Vol. I I No. 4

PRODUCTO INTERNO, CONEXION Y CURVATURA EN LOS HACES

TENSORIALES SOBRE VARIEDADES RI EMANN I ANAS

Por: Edith Garcia Berna1

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA-IZTAPALAPA

Av. Michoacán y Purísima, Col. Vicentina, Iztapalapa

MEXICO, D.F., C. P. 09340

APDO. POSTAL 55-534.

Noviembre, 1988

Deseo agradecer al Dr. Felipe Peredo R. la ayuda prestada para la

realizaci6n de este trabajo. Asimismo, agradezco a la Srita Martha

Patricia Sánchez y a la Srita Beatriz Arce la mecanografía del

mismo.

E. G. B.

r

I N T R O D UCC 1 ON

Consideremos una variedad riemanniana M de clase

C m . El objeto de este trabajo es definir, a partir de la

métrica y la conexión en M, una métrica y una conexión en

el haz de tensores de tipo (r,s) sobre M. Tambén, si m E M,

definimos un tensor de curvatura para el espacio de tensores

de tipo (r,s) en m a partir del tensor de curvatura de M . Asimismo, se prueban algunas propiedades de estos conceptos.

l. PRODUCTO INTERNO.

Definicidn. Consideremos una variedad M y m E M. El espacio

& tensores de tipo (r.s.1 en m es el espacio (TmMl: definido por

(T,MJ; = (T,M) . . . (T,M) Q (T~MP a . . . QD (T,MT - - r veces S veces

Si $ = (x1,. . . ,x 1 es una carta local de M en m, todos los n

tensores de la forma

a a x (m) X . . . X a (m) X dx' (m) X . . . X dx' (m)

i a xi 1 r

forman una base de (T MIs . r m

Si t E (TmM): , la expresi6n de t en tCrminos de esta base

es

donde

A estos números se les llama las cotmonentes del tensor t respecto

3 coor denadas (x1 , . . . , x 1. Notemos que la dimensih de n

(T,MI; es nr+s.

Las estructuras de variedad en M y en cada (TmMls , meM,

inducen de manera natural una estructura de variedad en (TM); de

la siguiente manera: Sea (U,#)) # = (x1,. . .,x 1 , una carta

en M. Entonces (U,$) induce una carta (V,l(r) en (TM); con

r

n

mEU (i. e. , si teV) entonces

yi(t) = xi(m) , i=l, . . . , n S Y

y (t) , . . . , y ( t 1 son las componentes de t respec to n+ i n+n’

a las coordenadas (x x 1. 1 ’ * * . ’ n

Definicion. Sea M una variedad. Un C ~ D O tensorial T de tipo 1

Ir,=.) sobre M es una funci6n

T:M ( T M ) ~

tal que

T(m) E (TmM)z m E M .

Si (U,$), $ = (x, , . . . ) x 1 es una carta en M y m E U, n

entonces

i . . . i donde las T, 1 son funciones realvaluadas sobre U. Si

J,. - J,

i . . . i J,. - - js

las funciones T ~

1 r son Cm respecto a toda carta de M,

decimos que T es un camDo tensorial C sobre M. 00

De aquí e n adelante, M representará una variedad riemanniana , Y

a l o s puntos de M l o s denotaremos con l a l e t r a m.

Enseguida veremos Cómo l a m é t r i c a de M puede extender- se a campos tensor ia les de t i p o ( r , s ) sobre M.

Sea $ = ( x , , ... x,) una c a r t a e n M . Definimos

( S , T ) I S y T son campos tensor ia les de t i p o ( r , s ) e n M

realvaluadas en e l dominio de 4

de tal manera que, S i S y T son dos campos t e n s a r i a l e s en M de t i p o ( r , s ) con expresiones locales en términos de $I

Y

11 ... IL‘ a T = C T - @ ... 8 - a Q dxJ1 8 . . . dxJS

J 1 . . . Js 8x13 8x1,

entonces

donde

Y

I J ~ ~ , & s clue la función < T ,S> no depende de la carta @

Consideremos otra carta Y = ( y l , ...,yn) de M tal que su dominio

se intersecte con el de 4 . Sean"

4) -

Y

las expresiones locales de T y S en términos de $, Entonces

kl.. .kr K1 .Kr 5 B e , . . . & 11 ... 1s '

donde

Por la regla de transformación de componentes, se tienen

Gk,j KJ Y

Entonces

ax j ay, ayKr a x . ... - - 3 1 ax j ayes axil axIr a n 1 aYL,

S - 1 ... - - S ... - 9 h 1 t 1

gP191 ... g P s 4 s i ~ . . .ir 1 1 . . .Ir

j 1 - - . js J l . . .Js 9 h r tr . . . S T

donde l a suma se efectfia sobre t odos l o s Indices. Agrupando

té rminos y a p l i c a n d o l a regla de l a czdena

As€ p u e s , l a f u n c i 6 n < no depende d e . l a c a r t a > P $ e l e g i d a . Podemos e n t o n c e s d e n o t a r a e s t a f u n c i ó n simple-

mente por < , > .

Probaremos a h o r a q u e <,> es un p r o d u c t o i n t e r n o :

La simetría de <,> es c o n s e c u e n c i a i n m e d i a t a de l a de-

f i n i c i ó n de < ,> y de q u e e l p r o d u c t o i n t e r n o de M es simétrico. También es e v i d e n t e a p a r t i r de l a d e f i n i c i ó n q u e <,> es p o s i t i -

vo d e f i n i d o . Para probar l a b i l i n e a l i d a d de <,> basta demostrar que

<,> es l i n e a l e n l a primera v a r i a b l e . L a l i n e a l i d a d e n l a segun- da var iab le se s i g u e de l a simetría de <,> . S e a n a€ R, y S , T , V

campos t e n s o r i a l e s de t i p o ( r , s ) c o n

k l . . . k r a a @ dxL1 @ ... @ dx e y u = C u - ... Q -

e,. . .es axk , a X k r

E n t o n c e s

i l . . . i r i l . . . i S+T = 1 ( S +T r)a @ ... 64 a (3 d x j ' ... & dxJS

j l . . - j s j l . . . j S 3x1 a x i r

Y

Por l o t a n t o , < , > es u n l s r o d - u c t o i n t e r n o d e f i n i d o e n e l espacio-

de campos t e n s o r i a l e s de c u a l q u i e r t i p o s o b r e M.

q . e . d .

de ,:> basta probar el teorema para los'cam~os tensoriales básicos

inducidos por C . Asi, sean

QD ... . . .

Entonces

= < S , T > < U , V >

q.e.d.

2. CONEXION RTEMANFIiIANA.

En e s t a s e c c i ó n , extenderemos l a conexión riemanniana

en TM, a una conexi6n en e 1 haz de tensores de cualquier t ipo

sobre M que preserva e l producto interno definido e n l a s e c c i ó n anter ior .

para def inir la conexión en un haz de tensores arbi tra- r ior será necesar io antes de f in i r l a der ivada covar iante de una 1-forma en M:

Sean $= ( x , . . . xn) una c a r t a en M , n

un campo v e c t o r i a l en M , y i

w = z w p

una 1-forma sobre M .

Definimos localmente l a derivada covariante de w con

respecto a X como

Enseguida probaremos que esta expresión no depende de l a c a r t a a :

Sea $ = ( y l , . . . , y n ) o t r a c a r t a en M cuyo dominio i n t e r s e c t e a l do- minio de @ I y sean

k a x= Cf - aYk Y w”z:

Entonces en l a intersección de l o s dominios tendremos

Agrupando términos,

por l a r e g l a d e l a c a d e n a , y cambiando l o s í n d i c e s I ' i ? " por

I l i " , y , I l t 11 por " V I ' e n e l p r imer sumando,

Asf, l a d e f i n i c i d n d e D w d a d a p o r l a e x p r e s i ó n ( 2 . 1 ) X no depende de l a car ta $.

Haciendo uso de l a de r ivada cova r i an te de 1 - fo rmas ,

def inimos ahora l a conexión e n un haz & -ores a r b i t r a r i o s

s o b r e M de l a s iguien te manera :

Sean @ = ( x 1 , . . .x 1 una car ta en M, n

un campo v e c t o r i a l en M , y

un campo t e n s o r i a l de t i p o ( r , s ) s o b r e M. D e f i n i m o s loca lmente D ~ T como

i l . . . i Q 1 D - @ ... - 1 1 . ..J, axi X ax i ax i dxJ’ ... d x j s + + T . r a a a

1 2 r

i l . . . i

1 1 . . . j s ax E) DX dxJS +...+ T r a 8 ..‘. @ - a 0 d x j ’ Qp ... dx j S-1 1 i r ... ..... . (2.2)

Obsérvese que D T coincide con la derivada CO-

variante usual e n M cua ndo T es un campo t e n s o r i a l de t i p o ( O , O ) X

6 ( 1 , O )

Para probar que es ta de f in ic idn no depende de las car -

tas elegidas, necesitamos los siguientes lemas:

3,ema 2 . 3 Sean X un campo vector ia l sobre M y T, S K f UK ( K = l , . . E) campos tensoriales sobre M t a l e s que

s i e s una c a r t a en M y (DXT) est5 def inida por la ecuaci6n (2,2),

entonces

Demostración

Hagamos $ = ( X I , . . . ,x expresando SK Y U en términos n K de l a b a s e i d , se deriva E S P U usando l a d e f i n i c i 6 n (2,2).

= 1 -K=l K K

r e s , y agrupando términos, se l lega a l resul tado deseado. Haciendo uso de l a s propiedades de DX en funciones y vecto-

q.e.d.

Lema 2 . 4 . S e a n $ u n a carta e n M, S y T campos t e n s o r i a l e s sobre M,

y x un campo vec tor ia l en M. Si (DXT) e s t 6 , d e f i n i d o por l a ~ C U Z C ~ B I I

( 2 , 2 ) e n t o n c e s S i ( D X T ) $ est5 d e f i n i d o por l a e c u a c i d n (2,2) , e n t o n c e s

D e m o s t r a c i B n

Hagamos

i l . . .i

j 1.. . j s a x i l s = c s - a ... c9 - a 0 d x j ’ CD .. . d x j S r a

axi r

Y

D e r i v a n d o S + T m e d i a n t e l a d e f i n i c i ó n a n t e r i o r , se o b t i e n e u n a

suma de sumatorias sobre i , j , u n a s c o n t e n i e n d o S . y o t ras

c o n t e n i e n d o T . . Agrupando los t e r m i n o s q u e c o n t i e n e n l a s

S

d e s e a d o .

il.. .ir

i l . . . i 1 1 . . . j s

i l . . .i 1 1 . . . I s i l . . .i r y l o s que c o n t i e n e n l a s T obtenemos e l r e s u l t a d o j l . . . j s j l . . . j s

q . e . d .

Probaremos a h o r a por i n d u c c i ó n sobre e l r a n g o q=r+s q u e l a d e f i n i c i d n ( 2 , 2 ) n o d e p e n d e de l a carta @:

s i q = O , l a d e f i n i c i 6 n ( 2 . 2 ) n o i n v o l u c r a a l a carta @. Para q=1, T es un campo v e c t o r i a l 6 T es una 1- forma. S i T

es un campo v e c t o r i a l , sabemos que ( 2 . 2 ) no depende de $. S i T es una 1-forma, ya se probó que DXT es i n d e p e n d i e n t e de @ =

Sea $ una car ta e n M t a l q u e s u d o m i n i o se i n t e r s e c t e c o n e l de 4 . Consideremos un campo tensorialT'de t i p o ( r , s ) . T pue- de expresarse como :

R T=C S @ Uk k k= 1

c o n SK , U t e n s o r e s de r a n g o m e n o r a l de T ( k = l , ... a ) . Por h ipóte -

s i s de i n d u c c i ó n , (DXSk) y ( D X U ) no dependen de l a carta elegida

para s u d e f i n i c i ó n . L u e g o , usando los lemas 2 . 3 y 2 . 4 ,

R R ( D T ) = (D ( C Sk P U 1) = C ( D , x 4 J x k = l $ k = l 'l k $ ( S k = u 1)

i ) D (aS+bT)=aDXS+bD T ( l i n e a l i d a d ''en TI')

ii) D x ( f S ) = ( X f ) S+fDXS ( R e g l a de L e i b n i z ) iii) S=aD S+bDyS ( l i n e a l i d a d " e n X " )

i v ) S i S es un Campo t e n s o r i a l C- sobre M, e l campo t e n s o r i a l

X X

DaX+bY X

D S d e f i n i d o por X

t a m b i e n es C" ( s u a v i d a d )

Demostración

i) Por el lema 2 . 4 ,

DX (as +bT)=Cx (a S ) + DX ibT)

Luego, por ser X lineal, se sigue de la definición de G el resultado deseado.

X

ii) Es consecuencia del lema 2.3

iii) Desarrollando D S en términos de las componentes de S, el resultado se sigue inmediatamente aplicando primero el inciso i), y después la multilinealidad del producto tensorial.

aX+bY

iV) Sea 4 = (XI .... xn) una carta en M. Hagamos

.ir a ”_

J 1 . . . js axil H . . a I dxJ’ I. ..dxjs a Xir

Observando DXS quedan Christoffel

la definición ( 2 , 2 ) , es fácil ver que las componentes de en términos de: X S - 1 s. , símbolos de i1...iT il.. .ir

jl ... p i J (debido a términos JS que involucran ]1--.jS DX= a y DX dxj)

~ s t e teorema hace que D sea una conexión en (TM) r . S

Teorema 2 . 6 . Sean S y T campos tensoriales del mismo tipo sobre M,

y X un campo vectorial C?’ sobre M. Entonces

Demostración.

Denotemos

Ahora bien:

il.. .i I1.. .I

]1...jS S 3x1 2 axi + 1 s . r r a a a TJ1.. .J (DX a x i l ) m- 69 . * . @ - a- a @ dxj @ dxJ

r 3x1 il ... i Il...~r a r @ a ... . . . js TJ1.. .Js a x i l (DX ax ir )QF a C9 dxj C9 dxJ

il ... i 1 1 ... Ir a

J 1 - - - j s S r + 1 s. T ~ l . . . ~ axIl a - a a (DX z i y

r ... a ) CQ dxj €3 dxJ

il ... i 11 ... Ir a + 1 s. T ~ l . . . ~ ax, 11...j, S

r a- a CD (DX dxj’) ... @ dxJS @ dxJ + ...

il ... i I1 . . . Ir a ]1...js T ~ l . . . ~ S ax, + s . r a- a dxJ1 ... % (DX dxjs) Ix) dx J

il ... i 11 ... Ir a + c Sjl a- a @ dxj 49 (DX dxJ1) €9 ... @ dxJs + ... r

T ~ l . . . ~ axI ... js S

il ... i 1 1 ... Ir a + 1 s . r 0- a (ID dxJ CQ dxJ1 C3 ... (B (DX dx J

I I . . . ~ , T ~ l . . . ~ S axI

il.. .i il.. .I r - r a - 1 s - j l . . . j s ) TJl...J S a - axI a @ dxJ C3 dxJ ....... (1)

il.. .i I,.. .I + c sj, ... js ( D ~ T ~ l . . .J axi ax, (2)

r r, - B- a C4 dxj O dx ....... a J S

il.. .i r a + 1 Sj1 . . . j s ( D X ) Q1 ... a- ’ fB dxJ

aXi, +.... 1

il.. .i + r a f3 ... ( D X 1 (ID dxJ ] CQ T ..... ( 3 ) 1 Sjl ...js r a

11.. .I

+ * TJ1...J r a

(DX axI, 1 a) ... @ - a Qp dxJ + ... S aXIr

I1 ... Ir a + TJ1...J Kl * ” * C3 ( D X Kr a 1 0 dxJ] .....( 4 )

S

il.. .i 1 1 ...js axi X + [ s . r a -@(D dxj’) CS, ... C4 dxJs + ...

il.. .i r a +I Sjl...js dxJ’ C9 ... C3 (DX dxJs) ] C9 T . . . . . ( 5 )

I1 ... Ir a

I1 ... Ir a

8 (DX dxJ1) e3 ... 8 dx S + ... J + @ TJ,...Js ax,

+I T ~ ~ . . . ~ ~ €9 dxJ1 ... €4 ( D X dxJS) 1 . . . . . ( 6 )

= (DX S) O T + S 8 (DX T).

q.e.d.

Lema 2 . 7 . Sea @ = (xl, ..., xn) una carta en M . Entonces

Demostraci6n

Sabemos que

E .ntonces

De esta ecuación se s i g u e q u e

q . e . d .

Teorema 2 . 8 . - Sean S y T dos campos te f i sor ia les t ipo ( r I S )

sobre M, y X un campo v e c t o r i a l en M. Entonces

(19)

Demostración

La demostración se hará por inducción sobre q=r+s. Sea @ = (xl,...,xn) una carta en M. Por la linealidad de D I basta probar el teorema en el caso en que X es alguno de los campos vec- toriales básicos axl . . Hagamos x =

a a a . I " . ,

a ax k

si g=o, S y T son funcionesCOO realvaluadas sobre M, y <SIT>= ST. Entonces,

Si q = 1 , S y T son campos vectoriaies, 6 , S y T son

l-formas. si S y T son campos vectoriales, hagamos

i a Y T = C T j a . axj

Entonces

Por otro lado,

.rl x al x

O E O u

'"m 1 2

I 1

A (I] . E X a

V

I 1

E A

a X . m V

a, =1 F CI) O E aJ

A

B m V

a' .n . E m * r l

V

+ u? +

w . '7

* r l

I I

S i S y T son 1-formas, hagamos

S = 1 s i dx i Y T = 1 ~j dx j

entonces

Por o t r o l a d o ,

Andlogamente,

. . . . . . (1')

Análogamente,

. . . . . . (2')

. . . . . . ( 3 ' )

luego,por el lema 2 . 4 y dado que gs te no depende de l a c a r t a

y como

A s i pues ,

quedando probada l a p r o p o s i c i ó n p a r a e l c a s o e n que = 1 .

Supongamos c ier ta l a propos ic ión para t ensores de rango n .

Sean S y T campos tensor ia les de l mismo tipo,de ranqo -

n+l>l , con

donde S i J i I Y v j son campos t e n s o r i a l e s de rango menor

a l de S y T. Entonces, aplicando l a proposici6n 1 , j

- - c D L ( < si I T.><U ] , T 7 . > )

i, j axk 7

Aplicando l a h i p ó t e s i s de inducción y e l lema 2 . 3 , obtenemos:

q.e.d.

(26)-

3 . TENSOR DE L A CURVATURA.

Def in i c ibn . E l t e n s o r de c u r v a t u r a " de una conexión 2 en -va r i edad&, es un t enso r que toma como va lo res t r ans fo rmac iones l i n e a l e s ta les que a cada m € M y a cada pa r de vec tores x ,yeTmM les asocia una t r ans fo rmac ión l i nea l R : TmM

XY >T M t a l Pue m

R Z= (D D Z - Dy DXZ -D Z XY X Y I;: , Y ] (m)

donde X y Y son campos vec tor ia les ex tendidos de x y y r e s p e c t i v a -

mente, y Z es un campo t e n s o r i a l e x t e n d i d o de z. E s t e t e n s o r de curva tura puede ser ex tendido na tura lmente a t e n s o

res e n ( T M I r de l a fo rma s igu ien te : -

m s

Sean m E M y x , y E TmM. Definimos e l t enso r de cu r -

v a t u r a R con respec to a l a conexión D de l a s e c c i d n a n t e r i o r co-

m 0 l a t r a n s f o r m a c i 6 n XY

R s = D D Z - D D - D ' S XY x Y y x @,Y 3 (m) . . . . . . . - . . . . . (3.1)

donde X y Y s o n campos v e c t o r i a l e s e x t e n d i d o s d e x y y r e s p e c t i v a -

mente, y S un campo t e n s o r i a l e x t e n d i d o de s .

Demostraremos, po r i nducc i6n sob re e l rango de S , q u e e s t a d e f i n i -

ción no depende de l a e l e c c i ó n de l o s campos ex tend idos X , Y , S.

Sean q= rangos S,@= (X1 , . . . , xn ) una ca r t a e n M, Y

S i q = O , en tonces S es una función C' r e a l v a l u a d a sobre M Luego

Por lo tanto, en este caso, R,~S no depende de las extensiones de

XfYfS.

s i q = 1, entonces S es un campo vectorial 6 S es una

1-forma. s i S es campo vectorial, sea S = 1 sk 2 Entonces

a x k

Aplicando la linealidad.de D y la bilinealidad del corchete. obte-

nemos

a o1 E \" tll

tll

4 O

r- l

CDm Ix" a a,

n

E v tll

O c .rl

h I ;cn CDm a

E v

LJ X a n

P E x V

CQ +

n

E v

c a,

I in CDm a

a, tll

a a h

E W

h

E

P

Y x m + CDm (c x

m + - í $ a

h

E v a , c

a a a

u m .rl

+ n

E v

m m F c a,

3 a, 7 c O c, tll a,

2 h

n

E W .rl

h

5. E v

N U U Y

n

E v

n

E w

a

E n

Y

cl 1 xn coco a

h

3 E h

w

n

E w

a

h

E w

a

n

E W

." h

-x h

E Y

4 a, :A-

a, w I x"

m m M a w O a O

C I ;en a h

E v

*+-A

n

E

w .n V

n

E V

Y

n

E w n

E 'n w

Wq,

I

h a, m E

Y E Y

'I" > * r l x I I

. O a I rl

cambiando e l i n d i c e X por X en l a Ciltima suma II 11 I1 II

En e s t a ú l t i m a e x p r e s i ó n p a r a R S só lo acmrecen las cornFonentes XY

d e x, v , s . Esto Drueba que,si S es un v e c t o r , la d e f i n i c i ó n ( 3 . 1 )

no deDende de las ex tens iones X, Y , S . .

S i S es una 1-forma, sea S = 1 % dx . m t o n c e s k

Desarrol lando cada término por separado, usando las propieda - des de de r ivac ión cova r i an te y l a f ó r m u l a

D a dx = - 1 k -(m) ax,

tendremos:

Restando los Cll t imos dos desarrol los a l primero, nos queda

l o cual demuestra que R S no depende de l a s ex tens iones de X Y

X I 5 , pues t odo e s t á evaluada@.Dm , 6 depende exclu -

sivamente de l a s b a s e s u s u a l e s p a r a %M y (T,+)*,

Observemos que desarrollando las derivadas e n l a Gltima f6rmula,

se obtiene la transformaci6n de curvatura aplicada a 1-formas:

donde w e s una 1-forma sobre M.

Supongamos que R S depende finicamente de m , s i S t i e n e XY

rango q .

S i S t i e n e rango q + l > l , y S = 1 S i (B Ti donde Si y i

Ti son campos t e n s o r i a l e s de rango menor a l de S , bastará demos -

R e s l i n e a l ( p o r ser D l i n e a l ) . E s decir , bastará probar

que s i S y T son campos t e n s o r i a l e s de rango - < q , XY X

Rxy ( S (m)@T ( m ) )Únicamente dependen de m . Entonces

Ahora bien, por e l Lema2'.J,tenemos que

DxDy(S @ T) = DX( (I3 S) @ T) + Dx(S B D T) Y Y

= DxDy S €9 T (m) + D S DxT + DxS @ D T + S (m) €9 DxDyT Y Y

D e forma análoga,

D D (SaT) = (D D S) OTTm) + DxS@D T + D S@DxT + S(m) C3D D T Y X Y X Y Y Y X

Por otro lado,

Asi pues,

R (S(m) @ T(m)) = DXD$ @ T(m) + D S @DxT + DxS Q D T XY Y Y

+ S(m) C9DxDyT - D D SBT(m) - DxS ODD T - D SBDxT Y X Y Y

PrOpOSiCiÓn 3.2. Sean m&M y x,y c Try. La transformación de curva-

tura R dada Dor la definición(3.1) es una transformación lineal

simétrica con respecto al producto interno para tensores. X Y

Demostración . es lineal por ser Dy y D {x,yj lineales.

RY X

Para probar la antisimetría

I

Rxy, S a n S I y s2 tensores del mismo tipo, x. Y Y campos vectoriales extendidos de x y y respectivamen

te, y S1 y S2 Campos tensoriales extendidos de s1 y sP

-

respectivamente.

tenemos:

Zplicando la definici6n de R XY

q.e.d.

B I B L I O G R A F I A

Bishop S.& Crittenden, R. ; Geometry of Manifolds, Academic Press,

1971.

Bishop, R.L. & Goldberg, S. ; Tensor Analysis on Manifolds; Dover,

New York, 1968.

Garcia Bernal, E. ; Conexiones Inducidas por una inmersi6n en los

Haces Tangente y Normal; U. A. M. -1ztapalapa. Vol. I, No. 28, 1980.

Lima, E.L. ; CBlculo Tensorial; IMPA, Río de Janeiro 58, G.B.,

Bras i l. 1965.