Energía rotacional y momentum angular

Física 116/04/09 1Física 1

Momentum angular. Relaciones entre el momentum angular y el torque. Conservación del momentum angular.

Semana 3 sesión 1

Momento Angular

16/04/09 2Y Milachay, S Tinoco

Rotación de un cuerpo rígido sobre un eje móvil

• Analicemos el movimiento de un cilindro en un plano horizontal

a) Movimiento de traslación pura• asumamos que el cilindro se traslada sin

rotar, con rapidez v.• En este caso todos los puntos del cilindro se

mueven con la misma rapidez v, y además

vcm= vb) Rotación Pura• imaginemos ahora el cilindro girando con

respecto a un eje que pase por su centro de masa con una velocidad angular m tal que

v = R• En este caso todos los puntos del borde del

cilindro se mueven con la misma rapidez, pero el centro de masa no se mueve

vr

vr

CMv v=r rvr

vr

vr

vr

vr

vr

v Rω=

0CMv =


Rotación de un cuerpo rígido sobre un eje móvil

• ¿Qué sucederá cuando el cilindro se traslade con velocidad v y al mismo tiempo gire con rapidez angular c, tal que v = ωR?

vr

vr

CMv v=r rvr

vr v

r

vr

vr

vr

0CMv =

2v

2v

vr

2v

0v =El punto P, que está en contacto con la superficie, no se mueve.


Energía del movimiento de rodadura

• Podemos considerar que por P pasa el llamado eje instantáneo de rotación, pues todos los puntos del cilindro giran en forma instantánea alrededor de este eje.

• La energía cinética de rotación respecto a este eje instantáneo de rotación está dada por:

• Donde Ip es el momento de inercia con respecto al eje instantáneo de rotación.

• Con ayuda del teorema de los ejes paralelos, se tiene que:

• Usando la expresión v = wR, finalmente se tiene que la energía cinética de rotación del cilindro se escribe como:

• Energía cinética de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masa

• Energía cinética de traslación del centro de masa.

21

2 pk I ω=

2p cmI I MR= +

2 21( )

2 cmk I MR ω= +

2 21 1

2 2cm cmk I M vω= +

21

2 cmI ω

21

2 cmMv


Energía del yo-yo

• Se fabrica un yo-yo enrollando un cordel varias veces alrededor de un cilindro sólido de masa M y radio R. Se sostiene el extremo del cordel fijo mientras se suelta el cilindro desde el reposo. El cordel se desenrolla sin resbalar ni estirarse al caer y girar el cilindro. Use consideraciones de energía para calcular al rapidez vcm del centro de masa del cilindro sólido después de caer una distancia h.

• Por conservación de energía

2CM

3Mgh Mv

4= CM

4v gh

3=

2 22 CM

1 1K Mv I

2 2ω= +

2 2 2CM2 CM

1 1 1 vK Mv ( MR )( )

2 2 2 R= +

22 CM

3K Mv

4=

2211 UKUK +=+


Ejercicio 10.19

• Se enrolla n hilo varias veces en el borde de un aro de 0,0800 m de radio y masa de 0,180 kg . Si el extremo libre del hilo se sostiene fijo y el aro se suelta del reposo determine la rapidez angular del aro después de bajar 0,750 m

• Solución.

22CM2 I

21

MV21

K ω+=

2CM22CM2 )

RV

)(MR(21

MV21

K +=

2CM2 MVK =

2211 UKUK +=+

0MVMgh0 2CM +=+

ghVCM =

s/rad9,33R

VCM ==ω


Momentum Angular de una partícula

• Suponga una partícula de masa m moviéndose en el plano XY.

• Se define el momentum angular de la partícula como:

• Observaciones :• Si m se mueve en la dirección de r, entonces

L = 0• Si r y p son perpendiculares, entonces

LMax = r p

L r p= ×r r r

L r p senϕ=x

y

z

O

O

p m v→ →

=rr

L→


Relación entre y

• Al derivar la cantidad de movimiento angular (momentum angular), se halla que uno de los términos se anula, puesto que la velocidad y la cantidad de movimiento son paralelos.

• La expresión finalmente relaciona a la cantidad de movimiento angular con el torque aplicado sobre la partícula.

dr p 0

dt× =

r rv

Lr

τr

d L d( r p )

dt dt

→→ →

= ×

dL dr dp p r

dt dt dt= × + ×

r rrv r

dL dpr

dt dt= ×

r rr

dpF

dt=

rr

dL

dtτ=

rr


Momentum angular de un sistema de partículas

• Para un conjunto de partículas, el momentum angular del conjunto es igual a:

• Supongamos, por sencillez, un sistema conformado por dos partículas sometidas a su interacción mutua y a las fuerzas externas F1 y F2

ii

L L=∑r r


Torque de un sistema de dos partículas

El torque sobre la partícula 1 será :

y el torque sobre la partícula 2 será :

El torque resultante :

Como

1 12 2 21 0r F r F× + × =rr rr r

1 1 12 1 1 extr F r Fτ = × + ×r rr r r

2 2 21 2 2 extr F r Fτ = × + ×r rr r r

1 2τ τ τ= +r r r

1 12 1 1 2 21 2 2ext extr F r F r F r Fτ = × + × + × + ×

r r r rr r r r r

1 1 2 2ext extr F r Fτ = × + ×

r rr r r


Torque de un sistema de 2 partículas

• El torque resultante que actúa sobre el sistema es igual al torque que producen solo las fuerzas externas

• Entonces, la cantidad de movimiento angular del conjunto de partículas será igual a:

2

1

exti

i

τ τ=

= ∑r r

1 1 2 2ext extr F r Fτ = × + ×

r rr r r

TdL

dtτ=

rr


Relación entre L e I para una partícula

• Supóngase una partícula girando en una trayectoria circular bajo la acción de la fuerza tangencial FT y una fuerza centrípeta que asegura el movimiento circular.

• El momentum angular de la partícula en el instante t será :

• La magnitud de L será:

• El momentum angular de la partícula es igual a su momento de inercia por la velocidad angular

L r p→ → →

= ×

p mv=r rv rω=

2L mR ω=

L Iω=

L I ω→ →

=

Finalmente,


dL

dtτ=

rr

L cte=r

Conservación del momentum angular para un cuerpo rígido

• Podemos apreciar, que si el torque externo es cero, entonces el momentum angular permanece constante, lo que equivale a decir que si cambia el momento de inercia, la velocidad angular también cambiará para que el producto sea constante. i i f fI Iω ω=


Ejercicio

• Una piedra de 2,00 kg tiene una velocidad horizontal de magnitud 12,0 m/s cuando está en el punto P de la figura.

• A) ¿Qué cantidad de movimiento angular (magnitud y dirección) tiene respecto a O en ese instante?

• B) Suponiendo que la única fuerza que actúa sobre la piedra es su peso, calcule la rapidez del cambio (magnitud y dirección) de su cantidad de movimiento angular en ese instante.

• Solucióne) .

Dirigido hacia la página.h. .

Dirigido saliendo de la página

,s/mkg 115sin 2⋅=φmvr

2mvr sinφ 115 kg m / s= ⋅

( ) ( ) ( ) ( ) 22dL dtτ 2 kg 9,80 N kg 8,00 m sin 90,0 36,9 125 k g m s= = ° − ° = ⋅


Ejercicio

• Calcule la magnitud del de la cantidad de movimiento angular del segundero de un reloj alrededor de un eje que pasa por el centro de la carátula, si la manecilla tiene una longitud de 15,0 cm y una masa de 6,00 g . Trate la manecilla como una varilla delgada que gira con velocidad angular constante alrededor del extremo.

• Solución• El periodo de un segundero es un minuto,

por lo que el momento angular es igual a

2

32 2 6 2

2

3

6,0 10 kg 2(15,0 10 m) 4,71 10 kg m s

3 60,0 s

ML Iω l

T

π

π−− −

= =

×= × = × ⋅


a. Y con

d. .

Ejercicio

• Un bloque de 0,0250 kg en una superficie horizontal sin fricción está atado a un cordón sin masa que pasa por un agujero en la superficie. El bloque inicialmente está girando a una distancia de 0,300 m del agujero, con rapidez angular de 1,75 rad/s. Ahora se tira del cordón desde abajo, acortando el radio del círculo que describe el bloque a 0,150 m. El bloque puede tratarse como partícula. a) ¡Se conserva la cantidad de movimiento angular?. B) ¿Qué valor tiene ahora la rapidez angular? C) Calcule el cambio en la energía cinética del bloque. D) Cuánto trabajo se efectuó al tirar del cordón?

• Soluciónc. La fuerza neta es la tensión de la cuerda que

actúa en la dirección radial, por lo que el momento angular con respecto al hoyo es constante.

d. .

2 21 1 1 2 2 2L m r L m rω ω= =

1 2

22 1 1 2

,

( ) 7,00 rad

L L

ω ω r r s

=

= =

2 2 22 2 1 1(1 2) (( ) ( ) ) 1,03 10 J K mω r ω r −∆ = − = ×

J 1003.1 2−×


Fin de la presentación

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