ESTADISTICA y PROBABILIDAD IUNIDAD III: Medidas de ResumenUSMP, 03/ 2012SEMESTRE ACADEMICO: 2012-I

III. MEDIDAS DE RESUMENTercera semana:

Sesin 1: Medidas de tendencia central para datos no agrupados: Media, mediana, moda y propiedades.

Sesin 2: Media aritmtica ponderada, media geomtrica y media armnica.

ESTADISTICA y PROBABILIDAD I

ESTADISTICA y PROBABILIDAD IMedidas de Tendencia CentralUna vez clasificado los datos originales, cuyas caractersticas ms esenciales se destacan, ser necesario calcular un conjunto de indicadores que caractericen en forma algo ms precisa la distribucin que se est estudiando.

Interesa en primer lugar, disponer de estadgrafos que representen los valores centrales en torno a los cuales se agrupen las observaciones. Por tanto, la medida de tendencia central se define como:

Definicin: Una medida de tendencia central es el ndice de localizacin central empleado en la descripcin de las distribuciones de frecuencias. Tambin sirve como una base para medir y evaluar valores anormalmente altos o bajos (valores extremos).

III. MEDIDAS DE RESUMEN3.1. Medidas de Tendencia Central

ESTADISTICA y PROBABILIDAD ICaractersticas del Valor CentralDebe estar definido en forma objetiva.Debe depender de toda la informacin obtenida (datos). Debe ser fcil de comprender (no debe tener un aspecto abstracto).Debe ser fcil de calcular.Debe ser estable (no sensible a fluctuaciones)Debe ser adecuado a clculos algebraicos posteriores.

III. MEDIDAS DE RESUMEN3.1. Medidas de Tendencia Central

ESTADISTICA y PROBABILIDAD ITipo de Promedios

La media aritmtica o mediaLa medianaLa modaLa media ponderadaLa media geomtricaLa media armnica

III. MEDIDAS DE RESUMEN3.1. Medidas de Tendencia Central

A.Medidas de tendencia central para datos no agrupados: Media, mediana, moda y propiedades. Media aritmtica, media geomtrica y media armnica. ESTADISTICA y PROBABILIDAD IIII. MEDIDAS DE RESUMEN3.1. Medidas de Tendencia Central

III. MEDIDAS DE RESUMEN3.1. Medidas de Tendencia Central ESTADISTICA y PROBABILIDAD IA. Medidas de Tendencia Central para Datos no AgrupadosMedia Aritmtica:Sean x1, x2, , xn valores de una variable X. La media aritmtica denominada media de X, representado por , es dado

Propiedades: Para un conjunto dado de observaciones, la media es nica.La media es sensible a los valores del conjunto de datos.La suma de los cuadrados de las desviaciones entre los valores de la variable X y su media es mnima. Si a los valores de una variable X se le suma, resta, multiplica o divide por una constante C, entonces la media queda afectada por el valor C.

III. MEDIDAS DE RESUMEN3.1. Medidas de Tendencia Central ESTADISTICA y PROBABILIDAD IA. Medidas de Tendencia Central para Datos no AgrupadosMedia Aritmtica:Ejemplo 1: Determinar la media aritmtica de las siguientes observaciones:3, 4, 7, 8, 2.

Solucin:Al sustituir las observaciones en la frmula, se tiene = (3+4+7+8+2) / 5 = 5.8

III. MEDIDAS DE RESUMEN3.1. Medidas de Tendencia Central ESTADISTICA y PROBABILIDAD IA. Medidas de Tendencia Central para Datos no AgrupadosMedia Aritmtica:Ejemplo 2: El tiempo de vida de una bebida gaseosa almacenada es de inters. Diez botellas son seleccionadas aleatoriamente y probadas, observndose los siguientes resultados:

Determinar el tiempo de vida media.

Solucin:R=131

III. MEDIDAS DE RESUMEN3.1. Medidas de Tendencia Central ESTADISTICA y PROBABILIDAD IA. Medidas de Tendencia Central para Datos no AgrupadosMedia Aritmtica:Ejemplo 3: Dos mquinas se utilizan para llenar botellas de plstico con un volumen neto de 16 onzas. El proceso de llenado puede considerarse normal con desviacin estndar de 1 = 0.015 y 2 = 0.018. De cada lnea de llenado se toma una muestra de aleatoria:

Determinar el volumen medio de llenado por cada mquina.

Solucin: R1=16.02 y R2 = 16.01

III. MEDIDAS DE RESUMEN3.1. Medidas de Tendencia Central ESTADISTICA y PROBABILIDAD IA. Medidas de Tendencia Central para Datos no AgrupadosMediana: La mediana de la variable X, es un valor que divide a un conjunto de datos ordenados en forma ascendente o descendente en dos grupos de igual nmero de observaciones. La notacin esObservaciones: Caso 1: Si la variable es discreta y n (nmero de observaciones) es impar. Entonces, la mediana es el valor de la variable que ocupa la posicin media (rango de orden (n+1)/2).Caso 2: Si la variable es discreta y n (nmero de observaciones) es par. Entonces, la mediana es la media aritmtica de los valores que ocupan la posicin (n/2, n/2 +1).

III. MEDIDAS DE RESUMEN3.1. Medidas de Tendencia Central ESTADISTICA y PROBABILIDAD IA. Medidas de Tendencia Central para Datos no AgrupadosMediana: Propiedades: La mediana no depende del nmero de valores extremos.La mediana es una valor muy adecuado cuando se utiliza para describir distribuciones cuyos valores centrales estn muy prximos. La mediana, algunas veces es un valor ms representativo de un conjunto de datos, gracias a su independencia de los valores extremos. La mediana no es adecuada a manipulaciones algebraicas posteriores.

III. MEDIDAS DE RESUMEN3.1. Medidas de Tendencia Central ESTADISTICA y PROBABILIDAD IA. Medidas de Tendencia Central para Datos no AgrupadosMediana: Ejemplo 4: Supongamos que las ventas diarias durante una semana fueron los siguientes: 52, 41, 37, 82, 24, 63, 68. Determinar la mediana de las ventas durante la semana.Solucin:Ordenando estos valores en orden creciente, se tiene: 24, 37, 41, 52, 63, 68, 82.El valor que ocupa el rango (n+1)/2 = (7+1)/2 = 4 (4to) es:

III. MEDIDAS DE RESUMEN3.1. Medidas de Tendencia Central ESTADISTICA y PROBABILIDAD IA. Medidas de Tendencia Central para Datos no AgrupadosMediana: Ejemplo 5: Supongamos que las ventas diarias entre lunes a sbado fueron las siguientes: 24, 37, 41, 82, 68, 63. Determinar la mediana de las ventas.Solucin:Ordenando estos valores en orden creciente, se tiene: 24, 37, 41, 63, 68, 82. Los valores que ocupan las posiciones n/2 y (n+2)/2, n/2 = 6/2 = 3 y (n+2)/2 = 8/2 = 4, es decir, de 3ra y 4ta son: 41 y 63.

Por tanto, la

III. MEDIDAS DE RESUMEN3.1. Medidas de Tendencia Central ESTADISTICA y PROBABILIDAD IA. Medidas de Tendencia Central para Datos no AgrupadosModa:Dada una distribucin de frecuencias, la moda, denotada por Mo = , es un valor de la variable que tiene la ms alta frecuencia, es decir, es el valor ms frecuente de la distribucin. La moda no siempre es nica y no siempre existe. En general, se tiene la siguiente clasificacin: La distribucin que tiene una sola moda se llama distribucin unimodal.La distribucin que tiene dos modas se llama bimodal.La distribucin que tiene ms de dos modas se llama multimodal.

III. MEDIDAS DE RESUMEN3.1. Medidas de Tendencia Central ESTADISTICA y PROBABILIDAD IA. Medidas de Tendencia Central para Datos no AgrupadosModa: Propiedades: El valor de la moda es totalmente independiente de los valores extremos.La moda es una medida inestable porque vara si se cambia el intervalo de clase.Su significacin es limitada cuando no se dispone de un gran nmero de valores.Es el valor tpico ms frecuente.La moda no se presta a manipulaciones algebraicas.

III. MEDIDAS DE RESUMEN3.1. Medidas de Tendencia Central ESTADISTICA y PROBABILIDAD IA. Medidas de Tendencia Central para Datos no AgrupadosModa: Ejemplo 6: Considere los siguientes datos: 82, 65, 59, 74, 60, 67, 71, 73, 70, 58.20, 22, 28, 27, 21, 25, 22, 27, 22, 24. 41, 45, 42, 45, 48, 45, 43, 41, 47, 41.

Cual es la moda en cada caso?---------

III. MEDIDAS DE RESUMEN3.1. Medidas de Tendencia Central ESTADISTICA y PROBABILIDAD IA. Medidas de Tendencia Central para Datos no AgrupadosMedia ponderada:

Hay ocasiones en que se quiere expresar en una sola cifra los resultados de varios grupos de datos, cada uno de los cuales han sido resumido previamente mediante un promedio. Tal es el caso de las muestras estratificadas, en las cuales se calcula un valor promedio para cada estrato.En dichas ocasiones, el promedio general para diferentes grupos no se obtiene promediando los promedios parciales, sino que es necesario tener en cuanta el nmero de observaciones en cada estrato. Tal promedio recibe el nombre de promedio ponderado.

III. MEDIDAS DE RESUMEN3.1. Medidas de Tendencia Central ESTADISTICA y PROBABILIDAD IA. Medidas de Tendencia Central para Datos no AgrupadosMedia ponderada:Definicin. Sean X1, X2, , Xk las medias de k subconjuntos, cada una con n1, n2, , nk observaciones respectivamente. La media ponderada se determina como

III. MEDIDAS DE RESUMEN3.1. Medidas de Tendencia Central ESTADISTICA y PROBABILIDAD IA. Medidas de Tendencia Central para Datos no AgrupadosMedia ponderada:Ejemplo 7:Supongamos que en una ciudad en particular hay dos precios de pan: 0.08 nuevos soles en los supermercados que venden 10000 unidades y 0.10 nuevos soles en las panaderas que venden 1000 unidades. Hallar el promedio ponderado del precio del pan.

Solucin:

III. MEDIDAS DE RESUMEN3.1. Medidas de Tendencia Central ESTADISTICA y PROBABILIDAD IA. Medidas de Tendencia Central para Datos no AgrupadosMedia ponderada:Ejemplo 8:En una agencia de viajes se han vendido 200 pasajes a los precios siguientes:

Determinar el precio promedio de la venta de pasajes.

Solucin:

III. MEDIDAS DE RESUMEN3.1. Medidas de Tendencia Central ESTADISTICA y PROBABILIDAD IA. Medidas de Tendencia Central para Datos no AgrupadosMedia geomtrica:

Definicin. Sean X1, X2, , Xk los valores de la variable X. La media geomtrica de X es dada por

Esta estadstica corresponde al valor representativo central de observaciones secuenciales y estrechamente relacionadas entre s tales como tasas de: inters, inflacin, devaluacin, variacin, crecimiento, disminucin.

III. MEDIDAS DE RESUMEN3.1. Medidas de Tendencia Central ESTADISTICA y PROBABILIDAD IA. Medidas de Tendencia Central para Datos no AgrupadosMedia geomtrica:Ejemplo 9:Calcular la media geomtrica de las siguientes observaciones muestrales: 3, 6, 12, 24, 48.

Solucin:

III. MEDIDAS DE RESUMEN3.1. Medidas de Tendencia Central ESTADISTICA y PROBABILIDAD IA. Medidas de Tendencia Central para Datos no AgrupadosMedia geomtrica:Ejemplo 10:El Producto Bruto Interno (PBI) de una pas durante los ltimos cinco aos tuvo la evolucin siguiente:

Determinar la tasa de crecimiento anual promedio del PBI.

Solucin: (1.97% anual)

III. MEDIDAS DE RESUMEN3.1. Medidas de Tendencia Central ESTADISTICA y PROBABILIDAD IA. Medidas de Tendencia Central para Datos no AgrupadosMedia armnica:

Definicin. Sean X1, X2, , Xk los valores de la variable X. La media armnica de X es dada por:

Como se observa, la media armnica es el valor inverso de la media aritmtica de los valores inversos de la variable. Este promedio se utiliza para que los valores extremos no afecten al valor del promedio.

III. MEDIDAS DE RESUMEN3.1. Medidas de Tendencia Central ESTADISTICA y PROBABILIDAD IA. Medidas de Tendencia Central para Datos no AgrupadosMedia armnica:Ejemplo 11: Determinar el rendimiento promedio para el caso de tres automviles que recorrieron 500 kilmetros y cada auto tuvo el rendimiento siguiente: Auto:AB CRendimiento (Km. /galn):50.0 62.4 77.6

Solucin:

III. MEDIDAS DE RESUMEN3.1. Medidas de Tendencia Central ESTADISTICA y PROBABILIDAD IA. Medidas de Tendencia Central para Datos no AgrupadosMedia armnica:Ejemplo 12: En tres periodos sucesivos se gastaron $300 por periodo en adquirir cierto producto cuyo precio unitario fue de $15, $20 y $30 respectivamente. Se desea saber cual fue el costo promedio del producto. Solucin: Corresponde calcular una media armnica simple entre los precios unitarios, es decir: