BUSQUEDA DE U N A FUNCION DE PRODUCCION PARA LA ECONOMIA MEXICANA.

Por Emil ia Abad R.

FUNCION D.E PRODUCCION

PARA

LA ECONOMIA MEXICANA

E M I L I A ABAD RUIZ

C O N T E N I D O PAGS .

ANTECEDENTES

DEFINICION DEL PROBLEMA

REVISION DE ALGUNOS ELEMENTOS DE LA

TEORIA ECONOMICA

PROPOSICION DEL MODELO

PROCEDIMIENTO PARA ENCONTRAR LOS

VALORES OPTIMOS DE %,dJM y

VALORES ENCONTRADOS

RESOLUCION DE LA ECUACION DIFERENCIAL

RESULTADOS

BIBLIOGRAFIA BASICA

TABLAS

3

5

6

11

14

22

28

30

31

3

A N T E C E D E K T S S .

Ung de los p r o b l e x a s m& g r a v e s d e l pais es e l d e s - empleo. En 1977 e i c i e s ~ ~ ~ - ~ ~ l ~ . : c ~ a b i e r t o afectaba a cerca de

UT). m i l l ó n y medio de p e r s o n a s , e l volumen de subocupac ión abarcaba a ccrca de oc1-10 mi3.lones de p e r s o n a s y a l o s n i - v e l e s actuales de r c m u n e ~ ~ c : . 6 n y de d e f i c i e n c i a de empleo,

l a d c s o c u p a c i 6 n e n c u b i e f V - k a a l c a n z a , de acuerdo con los i n - dicadores d i s p o n i b l e s (:ii>To.;~;ne de l a Secre tar ía d e l T r a b a - j o y P r e v i s i t j n Social) a ce??ca de 750,000 p e r s o n a s . Ade-

m&, e x i s t e n m i g r a c i o n e s rr,asivas de las areas r u r a l e s ha-

c ia las, areas u r b a n a s , ciue s e e s t i m a n e n cerca de un 6 0 %

del c r e c i m i e n t o n a t u r a l d e :La p o b l a c i 6 n de las p r i m e r a s ; s in contar l a e x p u l s ~ o ~ n de ; )e - sonas que , en busca de t ra - bajo y m e j o r e s c o n i i c k ~ c ; . . w v i d a , e m i g r a n a l e x t r a n j e r o , p r i n c i p a l m e n t e a ios Z!;-tari;o..; TJr;idos

7 f l

Una de l a s maneras tic? ;:,tacar e s t e problema es e s t u - - di.ar l a e x p a n s i g n d e l ernp!.eo e n e l pafs p a r a conocer qu6 t a n t o debe crecer 6sce y coa¿iyuvar a r e s o l v e r e l problema

d e l desempleo., Una de Las formas p a r a e s t u d i a r l a expan- s i 8 n de9 empleo es p r e c i s a m e n t e a t r a v é s de u n a f u n c i 6 n de p r o d u c c i 6 n .

Pensamos que es I m p o r t a n t e t ratar e s t e t i p o de pro- blemas d e s d e e l punto de v i : s t a m a t e m g t i c o p u e s se pueden aportar n u e v a s s o l u c i o n e s d e una forma más precisa y exac - ta .

Aun cuando ~ u e s t r o t r t iba jo no l l e g a r 5 t a i l l e j o s como p a r a aportar s o l u c i u n e s al ;>roblema c i tado a l p r i n c i p i o , sf p r o v e e d de u n a h e r r a d e n t a de e s t u d i o p a r a t r a t a r de

r e s o l v e r l o .

Contamos, para e n c o n t r a r la f u n c i ó n de p r o d u c c i ó n , - c o n u n a h e r r a m i e n t a e s t a d f s t i c a p o d e r o s a : la t r a n s f o r m a - c i 6 n de Box y Cox, que nos p e r m i t e hallarla s i n hacer mu - c h a s s u p o s t c i o n e s acel'ca de l a forma que debe t o m a r , o b - t e n i e n d o r e s u i t e d o s m& a.pegados a l a r e a l i d a d .

En la primera p a r t e dlzi trabajo exponemos algunos - r e s u l t a d o s de la T e o r l a E c o n 6 m i c a acerca de f u n c i o n e s de

p r o d u c c i 6 n ya que éstos, p r s u g e n e r a l i d a d se a p l i c a n - a l t i p o de f u n c i 6 n q u e buscamos.

En la segunda parte 2ropone;nos e l modelo econ6mico que nos ayudar5 a encont; 'ar la f u n c i 6 n de p r o d u c c i 6 n , S e

propone una funcih l-~r~;xc:,:;.:;;ez de grado uno ya que ,, s i la c a n t i d a d de cadd i n s m x E,? cera e l p r o d u c t o debe ser cero.

En l a terce2a par<ce estimamos l a f u n c i 6 n de p a r t i c i - p a c i 6 n d e l trabajo en (?l. .?:?oducto en t é r m i n o s de la p r o r d u c t i v i d a d d e l ?rabajo.

5

DEFINICION DEL PROBLEMA. :

N u e s t r o o b j e t i v o a l emprender es te t r a b a j o e s , por l a r a z d n e x p u e s t a e n la s e c c i d n a n t e r i o r , t ratar de encOn trar una f u n c i ó n de p r o d u c c i 6 n para l a e c o n o d a m e x i c a n a . La f u n c i ó n q u e trataremos d.e e n c o n t r a r se supone homoggnF n e a de grado uno.

- . .

Las hipótes i s que mantenemos a l atacer e l problema - son: competenc ia perfecta y m a x i m i z a c i 6 n de b e n e f i c i o s , - ademas de suponer e l p r e c i o d e l p r o d u c t o i g u a l a l a uni-- dad.

Los d a t o s de que dispo:nemos fueron obtenidos de l Ban - co de M6xico y se' muestran en l a Tabla 1.

P a r a t ratar de Ilegal? a. la f u n c i ó n de p r o d u c c i 6 n , - primeramente est imamos l a p a r t i c i p a c i 6 n d e l t r a b a j o e n e l p r o d u c t o i n t e r n o b r u t o e n t 6 r m i n o s de l a p r o d u c t i v i d a d - d e l t r a b a j o , u t i l i z a n d o una r e g r e s i 6 n l i n e a l y ' la t r a n s - - formacidn de Box y Cox. A c o n t i n u a c i ó n o b t e n e m o s u n a - - ecuaci6n d i f e r e n c i a l o r d i n a ~ i a de primer orden cuya s o l u - c i ó n deb.e darnos l a producl-trividad del t r a b a j o e n f u n c i 6 n de l a r a z 6 n c a p i t a l - . t - r a i m i o . 'Dada l a forma de esta ecua- ci6n no es p o s i b l e enc!c;n-l:ra~? s u solución i n t e g r a n d o d i r e c tamerite, asf que J ? r o G ~ d G m C J S a mso1vep1a u t i l i z a n d o un m6 todo num6r ico . La sol.uci&? de es ta e c u a c i 6 n nos da en - fobma implfci-ta l a f.unci6r: tic producci t in huscada.

-

P o r Gltimo , ob-te:aem~-. ' ~ . d . elasticidad de s u s t i t u c i 6 n entre c a p i t a l y trabajo en f'unci6n de l a p r o d u c t i v i d a d - del t r a b a j o . Dicha elasticidad de s u s t i t u c i d n es v a r i a - - b l e *

.

6

IiEVlSTON DE ALGUNOS ELEMEN'I'OS DE LA TEORIA ECONOMICA.

Una funcidn de produccidn es una funcidn cuyo dominio es el octante no-negativo del espacio euclidiano de dimen- sidn n y cuyo contradominio es la semirrecta no-negativa. Dicha funcidn asigna a cada vector x = (x1 . . . . , x,) -- del dominio un finico ndnero no-negativo, F (x). A los ele - mentos del dominio se les ltlama vectores de insumos y al - valor de l'a funcitjn producto; al dominio se le llama espa- cio de insumos y se denota I. Generalmente se supone que la funci6n de producci6n e:3 continuamente diferenciable.

face

i '.)

Se .supone, ademas, que la función de producci6n satis - dos axiomas :

Existe un subconjunto del. espacio de insumos, llamado la regidn econdmica, en el cual si es incrementado -- cualquier insumo no decrece el producto. Esto es, si x1 - y x2 son dos puntos en esta regidn tales que XI) - 5 2 entonces F (xi) " a F ( x * > - .

Esta regitjn puede caracterizarse por la no-negativi" dad de las primeras derivadas parciales de la funci6n lla- madas productos marginales *

,A?;- a X E -($j ,?qPií.3 i a , a ,.,., Yt

Si definimos el vector producto marginal como:

la r e g i 6 n e c o n 6 m i c a es e l s i g u i e n t e s u b c o n j u n t o d e l espa cio de insumos

P

i5' ) C x i s t e u n a reg i6n r e l e v a n t e R 2 un s u b c o n j u n t o c o n v e x0 de la r . e g i 6 n e c o n b m i c a , para l a c u a l l a m a t r i z Hess5.a

- - . . na de l a f u n c i 6 n es n e g a t i v a d e f i n i d a :

En es ta r e g i 6 n relevante l o s c o n j u n t o s de producc idn , .

q 1 ;Fcrl',+*'r eEOn co.nvexos para c u a l q u i e r real n o n n e g a t i v o fe TamFT

biln e n l a r e g i 6 n r e l e v a n t e

que 88, la ley de rendirnicintos d e c r e c i e n t e s : segdn se a u mqnta m& y m& un linsurw y se mantienen c o n s t a n t e s 10s rcswt$ntes a eventualmente :3c:b a l c a n z a l a r e g i 6 n r e h v a n t e y e l p r o d u c t o marginal clis;ninuy.e,

-

\

De 'acuerdo con los dos; axiomas ex is te un& r e g i d n Fc

convaqa d e l e s p a c i o de inmunos, llamada l a r e g i 6 n reley- vaq.l;e 'R, d e f i n i d a pox :

' ti

L

a

E x i s t e n d o s propiedades q u e c a r a c t e r i z a n a l a funTF c i 6 n d e p r o d u c c i 6 n en la r e g i 6 n r e l e v a n t e : r e n d i m i e n t o s a 'escala y p o s i b i l i d a d e s de s u s t i t u c i ó n .

' Los r e n d i m i e n t o s a escala c a r a c t e r i z a n a l a f u n c i 6 n de g r o d u c c i 6 n p o r l a cond-ucta d e l producto cuando todos Las insumos cambian en la misma p r o p o r c i 6 n . Supongamos qye en c i e r t o p u n t o x de l e s p a c i o de insumos todos los insmos se m u l t i p l i c a n por e1 factor de escala a > o o b t e n i e n d o 00 X, =(&*t --.., 13 L a f u n c i 6 n de produc? - ci6n p r e s e n t a r e n d i m i e n t o s c o n s t a n t e s a escala s i e l pro dueto crece en l a misma p r o p o r c i d n q u e t o d o s l o s insumos:

-

Verenios que u n a f u n c l 6 n de producc i6n que presenta r e n d i m i e n t o s c o n s t a n t e s a escala es una funci6n homogeT- nea de 'grado uno. Para. esi-c: tipo de f a n c i o n e s v a l e e l Teorema de E u l e r i .e, si %' (x) - es homogenea de grado - uno entonces

Las p o s i b i l i d a d e s ue s u s - c i t u c i 6 n c a r a c t e r i z a n a l a fuhcibn de p r o d u c c i 6 n por las c o m b i n a c i o n e s a l t e r n a t i v a s de insumos que generan l a misma c a n t i d a d de p r o d u c t o , - Una medida l o c a l de l a s u s t l t u c i 6 n e n t r e d o s i n s u m o s , di gamoB xfj3 xk9 cuaizdo los inawnos r e s t a n t e s se mantienen fijos, puede medirse en . u n punto p a r t i c u l a r del e s p a c i o

de insumos por la e las t i c idad de s u s t i k u c i ó n e n t r e los -

-

9

insumos j y k , d e f i n i d a como:

esto e s , como e l cambio porcentua l en e l c o c i e n t e de los insumos d i v i d i d o e n t r e e l cambio p o r c e n t u a l e n e l c o c i e n - t e de sus p r o d u c t o s m a r g i n a l e s (el s i g n o menos a s e g u r a que GL 30 en 1.a r e g i 6 n r e l e v a n t e ) , Las e h s t i c i d a d e s - de s u s t i t u c i 6 n c a r a c t e r i z a n l a c u r v a t u r a de las i s o c u a n - t a s , los c o n j u n t o s de insumos que generan l a misma c a n t i dad de p r o d u c t o :

-

\ $ a l i p \ = q d doqde qo es u n a c a n t i d a d dada de p r o d u c t o ,

S i d i f e r e n c i a m o s a 10 Largo de 'una i m c u a n t a o b t e n e c

a s i que :

E l r e c f p r o c o de l a e h s t i c i d a d de s u s t i t u c i 6 n es e n P

t o n c e s :,

10

Otro a s p e c t o i m p o r t a n t e de l as f u n c i o n e s de produc- c i 6 n es qu6 'sucede cuando ha:y c o m p e t e n c i a perfecta e n e l mercado y se q u i e r e n maximizsr las u t i l i d a d e s .

Decimos q u e e n un mercado hay c o m p e t e n c i a perfecta s i se dan las s i g u i e n t e s c o n d i c i o n e s :

1) El número de compradores y de vendedores es ex - h?cmadameilte grande .

111) Los costos d e i n f o x n a c i ó n son cero.

TV) ~a transmisi6n Úe i n f o r m a c i 6 n es i n s t a n t a n e a .

wi= p r e c i o u n i t a r i o de insuj-r.o i , p es e l p r e c i o del pro-

ducto.

11

P!?@POSICT,3!i DEL HODEL@

Las v a r i z c l e s que usa:remos sor. las siguientes:

Y I n g r e s o n a c i o n z l -

L. Empleo (horas-nombre trabajadas o números de t raba-

j a d o r e s ) K C a p i t a l

.I

K = - C a p i t a l por hombre acupadc K L

@ Tasa de s a l a r i o s T a s a de r e n d i m i e n t o d e l c a p i I . a l

9 = I - 77- P a r t i c i p a c i ó n del t r a b a j o en e l i n g r e s o n a c i o n a l

P = e/ ? a r t i c i p a c i ó n d e l c a p i t a l en el i n g r e s o n a c i o n a l

=+(U, L\ Función de producción homogenea de grado uno

'dz [(PC) xiT(U,$roductividad d e l t r a b a j o

Tic= C(k)=(' P r o d u c t i v i d a d m a r g i n a l d e l c a p i t a l

TLz&&I - kf ~ ~ k ) : ~ - k f ' P r o d u c t i v i d a d m a r g i n a l d e l t r a b a j o .

- E Tasa m a r g i n a l de s u s t i t u c i ó n

Predictor i n s e s g a d o de,/¿

TT[i) Predictor i n s e s g a d o d.e 77-

De l a d e f i n i c i ó n de e l a s t i c i d a d de sustitución

e- "& - d i e c I\

y s i l a f u n c i ó n de p r o d u c c i ó n es homogenea de grado uno tenemos que

S i suponemos también maxindzación de u t i l i d a d e s b a j o corn- p e t e n c i a perfecta en el mercado de los factores y en e l - de los productos deducimos :

12

De la d e f i n i c i 6 n de p a r t i c i p a c i ó n d e l t r a b a j o e n e l i n g r e - $0 n a c i o n a l y las s u p o s i c i o n e s q u e l l e v a n a (31, tenemos:

de 44) deduci~nos que

De (3) y ( S > 'y h a c i e n d o u130 de que w es u n a f u n c i ó n monó- tona c r e c i e n t e de y deducimos l a s i g u i e n t e e x p r e s i ó n p a -

ra G :

C'. Dagum propone en s u t r a b a j o "Un Modele Nonl inéare de R e p g y t i t i o n ; Rmctionelle du Revenu': p u b l i c a d o e n 1,973

en Economie A u i q u g e , T . XXVI, No. 2-3-4-, pp 843-'876 un modelo no lineal para l a p a r t i c i p a c i ó n d e l t r a b a j o e n e l ingres.0 n a c i o n a l , que es e l s iguiente :

En este traba jo proponemos, por r a z o n e s q u e se expon -

que es m& general que ( 7 ) y q u e p e r m i t e l a a p l i c a c i 6 n de

Id transformnaci6n de Box y Cox.

De ( 4 ) 'y ( '8) s u s t i t u y e n d o +(y) en ( 8 ) y (LI.> y rea- comodando deducimos l a s i . g u i e n t e e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l :

A p a r t i r de l a s o l u c i c ' n de ( 9 ) se p o d r á o b t e n e r l a - f u n c i 6 n de p r o d u c c i ó n b u s c a . d a , q u e t e n d r á elast icidad de

s u s t i t u c i ó n v a r i a b l e :

Las razones porque prclponemos para/U(jt) l a expre- -

s i & dada en '('8) s o n :

a) No forzamos a / (y) a que tenga una forma d e f i -

n i d a a priapi.

>.,. b) ' Dispone~nos de u n a h e r r a m i e n t a es tadíst ica podero - sa que es l a t r a n f o r m a c i ó n de Box y Cox, que con - s i s t e e n l o s i g u i e . n t e :

Si tenemos dos ser ies de o b s e r v a c i o n e s 3 X I - x,j

I ~ ~ ~ - . . , ~ T I , s i suponemos que ex i s te u n a r e l a c i ó n e n t r e e l l a s , no n e c e s a r i a m e n t e l i n e a l , a p l i c a m o s a cada s e r i e l a t r a n s - f o m a c i ó n s i g u i e n t e * t k"-3 Kt" ) - 'dr y cons ideramos l a r e l a c i 6 n t a,%&+ (11) estima -

mas, usando e l método de rn:txima v e r o s i m i l i t u d , e l v a l o r - c o r r e s p o n d i e n t e de n, En c:aso de que n= - 1 tenemos una - re.laci6n l o g i s t i c a y e n c a s o de que n = o tendremos una -

r p l a c i ó n logaritmica.

Para n f i j a , e l logari . tmo de máxima v e r o s i m i l i t u d e s : 7"

- 2 4: I LWdn 1Mj - -AT% d 2 l H ) $- (M- t ) &a

donde sa(ri> 'es l a suma estimada de .los cuadrados de las - d.Et,Svi,aciones de l a r e l a c i d r t (11) .

. -Al v a r i a r n se o b t i e n e una ser ie de v a l o r e s de - (i~> 5 e l mgxirno r e l a t i v o de estos i n d i c a e l v a l o r de Lrnax

n papa el c u a l (113 se a j u s t a m e j o r a los d a t o s .

PROCEDIMIZ?4TO PARA ENCONTRAR LOS VALORES OPTIMOS DE

Y VALOFZS ENCONTRADOS

Los d a t o s que usaremos p a r a estimar los c o e f i c i e n t e s

Suponemos que ut es -ma variable a l e a t o r i a q u e P O - -

see las s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s .

3-1 es tá n o r m a l m e n t e d i s t r i b u i d a i5) u t i e n e media . i g u a l a cero

iii) ' Cada ut t i e n e 1'3 misma v a r i a n z a

iv) u . es 1:o-aurorregresiva.

t

-r

Con e s t o s datos y las s u p o s i c i o n e s ii) a i v ) p r o c e d e - mos a e n c o n t r a r h, & > y n 6ptimas como s i g u e , e n l a ecua- ci6n C '8.) :

a>' Vamos a hacer v a r i a r 1 e n t r e 5 y 1 0 con p a s o s de

l o n g i t u d S . Fijamos e n t o n c e s un v a l o r de X . b)' Una vez 'E?. Sacio el val -or de , haremos variar S en_

t r e O y 1 COE p a s o s de l o n g i t u d 0 . 1 . F i j a m o s e s t a vez ' u n v a l o r de 8 .

C) ( F i j a d o s los v a l o r e s de 1 y & , hacemos variar n en - tre - 3 y 3 con pasos de l o n g i t u d 0 . 2 5 . F i j a m o s un valor de n .

a> 'Con los valores de. 1,s n f i j o s p r o c e d e m o s a c a l c u - lar h-- )"J ( /+hh-AJ- ' para cada t . S i n = o cal-

culamos log&" J y log donde l o g es $d í

84 e l logari tmo de b a e e .

e ) Con las nuevas ser.ies de v a l o r e s , c a l c u l a m o s o' ,?- usando r e g r e s i G n ] - i n e a l ,

15

f) Calculamos da(A,&h) que es la suma de los e r r o - res c u a d r á t i c o s a:l hacer l a r e g r e s i ó n l i n e a l .

g ) ApIicarnos la fórmula para e n c o n t r a r e l v a l o r de

es un msxino reZa-Livo. A l v a r i a r h,& obtenemos una s e r i e de v a l o ~ e s máximos r e l a t i v o s y sus res p e c t i v o s e r r o r e s cuadráticos. De esta s e r i e e s c o gemas Lnax( A,A,n> tal que e l e r r o r c u a d r á t i c o es minino. Con e s t o ya conocemos los v a l o r e s de A

-

& y n 6ptimos a; i g u a l q u e & y @

Al aplicar e l p r o c e d i - m i e n t o a n t e r i o r a las ser ies -

de datas que tenemos encontramos l o s s i g u i e n t e s v a l o r e s :

De esta manepa ('8) qceda como:

16

.El v a l o r o b t e n i d o de I: i n d i c a q u e e l a j u s t e es ex- 2

celente.

Los c á l c u l o s n e c e s a r i o s para o b t e n e r l o s v a l o r e s -

mencionados a r r i b a f u e r o n h e c h o s a t r a v é s de un programa en l e n g u a j e WATF I V en un computador IBM-370. E l p r o - - grama utilizado y l o s diag;l?amas de f l u j o c o r r e s p o n d i e n t e s a p a r e c e n e n l as s i g u i e n t e s c i n c o p á g i n a s .

e

19

20

U n

* r *

Y ¿ .

U

C I

21

DESCRIPCI3N DL LOS PAWNE'TROS

LAMBDA x DELTA A NU = n

LMAX = Lmax (X,b,n)

2 2

RESOLUCION DE ECUACION DIFERENCIAL

Can los v a l o r e s de x, &,, n , 6 y (J e n c o n t r a d o s e n l a - s e c c i ó n a n t e r i o r l a e c u a c i 6 n d i f e r e n c i a l (9) queda como

Para i n t e g r a r esta e c u a c i 6 n d i f e r e n c i a l u t i l i z a m o s

un mgtodo numérico, ya que no permite s u i n t e g r a c i 6 n en

t6rminos d e f u n c i o n e s e l e m e n t a l e s . E l método usado es - e l m6to:do r e c ' u r s i v o de Rurtge-Kutta de: 4 O o r d e n . S e us6

este m 6 t o d o e n v i s t a de su r g p i d a c o n v e r g e n c i a .

Tomamos como c o n d i c i h i n i c i a l l a pareja ( 3 4 - 4 1 5 ,

3 4 8 5 9 ) p a r a (K, y) e i n t e g r a m o s l a e c u a c i ó n a l o l a r g o -

d e l i n t e r v a l o ( J J4415, . 7 2 0 8 0 ) c o n p a s o s de l o n g i t u d O . 5 .

para (kl 'y en cada c a s o se o b t i e n e e l v a l o r de y . S e i m -

p r i m i e r o n fhicairLer;'ce A 10 vcd.o:~:; de l a f u n c i ó n s o l u c i ó n .

En esta s o l u c i 6 n los v a l o r e s de k est& e s t á n e s p a c i a d o s

e n i n t e r v a l o s de l o n g i t u d 2 5 1 1 . Usamos una bandera en e l

programa que nos indicaba cuando h a b l a terminado e l csl-

c u l a d e l i- OSiri-tO v a l o r de l a f u n c i ó n s o l u c i ó n , e n v i s t a

de que .el n h e r o de c 8 l c u l o s para cada i era muy grande .

Para aplicar e l mgtodo se usó un programa de - l e n g u a j e WATFIV en un computador IBM-370. Los r e s u l t a d o s

o b t e n i d o s as5 como e l p r o g r a m a u t i l i z a d o y los diagramas

de f l u j o c o r r e s p o n d i e n t e s a p a r e c e n e n las s i g u i e n t e s c u a

t r o p 6 g i n a s .

23

CAPITAL POR HOK3ZE OCUPADO

72,080.00 36,926.00 3s 37.00

L; 1 ~ si 1.; 8 ~ 0 g

44,453.00 46,970.00 49,431.00 51,932.00 54,5173.00 57,1;14.00 59,525.00 60,036.00 64,547.00 67,058.00 69,569.00 72,080.00

PRODUCTO POP, HOMBRE OCUPADO

24 ,?94.82 15,590.28 16,300.76 16,991.92 1'7,665.50 18,323.33 18,967.55 19,595.30 26.208.57 20.813.16 21,401.67 21,980.87 22,549.76 23,106.85 23,656.12 24,194.82

24

c) z

I

1 1

t I " i

A I

\

1 2 3 4 5

7 8 9

10 11 12 13 14 15 16

17 18 19

, 20

21 22 23

, 24

$JOB

7

DIIli3NSIW X(16) ,Y(:L6) I

READ ( S , * ) X(1) ,Y (11) , CALL RIQ (0.5,X(1) r Y ( 1 ) ,5022,16,XtY)

WRITE (.6,10) 10 F@RMAT (lH1,28X,'CiPITAL P@R H@MBI?E @CuPAD@'.26X. 'PR#DUCTq P@R H@M

lBRE @CUPAD@', ///Kt . - WRITE (6,15) (X(1) , Y ( x ) ,1-1,16) 15 F@REIAT (16(T27,F30.8,20X,F30.8,/fl)

ST@ END

SUBROUTINE E 9 ( X , Y , I?) DAGUM=(I.+(~O;)*Y*'~(-~.~) DEN=X*DAGUM NUMnrY*(DAGU"(-2.015766*DAGUM**(0.25)+4.167829)**3) PNUM/DEN

RETURN

END

S B U R W I N E RK2 (H,.XI,YI,K,N,X,P), DIMENSIPM ) t ( W rY(NJ) ~24i/2

. m 2 Im2,N 1 J=l;K

CALL E 9 (XI,YI,P) Tl=H*F CALL E9 (XI+H2 ,YI+T1 /2 . ,P)

-, T2:HiF

"

26 CALL ES(XI+HZ;YI+T2/2.,$) 27 T3=H*P . .

2 8 CALL E9 (XI+H,YI+T3,P) I

29 T4=EI*F 30 . Y 33YI-b ( T l f 2 . *T2+2. *T3+T49 /16

I

31 1 XI=XX+H . . 32 x ( X) = X I

33 PRINT. ' TERMIN@ PABA ' 11

34 2 Y (l)+YI 35 HETURN

- 36 END

TERMI140 PARA 2 TERMINO PARA TERMINO PARA TERMINO PARA TERMINO PARA TERMINO PARA TERMINO P A M TERMINO PARA TERMINO PARA TERMINO PARA TERMINO PARA TERMINLND PARA TERMI370 PARA TERMINO PARA TERMINO PARA

3 4 5 6 7 8 9

11 12 13 14 15 16

la

DESCRTPCION DE LOS PARAHETROS

X I = Valor i n i c i a l de k en :La i-6sima iteración

E = Valor i n i c i a l de y en :La i-6sima iteración

K = N h e r o de veces que se i t e r a k e n l a i-6sima itera-

ci6n.

N = N h e r o de parejas soluci6n que se imprimen.

28

En e s t e t r a b a j o hemos o b t e n i d o l o s s i g u i e n t e s r e s u l - t a d o s :

L) Una expresi6n 1 p a r a l a p a r t i c i p a c i ó n d e l

t r a b a j o e n e l ~ r ~ o d x c t o i n t e r n o b r u t o e n fun--

c i 6 n d e l a p r o d u c t i v i d a d d e l t r a b a j o . Dicha

e x p r e s i 6 n es l a m e j o r p o s i b l e e n el s e n t i d o - de que se a j u s t a a n u e s t r o s d a t o s c o n un cua- drado medio d e l error de 0 . 2 5 3 6 2 6 7 x y

n

con R' = . 9 9 . E s t o 2ermite predecir l a p a r t i - c i p a c i 6 n d e l t r a b a j o e n e l p r o d u c t o i n t e r n o - bruto conoc iendo l a p r o d u c t i v i d a d d e l t r a b a j o . 'Ci1 L a tabla dos se m u e s t r a en l a p r i m e r a c o - - lmsna el v a l o r o b s e r v a d o deJC(y) en l a segunda el v a l o r es t imado.

ii) S e ha p l a n t e a d o una e c - u a c i ó n d i f e r e n c i a l p a r a o b t e n e r l a p r o d u c t i v i d a d d e l t r a b a j o e n térmi - n o s de l a r a z ó n c a p i t a l / t r a b a j o q u e d e f i n e l a

furIci6n de gyoducción buscada en forma i m p l í - c7-ba.

A l observar l a T a b l a :3 vemos que l a e l a s t i c i d a d de s u s t i t u c i 6 n tier,de a. uno lu que nos permite c o n c l u . i r que

nueshcla funcl6n de producc i .6n t i ende a una d e l t i p o Cobb-

29

Box, G.E .P . ; Cox D.R. "AD a n a l y s i s o f t r a n s f o r m a t i o n s ' I

J o u ~ n a l o f t h e R o y a l S t a t i s t i c a l f k s o c i a t i o n , Ser ies B, X X V I - - -rm-i?tJ '2 11-.2 4 3 . _.___ .

" i D n c o n s t a l t a n d v a r i a b l e E la s t i c . i t y o f S u b s t i t u t i o n P r o d u c t i o n - '? .uact ions. A new approach and an .i.:n-terna-tional Comparison". Depar txnent o f Economics, Faculty of- S 4 ? c i . a l S c i e n c e s U n i v e r s i t y o f 9 L. ' . ~ ~ w a I

.-

T i n t n e r G ; ,\ad.ekc; ti: a ~ d t i s t i c a l E s t i m a t i o n of t h e - G ; Thopson S Logistic and Gonpertz Functions'

.~ l i p "

AE)?lied t o t h e problem o f Long Term Popu la t ion T rends" Copia mimeografiada.

,3 2

O u S

2

"7 o

VALOR OBSERVADO

P 0.31'169990

O . 3007ijCiC

o . 3278999

0.3208000

O . 3170.9 9 9

0.3226000

Q.3iC82000

T A B L A 2

VALOR CALCULADO

3 0.3068193

0.3098008

O . 3122 825

O . 3,177295

O . 3264713

O . 3307278

O . 3354343

O . 3395795

O . 3455011

0.'3497894

0.3550500

0.3565825

O . 3616916

O . 36'75897

0. '3716711

0.'3741523

33

34

3.9999478

0. 9999494

O .9999507

0.9999534

O. 9999574

0.9999592

0.9999610

0.9999626

0.9999647

0.3999662

0.9999678

0.9999682

0.9999637

O. 99997.13

;-; ~ 3 ‘{I ‘j ‘3 ‘y 2 : ,

7 . , c i J J 7 3 C i o c,