bE!A UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA Casa abietia al ipmpo UNIDAD IZTAPALAPA División de Ciencias Básicas e Ingeiiiería

M.C. Rub& Becerril Fonseca

Dr . Hcrac io Tapia Recil.las

Area de AlgLbra

DEPTl;. DE MATEMPATICAS

84.0401.LI.01.0U6.92

N O T A S

S O B R E

C U R V A S H I P E R E L I P T I C A S

M. C. Rubén Becerr i 1 Fonseca Dr. Horacio Tapia Recillas

Area de Algebra

Departamento de Matemáticas

Universidad Autónoma Metropolitana

Iztapalapa

1992

I N D I C E

Pag . CAPITULO I

$1.- DEFINICION DE SUPERFICIE DE RIEMANN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

$2.- PROPIEDADES BASICAS DE FUNCIONES HOLOMORFAS . . . . . . . . . . 15

$3.- CUBIERTAS WUIIFICADAS Y NO RAMIFICADAS . . . . . . . . . . . . . . . 19

$4.- LEVANTAMIENTO DE FUNCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

$5.- FORMAS DIFERENCIALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

$6.- GAVILLAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

$7.- GRUPOS DE COHOMOLOGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

CAPITULO I1

$1.- EL TEOREMA DE RIEMANN-ROCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

$2.- EL ESPACIO VECTORIAL L(D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

$3.- LOS "ECOS DE WEIERSTRASS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

$4.- LA FORMULA DE RIEMANN-HURWITZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

CAPITULO I11

$1.- SUPERFICIES DE RIEMANN HIPERELIPTICAS . . . . . . . . . . . . . . . . 73

$2.- DIVISORES ESPECIALES SOBRE SUPERFICIES COMPACTAS . . . . . 78

$3.- REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

I N T R O D U C C I O N

Las presentes notas son resultado parcial de un seminario sobre Curvas Hiperelipticas realizado como parte de las actividades del

Area de Algebra del Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa. Dicho seminario se llevó a cabo

bajo la dirección del Dr. Horacio Tapia Recillas y los principales

participantes fueron el M.C. Rubén Becerril Fonseca y el M.C. Jorge

Valle Can. Algunos colegas de otras instituciones que colaboraban

en el Seminario Interinstitucional de Geometria Algebraica, también

nos acompañaron en algunas ocasiones.

Uno de los propósitos del seminario fué el de estudiar algunas

cuestiones sobre puntos de Weierstrass en curvas algebriacas (en

característica O) y temas afínes. Otro de los propósitos fué el

de recopilar resultados básicos sobre curvas hiperelípticas que se

encuentran diseminados en la literatura. Con esta idea surgieron

las presentes notas cuya escritura estuvo a cargo del M.C. Rubén

Becerri 1.

Las notas se han dividido en tres capítulos. En el capítulo I se dá el material básico general en el estudio de Superficies de

Riemann compactas. En la sección 1 se recuerda la definición de

Superficie de Riemann y se dan algunos ejemplos para ilustrar este

concepto. En seguida se estudian algunas cuestiones relevantes

sobre funciones, gavillas, divisores y cohomologia, que son

necesarias para dar uno de los resultados más importantes en el

estudio de Superficies de Riemann: el Teorema de Riemann-Roch. En

el capítulo I1 se enuncia este importante resultado y se ven

varias de sus consecuencias. Esta herramienta y resultados

básicos de Superficies de Riemann son usados en el estudio de

puntos de Weierstrass, sucesiones de huecos y Superficies Hiperelipticas que se ven en el capítulo 111.

Hubo muchas cuestiones muy importantes en el estudio de

Superficies Hiperelípticas que no se abordaron por varios motivos,

pero esperamos que este material sirva como una pequeña

introducción y motivación al estudio de este facinante mundo de

las Superficies de Riemann o Curvas Algebraicas.

R. Becerril F. H. Tapia R.

C A P I T U L O I

f 1. LA DEFINICION DE SUPERFICIE DE RIEMANN

Uno de los principales elementos en estas notas es la "Superficie

de Riemann". En esta sección se dá la definición de este concepto y se ilustra con algunos ejemplos.

1. DEFINICION

Una Van¿edad S es un espacio topológico Hausdorff , tal que

para cada x E S existe alguna vecindad abierta 'U de x, algún

entero n 2 O y un abierto Y de IR" tal que 'U es homeomorfo

a V .

EJEMPLOS

- 1 . IRn es una variedad.

2. Si 'U es un abierto de IR", 'U es una variedad. En

particular puede tomarse 'U = B ( 0 , r ) .

3. Sea S una variedad. S i 'U c S es un abierto, entonces 'U

es una variedad.

- 4. La esfera s = { ( x , y) E IR : x + y' = 1 } es una variedad. 1 2 2

La topología de S1 es la inducida por la de IR2.

(a) si ( x , y) E S' cumple con O < y, la función xt.-,(x,

d l - X 5

-

1 es un homeomorfisrno de I-l l 11 a 5 n { ( x , y ) : O < y }.

(b) Si ( x , y) E S' con y < O, la función x t.-, (x,-dl-x 1 es -

2

1

un homeomorfismo de 1-1.11 a S'n { (x ,y ) : y < O)

(c) P a r a resolver los casos en que x < O 6 O < x se procede

en forma análoga.

5. Enseguida fijamos nuestra atención en el entero n que

aparece en nuestra definición. Observese que n depende del punto

x. Por ejemplo si s c IR^ es el conjunto:

s = { (x , y, 2 ) : 2 = o } u t ( x , y, 2 ) : x = o , 2 = 1 } = S'W c2

entonces podemos escoger n = 2 para los puntos en Si y n = l

para los puntos en Sz (ver figura 1).

I 5 2

fig. 1

De hecho tenemos un resultado más general que vemos en el

siguiente ejemplo:

5. Sea t Sa}aEh una colección de variedades, entonces la suma

topológica Sa es una variedad. a€ A

OBSERVACION

Aunque pueden aparecer n's diferentes en distintos puntos de

una variedad S, tenemos exactamente un n en un punto dado x.

Esto nos conduce a la siguiente

2

2. DEFINICION

Sea S una variedad.

a. Dado x E S , el número n de la definición 1 se llama Ya

d¿merid¿czn& s en x. ,

- b. S tLenedimena¿an n, n-dunenacanae o ea una n-uafwdad si

tiene dimensión n en cada punto.

3. DEFINICION

a. Sea S una 2-variedad. Una Gahta carpkp sobre S es un

homeomorfismo p:'U - Y, donde 'U c S es un abierto y 1/ c C es

un abierto.

b. Decimos que, dos cartas complejas 'p :'U - If I = 1,2 son

Holomorficamente c a m p L U a si las funciones:

I 1 1 '

son holomorfismos, o equivalentemente, si alguna de las dos es un

biholomorfismo (ver figura 2 ) .

fig. 2

3

c. Un d . t -5~ E- sobre S es un sistema U = { 'Ui,pi)iEI de

cartas, las cuales son holomorficamente compatibles y además los

conjuntos abiertos 'U forman una cubierta abierta de S.

- d. Decimos que dos atlas U, U sobre S son

i , . .

si cada carta de U es holomorficamente compatible 9

con cada carta de U .

OBSERVACIONES

- 1. Si q:'U - Y es una carta compleja, 'U1 es un abierto de 'U

y If1 = q('U1), entonces q , U 1 - Y es una carta que es

holomorficamente compatible con la carta original.

2. Ya que la composición de de dos funciones biholomorfas es una

función biholomorfa, se ve que la noci6n de equivalencia analitica

de atlas complejos es una relación de equivalencia.

1

4. DEFINICION

Por una BatruLctUhcr EanpF.+ sobre una 2-variedad entendemos

una clase de equivalencia de atlas analíticamente equivalentes

sobre S.

Luego, una estructura compleja sobre S puede ser dada al

elegir un atlas complejo. Cada estructura sobre .S contiene

un único atlas maximo U*. Si U es un atlas arbitrario en ,

entonces 'U* consiste de todas las cartas complejas sobre S que

son holomorficamente compatibles con cada carta de 'U.

5. DEFINICION

Una Yupm&cLe de X i e n a n n es una pareja (M, 1, donde M es

4

una 2-variedad conexa y es una estructura compleja sobre M.

Usualmente escribimos M en lugar de (M,C 1 cuando es

claro cual estructura compleja 1 tenemos. Algunas veces también

escribimos ( M , U 1 donde U es un representante de .

CONVENCION

Si M es una Superficie de Riemann, entonces por una carta

sobre M siempre entenderemos una carta compleja perteneciente al

atlas maximo de la estructura compleja sobre M.

OBSERVACION

Localmente una Superficie de Riemann M no es otra cosa que

un conjunto abierto en el plano complejo, sin embargo, dado

cualquier punto de M, este está contenido en diferentes cartas y

ninguna de estas se distingue de las otras. Por esta razón sólo se transportan a las Superficies de Riemann aquellas nociones de

análisis complejo en el plano que permanecen invariantes bajo

funciones biholomorfas, es decir, aquellas que no dependen de la elección de una carta particular.

EJEMPLOS DE SUPERFICIES DE RIEMANN

- 1. &e Yeana l&mlpk& c.

Su estructura compleja está definida por el atlas cuya única

carta es la función identidad C. - C .

2. lhninkm.

Si M es una Superficie de Riemann y D c M es un dominio,

entonces D es una Superficie de Riemann.

3. Pa de ~ienmnn P'.

5

1 Sea P : = C u { OD 1.. donde m es un símbolo que no está

contenido en C. Introducimos la siguiente topología sobre P1:

Los conjuntos abiertos son los conjuntos abiertos usuales de @,

junto con los conjuntos de la forma V u { o) } , donde V c C es

el complemento de un conjunto compacto X c C. Con esta topología

P' es un espacio topológico Hausdorff homeomorfo a la esfera S2.

Pongamos

U1:= P'-{ w 1 = c U,:= P1-{01 = c*u { m }=(C-{01)u{m}

( p i : ' u I - como sigue: Q es el mapeo 1

Definimos los mapeos

identidad y 1 * - z S I Z E C

o S I Z = a , 1 S,(d : =

Claramente estos mapeos son homeomorfismos y así P1 es una

2-variedad. Ya que 'u1 y U2 son conexos y tienen intersección

no vacía, P' es conexo.

La estructura compleja sobre P1 está definda por el atlas

consistente de las dos cartas { U i , ( p i } , i = 1,2. Debemos probar

que las dos cartas son holomorficamente compatibles. Pero

observemos que

y el mapeo

es b i ho 1 omorf o.

-1 * * 1 (p,o(p, : C - c , z -

z

6

OBSERVACION

La notación P' viene del hecho que podemos considerar a P'

como el espacio proyectivo de dimensión 1 sobre C .

3. 8t Twla.

E C linealmente independientes sobre IR # Y Consideremos

y definamos el conjunto:

r :=nul+ Zw ={ nu + mu

r se llama la retícula generada por w y o (ver figura 3).

: n,m E P } 2 1 2

1 2

fig. 3

Definimos la siguiente relación en C (que resulta ser de

equivalencia): z , Z'E C son equivalentes mod r si z-z' E r. El conjunto de todas las clases de equivalencia se denota por C/r.

Sea n:@ - C/r la proyección canónica, es decir, la función que manda a cada punto z E C a su clase de equivalencia mod r. Introducimos ahora la topología cociente sobre C/T. Un subconjunto 'u de @/r es abierto si n-'(U) es abierto en @. Con esa

7

topología C/T es un espacio topológico Hausdorff y el mapeo

cociente K : C 4 ic/T es continuo. Puesto que C es conexo,

también lo es C / r . Como C/r es la imágen bajo K del

parale 1 ogramo

P:= {Awl + pw : A, p E io.11 } 2

el cual es compacto, entonces C/T también es compacto.

El mapeo K es abierto. Para ver esto tenemos que verificar que

V = K ( K ( V ) ) es abierto si V c Q: es abierto. Pero A - 1

A

V = U ( w + V ) Gr

A

y como cada conjunto w + V es abierto, también lo es V .

La estructura compleja sobre C/T se define de la siguiente

forma: sea V c ic un abierto tal que ningún par de puntos en V

sean equivalentes bajo r. Entonces U:= K ( V ) es abierto y

4 U es un homeomorfismo. Su inversa (p:'U - V es una carta "IV compleja sobre C/T. Sea U el conjunto de todas las cartas

obtenidas de esta forma. Tenemos que demostrar que cualquier par

de cartas {Ui, 'pi) pertenecientes a U son holomorf icamente

compatibles. Consideremos la función

$ := cp20qi1:ql í~ln <u2) - cp 2 1 (U n u2)

Para cada z E cpl(UlnU2) se tiene n ( $ ( z ) ) = cp;'(z) = K ( Z ) de

donde obtenemos que $(z)-z E r. Como r es discreto y + es

continua, esto implica que $(z)-z es constante sobre cada

componente conexa de cpl(Uln U2). Luego $ es holomorfa.

Similarmente $-' es holomorfa.

Ahora ic/r tiene la estructura compleja definida por el

atlas complejo U.

8

OBSERVACION

Si consideramos a S1 como subconjunto de C entonces

podemos definir una aplicación de C/r en S'x S' por

Awl+ p'wz- (exp(2niA1, exp(2nip) 1

y es fácil verificar que es un homeomorfismo.

6. DEFINICIONES

a. Sea M una Superficie de Riemann y Y c M un

subconjunto abierto. Una función f:Y - C se llama H-,

si para cada carta {U,+ } sobre M, la función

fo+-':+ ( U n Y)<

es holomorfa, en el sentido usual, sobre $(U n Y) c C .

b. El conjunto de todas las funciones holomorfas sobre

será denotado por O( Y).

Y

OBSERVACIONES

- 1. La suma y producto de dos funciones holomorfas es una función

holomorfa. Las funciones constantes también son funciones

holomorfas . Luego O ( Y ) es una C-álgebra.

2. Por supuesto, la condición de la definición no necesita ser

verificada para todas las cartas en un atlas maximo sobre M,

pues basta para una familia de cartas que cubren a Y, luego

automaticamente se cumplirá para las otras cartas.

3. Cada carta +:U - U sobre M es, en particular, una

función con valores complejos sobre U. Trivialmente es holomorfa.

Llamamos a $ una coordenada local o parámetro uniformizante y a

9

{U,* } una Vec¿ndad de cualquier punto a E U. En este

contexto generalmente usamos la letra z en lugar de i(r.

7. TEOREMA (Teorema de las Singularidades Removibles de Riemann)

Sea U un subconjunto abierto de una Superficie de Riemann y

sea a E V. Supongase que la función f E O(U-{a}) es acotada en

alguna vecindad de a. Entonces puede extenderse f de manera única

a una función 7 E O ( U 1.

D E M O S T R A C I O N

Se sigue directamente del Teorema de Singularidades

Removibles de Riemann en el plano complejo.,

8. DEFINICION

Sean M , N Superficies de Riemann. Una función continua

f : M 4 N se llama im.hnm& si para cada par de cartas

#:Ul+ lf sobre M y *2:U2- V sobre N con f ( U 1 ) c 'u2, 1 2

la función

*,of.*;': vi- v 2

es holomorfa en el sentido usual

9. TEOREMA (Teorema de Identidad)

Sean M , N Superficies de Riemann. Si f 1 , f 2 : M - N son dos

A c M que tiene mapeos holomorfos que coinciden sobre un conjunto

un punto de acumulación a E M. Entonces fl= f 2 (idénticas).

DEMOSTRAC I ON.

10

Sea G = { x E M : existe una vecindad abierta W de x tal que

’ Po; definición C es abierto. Se afirma que G es cerrado. En efecto, sea b E aC (la frontera de C), entonces fl(b)= f 2 ( b )

ya que fl y f son continuas ( pues existe una sucesión {bu) c

C con bu--. b I . Escogemos cartas (p:U - V sobre M y *: Ul 2

--D V sobre N con b E U y f i ( U 1 c U1. También podemos 1

suponer que U es conexo. Las funciones

gi:= $ofiocp-l:v - v 1 c c

son ho lomorf as.

Ya que U n G # 0 , (b está en la frontera de G) el teorema de identidad para funciones holomorfas sobre dominios en C implica

que glig2. Luego f = f . Por lo tanto b E C y así G es cerrado..

1 IU 21%

10. DEFINICION

Sea M una Superficie de Riemann e Y c M un abierto. Una

@ciaa & Y es una función holomorfa f:Y’- * e, ,

donde Y’c Y es un conjunto abierto, tal que lo siguiente es

válido:

- a. Y-Y’ consta de puntos aislados.

- b. Para cada punto p E Y-Y’ se tiene e i m If(x)l = + w

X+P Los puntos de Y-Y’ se llaman los p a t h de f.

El conjunto de todas las funciones meromorfas sobre Y se denota

por M (Y).

OBSERVACIONES

- 1. Sea (21,~) una vecindad coordenada de un polo p de f tal

que z(p)=O. Entonces f puede ser expandida en una serie de

11

Lauren t

v c en una vecindad de p.

[ Lo que realmente está pasando es que f o z es meromorfa con

un polo en O (= z(p)) y realmente es esta función la que se está

-1

desarrollando en serie de Laurent en una vecindad V de cero, es

decir, lo que se tiene es lo siguiente: + Q i

pero u = z(q) con q en una vecindad de p, o sea, q E z-'(V)

y como u = z(q) se tiene que + Q i

o sea + O D

- 2. M ( Y ) tiene estructura natural de C-álgebra.

EJEMPLO

Sea n 2 1 y considerese el polinimio n n- 1 F ( z ) = z + c z + . . .+ c z + c CkE C

n- 1 1 o '

entonces F define una función holomorfa F:C - C.

Ahora, si pensamos a C como subconjunto de E", entonces tenemos

12

11. TEOREMA

Sea M una superficie de Riemann y f E M (MI. Para cada polo

p de f, se define f(p) = OO. Entonces f: M - lP' es un mapeo

holomorfo. Viceversa, si f:M - P1 es un mapeo holomorfo,

entonces, o bien f i a0 , o bien f-'(w) consiste de puntos

aislados y f:M-f-'( a, I - C es una función holomorfa sobre M.

[Desde ahora, identificaremos una función f E M (MI con la

correspondiente función holomorfa 1 f:M - P . I

DEMOSTRACIÓN

a. Sea f E M (MI y P = { polos de f } . Entonces f induce una

función f:M - P la cual es claramente continua. Supongase que

cp:u - v y *:u - v# son cartas sobre M y P'

respectivamente con f ( ' U I c 2'. Tenemos que probar que

1

g : = *ofocp-l:v - v8

es holomorfa.

Ya que f es holomorfa sobre M-P, se sigue que g es holomorfa

sobre V-(B(P). Por lo tanto, por el teorema 7 g es holomorfa

sobre V.

d. El recíproco se sigue del teorema 9..

OBSERVACION

De los teoremas 9 y 11 se sigue que el Teorema de Identidad

13

también es válido para funciones meromorfas sobre una Superficie

de Riemann. Luego, cualquier función f E A (MI que no sea

identicamente cero, tiene ceros aislados. Esto implica que M (MI

es un campo.

14

f 2. PROPIEDADES ELEMENTALES DE LAS FUNCIONES HOLOMORFAS

En esta sección observaremos algunas propiedades topológicas

elementales de las funciones holomorfas entre las Superficies de

Riemann.

12. TEOREMA

Sean M , N Superficies de Riemann, f:M- N una función no

constante y holomorfa. Sea a E M y b = f(a). Entonces existe un

cartas cp : U - V sobre M y $ :<u' - V' siguientes propiedades:

entero k 2 1 y sobre N con las

a. a E U, cp a) = O ; b E U', +(b) = O

d. f(U 1 c u'

c. La función F := $ofocp-':V - V' está dada por

V Z € V k F(z) = z

DEMOSTRACION

Primero observese que existen cartas (p :<u - Y sobre M y $:<u' - V' sobre N tal que las propiedades (a) y (b) son satisfechas si uno reemplaza {U,cp } por {Ul,cpl).

Se sigue del teorema 9 que la función

1 1 1

fl:= $ofocp;l :Y 1 - Y' es no constante.

Ya que f(0) = O , existe un k z 1 tal que fl(z)= zkg(z), donde

g es una función holomorfa sobre V con g(0) * O. Por tanto existe una vecindad de O y una función holomorfa h sobre esta

vecindad tal que hk = g. La correspondencia z w zh(z) define

1

2 = una función biholomorfa a:V - V de una vecindad abierta 2

15

Y1 de O sobre una vecindad abierta Y de O. Sea 'u :=

c p ; ' ( ~ ' ~ ) . Ahora reemplazamos la carta {u1,cpl} por la carta

{ U , q } donde cp = aocpl. Luego, por construcción, la función F =

Jiofocp-' satisface ~ ( 2 ) = z .. k

OBSERVACION

El número k del teorema 12 puede caracterizarse de la siguiente manera: para cada vecindad U. de a existen vecindades

'u c 'uo de a y W de b=f(a) tal que el conjunto f - ' (y) n U contiene exactamente k elementos para cada punto y E W, y # b.

con la cual el mapeo f El número k se llama la mu&&whd

toma el valor b en el punto a o simplemente se dice que f

tiene mLLetcpRcccdad

. . .

k en el punto a. . . .

EJEMPLO

k-1 k Sea f(z)=co+clz+. . .+c z +z un polinomio de grado k.

Si se considera a f como un mapeo holomorfo f : F " - IP' donde

f ( m ) = m, usando una carta sobre m, puede verificarse fácilmente

que 03 se toma con multiplicidad k.

k- 1

13. COROLARIO

Sean M,N Superficies de Riemann y sea f : M 4 N un mapeo

holomorfo no constante. Entonces f es abierto, es decir, la

imágen bajo f de cada conjunto abierto es abierta.

DEMOSTRACION

Del teorema 12 se ve que si U es una vecindad de un punto

a E M entonces f ( U ) es una vecindad del punto f ( a ) . Esto

implica que f e s abierta..

16

14. COROLARIO

Sean M , N Superficies de Riemann y sea f : M + N un mapeo

holomorfo inyectivo. Entonces f es un mapeo biholomorfo de M

sobre f ( M ) .

DEMOSTRACION

Al ser f inyectiva, en la descripción local de f del

teorema 12 se tiene, en todos los puntos, k=l. Por lo tanto el

mapeo inverso f - ' : f ( M ) + M es holomorfo..

15. TEOREMA

Sean M , N Superficies de Riemann. Supongase que M es

compacta y que f : M 4 N es un mapeo holomorfo no constante.

Entonces N es compacta y f es sobre.

DEMOSTRACION

Por el corolario 13 f ( M ) es abierto. Como M es compacto,

f ( M ) es compacto y en consecuencia cerrado. Al ser N conexo y

f ( M ) f 0 se tiene que f ( M ) = N. Así f es sobre y N

compacto.

16. COROLARIO

Toda función holomorfa sobre una Superficie de Riemann

compacta es constante.

DEMOSTRACION

Esto es consecuencia del teorema anterior ya que C no es

17

compact o.

17. COROLARIO

Toda función meromorfa f sobre lf" es racional, es decir,

puede escribirse como el cociente de dos polinomios.

DEMOSTRACION

La función solo tiene un número finito de polos, pues en caso

contrario estos tendrían un punto límite y por el Teorema de

Identidad f debería ser identicamente igual a m. Podemos

suponer que m no es un polo,en caso contrario se considera l/f.

Sean a , a . . , a E C los polos de f y 1 2" n

-1

la parte principal de f en el polo a para u = 1,2 ,..., n. La función g : = f-(hl+. . .+hn) es holomorfa sobre IP1 y por el

corolario 16 es constante. De esto se sigue que f es racional..

U'

18

rf 3. CUBIERTAS RAMIFICADAS Y NO RAMIFICADAS

Otro concepto necesario en el estudio de Superficies de Riemann,

es el de "cubierta*. En esta sección se recordará este concepto y

en particular se verán algunas propiedades de cubiertas

ramif icadas y no ramif icadas.

18. DEFINICION

Sean X,Y espacios topológicos y p:X _j Y una función

continua. Para y E Y, el conjunto p-l(y) se llama la &&ut de

p sobre y. Si x E p-'(y), se dice que el punto x se encwntruZ

& y. Si p:X 4 Y y q:Z + Y son funciones continuas,

decimos que el mapeo f:X + Z pmxmwa &thu si p = qof. Esto

significa que cualquier punto x E X, que se encuentre sobre el

punto y, es mapeado a un punto que también se encuentra sobre y.

En otras palabras, el siguiente diagrama es conmutativo,

Z

I. X - S Y

P

19. DEFINICION

Un subconjunto A de un espacio topológico es llamado

dhmeta si cada punto a E A tiene una vecindad V tal que

VnA = {a).

Una función p:X + Y entre espacios topológicos X,Y se

llama áhumtu si la fibra p-'(y) de cada punto y E Y es un

19

subconjunto discreto de X.

20. TEOREMA Sean M,N Superficies de Riemann, y p:M 4 una función

holomorfa no constante, entonces p es abierta y discreta.

DEMOSTRACION

Ya sabemos que p es abierta. Si la fibra de algún punto

b E Y no fuese discreta, por el Teorema de Identidad, p debería

ser identicamente igual a b.

Si p:M 4 es una función holomorfa no constante, diremos

& N. que M es un damuua . .

Una función holomorfa (meromorfa) f:M + C (f:M 4')

también puede ser considerada como una función multivaluada sobre

: j E J), entonces los N. Si y E N y la fibra p-'(y) =

valores y,), j E J son los diferente valores de esta funcibn {y,

J

multivaluada en el

p-l(y) sea un solo

punto

punto o

P

y. Por supuesto, podría suceder que

vacío.

f x-2

Como un ejemplo supongase M = C, N = c*=c-{o) y p = ~ x p : ~

4* Entonces la función identidad 1d:C + C corresponde al logaritmo multivaluado sobre C*, pues el conjunto Exp-'(b), donde

b E C , consiste de exactamente los distintos valores del logaritmo

de b. El siguiente diagrama ilustra lo anterior

*

20

21. DEFINICION

Sean M,N Superficies de Riemann y p:M + N una función

holomorfa no constante. Un punto x E M se llama puntCr ruuna a

f x lnhdemxd&acm * de p si no existe una vecindad V de x

tal que

,

9

sea inyectiva. La funcibn p es llamada @n&m

si no tiene puntos de ramificación. . . IV m m -

22. TEOREMA

Sean M,N Superficies de Riemann. Una función holomorfa no

constante p:M + N no tiene puntos de ramificación s í y sólo si

p es un homeomorfismo local, es decir, cada punto x E M tiene

una

vecindad U la cual es mapeada homeomorficamente por p sobre un

conjunto abierto V en N

DEMOSTRACION

Sea p:M 4 N sin puntos de ramificación y x E M arbitrario. Ya que x no es punto de ramificación, existe una vecindad abierta U de x tal que p es inyectiva. Como p es

continua y abierta, p mapea el conjunto U homeomorficamente

sobre el conjunto abierto V : = p(U).

IU

Recíprocamente, supongase que p:M + N es un homeomorfismo

local. Entonces para cualquier x E M existe una vecindad abierta U de x la cual es mapeada homeomorficamente por p sobre un

es inyectiva y x no conjunto abierto en N. En particular es punto de ramificación de

IU p..

21

EJEMPLOS

1. Sea k zr 2 un número natural, p :C + C la función

definida por pk(z) = z . Entoces O E Q: es un punto de

ramificación de p y la función p :C + C es no ramificada.

k - k

k k

2. Sea p:M N una función holomorfa no constante, x E M, y

:= p(x). Entonces x es un punto de ramificación de p

precisamente si la función p toma el valor y en el punto x

con multiplicidad 2 2. Por el teorema 12, la función p se

comporta, cerca de x, igual que la función p,, del ejemplo

anterior, cerca del origen.

* 3. La función Exp:Q: Q: es una función holomorfa no

ramificada, pues Exp es inyectiva sobre cada subconjunto U c Q:

que no contenga dos puntos que difieran por un múltiplo entero de

2ni.

22

4. LEVANTAMIENTO DE FUNCIONES

Habiendo introducido el concepto de cubierta, es interesante saber como son las funciones holomorfas en cubiertas de una Superficie

de Riemann. En esta sección se tratá este tema.

21. DEFINICION

Sean X,Y,Z espacios topológicos y p:Y X, f:Z __IX funciones continuas. Entonces por un & f

n . q x c h a p entenderemos una función continua g:Z _j Y que f = peg, es decir el siguiente diagrama conmuta:

can tal

Y

22. TEOREMA (unicidad del levantamiento)

Sean X,Y espacios Hausdorff y p:Y +X un homeomorfismo local. Supongase que Z es un espacio topológico conexo y que f:Z' __j X es una función continua. Si g ,g : Z +Y son dos

levantamientos de f y gl(zo) = g2(zo) para algún punto z E Z

ent once s

1 2

O - g1 = g2.

DEMOSTRACION

Sea T : = { z E 2 : gl(z) = g,(z)). El conjunto T es cerrado

ya que es la preimagen de la diagonal A c Y x Y bajo la función

(g,,g ):Z + Y x Y. 2

Ce afirma T es abierto.

Sea z E T y sea gl(z) = g2(z) := y. Ya que p es un

homeomorfismo local, existe una vecindad V de y la cual es

23

mapeada por p homeomorficamente sobre una vecindad U de p(y)

son continuas, existe una vecindad W de 81, g2 = f ( z ) . Ya que

z con gi(W) c V. Sea ahora (p :U -4 la inversa de

y observese que (p es continua. Ya que pog, = f, se tiene que

gilw = ( p o ( f l , ) para i = 1.2. Luego, glIw= g21w y W c T. Por

lo tanto T es abierto. Ya que Z es conexo y T es no vacío,

PIV - u

- entonces T = 2 y así gl - g2.=

23. TEOREMA Sean M,N y T Superficies de Riemann, p:T _.) N una función

holomorfa no ramificada y f:M 4 N cualquier función holomorfa.

Entonces todo levantamiento g:M _j T de f es holomorfo.

DEMOSTRACION

Sea c E M un punto arbitrario, b : = g(c) y a : = p(b) =

f(c). Existen vecindades abiertas V de b y U de a tal que

+ es biholomorfa. Sea (p = p :U +V. Ya que g es

continua, hay una vecindad abierta W de c tal que g(W) c V.

Pero f = pog implica g l w = ( p o ( f I w ) y así g es holomorfa en el

-1

IV

punto C..

CONSECUENCIA

Sean M,N y T Superficies de Riemann y p:T - N, q:M 4

funciones holomorfas no ramificadas. Entonces cada función

continua que preserva fibras f:T - M es holomorfa. En efecto,

f es un levantamiento de p con respecto a q.

LEVANTAMIENTO DE CURVAS

Sean X,Y espacios Hausdorff y p:Y + X un homeomorfismo

24

local. Estamos particularmente interesados en el levantamiento de

curvas u: [o, 11 -+ X. El teorema de unicidad de levantamientos nos asegura que un levantamiento ti: [0,1l + Y de u, si existe, está

determinado de manera única una vez que se ha especificado el

levantamiento del punto inicial.

FUNCIONES DE RECUBRIMIENTO

Una propiedad que garantiza la existencia de levantamientos

es la siguiente:

24. DEFINICION

Sean X,Y espacios topológicos. La función p:Y + X se llama , . . una&m&m&mm&ummh o simplemente un si se

satisface la siguiente condición:

Cada punto x E X tiene una vecindad abierta U tal que su

preimagen p-'(U) puede ser representada como:

p-'(u) = u VJ JEJ

donde los V ' s , JEJ son subconjuntos abiertos ajenos de Y y

todas las funciones p: V U son homeomorfismos. En particular, J

I J p es un homeomorfismo local.

EJEMPLOS

- 1 . Sea D = { z E C : IzI < 1 } y p:D C la inyección

canónica. Entonces p es un homeomorfismo local pero no es un

recubrimiento, pues ningún punto a E C con 1.1 = 1 tiene una

vecindad con la propiedad requerida en la definición.

25

* k 2. Sea k 2 2 un número natural y p : @ + @ , ZH z . Entonces pk es un recubrimiento pues, supongase que a E 9: es

arbitrario y escogemos b E @* con pk(b) = a. Ya que p es un

homeomorfismo local, existen vecindades abiertas VO de b y U

de a tal que p V+ U es un homeomorfismo.

Ent o nces

k

k

kl O

k- 1 p,l(U) = vo u wvo u . . . u w vo

donde w es una raíz k-ésima primitiva de la unidad, digamos

J w = Expr:]. Es claro que los conjuntos v = w vos j=o , . . . ,k-i J

son ajenos por parejas y cada p V _j U es un homeomorfismo. kl J

* 3. La función Exp:C + C es un recubrimiento.

En efecto, sea a E @* y b E @ con Exp(b) = a. Ya que Exp

es un homeomorfismo local, existen vecindades abiertas Vo de b

y U de a tal que ExplVo+ U es un homeomorfismo. Entonces

Exp-'(U) = u V , donde V = 2nin + Vo n n

nEZ

Claramente los V son disjuntos a pares y cada función

Exp + U es un homeomorfismo.

n

Ivn

NOTA

El concepto de recubrimiento se utiliza en el contexto de

espacios arco-conexos y localmente arco-conexos. Estas propiedades

las satisfacen las Superficies de Riemann.

25. DEFINICIÓN

26

Decimos que una función continua p:Y -+ X tiene la

PlLaPiedadde- de CUIAWA si la siguiente condición es

válida: Para cada curva u: [o, 11 4 X y cada punto y E Y con

p(yo) = u(o) , existe un levantamiento Q: [o,il -+ Y de u tal

que Q ( o ) = y o .

26. TEOREMA

Todo recubrimiento p:Y _j X de espacios topologicos X, Y

tiene la propiedad de levantamiento de curvas.

DEMOSTRACION

Sea u:[0,11 + X una curva y sea yo E Y con p(yo) =

~(0). De la compacidad de [o, 11, existe una partición

O = t < t l < . . . < t = 1 O n

y conjuntos abiertos U c X, k=l,. . . ,n con las siguientes

propiedades

k

b. p-l(Uki = u Vk J E J k J

son - k donde los Vk c Y son abiertos y p

homeomorfismos. Ahora probaremos por inducción sobre k=O,l, . . . , n J

J Ivk

la existencia de un levantamiento U -+ X con Q(o1 = yo.

Para k=O es trivial, luego supongase que k Z 1 y que

IIO,tkl .

+ X ya ha sido construido y sea Q(t ) =- Q 1 k-1 e y,-,* I O' tk,l

E 'k-1 - 'k. Ya que p(yk_,) = u(tk-l) E Uk existe jeJk tal que

Vk . Sea (p:U + V el homeomorfismo inverso de p

J J k J Ivk k

27

Si se define

se obtiene una extensión continua del levantamiente Q al

intervalo [O, tk1..

OBSERVACION Sean X, Y son espacios Hausdorff, p:Y -+ X es un

recubrimiento, y xo E X, y E Y son puntos tales que p(yo) = x . Entonces por el teorema anterior y la unicidad del levantamiento, para cada curva u: [O, 11 - X con u(o) = xo existe exactamente

un levantamiento U: [0,11 4 Y tal que Q ( o ) = yo. Cuando la curva es cerrada, el levantamiento Q no necesariamente es

cerrado. Un ejemplo de esto es el siguiente: Sea X = Y = U2

* * 2 p:e 4 , zl-+ z

x = yo = 1. Definimos la curva u:[O,lI _j C por u(t) =

e , u es cerrada, U(t) : = e define un levantamiento

Q: [0,1] -+ C de u con respecto a p en el punto inicial 1

Snit ni t

y punto final -1 .

27. TEOREMA Sean X, Y espacios Hausdorff con X arco-conexo y p:Y -+ X

es un recubrimiento. Entonces para cualesquiera dos puntos

en X los conjuntos p-l( xo 1, p-l( x1 1 tienen la misma cardinalidad. En particular, si Y es no vacío, entonces p es

suprayectivo.

xo’

DEMOSTRACION Construimos una función 9: p-l(xo)-p-l(xl) de la siguiente

forma: escogemos una curva u: [O, 11 -+ X que una x con x . O 1

28

Si y E p-'(x 1 es un punto arbitrario, entonces existe exactamente

un levantamiento Q:[0,11 -+ Y de u tal que Q ( o ) = y . Pongamos

q ( y ) : = O ( 1 ) E p-'(xl). La unicidad de los levantamientos implica que la función construida es biyectiva..

28. DEFINICION Con las notaciones del teorema anterior, la cardinalidad de , . .

p-líx), x E X, es llamada el nunuma de hajacL dee P y bien puede ser finito o infinito.

FUNCIONES O MAPEOS PROPIOS

Un espacio topológico Hausdorff se llama eaCaemente CQmClCCCtO

si cada punto en él tiene una vecindad compacta. Si X, Y son espacios localmente compactos, una función f:X

_j Y se llama FMap¿a si f-'(K) es compacto para todo K c Y compacto (por ejemplo, esto siempre es cierto si X es compacto).

Un mapeo propio es cerrado. Esto se sigue del hecho que en un espacio localmente compacto un subconjunto es cerrado precisamente

si su intersección con cada conjunto compacto es compacto.

29. LEMA Sean X, Y espacios localmente compactos y p:Y + X una

función propia y discreta. Entonces

- i. Para todo x E X , p-'(x) es un conjunto finito.

- ii. Si x E X y V es una vecindad de p-'(x),. existe una

vecindad U de x con p-'(x) c V.

DEMOSTRACION

- i Se sigue del hecho que p-'(x) es un subconjunto compacto y

discreto de Y. - i i Se puede suponer que V es abierto y así Y-V es cerrado.

Entonces p(Y-V) = A es cerrado y x @ A, y por lo tanto U := X-A

29

es una vecindad abierta de x tal que p-'(U) c V..

30. TEOREMA Sean X, Y espacios localmente compactos y p:Y _j X un

homeomorfismo local propio, entonces p es un recubrimiento.

DEMOSTRACION Sea E X y p-'(x) = {y,, . . . , y n) donde y, f y, si i f J.

Ya que p es un homeomorfismo local, para cada j=l, . . . , nexiste una vecindad abierta W de yJ y una vecindad abierta UJ de x tal que p W + U es un homeomorfismo. Podemos suponer que los W

son ajenos a pares. Ahora W u. . . uW es una vecindad de p-' (XI. 1 n

Luego, por (ii) del lema anterior, existe una vecindad abierta U

c U n . . . n U de x con p-'(U) c Wlu.. .uW . Si V : = W n 1 n n J J

p-l(U), entonces los V son conjuntos abiertos ajenos con

J

I J J J

J

y todas las funciones p V J U, j=l, ..., n son homeomorfismos.. I

FUNCIONES HOLOMORFAS PROPIAS

Sean M, N Superficies de Riemann y f:M 4 N una función

holomorfa, no constante y propia. Entonces A = {puntos de

ramificación de f} es un conjunto cerrado y discreto. Ya que f es

propia, B : = f(A) también es cerrado y discreto. B se llama

conjunto de oabzea clL¿ticaa de f.

-f -1 Sea N':= N-B, My:= M-f (B) c M-A. Entonces M'- N' es

un recubrimiento holomorfo propio no ramificado, luego tiene un

número bien definido de n ho.ias. Esto significa que cada valor c

E Y' es tomado exactamente n veces.

Para ser capaces de probar que esta afirmación también es

válida para los valores críticos b E B, tenemos que considerar

las multiplicidades.

30

Para x E M denotamos por uP(x,f) la multiplicidad con la

cual f toma el valor f ( x ) en el punto x. Entonces diremos

que f toma el valor c E Y, contando multiplicidades, m veces

si

m = a(x,f)

-1 L

x€p ( c )

31. TEOREMA Sean M,N Superficies de Riemann y f:M N una función

holomorfa, no constante y propia. Entonces existe un número natural

n tal que f toma el valor c E Y, n veces, contando multiplicidades.

DEMOSTRACION Usando la notación anterior al teorema, sea n el número de

hojas del recubrimiento no ramificado f + N'. Sea b E B un

k := df,x 1. Existen valor crítico,

vecindades ajenas U de x y VJ de b tal que para cada c E

J Vj-(b} el conjunto p-'(c) n U consiste de exactamente k

puntos (j=l, . . . , r). Por el lema anterior, podemos hallar una

vecindad V c VI n . . . n V de b tal que p-'(V) c Ulu.. .u U . Entonces para cada punto c E V n N' tenemos que p-'(c) consiste

I M' f-'(b) = {xl , . . . , x } ,

J J

1 J

J

de kl+. . . +kr puntos. Por otro lado, para c E N' la

cardinalidad de p-l(c) es igual a n y así kl+. . . +k = n. r

32. DEFINICION Y OBSERVACION

Una función holomorfa no constante será llamada un

ha .hnm@ de n haja6, donde n es el entero hallado . .

en el teorema anterior.

Observese que se permite que las cubiertas holomorfas tengan

31

puntos de ramificación.

33. COROLARIO

Si M,N son Superficies de Riemann con M compacta y

f:M N es una función holomorfa no constante, entonces existe

un número natural n tal que f toma cada valor c E N,

contando multiplicidades, n veces.

DEMOSTRACION

La función f es propia, ahora se aplica el teorema anterior..

32

f 5. FORMAS DIFERENCIALES

Las Formas Diferenciales son un concepto básico en el estudio de la geometria de una Superficie de Riemann. En esta sección se

recuerda la definición, se dan algunas propiedades básicas y se ilustra con algunos ejemplos.

Sea 'u un subconjunto abierto de C . Identificamos C con IR2

al escribir z = x + iy, donde x, y son las coordenadas estandar

de IR2. Denotemos por &('u) la C-álgebra de todas las funciones

f : ' u -+ C de clase Cm con respecto a las coordenadas x, y. Junto

con las derivadas parciales (a/ax) y (a/ay), también consideramos

los operadores diferenciales

a l a a a l a a az ax ay a: ax ay

-:= ;(- + I-). - $- - i-1,

Por medio de cartas complejas puede definirse la noción de

función diferenciable sobre cualquier superficie de Riemann M.

Para cualquier subconjunto abierto Y c M, & ( Y ) consiste de todas

las funciones f:Y -+ C tal que para toda carta z:U _j V c C

sobre M con U c Y existe una función 7 E &(VI con f = foz .

Claramente la función ? está determinada de manera única por f ,

pues f = f o @ , donde # : V 4 U es la inversa de z:U _j V.

N

1 %

N

Junto con los mapeos restricción natural se obtiene la gavilla

€ (ver A 6 ) de funciones diferenciables sobre la superficie de Riemann M. En lo que sigue diferenciable significará clase Cw.

Si {? . l , z ) , donde 2 = x + iy, es una vecindad coordenada

sobre M, entonces los operadores diferenciales

33

a a a -, -, - : &('U) + €(U) ax ay az az

; -

pueden definirse de manera obvia.

Supongase que a es un punto en M. Entonces la fibra Ea consiste de

todos los gérmenes de funciones diferenciables en el punto a.

Denotamos por m c € el subespacio vectorial de todos los gérmenes

de funciones que se anulan en a y por m c m el subespacio

vectorial de gérmenes de funciones que se anulan hasta el segundo

a 1 2 a a

orden. Se dice que un gérmen de función Q E m se anula hasta el

segundo orden si puede representarse por una función f tal que,

a

con respecto a una vecindad coordenada { U , z = x+iy) de a, se

tiene

Esta definición es independiente de la vecindad coordenada.

34. DEFINICION m

m EI espacio vectorial cociente T(')= 2 se llama el eapuch

2 a

txhmpde de M en el punto a. Si 21 es una vecindad abierta de a y

d f E T'l' a a

de f es e.1 elemento f E € ( U ) , entonces la cii&mwd

d f : = ( f - f ( a ) ) mod m2. a a

Observe que la función f - f ( a ) se anula en el punto a y así

representa a un elemento de m . Por definición su clase de

equivalencia módulo m es d f .

a 2

a

34

35. TEOREMA

Sea M una superficie de Riemann, a E M y {U,z) una vecindad

y d y coordenada de a,donde z = x+iy. Entonces los elementos dax a

forman una base del espacio cotangente T") . También d a z y d a a

es una base de

una vecindad de a, entonces

T") a

. Si f es una función que es diferenciable en

ar ar d f = -(a)dax + -(a)d a y ax ay

a

36. DEFINICION

Sea Y un subconjunto abierto en una superficie de Riemann M.

Por una cU&mmud * de @ m, o simplemente una l-&wnu,

sobre Y entendemos un mapeo

EJEMPLOS

- 1. Sea f E € ( Y ) . Entonces el mapeo df definido por

(df)(a) : = d f a

para todo a E Y es una 1-forma;

2. Sea w una 1-forma sobre Y y f:Y + C una función. Entonces

el mapeo fw definido por (fw)(a) := f(a)w(a) también es una

35

1-f orma.

37. DEFINICION

Sea Y un subconjunto abierto de una superficie de Riemann M.

Una 1-forma w sobre Y se llama (resp. itdhun&) si,

con respecto a toda carta { U , z ) , w puede escribirse en la forma

w = f dz + g dS sobre U n Y, donde f,g E s(UnY).

respectivamente,

o = f dz sobre ‘U n Y, donde f E O( ’unY) .

NOTAC I ON

Para cualquier subconjunto abierto ‘U de una superficie de

Riemann M denotaremos por €‘”(U) el espacio vectorial de

1-formas diferenciables sobre U y por n ( U ) el espacio vectorial

de 1-formas holomorfas. Estos espacios son gavillas con los mapeos

restricción natural (ver A 6).

38. DEFINICION

Una 1-forma w sobre un subconjunto abierto de una superficie

de Riemann se llama forma diferencial hoiomorfa sobre Y si existe

un subconjunto abierto Y ’ c Y tal que:

(i) w es una 1-forma holomorfa sobre Y’,

(ii) Y-Y’ consiste solamente de puntos aislados,

(iii) w tiene un polo en todo punto a E Y-Y’.

Si M(’)(Y) denota el conjunto de las 1-formas meromorfas

sobre Y, con las operaciones naturales y los mapeos restricción

36

es una gavilla de espacios vectoriales sobre M. Las 1) natural ,

1-formas meromorfas sobre M también se llaman d¿@mdah

Una diferencial abeliana se dice que es de la primer

clase si es holomorfa en todas partes, de la segunda clase si su

residuo es cero en cada uno de sus polos y de la tercer clase en

cualquier otro caso

39. DEFINICION (el "pull-back" de formas diferenciales)

Sea F:M + N un mapeo holomorfo entre dos superficies de

Riemann. Para todo conjunto abierto U c N el mapeo F induce un

homomorfismo

F*: €('U) &(F-'('U)), F*(f) := foF.

Generalizando, se puede definir mapeos correspodientes para

formas diferenciales

F*: &'"('U) -+ €(l)(F-l('U))

Localmente una 1-forma puede escribirse como una suma finita

J' gJ son diferenciables. Ponemos fjdgj, donde las funciones f

F*(C fJdgJ> = (FffJ)d(F*gJ).

Es fácil verificar que esta definición es independiente de la

representación local escogida.

37

f 6 , GAVILLAS

Las "gavillas" son otra herramienta Útil en el estudio de las Superficies de Riemann. En esta sección se recuerda su

definición, se dan algunas propiedades básicas y algunos ejemplos.

40. DEFINICION

Sea X un espacio topológico y 2 un sistema de conjuntos

abiertos en X. Una 7'- de ~ y u ~ p a b ahe&m~& & X es

una pareja ( X , p ) que consta de:

a. Una familia 3 = (3(U))UEQ de grupos abelianos.

b. Una familia p = ( p v ) u , v E , u c v , de homomorfismos de grupos,

donde V es abierto en U con las siguientes propiedades:

U

v U € Q U pu = Id3(U)

U P;"P; - para W c V c U - P"

OBSERVACION

Generalmente escribiremos 3 en lugar de (3 .p) . Los

U . . * En lugar se llaman rCebfhCCCCOn

PV homomorf i smos

de p t ( Í 1 para f 3(U) se escribe f . Análogo a pregavillas

de grupos abelianos pueden definirse pregavillas de espacios

vectoriales,anillos,conjuntos, etc.

I "

EJEMPLO

Sea X un espacio topológico. Para cualquier conjunto

abierto U c X sea E(U) el espacio vectorial de todas las

funciones continuas f:ü + C. si v c U, sea p::g(~) + G ( V )

38

el mapeo restricción usual. Entonces ( i J , p ) es una pregavilla de

espacios vectoriales sobre X.

41. DEFINICION

Una pregavilla 9 sobre un espacio topológico X se llama

una !i?aa¿tYu si para cada conjunto U c X y cada familia de

subconjuntos abiertos Ul c U, i E I tal que U = u Ui , las 1EI

siguientes condiciones (llamadas condiciones de gavillas) son

satisfechas

(I) Si f,g E 9(U) son tales que f - V i E I , IU, - glui entonces f = g.

(11) Si f l E 9(U1) , i E I son tales que

entonces existe f E 3(U) tal que f = fl V i E I. I ui

OBSERVACION

El elemento f, cuya existencia es asegurada por (11) es, por

(I), determinado de manera única.

EJEMPLOS

- 1. Para cada espacio topológico X, la pregavilla iJ definida

anteriormente es una gavilla.

- 2. Sea M una Superficie de Riemann y O(U) el anillo de

funciones holomorfas definidas sobre el conjunto abierto U c M.

39

Tomando el mapeo restricción usual O(U) + O(V) para V c U , se

obtiene la gavilla O de funciones holomorfas sobre M. La

gavilla M de funciones meromorfas sobre M se define

aná 1 ogamen t e.

3. Sea M una Superficie de Riemann y R ( U ) (respectivamente

M (U) 1 el espacio vectorial de las 1-formas holomorfas (resp.

meromorfas sobre U. Junto con los mapeos restricción natural,

R (resp. es una gavilla de espacios vectoriales.

( 1 )

" 1 )

40

f 7. GRUPOS DE COHOMOLOGIA

Otro concepto, que junto con el de Gavilla ayuda a comprender mejor

la estructura de una Superficie de Riemann, es el de Grupo de

Cohomologia. En esta sección se recuerda su definición y algunas

propiedades básicas.

42. DEFINICION

Sea X un espacio topológico y 9 una gavilla de grupos

una cubierta abierta de X. abelianos sobre X. Sea U =

Para q = O, 1,2,. . se define el q-ésimo ~/u<ea cacadena de 3 , { ui } 1E I

con respecto a U, como

Los elementos de Cq(91,3) se llaman q-cacadena6 . Luego Una

q-cocadena es una familia 9+ 1 1 , (i o,...,i le1

io,. . . , i q 4 (f

tal que

para todo

&(U n . . . n 1 io,. . . , i q io i q

f

q+l (io,. . . iq) E I

La ad,:ión de cocadenas se define componen-e a componente.

También se definen los cywmdma ca&uhaa

como

41

donde

:= f - fi E 3(Ui n UJ) gi,J J

(se sobreentiende que se restringen fi,f, a la intersección

Ui n U y se toma su diferencia). J

I = sea '( (f i J i , JEI (b) Para (fij)i,jc~ E C 1 ( U , 3 )

1 donde (giJk i,J,kEI

E 3(Ui n U n Uk) giJk i J - fIk - fJk J = f

(los términos del lado derecho se restringen a su dominio común

Ui n U n Uk. 1 J Estos operadores cofrontera son homomorfismos.

los elementos de Z1( l l ,3 ) se llama l-c¿.&u. Luego por

definición, una cocadena (f E C 1 ( U , 9 ) es un l-COCiC~O

prec i sament e si i J

fik = f + f sobre Ui n U n Uk ( * I i J jk J

f = -f i J J i

fii = o ,

Los elementos de B 1 ( l l , 3 ) son llamados 1--. En

particular cada cofrontera es un cociclo. Una cofrontera también

se llama un cac¿cea de6camplLeata. Así que un 1-cociclo (fiJ) E

Z1(U,3) ( g , ) E

C O ( U , Y F ) tal que

se descompone si y sólo si hay una O-cocadena

42

f = 8, - gJ iJ

43. DEFINICION

El grupo cociente

sobre

H'( U, 3) : = S1(U, 3)/g'(U, 3)

se llama el T a i m a 9w.p de E- ' con coeficientes en 9

con respecto a la cubierta U. Sus elementos se llaman clases de

cohomología y dos cociclos que pertenecen a la misma clase de

cohomología se dicen cahamatagaa. Luego dos ciclos son cohomólogos 9

precisamente si su diferencia es una cofrontera.

Los grupos H 1 ( U , 3 ) dependen de la cubierta 21. Para poder

tener grupos de cohomología que dependan s610 de X y 9, tenemos

que usar cubiertas cada vez más finas y tomar un límite.

s

Decimos que la cubierta abierta B = {VkIkEK es nux @nu que

'L la cubierta

está contenido en al menos un

U = {Ui), lo cual se denota por 8 c 21 , si cada Ui. Existe entonces un mapeo

7 : K _j I tal que

tl L E K 'k u7Ckl

Por medio del mapeo 7 podemos definir el mapeo

ta : Z1(U,3) + Z1(B ,3)

de la siguiente forma: para ( f E Z1(91,3) sea tL(fl,) = (girl) iJ

donde

b

Este mapeo manda cofronteras en cofronteras y entonces nos induce H'(21,d) 4 H'(5,b) un homomorfismo en los grupos de cohomología

el cual también denotamos por

44. LEMA

t:.

El mapeo

ta B : H ' ( l l , 3 ) + H ' ( 8 , S )

es independiente del mapeo refinante T :K 4 I.

45. LEMA

El mapeo to : H ' ( l l , 3 ) + H ' ( 8 , 3 ) es inyectivo. B

46. DEFINICION (De H 1 ( X , 3))

Si se tienen tres cubiertas abiertas tales que

E c % c 21. entonces

tBota = ta c B C

y podemos definir la siguiente relación de equivalencia - sobre

la unión ajena de los H 1 ( 2 1 , 3 ) , donde 21 corre sobre todas las

cubiertas de X. Dos clases de cohomología 5 E H 1 ( 2 1 , 3 ) y

I) E H ' ( l l ' , 3 ) se dicen equivalentes, < - I ) , si hay una cubierta

abierta 8 con 8 c 21 , 8 c 21' y tal que t;(c) = tiin). El

conjunto de clases de equivalencia es el llamado 2eUnite .fn.&dha

de los grupos de cohomología y se llama €e Y n h u n 9aup.a H ' ( l l , 3 )

e n e a g . c m u h . 3 . E n & t?- * d e x can- . .

s í mbo los:

La adición en H ' ( X , 3 ) se define por medio de representantes

como sigue: supongase que los elementos &,<c. E H 1 ( X , 3 ) son

representados por < E H ' ( l l , 3 ) respectivamente 1) E H 1 ( l l ' , 9 ) . Sea

44

B un refinamiento común de U y U', entonces (1: + 9 E H1(X,Y)

se define como la clase de equivalencia de ti(c) + ti(v) E

H'(B, 9 ) .

Se verifica que esta condición no depende de los

representantes y así H ' ( X , 3 ) es un grupo abeliano. Si 3 es una

gavilla de espacios vectoriales, entonces de manera natural

H 1 ( U , 3 ) y H ' ( X , 3 ) también son espacios vectoriales.

EL O-ESIMO GRUPO DE COHOMOLOGIA

Sea 3 una gavilla de grupos abelianos sobre el espacio

una cubierta abierta de X. Ponemos {"i } i E I

topológico X y U =

6 Z0(91,3) := Ker(CoUl,3) + C ' ( U , 3 ) )

B0(21,3) : = O

H 0 ( 9 1 , 3 ) : = Z0(U,3)/k0(S,3) = Z0(U,3)

De la definición de O se sigue que una O-cocadena (fi) E

- - J

f i lüinü C0(21,3) pertenece a Z O ( l l . 3 ) precisamente si

f V i , ~ E I. Por el axioma I1 de gavillas, los elementos

f i se juntan para obtener un elemento global f E 3(X) y así hay

un isomorfismo natural

A J p i n u J

H 0 ( U , 3 ) = Z0(U,3) Z 3(X)

Así los grupos H 0 ( 2 1 , 3 ) son independientes de la cubierta 21

y podemos definir

47. TEOREMA

Sea M una Superficie de Riemann compacta. Entonces

45

48. DEFINICION

Sea M una Superficie de Riemann compacta. El número

g : = dim H1(M,3) ,

se llama el paww de M

49. TEOREMA

Para la Esfera de Riemann IF1 se tiene

H'(P',O) = O

y por lo tanto es de género cero.

46

C A P I T U L O I1

En el capítulo anterior se desarrolló la herramienta minima para el estudio de Superficies de Riemann compactas. En este capítulo se usará esa herramienta para obtener resultados mas detallados.

En la sección 1 se recuerda uno de los resultados más importantes en el estudio de Superficies de Riemann, El Teorema de

Riemann-Roch, y se dan algunas de sus consecuencias.

f 1. EL TEOREMA DE RIEMANN-ROCH

DI VI SORES

Sea M una Superficie de Riemann. Un I)¿.e¿am sobre M es un

mapeo

tal que para cualquier subconjunto compacto K c M hay sólo un número finito de puntos x E K tales que D(x) f O . Con respecto a

la adición, el conjunto de todos los divisores sobre M es un grupo abelian0 el cual denotamos por Div(M1. También hay un orden parcial sobre Div(M) definido como sigue: dados D,D’ E Div(M1, ponemos D s D’ si D(x) 1 D’(x) tl x E M.

DIVISORES DE FUNCIONES MEROMORFAS

Sea M una Superficie de Riemann y Y un subconjunto

abierto de M. Para una función meromorfa f E M ( Y ) y a E Y se

define

47

O si f es holomorfa y no cero en a

k si f tiene un cero de orden k en a

-k si f tiene un polo de orden k en a

m si f es identicamente cero en una I vecindad de a

ord (f) := a

Tenemos entonces que para cualquier función meromorfa f E

M ( Y ) - ( 0 ) , el mapeo x H ord (f) es un divisor sobre M,

llamado €¿! DD¿wacyL de f,el cual será denotado por (f). #

Decimos que la función f es un mut.?2.pla del divisor D si

(f) = D. Entonces f es holomorfa si y sólo si (f) Z O.

Podemos definir el orden de una 1-forma meromorfa w E d l ) ( Y )

en un punto a E Y como sigue: sea (U,z) una vecindad coordenada

de a, de tal manera que sobre U n Y la diferencial w se representa como w = fdz , donde f es una función meromorfa. Se define ord (w) = ord (f). Puede verificarse fácilmente que esta

a definición es independiente de la elección de la carta coordenada

elegida. Para 1-formas w E M(')(M) - {O) el mapeo x w ord (u)

es otra vez un divisor sobre M que denotamos por (u). X

Para f,g E &(MI - {O) y w E MVM) - {O) se tienen las

siguientes relaciones:

1 (fg) = (f) + (g) , (7) = -(f) , ( f w ) = (f) + (u) Un divisor D E Div(M) se llama un PltLncipae si

existe una función f E M(M) - {O) tal que D = (f). Decimos que los divisores D,D' E Div(M) son linealmente si su

diferencia D - D' es un divisor principal.

9

Por un DD¿wacyL entendemos el divisor (w) de una 1-forma meromorfa w E &(')(MI - {O) . Cualesquiera dos divisores

E MVM) - (01 entonces canónicos son equivalentes pues si @I , O2

48

existe una función f E A(M) -{O) tal que u1 = fuz y así (u1) - (us) = (f).

EL GRADO DE UN DIVISOR Sea M una Superficie de Riemann compacta. Entonces para cada

D E Div(M) hay sólo un número finito de puntos x E M tales que

D(x) f O . Se define la función

llamado €2 9 4 . como

gr(D1 : = C D(x) XEM

El función gr es un homomorfismo de grupos. Observese que gr(f) = O para cualquier divisor principal (f) sobre una

Superficie de Riemann compacta ya que una función meromorfa tiene

tantos ceros como polos. Por lo tanto divisores equivalentes tienen

el mismo grado.

LAS GAVILLAS OD

Sea D un divisor sobre la Superficie de Riemann M. Para

cualquier conjunto abierto U c M se define OD(U) como el

conjunto de todas aquellas funciones meromorfas sobre U que son

múltiplos del divisor -D, es decir,

OD(U) : = { f E M(U) : ord (f) L -D(x) V x E U } X

(este conjunto también se denota por L(D))

Junto con los mapeos restricción natural OD es una gavilla . En el caso especial del divisor cero, D = O, se tiene OD = o. si

D, D’ E Div(M) son divisores equivalentes, entonces OD Y OD,

son isomorfos. Podemos definir un isomorfismo como sigue:

Tomemos ici E M(M) - ( 0 ) tal que D - D’ = (+l. Entonces el

homomorfismo de gavillas es el inducido por la multiplicación por #, es

49

decir,

OD-+ OD, # f H i ( r f

es un isomorfismo.

1. TEOREMA

Sea M una Superficie de Riemann compacta y D E Div(M) un

divisor con gr(D) < O. Entonces Ho(M.OD) = O.

DEMOSTRACION

Supongase que existe f E HO(M,O~) con f * O , entonces ( f )

t -D y se tiene

gr(f) t -gr(D) > O

y esto contradice el hecho que gr(f) = O.

2. TEOREMA ( RI EMANN-ROCH

Sea D un divisor sobre una Superficie de Riemann compacta

M de género g. Entonces Ho(M,OD) y H1(M,OD) son espacios

vectoriales de dimensión finita y además

dim Ho(M,OD) - dim H~(M,OD) = 1 - g + gr(D)

3. DEFINICION (INDICE DE ESPECIALIDAD)

Al número

UD) := dim H1(M,OD)

se le llama el indice de especialidad del divisor D. Luego el #

Teorema de Riemann-Roch puede escribirse en la forma

dim Ho(M.OD) = 1 - g + gr(D) + ¿(Dl

y en caso que gr(D) < 0 se tiene

i(D) = g - 1 - gr(D)

50

4. TEOREMA

Sea M una Superficie de Riemann compacta de género g y a

un punto de M. Entonces existe una función meromorfa no constante

f sobre M que tiene un polo de orden .C g + 1 en a y que

es holomorfa en cualquier otro lado.

DEMOSTRACION

Sea D : M + Z , el divisor definido por

D(x) = O V x f a D(a) = g + 1 Y

Por el Teorema de Riemann-Roch tenemos

dim Ho(M,OD) 2 1 - g + gr(D) = 2

5. COROLARIO

Sea M una Superficie de Riemann compacta de género g.

Entonces existe un mapeo cubriente holomorfo

lo más g + 1 ramas.

f :M + IP' con a

DEMOSTRACION

La función de teorema anterior cumple lo pedido..

6. COROLARIO

Toda Superficie de Riemann de género cero es isomorfa a la

esfera de Riemann.

DEMOSTRACION

Se sigue del hecho que un mapeo cubriente de una rama es

biholomorfo. . 51

7. DEFINICION (gavillas Q D l

Sea M una Superficie de Riemann compacta. Para cualquier

divisor D E Div(M) denotamos por L! la qad..!h de l-&ftmcm D

e que ac2n mué.t+tm úe -D. Luego para cualquier conjunto

abierto U c M el conjunto R (U) consiste de todas las formas

diferenciales w E M"'(U) tales que ord (w) L -D(x) V x E U.

En particular no= R es la gavilla de todas las 1-formas

D

X

holomorfas.

Sea w E M"'(M) una 1-forma meromorfa no trivial sobre M,

por ejemplo w = df , donde f E A(M) es una función meromorfa no

constante. Sea K el divisor de w. Entonces para un divisor

arbitrario D E Div(M) la multiplicación por w induce un

isomorfismo

o ;aD, f + f w D+K

8. TEOREMA

Sea M una Superficie de Riemann compacta de género g y

D E Div(M) entonces

dim H1(M,OD) = dim Ho(M.R

en particular para D = O se tiene

g = dim H'(M,O) = dim Ho(M,Q)

Este teorema nos dice que el género de una Superficie de

Riemann compacta M es igual al número de 1-formas holomorfas

linealmente independientes sobre M.

52

Podemos reformular el Teorema de Riemann-Roch como:

dim Ho(M,O - - dim Ho(M,RD) = 1 - g - gr(D)

9. TEOREMA

El divisor de una 1-forma meromorfa no nula w sobre una

Superficie de Riemann compacta de género g satisface

gr(o) = 2g - 2

DEMOSTRACION

Sea K = (o) . Por el Teorema de Riemann-Roch

dim Ho(M,OK) - dim H1(M,OK) = 1 - g + gr(K)

y como R = O se tiene K

1 - g + gr(K) = dim Ho(M,R) - dim H 1 ( M , R ) = g - 1-¤

10. TEOREMA

Sea M una Superficie de Riemann compacta de género g y

D E Div(M) . Entonces

H1(M,OD) = O cuando gr(D) > 2g -2.

DEMOSTRACION

Si gr(D) > 2g - 2 entonces gr(K-D) < O .

Como R = tiene H O ( M , O = O , pero - D K-D

HO(M,O = H'(M,R 1 = H'(M,o~) K-D -D

53

f 2. EL ESPACIO VECTORIAL L(DL

Asociado a un divisor sobre una Superficie de Riemann, se tiene un espacio vectorial de funciones, el cuál proporciona información

sobre los polos y ceros de funciones con respecto a este divisor.

En esta sección se recuerda la definición de este espacio y se dan

algunas de sus propiedades.

11. LEMA

Sea R un dominio que no sea un campo. Si R es

Noetheriano, local y su ideal maximal es principa1,entonces existe

un elemento irreducible t E R tal que cada z E R no nulo

puede escribirse de forma única como z = ut" , u E R*,

n E H u {O), (R denota el grupo de unidades de R).

DEMOSTRACION

Sea 3R el ideal maximal de R y t un generador de R.

Supongase que tenemos ut" = vtm , u,v E R*, n z m. Entonces

tn-m = u-lv E R* , y por lo tanto n = m y u = v. Debemos

probar ahora que todo z E R posee una expresión del tipo que se

nos pide. Podemos suponer que z no es invertible, pues en caso

contario se tendría lo pedido. Se tiene entonces z . = zlt para

un cierto z E R . S ~ z es invertible se termina la

demostración, si no, tendremos z = z2t. Continuando de esta

manera obtenemos una sucesión infinita z = z t . Como R es noetheriano, la cadena de ideales (21) c ( Z J c . . . ha de

poseer un elemento maximal y por lo tanto z = vz para algún

v E R*, por consiguiente z = vtz y así vt = 1. Esto es una contradicción con el hecho que t no es invertible, por lo tanto,

1 1 '

1

1 1+1

n+ 1 n

n n

54

en algún momento se tiene = utn con u e R* y n e í~ u {O).

12. DEFINICION ,

El elemento t del lema anterior se llama un pahamethcr de

Observamos que cualquier otro parámetro de uniformización de *

R es de la forma ut con u E R ,

13. DEFINICION

Sea M una Superficie de Riemann compacta y p E M. Se

define .el an¿eea eaCae de M en p , denotado por O (MI como el

anillo de gérmenes de funciones regulares sobre M cerca de p.

Es decir, un elemento de O (MI es una pareja ( U , f ) donde U

es un abierto de M que contiene a p, f es una función

racional sobre M y al escribir f = g/h sobre U se tiene

h(p1 f O.

P

P

14. LEMA

El anillo local O (MI es un dominio local noetheriano. Su

ideal maximal Sn es el conjunto de todos los gérmenes de

funciones regulares que se anulan en p.

P

DEMOSTRACION

Si f ( p ) f O , entonces l/f es regular en alguna vecindad

de p y por lo tanto f es invertible.,

15. LEMA

55

Sean D, D1, D E Div(M) entonces 2

( a ) Si D1 5 D2 se tiene L(D1) c L(D2) y además

dim (L(D2)/L(D1 1) s gr(D2-D1 1

( b ) Si p E M entonces dim (L(D+p)) = dim (L(D)) + 1

DEMOSTRACION

( a ) La primer afirmación es trivial.

Supongamos que D2 = D1 + p, + . . . + ps. Entonces se tienen

las inclusiones

L(D1) c L(Dl+pl) c . . , c L(Dl+pl+. . .+ps)

Entonces es suficiente probar que dim (L(Dl+p)/L(D)) 1.

Sea t un parámetro de uniformización de O (MI y sea r = P n el coeficiente de p en D1. Definimos P

Como ord (f) h -r-1 , cp está bien definida. Se comprueba P

facilmente que cp es una aplicación lineal. Tenemos

r + l híp)

Kercp={ f : (p(f) = O } = { f : f(p) = o } = g(p) + l

= { f : h(p)"'f(p) = O } = L(D)

(t = ' con h(p) = O, g(p) # O )

y así (p induce una aplicación inyectiva g

- cp :L(D~+~)/L(D~) --+ c

de donde obtenemos la conclusión.

( b ) Es una consecuencia inmediata de ( a ) . .

56

f 3. LOS HUECOS DE WEIERSTRASS

En esta sección se verá un poco más la fuerza que tiene el Teorema de Riemann-Roch al estudiar los "Huecos de Weierstrass" asociados

a un punto sobre una Superficie de Riemann compacta.

16. TEOREMA (Teorema de los "huecos" de WEIERSTRASS: THW) Sea M una Superficie de Riemann compacta género positivo g

y sea p E M arbitrario. Entonces hay g enteros, n ..,n con 1' - 9

c n < 2 g l = n < n2 < . . . 9 1

tal que no existe una función f E M ( M I holomorfa, excepto en p

y con polo de orden n en p. J

DEMOSTRACION

Si definimos la sucesión de divisores por medio de las

re 1 ac i ones :

D = O y D , = D + p para j r l O J-1

debemos demostrar que existen los enteros positivos n tal que no existe una función f E L(D 1 - L(Dn I .

J n J J-1

Puesto que estamos en el caso que g > O, 1 es uno de los enteros que buscamos.

De la relación

O 5 ho(DJ) - ho(D 4 1 V J J-1

se deduce que el entero k es uno de la lista buscada sí y sólo

si ho(DkI - ho(D 1 = 1 k-1

Del Teorema de Riemann-Roch se tiene

ho(DJ) = j - 1 + ho(K-D J

57

ho(D = j - 1 + 1 +ho(K-D 1 J-1 J-1

de donde obtenemos

ho(DJ) - ho(D ) = 1 + ho(K-DJ) - ho(K-D 1-1 J-1

I

entonces, para todo k h 1

ho(Dk) - ho(Do) = k + ho(K-Dk) - g

o bien

ho(Dk) - 1 = k + ho(K-Dk) - g

El número a la derecha de la última igualdad nos dá el número

de enteros que no son los n ' s y que son menores o iguales que k. Tomemos ahora k = 2g - 1, luego gr(Dkl = 2g - 1 y se tiene

que ho(K-Dk) = O,

J

y entonces

k - # {"n ' s " s k } = k - g es decir, hay precisamente g, "n ' s i ' y todos ellos son 5 2g -1..

J

J

17. DEFINICIONES Los enteros que aparecen en el Teorema anterior se llaman &a

huecacs de Weierstrass en p. El complemento con respecto a iN de los

huecos en p se llaman eoA n~ fuecm en p.

OBSERVACIONES

1. Los no huecos en p forman un semigrupo pues si a a J ' k

son dos no huecos entonces existen funciones fl,fe E A (MI

-

holomorfas en M - {p) con polo de orden a CY en P J' k

respectivamente y por lo tanto

M - {p) y tiene polo de orden a +a en p.

2- Hay exactamente g no huecos en (2.3,. . . ,2g} con 2g

flf2 E M (MI es holomorfa en

1 2

siempre un no hueco.

3. Si M tiene género g = O , el THW vale para este caso pues

58

siempre hay una función con polo (simple) y así no hay huecos.

NOTAC I ON

l = n < n 2 < . . . < n < 2g 1 9

Y

1 < al < as < . . . < a = 2g 9

denoterán respectivamente los huecos y los primeros g no huecos

en algún punto p.

18. PROPOSICION

Para todo entero j , O < j < g se tiene

a + a Z 2 g J 9-J

DEMOSTFUCION

Supongamos que para algún j se tiene a + a < 2g.

Entonces para cada k 5 j se cumple a + a < 2g. Luego,

sin contar tenemos cuando menos j no huecos entre a

a a ni a a . Se tienen por lo menos

J 9-J

k 4- J

9- J y aJ

9-J J

( g - j) + j + 1 = g + 1

no huecos 5 2g.

19. PROPOSICION

a = 2 ssi a + a = 2 g v o < j < g . 1 J g - J

DEMOSTRACION

s. Si suponemos a = 2, del hecho que los "no huecos" es un 1

59

semigrupo aditivo se ttiene que a = 2j V j y obviamente J

a + a = 2g. J 9-2

b. Se supone ahora que a + a = 2g V O < j < g.

observamos que a, 2a, 3a, .. . , [ ig 3 al son "no huecos", pero si

sucede que a > 2 entonces en este número hay a lo más sg < g "no

huecos" luego debe haber otro "no hueco" I 2g. Sea a el primer "no

J 4-1

a 1

1

hueco" que no aparece en la enumeración previa, entonces existe un

entero r, con 1 5 r 5 [ ;g ] < g que cumple 1

ra < a < (r+l) al. 1

En consecuencia, tenemos los siguientes "no huecos"

a a = 2al, . . . , a = ra a = a 1' 2 r 1' r+l

y por nuestra suposición

a = 2g-al, . . . , a = 2g -ra1* a9++l) = 2g-a

[ observese que s i r+l = g, entonces a = 2g y la última igualdad g-1 9-r

se lee a = O, la cual podemos adicionar consistentemente a

nuestros datos I. O

Estos son todos los "no huecos" que son z a y que son g-(r+l)

también 5 2g. En consecuencia

2g > 2g+(al-a) = a +a

y al considerar la lista de "no huecos"

= a +2g-a = 2g-ía-al) > 2g-ral = a 1 g-(r+l) 1 9-r

a = a a = 2g-a 1 1 g-(r+l)

a = 2a 2 1

a = 2g-ra 9-r

a = ra a = 2g-2al r 1 9-2

a = a r+l

a = 2g-al g-1

60

vemos que hay un "no hueco" < 2g, mayor que a y que no está

en la lista de la derecha..

9-r

20. COROLARIO 9-1

z g(g-1) con igualdad ssi a = 2. E OLJ 1 Se tiene J =1

DEMOSTRACION 9-1

+ a 2g(g-1) 4-2+ OL2 + ag-l 1 2 Ea, = a + a + a + a + . . . + a

1 g-1 2 9-2 J=l

Además, si a = 2 hay igualdad y si al> 2 hay desigualdad

estricta.

1

OBSERVACIONES IMPORTANTES

- 1. Hemos visto que j 2 1 es un ''hueco" en p E M

ss i

ss i

esto es, ssi existe sobre M una u E i2( (j-1)p) - n( jp), donde

ho(jp) - ho((j-l)p) = O

ho(K-(j-l)p) - ho(K-jP) = 1

R(rp) : = { w : (u) 2 rp } = { w : ord w = r }

ssi existe sobre M una diferencial abeliana de la primera clase

con un cero de orden j-1 en p. En consecuencia los posibles

ordenes en p de diferenciales abelianas de la primera clase son

precisamente

P

O = n-1 < n-1 < . . . < n-1 s 2g-2 1 2 9

donde los n ' s son los ''huecos" en p.

2. Dado un punto p sobre una superficie de Riemann M de

género g > O , existe una diferencial w E que no se anula

en p, esto es ord (w) = O.

J

P

61

21. DEFINICION

Dado p E M

o. si escribimos

en es,e caso se (

se define el peaa de p, denotado t ( p ) , como

1 ce que el peso está tomaL-, con respecto a H ( I .

22. DEFINICION

Un punto p E M se llama un punta de Weie/Latruzd6 si t(p) >O.

Algunas preguntas que surgen de manera inmediata son: ¿existen

puntos de Weierstrass sobre una Superficie de Riemann M? Si la respuesta es afirmativa, ¿cuántos hay?

La primera pregunta la respondremos afirmativamente (si la

superficie es de género g L 2) y, para la segunda veremos que

siempre hay un número finito de estos puntos.

Para poder responder las preguntas necesitamos hacer un

trabajo extra que iniciaremos con el concepto que vamos a explicar

a cont i nuac i ón:

Sea A un espacio vectorial de dimensión finita de funciones

holomorfas sobre un dominio D C ic . Supongamos que dim(A)=n L 1.

Sea z E D. Por una &aae de A adaphda a z entenderemos una base

{gl,. . . ,# } de A que cumpla n

ord 9 < ordz $ < . . . < or$ $ 2 1

Dicha base puede construirse de la siguiente manera:

62

Sea p = min { ordz# } 'EA

y escogemos A con ord 4~ = . A continuación consideramos

1

z 1 pl

el espacio vectorial (de dimensión n-1)

Al= { q5 E A : ordz+ > p, }

en forma similar a pl (solamente que se y se escoge

considerará el espacio A I . Por inducción se puede construir la

base adaptada a z.

p2

1

23. PROPOS I C I ON

Sea {#l,. . . ,#,} cualquier base de A. Considerese la función

holomorfa (el Wronskiano)

O(z) := det

entonces ord Q = t(z).

DEMOSTRACION

+p) . . . 'n(z)

. . .

Escribiremos, por brevedad, el Wronskiano en la forma

O(z) = det[$l,. . . .@ ,I

Para probar la proposición necesitamos una propiedad del

Wronskiano que es una consecuencia inmediata de las propiedades de

los determinantes y la enunciamos a continuación:

'n det[f+l,. . . ,f$nl = fndet[#l,. . . ,

Se prueba ahora la proposición haciendo inducción sobre n. La

63

afirmación es obviamente cierta en el caso n = 1. Supondremos

ahora que la proposición es cierta para n = k. Explícitamente se

está suponiendo que 9

ordzdet[Ól,. . . , $ k l = 1 ( p , - j + 1 ) J = l

= ord $ . Considerse ahora det[gl,. . , @ k + l l . Es claro c(J Z J

donde

de la observación precedente que

El lado derecho de la igualdad es simplemente

+:*‘de t [ ( $2/$1 1 ’ , . . . , ( $k+l/+l 1 ’ 1

La hipótesis de inducción nos dice que (si ponemos

k k

k + l k + l

con tal que para cada j, p -(j-l)-pl h O. Ya que {$,} es una

base adaptada a z, esta desigualdad siempre se satisface y en J

consecuencia tenemos: k + l

ordzdet [ $1, . . . , $k+l I = C (p,-j+l) J = 1

24. COROLARIO

Sea A un espacio vectorial de dimensión finita de funciones

holomorfas sobre D c C . El conjunto de puntos z E D con peso

positivo con respecto a A es discreto.

64

25. COROLARIO

Bajo las hipótesis del corolario anterior, para un conjunto

abierto denso en D, la base {#l,. . . , # 1 de A adaptada a z

tiene la propiedad

n

ord 4 = j - 1. Z J

DEMOSTRACION

Por hipátesis se tiene ord # = pj. Por el corolario n

anterior tenemos que ~ ( z ) = (p,- j+ l ) = O para un conjunto Z J

J J=l

abierto denso. Ya que, como hemos observado anteriormente,

= j -1 para cada j sobre este conjunto pJ

se tiene

denso. , De paso hemos demostrado parte de la siguiente

PJ" 3-1

abierto

26. PROPOS I C I ON

Un punto p sobre una superficie de Riemann M de género

g z 2 es un punto de Weierstrass ssi existe una diferencial

holomorfa sobre M con un cero de orden h g en p. Esta

condición es equivalente a cualquiera ( y en consecuencia a ambas)

de las siguientes:

- i. ho(K - gp) > O.

- ii. ho(gp) h 2

es un "hueco" 1.

(esto es, al menos uno de los enteros 2, ....g no

65

DEMOSTRACION

El primer ssi es consecuencia inmediata de la proposición

anterior. Que la condición sea equivalente a (ii) es fácil pues

dice que al menos uno de los enteros 2,. . . ,g no es un "hueco",

entonces debe haber al menos un "hueco" en g+l, . . . ,2g-1 y esto

dice que, si por ejemplo, g+j es un hueco entonces

ho((g+j)p) - ho((g+j-l)p) = O

o sea

ho(K - (g+j-l)p) - ho(K - (g+j)p) = 1

es decir, existe una diferencial holomorfa con orden en p igual

a g+j-1 h g. Esto es lo mismo que ho(K - gp) > 0..

27. TEOREMA Sobre una superficie de Riemann compacta M de género g , el

número de puntos de Weierstrass, contados según sus pesos, es

(g-l)g(g+l) = 1 t(p) Pen

DEMOSTRACION

Se dará mas adelante.

28. COROLARIO

En una superficie de Riemann compacta de género g 2 2

siempre hay puntos de Weierstrass.

29. TEOREMA

Sea M una superficie de Riemann compacta de género g h 2. Entonces el peso de un punto con respecto a las diferenciales

abelianas holomorfas es IS g(g-1112. Esta cota es alcanzada solo

66

por los puntos cuya sucesión de "no-huecos" se inicia con 2.

DEMOSTRAC I ON

Seam 2 s al < a2 < . . . < a = 2g los primeros "no-huecos"

en p. Seam entonces 1 = n < n < . . . < n < 2g los g "huecos" 1 2 9

en p. Se tiene

4

9 2 9 9 2 9 - 1 2 9 - 1 9 - 1

t(p) = ( n J - j ) = j - C aJ - C j = C j - OLJ J = l J = l J = l J = l J = g + l J = l

3 1 2

= -g(g-l) - g(g-1) = $g-l)

cumpliendose la igualdad ssi a = 2.. 1

30. COROLARIO

Sea W el número de puntos de Weierstrass s o b e una

superficie de género g Z 2 , entonces:

2 g + 2 = w = (g-l)g(g+l) = g3- g.

DEMOSTRACION

Sea 1 = t = mínimo peso de un punto de U, y sea también O

g(g-1) = tl = máximo peso de un punto de U. Entonces 1 2

r(p) = (g-l)g(g+l) = t l W = -g(g-l)W

y se tiene la primera desigualdad. Para la segunda se considera

t(p) = (g-l)g(g+l) = t w = u.. O

OBSERVACION

La primera igualdad se alcanza ssi cada punto de Weierstrass tiene como sucesión de "huecos" 1,3, . . . , 2g-1. Cuando se tiene esta situación se dice que es una superficie de Riemann hiperelíptica.

Estas superficies serán consideradas en el capítulo 111.

67

S 4. LA FORMULA DE RIEMANN-HURWITZ

En muchas situaciones es necesario determinar el género de una

Superficie de Riemann cuando es cubierta de otra Superficie de

Riemann. En esta sección se dá un resultado en esta dirección.

Sean M,N superficies de Riemann compactas y f:M + N una

función holomorfa no constante. Para x E M sea a(f,x) la

multiplicidad con la cual f toma el valor f ( x ) en el punto x.

El número b(f,x) = df,x) - 1 se llama el oltden de

de f en el punto x. Observese que b(f,x) = O ssi ’ . .

f no es ramificada en x. Ya que M es compacta, hay solamente

un número finito de puntos x E M tal que b(f,x) * O. En

consecuencia el número

b(f) : = b(f,x) X E M ’

que se llama el ariden tatae de ’ está bien definido.

31. TEOREMA(fórmu1a de Riemann-Hurwitz)

Sea f:M + N un recubrimiento holomorfo (ramificado), con n

hojas, entre superficies de Riemann compactas con orden total de

ramificación b = b(f). Sea g el género de M y g’. el género

de N. Entonces 2g - 2 = b + n(2g’ - 2 )

DEMOSTRACION

Sea w una 1-diferencial meromorfa no nula sobre N.

Entonces gr(w) = 2g’- 2, y como f w es una 1-diferencial

meromorfa no nula sobre M entonces gr(f w) = 2g - 2.

68

Sea x E M, f(x) = y. Entónces existe una vecindad

coordenada {'U, z} de x (resp. {U' ,;} de y ) tal que z(x) = O

(resp. s ( y ) = O 1 y tal que, con respecto a estas coordenadas,

podemos escribir a f como z = z donde k = a(f,x). 4" k

k Sobre 'U' w = #(z Ids. Entonces sobre 'U se tiene

k-1 f*w = #(zk)dzk = kz #(zk)dz

esto implica

ord ( f * w ) = b(f,x) + a(f,x)ord (u) X Y

(esta última igualdad se sigue de las igualdades siguientes:

k-1 k-1 = ord z = b(f,x); X

ord w = ord # y :. ord #(zk) = kaord (u) Y Y Y Y

a(f,x) = n tl y E M se tiene entonces E- 1 Ya que

X€f ( y )

b(f,x) + n-ord (u) Y

ord*(f w) = E-, XEf ( y )

E- 1 X xef ( y )

32. COROLARIO

Con las notaciones anteriores podemos darnos cuenta que b

siempre es par.

33. COROLARIO

Supongamos que la cubierta f no es ramificada,es decir, b=O

y mantengamos las demás hipótesis del teorema anterior, entonces

- i. g = O implica n = 1 y también g' = O.

- ii. g = 1 implica g' = 1 y n es arbitrario.

69

- iii. g > 1 implica

(a) g = g’ para n = 1.

(b) g > g’ > 1 para n > 1 y además n divide a g - 1..

34. COROLARIO

Con las hipótesis de teorema anterior se tiene

- i. g = O implica g’ = O.

- ii. Si 1 s g = g’ entonces sucede alguna de las dos cosas

siguientes

(a) n = O y por lo tanto b = O o bien

(b) g = 1 y por lo tanto b = 0..

A continuación se definiráel determinante Wronskiano para las

1-diferenciales y veremos algunas de sus propiedades que nos serán de gran utilidad posteriormente.

Sea como siempre M una superficie de Riemann compacta de

género g h 1 y wl,. . . ,u una base de R(M). Para cualquier

vecindad coordenada {U,z) podemos definir el W a a m k h a a (el cual

es una función holomorfa sobre U ) , que denotaremos aZ(w1,. . . ,w 1,

como sigue: sobre esa vecindad escribimos w = fldz y entonces

g

(I

1

ponemos

o (u1, . . . ’ O 1 := 4(f1,. . . ’ f 1 z 9 9

donde el término de la derecha es el wronskiano que se definió

anteriormente y las derivadas de las funciones se toman con fl

respecto a z .

El comportamiento del wronskiano cuando se cambian las

coordenadas nos lo dá el siguiente:

70

35. TEOREMA .-.

Supongase que { 'U,z) y { U , ; ) son dos vecindades coordenadas .-.

sobre M. Entonces sobre 'U n u se tiene

1 donde N = ;g(g+l).

DEMOSTRACION .-. .-.

dz

dz Ponemos 9 : = -- E O('U n U). Definimos también las funciones

.-.

fk y Fk sobre U n U por medio de las relaciones

w = fkdz = Fkd;

y se tiene fk = Ik?k. Por inducción sobre m y utilizando la k

regla de la cadena puede demostrarse sin dificultad que

donde las @m son funciones holomorfas sobre U n '% y son

independientes de k. En consecuencia se tiene P

dmf m + í dm? dzm =O, . . . ,g-1 = det (* . . . , g - 1

det (d)

k=1, . . . , g k=l,. . . , g

1

2 Y Ya que 1 + 2 + . . . + g = -g(g+l) se sigue el resultado..

NOTA .-. .-. Si wl,. . . ,u es otra base de R(M), existen constantes c E

'k 4 - C con det(c ) = c f O tal que w = cc,w , y

'k ' k k

71

C A P I T U L O I11

En el capitulo anterior se dieron algunos resultados básicos sobre

Superficies de Riemann compactas. En este capitulo se estudiaran

algunos resultados sobre un tipo particular de Superfies de

Riemann: las superficies "hiperelipticas".

f 1. SUPERFICIES DE RIEMANN HIPERELIPTICAS

Antes de dar la definición de una superficie de Riemann

hipereliptica daremos una definición equivalente de los punto de

Weierstrass y demostraremos algunas propiedades que se quedaron

pendientes en el capitulo anterior.

1. DEFINICION

Sea M una superficie de Riemann compacta de género g L 1. Un

punto p E M se llama de W e i m m ú a m si para una base

{u1,. . . ,w } de R(M) y una vecindad coordenada {U,z) de p, el

determinante wronskiano O (ul,. . . ,w 1 tiene un cero en p. El

orden de este cero es llamado el peaa del punto de Weierstrass y se denotará por t(p).

9

Z 9

NOTAS

- 1 . Esta definición no tiene ambigüedad debido al último teorema

del capitulo anterior.

72

2. Esta definición es equivalente a la definición 22, A3,II.

2. TEOREMA

Sea M una superficie de Riemann de género g y sea p E M.

Entonces existe una función meromorfa no constante f E M(M) la

cual tiene un polo de orden 5 g en p y es holomorfa en M-{p) s í

y sólamente si p es un punto de Weierstrass s í y sólamente si

existe w E S X M ) con ord w 5 g-1. P

DEMOSTRACION

Ver teorema 26, A3,II.

3. TEOREMA

Sobre una superficie de Riemann compacta de género g , el

número de puntos de Weierstrass, contados según sus

multiplicidades es

DEMOSTRACION

Sea una cubierta de M por vecindades zi)iEI

= dz --I es hoiomorfa y J

coordenadas. Sobre 'Uin'U J la función 'iJ dz

no tiene ceros. Con respecto a una base fija E R(M) sea O1, - * 9

ai - - az (u1,. . . ,w 1 E O W i ) (el wronskiano) 9 i

por el teorema 35, Á4,II se tiene

(1) 1 ai = \k" O sobre 'Ui& donde N = ;g(g+l) i J J J '

73

Tomando D(x) := ord (ai) para x E Ui, se define el divisor

sobre M correspondiente a los puntos de Weierstrass Junto con sus

X

respectivos pesos, es decir,

D = t(p)p

por lo tanto gr(D) = 7(p) y la demostración estará completa

una vez que se pruebe que gr(D) = (g-l)g(g+l).

Pen

PEn

Sea D1 el divisor de w . Entonces gr(D1) = 2g-2. Si 1

w = flldzi sobre U entonces 1 i'

Dl(x) = ord (fli) V x E U1.

Además

fll = 9 f sobre U1nU 1J 1J J

(2)

De (1) y (2) se sigue

0 f-N = IJl f-N sobre U n'u i 11 J 1J 1 J

y existe entonces una función meromorfa global f E M(M) tal que

Para el divisor de f se tiene

(f) = D - N*DI

y puesto que gr(f) = O se sigue que

gr(D) = N-gr(D1) = ;g(g+1)(2g-2) 1 (g-l)g(g+l)

4. DEFINICION *

Una superficie de Riemann compacta M se llama hQxmd¿pt¿ca

si existe un divisor efectivo D sobre M tal que

74

gr(D) 7 2 y ho(D) h 2

Equivalentemente, M es hiperelíptica s í y sólamente si M

admite una función meromorfa no constante con exactamente dos

polos.

Si M tiene una función con las características anteriores

entonces cada punto de ramificación tiene número u orden de

ramificación 1 y , por lo tanto, el género y el orden total de

ramificación b (que en este caso es igual al número de puntos de

ramificación) de f están relacionados por (usando la fórmula de

Riemann-Hurwi tz)

b = 2g+2

OBSERVACIONES

- 1. Podemos por lo tanto describir una superficie de Riemann

hiperelíptica de género g como una cubierta doble de la esfera de

Riemann la cual es ramificada en 2g+2 puntos.

2. Algunos autores restringen el término i@e-diptica a ,

superficies de género g L 2 que satisfacen la condición antes

menc i onada.

5. COROLARIO

Toda Superficie de Riemann compacta M de género g h 2

admite un recubrimiento holomorfo teniendo a lo más

g hojas (es decir, es de a lo más grado g). En particular, toda

f :M + P'

superficie de Riemann de género g = 2 es hiperelíptica.

75

6. PROPOCICION

Toda superficie de género g 5 2 es hiperelíptica.

DEMOSTRACION Sea D un divisor efectivo de grado 2. Por el teorema de

Riemann-Roch se tiene

ho(D) = 2 + 1 - g + ho(Z-D)

en consecuencia, ho(D) h 2 para g I 1 y solo resta considerar

el caso g = 2.

lo demostración para el caso g = 2.

Sea p un punto de Weierstrass sobre una superficie de

género 2. Entonces hay una función no constante f E L(2p).

2O demostración para el caso g = 2.

Sea w f O una diferencial holomorfa, entonces puesto que

gr(w) = 2g-2 = 2, (u) = pq y como i(p+q) = 1 se deduce que

hO(p+q) = 2..

OBSERVACION S

Las superficies de género 1 también se llaman .e&+¿hm. Las

superficies de género cero admiten, por supuesto, funciones de

grado 1, luego, las superficies hiperelípticw son aquellas que

admiten funciones del menor grado posible.

1 Sean M una superficie hiperelíptica, f: M -+ P de grado 2 y

p E M un punto de ramificación de f. Entonces f es localmente 2+1

en p. Supongase que f(p) = 03 entonces f tiene un polo de orden 2 en p y por lo tanto p es un punto de Weierstrass. Si sucede que

76

f(p) f m entonces ------ tiene un polo de orden 2 en p y por

lo tanto p es un punto de Weierstrass. Por consiguiente la

sucesión de "huecos" de Weierstrass en cualesquiera de los 2g+2

puntos de ramificación es

f-f(p)

1,3,. . . ,2g-1

y así el peso de cada uno de estos puntos es

Luego, estos 2g+2 puntos contribuyen en g(g2-1) a la suma de los pesos de los puntos de Weierstrass. Ya que la suma de los pesos

de todos los puntos de Weierstrass es precisamente g(g -1) no hay

otros puntos de Weierstrass. En consecuencia se tiene el siguiente

2

7. TEOREMA

Una superficie de Riemann compacta M es una hiperelíptica si y sólo si todo punto de ramificación es un punto de Weierstrass, s í y sólamente si todo punto de Weierstrass tiene como sucesión de

"huecos" 1,3, . . . , 2g-1, si y sólo si todo punto de Weierstrass

tiene peso igual a -g(g-l).. 1

2

En las siguientes lineas se darán otras formulaciones

equivalentes a la definición de Superficie de Riemann

hiperel ipt ica.

77

f 2. DIVISORES ESPECIALES SOBRE SUPERFICIES COMPACTAS

Por el resto de este capíitulo, M denotará una superficie de Riemann compacta de género g positivo , Div(M) denotará el grupo de divisores sobre M y Z el divisor canónico (usualmente efectivo).

INDICE DE CLIFFORD. DIVISORES ESPECIALES

se define por medio de la relación:

c(D) = gr(D)-2ho(D)+2

La afirmación que c(D) y gr(D) tienen la misma paridad es

trivial. Este hecho será usado mas adelante.

eopec¿ae si

existe D* E Div(M), D* 2 O, tal que D + D = Z. Al divisor D

lo llamaremos un dhhm * de D.

Diremos que D E Div(M), D h O es d&w&aa . . * ff

8 . PROPOSICION

El índice de Clifford depende sólo de la clase de divisores ,

También se tiene la 3- de B M - N a e t i w ~ :

DEMOSTRACION

La primera afirmación se sigue de la definición del índice de

Clifford.

La segunda afirmación se deduce de aplicar el Teorema de

Riemann-Roch:

78

c(2-D) = gr(2-D) - 2ho(Z-D) f 2 = 2g - 2 - gr(D) - 2¿(D) + 2=

= 2g - 2 - gr(D) - 2[h0(D) - gr(D) + g - 11 + 2 =

= gr(D) - 2h0(D) + 2 = c(D).

OBSERVACION

Podemos utilizar nuevamente el Teorema de Riemann-Roch y

escribir la segunda parte de la proposición anterior de otras dos

formas equivalentes:

2i(D) + gr(D) = 2UZ-Dl + gr(2-Dl

i(D) - ¿(Z-D) = g - 1- gr(D) Para el caso particular gr(D) = g - 1, la última fórmula se

convierte en:

9. DEFINICION (MCD DE DIVISORES) , .

Si Dl y D son divisores efectivos, el m.u.a¿ma c ~ m u n 2

címaaa de D1 y D2, lo cual escribimos (D1,D2) es el único . .

divisor efectivo D que satisface:

a. D 5 D1, D 5 D2, Y

* b. Si D es un divisor efectivo que cumple D*S D1 y D*s D2,

* entonces D I D.

Se verifica fácilmente que

si D = aJ(p)p p€S

79

10. PROPOSICION

Sean D1 y D2 divisores efectivos y D = (Dl,D2).

Entonces

ho(D1) + ho(D2) - ho(D) ho(D1 + D2 -D)

DEMOSTRACION

Observamos en primer lugar que D 5 D1+ Dz- D y así se

obtiene L(D 1 c L(D 1+ D -lD). De esta última afirmación

deducimos facilmente que

J

J

donde v indica el espacio generado.

Afirmamos que L(D1) n L(D2) = L(D)

En efecto, si D = a (PIP, y si tomamos f E L(D1) n L(D2) J Pen

con un polo de orden a h 1 en p se cumple que a S a ( p ) j = J

1,2, y en consecuencia a 5 min{al(p),a2(p)) y así f E L(D).

Con lo que queda establecido que L(D1) n L(D2) c L(D).

J ' La inclusion contraria se sigue del hecho que D 5 D

j=l, 2.

Para obtener la proposición usamos un poco de álgebra lineal

y las inclusiones verificadas anteriormente:

ho(D1) + ho(D2) - ho(D) = dim (L(D1)vL(D21)

5 dim (L(D1+D2-D) 1 = ho(D1+D2-D). . 11. COROLARIO 1

Con las hipótesis y notaciones de la proposición

80

12. COROLARIO 2

Si D es un divisor especial con divisor complementario D*,

entonces c(D) h c((D,D 1 ) .

DEMOSTRACION

Se sigue fácilmente del corolario 1 y de la fórmula de

Brill-N0ether.i

13. TEOREMA (Clifford)

Sea D un divisor especial sobre M, entonces

- i. c(D) h O

- ii. Si gr(D) = O o gr(D) = 2g-2, entonces c(D) = O.

- iii. Si c(D) = O, entonces gr(D) = O o gr(D) = 2g-2 a menos

que M sea hipereliptica.

DEMOSTRACION

Primeramente recordamos que c(D) = C(D*) y gr(D)+ gr(D*) =

2g-2, donde D es un divisor complementario de D, así que basta 4f

demostrar el teorema para divisores especiales de grado 5 g-1.

Procedamos a demostrar (ii)

Si gr(D) = O , entonces ho(D) = 1.

Procedamos por inducción para demostrar ( i )

Si gr(D) = O , ya se probó. Consideremos ahora el caso que

gr(D) = 1, entonces ho(D) = 1

81

y así

c(D) = gr(D) - 2h0(D) + 2 = 1 Tomemos ahora un divisor D tal que 1 < gr(D1 5 g-1 y

supongamos que c(D) < O y así ho(D) > igr(D) + 1 > 2. Tenemos pues una función no constante en L(D). Sea D* un divisor

complementario. Reemplazando D por un divisor equivalente (el cual tiene el mismo índice de Clifford), podemos suponer que

(D,D*) z D (Verifiquemos que podemos hacer lo que mencionamos

anteriormente: Debemos probar que existe p E M que aparece en D. con multiplicidad menor que en un divisor efectivo equivalente a D. Sea w una diferencial holomorfa tal que (w) = D + D . Sea f E L(D) - C . Entonces para todo c E C , (f-c) + D es efectivo y

equivalente a D. Eligiendo adecuadamente a c (por ejemplo, que

f-l(c) contenga un punto que no está en D*) entonces (f-c) + D contendrá un punto que no está en D*, y, obviamente, (f-c) + D y

D* son complementarios).

Si (D,D*)*D, entonces por el corolario 2 c((D,D*)) < O. Además (D,D*)

*

se tiene la relación es especial, aplicamos ahora inducción.

05 gr((D,D*)) < gr(D), y el divisor

Nos resta probar (iii).

Se ha visto que si O < gr(D) < 2g-2 y además c(D) = O,

necesariamente debemos tener 1 < gr(D) < 2g-3, y así

ho(D) = -gr(D) + 1 1 2

Si gr(D) = 2, entonces h0(D)=2 y así la superficie es

hiperel ípt ica.

Puesto que gr(D) es par, podemos suponer que gr(D) B 4.

Sea D de su clase de equivalencia tal que

esto puede hacerse ya que ho(D) z 3. Todo lo que queremos es una

función en L(D) que se anule en algún punto de D y en un punto

82

que no esté en D*. Sea f tal función. Entonces (f) + D es

efectivo, equivalente a D y satisface ( a ) . *

Hemos construido un divisor especial (D,D 1 que cumple

O < gr (D,D*) < gr(D) y c(D,D*) = O

de donde se deduce la relación

2 5 gr (D,D*) 5 gr(D) - 2

Al aplicar inducción vemos que podemos encontrar un divisor

de grado 2 con índice de Clifford cero, pero esto quiere decir que

la superficie es hipere1íptica.i

Antes de ver algunas consecuencias del Teorema de Clifford

tenemos la siguiente

OBSERVACION

Si D E Div(M) es arbitrario y O 5 gr(D) 5 2g-2 , entonces

c(D) 2 gr(D) a menos que ho(D) = 2. En el Último caco, ya que hay una función no constante f E L(D), tenemos que Dl = (f) + D

es efectivo y equivalente a D.

14. COROLARIO 1

Si D es un divisor tal que O I gr(D) I 2g-2, entonces

c(D) h O y c(D) = O solo si D - 2 a menos que M sea

hiperel ípt ica.

83

DEMOSTRACION

si ho(D) s 1 , entonces c(D) 2 gr(D) 2 O.

entonces existe D divisor especial, 1' Supongamos ho(D) = 2,

tal que gr(D) = gr(D1), D - D1 y c(D) = c(D1) 1 O (por el

Teorema de Clifford), además

~(2-D) = c(D) = c(D1) = c(Z-D1) =O

luego, c(D) = O solo si 2-D - O a menos que M sea

hipere1íptica.i

15. COROLARIO 2

Sea D un divisor sobre M tal que O I gr(D) 5 2g-2 . Entonces

c(D) h O y si c(D) = O entonces D es principal o M es

hiperel ípt ica.

CMOSTRAC I ON

La observación hecha anteriormente nos muestra que c(D) <

gr(D) s í y sólo si ho(D) h 2. Si ho(D) h 2 entonces D es

equ valente a un divisor efectivo D1 del mismo grado. Sabemos

que podemos suponer gr(D) 5 g-1. Ahora D1 es especial. El hecho

que c(D1) = c(D) h O se sigue del Teorema de Clifford. Si D no

es principal ni canónico (de hecho sólo estamos interesados en el

primer caso por la suposición gr(D) 5 g-1) tenemos que c(D) = O

implica 1 ho(D) = 1 + ;gr(D).

S i gr(D) > O tenemos nuevamente ho(D) 2 2 y como D es

equivalente a un divisor especial, el Teorema de Clifford implica

que M es hiperelíptica.

84

Si gr(D) = O entonces ho(D) = 1 y por lo tanto D es

principal.

16. COROLARIO 3

Seas D E Div(M) y O gr(D) 5 2g-2, entonces 1 i(D) 5 g - ;gr(D)

y cuando hay igualdad tenemos tres posibilidades: D es

principal, D es canónico o bien M es hiperelíptica.

17. COROLARIO 4

Sea M con género g > 4. Sean D1, D2 dos divisores de

grado 3 que no son linealmente equivalentes y tal que ho(Dl) =

ho(D2) = 2. Entonces M es hiperelíptica.

DEMOSTRACION

E L(D,), j=1,2.

Podemos suponer que cada función es de grado 3 pues de otra forma

se tiene la conclusión. Ya que D1 y D2 no son linealmente

equivalentes entonces fl f Cf2 para todo c E C. Más aún,

f, Escojamos funciones no constantes

tenemos que fl;F Aof2 para cualquier transformación de Mobius A fl = Aof2, (se entiende que Aofl =

necesariamente el divisor de polos de fl es equivalente al divisor de polos de f (esto es porque el divisor de polos de

es equivalente al divisor de polos de Aof2). Luego, tenemos cuatro

funciones linealmente independientes en

af2 + b cf2 + do 1. Pues si tuvieramos

f2 2

L(Dl+D2), a saber,

1, fl, f2. flf2

se tiene entonces

85

1 ho(D1+D2) 4 = -g;(D1+D2) + 1

Y

O 4 c(D1+D2) = gr(D1+D2) - 2ho(D1+D2) +

por lo tanto c(D1+D2) = O y puesto que

2 = 8 - 2ho(D1+D2) 5 O

gr(D1+D2) = 6 < 2g-2, el

Teorema de Clifford implica que M es hipere1íptica.i

18. PROPOSICION

Sea B el divisor de polos de una función meromorfa sobre u

superficie de Riemann compacta, y sea D un divisor arbitrario

sobre M. Entonces

2h0(D) 5 ho(D+B) + ho(D-B)

DEMOSTRACION

Si B = O, el resultado se reduce a la igualdad trivial.

Suponemos pues que B f O. Se tiene una función no constante f

sobre M con divisor polar B. Podemos hallar divisores

tales que B1p B2

B - B1 - B2 A

y que no tengan puntos en común (por ejemplo, podemos elegir

B1 = (f-'(O)), B2 = (f-'(l)).

Afirmamos que

L(D) n L(D+B1-B2) = L(D-B2) . ( a )

En efecto, es claro que L(D-B2) c L(D) n L(D+B1-B2). Para

ver la inclusion contraria tomemos f E L(D) n L(D+B1-B2). Sean

D1 = (f)+D y D2 = (f)+D+B1-B2, entonces D1 y D son divisores

efectivos y además Dl = B2+D2-Bl. Ya que B1 y B no tienen

2

2

86

puntos en común, D1 es efectivo solo si Dz es un múltiplo de

Bl. Luego,

DI-B2 = D3,

( a ) .

= B1+D3 y D1 = B2+D, y en particular (f)+D-B2 =

f E L(D-B2). Esto concluye la demostración de D2

o sea,

Enseguida observamos que L(D) c L(D+B1l y L(D+B1-B2) y de

esto se sigue que

ho(D)+ho(D+B1-B2)-ho(D-B2) = dim(L(D) v L(D+B1-B2) 1 1 ho(D+Bl 1

y puesto que B1- B2 se tiene la proposici6n.i

19. COROLARIO 1

Con las hipótesis de la proposición anterior, se tiene

2c(D) 2 c(D+B) + c(D-B)

20. COROLARIO 2

y D2 Sea M como de costumbre de género g z 4 y sean

divisores efectivos de M que no son linealmente equivalentes tales

que

3 5 gr(D1l 5 gr(D,) 5 g-1

Y

c(D1l = 1 = c(D2)

D1 = D2 * Entonces, a menos que (un divisor complementario

de D1), M es hiperelíptica.

DEMOSTRACION

De la definición del índice de Clifford

2h0(D1) = 1 + gr(D2) 2 4

87

luego,

(I): D no es el divisor polar de una función:

ho(D1) = 2, ho(D2) 2 2 y tenemos dos posibilidades:

1

Entonces hay al menos un q E D2 tal que ho(D2-q) = ho (D2 I .

D3 = D2-q. Observamos que Sea

2 I gr(D3) 5 g-2

Y

c(D3) = gr(D3) - 2h0(D3) + 2 = gr(D2) - 1 - 2h0(D2) + 2 =

= c(D2) - 1 = O

y entonces M es hiperelíptica.

( 1 1 ) : D2 es el divisor polar de alguna función:

En este caso aplicamos los cor.1 y 2 al Teorema de Clifford

para obtener

2 = 2c(D1) 2 c(D1+D2) + c(D1-D2) = O Recordando que el grado y el índice de Clifford de un divisor

tienen la misma paridad, Dl y D2 tienen grado impar y así

Di+D2 y D1-D2 tienen grado par y consecuentemente, índice de

Clifford par. Por lo tanto c(D1+D2) = O o c(D1-D2) = O .

Si c(D1+D2) = O, entonces por el corolario 1 al Teorema de

Clifford, M es hiperelíptica a menos que D1+D2 - 2.

Si c(Dl-D2) = O, por el corolario 2 al Teorema de Clifford,

M es hiperelíptica a menos que D1-D2 sea principal, en este

último caso D1 - D2 lo cual es contrario a la hip6tesis.i

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