ELEMENTOS DE TEORIA DE PERTURBACIONES PARA SISTEMAS HAMILTONIANOS M. en C. Carlos Alejandro Vargas Or. José Luis Fimández Chapou

M. en C. Tito Hernández R. Profr. Francisco Cervantes de la T.

ADA UNIVERSIDAD iAUTONOMA METROPOLITANA UNIDAD AZCAPOTZALCO. División de Ciencias Básicas e Ingeniería

Departamento de Ciencias Básicas

ISBN-970-620-1 49-1 OCTUBRE DE 1992

ELEMENTOS DE TEORPA DE PERTURBACIONES PARA SISTEMAS HAMILTONIANOS?

Cervantes de la Torre F. ', Hernández R. T.b, Fernández Chapou J. L. c , Vargas C. A.

a ) Area de Sistemas Computacionales, Depto. de Sistemas b, Area de Ciencia de los Makeriales, Depto. de Materiales

Area de Física, Depto. de Ciencias Básicas Universidad Autónoma Metropolitana- Azcapotzalco,

Apartado Postal 31-726, 04000, D.F., México

Resumen

La teoría de Perturbaciones ofrece métodos para la resolución de la dinámi- ca de problemas físicos en general, y desde luego para problemas hamiltonianos. Ante la inminente extensión de la mec&niea clásica tradicional a las areas de la dinámica no-lineal y al caos, es necesario reconocer las ideas en una perspectiva actualizada. En este trabajo se procedió' a delinear las características del espacio fase y las transformaciones canónicas, luego a fijar cantidades tales como las variables de ángulo-acción, toros invariantes e invariantes adiabáticos. Con estos fundamentos se estableció de manera detallada la teoría de perturbaciones para sistemas hamiltonianos. Se incluyeron también observaciones en relación con el ámbito de aplicabilidad de los mtitodos aquí descritos.

7 Esta contribución se realizó en el marco del proyecto FTMAS y el proyecto Laboratorio de Sistemas Dinámicos, ambos de la División cie Ciencias Básicas e Ingeniería, Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Azcapot zal co.

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INTRODUCCION.

En la actualidad es posible encontrar gran cantidad de sistemas físicos, químicos o biológicos abordados usando la teoría de los sistemas dinámicos. También se sabe que los conceptos y cantidades que se utilizan se encuentran en un grado tal de desarrollo, que es necesario revisar y reflexionar sobre su interconexión e integración para la aplicación efectiva tanto al iiiodelaje como al análisis de diversos sistemas. La mecánica clásica ha sido crucial en el estudio de los sistemas dinámicos, por lo mismo es conveniente la ubicación de los métodos que se utilizan en este sentido, desde la perspectiva de esta área. El marco de trabajo más propicio para discutir la dinámica regular y aún caótica de sistemas en el espacio fase es el que suministran Las ecuacioiies de Hamilton. Los sistemas liaiiiiltonianos que poseen un número finito de grados de libertad se han dividido típicamente en aquellos que tienen unos pocos grados de libertad a los cuales se les asoció con algún tipo de movimiento regular, y aquellos otros con muchos grados de libertad donde se debían usar los métodos de la mecánica estadística. Actualmente se reconoce que los iiioviinientos de los sisteinas iiaiiiiltonianos ni son completamente regulares, ni se pueden describir apropiadamente con los iiiétodos de la mecánica estadística.

Tal vez los problemas más conocidos donde la teoría de perturbaciones tiene un campo natural de aplicación lo forman los movimientos planetarios donde el problema más celebre resulta ser el problema de los tres cuerpos.

En este trabajo se desarrollan algunas de las ideas básicas de la teoría de perturbaciones mecánicas a primer orden. Específicamente los desarrollos a primer orden, de la teoría de perturbaciones canónicas y de la teoría de per- turbaciones adiabáticas. La discusión se centra en sistemas autónomos, esto es, sistemas cuyo lianiiltoniano no depende explícitamente del tiempo. El trabajo se ha dividido en dos partes, en la primera de estas se establecen los elementos básicos para desarrollar !a teoría de perturbaciones canónica. Se trata el for- iiialisino hamiltoniano, las transformaciones canónicas, las variables de ángulo-- acción, los toros invariantes y los invariantes adiabáticos.

Se discuten en la segunda parte, parte central en este trabajo, la teoría de perturbaciones canónica a primer orden, la teoría de perturbaciones adiabática, el problema de los denominadores pequeños hasta alcanzar finalmente el método de perturbaciones superconvergentes o cuadraticamente convergentes.

1.a Espacio Fase.

En la descripción de los fenonienos mecánicos se hace frecuente el uso del concepto de espacio fase, este es uin espacio de 272 diniensioiies cuyos ejes coordenados corresponden a las n coordenadas generalizadas y a los n ímpetus del sistema mecánico bajo coiisideiaciói.i. A cada punto de este espacio le corres- ponde un estado definido del sistema. La evolución en el tiempo se representa por una trayectoria en el espacio fase llamada trayectoria fase.

El sistema mecánico queda descrito por el liamiltoiiiaiio X { q2, pz),

5

i = 1,. . . , n con qi las coordenadas generalizadas y p.i a los íiiipetus o momentos generalizados de qi : pi = E. donde L es el lagraiigiaiio del sistema. Las ecuaciones del movimiento del sistema quedan expresadas por las ecuaciones de H ami1 t on

Las trayectoria fase queda determinada por la solución de (i.l), para las condi- ciones iniciales qi(0) = qoi y pi(0) = poi.

1. b Transformaciones Canónicas.

En el espacio fase (o fásico) es posible hacer una transformación de coor- denadas de las 2n variables independientes p y q a las variables P y Q según las fórmulas siguientes:

Qz = Q i ( q , p , t ) , pi = P i ( q , p , t ) . (1.2) No obstante, las ecuaciones (1.1) no conservan s u forma canónica para toda traiisformación del tipo (1.2). Las transformaciones ( 1.2), que preservan la forma canónica, est áii caracterizadas por una cierta función F, llamada función geiieradora de la transformación. Se cuenta con cuatro tipos de funciones gener- adoras que nos relacionan el nuevo conjunto de variables B y Q con las variables antiguas p y g de acuerdo a lo siguiente: Puesto que las ccuacioiies de Hamilton (1.1) pueden derivarse de un principio variacioiial de la forma

el cual debe cumplirse en cualesquiera de los dos sisteiiias de coordenadas (p, q o P, Q). Entonces el integrando de (1.3) puede diferir a lo más por la derivada total de una función, esto es,

si elegimos F = Fi(q ,Q, t ) , entonces desarrollando la derivada total de F1 se

Sustituyendo en (1.4) y comparando los coeficientes de las variables indepeii- dientes g y Q se encuentra que

8Fl 8%

pa = -

6

E s posible definir funciones generadoras en términos de los otros tres pares de variables mixtas (antiguas y nuevas):

y obtener las relaciones entre las variables nuevas y antiguas, realizando trans- formaciones de Legendre. Por ejemplo

donde Q se toma como una función de I q y P. Las ecuaciones de transformación canónica que se obtienen son

(l.Ga)

(1.Gb)

(1.6~)

F3 y F4 se definen por transformaciones de Legendre de inanera similar como se mostró en (1.5)’ obteniéndose así las ecuaciones de transformación correspon- dientes.

1.c Ecuación de Hamilton-Jacrobi

Supóngase que se aplica una trarisforrnacióii caiióiiica a nuevas variables en las que todos los ímpetus son constantes de movimiento. En estas nuevas coordenadas, el problema mecánico ya, ha sido integrado, pues las ecuaciones de Hamilton ahora resultan triviales de resolver. Entonces todo el problema coiisiste en encontrar tal transformación. canónica, esto es, su fuiicióii generadora S. La función generadora S es de tipo 2.

De acuerdo con las ecuaciones de Hamilton (1.1) se busca una transfor- mación en la que el nuevo Hainiltonianal sea idénticaniente iiiilo. Luego entonces S debe satisfacer, de acuerdo con las ecuacioiies (1.Gc) y (l.Ga), que

Esta es la ecuación de Hamilton-Jacobi. De acuerdo con las ecuaciones (1.1), hallar esa transformación equivale a obtener nuevas coordenadas generalizadas cuyas derivadas temporales sean cero. Las nuevas coordenadas, son constantes que se pueden interpretar como los valores iniciales de las antiguas coordenadas. Así las ecuaciones de transformación son, de hecho, la soliicióii que suministra

7

la posición y el ímpetu del sistema mecánico, en cualquier tiempo, en términos de los valores iniciales.

Si 7-i no depende explicitamente del tiempo, entonces es posible escribir

S(qz,w,t) = W(Qi,Qi) - Et , (1.8)

ya que por la ec. (1.7) se tiene que = % = O, por lo tanto IFI = E , donde E es una constante de movimiento. Las ai, denotan los valores constantes de los nuevos ímpetus.

= -7-i, pero

Al sustituir (1.8) en (1.7) se obtiene

a-w 7-i(Qi7 a) = E,

Qi

que es una expresión que ya no incluye al tiempo. A la función W se le llama la función característica de Hamilton. La función W genera la transformación canónica en la que todas las nueva coordenadas son cíclicas. Cuando 7í es una constante del movimiento, una transformación de este tipo resuelve el problema mecánico, ya que la integración de las nuevas ecuaciones del movimiento es trivial.

1.d Variables de Angulo-Acci6n

Sea un sistema canónico en el que 3-1 no depende explicitainente del tiempo. También se supone que el sistema es completamente separable, esto es, existe algún sistema de coordenadas en el que la función característica de Hamilton se puede escribir como una solución separada

W(q1,. . . ,Qn, Q I , . ,a,> = Wi(qi,al,. . * , a,), (1.10) i

donde las a, son los nuevos ímpetus asociados con las n constantes de movi- miento. Si ahora el Hamiltonian0 se puede escribir en la forma separada

(1.11)

entonces la ecuación de Hamilton-Jacobi se convierte en un sistema de n eciia- cioiies:

(1.12)

De esta manera es posible obtener Wi en términos de q.;. Los nuevos ímpetus Q, son ahora las constantes de separación de la ecuación de Hamilton-Jacobi, mismas que satisfacen la relación dada a continuación,

caz = 7-io. i

(1.13)

8

Las relaciónes entre las coordenadas nuevas y antiguas están dadas por las ecua- ciones (l.oa,b,c). El nuevo Hamiltonian0 Ü es función iínicaniente de los ímpetus ai, y las ecuaciones de Hamilton para el movimiento es posible resolverlas trivial- mente. A las ai constantes de integración, no hay que tomarlas necesariamente como los nuevos ímpetus constantes, Se puede escoger algún conjunto particular de 7% funciones independientes J , que dependan de a, corno los nuevos ímpetus, de la manera siguiente:

Jz = Ji(a.1,. . . ,a,). (1.14)

Si estas nuevas funciones se invierten,

y al siistituirse en la ec.(1.9), la nueva función generadora de la transformación canónica a los nuevos ímpetus J; es

con el nuevo hamiltoniano,

(1.15)

(1.16)

Nuevamente en este caso las ecuaciones de Hamilton se resuelven trivialmente. Así se dice que un sistema periódico es aquel que cumple con cualquiera

de estos dos casos: 1) Que p;, y qi son funciones perilódicas del tiempo coil el misino período,

o bien 2) Que pi es una función periSdica de qi . El caso 1) se conoce como libracióni y el caso 2) como rotación. Los períodos

de movimiento de cada grado de libertad no deben necesariamente ser los mis- mos. Si los períodos no son conmensurables entre sí, el movimiento se llama condicionalmente periódico.

Para sistemas periódicos completamente separables es i~ iuy conveniente ele- gir apropiadamente nuevos ímpetus const antes Ji ( a ) , conocidos como variables de acción que se definen como

Empleando la ec.(l.oa) para p; ((:on Fz = Wi), 3c tiene que

(1.17)

donde la integración se extiende sobre un período de oscilación. Coino las qz son solo variables de integración, J.i es función solainelite de las n constantes de

9

integración. Invirtiendo se obtiene la nueva función generadora w(q, J ) . Las variables conjugadas 0i de Ji son

y para las 9i son

como las w, son constantes: 0; = wit + pa,

con ,43; constantes. A las variables 0; se les conoce como variables de ángulo. Integrando 9; sobre un período de oscilación completo T se tiene

(1.18)

pero de la ec.(1.6) para q;

sustituyendo en (1.18), intercainbiando las derivadas e integrando sobre un ciclo,

(1.19)

comparando con (is), vemos que

w ~ T = 2 ~ , (1.20)

esto es, la constante wi es justamente la frecuencia angular de la oscilación. La formulación en variables de aiigulo acción (8 - J ) provee de un método conveniente para obtener las frecuencias de oscilación, sin necesidad de resolver las ecuaciones de movimiento en detalle.

1.e Toros Invariantes

Como se dijo antes en si.., el espacio fase es una variedad de 2n dimen- siones. La existencia de la n integrales de movimiento J; iiiiplican que la trayec- toria fase debe estar contenida en una variedad de a lo más n-dimensiones que a su vez está contenida en la superficie de energía definida. por X(p, q ) = E de dimensión 2n - 1. S i el sistema integrable es separable y periódico, entonces la

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variedad que contiene a la trayectoria fase debe ser un toro n-dimensional. En efecto, como cada coordenada 0; es una. variable angular, entonces

e i E s l , V i = i , . , . , n

donde S1 es una circunferencia unitaria, esto es, cada vaxiable del sistema recorre una circunferencia completa, por lo tanto el punto

8 = (81,. . . ,e,> E S'lx, . . . , xs ' = T". (1.21)

El producto cartesiano de S' n-veces es una variedad llamada toro n-dimerisio- i d . Por ejemplo, para n = 2, el espacio fase es de 4 dimensiones, la superficie de energía es de 3 dimensiones y la trayectoria fase recorre la variedad T2 = S' x S1 que es topológicamente equivalente a una superficie con forma de una dona.

Una vez que se fijan las condiciolnes iniciales, la trayectoria fase queda deterniinada sobre un toro, así entonces cuando una trayectoria comienza sobre un toro, permanecerá para siempre en este. Por esta razón a estos toros se les conoce con el nombre de toros invariantes. Las variables topológicas más naturales de un sistema periódico para el espacio fase son las variables de ángulo-- acción, puesto que p; = J, define sobre cual toro nos encontramos, y qE = 8% determina las coordenadas sobre dicho toro. A esto se le conoce como una foliación en toros o tori.

Si las frecuencias del sistema no son coiimensiirables, esto es, si existen n - 1 relaciones de la forma

con k = 1 ,... , n - 1 y m k , enteros no-nulos, donde 7% = (mi ,... ,mn) con m; # O, Vi = 1, . . . , n, entonces la órbita en Tn es cerrada, es decir para algíiii

0(7) = Oi(0) + ~ N T , i = 1,. . . , n .

En este caso la trayectoria fase no relcorre todos los puntos del toro, ocupa solamente una región unidimensional en T",

Si por otra parte la trayectoria nu.nca se cierra, es decir, no existen n - 1 relaciones del tipo (1.22) entonces esta trayectoria llenará deiisameiite a T" en un tiempo infinito.

Si en vez de n - 1 relaciones del tipo (1.22) se tienen solamente s con s < n - 1, entonces la órbita no se cerrará pero la trayectoria, fase permanecerá en una sub-variedad de dimensión n - .s sobre T".

Cuando dos o mai de las frecuenicias wi = 3 son conmensurables para valores arbitrarios de Ji. Estos son casos de degeneración, y si las n frecuen- cias son conmensurables el movimiento del sistema se denomina coinpletainente degenerado.

1.f Invariantes Adiabáticos

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Sea un sistema mecánico el cual realiza un movimiento finito y que está caracterizado por uno o más parámetros X que especifican a las propiedades del sistema o del campo exterior en el ciial est& colocado. Supóngase a,dem&s que el parámetro X varía lentamente (adiabáticameiite) coil el tiempo debido a la influencia de ciertas causas exteriores. Se entiende por variación lenta una transformación en la cual X varía solo ligeramente durante los períodos fundamentales del sistema, esto es,

1T;l << 1, (1.23)

donde T es un tiempo del orden de los períodos fundamentales del sistema. Por ejemplo, un sistema adiabático con un grado de libertad pero con dependencia explícita del tiempo a través de uno de sus parámetros característicos es el de un oscilador donde la constante del resorte (o la frecuencia del oscilador) varía lentamente en el tiempo en relación con el período de oscilación. Para oscilaciones de amplitud pequeña este sistema puede representar a un péndulo cuya longitud varía lentamente. La ecuación de movimiento correspondiente del oscilador es

2 + w2(t)2 = o la condición de variación adiabática (1.23) es para este caso

1 W 1 - -1 << 1, w w

ya que dX . E w. Y d t x N_ w,

1 T' w - -

A continuación se demuestra que las variables de acción de este tipo de sistemas mecáiiicos son los invariantes de tales sistemas, esto es, que dentro de las escalas de tiempo de los períodos fundamentales del sistema, las variables de acción permanecen constantes durante el movimiento. Para simplificar las fórmulas se supone que solo hay un parámetro adiabático, no obstante la demostración sigue siendo válida independientemente de c u d sea el número de parámetros.

Sea X(t ) un parámetro del sistema que varía adiabáticamerite de acuerdo con la condición (1.23). En la transformación de las variables p, q a las variables de ángulo-acción J, 6, la función generadora W(q, J'> depende explícitamente del tiempo a través del parámetro A:

w = W[<, Y, X(t)] .

En este caso la hamiltoniana H' no es H ( J ) , y por la condicióii (1.6~) se tiene

d W aw *

7-1' = R ( J ) + at = R(J) + (=) x E R ( J ) + wx h. J

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IJas ecuaciones de Hamilton (1.1) dan como resultado

(1.24)

Se ha de demostrar que el valor promeldiado de ji, en un tiempo del orden de magnitud de los períodos fundamentales del sistema, es igual a cero.

De (1.24) se tiene

(1.25)

Puesto que la variación de X es muy lenta, no se necesita tomar el valor medio

el movimiento del sistema se efectuase a X constante y tuviese, por tanto, las propiedades de los movimientos periódicos o condicionalmente periódicos.

La derivada de ( E)J es una función uniforme ya que la derivación se rea- liza a J; constante. En consecuencia W expresada como función de las variables angulares O;, es periódica. Como el valor medio de las derivadas

de x, y usando los valores medios de m( a = ax ) J se puede considerar como si

de una cierta función periódica es cero, de acuerdo a (1.25), se tiene:

J := 0

que es lo que se quería demostrar, por itanto:

que demuestra la invariancia adiabáticaL de las Ji.

2. TEORIA D E PER,TURBACIONES

0,

CANONICA

Un método básico para resolver problemas no-triviales de la dinámica es por perturbaciones de soluciones iiitegra,bles conocidas. Dadas estas integrales se busca la “solución integrable” a un sistema “cercano” por medio de la expansión en potencias en términos de un par&inet,ro pequeiio E por el cual los dos sistemas difieren. Por ejemplo, si el sistema cercano es ligeramente no-lineal, entonces el inovimiento linealizado puede obtenerse directamente, y la solución no- lineal se encuentra como una solución en series.

2.a Teoría Clásica de Perturbaciones

El método que se presenta a continuación se debe a H. Poincaré (1892) y Von Zeipel (1916).

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Muchos sistemas con dos o más grados de libertad no son iiitegrables, esto es, la solución a la ecuación de Hamilton-Jacobi no existe.

Sin embargo, muchas veces un problema físico que no es posible resolver directamente tiene un hamiltoniano que difiere poco de uno que puede resolver de manera exacta. Para estos sistemas se puede intentar obtener soluciones con cierto grado de exactitud, desarrollando la función generadora en potencias de un parámetro pequeño y resolviendo después la función de Hamilton-Jacobi sucesivamente para cada potencia.

Sea un hamiltoniano 3-1 que se puede escribir coni0

donde 3-10 tiene una solución conocida. Suponiendo que esta solución se ha puesto de la forma ángulo-acción, esto es, 3-10 = "O(&), las JO son las vari- ables de acción n-dimensionales del sistema no- perturbado. El hainiltoniaiio perturbado se escribe en un desarrollo de la forma

donde e', las variables de ángulo n-dimensionales de 'Flo. La solución de 7 í 0 es

4

8 = W t + p , 4 83-10

a& ' u=-

con 4, W, 6, constantes independientes de t . Se trata eii seguida de encontrar una traiisforiiiación a nuevas variables de ángulo-acción, las que se denotan por B y J, para las cuales el nuevo hamiltoniano 3-1' sea solamente una función de la acción 3. Con una función generadora W desarrollada en serie de potencias de E, alrededor de la funci6n generadora de la transformación identidad: = ? , e ' / = 8 y desarrollando 3-1' también en serie de potencias de E:

w = m + € W 1 + ... , 3-1' = 7-t' + €3-1; +.. .

L<w variables de acción antiguas y las nuevas variables de ángulo se pueden expresar en serie de potencias de E, usando las ecuacioiies ( l . G ) :

+- . . , aWi(?,e'> e " = B + e a 3

(2.8~)

(2.8b)

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El nuevo hainiltoniano se obtieiie de la ecuación 1.Gc). Para encontrar tal hamiltoniano se debe invertir (2.8) y (2:.8b) para expresar las variables antiguas en términos de las nuevas. A primer orden en E, esto es fácil:

+ . . . , aMrl(3,ei.) J ' d + E - - a@ -+' *' aWz(3,8) e = e - 6 - + . s . , a 3

Entonces de ( 1 . 6 ~ ) se tiene

( 2 . 9 ~ )

(2%)

(2.10)

Desarrollando el miembro derecho de esta ecuación en serie de potencias en E y usando (2.9) se obtiene

O f 1 (J, J', 6') = 'H( J', 6') + . ,

(2.11)

(2.12)

introduciendo estas ecuaciones en ('2.10) se obtiene para orden cero

7-l; = X l ( Z ) , (2.13)

y a primer orden

donde

(2.14)

(2.15)

son las n frecuencias del movimiento no perturbado. Como se está buscando un hamilt oniano nuevo que sea función solaineiite

de J', se lia de elegir Wl en (2.14) de modo que sea posible eliminar la de- pendencia de $' de XI. Denotando la parte proinediada de Xi sobre todos los períodos de todas las variables $como (7-l) y la parte perihdica como

{Xi} = 711 - (Xl), (2.16)

se obtienen de (2.14) las ecuaciones siguientes:

(2.18)

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ya que el primer término del lado derecho de (2.14) tiene promedio cero cuando se promedia sobre ciclos completos en O.

Coinbinando (2.13) y (2.17), se obtiene a el hamiltoiiiaiio transformado, a

-.

primer orden 7-l' = 3-10(3) + €(7-l1(3,$)) + . . . , (2.19)

con la nueva frecuencia 2' = a31' siempre y cuando (2.17) se pueda resolver para la función generadora W1 que se requiere para eliminar (E1 }. Se puede ver que a primer orden el hamiltoiiiano nuevo es el promedio del hainiltoniaiio antiguo sobre la fase. Como (3-11) y W1 son funciones multiperiódicas de los aiigulos se pueden desarrollar en series de Fourier de la foriiia siguiente

aJ' '

im.8 (3-11) = 1í1ñ1(3)e )

7ñfÓ

(2.20)

(2.21) 7ñ

+ donde 75.6' EE mlO1 + . . . + mnOn

del sistema, puesto que

y '& I E,,, . . . E,, . La solución para W1 involucra una integral sobre las órbitas de orden cero

(2.22)

y en orden cero el primero y el tercer términos soir nulos, quedando Únicamente el miembro izquierdo de (2.18), luego entonces

W1 = /{R1 (Y, tT(t'))}tlt'. t

(2.23)

De (2.18) se sigue que W16 = cte. y WIG = m.dc,l. IH' Integrando término a término las series de Fourier de (W1) se obtiene para la función generadora, hasta tériniiios de primer orden

d

+ . . . 3 3 3-116 ,im.e W(?,G,c) = J .O + ~i <&#O ñi.3(?)

(2.24)

En ocasiones es necesario obtener los desarrollos de orden superior de t, bien por que la corrección a primer orden es nula o ya por que se desea obtener una mayor precisión. El procedimiento de Poincaré y Voii Zeipel se puede llevar a cabo a ordenes arbitrarios de E, pero el procediiiiieiito para obtener las vari- ables antiguas en términos de las nuevas variables implica ciertas coiiiplicaciones algebráicas. De no requerirse una inversión completa de las variables, el pro- cedimiento para calcular el hamiltoiiiano transformado, y por ende la frecuencia perturbada, puede hacerse de inaiiera relativaiiiente directa.

16

Escribiendo W y 7? en serie de potencias en t, suponiendo que 3-10 y Xi son diferentes de cero, se tienen como:

Puesto que RF/~ es función solamente de J, tenemos

con W2 periódica en 80, dada por

donde como antes ( } y { 1 se refieren a la parte promediada y a la parte oscilatoria (periódica), respectivamente. La frecuencia de oscilación se obtiene

orden superior en t en forma similar sin invertir la transformación. entonces, como es usual, de w = aJ, ai7 Es posible obtener aproximaciones de

En el caso de sistemas mecánicos con un grado de libertad, se tiene:

n

(2.25)

(2.26)

(2.27)

si u( J ' ) # O, la solución para Wln dá lugar a una serie convergente para W1. La teoría de perturbaciones es también Útil para obtener soluciones a prob-

lemas con Únicamente un grado de libertad para los cuales la forma cerrada de las integrales no es fácil de evaluar.

Eii el caso de dos o más grados de libertad las series en general no con- vergeii, ya que para cualquier J' es posible encontrar ti11 vector 7% tal que 6 . W sea arbitrariamente cercano a cero. Ac!eniás en los casos con degeneración, se encuentra al menos un término con fh.G = O. Es claro entonces que esto impide que las series de Fourier converjan. Este problema es conocido con el nom- bre de "denominadores pequeños "y representa una dificultad tanto física coino matemática. M& adelante se volverá a este tema.

Por último cabe señalar en esta sección que el caso de la dependencia explícita del tiempo puede tratarse introduciendo un espacio fase extendido, esto

-w

17

es, un espacio de 2n+ 1 dimensiones con una de las dimensiones correspondientes a la variable tiempo y con período 9.

2.b Perturbaciones Canónicas Adiabáticas

Consideremos ahora sistemas en los que el tiempo y todos sus grados de libertad, excepto uno, varían lentamente con respecto al período de oscilación de la variable “rápida ’) . Entonces el hamiltoniano se escribe en la forina siguiente:

‘H = IFIo(J, c, t ) + ~3.11 ( J , 8, EG, e t ) + . . . , (2.28)

donde J y 8 son las variables de acción y ángulo del movimiento no perturbado en la variable del grado de libertad “rápido ”, y el vector = (@, 9‘> representa las variables canónicas “lentas ’) , no necesariamente en la forma de ángulo-acción, del resto de los grados de libertad. Cuando E = O el sistema efectivamente es de un solo grado de libertad, por lo tanto es integrable y siempre es posible encontrar a J y a 8.

Se construyen a continuación los invariantes adiabáticos a primer orden para el hamiltoniano de (2.28). A orden cero, el iiivariaiite es la acción asociada con el grado de libertad “rápido ”. Para calcular el efecto de la perturbación c’H1 se procede, como se acostumbra, tratando de encontrar una transformación de J, 8, a J‘, O’, y” tales que el hamiltoniano transformado

IFI’ = 7-i; +di; + . . . ) (2.29)

sea independiente de la variable angular rápida O. Se expresa la función genera- dora desarrollada alrededor de la que genera a la identidad

W = .J‘6 + 3.q + EWI(J‘, O,$, ¿j‘, t ) + . . . , (2.30)

luego se obtienen, a primer orden, las transformaciones

Introduciendo estas relaciones en 7-10 y desarrollando a primer orden en E,

(2 .31~)

(2.31b)

( 2.3 1 c )

(2.3 Id)

(2.32)

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donde w = es la frecuencia rápida. Nótese que los términos

83-10 awl -- 3-10 a w l

a p a$ , a$ * ' -- - (2.33)

son de segundo orden en E, y por tanto han sido suprimidos. De la ecuación ( 1 . 6 ~ ) se tiene

(2.34)

Desarrollando 3-1', 3-1 y W, usando (2.31) e igualando coeficientes de los términos de igual potencia en E, se tiene a orden cero

y a primer orden

(2.36)

con W1 = W1 ( j ' , O', y', t ) . Nuevamente el término en (2.34) es de segundo orden en E y ha sido suprimido en (2.35).

Puesto que se quiere que 3-11 sea, independiente de 8, se elige Wi para eliminar la parte periódica (en 6) de 3-11. Manteniendo fijas las variables lentas, se define el promedio solamente sobre ú',

(2.37)

y la parte periódica sobre 8 por

Separando (2.36) en la parte promedio y la periódica se obtiene para 3-1' a primer orden

R'(4 f, t ) = 3-10 + E ( % ) e , (2.39)

y para W1 la ecuación correspondiente

(2.40)

la cual es fácil de integrar. A orden cerci, el invaiiante adiabátics es J. A primer orden el nuevo invariante es J', el cual se obtiene en términos de las antiguas variables de (2.31a) y se expresa por

(2.41)

19

Sustituyendo (2.40) en (2.39) y escribiendo 8 para la variable de iiitegración O’, se tiene

(2.42) W

De hecho cualquier función de J se puede elegir como invariante adiabático. Cabe preguntarse, jen este problema no aparecen denominadores pequeííos?

Es fácil ver que sí aparecen. Considerese ahora las ij’” representadas en la forma angulo-acción a primer orden en E : ij’ = ($2, By) en este caso y sin suprimir los términos (2.33) ni q; la ecuación (2.40) se reemplaza por

(2.43)

Puesto que W1 y (Z1) son periódicas en las 0” y fit, desarrollando en series de Fourier se encuentra que

(2.44)

Se puede ver que resonancias de orden superior (m,l grandes) entre las vari- ables lentas y la oscilación rápida de 0 dan lugar a denominadores resonantes. Cuando se está suficientemente cerca de tales resonancias, es incorrecto despre- ciar términos de orden r en (2.43). No es extraño entonces encontrar que las series adiabáticas donde se desprecian los efectos resonantes, sean formalmente divergentes y solo válidas para tiempos menores o del orden de las escalas de tiempo lentas.

El desarrollo adiabático aquí expuesto, puede extenderse a ordenes supe- riores. En cada orden ha de resolverse una ecuación para Wn del tipo de la ecuación (2.40) para Wl. No aparecen denominadores resonaiites, sus efectos se introducen continuamente en el orden superior a medida que se sigue con el desarrollo.

2. c Métodos Superconvergentes

En el cálculo de las series hay muchos problemas pero tal vez el de mayor dificultad, inclusive conceptual, ocurre cuando el sistema es degenerado. Esto significa que existe al menos un 6 # O, tal que 6.U = O, por lo que el coeficiente WIG en la serie W1 diverge.

Aún cuando e! sistema no sea degenerado ocurre algo parecido a lo dicho antes: Cada vez que se avanza. en los índices 6, se encuentra algún 6 tal que 772.W sea muy pequeiío, o tal vez cero, y por lo tanto los coeficientes de Fourier resultan muy grandes. En base a este análisis Poincaré demostró que las series de Fourier para W1 son uiiicamente semiconvergentes. Sin embargo la serie puede cortarse para valores apropiados de 6 y aún dar resultados bastante precisos, al menos para tiempos no muy grandes.

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De hecho aún cuando las frecuencias de un sistema no sean degeneradas, los valores pequeños de f6.W para 6 cada vez más grandes dan lugar a un coeficiente de Fourier que diverge, lo que se conoce como fenómeno de resonancia.

Para obtener la expresión exacta tie la función generadora, se debe desa- rrollar hasta orden infinito en E, y así obtener finalmente el toro invariante del sistema. Pero ¿existe el límite?

A orden cero en e, el sistema periódico es integrable y la superficie de energía del sistema en el espacio fase se encuentra foliada por toros. Cuando E # O, ¿persistirá esta foliación en los toros?

Estas preguntas quedarían contestadas si se pudikse garantizar la conver- gencia o divergencia de la serie

Prevalecen dos dudas; la convergencia de la serie de Fourier y la del desarrollo en serie de potencias en E.

Por mucho tiempo no se supo si tales dudas se originaban en una dificultad de la matemática utilizada, o si por otra parte era, del problema físico mismo. Poiiicaré, Birkhoff, Siegel, por mencionar solo algunos, hicieron grandes esfuer- zos por utilizar una teoría de perturbaciones que resolviera estos problemas. La respuesta a estas dudas, finalmente fué dada en los trabajos de Kolmogorov, Arnold y Moser. Sus trabajos dieron por resultado lo que actualmente se conoce con el nombre de Teorema KAM (por las siglas de Kolmogorov, Arnold y Moser). Hacia 1954, Kolmogorov propuso, sin demostración, un método de perturba- ciones superconvergente, parecido d de tangentes de Newton, el cual permite superar el problema de los denominadores pequeños. La clave del método re- side en su convergencia extremadamente rápida cuando se hace un desarrollo a ordenes superiores en E. Arnold demostró este método suponiendo que el haiiiiltoniaiio es analítico. Moser cambió la aiialiticidad del liaiiiiltoniano por diferiancibilidad hasta cierto orden.

En seguida se hace un esbozo explicativo del método de supercoiivergencia de Kolmogorov.

En los métodos de perturbación dlescritos antes, el haniiltoniano

7-t = Z,] + €Zl

se transforma sucesivamente usando transformaciones canónicas que se eligen de modo que el orden de la perturbación se incrementa en cada paso en una potencia de E. Si se denota por 7-tn la parte aún sin transformar del haiiiiltoniaiio despues de la n-ésinia transformación, se tiene

7-tl --f E2Z2 3 E37i3 --t . . . - En?&. Kolinogorov observó que es posible elegir transformaciones canónicas sucesivas de tal forma que en cada paso, el orden de la transformación se iiicremente por el cuadrado del orden precedente:

21

2" - I

3-11 -+ ~ ~ 3 - 1 2 -+ ~ ~ 7 - t ~ + .. . ---+E n,. Luego entonces después de de la n-ésima transformación, queda resuelto el prob- lema hasta orden é2 . A este fenómeno se le llama superconvergencia o, algunas veces, convergencia cuadrática.

Se pasa entonces a ilustrar este procedimiento con una analogía con los métodos de desarrollo en serie de Taylor, y el de tangentes de Newton, para encontrar la raíz de una función.

Se propone encontrar el valor de x que satisface la ecuación siguiente:

l n - i

f ( 4 = o, (2.45)

se sabe que xo es un valor aproximado a la raíz de (2.45). Empezando en 20, obtenemos la aproximación siguiente 21 mediante un desarrollo de Taylor alrededor de xc,

f(.o) + fl(XO)(Zl - .o). Llevando a cabo el desarrollo a ordenes superiores del paráinetro pequeño

n-ésimo, se debe resolver la ecuación polinomial finita

(2.46)

E = (x - xo), se genera entonces una serie do potencias de E. En el paso

. .I.

m=o

para la n-ésima aproximación x,. Restando (2.47) al Taylor de f (x) alrededor de 20, se obtiene (después del e, = x - xn,

en- [ 9

(2.47)

desarrollo en serie de paso n-ésiino) el error

(2.48)

que es del orden de en+'. Esta convergencia lineal es característica de los métodos de perturbación comunes.

Para mostrar la convergencia cuadrática se recurre, en este caso, al método de Newton para encontrar raíces, dando el primer paso eii (2.46). El error el para el primer paso se encuentra desarrollando f (z) alrededor de xo hasta términos ciiadráticos y usando (2.46)

el - Q(x~)(x - = QE 2 , (2.49)

donde

de esta manera desarrrollo de f

(2.50)

el error es del orden de E ~ . En el paso siguiente se repite el alrededor de x1 (no de XO) para encontrar

(2.51)

22

usando (2.49) se obtiene un error

(2.52)

el cual es del orden de c2. La rapidéz de la convergencia ocurre por que el valor alrededor del cual se hace el desarrollo ,se mueve cerca del valor verdadero en cada iteración. Por inducción, el error después de n iteraciones es

(z - z,) = n~=,Cx2n-1 (Xi-1) €2". (2.53)

I I

Normalmente se supone que f; = 0(,1), d e modo que el errror se reduce cuadraticainente en cada caso. No obsta,nte aún si f tiene una resonancia muy cerca de la raíz que se pretende encontrar, f - (x - z,.)-', tal que el orden usual se rompe cuando 5,. - O(z0) y así

(2.54)

la convergencia cuadrática puede superar este comportamiento resonante. El desarrrollo superconvergente en el procetlimiento KAM también supera los efec- tos de los denominadores cercanos a cero, debido a las resonancias, las cuales generan términos del orden de (2.54)

Se liaii descrito algunas variantes de la teoría de perturbaciones y se han discutido de modo somero las relacioneis con el teorema KAM. Estos métodos definitivamente se pueden usar para explorar la vecindad de los sistemas in- tegrables. Los sistemas de interés donde es posible utilizar los métodos aquí descritos son de hecho los sistemas hamiltonianos mixtos, aquellos que exhiben movimiento regular y caótico para diferentes condiciones iniciales. Ya que si bien el movimiento regular es completamente coinprendido, la naturaleza del moviiniento caótico está aún lejos de entenderse del todo.

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Referencias

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