Respuesta

La ecuacion buscada es 2x + 4y − 2z − 8 = 0

1.4.3 Planos paralelos, planos perpendiculares y angulos entre planos

Sea π un plano, cuyo vector normal es N .

Sea ρ un plano, cuyo vector normal es N1.

1.) Se dice que π es paralelo a ρ si y solo si N y N1 son perpendiculares.

2.) Se diec que π es perpendicular a ρ si y solo si N y N1 son perpendiculares.

3.) Se define el angulo formado por π y ρ, como el angulo que forman N y N1.

Ejemplo 18

Sea π un plano de ecuacion 2x− y + z = 0.


Sea ρ un plano de ecuacion x + 2y − z − 1 = 0.

Determine el angulo que forman π y ρ.

Solucion

Como vector normal de π se puede tomar: (2,−1, 1)

Como vector normal de ρ se puede tomar: (1, 2,−1)

Sea α el angulo que forman π y ρ.

Entonces cos α =(2,−1, 1) · (1, 2,−1)

‖(2,−1, 1)‖ · ‖(1, 2,−1)‖ =2− 2− 1√

22 + (−1)2 + 12√

12 + 22 + (−1)2=

−1√6√

6=−16

=⇒ α = arccos (−16

) ≈ 1.738( en radianes )

Ejemplo 19

Sea π un plano de ecuacion 2x− 3y + 5z − 1 = 0.

Sea ρ un plano de ecuacion 3x + 2y + 4z + 5 = 0.

Determine la ecuacion del plano que contiene el (1, 2, 1) y es perpendicular a los planos π y ρ.

Solucion

Llamese η el plano de cuya ecuacion se busca y sea ax + by + cz + d = 0 la ecuacion cartesiana de η.

Como η es perpendicular a π y a ρ, entonces se tiene que (a, b, c) es perpendicular tanto a (2,−3, 5) - vector

normal de π- como a (3, 2, 4) - vector normal de ρ -, por lo que se puede tomar (a, b, c) como el producto vectorial

de (2,−3, 5) y (3, 2, 4).

(a, b, c) =

i j k

2 −3 5

3 2 4

= (−22, 7, 13)

De donde −22x + 7y + 13z + d = 0. Sustituyendo el punto dado (1, 2, 1) en esta ecuacion, se tiene que

−22(1) + 7(2) + 13(1) + d = 0

40

=⇒ −22 + 14 + 13 + d = 0

=⇒ d = −5

Por lo que la ecuacion buscada es −22 + 14 + 13− 5 = 0.

1.4.4 Rectas y planos paralelos. Rectas y planos perpendiculares

Sea L una recta de vector director d y sea π un plano de vector normal n.

a.) L es paralela a π si y solo si d es perpendicular a n.

b.) L es perpendicular a π si y solo si d es paralelo a n.

Ejemplo 20

Determine la ecuacion del plano π que satisface simultaneamente las siguientes condiciones:

a.) Contiene los puntos A y B, donde A = (−1, 2, 3) y B = (0, 1, 2) .

b.) Es paralelo a la recta L de ecuacionx− 1

2= y + 1 = z − 2 .

Solucion

Sea ax + by + cz + d = 0 la ecuacion de π.

Como A y B estan contenidos en π, entonces (a, b, c) es perpendicular a

‖−−→AB‖ = −−→OB −−→OA.

Como L es paralela a π, entonces (a, b, c) es perpendicular a (2, 1, 1).

Como (a, b, c) es perpendicular tanto a −−→OB −−→OA, como a (2, 1, 1), entonces (a, b, c) lo podemos tomar como el

producto vectorial de −−→OB −−→OA y (2, 1, 1).

(a, b, c) = (−−→OB −−→OA)× (2, 1, 1) =

i j k

1 −1 −1

2 1 1

= (0,−3, 3)

De donde la ecuacion de π tiene la forma −3y + 3z + d = 0.

Algunos ejemplos resueltos Prof. Alcides Astorga Morales 41

Como los puntos A y B pertenecen al plano π, podemos sustituir cualquiera de estos puntos en la ecuacion

anterior, para obtener el valor de d. Tomemos para esto A = (−1, 2, 3):

−3y + 3z + d = 0 =⇒ −3(2) + 3(3) + d = 0

=⇒ −6 + 9 + d = 0

=⇒ d = −3

Respuesta

Por lo que la ecuacion buscada es −3y + 3z − 3 = 0, o sea, y + z − 1 = 0.

1.5 Algunos ejemplos resueltos

Ejemplo 21

Sea L una recta de ecuacionx− 1

2=

y + 1−3

=z − 7

3

Sea L1 una recta de ecuacionx + 5

3=

y − 2−2

=z + 3−1

Determine (si existe) el punto de interseccion entre L y L1.

Solucion

Sea (x0, y0, z0) el punto de interseccion buscado.

Sustituyendo este punto en la ecuacion de L se tiene que

x0 − 12

=y0 + 1−3

=z0 − 7

3= α

=⇒ x0 − 12

= α,y0 + 1−3

= α,z0 − 7

3= α

=⇒ x0 = 2α + 1, y0 = −3α− 1, z0 = 3α + 7 (∗)

Sustituyendo el punto (x0, y0, z0), en la ecuacion de L1, se tiene que

x0 + 53

=y0 − 2−2

=z0 + 3−1

= t

42

=⇒ x0 + 53

= t,y0 − 2−2

= t,z0 + 3−1

= t

=⇒ x0 = 3t− 5, y0 = −2t + 2, z0 = −t− 3 (∗∗)

Por (∗) y (∗∗) se tiene que

2α + 1 = 3t− 5, −3α− 1 = −2t + 2, 3α + 7 = −t− 3

Tomando la segunda y la terecera igualdad:

{−3α− 1 = −2t + 23α + 7 = −t− 3

6 = −3t− 1 =⇒ t =−73

Sustituyendo t =−73

en la tercera igualdad

3α + 7 = −t− 3 =⇒ 3α + 7 =73− 3

=⇒ α =−239

Para determinar si existe punto de interseccion entre las dos rectas se debe verificar que el punto obtendo, en

(∗) y (∗∗), tanto para α, como para t, es el mismo.

i.) t =−73

ii.) α =−239

x0 = −12 x0 =−379

y0 =203

y0 =203

z0 =−23

z0 =−23

Como los valores obtenidos para x0 son diferentes, entonces no existe punto de interseccion entre las dos rectas.


Ejemplo 22

Considere los planos definidos por las ecuaciones:

π1 : x− y = 2

π2 : x + 3y + 2z = 2

π3 : −2x + y − z = 2

Determine la ecuacion del plano π que cumple simultaneamente las siguientes condiciones:

a.) π contiene la recta L, siendo L la recta de interseccion de los planos π1 y π2.

b.) π es perpendicular al plano π3.

Solucion

Sea ax + by + cz + d = 0 la ecuacion buscada.

i.) Determinaremos la ecuacion de la recta L.

De x− y = 2 se tiene que x = y + 2 (1)

Utilizando las ecuaciones de π1 y π2 se tiene

{x− y = 2

x + 3y + 2z = 2=⇒

{3x− 3y = 6

x + 3y + 2z = 2

6 = −3t− 1 =⇒ t =−73

O sea que, x =z − 2−2

(2)

De (1) y (2) se tiene que las ecuaciones simetricas de L, vienen dadas por

x

1=

y + 21

=z − 2−2

y, por lo tanto, como su vector director se puede tomar (1, 1,−2).

ii.) Como π3 es perpendicular a π, entonces (a, b, c) es perpendicular a (−2, 1,−1), ademas, como L esta

contenida en π, entonces (a, b, c) tambien debe ser perpendicular a (1, 1,−2). Por lo anterior, como

(a, b, c) debe ser perpendicular a (−2, 1,−1) y a (1, 1,−2), entonces podemos calcular el vector normal de

π de la siguiente forma:

(a, b, c) = (1, 1,−2)× (−2, 1,−1) =

i j k

1 1 −2

−2 1 −1

= (1, 5, 3)

44

De donde se tiene que x + 5y + 3z + d = 0

Ademas, como L esta en el plano buscado cualquier punto que tomemos en L esta en el plano satisface, por

tanto, la ecuacion anterior.

Como las ecuaciones simetricas de L sonx

1=

y + 21

=z − 2−2

, entonces se puede facilmente verificar que (2, 0, 0)

satisface las igualdades anteriores.

Sustituyendo este punto en x + 5y + 3z + d = 0, se tiene que 2 + 5(0) + 3(0) + d = 0, o sea que, d = −2.

Respuesta

La ecuacion buscada es x + 5y + 3z − 2 = 0

Ejemplo 23

Sea L una recta de ecuacionx− 2

3=

y − 1−1

= z − 2

Sea R una recta de ecuacion (x, y, z) = (3, 2, 1) + t(2, 1,−1) donde t ∈ R

Determine las ecuaciones parametricas de la recta T que cumple simultaneamente las siguientes condiciones:

a.) T contiene el punto de interseccion entre L y R.

b.) T es perpendicular a L y a R.

Solucion

Sea (x, y, z) = (a, b, c) + λ(d1, d2, d3), con λ ∈ R la ecuacion buscada

i.) Calculemos (a, b, c), esto es, el punto de interseccion entre L y R

Seaa− 2

3=

b− 1−1

= c− 2 = α, entonces:

a = 2 + 3αy = 3− 2α

z = −1 + 2α

(∗)


De (a, b, c) = (3, 2, 1) + t(2, 1,−1) se tiene que

a = 3 + 2tb = 2 + t

c = 1− t

(∗∗)

Si el punto (a, b, c) pertenece a las dos rectas, entonces se debe cumplir

2 + 3α = 3 + 2t, o sea, 3α = 1 + 2t (1)

1− α = 2 + t, o sea, α = −1− t (2)

2 + α = 1− t, o sea, α = −1− t (3)

Sustituyendo (2) en (1) se tiene

3(−1−t) = 1+2t, de donde al simplificar queda que−45

, y sustituyendo este valor en (2) obtenemos que α =−15

.

Sustituyendo−45

en (∗) y α =−15

en (∗∗) se tiene, en ambos casos que

a =75, b =

−65

, c =95,

ii.) Como T es perpendicular a L y T es perpendicular a R, entonces se cumple que el vector director de T , se

puede obtener por medio del producto vectorial de (3,−1, 1) y (2, 1,−1), o sea

(d1, d2, d3) =

i j k

3 −1 1

2 1 −1

= (0, 5, 5)

Respuesta

La ecuacion parametrica de la recta T viene dada por (x, y, z) = (75,65,95) + λ(0, 0, 5), donde λ ∈ R.

Ejemplo 24

Hallar la ecuacion de la recta L que cumpla simultaneamente las siguientes condiciones:

a.) Es perpendicular al plano π que contiene los puntos: a = (3, 4, 2), B = (−1, 5, 3) y C = (2, 1, 4).

46

b.) Pasa por el punto de intereseccion de la recta de ecuacionx

2= y − 1 =

z + 1−1

con el plano de ecuacion

2x− y − z = 1.

Solucion

Sea (x, y, z) = (x0, y0, z0) + t(a, b, c) con t ∈ R, la ecuacion buscada.

i.) Como la recta L es perpendicular al plano que contiene los puntos A,B y C, entonces su vector director es

paralelo al vector normal del plano π, y en particular se puede tomar

(a, b, c) = (−→OA−−−→OB)× (−−→OC −−−→OB) =

i j k

4 -1 -1

3 4 1

= (−5,−7,−13) (I)

ii.) Seax

2= y − 1 =

z + 1−1

= α, entonces se tiene que

x = 2α, y = α + 1, z = −α− 1

Suponiendo que (x0, y0, z0) es un punto de interseccion entre la recta dada y el plano dado, entonces

x0 = 2α, y0 = α + 1, z0 = −α− 1 (II)

tambien satisfacen la ecuacion 2x− y − z = 1, por lo que

2(2α)− (α + 1)− (−α− 1) = 1, o sea que

4α− α− 1 + α + 1 = 1, de donde

α =14

Sustituyendo α =14

en (II), se tiene que x0 =12, y0 =

54, z0 =

−54

Respuesta

La ecuacion de la recta L es (x, y, z) = (12,54,−54

) + t(5, 7, 13) con t ∈ R.

Ejemplo 25

Determinar la ecuacion de vectorial de la recta L, tal que

i.) L es paralela a la recta L1, tal que L1 es la recta de interseccion de los planos

π : 2x + 3y − z = 2


ρ : −x + y + z = 1

ii.) L contiene el punto (1, 1,−5)

Solucion

Sea −−→OX = −→OA + tB, t ∈ R la ecuacion de la recta L.

Sea Nπ = (2, 3,−1) el vector normal del plano π.

Sea Nρ = (−1, 1, 1) el vector normal del plano ρ.

Sea D1 el vector director de la recta L1.

Como L1 esta contenida tanto en el plano π, como en ρ, entonces se cumple que D1 es un vector perpendicular

tanto a Nπ como a Nρ, y podemos tomar

D1 = Nπ ×Nρ, o sea

D1 =

i j k

2 3 −1

−1 1 1

= (4,−1,−5)

Como L es paralela a L1, podemos tomar a D1 como vector director de L.

Respuesta

La ecuacion vectorial de la recta L es (x, y, z) = (1, 1,−5) + t(4,−1, 5) con t ∈ R.

Ejemplo 26

Determine el vector w en R3 que cumple simultaneamente las siguientes condiciones:

a.) Se puede expresar como combinacion lineal de los vectores u = (1, 0, 1), v = (1, 1, 0).

48

b.) El vector w es perpendicular a la recta de ecuacionx

2=

y − 1−1

=z

3.

c.) El vector w + (1, 0,−1) es paralelo a −x + 2y + z − 5 = 0.

Solucion

Sea w = (a, b, c) el vector buscado.

Por la informacion (a) existen α ∈ R y β ∈ R tales que

(a, b, c) = α(1, 0, 1) + β(1, 1, 0), o sea

a = α + β, b = β, c = α (I)

Por la informacion (b) se tiene que

[(a, b, c) + (1, 0,−1)] · (2,−1, 3) = 0

=⇒ (a + 1, b, c− 1)(2,−1, 3) = 0

=⇒ 2(a + 1)− b + 3(c− 1) = 0

=⇒ 2a− b + 3c− 1 = 0

Sustituyendo los valores obtenidos en (I) en la ecuacion anterior tenemos que

2(α + β)− β + 3α− 1 = 0

=⇒ 2α + 2β − β + 3α− 1 = 0

=⇒ 2(a + 1)− b + 3(c− 1) = 0

=⇒ 5α + β − 1 = 0 (II)

Por la informacion (c) se tiene que w es un vector perpendicular al vector normal del plano, por lo que

(−1, 2, 1)(a, b, c) = 0

=⇒ −a + 2b + c = 0


Sustituyendo, los valores obtenidos en (I), en la ecuacion anterior se tiene que:

−(α + β) + 2β + α = 0

=⇒ −α− β + 2β + α = 0

=⇒ β = 0

Sustituyendo β = 0 en (II), se tiene que α =15, de donde, segun (I) se concluye que

w = (15, 0,

15)

Ejemplo 27

Determine la distancia del punto P = (2, 3,−1) a la recta de ecuacionx− 5

3=

y + 22

=z − 8−2

Solucion

Sea L la recta de ecuacionx− 5

3=

y + 22

=z − 8−2

, y sea n = (3, 2,−2)

Sea X0 = (x0, y0, z0) el punto de L tal que el vector −−→PX0 es perpendicular a n.

Lo que nos interesa es calcular ‖−−→PX0‖ .

Tenemos que (−−→OX0 −−−→OP ) · n, o sea:

[(x0, y0, z0)− (2, 3,−1)](3, 2,−2) = 0

=⇒ (x0 − 2, y0 − 3, z0 + 1)(3, 2,−2) = 0

=⇒ 3x0 − 6 + 2y0 − 6− 2z0 − 1 = 0

=⇒ 3x0 + 2y0 − 2z0 = 14 (I)

Como (x0, y0, z0) pertenece a L, entonces en particular

x0 − 53

=y0 + 2

2=

z0 − 8−2

= α

=⇒ x0 = 5 + 3α, y0 = −2 + 2α, z0 = 8− 2α (II)

50

Sustituyendo estos valores en (I), se tiene que:

3x0 + 2y0 − 2z0 = 14

=⇒ 3(5 + 3α) + 2(−2 + 2α)− 2(8− 2α) = 14

=⇒ 15 + 9α− 4 + 4α− 16 + 4α = 14

=⇒ 17α = 19 , por lo tanto α =1719

Sustituyendo este valor de α en (II) y realizando las operaciones correspondientes se tiene que

x0 =14717

, y0 =417

, z0 =9817

Ademas−−→OX0 −−−→OP = (

14217

,417

,9817

)− (2, 3,−1) = (10817

,−4717

,11517

)

=⇒ ‖−−→OX0 −−−→OP‖ =

√(10817

)2 + (−4717

)2 + (11517

)2 ≈ 9, 08

Ejemplo 28

Calcular la distancia del punto P , P = (3, 2, 1) al plano de ecuacion 4x− 5y − 3z = 1.

Solucion

Sea ρ el plano de ecuacion 4x− 5y − 3z = 1 y sea n = (4,−5,−3)

Lo que se busca es determinar ‖−−→OX − −−→OP‖ donde X es un punto en ρ para el cual se cumple que el vector−−→OX −−−→OP es perpendicular a ρ, o sea que X −P sea paralelo a n, esto es, existe un numero real α, para el cual

−−→OX −−−→OP = αn o tambien que −−→OX = −−→

OP + αn (I)

Busquemos un punto M cualquiera del plano, por ejemplo, se puede verificar que el punto M = (0,−2, 3)

satisface la ecuacion de ρ.


Pero, como M y N estan en el mismo plano ρ, entonces cumplen que

(−−→OM −−−→OX) · n = 0,pero por (I), −−→OX = −−→

OP + αn

=⇒ (−−→OM −−−→OP − αn) · n = 0

=⇒ (−−→OM −−−→OP ) · n− (α · n2) = 0

=⇒ α · n2 = (−−→OM −−−→OP ) · n

=⇒ α =−−→OM −−−→OP ) · n

n2

=⇒ αn = −−→OM −−−→OP

Como αn = −−→OM −−−→OP , entonces

‖−−→OM −−−→OP‖ = ‖αn‖ = ‖α‖ · ‖n‖

= ‖ (−−→OM −−−→OP ) · nn2

‖ · ‖n‖

=‖(−−→OM −−−→OP ) · n‖

‖n2‖ · ‖n‖ =‖(−−→OM −−−→OP ) · n‖

‖n‖

=‖[(0,−2, 3)− (3, 2, 1)] · (4,−5,−3)‖

‖(4,−5,−3)‖ =2

5√

2

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