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n VOL. I No. 5 ESTIMACION DE: LA PERIODICIDAD EN LA PRECIPI- TACION PLUVIAL Y UN ESTUDIO DE .4CUMULACIUN - DE LLUVIAS A TRAVES DEL ARO. POR: BLANCA ROSA PEREZ SALVADOR Este trabajo es la tesis de Licenciatura de la autora,presentada en l a FacultaddeCiencias de la UNAM, dirigida por el Dr. Alberto Castillo y elaboradaenelDepartamento de Materndticas de la Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Iztapalapa. .
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VOL. I No. 5
ESTIMACION DE: L A PERIODICIDAD EN LA PRECIPI- TACION PLUVIAL Y UN ESTUDIO DE .4CUMULACIUN - DE LLUVIAS A TRAVES DEL ARO.
POR: BLANCA ROSA PEREZ SALVADOR
Este trabajo es la t e s i s de L icenc iatura de la autora, presentada en l a Facultad de Ciencias de l a UNAM, d i r i g i d a por el Dr. A lbe r to Ca s t i l l o y elaborada en el Departamento de Materndticas de l a Un i ve r s i dad Autónoma Metropolitana, Unidad Iztapalapa.
.
Con c a r i s o y respeto a m i madre, que
COD su entereza y amor mid mis pasos.
-4 Armando
A mis h i j o s , h n a n d o y Slanca.
-4 m i s hermanas y a m i hermano.
4 la memoria de m i padre.
Con res3e to y admira.cibn, agra.dezco a l
U r . Alberto Csst i l lo Mora les , por su
valiosa, nyuda an l a direccidn y a c e r t a c
aos c o n s e j o s , sin l o s c u a l e s no h u b i e
ra s i d o posible l a ela.bora.ci6n de este
t raba.jt,.
Agradezco a l ingeniero Serg io Arturo
LeSn Zarnudio, por su a.yuda al haberme
f a c i l i t a d o l o s d a t o s utilizados en e s t e
t r a b a j o
Apa.dezco a. Todas y cada una de las per-
sonas que directa o indirec tamente cola-
boraron en l a r e a l i z a c i d n de e s t e traba-
jo .
Indice.
I . Introducci4n . . . . . . . O 1
XI. Revisidn de l i t e r a t u r a . . . . . 2
III. La l l u v i a como fendmeno periódico . . . . . . . . 6
1) PrelirninRres . . ., . . . . . . . . . . . . 6
2 ) Un ejenplrJ ilustrativo . . . . . . . . . . 7
3 ) Estirnaci6n d e l 2eriodo ( m ) . . . . . . O 9
4 ) AnRlisis nurnerico riel problema . . . . . . . . 13
I V . La probabi1ida.d de lluvia basada en su c i c l o p e r i 6 d i c o
e s t i m a d o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1 ) Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 ) Estimaci6n de l a pm5abil id9d anra un n i v e l de
lluvia determinad3. . . . . . . . . . . . . . 17
3 ) Una e s c e l a de l l u v i l . . . . . . . . . . . . . 19
4) .4nAlisis numBrico :y arbfico d e l problema . . . 19
V. Conclusiones y comentarios . . . . . . . 33
V I . Sugerencias para trabajos futuros . . . . . . 35
Datos de l l u v i a . . . . . . . . O 37
Bibliografia . . . . . . . , . . . . . . . . . . 41
I. Introduccidn.
& t e t r s S a j o se. hizo basaÍ)ciose en dos problemas terir icos, que a l
con j u n t a r s e se han rea. l izado y llew3do a cabo corno le. a p l i c a c i b n a. un solo
problema prdctico.
En e s t e t r a . b a j o s e c o n s i d e r a a l perfodo anual un subperiodo de un
periodo mfis amplio que c o n s i s t e en un ndmero determinado de años. L a venta-
j-2 d e que l a l l u v i a sea per iddice :; de c o n o c e r e l ndmero de afios que a.baxca.
el periodo es e l t e n e r e s t i m a c i o n e s de menor v a r i e n z a en las probabil idades
de l i u v i a , por c u a l q u i e r a de los metodos usados 2or los d i f e r e n t e s i n v e s t i -
gadores.
La i n q u i e t u d t e d r i c s s e puede r e d u c i r a.1 es tudio de dos proble-
mas :
lo.- L a comparacidn de v a r i a s muestras p a r a decidir c u a l e s t i e n e n l a
misma d i s t r i b u c i b n .
2O.- L a est imación de l a masa de probabil idad que existe en m puntos
determinados.
2
Debido 21 carrjcter p e n e r s l d e l t r a . b a j 3 , se u t i l i z a n metodos e s t a -
d í s t i c o s y de probabi l idad que requieren s410 de un conocimiento bS.sico en
e s t a s materi?s. Se da por hecho que se conoce In dis t r ibuc idn normal , l a
binomial y la. uniforme. Se supone Z-JdemSs, que se s a b e c u a l es e l "mejor"
estimador de los paraketros en cada uno de l o s c a s o s , p o r o t r o l a d o , se re-
f i e r e a l a s e s t a d í s t i c a s de orien c,on l a s c u a l e s se u s a l a notaci6n de pa-
r e n t e s i s ( .Kt,), X l z ) , X ( 3 , , * .. , X,,,) p a r a r e p r e s e n t a r e l orden.
La no+.acio$ constituye un problema importante por la gran c a n t i -
dad de elementos que intervienen.
Se debe hacer notar que pqr-3 a p l i c p r .y saca.r provecho a l conteni-
iio g e n e r a l de e s t e t r a b a j o , en a p l i c a c i o n e s a. la. i n v e s t i g a c i b n d e l a l l u v i a ,
se d e b e t e n e r r e p o r t e s de muchos aÍíos. Xsto es d i f f c i l , debido a l a f a l t a .
de d a t o s , ya que, cctnndo es tos son conf i a .b l e s son de pocos años , y cuando
son de un buen ntimero de a.fios su veracidad es dudable.
Se espera que en u n f u t u r o este t r s b a j o s e a d e mayor u t i l i d a d , ya
que i a toma de datos es cada vez mejw.
Se i n c l u y e l o s r e s u l t a d o s de un progrpma, que r e a l i z a los ctllcu-
los ae todo e l t r a b a j o en f o rma general para. n AIIOS. E l r e s u l t a d o que se da
es p a r a e l c a s o 2 a . r t i c u l a r de n = L4, con datos obtenidos en l a e s t a c i d n
meteorol6gica de Chspingo, Edo. de MBxico.
3
SI. RevisiQn de l i t e r a t u r a .
E l tema de p r e c i p i t a c i d n d e l l u v i a h a a t r a i d o l a a tenc iQn de un
p a n nfimero de i n v e s t i g a d o r e s , que deseosos de conocer por lo menos en par-
t e su comportamiento, han estudiado y desarrollado algunos m6todos de pro-
b a b i l i d a d y a s t a d f s t i c a , y l o s han apl i cado a l o s d a t o s d e p r e c i p i t a o i h y
escurr imiento.
Las est imaciones se han div id ido en t res t i p o s :
1.- Est imaciones a cor to p lazo .
2.- Est imaciones a mediano plazo.
3.- Est imaciones a largo plazo.
Las est imaciones a c o r t a p l a z o t i e n e n la v e n t a j a de que cons ide ;
ran l a i n f l u e n c i a de o t r o s a s p e c t o s c l i m l i t i c o s para la est imacibn de la
p r e c i p i t a c i 6 n p l u v i a l , e s t e t i p o die problema h a quedado ya, s a t i s f a c t o r i a c
mente r e s u e l t o p o r medio de un prooeso basado en un modelo de cadenas de
Markov, elaborado y probado por Ca.briel y Ne~rnann'~) en TeL Avip, Israel.
Las es t imac iones de l a p r e c i p i t a c i b n p l u v i a l a mediano y l a rgo
plazo no tornan en considera.cidn otros elementos d e l clima, sino que se con-
s i d e r a a l a l l u v i a . como un fendmeno a i s lado , deb ido a, l a complej idad de las
r e l a c i o n e s e i n t e r a c c i o n e s e n t r e los di ferentes e lementos de l clima.
Este problema sigus siendo estudiado y e x i s t e n d i s c r e p a n c i a s so-
bre e l rn6todo y la d i s t r i b u c i 6 n que expl ican mejor e l fendmeno. En g e n e r a l
se h a 1lega.do a probar que no hay una d i s t r i b u c i 6 n que se a j u s t e m e j o r a l
comportamiento de l a l l u v i a para c u a l q u i e r clima, l a t i t u d o tamaEo de la
muestra , lo mismo o c u r r e s i l o que se e s t u d i a es p r e c i p i t a o i d n o e s c u r r i -
miento
4
Los e s t u d i o s se han d i r i g i d o a tratar de determinar cual es l a
d is t r ibuc idn que nos d e s c r i b e e l compostamiento de l a l l u v i a en una frac-
c ibn d e l año; que puede s e r una semana, un mes, un número determinado de
d € a s e t c ; suponiendo que l a precipi tac idn pluvia .1 en ese i n t e r v a l o de
tiempo es semejante año con año, y que s e r e p r e s e n t a con una v a r i a b l e
a l e a t o r i a .
Entre las d i s t r i b u c i o n e s m5s favorec idas est&: l a gamma, l a
normal y l a 1ognorma.l.
En Mexico, se han r e a l i z a d o a l g u n o s t r a b a j o s s o b r e este tema.
dn l a r e v i s i d n e f e c t u a d a s e e n c o n t r ó w e :
C a r r i l l o y Casas(2) efec tuaron es t imac iones a largo plazo usando la
función gamma, Estimaron los Fnrámtttros, h i c i e r o n l a bondad de a j u s t e c o n
datos de dos lugares muy d i f e r e n t e s e n t r e s i , y concluyeron que e l
modelo que presentaban era c o n s i s t s n t e .
r e a l i z ó u n a s e r i e de bondades de a j u s t e a l o s d a t o s de l l u -
v i a con v a r i a s d i s t r i b u c i o n e s . Una de las cosas s o b r e s a l i e n t e s d e e s t e
t r a b a j o es que e l metodo se puede a p l i c a r a h con un ndmero reducido de
datos
.Garcia proporciona una s e r i e de g r d f i c a s a j u s t a d a s a l a f u n c i d n .
gamma con datos de l l u v i a de 19 estados de l a repf ib l i ca , en e s t e t r a b a j o
&lo se aplicaron algunos m6todos c .esarrollados por i n v e s t i g a d o r e s est+
douni den ses
(4)
Mosiiío t r a d u j o un f o l l e t o del inglés, auspiciado por e l Conacyt.
La importancia de este t r a b a j o es que considera a l o s fendmenos climato-
16g icos y e n t r e e l l o s a. l a l l u v i a , como cambiantes a traves de los a i ios ,
(6)
5
pero no menciona que tipo de r e w 1 a r i d a . d s i g u e , es to e s : se dice que, hay
lugares que teniendo hoy l luvia abundante , en e l pasa.do o en e l fu turo
fueron o ser5n reg iones secas y v i c e v e r s a ; p e r o los i n t e r v a l o s de tiempo
considerados son d e c ientos y ailn de miles de años.
Por o t r o l a d o , Box y Jenkins‘’’ consideran l a p e r i o d i c i d a d de
l a v a r i a b l e ; p e r o no dan un metodo de estirnaci6n para su valor.
E l metodo de estimacidn que se propone en este t r a b a j o es prel i -
minar, y s i g u e l a ldgica d e l autor. No se i n v e s t i g a r o n las propiedades de
l o s es t imadores , s in embargo se espera ha .cer lo mas adelante.
6
111. La l l u v i a como fendmeno per i6dico .
1. Prel iminares .
La mayoria de los fen6menos que observamos, s i no e s que todos ,
se repi ten per ibdicamente , e jemplo de e l l o son e l d i a y l a noche y las es-
tac iones del año; pero d n es p o s i b l e o b s e r v a r a l q o mas, que e x i s t e n fend-
menos complejos que cubren variaciones pequeñas con perlodos mas c o r t o s ;
por ejemplo: cada 12 horas s e p r e s e n t a un lapso de oscuridad, pero este va-
r i a a t r a v e s del año con una regularidad peribdica; de t a l manera que las
noches son mds l a r g a s o cor tas se&n l a dpoca d e l año que estemos obser-
vando . Por o t r o l a d o , t a n b i e n s e ha observado que hay dias del aco en
los que l l u e v e mucho, y, o t r o s en que no l l u e v e ; ademilrs hay años de 1111-
v i a abundante, y, o t r o s de escasa l l u v i a .
Es to nos l l eva a suponer c i e r t a s c o s a s con respec to a l a preci-
p i t a c i d n p luvia l . SS razonable pensar que e l t i p o de l l u v i a a t r a v e s de l o s
aiios s igue una l ey per i6dica .
En l a pr imera parte de e s t e t r a . b a j o , b a j o la suposicidn de que
e x i s t e d i c h a l e y p e r i b d i c a , s e i n t e n t a r & l l e g a r a. determinar l a amplitud
de l per fodo , mediante e l cual s e a e p i t e l a p r e c i p i t a c i d a p l u v i a l ; a esta
amplitud l a llamaremos m.
N u e s t r o a n & l i s i s s e hard suponiendo que s e c u e n t a con los datos
de n aiios y que cada año e s t a d i v i d i d o en grupos de 5 d i a s , l o cual nos da
un t o t a l de 73n datos.
Por convenci6n nuestra .y p a r a evitar oonfusibn; l lamaremos semanas
a los grupos de 5 dlas, a menos que a n t e s se aclare otra cosa. Esto se hace
porque l a pa labra "grupo" ser5 usada en o t ro sent ido .
P a r a l o s años b i s i e s t o s , , en l o s que hay 366 d f a s , el 5 no es divi-
sor e x a c t o ; en este c a s o , se t e n d r h 72 semanas de 5 dfas y una de 6 dlas.
Por comodidad y p a r a fac i l i tar problemas num6ricos, en l o s años b i s i e s t o s
l a d l t i m a semana, o sea la ndmero '13, tendrB 6 días.
Con e s t o se t iene una matr iz X = (xrj ), i = 1 , 2 , ..., u ; j = 1,
2, . . ., 73, que nos da un t o t a l de 73n datos. ( i = año, j m semana).
2. Un e j e m p l o i l u s t r a t i v o .
Vamos a j u s t i f i c a r l a estimacidn de m con un e jemplo senc i l lo .
Supondremos que sdlo son de i n t e r & t res semanas d e l año, por lo tanto con-
tamos con 3n d a t o s , adernss tambien supondremos que e l perfodo de r e p e t i c i d n
p l u v i a l es e l namero entero m.
ED l a tabla 1 , cada renglón r e p r e s e n t a un año, nbtese que est&
ordenados por grupos, en los que de acuerdo a l a suposicidn de que l a l l u -
v i a es s i m i l a r cada m aiios, l o s datos de las h i l e r a s c o r r e s p o n d i e n t e s de
cada grupo son i g u a l e s , a e x o e p c i b de l a v a r i a c i d n a l e a t o r i a i n v o l u c r a d a
en e l fenbmeno. La xq r e p r e s e n t a l a cantidad observada d e l t o t a l de l l u v i a
acumulada, en l a semana j del aiio i.
Tabla. 1. Arreglo por grupos de los t o t a l e s de l l u v i a pa.ra
n años, con tres semanas en cada a.iío.
. . . . .
x 2'*++] I . . X 2mcz.1 . . . . . . . . . . . .
Si d e l grupo i t i e: 1, 2 , o *, m; tomamos l o s d a t o s de 106 &OS i
e i +m, obtenemos las V. a. Xi,, XiL, x ¿ 3 y Xi+-,? X;+n.l* %m,; y debido a que lo
d i s t r i b u c i d n d e l a l l u v i a en ambos aíios es la misma, se e s p e r a que los va-
l o r e s a b s o l u t o s d e las d i f e r e n c i a s ; I Xi,] - X m , , I * l Xi,L - X;*& 19y [Xi , - XL,m,3 1; sean "pequeños", Entendiendose por pequeiío que 3 r > O I &j - Xi+m,j I < r, p a r a j = 1, 2, 3.
El promedio de estas d i f e r e n c i a s para cada una de las semanas s e
o b t i e n e p o r medio de:
9
Para. cada. semana s e t i e n e n m v a l o r e s , r e p r e s e n t a t i v o s d e cada uno
de l o s d i f e r e n t e s grupos, y e l promedio de e s t o s e s un va lor i ln ioo , repre-
s e n t a t i v o de cada una de las semanas. En sfmbolos se tiene:
y s e e s p e r a q u e e s t e v a l o r sea "pequeño".
3. Estimaci6n del perio-do ( m ).
Como ya se d i j o a n t e s ; p a r t i r e m o s de l a suposicidn de, que e x i s t e ,
un perLodo, se& e l c u a l se r e p i t e la p r e c i p i t a c i d n p luvia l . Lo dnico que
s e had, a q u i , e s estimar l a amplitud d e l perfodo, y no se r e a l i z m 6 la
prueba de . e x i s t e n c i a de dicho perZo,30e
Dado que los datos que tenemos son de n años, e l tanraño del per io -
do estimado estar6 acotado superiormente.
Por razones prgcticas l a c o t a s u p e r i o r d e m ser& - , e s t o se ha- E 1 c e para e v i t a r que un grupo de al& periodo contenga menos de dos datos,
l o que conducirfa a no poder de terminar d i ferenc ia alguna. As$ , cuanto rnb
grande sea n , mas a c e r t a d a sera l a e s t i m a c i d n de l a amplitud del pergodo m.
En la tabla 2 tenemos l o s 73n datos , xlj representa e l t o t a l de
l l u v i a que cay6 en l a 6emana j d e l aíio i.
Como m puede tomar valores enteros desde e l 1 h a s t a e l - , E l
{ m = 1 o c u r r e si t o d o s l o s años t i e n e n igual p r e c i p i t a c i b p l u v i a l ) . Anali-
zaremos los cagoa para cada uno de los v a l o r e s , y luego mediante un estudio
comparativo escoeeremos e l valor para m mas a c e p t a b l e , se& e l ariterio
propuesto.
Tabla 2. Datos de los , t o t a l e s de l luv ia para n años
con 7 3 semanas.
. . e
e *
e . .
Asi, cuando m = 1, el dnico grupo que se nos forma e6 e l de la
m u e s t r a t o t a l , y las d i f e r e n c i a s p a r a ca.da columna ser& como s igue.
E l nlLmero d e d i f e r e n c i a s para cada columna es ( ) . Y e l praae- n
dio de todas las d i f e r e n c i a s p a r a una misma semana esta dado por:
Los subindices 1 , l , s se refieren al perfodo supuesto l,,al b i c o
grupo 1 y a Is semana. S ( n 6 t e s e que ?ara el perS.sdo 1 hay un sdlo grupo ,
para el periodo k habrd k grupos) .
ih el caso g e n e r a l ; cuando m = p , 1 G p ,< - ; nuestros datoe [:I quedan d iv id idos como sigue:
11
X1 grupo 1 c o n s t a de los datos de los aEos 1 , l + p , 1+2p, ..., l+kp;
con k = [G] . 21 ~ r u p o 2 c o n s t a de los d a t o s de l o s aiios 2, 2+p, 2+2p, ..., 2+kp;
con k = [+] etc. Entonces , un grupo a r b i t r a r i o e d e l perfodo p, c o n s t a r 6 d e l o s
datos de l o s años i tales que i 5 g (mod p ) , para. 1 6 i 6 n.
E l ndmero de d i f e r e n c i a s q u e se o b t i e n e para cada semana d e l
[y] )r.
j I: i+l
es el v a l o r promedio de las d i f e r e n c i a s p a r a e l grupo g (g = 1, 2 , ... , P), d e l perfodo p ( p = 1, 2 , . .., [+] ), en la semana S ( S = 1, 2 , . .., 7 3 ) .
Para t e n e r un v a l o r r e p r e s e n t a t i v o en cada semana de los diferen-
t e s p e r f o d o s se obtendrd A S = 1, 2 , 0 . 0 , 73.
Asi, se o b t i e n e u n a m a t r i z de v a l o r e s de dimensi6n[ +]X 7 3 ,
comr, s e ve en l a t a b l a 3 ; e n t o n c e s , bajo l a s u p o s i c i 6 n d e que e l perfodo es
m , se espera que sea e l mfnimo de los ; e s t o e8 (3,c- &,,S p a r a
cada semana S
. .
S e puede t e n e r un estima.dor d e l p e r h d o , p a r a cada semana de la
forma s i g u i e n t e A ms = P
" " " "-
12
La s i g u i e n t e v a . r i a b l e a l e a t o r i a . f a c i l i t a encontrar un estimador
que considere a las 7 3 semanas.
~ 1 si = 3!tt, y,, = ?
\
O en o t r o c a s o . 7 3
s m l
y Yp = r Y p , , indica p a r a cuantas semanas m = p , e s t o es; P a r a cuantas
semanas p es e l estimador de m.
A
Tabla 3 . Promedio de los valores absolutos de las d i f e r e n c i a s
por periodo y por semana,
1 2 3 . . . . 7 3
3 o . (33 1 \3 3 t
e . o
. . "
p 3 . 3 . . . . (33,+3
o . . . . o . . . . . . . . e . .
Como se puede ver, debido a l metodo usado, e l v a l o r de m no es A
6 n i c o ; ya que puede haber dos o rn5s v a l o r e s de p con igual Y,.
Por esta razbn, se dar5 u n a prueba adic iona l encontrandose o t ro
est imador, que ademas de ayudar a d e s c a r t a r a alguno de los v a l o r e s ya
encontrados , permi te rev isar l a p o s i b i l i d a d de que los mdlt ip los de m
t a m b i h se comporten como periodo, y s i r v e p a r a v e r i f i c a r en c i e r t a forma
A
13
l a est imacibn.
Con a, un v a l o r e n t r e c e r o y uno, que nos ayuda a medir cuant i -
t a t i v a y proporcionalmente a a )s , todos los va lores
73 Entonces Y: = Yp" nos indica cuantas semanas t i e n e n e l
Y íP t a . 1 que Y& = max Y; , e s o t r o estima- P
dor de m.
! 1
4. Anal is is numeric0 d e l problema.
Los datos que se usaron para. los c a l c u l o s de este y e l pmjxirno
c a p i t u l o son de l o s aiios de 1931 a 1974 i n c l u s i v e , r e c o p i l a d o s en l a esta- .
c i 6 n m e t e o r o l 6 g i c a de Chapingo en e l estado de Mbxico, y medidos en milime; 1
t r o s . Los datos se e n c u e n t r a n e n l i s t a d o s a l f i n a l del t r a b a j o . I f
4 1
Los c á l c u l o s p a r a l a est imacidn d e l periodo se l l e v a r o n a l cabo 1 con un programa en lenguaje PL-I en l a computadora IB# de l a Universidad
Autonoma Ketropolitana. . Se h i c i e r o n c o r r i d a s pa.ra v a l o r e s d e ty, = O , 0.05,
0.1, 0.15 y 0.2.
Zn la tabla 4 se observar1 los d i f e r e n t e s r e s u l t a d o s obtetnidbs. A l
i n s p e c c i o n a r d i c h a ta.bla, s e puede ver que persiste e l mismo p e d o d o para
todas las a l f a s empleadas, este periodo es e l 21.
Ademas se hizo una corrida a d i c i o n a l agrupando l o s d a t o s en Bema-
n a s de 10 y 15 d i s s , l o s r e s u l t a d o s s e e n c u e n t r a n en la tabla 5. T a m b i h
aqui s e presenta el 21 como estimador del per fodo , por lo que podemos con -
c l u i r que, con los elementos que contamos, se puede c o n s i d e r a r a l 2 1 como
nuestro est imador del per iodo m.
Tabla 4. Ndmero de semanas que tuvieron como estimador e l
perfodo correspondiente p a r a e l valor de Q
e s p e c i f i c a d o . (sempna. de 5 dfas).
Perfodo a = O a = .o5 a = .1 = . 15 Iy. = 02
1
2
3
4
5 6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
O
O
O
O
1
O
1
2
2
1
2
2
3
3
6
5
6
7 6
7
11
. 8
1
1
O
2
1
1
5
4
3
3
6
3
4
5
9 11
10
11
11
11
14
12
9
6
7
5
13
6
10
10
7
12
10
5
9 10
12
15
15
18
17
17
20
15
18
18
21
18
19
17
19
19
19
19
14
14
14
16
21
25
2 1
24
21
24
29
27
30
29
32
28
33
29
26
25
33
30
2 4
20
23
28
29
33
32
32
33
34
39
34
Tabla 5. Ndrnero de semanas que tuvieron como estimador el
perlodo correspondiente, para a = O y semanas con
10 y 15 dfas.
Periodo semana de 10 dfas, a = O semana de 15 d f a s , Q. = O
1
2
3
4
5
6
7 8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
1
1
2
1
1
2
1
2
2
1
1
1
2
3
2
4
3
5 6
4
7 6
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2
3
1
1
4
2
5
4
6
4
" - - "" ---
16
I V . 'La probabi l idad de 1.luvia basada en su cic lo
peribdico estimado.
1. Prel iminares . .
Quisa& l o mas i m p o r t a n t e p a r a n o s o t r o s , c o n r e s p e d o al fenbmena
de l a l l u v i a , es conocer l a precipitacidn p l u v i a l t o t a l p a r a cada una de
las semanas d e l año; p e r o , debido a que la l l u v i a es un fendmeno a l e a t o r i o ,
no e s posible decir determinis t i camente cua.1 es l a cant idad de l l u v i a que
ca.e en cada semana; sino dnicamento se puede hacer es t imac iones o in feren-
cia8 basadas en los datos que tenemos.
P a r a d a r l e un poco m&s d e f l e x i b i l i d a d a n u e s t r o a n b l i s i s , no se
p e d i r & l a est imacidn del v a l o r d e l n i v e l a l c a n z a d o p o r la l l u v i a en una se-
ma.na e s p e c f f i c a ; s i n o q u e se e s t i m a . r & h i c a m e n t e s i ese valor es mayor a un
ndmero dado. E s t o se hace por l o d i . f € c i l q u e r e s u l t a e s t u d i a r a un fendmeno I
tan comple jo como es l a precipi ta .c i .6n pluvial . I
P a r a h a c e r e l a n a l i s i s , usaremos l a v a r i a b l e a l e a t o r i a XK que m i -
de e l n i v e l de l a l l u v i a a l c a n z a d o en la k-esima semana del año. O
En la tabla 6 , 1a.s semanas es tan representadas con l a letra si y
los datos de l l u v i a C o r r e s p o n d i e n t e s , c o n x;; . Real izaremos nuestro estu-
dio usando estos datos para cada una de la.s semanas.
En base a l r e s u l t a d o de 1.a p a r t e 111, modificaremos la forma de
hacer la inferencia. Suponiendo que l a l l u v i a t i e n e un c i c l o de p r e c i p i t a -
c idn de m años, los años de cada uno de l o s d i f e r e n t e s m grupos t i enen una
d i s t r i b u c i d n de l l u v i a similar. En base a e s t o , 8s l d g i c o d a r como un mejor
. ~. """ " "
.- ""'" "-
modelo e l estudio de c a d a grupo por separado en lugar de hacer lo con l a
m u e s t r a t o t a l .
Tabla 6. Datos de l o s t a t a . l e s de l l u v i a p o r semana.
1 2 3 o . . . 7 3 I
. e
. O . . . . . . . . . .
m . . . . . . . o . . m
As€, en l u g a r de u t i l i z a r l o s datos de la tabla 6 p a r a r e a l i z a r
n u e s t r a i n f e r e n c i a , u t i l i z a r e m o s los datos de l a t a b l a . 7 p a r a cada grupo
del per iodo, donde las Xq;.,,,,son una muestra de la v a r i a b l e a l e a t o r i a X,&,
e = 1, 2, 3 , ...( m ; k 5 1, 2 , 3 , ..., 7 3 .
Tabla 7. Datos de los t o t a l e s de l l u v i a d e l grupo g
teniendo una amplitud de per€odo m.
. . . . . . m . . m . . . m m . . . . . . m . . . .
2. Estimacidn de l a probabi l ida ,d para un n i v e l de. l luvia determinado.
Para cada grupo g vamos a d e f i n i r un con junto como Sigue:
B~~ = {S / 1, con L 3 O 1.
Nuestra meta es encontrar las semanas d e l grupo g que e s t h en
el oonjunto BqL . Es c l a r o que no podernos responder con certeza a esta pre-
gunta; pero s i podemos tratar de es t imar l a probabi l idad de que cada semana
e s t 6 o no ahl. Esto es:
Dada la v a r i a b l e a l e a t o r i a .
1 s i x,, 1, L.
O s i x,, < L. Y S L ' =
E l ndmero de Bxitos en una semana determinada del grupo g t i e n e
una diatribuoibn binomial con parametros f - nig ] +1 Y P ~ , , . De aqui, e l '*me- - jar"' estimador de pqL, es Y4Lr.
Para e l c a s o p a r t i c u l a r de l a l l u v i a , cuando l a probabi l idad de
6 x i t o BII una semana determinada es m y "peqnefia", puede que 6 s t a no t e n g a
importancia y en ese caso se puede se puede considerar que es cero, entoa-
ces modificaremos e l modelo en l a s iguiente forma: - si ygL, > cc .
p'( S e %,S ) = en o t r o caso.
O < a < 1 ; donde d es un valor propuesto por e l investigador.
19
3. Una esaala de l l u v i a .
Las d i f e r e n t e s i n t e n s i d a d e s de l l u v i a se puedan separar mediaate
la s i g u i e n t e escala:
0 6 L, < L , < 1, L, < L, 0..
Para cada uno de estos nllimeros, constmxiremoe los aon juatos &, Ba5* , B,%, . . . ; que t i e n e n las s iguientes propiedades :
a) s i L ; c Lj , entonces BfLj C BgLi.
b) B,,, es e l t o t a l y P(s 6 B,k) = 1,
Que c o n t i e n e las semanas con prec ip i tao idn p luvia l en e l in ter -
va lo [ L;, Lj ) y como Bq c B,, . p ( s 4 B9Li - B,, ) = Ppc;,, - P g q
A s i , paps conocer el i n t e r v a l o [ L; , L;,,) , en:doxide* se.c$entra+&8
.prec ip i tao ibn de l l u v i a , se u t i l i z a la s i g u i e n t e r e l a o i b n .
4. A a d l i s i s num6rico y g r a f i c o de1 problema,
Los c a l o u l o s r e q u e r i d o s en las es t imac iones de este o a p i t n l o , .-%e
r e a l i z a r o n . c o n un programa en l engua je PL-I en l a computadora IBM de la
Universidad Autdnoma Metropol i tanau
Notese que los resultados, para. cada. pupa, proceden de-una
20
muestra muy chica , dos o t res d a t o s , axln asf e s i n t a p e s a n t e ver l o s r e s u l t -
dos.
Para extraer l a infarmaci6n de los r e s u l t a d o s de). a n d l i s i s , con
mayor f a c i l i d a d , e s t o s se presentan gr&ficamente.
Los r e s u l t a d o s que se presentan son p a r a l o s c a s o 8 partiaularee.
de L = 1 y L P 2 , s iendo la unidad el m i l i m e t r o , c o n l o c u a l se o b t i e n e
la probabi l idad de que la p r e c i p i t a c i d n p l u v i a l se encuentre en e l i n t e r n &
l o [ I , m), m B f i c a s 1.1 a 1.21.; y [ 2 , ~ 9 ) ~ graficas 2.1 a 2.21, respectiva-
mente.
En l o s dos conjuntos de grdf icas es p o s i b l e o b e e r v a r que e x i s t e n
d i f e r e n e i a s e n t r e l o s d i f e r e n t e s grupos. Hay grupos que se c a r a c t e r i z a n por
tener probabi1ida.d de l l u v i a grande s d l o a mitad d e l afio, como ejemplo tenet-
mos a l grupo 8 ; hay o t r o s en cambio que no s610 a mitad del año, s ino que
en t o d o e s t e , p r e s e n t a e s t a caracterfst ica, como e l grupo 17.. .
de donde [L; ,LL*, ) U [i , i + h ) . Los maesultados de l a es t imac i6n e s t a m 1-
g r b f i c a s 3.1 a 3.21. Es te con junto de graficas t i e n e n al f i n a l de cada barra
un cuadr i to en b lanco , que repmsewta al in%ervalo est imado; s i e l i-esimo
c u a d r i t o es e l que esta . en b l a n c o , e n t o n c e s e l i n t e r v a l o que se encontrd es
e l (i-l,i). E s t a s g r d f i c a s muestran clmamente la cant idad de l l u v i a espera-
da en una semana determinada..
!
La in formacidn resul tante de l o s t r e s t i p o s de grdficas son de
u t i l i d a d a l o s a g r i c u l t o r e s , ya que e l l o s s a b e n las necesidades de agua de
acuerdo a l d e s a r r o l l o del c u l t i v o de i n t e r e s .
..- - -
Grupo Ehbabii idad
7
8
9
10
11
12
13
1
O
1
o
1
O
1 1
O
- 1
O
1
O
1
O
1
O
1
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1
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em f e b m a r abr mayo jun jul agos . s ep t oat: n o i dio . . -* - .. - -
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Frobabi 16dad''' . _ , 1
O
1
O
1
O
1
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1
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1
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1
O
1
O
semana
.
, ... .
. .. . " _. . . de dos milimeSros por semana.
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4
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23
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
O
1
O
. . .~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , ... , . . , . . . . ,
1
O
ene feb mar abpo mays $m j u l ago8 sept o c t nov dio
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4
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m i 1 i m e t r O
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29
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m i 1 i m e t r o s
m i 1 2 m 9
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S
. . - "_ , --- . . "
- . . . . . . . . .
m i 1 i m e t r O
S
40
35
30
25
20
15
10
5
40
m i 1 i m e
t r O
S
35
30
25
20
15
10
C r A f ica 3.20
G r u p o 20.
1950' 1971.
5
".
Graficas 3.1 a 3.21. C a a t i d d d e l l u v i a esparada e i n t e r v a l o de . .. l o c a l i z a c i d n de la l l u v i a , p a r a las 7 3 semaaas de lo8
2 1 d i f e r e n t e s grupos. El extremo en blanco de cada bacra
i n d i c a e l intervalo estimado.
3 3
V. Conclusiones y comentarios.
1.- Se enaontr6 un metodo empirico p a r a l a obtenci6n de l a perio-
d i c i d a d de la l l u v i a , t e n i e n d o en cuenta que, l a d i s p e r s i ó n de una muestra
formada por variables a l e a t o r i a s p r o v e n i e n t e s de dos o mbs d i s t r i b u c i o n e s
con d i f e r e n t e media es mayor que l a d ispers inn que presenta una muestra
formada por var iables a leator ias provenientes de una s51a funcidn de d i s -
t r i b u c i b n , cuando las v a r i m z a s d e cada. funci6n son iguales.
Al tomar valor abso luto a l a d i f e r e n c i a entre dos v a r i a b l e s d e
una muestra, de c ier ta forma s e esta midiendo la. d i s p e r s i ó n de l a muestra,.
Por e l l o a l escoger e l v a l o r que p r e s e n t a e l promedio de d i f e r e n c i a s en
v a l o r absoluto menor, se esta escogiendo como estimador de l perfQdo e l va-
lor que p r e s e n t a menor d ispers idn en sus datos.
2,- En los resu1ta.dos del anelisis num6rico de este t r a b a j o , 8 8
encontrd que l a l l u v i a es peribdica , con per iodo de 2 1 años.
3.- De a.cuerdo con los d a t o s , tambien e s un valor fac t ib le p a r a
ser e l periodo de lluvia el 2 2 (observense tablas 4 y 5), ya gue Y' esta
"cerca" de Y' , pero sólo con datos a d i c i o n a l e s s e puede refinar esta i d e a ,
4.- Debe n o t a r s e que para un perfodo de 21 alios, e¡ tamaiío de l a
muestra en cada. grupo f u e de dos o t res d a t o s , y e s t o es una muestra m y
chica. , d n asi, e l metodo funciona pero los r e s u l t a d o s deben de tomarse con
reservas.
5.- A diferencia de o t r o s t r a b a j o s , se e s t i m a la probabi l idad de
w e l a l luvia o c u r r a en i n t e r v a l o s especfficos. La tecnica e s t a d f s t i c a . uti-
~ I . _"" ""
l i z a d a no e s nueva n i so f i s t i cada , pero responde a una pregunta usual del
agricul tor . ¿&e probpbi l idad ha.y cie que l i u e v a una cantidad de agua que
e s t a e n t r e e l minimo y e l meximo soportable por i a planta. en l a semana si-
guiente?. Combinando se obt iene , cuando la l l u v i a e6 c r i t i c a por exceso o
p o r d e f e c t o .
6.- bas graficas muestran claramente l a precipi tac idn de l i u v i a
para . cada. uno de l o s 21 d i f e r e n t e s ~ r u i > o s . Se mede ver en que Bpoca hay
l l u v i a y el promedio de est&, tanbien se encuentra l a probabi l idad de que
l a l l u v i a e s t e 1 o c a l i z a . d a en un i n t e r v a l o dado. dsto nos ayuda a poder de-
t e rminar cuando s e debe sembrar, debido a. que es p o s i b l e l o c a l i z a r l a Bpoca
de siembra y c r e c i m i e n t o d e l c u l t i v o . & t o s r e s u l t a d o s ayuaapáu a implemen-
tar e l metodo de manera 'Fenera1 en e l p a í s , por media de programas agrfco-
las sexenales .
7.- dl niímero o tamaño de la muestra. es mug importante; p a r a este
t r a b a j o s e r e c p i e r e un gran nfimero de datos , N Al sñcs &n siendo .ya cons i -
derable? da muestras pequeñas pasa obtener las d i f e r e n c i a s de l l u v i a
e n t r e &os d k f e r e n t e s , pero cr~rrespondientes a, l mismo c i c l o t i e n t r o d e l pe-
r iodo espec i f i ca .do . La metodolog€a da resul tado? pero deber6 comprobarse"
con estudios basados en o t r o s datos.
Por dl t imo se e s p e r a poder t e n e r un msyor aprovechamiento de 88-
t e t r a b a j o por medio de estudios futuros, ampliando y refinando los r e s u l -
tados obtenidos. Ademe8 debe tenerse en cuenta que para l a a p l i c a c i 6 n de
e s t e m6todo e s n e c e s a r i a l a a.puda tie una computadora, ya que por m6todos
aritméticos manuales no e s p o s i b l e o b t e n e r los resul tados .
I
3 5
V I . Sugerencias para t r a b a j o s f u t u r o s .
Dado como un hecho que l a per iodlc idad de l a l l u v i a se m a n i f i e s t a
con sus e f e c t o s en l a a g r i c u l t u r s ; c p i z b s , t o m a r los datos ta .1 y como nos
llegan no es l o mas conveniente para obtener buenos resul tados .
Puede ser que el "cocinar" estos datos para d e j a r l o s con las ca-
r a c t e r i s t i c a s "mas importantes" o "mas r e l e v a n t e s " en l a agr icu l tura nos r-
porten un resul tado mejor.
LOS cambios que s e s u g i e r e n hacer en los datos son:
1 ) No tomar en cuenta l a l i u v i a en la temporada que no hay siembra.
Se puede c o n s i d e r a r en es te tiempo u n a l l u v i a nula, e s t o s e debe
a cue s i e l e f e c t o de per iodic idad nos l o dan los resul tados de las cosechas
sdlo en e l tiempo en que estas t i e n e n l u g a r es cuando debe ser considerada
l a l l u v i a
2 ) Agrupar en un solo v a l o r t o d o s l o s datos que tengan un e f e c t o seme j a n t e
en l a planta .
Por Ejemplo, sabiendo cual es el n i v e l mfnimo de agua requerido
p a r a e l d e s a r r o l l o de la p l a n t a ; t o d o s l o s va.lores menores que 81 s e pueden
cons iderar nulos e i d e n t i f i c a r s e con O. Y asi en g e n e r a l , s i da lo mismo
que l l u e v a x cant idad de agua o y cant idad de agua , en e l desarrollo de l a
p lanta , es tos dos ndmeros ndmeros s e podrfan i d e n t i f i c a r con un solo v a l o r ;
ya sea, e l punto medio d e l i n t e r v a l o d e l o s puntos que t i e n e n igual efecto
o , e l pun<o mfnimo de los mismos. Para e s t e e s t u d i o s e r e q u i e r e trabajar em
conjunto con un especialista en ei c u l t i v o de interes.
Estas dos recomendaciones se sugieren, considerando que con ealss
s e obtendr5 un resul tado rugs afin a 1
en las cosechas.
3b
o que se persigue: a.provechar la l l u v i a
Como sugerencia a d i c i o n a l .
3 ) La metodologia debe probarse con
l o s resultados son c o n s i s t e n t e s .
d a t o s de diferentes zonas p a r a ver si
9- 5 39- O 11.6 10-0 33-0 1 1 - 7 4- 5 6- 5 1-5
17.. 7 65-0 21.5 19-6 42- 8 38.0 17-6 3?-O l 1 t R 13.6 60. 8 33- R 14.3
h. 5 0 0
68. 3 15-6
1-5 18.5
O 0 74.1 7.3
16- 5 7-0
10*9 3b. O
9- 5 45.7
5.7 14-2
7 - 2 16.8
2- 8 6-0 4- 2
D A T O S DE LLUVIA 1 9 3 1 58.1 13-5 14.7 1932 o 0 76-6 5.5 1933 19.7 5 .8 32.1 1934 49.R 8.0 1.0 1935 25-0 20-8 4.3 1 9 3 6 908 - 8 12.5 1937 29.0 2505 1.0 1938 1.205 o 0 -0 1 9 3 9 6.5 60.6 -0 1940 05 0 0 -0 1941 3 7 - 0 23.6 17.0 1942 21.0 24.5 1.5 1943 2206 5.6 1307
1 1944 10.2 35.5 60.6 ! 1945 28.7 20.2 8 . 2 ! A946 19.2 2.8 12.5 ' 1947 18 .1 2.5 1.6 I 1948 4-1 13-0 -0
1949 9-0 1216 3.3 I 1950 90.0 17.3 7 . 9 i A951 11.5 17-L 5.5
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B i b l i o g r a f i a .
Box, G. L. I . , a n & S. Pi. J e n k l n s
Time s e r l e s anslysls f o r e z a s t i r , ? and control.
holden-bag, 1970.
.?
C a r r i l l o L e y Casas 9.
Prediccidn de l l u v i a y su a p i i c s c i ó n en l a aericdltura.
C o l e e 0 de postgraduados, Chaplngo, M6xico, 1974.
Gabriel K. R. and Eieurnann J.
A Markov c h a i n model for dally r a i n f a l l o c c u r r e n c e st Te1 Aviv.
Quarterly Jour. of t h e H. h. S . vol. 88, NO. 375, 1962.
Garcia de M. E.
Precipitaci6n en l a depública Mexicana y evsluacidn de su proba-
b i l idad. Cetenal, Hbxico, 1977.
León Zamdio.
Bondad de a j u s t e de algunas f u n c i o n e s p r o b a b i l i s t i c a s a l a d i s -
t r i b u c i d n de l a l l u v i a . Tesis maestria.
Colegio de postgraduados, C h a p i n g o , Hhxico, 1976.
Hosiíio A.
Fluctuac iones Climaticas y su impacto en las ac t iv idades humanas.
T r d u c c i 6 n d e l f o l l e t o "Living with climatic change", editado
en ingles por el Sc ience Counc i l o f Canada.
Serie Traducciones, Conacyt, Mbxico, 1976.
