ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL ÁLGEBRA LINEAL ......ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL ÁLGEBRA LINEAL...

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

ÁLGEBRA LINEAL • PRIMERA PRUEBA DEL PRIMER BIMESTRE

Miércoles 06 de noviembre de 2019 (75 minutos) Departamento de Formación Básica

Nombre: Grupo CD: Fila A

INDICACIONES

• No se admiten preguntas de ninguna índole una vez empezada la evaluación.

• Está prohibido portar y usar dispositivos electrónicos como: celulares, calculadoras, relojes inteligentes, etc. Ade-

más, no se permite el uso de formularios de ninguna índole. Cualquier falta a esta indicación será sancionada con

la anulación de la evaluación.

• El puntaje de las preguntas es el siguiente: primera pregunta 2 puntos, segunda pregunta 3 puntos y tercera pre-

gunta 3 puntos.

Pregunta 01 02 03 Total

Puntaje

1. Sea n ∈ N∗. Considere las matrices A, B ∈ R

n×n, se define la matriz

C = AB − BA.

a) Si A y B son matrices antisimétricas, pruebe que C también es una matriz antisimétrica.

b) Si A2 = In y B2 = A, pruebe que AB y BA conmutan.

Solución.

a) Supongamos que A y B son matrices antisimétricas, vamos a mostrar que C también lo es.

Para esto, recordemos que C es antisimétrica si se verifica que

CT = −C.

Ahora, notemos que por hipótesis sobre A y B tenemos que

AT = −A y BT = −B.

Verifiquemos que efectivamente C es una matriz antisimétrica.

CT = (AB − BA)T Por definición de C.

= (AB)T − (BA)T Por propiedad de la transpuesta de la suma.

= BT AT − ATBT Por propiedad de la transpuesta de un producto.

= (−B)(−A)− (−A)(−B) Por hipótesis sobre A y B.

= −(AB − BA) Por operaciones con matrices.

= −C Definición de C.

Lo que muestra que en efecto C es una matriz antisimétrica.

b) Supongamos que

A2 = In y B2 = A.

Vamos a mostrar que AB y BA conmutan, es decir, vamos a mostrar que

(AB)(BA) = (BA)(AB).

Tenemos que:

(AB)(BA) = A(B2A) Por asociatividad y potencia de matrices.

= A(AA) Por hipótesis sobre B.

= A(A2) Por potencia de matrices.

= AIn Por hipótesis sobre A.

= A Por producto de matrices.

Y que:

(BA)(AB) = B(A2B) Por asociatividad y potencia de matrices.

= B(InB) Por hipótesis sobre A.

= B2 Por potencia de matrices.

= A Por hipótesis sobre B.

Lo que nos permite concluir que

(AB)(BA) = (BA)(AB)

es decir, se ha mostrado que AB y BA conmutan.

2. Dado a ∈ R. Considere el sistema de ecuaciones lineales en las variables x, y y z:

x − ay − az = a,

x − ay + z = −1,

ax − 4y − a2z = 2,

2x − 2ay + (1 − a)z = a − 1.

a) Indique los valores de a para qué:

• el sistema tenga solución única;

• el sistema tenga infinitas soluciones; y

• el sistema no tenga solución.

b) Para el caso en donde el sistema posee soluciones infinitas, determine el correspondiente

conjunto solución.

Solución.

a) El correspondiente sistema matricial está dado por

Aw = b

donde

A =

1 −a −a

1 −a 1

a −4 −a2

2 −2a 1 − a

, w =

x

y

z

y b =

a

−1

2

a − 1

.

2

Luego, la matriz ampliada, (A|b), del sistema es

(A|b) =

1 −a −a | a

1 −a 1 | −1

a −4 −a2 | 2

2 −2a 1 − a | a − 1

.

Obtengamos la correspondiente matriz escalonada reducida por filas.

1 −a −a | a

1 −a 1 | −1

a −4 −a2 | 2

2 −2a 1 − a | a − 1

∼

1 −a −a | a

0 0 a + 1 | −a − 1

0 a2 − 4 0 | −a2 + 2

0 0 a + 1 | −a − 1

−F1 + F2 → F2

−aF1 + F3 → F3

−2F1 + F4 → F4

∼

1 −a −a | a

0 0 a + 1 | −a − 1

0 a2 − 4 0 | −a2 + 2

0 0 0 | 0

−F2 + F4 → F4

∼

1 −a −a | a

0 a2 − 4 0 | −a2 + 2

0 0 a + 1 | −a − 1

0 0 0 | 0

F2 ↔ F3.

Ahora, analizando los términos de las posiciones fila 2 columna 2 y fila 3 columna 3, te-

nemos que sí a ∈ {−2,−1, 2} el rango de la matriz cambia, por tanto, estudiamos los

siguientes casos.

Caso I. Si a ∈ R r {−2,−1, 2}.

Notemos que en este caso rang(A) = rang(A|b) = 3, lo que implica que el sistema es

consistente y tienen solución única.

Caso II. Si a ∈ {−2, 2}.

Si a = −2, se tiene que la correspondiente matriz ampliada verifica la siguiente equi-

valencia:

1 2 2 | −2

1 2 1 | −1

−2 −4 −4 | 2

2 4 3 | −3

∼

1 2 2 | −2

0 0 −1 | 1

0 0 0 | −2

0 0 0 | 0

.

De forma similar, si a = 2, la correspondiente matriz ampliada verifica la siguiente

equivalencia:

1 −2 −2 | 2

1 −2 1 | −1

2 −4 −4 | 2

2 −4 −1 | 1

∼

1 −2 −2 | 2

0 0 3 | −3

0 0 0 | −2

0 0 0 | 0

.

Luego, rang(A) = 2 6= rang(A|b) = 3, por lo cual concluimos que el sistema es

inconsistente, es decir, el sistema no posee solución.

Caso III. Si a = −1.

La correspondiente matriz ampliada verifica la siguiente equivalencia:

1 1 1 | −1

1 1 1 | −1

−1 −4 −1 | 2

2 2 2 | −2

∼

1 1 1 | −1

0 −3 0 | 1

0 0 0 | 0

0 0 0 | 0

. (1)

3

Luego, rang(A) = rang(A|b) = 2, por lo cual concluimos que el sistema es consistente

con infinitas soluciones.

Finalmente:

• El sistema tiene solución única cuando a ∈ R r {−2,−1, 2}.

• El sistema tiene infinitas soluciones cuando a = −1.

• El sistema no tiene solución cuando a ∈ {−2, 2}.

b) Por el literal anterior tenemos que si a = −1 el sistema posee infinitas soluciones, además,

a partir de (1) tenemos el sistema equivalente

x + y + z = −1,

− 3y = 1,

0x + 0y + 0z = 0,

de donde tenemos que

x = −2

3− z, y = −

1

3, y z ∈ R.

Por tanto, el conjunto solución es

− 23 − z

− 13

z

: z ∈ R

.

3. Considere la matriz

A =

0 0 0

2 0 0

2 2 0

.

a) Calcular An para todo n ∈ N∗.

b) Si B = I3 + A, calcular Bn para todo n ∈ N∗.

Sugerencia: Utilice el Binomio de Newton.

c) Sea C = I3 − A + A2. ¿La matriz C es la inversa de B? Justifique su respuesta.

Solución.

a) Tenemos que:

A1 = A.

A2 = AA =

0 0 0

2 0 0

2 2 0

0 0 0

2 0 0

2 2 0

=

0 0 0

0 0 0

4 0 0

.

A3 = A2A =

0 0 0

0 0 0

4 0 0

0 0 0

2 0 0

2 2 0

=

0 0 0

0 0 0

0 0 0

= 0.

Luego, para todo n ∈ N∗ tal que n ≥ 3 se tiene que

An = An−3A3 = 0.

4

En resumen, para todo n ∈ N∗ tenemos que

An =

A si n = 1,

0 0 0

0 0 0

4 0 0

si n = 2,

0 si n ≥ 3.

b) Tenemos que

B = I3 + A =

1 0 0

2 1 0

2 2 1

.

Dado que I3 y A conmutan, aplicando el Binomio de Newton, para n ∈ N∗ tenemos que

Bn =n

∑k=0

(

n

k

)

In−k3 Ak

=n

∑k=0

(

n

k

)

Ak

=

(

n

0

)

A0 +

(

n

1

)

A1 +

(

n

2

)

A2 +n

∑k=3

(

n

k

)

Ak

=

(

n

0

)

I3 +

(

n

1

)

A +

(

n

2

)

A2

= I3 + nA +n(n − 1)

2A2

=

1 0 0

2n 1 0

2n2 2n 1

.

c) Para que C sea la inversa de B se debe verificar que

BC = CB = I3.

Verifiquemos si se tiene este resultado.

BC = (I3 + A)(I3 − A + A2)

= I3 − A + A2 + A − A2 + A3

= I3 + A3

= I3.

Además, por teorema, si BC = I3 concluimos que CB = I3 y, por tanto, que B es invertible

siendo C su matriz inversa.

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ÁLGEBRA LINEAL • PRIMERA PRUEBA DEL PRIMER BIMESTRE

Miércoles 06 de noviembre de 2019 (75 minutos) Departamento de Formación Básica

Nombre: Grupo CD: Fila B

INDICACIONES





• El puntaje de las preguntas es el siguiente: primera pregunta 2 puntos, segunda pregunta 3 puntos y tercera pre-

gunta 3 puntos.

Pregunta 01 02 03 Total

Puntaje

1. Sea n ∈ N∗. Considere las matrices X, Y ∈ R

n×n, se define la matriz

Z = XY − YX.

a) Si X y Y son matrices antisimétricas, pruebe que Z también es una matriz antisimétrica.

b) Si X2 = In y Y2 = X, pruebe que XY y YX conmutan.

Solución.

Las solución es similar a la pregunta 1 de la fila A, con sus respectivos cambios.

2. Considere la matriz

X =

0 2 2

0 0 2

0 0 0

.

a) Calcular Xm para todo m ∈ N∗.

b) Si Y = I3 + X, calcular Ym para todo m ∈ N∗.

Sugerencia: Utilice el Binomio de Newton.

c) Sea Z = I3 − X + X2. ¿La matriz Z es la inversa de Y? Justifique su respuesta.

Solución.

Las solución es similar a la pregunta 3 de la fila A, con sus respectivos cambios.

Considere que: se tiene que

Y = I3 + X =

1 2 2

0 1 2

0 0 1

.

De lo cual,

Ym =

1 2m 2m2

0 1 2m

0 0 1

para todo m ∈ N∗.

3. Dado α ∈ R. Considere el sistema de ecuaciones lineales en las variables x, y y z:

x − αy − αz = α,

x − αy + z = −1,

αx − 4y − α2z = 2,

−2x + 2αy − (1 − α)z = α − 1.

a) Indique los valores de α para qué:

• el sistema tenga solución única;

• el sistema tenga infinitas soluciones; y

• el sistema no tenga solución.

b) Para el caso en donde el sistema posee soluciones infinitas, determine el correspondiente

conjunto solución.

Solución.

a) Se tiene que:

• el sistema tiene solución única cuando a = 1.

• no existe a tal que el sistema tenga infinitas soluciones.

• el sistema no tiene solución cuando a ∈ R r {1}.

b) Ya que no hay valores de a tal que el sistema posee infinitas soluciones, no existe el con-

junto solución para este caso.

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ÁLGEBRA LINEAL • SEGUNDA PRUEBA DEL PRIMER BIMESTRE

Jueves 04 de diciembre de 2019 (75 minutos) Departamento de Formación Básica

Fila A

INDICACIONES





• El puntaje de las preguntas es el siguiente: primera pregunta 4 puntos (2 puntos cada literal), segunda pregunta 2

puntos y tercera pregunta 2 puntos.

• La omisión o incorrecta utilización en los paréntesis para vectores, matrices, las comas entre las componentes de

los vectores, las llaves para limitar a conjuntos y otros serán penalizadas. La ausencia de la justificación del proce-

dimiento y de la conclusión al final de cada pregunta también será penalizada. De forma similar, en la pregunta 1,

si se utiliza otro método diferente a la regla de Cramer se calificará con máximo la mitad del puntaje asignado.

1. Dado α ∈ R, considere el sistema de ecuaciones lineales

αx1 + αx2 = 0,

αx2 + αx3 = 0,

αx3 + αx4 = 1,

αx4 + αx5 = 1,

αx1 + αx5 = 0.

a) Determine los valores de α para los cuales el sistema posee solución única.

Solución. La matriz de coeficientes A del sistema está dada por

A =

α α 0 0 0

0 α α 0 0

0 0 α α 0

0 0 0 α α

α 0 0 0 α

con determinante det(A) = 2α5, dado que el sistema posee solución única si det(A) 6= 0,

concluimos que el sistema posee solución única para todo α ∈ R r {0}.

Criterio 1.

• Si el estudiante analiza la consistencia del sistema por medio del estudio de rangos: el

obtener la matriz equivalente a la matriz ampliada se califica con 1,2 puntos y con 0, 4

puntos el correcto análisis de la consistencia del sistema por medio de los rangos.

• La conclusión sobre cuando el sistema posee solución única se califica con 0,4 puntos.

Criterio 2.

• Si el estudiante analiza la consistencia del sistema por medio del estudio del deter-

minante de la matriz de coeficientes: la obtención del correcto valor del determinante

se califica con 1,2 puntos y con 0, 4 puntos el correcto análisis de la consistencia del

sistema.

• La conclusión sobre cuando el sistema posee solución única se califica con 0,4 puntos.

b) Para los valores determinados en el literal anterior, utilizando la regla de Cramer, encuen-

tre el valor de las variables x3 y x4.

Solución. Sea α ∈ R r {0}, tenemos que:

• Para la variable x3:

x3 =

det

α α 0 0 0

0 α 0 0 0

0 0 1 α 0

0 0 1 α α

α 0 0 0 α

det(A)

=

α det

α α 0 0 0

0 α 0 0 0

0 0 1 1 0

0 0 1 1 α

α 0 0 0 α

det(A)Factor común columna 4.

= 0 Propiedad de determinante, columnas iguales.

• Para la variable x4:

x4 =

det

α α 0 0 0

0 α α 0 0

0 0 α 1 0

0 0 0 1 α

α 0 0 0 α

det(A)

=

α4

1 1 0 0 0

0 1 1 0 0

0 0 1 1 0

0 0 0 1 1

1 0 0 0 1

det(A)Propiedad: det(αA) = α

n det(A).

=2α

4

2α5

Cálculo del determinante (similar al del literal a).

=1

α

Dado que α 6= 0.

por tanto, se obtiene que:

x3 = 0 y x4 =1

α

.

Criterio:

• La obtención de cada variable se califica con 0,8 puntos, en total 1,6 puntos por ambas

variables.

• La conclusión se califica con 0,4 puntos.

• La solución para la fila B es

x3 =1

α

y x4 = 0.

2

Criterio penalización:

• Si se obtienen las variables utilizando Gauss-Jordan o algún método diferente a lo que

establece la regla de Cramer se califica con máximo 1 punto todo el literal 1b).

• Se penaliza con −0,2 puntos (máximo) si el estudiante no justifica el desarrollo reali-

zado.

• Se penaliza con −0,4 puntos (máximo) si el estudiante comete más de dos errores

conceptuales.

2. Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial y sea p ∈ E. Se define al conjunto Ep = {(x, p) : x ∈ E} y a

las operaciones:

+p : Ep × Ep → Ep y ·p : K × Ep → Ep

por

(x, p) +p (y, p) = (x + y, p) y α ·p (x, p) = (αx, p)

para cada (x, p), (y, p) ∈ Ep y para cada α ∈ K. Demuestre que para cualquier (z, p) ∈ Ep:

(z, p) +p (z, p) = 2 ·p (z, p).

Observación: Recuerde que 1 + 1 = 2.

Solución. Sea (z, p) ∈ Ep, por la definición de +p y de ·p se tiene que:

(z, p) +p (z, p) = (z + z, p) (Definición de +p.)

= (1z + 1z, p) (Propiedad de espacio vectorial.)

= (2z, p) (Dado que 1 + 1 = 2 con propiedad distributiva.)

= 2 ·p (z, p) (Definición de ·p.)

Por tanto,

(z, p) +p (z, p) = 2 ·p (z, p)

para todo (z, p) ∈ Ep.

Criterio:

• Tomar un (z, p) ∈ Ep o (p, z) ∈ Ep se califica 0,2 puntos.

• Cada paso del desarrollo se califica con 0,4 puntos, son cuatro pasos, en total son 1,6 pun-

tos.

• La conclusión se califica con 0,2 puntos.


• Se penaliza con −0,2 puntos (máximo) si el estudiante no justifica el desarrollo realizado.

• Se penaliza con −0,4 puntos (máximo) si el estudiante comete más de dos errores concep-

tuales.

3. En el espacio vectorial (R2[x],+, ·, R) considere el conjunto

W =

p(x) = a + bx + cx2 ∈ R2[x] : det

2 a 4 1

5 c 1 1

0 b 3 0

0 0 2 0

= 0

.

¿Es W un subespacio vectorial del espacio vectorial (R2[x],+, ·, R)?

3

Solución. Sea p(x) = a + bx + cx2 ∈ R2[x], entonces p(x) ∈ W si y solo si

det

2 a 4 1

5 c 1 1

0 b 3 0

0 0 2 0

= 0

o equivalentemente

b = 0.

Entonces:

W{

p(x) = a + bx + cx2 ∈ R2[x] : b = 0}

.

Verificamos si W es un subespacio vectorial.

a) Notemos que 0R2[x] = 0 + 0x + 0x2 verifica que b = 0, luego, 0R2[x] ∈ W, lo que implica

que W 6= ∅.

b) Sean p(x), q(x) ∈ W y sean α ∈ R, vamos a demostrar que:

p(x) + q(x) ∈ W y αp(x) ∈ W.

Por hipótesis tenemos que

p(x) = a + bx + cx2 y q(x) = d + ex + f x2

para todo x ∈ R, con b = 0 y e = 0.

Se tiene entonces que

p(x) + q(x) = (a + bx + cx2) + (d + ex + f x2) = (a + d) + (b + e)x + (c + f )x2

y

αp(x) = α(a + bx + cx2) = (αa) + (αb)x + (αc)x2

para todo x ∈ R, con b + e = 0 y αb = 0. Por tanto,

p(x) + q(x) ∈ W y αp(x) ∈ W.

Por a) y b) concluimos que W es un subespacio vectorial del espacio vectorial (R2[x],+, ·, R).

Observación: No es necesario calcular el valor del determinante, se puede mostrar que W es

un subespacio vectorial utilizando propiedades del determinante.

Criterio:

• Mostrar que W 6= ∅ se califica con 0,4 puntos.

• Mostrar que la suma y el producto son cerrados se califica con 1,2 puntos si se lo hace en

conjunto, si se demuestra por separado se califica la suma y el producto con 0,6 puntos

cada uno.

• Concluir que W es un subespacio se califica con 0,4 puntos.




tuales.

4


ÁLGEBRA LINEAL • SEGUNDA PRUEBA DEL PRIMER BIMESTRE


Fila B

INDICACIONES





• El puntaje de las preguntas es el siguiente: primera pregunta 4 puntos (2 puntos cada literal), segunda pregunta 2

puntos y tercera pregunta 2 puntos.

• La omisión o incorrecta utilización en los paréntesis para vectores, matrices, las comas entre las componentes de

los vectores, las llaves para limitar a conjuntos y otros serán penalizadas. La ausencia de la justificación del proce-

dimiento y de la conclusión al final de cada pregunta también será penalizada. De forma similar, en la pregunta 1,

si se utiliza otro método diferente a la regla de Cramer se calificará con máximo la mitad del puntaje asignado.

1. Dado α ∈ R, considere el sistema de ecuaciones lineales

αx1 + αx2 = 0,

αx2 + αx3 = 1,

αx3 + αx4 = 1,

αx4 + αx5 = 0,

αx1 + αx5 = 0.

a) Determine los valores de α para los cuales el sistema posee solución única.

b) Para los valores determinados en el literal anterior, utilizando la regla de Cramer, encuen-

tre el valor de las variables x3 y x4.

2. Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial y sea p ∈ E. Se define al conjunto Ep = {(p, x) : x ∈ E} y a

las operaciones:

+p : Ep × Ep → Ep y ·p : K × Ep → Ep

por

(p, x) +p (p, y) = (p, x + y) y α ·p (p, x) = (p, αx)

para cada (p, x), (p, y) ∈ Ep y para cada α ∈ K. Demuestre que para cualquier (p, z) ∈ Ep:

(p, z) +p (p, z) = 2 ·p (p, z).

Observación: Recuerde que 1 + 1 = 2.

3. En el espacio vectorial (R2[t],+, ·, R) considere el conjunto

U =

p(t) = a + bt + ct2 ∈ R2[t] : det

2 4 a 1

5 1 c 1

0 3 b 0

0 2 0 0

= 0

.

¿Es U un subespacio vectorial del espacio vectorial (R2[t],+, ·, R)?


ÁLGEBRA LINEAL • PRIMERA PRUEBA DEL SEGUNDO BIMESTRE

Jueves 16 de enero de 2020 (60 minutos) Departamento de Formación Básica

Fila A

INDICACIONES





• El puntaje de las preguntas es el siguiente: primera pregunta 2 puntos, segunda pregunta 1 punto.

• La omisión o incorrecta utilización en los paréntesis para vectores, matrices, las comas entre las componentes

de los vectores, las llaves para limitar a conjuntos y otros serán penalizadas. La ausencia de la justificación del

procedimiento y de la conclusión al final de cada pregunta también será penalizada.

Pregunta 1, primera opción. El puntaje total es de 2 puntos.

• 0.5 puntos por encontrar la base B1, para la fila B, notemos que al igual que en la fila A,

la tercera ecuación es resultado de operar las dos primeras;

• 0.5 puntos por encontrar la base B2, para la fila B, notemos que al igual que en la fila A,

el tercer vector es combinación lineal de los dos primeros vectores;

• 0.5 puntos por determinar que W1 + W2 = R2×2;

• 0.3 puntos por determinar que W1 ∩ W2 = {0};

• 0.2 puntos por concluir que W1 ⊕ W2 = R2×2.

Pregunta 1, segunda opción. El puntaje total es de 2 puntos.

• 0.6 puntos por encontrar W2, para la fila B, notemos que al igual que en la fila A, el tercer

vector es combinación lineal de los dos primeros vectores;

• 0.7 puntos por determinar que W1 ∩ W2 = {0};

• 0.5 puntos por determinar que W1 + W2 = R2×2;

• 0.2 puntos por concluir que W1 ⊕ W2 = R2×2.

Pregunta 2 El puntaje total es de 1 punto.

• 0.5 puntos por determinar que dim(W1 + W2) = dim(V);

• 0.3 puntos concluir que W1 + W2 = V;

• 0.2 puntos por concluir que W1 ⊕ W2 = V.

1. En el espacio vectorial R2×2 considere a los subespacios vectoriales

W1 =

{(

a b

c d

)

∈ R2×2 : a − b + c = 0, a + b − c + d = 0, 3a − b + c + d = 0

}

y

W2 = gen

({(

0 1

0 −1

)

,

(

1 0

−1 0

)

,

(

2 1

−2 −1

)})

donde dim(W1) = dim(W2) = 2. ¿Se tiene que W1 ⊕ W2 = R2×2?

Solución. Primera opción. Obtengamos una base para W1 y para W2.

• Una base para W1, sea

(

a b

c d

)

∈ R2×2, se tiene que

(

a b

c d

)

∈ W1 si y solo si

a − b + c = 0,

a + b − c + d = 0,

3a − b + c + d = 0.

Cuya matriz ampliada verifica la siguiente equivalencia

1 −1 1 0 | 0

1 1 −1 1 | 0

3 −1 1 1 | 0

∼

1 −1 1 0 | 0

0 2 −2 1 | 0

0 0 0 0 | 0

.

Lo que implica que

a = b − c y d = −2b + 2c.

Luego, tenemos que

W =

{(

a b

c d

)

∈ R2×2 : a = b − c, d = −2b + 2c

}

=

{(

b − c b

c −2b + 2c

)

∈ R2×2 : b, c ∈ R

}

=

{

b

(

1 1

0 −2

)

+ c

(

−1 0

1 2

)

∈ R2×2 : b, c ∈ R

}

= gen

({(

1 1

0 −2

)

,

(

−1 0

1 2

)})

.

Sea B1 =

{(

1 1

0 −2

)

,

(

−1 0

1 2

)}

, dado que W1 = gen(B1) y dim(W1) = card(B1) = 2,

concluimos que B1 es una base para W1.

• Una base para W2, notemos que(

0 1

0 −1

)

+ 2

(

1 0

−1 0

)

=

(

2 1

−2 −1

)

.

Lo que implica que

W2 = gen

({(

0 1

0 −1

)

,

(

1 0

−1 0

)})

.

Sea B2 =

{(

0 1

0 −1

)

,

(

1 0

−1 0

)}

, dado que W2 = gen(B2) y dim(W2) = card(B2) = 2,

concluimos que B2 es una base para W2.

Determinemos si se tiene que W1 + W2 = R2×2 y que W1 ∩ W2 = {0}.

• A partir de las bases B1 y B2 tenemos que

W1 + W2 = gen(B1 ∪ B2)

= gen

({(

1 1

0 −2

)

,

(

−1 0

1 2

)

,

(

0 1

0 −1

)

,

(

1 0

−1 0

)})

.

Sea B =

{(

1 1

0 −2

)

,

(

−1 0

1 2

)

,

(

0 1

0 −1

)

,

(

1 0

−1 0

)}

, notemos que gen(B) = R2×2, por

tanto,

W1 + W2 = R2×2.

2

Otra forma de verificar este resultado. Notemos que B es un conjunto linealmente inde-

pendiente y que card(B) = dim(R2×2) = 4, lo que implica que B es una base de R2×2, y,

por tanto,

W1 + W2 = R2×2.

• Gracias a lo anterior se tiene que dim(W1 + W2) = dim(R2×2) = 4. Ahora, a partir de

dim(W1 + W2) = dim(W1) + dim(W2)− dim(W1 ∩ W2)

se tiene que dim(W1 ∩ W2) = 0, lo que implica que W1 ∩ W2 = {0}.

Dado que

W1 + W2 = R2×2 y W1 ∩ W2 = {0}

concluimos que W1 ⊕ W2 = R2×2.

Segunda opción: Vamos a iniciar el estudio de la intersección de los espacios y luego deter-

minamos a que es igual su suma. Para esto, se desarrollan los siguientes puntos.

• Determinamos W2. Notemos que(

0 1

0 −1

)

+ 2

(

1 0

−1 0

)

=

(

2 1

−2 −1

)

.

Lo que implica que

W2 = gen

({(

0 1

0 −1

)

,

(

1 0

−1 0

)})

=

{(

a b

c d

)

∈ R2×2 : a = −c, b = −d

}

.

• Determinemos la intersección entre W1 y W2. Por definición de intersección tenemos que

W1 ∩ W2 =

{(

a b

c d

)

∈ R2×2 :

a − b + c = 0, a + b − c + d = 0, 3a − b + c + d = 0,

a = −c, b = −d

}

=

{(

a b

c d

)

∈ R2×2 :

d = 0, −2c = 0, −c + d = 0,

a = −c, b = −d

}

=

{(

a b

c d

)

∈ R2×2 : a = 0, b = 0, c = 0, d = 0

}

=

{(

0 0

0 0

)}

.

Por tanto,

W1 ∩ W2 =

{(

0 0

0 0

)}

.

• Determinemos W1 + W2. Gracias a lo anterior se tiene que dim(W1 ∩ W2) = 0, además,

por hipótesis tenemos que dim(W1) = dim(W2) = 2, luego,

dim(W1 + W2) = dim(W1) + dim(W2)− dim(W1 ∩ W2) = 2 + 2 − 0 = 4 = dim(R2×2),

y dado que W1 ∩ W2 es un subespacio de R2×2, nos permite concluir que

W1 + W2 = R2×2.

Dado que

W1 + W2 = R2×2 y W1 ∩ W2 = {0}

concluimos que W1 ⊕ W2 = R2×2.

3

2. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita. Sean W1 y W2 subespacios vectoriales de V tales

que

dim(V) = dim(W1) + dim(W2) y W1 ∩ W2 = {0V}.

Muestre que W1 ⊕ W2 = V.

Solución. Supongamos que V es un espacio vectorial con dimensión finita y que W1 y W2 son

subespacios vectoriales de V tales que

dim(V) = dim(W1) + dim(W2) (1)

y

W1 ∩ W2 = {0V}. (2)

Dado que estamos trabajando con un espacio con dimensión finita se tiene que

dim(W1 + W2) = dim(W1) + dim(W2)− dim(W1 ∩ W2). (3)

Ahora, por (1) se tiene que dim(W1 ∩W2) = 0 que junto con (2) en (3) nos permite obtener que

dim(W1 + W2) = dim(V) + 0 = dim(V).

Luego, ya que W1 + W2 es un subespacio de V junto con lo anterior, nos permite concluir que

W1 + W2 = V. (4)

Finalmente, por (4) y (2) se concluye que

W1 ⊕ W2 = V.

4


ÁLGEBRA LINEAL • PRIMERA PRUEBA DEL SEGUNDO BIMESTRE

Jueves 16 de enero de 2020 (60 minutos) Departamento de Formación Básica

Fila B

INDICACIONES





• El puntaje de las preguntas es el siguiente: primera pregunta 2 puntos, segunda pregunta 1 punto.




1. En el espacio vectorial R2×2 considere a los subespacios vectoriales

U1 =

{(

a b

c d

)

∈ R2×2 : a − b + c = 0, a + b − c + d = 0, 3a + b − c + 2d = 0

}

y

U2 = gen

({(

1 0

−1 0

)

,

(

0 1

0 −1

)

,

(

−1 1

1 −1

)})

.

donde dim(U1) = dim(U2) = 2. ¿Se tiene que U1 ⊕ U2 = R2×2?

2. Sea E un espacio vectorial de dimensión finita. Sean F1 y F2 subespacios vectoriales de E tales

que

dim(E) = dim(F1) + dim(F2) y F1 ∩ F2 = {0E}.

Muestre que F1 ⊕ F2 = E.


ÁLGEBRA LINEAL • PRIMER EXAMEN DEL PRIMER BIMESTRE


Fila A

INDICACIONES





• Todas las preguntas tiene un puntaje de 1 punto.




1. Sea A ∈ Rn×n una matriz cuadrada.

a) Demuestre que AAT es una matriz simétrica.

Solución. Para mostrar que AAT es una matriz simétrica debemos probar que:(

AAT)T

= AAT.

Por propiedades de la transpuesta de una matriz tenemos que:(

AAT)T

=(

AT)T

AT

= AAT.

Luego, concluimos que, en efecto, AAT es una matriz simétrica.

Criterio: Este literal se califica con 0,4 puntos.

b) Si A y AT conmutan, ¿AAT y AT A conmutan?

Solución. Supongamos que A y AT conmutan. Para mostrar que AAT y AT A conmutan

debemos probar que:(

AAT) (

AT

A

)

=(

AT

A

) (

AAT)

.

Por hipótesis tenemos que

AAT = A

TA.

Además, por la hipótesis se tiene que:(

AAT) (

AT

A

)

=(

AAT) (

AAT)

=(

AT

A

) (

AAT)

.

Luego, AAT y AT A conmutan.

Criterio:

• Este literal se califica con 0,6 puntos.

• El estudiante debe aclarar que significa que A y AT conmutan.

• El estudiante debe justificar porqué AAT y AT A conmutan.


• Se penaliza con −0,1 puntos (máximo) en todo el ejercicio si el estudiante no justifica

el desarrollo realizado.

• Se penaliza con −0,2 puntos (máximo) en todo el ejercicio si el estudiante comete más

de dos errores conceptuales.

2. En el espacio vectorial(

R2×2,+, ·, R

)

considere al conjunto:

W ={

A ∈ R2×2 : A = A

2}

.

¿Es W es subespacio vectorial del espacio vectorial(

R2×2,+, ·, R

)

?

Solución. Determinemos si W es un subespacio vectorial.

a) Notemos que 022×2 = 02×2, luego, 02×2 ∈ W, lo que implica que W 6= ∅.

b) Sean A, B ∈ W vamos a determinar si A + B ∈ W. Por hipótesis tenemos que

A2 = A y B

2 = B.

Ahora, para mostrar que A + B ∈ W debemos probar que

(A + B)2 = A + B.

Sin embargo, tenemos que

(A + B)2 = A2 + AB + BA + B

2 = A + AB + BA + B.

Y ya que no podemos asegurar que AB + BA = 0 proponemos el siguiente contraejemplo.

Sean:

A =

(

1 0

1 0

)

y B =

(

0 1

0 1

)

,

notemos que

A2 = A y B

2 = B

y, además

A + B =

(

1 1

1 1

)

con

(A + B)2 =

(

2 2

2 2

)

.

Entonces, tenemos que

A ∈ W y B ∈ W

pero con (A + B)2 6= A + B, lo que implica que A + B /∈ W.

Ahora, por el contraejemplo mostrado en b) se concluye que W no es un subespacio vectorial.

Observación: Si se desea mostrar que para cualquier A ∈ W y cualquier α ∈ R, entonces

αA ∈ W, se puede dar un contraejemplo en donde basta tomar α 6= 1, lo que nos lleva a la

misma conclusión obtenida líneas arriba.

Criterio 1.

• Mostrar que W 6= ∅ se califica con 0,2 puntos.

2

• El contraejemplo que califica con 0,6 puntos. Dentro del contraejemplo debe justificarse de

forma clara que A ∈ W, B ∈ W y que A+ B /∈ W o de forma similar que A ∈ W y αA /∈ W.

• Concluir que W no es un subespacio se califica con 0,2 puntos.

Criterio 2.

• El contraejemplo se califica con 0,8 puntos (no se muestra que W 6= ∅). Dentro del contra-

ejemplo debe justificarse de forma clara que A ∈ W, B ∈ W y que A + B /∈ W o de forma

similar que A ∈ W y αA /∈ W.

• Concluir que W no es un subespacio se califica con 0,2 puntos.


• El contraejemplo se califica con máximo 0,2 puntos si no se lo termina o se ha realizado

solo un intento, pero sin éxito de proponer la (o las) matriz (matrices).

• Si en el contraejemplo solamente se indica la matriz A pero no se comprueba que A2 = A

y se concluye que A ∈ W se penaliza con −0,1 puntos, y así, con cada matriz involucrada.



tuales.

3. Dado α ∈ R en el espacio vectorial(

R3,+, ·, R

)

considere al conjunto S dado por

S =

{

(2α + 2, 2, 2), (1, α + 1, 1),

(

1

2,

1

2,

1

2α +

1

2

)}

.

Determine los valores de α para los cuales S es un conjunto linealmente independiente.

Solución. Supongamos que existen β1, β2, β3 ∈ R tales que

β1(2α + 2, 2, 2) + β2(1, α + 1, 1) + β3

(

1

2,

1

2,

1

2α +

1

2

)

= (0, 0, 0)

Criterio: Escribir la combinación lineal nula se califica con 0,1 puntos.

o equivalentemente(

(2α + 2)β1 + β2 +1

2β3, 2β1 + (α + 1)β2 +

1

2β3, 2β1 + β2 +

(

1

2α +

1

2

)

β3

)

= (0, 0, 0)

a partir de lo cual se obtiene el sistema de ecuaciones lineales

(2α + 2)β1 + β2 + 12 β3 = 0,

2β1 + (α + 1)β2 + 12 β3 = 0,

2β1 + β2 +(

12 α + 1

2

)

β3 = 0.

Criterio: Obtener el sistema de ecuaciones lineales se califica con 0,2 puntos.

Para determinar la solución de este sistema calculamos el determinante de su matriz de

coeficientes A dada por

A =

2α + 2 1 12

2 α + 1 12

2 1 12 α + 1

2

con

det(A) = det

2α + 2 1 12

2 α + 1 12

2 1 12 α + 1

2

= α2(α + 3).

3

Luego, para que el sistema tenga solución única se debe tener que det(A) 6= 0, lo que implica

que para que el sistema posea tenga solución única α ∈ R r {−3, 0}.

Criterio:

• Realizar el análisis de consistencia del sistema se califica con 0,5 puntos. Ver ítems siguien-

tes.

• Si se realiza el análisis de rangos, se califica con 0,3 puntos por obtener la matriz equiva-

lente y con 0,2 puntos por el correcto análisis de los rangos y por ende cuando el sistema

posee solución única.

• Si se estudia el determinante de la matriz de coeficientes, se califica con 0,3 puntos la

obtención del valor del determinante de la matriz y con 0,2 puntos por correcto análisis de

cuando el sistema posee solución única.

Por tanto, el conjunto S es linealmente independiente para todo α ∈ R r {−3, 0}.

Criterio: La conclusión de que el conjunto S es linealmente independiente se califica con 0,2

puntos.




tuales.


R2×2,+, ·, R

)

considere al conjunto S dado por:

S =

{(

1 1

−1 2

)

,

(

1 0

1 1

)

,

(

1 1

0 2

)

,

(

0 0

1 0

)}

a) Calcular el subespacio vectorial W generado por S.

Solución. Sea

(

a b

c d

)

∈ R2×2, entonces

(

a b

c d

)

∈ W si y solo si existen α1, α2, α3, α4 ∈ R

tales que

α1

(

1 1

−1 2

)

+ α2

(

1 0

1 1

)

+ α3

(

1 1

0 2

)

+ α4

(

0 0

1 0

)

=

(

a b

c d

)

Criterio: Se califica con 0,2 puntos el escribir la combinación lineal.

o equivalentemente(

α1 + α2 + α3 α1 + α3

−α1 + α2 + α4 2α1 + α2 + 2α3

)

=

(

a b

c d

)

de lo cual se obtiene el sistema de ecuaciones lineales

α1 + α2 + α3 = a,

α1 + α3 = b,

−α1 + α2 + α4 = c,

2α1 + α2 + 2α3 = d.

Criterio: Obtener el sistema de ecuaciones lineales se califica con 0,2 puntos.

Cuya matriz ampliada verifica la siguiente equivalencia

1 1 1 0 | a

1 0 1 0 | b

−1 1 0 1 | c

2 1 2 0 | d

∼

1 1 1 0 | a

0 −1 0 0 | −a + b

0 0 1 1 | −a + 2b + c

0 0 0 0 | −a − b + d

.

4

Luego, el sistema es consistente si

d = a + b.

Criterio: Se califica con 0,2 puntos el correcto análisis de la consistencia del sistema.

Por tanto,

W =

{(

a b

c d

)

∈ R2×2 : d = a + b

}

Criterio: Concluir quien es W se califica con 0,2 puntos.

b) ¿Se tiene qué

(

1 1

−2 2

)

∈ W?

Solución. En virtud del literal anterior, una matriz

(

a b

c d

)

∈ W si y solo si d = a + b.

Ahora, para la matriz

(

1 1

−2 2

)

tenemos que a = 1, b = 1, c = −2 y d = 2, y ya que

d = a + b concluimos que

(

1 1

−2 2

)

∈ W.

Criterio: Concluir que la matriz pertenece a W se califica con 0,2 puntos.


• Se penaliza con −0,1 puntos (máximo) si el estudiante no justifica el desarrollo reali-

zado.

• Se penaliza con −0,2 puntos (máximo) si el estudiante comete más de dos errores

conceptuales.

• El literal b) se califica con 0,1 puntos si se concluye que la matriz pertenece a W, con

W mal calculado en el literal anterior.


R3,+, ·, R

)

considere al subespacio vectorial

W ={

(a, b, c) ∈ R3 : a − 2b + c = 0, a − b + 2c = 0, a + 3c = 0

}

.

Calcular un conjunto S tal que gen(S) = W.

Solución. Sea (a, b, c) ∈ R3, entonces (a, b, c) ∈ W si y solo si se verifica el sistema de ecuaciones

lineales

a − 2b + c = 0,

a − b + 2c = 0,

a + 3c = 0,

a partir de lo cual se obtiene que

a = −3c y b = −c

con c ∈ R.

Criterio: Obtener la relación entre a, b y c se califica con 0,3 puntos.

Entonces, tenemos que:

W ={

(a, b, c) ∈ R3 : a = −3c, b = −c

}

={

(−3c,−c, c) ∈ R3 : c ∈ R

}

={

c(−3,−1, 1) ∈ R3 : c ∈ R

}

= gen ({(−3,−1, 1)}) .

5

Criterio: Obtener el generador de W se califica con 0,4 puntos (0,1 por cada paso).

Luego, tomando S = {(−3,−1, 1)} se tiene que W = gen(S), siendo, por tanto, S el conjun-

to buscado.

Criterio: Definir S y concluir que es el conjunto buscado se califica con 0,3 puntos.




tuales.

6


ÁLGEBRA LINEAL • PRIMER EXAMEN DEL PRIMER BIMESTRE


Fila B

INDICACIONES





• Todas las preguntas tiene un puntaje de 1 punto.




1. Sea A ∈ Rn×n una matriz cuadrada.

a) Demuestre que AT A es una matriz simétrica.

b) Si A y AT conmutan, ¿AT A y AAT conmutan?


R2×2,+, ·, R

)

considere al conjunto:

U ={

B ∈ R2×2 : B

2 = B

}

.

¿Es U es subespacio vectorial del espacio vectorial(

R2×2,+, ·, R

)

?

3. Dado α ∈ R en el espacio vectorial(

R3,+, ·, R

)

considere al conjunto T dado por

T =

{

(α + 1, 1, 1), (3, 3α + 3, 3),

(

1

3,

1

3,

1

3α +

1

3

)}

.

Determine los valores de α para los cuales T es un conjunto linealmente independiente.


R2×2,+, ·, R

)

considere al conjunto T dado por:

T =

{(

1 1

1 2

)

,

(

1 0

1 1

)

,

(

1 1

0 2

)

,

(

0 0

1 0

)}

a) Calcular el subespacio vectorial U generado por T.

b) ¿Se tiene qué

(

1 1

2 2

)

∈ U?


R3,+, ·, R

)


U ={

(a, b, c) ∈ R3 : a − 2b + c = 0, 2a − 3b + 3c = 0, a + 3c = 0

}

.

Calcular un conjunto T tal que gen(T) = U.


ÁLGEBRA LINEAL • SEGUNDO EXAMEN DEL SEGUNDO BIMESTRE

Miércoles 12 de febrero de 2020 (120 minutos) Departamento de Formación Básica

Fila A

INDICACIONES





• El puntaje de las preguntas es el siguiente: primera pregunta 2 puntos: literal a) 1 punto; literal b) 0.4 puntos;

literal c) 0.6 puntos. Segunda pregunta 2 puntos. Tercera pregunta 2 puntos. Cuarta pregunta 4 puntos: literal a)

1.5 puntos; literal b) 1.5 puntos; literal c) 1 punto. Quinta pregunta 2 puntos. Sexta pregunta 2 puntos.




1. Sea W = {p(x) ∈ R1[x] : p(−1) = 0} un subespacio vectorial del espacio vectorial (R1[x],+, ·, R).

a) Calcular W⊥.

Solución.

Criterio de evaluación:

• Se califica con 0.5 puntos por obtener una base para W.

• Se califica con 0.5 puntos por obtener a W⊥.

Para calcular W⊥ primero obtenemos una base para W.

W = {p(x) = a + bx ∈ R1[x] : p(−1) = a − b, p(−1) = 0}

= {a + bx ∈ R1[x] : a − b = 0}

= {a + bx ∈ R1[x] : a = b}

= {b + bx ∈ R1[x] : b ∈ R}

= {b(1 + x) ∈ R1[x] : b ∈ R}

= span({1 + x}).

Luego, B1 = {1 + x} es una base de W. Calculamos ahora W⊥, se tiene que

W⊥ = {p(x) = a + bx ∈ R1[x] : 〈p(x), 1 + x〉 = 0}

= {p(x) = a + bx ∈ R1[x] : 〈a + bx, 1 + x〉 = 0}

= {p(x) = a + bx ∈ R1[x] : a + b = 0}.

b) Calcular una base B1 para W y una base B2 para W⊥.

Solución.


• Se califica con 0.2 puntos por concluir que B1 es la base buscada para W.

• Se califica con 0.2 puntos por obtener a la base B2 para W⊥.

Por el literal anterior B1 = {1 + x} es una base para W. Ahora, determinemos una base

para W⊥, se tiene que

W⊥ = {p(x) = a + bx ∈ R1[x] : a + b = 0}

= {a + bx ∈ R1[x] : a = −b}

= {−b + bx ∈ R1[x] : b ∈ R}

= {b(−1 + x) ∈ R1[x] : b ∈ R}

= span({−1 + x}).

Luego, B2 = {−1 + x} es una base de W⊥.

c) ¿El conjunto B1 ∪ B2 es una base ortogonal de R1[x]?

Solución.


• Se califica con 0.2 puntos por mostrar que B es un conjunto ortogonal.

• Se califica con 0.2 puntos por mostrar que B es un conjunto linealmente independiente.

• Se califica con 0.2 puntos por mostrar que B es una base ortogonal de R1[x].

B = B1 ∪ B2 = {1 + x,−1 + x}, notemos que 〈1 + x,−1 + x〉 = 0, luego, B es un con-

junto ortogonal, lo que implica que B es un conjunto linealmente independiente y ya que

dim(R1[x]) = card(B) = 2, concluimos que B es una base ortogonal de R1[x].

2. Sea la funciónT : R1[x] −→ R2[x]

p(x) 7−→ xp(x) + p(0).

¿Es T una aplicación lineal de R1[x] en R2[x]?

Solución.


• Se califica con 0.2 puntos por tomar p(x), q(x) ∈ R1[x] y α ∈ R.

• Se califica con 1.6 puntos por mostrar que T(αp(x) + q(x)) = αT(p(x)) + T(q(x)). De

forma alternativa: se califica con 0.8 puntos por mostrar que T(p(x) + q(x)) = T(p(x)) +T(q(x)) y con 0.8 puntos por mostrar que T(αp(x)) = αT(p(x)).

• Se califica con 0.2 puntos por concluir que T es una aplicación lineal de R1[x] en R2[x].

Sean p(x), q(x) ∈ R1[x] y sea α ∈ R, se tiene que

T(αp(x) + q(x)) = x(αp(x) + q(x)) + (αp(0) + q(0))

= (αxp(x) + αp(0)) + (xq(x) + q(0))

= α(xp(x) + p(0)) + (xq(x) + q(0))

= αT(p(x)) + T(q(x)).

Por tanto, T es una aplicación lineal de R1[x] en R2[x].

3. Sea (F ,+, ·, R) el espacio vectorial de las funciones reales. Se define a la función

T :F −→ R2

f 7−→ T( f )

2

donde T( f ) = ( f (0)− f (1), f (0) + f (1)) para cada f ∈ F . Considere a la función

f : R −→ R

x 7−→ x2 − x.

Note que f ∈ F . Si T es una aplicación lineal, ¿ f ∈ ker(T)?, ¿T es inyectiva?

Solución.


• Se califica con 1.2 puntos por verificar que T( f ) = (0, 0).

• Se califica con 0.4 puntos por concluir que f ∈ ker(T).

• Se califica con 0.4 puntos por concluir que T no es inyectiva.

Notemos que f (0) = f (1) = 0, luego,

T( f ) = ( f (0)− f (1), f (0) + f (1)) = (0 − 0, 0 + 0) = (0, 0).

De lo cual, concluimos que f ∈ ker(T), lo que implica que ker(T) 6= {0F}, lo que implica que

T no es inyectiva.

4. SeaT : R

2 −→ R1[x](a, b) 7−→ (a − 2b) + (a + b)x

una aplicación lineal y sean B = {(1,−2), (1, 1)} una base ordenada de R2, C1 = {(1, 0), (0, 1)}

la base canónica de R2 y C2 = {1, x} la base canónica de R1[x].

a) Calcular [T]BC2.

Solución.


• Se califica con 0.5 puntos por obtener T(1,−2) y T(1, 1).

• Se califica con 0.4 puntos por obtener [T(1,−2)]C2y con 0.4 puntos por obtener [T(1, 1)]C2

.

• Se califica con 0.2 puntos por obtener [T]BC2.

Para calcular la matriz [T]BC2seguimos los siguientes pasos:

1) Cálculo de las imágenes de los elementos de B bajo T.

• Para (1,−2):T(1,−2) = (1 − 2(−2)) + (1 + (−2))x = 5 − x.

• Para (1, 1):T(1, 1) = (1 − 2(1)) + (1 + 1)x = −1 + 2x.

2) Cálculo de las coordenadas de las imágenes calculadas respecto a la base C2. Sea a0 +a1x ∈ R1[x], existen α1, α2 ∈ R tales que

α1 + α2x = a0 + a1x

lo que implica que α1 = a0 y α2 = a1, luego,

[a0 + a1]C2=

(

a0

a1

)

.

Entonces

[T(1,−2)]C2= [5 − x]C2

=

(

5

−1

)

3

y

[T(1, 1)]C2= [−1 + 2x]C2

=

(

−1

2

)

.

3) Tenemos que

[T]BC2=

(

[T(1,−2)]C2[T(1, 1)]C2

)

=

(

5 −1

−1 2

)

.

b) Si T1 ∈ L(R2, R2) es tal que [T1]

BC1

=

(

−1 2

1 0

)

. Calcular T1.

Solución.


• Se califica con 0.3 puntos por escribir la igualdad [T1(a, b)]C1= [T1]

BC1[(a, b)]B, a partir

de la cual se calcula las coordenadas de la imagen de T1(a, b) con (a, b) ∈ R2.

• Se califica con 0.5 puntos por obtener [(a, b)]B para cualquier (a, b) ∈ R2.

• Se califica con 0.3 puntos por obtener [T1(a, b)]C1.

• Se califica con 0.4 puntos por obtener T1(a, b) para cada (a, b) ∈ R2.

Sea (a, b) ∈ R2 tenemos que

[T1(a, b)]C1= [T1]

BC1[(a, b)]B.

Calculemos las coordenadas de (a, b) en la base B, sean β1, β2 ∈ R tales que

β1(1,−2) + β2(1, 1) = (a, b)

o equivalentemente

(β1 + β2,−2β1 + β2) = (a, b)

lo que nos lleva al sistema de ecuaciones lineales{

β1 + β2 = a,

−2β1 + β2 = b

obtengamos su solución, para esto estudiamos su matriz ampliada.(

1 1 | a

−2 1 | b

)

∼

(

1 1 | a

0 3 | 2a + b

)

2F1 + F2 → F2

∼

(

1 1 | a

0 1 | 2a+b3

)

1

3F2 → F2

∼

(

1 0 | a−b3

0 1 | 2a+b3

)

− F2 + F1 → F1

luego, la solución del sistema es

β1 =a − b

3y β2 =

2a + b

3.

Entonces las coordenadas buscadas son

[(a, b)]B =

a − b

32a + b

3

.

Por lo cual,

[T1(a, b)]C1=

(

−1 2

1 0

)

a − b

32a + b

3

=

a + ba − b

3

.

4

A partir de las coordenadas de T1(a, b) se tiene que

T1(a, b) = (a + b)(1, 0) +a − b

3(0, 1) =

(

a + b,a − b

3

)

.

Por tanto,T1 : R

2 −→ R2

(a, b) 7−→

(

a + b,a − b

3

)

.

Otra opción:Criterio de evaluación:

• Se califica con 0.6 puntos por obtener a T1(1,−2) y a T1(1, 1).

• Se califica con 0.5 puntos por obtener [(a, b)]B para cualquier (a, b) ∈ R2.

• Se califica con 0.4 puntos por obtener T1(a, b) para cada (a, b) ∈ R2.

Notemos que

[T1]BC1

=(

[T1(1,−2)]C1[T1(1, 1)]C1

)

,

a partir de lo cual se tiene que

T1(1,−2) = (−1, 1) y T1(1, 1) = (2, 0).

Calculemos las coordenadas de (a, b) en la base B, sean β1, β2 ∈ R tales que

β1(1,−2) + β2(1, 1) = (a, b)

o equivalentemente

(β1 + β2,−2β1 + β2) = (a, b)

lo que nos lleva al sistema de ecuaciones lineales{

β1 + β2 = a,

−2β1 + β2 = b

obtengamos su solución, para esto estudiamos su matriz ampliada.(

1 1 | a

−2 1 | b

)

∼

(

1 1 | a

0 3 | 2a + b

)

2F1 + F2 → F2

∼

(

1 1 | a

0 1 | 2a+b3

)

1

3F2 → F2

∼

(

1 0 | a−b3

0 1 | 2a+b3

)

− F2 + F1 → F1

luego, la solución del sistema es

β1 =a − b

3y β2 =

2a + b

3.

Entonces las coordenadas buscadas son

[(a, b)]B =

a − b

32a + b

3

.

Por lo cual,

T1(a, b) =a − b

3T(1,−2) +

2a + b

3T(1, 1) =

(

a + b,a − b

3

)

.

5

Por tanto,T1 : R

2 −→ R2

(a, b) 7−→

(

a + b,a − b

3

)

.

c) Utilizando la matriz cambio de base calcular [T]C1C2

.

Solución.


• Se califica con 0.3 puntos por obtener que [T]C1C2

= [T]BC2[I]C1

B .

• Se califica con 0.4 puntos por obtener a [I]C1B .

• Se califica con 0.3 puntos por obtener a [T]C1C2

.

Sabemos que

[T]C1C2

= [I]C2C2[T]BC2

[I]C1B = [T]BC2

[I]C1B

ya que [I]C2C2

= I2.

Calculemos la matriz [I]C1B , para esto seguimos los siguientes pasos:

1) Cálculo de las imágenes de los elementos de C1 bajo I.

• Para (1, 0):I(1, 0) = (1, 0).

• Para (0, 1):I(0, 1) = (0, 1).

2) Cálculo de las coordenadas de las imágenes calculadas respecto a la base B, gracias al

literal b) tenemos que

[I(1, 0)]B = [(1, 0)]B =

(

1323

)

y

[I(0, 1)]B = [(0, 1)]B =

(

− 13

13

)

.

3) Tenemos que

[I]C1B =

(

[I(1, 0)]B [I(0, 1)]B)

=

(

13 − 1

323

13

)

.

Luego, se tiene que

[T]C1C2

= [T]BC2[I]C1

B =

(

5 −1

−1 2

)(

13 − 1

323

13

)

=

(

1 −2

1 1

)

.

5. Sea A =

1 0 −1

0 1 0

−1 0 1

, calcular una matriz D diagonal semejante a A.

Solución.


• Se califica con 1 punto por obtener el polinomio característico de A.

6

• Se califica con 0.5 puntos por obtener a los valores propios de A.

• Se califica con 0.5 puntos por obtener a la matriz diagonal D.

Dado que A es una matriz simétrica sabemos que es diagonalizable y que la matriz diagonal

que se obtiene tiene en sus entradas diagonales a los valores propios de A. Calculemos entonces

los valores propios de A.

Iniciamos calculando el polinomio característico de A. Sea λ ∈ R se tiene que

p(λ) = det(A − λI3)

= det

1 − λ 0 −1

0 1 − λ 0

−1 0 1 − λ

= (−1)1+1(1 − λ)det

(

1 − λ 0

0 1 − λ

)

+ (−1)3+1(−1)det

(

0 −1

1 − λ 0

)

= −λ3 + 3λ2 − 2λ.

Determinamos los valores propios de A, se tiene que

p(λ) = 0 ⇔ −λ3 + 3λ2 − 2λ = 0

⇔ −λ(λ − 2)(λ − 1) = 0.

Luego, los valores propios de A son

λ = 0, λ = 1, y λ = 2.

Por tanto, la matriz diagonal buscada es

D =

0 0 0

0 1 0

0 0 2

.

6. Si λ1 = 2 y λ2 = −1 son los valores propios asociados a los vectores propios v1 =

(

1

−1

)

y

v2 =

(

1

1

)

respectivamente. Calcular la matriz A, cuyos valores y vectores propios sean los

anteriores.

Solución.


• Se califica con 0.4 puntos por obtener que A = PDP−1 a partir de D = P−1AP.

• Se califica con 0.4 puntos por obtener a P y a D.

• Se califica con 0.6 puntos por obtener a P−1.

• Se califica con 0.6 puntos por obtener a A.

Notemos que de acuerdo a las hipótesis la matriz A ∈ R2×2 y se tienen dos valores propios

distintos con vectores propios tales que 〈v1, v2〉 = 0, lo que implica que {v1, v2} es un conjunto

linealmente independiente, y, por tanto, que A es diagonalizable. Por lo cual, existen P ∈ R2×2

invertible y D ∈ R2×2 diagonal tal que

D = P−1AP,

de lo cual,

A = PDP−1,

7

donde

P =

(

1 1

−1 1

)

y D =

(

2 0

0 −1

)

.

Calculemos la inversa de P, se tiene que(

1 1 | 1 0

−1 1 | 0 1

)

∼

(

1 1 | 1 0

0 2 | 1 1

)

F1 + F2 → F2

∼

(

1 1 | 1 0

0 1 | 12

12

)

1

2F2 → F2

∼

(

1 0 | 12 − 1

2

0 1 | 12

12

)

− F2 + F1 → F1.

Luego,

P−1 =

(

12 − 1

212

12

)

,

y, por tanto,

A = PDP−1

=

(

1 1

−1 1

)(

2 0

0 −1

)(

12 − 1

212

12

)

=

(

2 −1

−2 −1

)(

12 − 1

212

12

)

=

(

12 − 3

2

− 32

12

)

.

8


ÁLGEBRA LINEAL • SEGUNDO EXAMEN DEL SEGUNDO BIMESTRE

Miércoles 12 de febrero de 2020 (120 minutos) Departamento de Formación Básica

Fila B

INDICACIONES





• El puntaje de las preguntas es el siguiente: primera pregunta 2 puntos: literal a) 1 punto; literal b) 0.4 puntos;

literal c) 0.6 puntos. Segunda pregunta 2 puntos. Tercera pregunta 2 puntos. Cuarta pregunta 4 puntos: literal a)

1.5 puntos; literal b) 1.5 puntos; literal c) 1 punto. Quinta pregunta 2 puntos. Sexta pregunta 2 puntos.




1. Sea U = {p(t) ∈ R1[t] : p(1) = 0} un subespacio vectorial del espacio vectorial (R1[t],+, ·, R).

a) Calcular U⊥.

b) Calcular una base B1 para U y una base B2 para U⊥.

c) ¿El conjunto B1 ∪ B2 es una base ortogonal de R1[t]?

2. Sea la funciónT : R1[t] −→ R2[t]

p(t) 7−→ tp(t)− p(0).

¿Es T una aplicación lineal de R1[t] en R2[t]?

3. Sea (F ,+, ·, R) el espacio vectorial de las funciones reales. Se define a la función

T :F −→ R2

g 7−→ T(g)

donde T(g) = (g(0)− g(1), g(0) + g(1)) para cada g ∈ F . Considere a la función

g : R −→ R

t 7−→ t − t2 .

Note que g ∈ F . Si T es una aplicación lineal, ¿g ∈ ker(T)?, ¿T es inyectiva?

4. SeaT : R

2 −→ R1[t](a, b) 7−→ (a + b)t + (a − 2b)

una aplicación lineal y sean B = {(1,−2), (1, 1)} una base ordenada de R2, C1 = {(1, 0), (0, 1)}

la base canónica de R2 y C2 = {t, 1} la base canónica de R1[t].

a) Calcular [T]BC2.

b) Si T1 ∈ L(R2, R2) es tal que [T1]

BC1

=

(

−1 2

1 0

)

. Calcular T1.

c) Utilizando la matriz cambio de base calcular [T]C1C2

.

5. Sea A =

1 0 1

0 1 0

1 0 1

, calcular una matriz D diagonal semejante a A.

6. Si λ1 = −1 y λ2 = 2 son los valores propios asociados a los vectores propios v1 =

(

1

1

)

y

v2 =

(

1

−1

)

respectivamente. Calcular la matriz A, cuyos valores y vectores propios sean los

anteriores.

2


ÁLGEBRA LINEAL • EXAMEN FINAL

Viernes 21 de febrero de 2020 (120 minutos) Departamento de Formación Básica

Fila A

INDICACIONES









R3,+, ·, R

)


W = gen({(2, 1, 0), (1, 1, 1)}).

a) Calcular una base para W⊥.

b) Si u = (4,−6, 2), determinar u1 ∈ W y u2 ∈ W⊥ tales que u = u1 + u2.

Solución.

a) Criterio de calificación:

• Se califica con 4 puntos por obtener una base B1 para W; 1 por mostrar que lo genera

y 3 por mostrar que es linealmente independiente.

• Se califica con 6 puntos la obtención de una base B2 para W⊥; 2 por obtener a W⊥, 2

por mostrar que B2 genera a W⊥ y 2 por mostrar que B2 es linealmente independiente

y concluir que es base.

Obtengamos una base B1 para W. Por la definición de W, sea B1 = {(2, 1, 0), (1, 1, 1)},

notemos que B1 genera a W, ahora, mostremos que B1 es un conjunto linealmente inde-

pendiente. Sean α1, α2 ∈ R tales que

α1(2, 1, 0) + α2(1, 1, 1) = (0, 0, 0)

o equivalentemente

(2α1 + α2, α1 + α2, α2) = (0, 0, 0),

lo que nos lleva al sistema de ecuaciones lineales siguiente

2α1 + α2 = 0,

α1 + α2 = 0,

α2 = 0,

cuya matriz ampliada verifica la siguiente equivalencia

2 1 | 0

1 1 | 0

0 1 | 0

∼

1 0 | 0

0 1 | 0

0 0 | 0

de lo cual α1 = 0 y α2 = 0, lo que implica que B1 es un conjunto linealmente independiente,

y, por tanto, una base para W.

Para calcular una base para el complemento ortogonal de W, consideramos al producto

interno usual de R3 y calculamos en primer lugar a W⊥, lo que nos permite obtener que

W⊥ = {(x, y, z) ∈ R3 : 〈(2, 1, 0), (x, y, z)〉 = 0, 〈(1, 1, 1), (x, y, z)〉 = 0}

= {(x, y, z) ∈ R3 : 2x + y = 0, x + y + z = 0}

= {(x, y, z) ∈ R3 : y = −2x, z = x}

= {(x,−2x, x) ∈ R3 : x ∈ R}

= {x(1,−2, 1) ∈ R3 : x ∈ R}

= gen({(1,−2, 1)}).

Ahora, sea B2 = {(1,−2, 1)}, tenemos que B2 genera a W⊥ y que además es un conjunto

linealmente independiente ya que consta de un solo elemento no nulo, lo que implica que

B2 es una base para W⊥.

b) Criterio de calificación:

• Se califica con 5 puntos por obtener una base B para R3; 3 por mostrar que genera

a R3 o que es linealmente independiente y 2 por concluir que es base. Si realiza por

medio de la definición Se califica con 2 puntos por mostrar que B genera a R3, con 2

puntos por mostrar que B es un conjunto linealmente independiente y con 1 punto por

concluir que es base.

• Se califica con 3 puntos por escribir a u como combinación lineal de los elementos de

la base B, se deben obtener también los escalares de la combinación.

• Se califica con 1 punto por la obtención de u1 y con 1 punto la obtención de u2.

Sea B = B1 ∪ B2 = {(2, 1, 0), (1, 1, 1), (1,−2, 1)}. Mostremos que B es una base de R3. Sean

β1, β2, β3 ∈ R tales que

β1(2, 1, 0) + β2(1, 1, 1) + β3(1,−2, 1) = (0, 0, 0)

o equivalentemente

(2β1 + β2 + β3, β1 + β2 − 2β3, β2 + β3) = (0, 0, 0),


2β1 + β2 + β3 = 0,

β1 + β2 − 2β3 = 0,

β2 + β3 = 0,


2 1 1 | 0

1 1 −2 | 0

0 1 1 | 0

∼

1 0 −2 | 0

0 1 5 | 0

0 0 −4 | 0

de lo cual β1 = 0, β2 = 0 y β3 = 0, lo que implica que B es un conjunto linealmente

independiente, y ya que dim(R3) = card(B) = 3, concluimos que B es una base para R3.

Luego, sabemos que (4,−6, 2) se escribe como combinación lineal de los elementos de B

de manera única, es decir, existen a, b, c ∈ R tales que

a(2, 1, 0) + b(1, 1, 1) + c(1,−2, 1) = (4,−6, 2)

o equivalentemente

(2a + b + c, a + b − 2c, b + c) = (4,−6, 2),


2a + b + c = 4,

a + b − 2c = −6,

b + c = 2,


2 1 1 | 4

1 1 −2 | −6

0 1 1 | 2

∼

1 0 0 | 1

0 1 0 | −1

0 0 1 | 3

de lo cual a = 1, b = −1 y c = 3, entonces

(4,−6, 2) = (1)(2, 1, 0) + (−1)(1, 1, 1) + (3)(1,−2, 1)

= u1 + u2,

donde

u1 = (1)(2, 1, 0) + (−1)(1, 1, 1) = (1, 0,−1) ∈ W

y

u2 = (3)(1,−2, 1) = (3,−6, 3) ∈ W⊥.

2. Dada la funciónT : R

2 −→ R3

(x, y) 7−→ (x − y, y, x + y).

a) Muestre que T es una aplicación lineal de R2 en R

3.

b) Sin hacer ningún cálculo, ¿T es un isomorfismo? Justifique su respuesta.

c) Calcular una base para la imagen de T.

d) Determine el núcleo de T, sin utilizar la definición.

Solución. Criterio de calificación:

• Se califica con 8 puntos por mostrar que T(α(x1, y1) + (x2, y2)) = αT(x1, y1) + T(x2, y2)para cada (x1, y1), (x2, y2) ∈ R

2 y cada α ∈ R. Si realiza la demostración en dos pasos,

T((x1, y1) + (x2, y2)) = T(x1, y1) + T(x2, y2) y T(α(x1, y1)) = αT(x1, y1)

cada igualdad Se califica con 4 puntos.

• Se califica con 2 puntos la conclusión de que T ∈ L(R2, R3).

a) Sean (x1, y1), (x2, y2) ∈ R2 y sea α ∈ R, tenemos que

T(α(x1, y1) + (x2, y2)) = T(αx1 + x2, αy1 + y2)

= ((αx1 + x2)− (αy1 + y2), αy1 + y2, (αx1 + x2) + (αy1 + y2))

= ((αx1 + x2)− (αy1 + y2), αy1 + y2, (αx1 + x2) + (αy1 + y2))

= (α(x1 − y1) + (x2 − y2), αy1 + y2, α(x1 + y1) + (x2 + y2))

= α(x1 − y1, y1, x1 + y1) + (x2 − y2, y2, x2 + y2)

= αT(x1, y1) + T(x2, y2).

Por lo tanto, T es una aplicación lineal de R2 en R

3.


• Se califica con 5 puntos la correcta justificación de la respuesta.

Para que T sea un isomorfismo este debe ser biyectivo. Notemos que dim(R2) < dim(R3),entonces T no es sobreyectivo, y, por tanto, T no es un isomorfismo.

c) Criterio de calificación:

• Se califica con 2 puntos por obtener T(1, 0) y T(0, 1).

• Se califica con 4 puntos por obtener un generador B para img(T).

• Se califica con 4 puntos por mostrar que B es un conjunto linealmente independiente

y por concluir que es base de la imagen de T.

Para calcular una base para la imagen determinemos un generador de esta, para lo cual,

consideramos a la base canónica de R2, a partir de lo cual se tiene que

T(1, 0) = (1, 0, 1) y T(0, 1) = (−1, 1, 1).

Entonces,

img(T) = gen({T(1, 0), T(0, 1)}) = gen({(1, 0, 1), (−1, 1, 1)}).Sea B = {(1, 0, 1), (−1, 1, 1)}, se tiene que B genera a la imagen de T y que es un conjunto

linealmente independiente, por tanto, B es una base para la imagen de T.

Otra forma: Criterio de calificación:

• Se califica con 3 puntos por obtener a img(T).

• Se califica con 7 puntos por obtener una base B para la imagen de T; 3 puntos por mos-

trar que genera a la imagen y 4 puntos por mostrar que es linealmente independiente

y que, por tanto, es base de img(T).

Calculando la imagen de T. Tenemos que

img(T) = {(a, b, c) ∈ R3 : T(x, y) = (a, b, c) para algún (x, y) ∈ R

2}= {(a, b, c) ∈ R

3 : (x − y, y, x + y) = (a, b, c), con x, y ∈ R}= {(a, b, c) ∈ R

3 : x − y = a, y = b, x + y = c, con x, y ∈ R}= {(a, b, c) ∈ R

3 : c = a + 2b}= {(a, b, a + 2b) ∈ R

3 : a, b ∈ R}. = {a(1, 0, 1) + b(0, 1, 2) ∈ R

3 : a, b ∈ R}= gen({(1, 0, 1), (0, 1, 2)}).

Entonces, se puede comprobar que B = {(1, 0, 1), (0, 1, 2)} es una base de la imagen de T.

d) Criterio de calificación:

• Se califica con 5 puntos por obtener a ker(T).

A partir del literal anterior, se tiene que dim(img)(T)) = 2 y dado que dim(R2) = 2, junto

con el teorema de la dimensión

dim(R2) = dim(ker(T)) + dim(img(T))

tenemos que dim(ker(T)) = 0 lo que implica que ker(T) = {(0, 0)}.

3. Sean B =

{(

1√2

,1√2

)

,

(

− 1√2

,1√2

)}

una base ortonormal de R2 y C = {(1, 0), (0, 1)} la

base canónica de R2.

a) Calcular [I]BC y [I]CB .

b) Si T es una aplicación lineal de R2 en R

2 tal que

T

(

1√2

,1√2

)

= (1, 0) y T

(

− 1√2

,1√2

)

= (0, 1).

Calcular [T]CC. Sugerencia: Calcular [T]BC.

c) Determinar T(x, y) para todo (x, y) ∈ R2.

d) Demuestre que:

‖T(x, y)‖ = ‖(x, y)‖para todo (x, y) ∈ R

2.

Solución.

a) Criterio de calificación:

• Se califica con 4 puntos por obtener a [I]BC y solo con 2 puntos si se omite la justificación

de las coordenadas involucradas.

• Se califica con 6 puntos por obtener a [I]CB .

Para calcular [I]BC seguimos los pasos siguientes.

1) Cálculo de las imágenes de los elementos de la base B bajo I. Se tiene que

I

(

1√2

,1√2

)

=

(

1√2

,1√2

)

y I

(

− 1√2

,1√2

)

=

(

− 1√2

,1√2

)

.

2) Determinación de las coordenadas de las imágenes encontradas respecto a la base C.

Sea (x, y) ∈ R2, tomamos α1, α2 ∈ R tales que

α1(1, 0) + α2(0, 1) = (x, y)

o equivalentemente

(α1, α2) = (x, y)

lo que implica que α1 = x y que α2 = y, entonces

[(x, y)]C =

(

x

y

)

.

Por tanto,[

I

(

1√2

,1√2

)]

C

=

[(

1√2

,1√2

)]

C

=

(

1/√

2

1/√

2

)

y[

I

(

− 1√2

,1√2

)]

C

=

[(

− 1√2

,1√2

)]

C

=

(−1/√

2

1/√

2

)

.

3) Determinación de la matriz buscada. Se tiene que

[I]BC =

(

1/√

2 −1/√

2

1/√

2 1/√

2

)

.

Para calcular [I]CB recordemos que [I]CB =(

[I]BC)−1

. Por lo cual,

[I]CB =

(

1/√

2 −1/√

2

1/√

2 1/√

2

)−1

=

(

1/√

2 1/√

2

−1/√

2 1/√

2

)

.


• Se califica con 4 puntos por obtener a [T]BC y solo con 2 puntos si se omite la justificación

de las coordenadas involucradas.

• Se califica con 6 puntos por obtener a [T]CC; 3 puntos por escribir la igualdad [T]CC =[I]CC[T]

BC[I]

CB , 3 puntos por obtener a la matriz buscada.

Calculemos [T]BC, gracias a lo realizado en el literal anterior se tiene lo siguiente:

1) Cálculo de las imágenes de los elementos de la base B bajo T. Por hipótesis,

T

(

1√2

,1√2

)

= (1, 0) y T

(

− 1√2

,1√2

)

= (0, 1).

2) Determinación de las coordenadas de las imágenes encontradas respecto a la base C.[

T

(

1√2

,1√2

)]

C

= [(1, 0)]C =

(

1

0

)

y[

T

(

− 1√2

,1√2

)]

C

= [(0, 1)]C =

(

0

1

)

.

3) Determinación de la matriz buscada. Se tiene que

[T]BC =

(

1 0

0 1

)

= I2,

donde I2 es la matriz identidad de orden 2.

Ahora, calculemos a la matriz [T]CC.

[T]CC = [I]CC[T]BC[I]

CB

= I2 I2[I]CB

= [I]CB

=

(

1/√

2 1/√

2

−1/√

2 1/√

2

)

.

c) Criterio de calificación:

• Se califica con 3 puntos por escribir la igualdad [T(x, y)]C = [T]CC[(x, y)]C• Se califica con 1 puntos por indicar a que es igual [(x, y)]C.

• Se califica con 3 puntos por obtener a [T(x, y)]C.

• Se califica con 3 puntos por obtener a T(x, y).

Sea (x, y) ∈ R2, sabemos que

[T(x, y)]C = [T]CC[(x, y)]C

y junto con lo anterior tiene que

[T(x, y)]C =

(

1/√

2 1/√

2

−1/√

2 1/√

2

)(

x

y

)

=

(

(x + y)/√

2

(−x + y)/√

2

)

,

luego,

T(x, y) =x + y√

2(1, 0) +

−x + y√2

(0, 1)

=

(

x + y√2

,−x + y√

2

)

.

d) Criterio de calificación:

• Se califica con 10 puntos por la correcta demostración del enunciado, se sugiere 2 pun-

tos por cada paso, excepto por el tercero en el cual se siguiere 4 puntos por las opera-

ciones involucradas.

Sea (x, y) ∈ R2 utilizando el producto interno usual se tiene que

‖T(x, y)‖ =

∥

∥

∥

∥

(

x + y√2

,−x + y√

2

)∥

∥

∥

∥

=

√

(

x + y√2

)2

+

(−x + y√2

)2

=√

x2 + y2

= ‖(x, y)‖.

Lo que muestra el resultado.

4. Dado a ∈ R, considere a la matriz A =

1 a 0

a 1 a

0 a 1

.

a) ¿Es A diagonalizable? Justifique su respuesta.

b) Probar que

1√2

1

es vector propio de A.

c) Muestre que 1 es un valor propio de A.

Solución.

1) Criterio de calificación:

• Se califica con 5 puntos por la correcta justificación de la respuesta.

Dado que A es una matriz simétrica, concluimos que es diagonalizable.


• Se califica con 3 puntos por la mención de la relación entre valor y vector propio.

• Se califica con 3 puntos por los pasos que permiten obtener que

Av = (1 +√

2a)

1√2

1

.

• Se califica con 3 puntos por la obtención del valor propio asociado.

• Se califica con 1 punto la conclusión de que v es vector propio de A.

Sabemos que v 6= 0 es un vector propio de A si existe un valor propio λ tal que

Av = λv.

Tomando v =

1√2

1

y suponiendo que existe λ ∈ R tal que verifican lo anterior

tenemos que

Av = λv ⇐⇒

1 a 0

a 1 a

0 a 1

1√2

1

= λ

1√2

1

⇐⇒

1 +√

2a√2 + 2a

1 +√

2a

= λ

1√2

1

⇐⇒ (1 +√

2a)

1√2

1

= λ

1√2

1

,

luego, λ = 1 +√

2a y v es su vector propio asociado lo que muestra el enunciado.


• Se califica con 4 puntos por la obtención, simplificación y cálculo de la raíz 1 del

polinomio característico.

• Se califica con 1 punto por la conclusión de que 1 es valor propio de A.

Recordando que un valor propio de A es también raíz de su polinomio característico.

Determinamos al polinomio característico de A. Sea λ ∈ R se tiene que

p(λ) = det(A − λI3)

= det

1 a 0

a 1 a

0 a 1

− λ

1 0 0

0 1 0

0 0 1

= det

1 − λ a 0

a 1 − λ a

0 a 1 − λ

= (−1)1+1(1 − λ)det

(

1 − λ a

a 1 − λ

)

+ (−1)2+1(a)det

(

a 0

a 1 − λ

)

= (1 − λ)((1 − λ)2 − a2) +−a(a(1 − λ))

= (1 − λ)((1 − λ)2 − 2a2).

Ahora, de p(λ) = 0 concluimos que 1 − λ = 0, es decir, que 1 es un valor propio de A.

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