CUATRO DEMOSTRACIONES DIFERENTES DEL TEOREMA DE...
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CUATRO DEMOSTRACIONES DIFERENTES DEL TEOREMA DE PITAGORAS Alfonso C.15ecerril E.
DIVISION DE CIENCIAS BASICAS E INGENIERIA Departamento de Ciencias Básicas
UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA Unidad Azicaipotzalco
México '16. D.F.
"V cg c A pic:-ente t r a b a j a s e muestran a l g u n a s de las demostraciones -
cíed '1 x r e r i ; i dc Pi t á g o r a s . Dicho teoremsi es conocido descie R!UCS - - -
t r c s - r ~ n e ~ a ; etiseRanzas d e rn.item5ticas y d c b i d o a Ici f rvcuenr iLi -
con 1:s q i r c s e m p l e a , p i r ejemplo, a l m c d i r d i s t a n c i a s , 1 : )ng i t r I i e i
T': 3. 10 hzce s e r u n o de l o s resul tados maternaticos d e i m p o r t n i i c i - . .
y.3 ~ ~ ~ i i a ( i , .I de? t c o r e m s d e n t r o d e l a s matcn5tic.as 'ss r c c o n o c l d n , -
3
Acerca del teorema de Pitágoras s e sabe que los egipcios fueron los primeros hombres que u t i l i zaron el resultado matemático que hoy es - conocido como teorema de P i tágoras y
Los egipcios empleaban dicho teorema en algunos triángulos rectángu- los cuyas medidas son 3,4 y 5, unidades de longitud, también sabían que los lados más cortos , 3 y 4, de dicho triángulo formaban ángulo recto, opuesto al lado más largo, que mide igual dad
se verificaba en t a l caso, S i n embargo, fue Pitágoras, uno de lo s más lósofos de l a antigcedad, e l que descubrió
2 2 2 3 + 4 = 5 ,
5 unidades, y, que l a --
grandes matemáticos y f i - que para todo tr iángulo -
rectánguio de lados más cortos CI y C2 (ca te tos) y lado más largo h (hipotmusa) se sa t i s f ace l a igualdad
siendo él el primero en demostrarlo antes que cualquier o t r a persona.
2 2 2 C + C2= h , 1
Es interesante saber que los egipcios aprovechaban los tridnguios - - rectángulos, principalmente lo s de lados 3, 4 y 5 unidades, para de - terminar con exacti tud l a dirección Este-Oeste con el objeto de lograr su orientación en l a t i e r r a . La forma en que' u t i l i zaron dichos t r ián- gulos era: mediante l a observación de que los lados más cortos 3 y 4 - formaban ángulo recto y orientaban uno de los lados más cortos (cate- t o menor) en l a d i r e c c i h norte-sur, l a cual determinaban por medio de l a e s t r e l l a polar quedando el o t ro lado corto (cateto mayor) en l a d i - rección Este-Oeste. En l a actualidad el teorema de Pitdgoras ha s ido - de mucha ut i l idad dentro de l a matemática, l a f í s i c a y l a ingenierTa, por ejemplo: en matematicas permite resolver varios problemas uno de - ellos es saber que l a diagonal de u n cuadrado es inconmensurable res - pecto del lado, En f í s i c a e ingenierfa el teorema permite resolvr pro- blemas referentes a l a dis tancia entre dos p u n t o s en el espacio, tam - bién se u t i l i z a para medir l a magnitud de l a fuerza resu l tan te d e va - r i a s fuerzas que actuan sobre u n mismo cuerpo. Asimismo en l a vida co- t idiana se emplea el teorema de Pitágoras, por ejemplo: Una escalera se levanta en l a c a l l e a 20 m, de l a pared de u n edif i -
4
5
! ; I , I ~ ~ > , , I C I . i i . ~ c - ; ( , ! I ‘; i p , i i I cnt e considcran1o(; u n t r i 5 i i g u l o r cc t r íng l i l o C‘U - yo:; c : i t c t o s initlcn (11 y C;i r c s p c c t i v a m c n t c , y cuya h i p o t c r i u s a iiijdc 11, dcspi iés c s coiisidcr:ido cl s . a d r a d o cuyo l a d o midc C1+ C2 . S o b r c c n - da l a d o cic1 c u a d r a d o cons idera i i ios un p u n t o l o s c u a l e s son denotados
por Q l , Q2 , Q3 y Q b y p e r m i t e n l a c o n s t r u c c i ó n d c un c u a d r i l 5 t c r o C L ci131 r e s u l t a s c r un c i iadrndo cuyo l a d o mide Ii. En c l c u a d r a d o 2c i c i d o C1 + C2 yiicdan formados c u a t r o t r i r í n g u l o s cada uno d e l o s m a - - l e s r c s i i l t n s e r c o n g r u e n t e con el t r i á n g u l o d e c a t e t o s C1 , L2 e h i - potcni isn ti. P U C S F O que l o s t r i 5 n g u l o s d c l c u a d r a d o de l a d o C1 + C2 t i c n c n In misma Gre3, c n t o n c c s , p o r un l a d o e l c u a d r a d o dc l a d o Ci +
C; t i b n c 5 r e a C; + 2 C l C 2 + C 2 y como c l 5 r c a d e cada uno d c s u s t r i - á n g u l o s es 7 C1 C2 y cl á r e a d e l c u a d r a d o de v é r t i c e s Q1 , Q 2 ,Q3 y Q4 es !I2 e n t o n c e s
I
2
1
2 2 1 Ci + 2 C l C 2 4 C2= 4(2 C1 C2) + H2 = 2 C l c2 + 112
es d e c i r 2 2
Cf + C2 = H,
con lo cual qucdz dcnos t r r ido e l t eo rco ia .
TEOREIIX UE I ’ ITAGOitZS En un t r i r í i i c u l o r e c t 5 n ? u l o , l a suma d e l o s cuadrados d e los c a - t c t o s e s i c u n l 31 cuadrado d e la h i p o t e n u s a
1 DEPIOSTRACION CON AREAS I
6
Consi cici-ciiios ci t r i r i ng i i1o r c c t s n g u i o ABC cuyos c n t c t o s t i c -
i~cn l o i i g i t i i d c s C1 y C2 y cuya h i p o t c n u s n t i e n e l o n g i t u d f i .
Al unir, por medio de segmentos, e l p u n t o Q ~ con e l ( h 2 ,
el Q z con el Q 3 , e l Q 3 con el 0 y el Q 4 con el' Q i
no qucdri forrrtridn 1 3 f i g u r a 3, en l a que observamos que los t r i á n -
g i i io s quc en c r i n aparecen son t o d o s congruentcs, por p a r e j a s , /
debido í i que cada uno dc l o s tri5ngulos es congruen te con el
t r i Angr:! c e 1 ARC ya quc s c s a t i s f a c e el pvs-
7
Qi
--..- QbQ1 e c ~ir-, ciudrado d e b i d o a l a s s i g u i e n t c s igualdades:
f * f < a + ; L i < ~ + 90 =i 18G ............... 1
bS a + T í < 6 + M < s = 1 8 0 ............... 2 4
y e s t a s igusldades t r a e n como consecuenc ia l a igualdad 3
M c 6 = 90 ...................... 3
Pa c u a l s i g n i f i c a que e l c u a d r i l a t e r o e s un cuadrado.
Puesto que l o s c u a t r o t r i á n g u l o s formados en la f i g u r a 3
son congruentes a l t r i á n g u l o
l a másmt 3 r e a A con:
I\ ABC e n t o n c e s t i e n e n
Por o t r o l a d o e s importante t e n e r err cuenta l a s s i g u i e n -
t e s i , - ,u. i ld;fdes :
Ai-c\a d e l cuadrado grande = (C, + C,) 2
Arc-:. d c i cuadrado grande = 4 á r e a P; -e 5 i e a d c l c ü q i d r L 3 0
i n z c r i c r
2 A r e n d c l cuadrado i n t c i - i o r = ti , c n t o : i c c s t C I 1 C n O S :
ARC €! 2 + 4(-s--) ci c2 n 2 2 (Cl+ C,) = i i + 4 5rca
9
2 2 2 c,+ c,= I I
con lo cual qiicda dcinos t rado e l tcorema.
10
es t l cc i r
11
B
FIGURA 1
Para llevar a cabo la demostracibn considerenos la s i -
81 vértice B d e l . t r i r í ngu lo
FIGURA 2
POI- SCI- i% a l t u r a e l l a e s perpendicu lar a1 lado tT y e s -
t o qtiicrc (lec ir que : El < a = 30
12
c CBA tt e a ............... 1
c BCD = <ECA............... 2
y poi- tanto s u s t e r c e r o s á n g u l o s son c o n g r u e n t e s , t~ d e c i r
se s a t i s f a c e que
c CBD = <BAC. .............. 3
colna cnnsec.uencia de que s e s a t i s f a g a n 1 , 2 y 3 se t i e n e que
l o s t r i á n g u l o s \ABC y b C D son s e m e j a n t e s . También, a l
c o n s i d e r a r l o s t r i 5 n g u i o s ~ B C y ~ A B D notamos que e n -
ts'e e l i o s hay una c o r r e s p o n d e n c i a d e l s i g u i e n t e t i p o :
< CBA 2 e B .............. 1 '
c BAD = e BAC.. ............ 2 '
y p o r t a n t o sus t e r c e r o s S n g u l o s son c o n g r u e n t e s e s d e c i r ,
se s a t i s f a c e que:
conic consccucncia d c q:ic sc sntisf:igac 1 ' , 2 ' y 3' se t i c n c
13
h,,, y ~ C I ] son sciiicjnntcs por p a r e j a s ;
En base ;1 l a s scmcjanz:ls e s t a b l e c i d a s tenemos l a s s i g u i c n -
tcs i g u s l d n d c s :
Para In scmcjnnza entre los t r i S n g u l o s
Estas igualdades son e q u i v a l c n t e s c o n las s i g u i e n t e s :
tenemos:
e s t a s i g u n l d n d c s son c q u i v a l e n t e s con las siguientes:
14
es d e c i r
C O I > 1 o
qucdn
L
C:= HDA + HCD
cu31 qucdn dcmostrido el teorcma.
H(DA + CU)
15
.- , a
Eii 1 ; I dcmos t r:i c i 611 c i g i i i ci1 t e , coils i d eríriiios c i t r i r i n g u l o rc'c t 5ngul c)
I - . A B C cuyos c n t c t o s m i d c n Ci , C2 , r e s p c c t i v a m c n t e , e h i p o t e n u s a I I . Tomando l a h i p o t e n u s a d e l t r i á n g u l o como base y c o l o c a n d o un - - cuadrado c o b r c cada l a d o d e l t r i á n g u l o , can medida p o r l a d o i g u a l a l a medida d e l l a d o d e l - t r i á n g u l o s o b r e e l c u a l e s t á c o l o c a d o , queda formada un3 f i g u r a . Lo que s e d e s e a d e m o s t r a r es que l a suma d e - - las 3 r c n c . d e los cuadrados c o n s t r u i d o s en los c a t e t o s es i g u a l a l - á r e a d e l c u a d r a d o c o n s t r u i d o en la h i p o t e n u s a . En l a f i g u r a forma- d a c o n . e l t r i á n g u l o '. W C j u n t o con los c u a d r a d o s c o n s t r u i d o s en - cada I ; i d o , s e unen c i e r t o s p u n t o s d e e l l a y e n t o n c e s n o s quedan f o r - mados 'triángulos, c u a d r a d o s y r e c t á n g u l o s quedando como r é s u l t a d o -
que a l g u n o s . d e t a l e s t r i á n g u l o s s o n c o n g r u e n t e s y como c o n s e c u e n c i a s u s á r e a s son i g u a l e s , ,a s u v e z , e s t o s t r i á n g u l o s forman I jar te d e - r e c t á n g u l o s y cuadrados de l o c u a l r e s u l t a que s e Puede d e t e r m i n a r ei ; l e d d e e S G 3 i -CCtáZ,U?CS 7 cuzdrsdos en f u n c i i i n d e areas de h l h u -
n o s t r i a n g u l o s . Po r l a c o n g r u e n c i a que e x i s t e e n t r e d e t e r m i n a d o s - t r i á n g u l o s queda que l a s á r e a s d e los r e c t á n g u l o s y c u a d r a d o s q u c - -
dan r e l a c i o n a d a s e n t r e s i y e s t o p e r m i t e l l e g a r a l a i g u a l d a d
k.1
'1'EOKEPiA DE PITAGOK4S (Llemostración con c o n g r u e n c i a y a r c a s d e t r i 5 n g u l o s y c u a d r i l i i t e r o s ) . En un t r i a n g u l o r e c t á n g u l o , l a suma d e l o s c u a d r a d o s d e los - c a t e t o s es i g u a l a l cuadrado de l a h i p o t e n u s a .
Dcmost rac ión: -_ - cons idcreinos e i t r i 5i igulo r e c t ' á n g u l o I \ A B C cuyos
16
h i p o t c n u s a tienc l o n g i t u d lí. I
FIGURA .I
Par-a l a demostración del teorema ser5 c o n v e n i e n t e foro :ar .-
la siguiente f i g i i
p a s o s pnr3 f o r m r l a .
en el que hemos seguido 1.0s c i g u i c n t c s
B m r )
A H r: G
n ij
a ) S o b r e la hipotenusa formr,mos el cuadrado
b) S o b r c - e l c a t e t o A C formarnos c l c u a d r a d o
c ) S o b r e c l c a t c t o AB formcrios e l cuaclr3do AClílI /
17
F
k
L
E
FIGURA 2
área d e l cuadrado 1 J BCED es i g u a l a l a suma de las
árcas de los cuadrados I( ABFG c o n
para c i p o es convcniente c o n s i d e r a r l o s s i g u i e n t e s puntos :
I) -Tracemos l a Gnic:a p a r a l e l a a 6 que
pase por
AL.
A, con esto queda formado el segmento r
11) Puesto que e l ángulo n. BAC es recto, entonces
x , AG formar) ángulo recto con DI y por t a n t o
p o r CG pasa una Gnica recta que contiene al punto A.
ACKH es un cuadrado, c n -
<HAC es ángulo r e c t o , U I I i ) Puesto que
tonccs e l ángulci -- por t a n t o por' 2H pasa una única recta q u e con-
t i e n e a A.
19
/ /
/ 1
/ 1
I I 1 i t I
k
C
E-
FlGUiL4 3
20
<FBA miden l o inismo ;pues ambos s o n r c c t o s , l o c u a l s i g n i -
f i c a quc s o n c o n g r u c n t e s , e s d e c i r
e DBC = e FBA ............. 1
e n t o n c e s , a l sumar a am’bos á n g u l o s < DBC y FBA
e1 ángulo < ABC, teneimos
< DBA . . . FBC ............ 2 ,
pncsto que
AB = BF
DB = BC
de’:ido a que son l a d o s d e l mismo c u a d r a d o , e n t o n c e s entre
los t r i s n g u l o s \ABD y &BC hay una c o r r e s p o n d e n c i a
d c l t i p o Lado, Angulo, L a d o , e s d e c i r :
FR = BA
FBC = c Dl3A
EC = DB
y esto t r n c como c o n s c c u c n c i ~ quc l o s t r i S n g u l o c son c o n -
grticntes, c s d e c i r ;
/ y a :-[pyx ................. .3 ..
21
De l a f i g u r a 3 obscrvamos que el r c c t 5 n g u l o de l a d o s
BD y DL, t i e n c n el doble d e l á r e a d e l t r i á n g u l o ABD
debido a quc ambos t i e n e n l a misma base BD y l a misma a l t u r a
DL, es d e c i r
Area ABD = r Area ............ 4 1
L
Por o t r o l a d o , observamos quc e l t r i á n g u l o \ FRC t i e n e -base i% y a l t u r a FG y, e l cuadrado
t i e n e base FE y a l t u r a FC, por l o t a n t o tenemos.
rl ABFG
Area FBC =; Area ........... 5 ,
. WD y FBC r: B
Debido a l a congruencia e n t r e
ellos t i e n e n l a misma S r e a , p o r t a n t o , por 4 y 5 tenemos:
1 2
R Area r-I
L I
D
= 5 Area ....... I: B
en t onc c s
= Arca "lA ........... 7 D I/. L F B
A r e a
nucvnmcnte; cons idcrcmoc 13 f i g i i r 3 4
22
I.
23
.. 1-1: i 4 t riLi.' COI:^:> ob : Jerv ;mos , l i ~ ~ f i ü s i i i i i d ~ ~l I ~ U ~ I I C ) A C O I , 1 ,
y €3 con k', trimbicri observamos que los 5nguloc CCB y
-<ACK nidcri l o mismopÚs ambos son r e c t o s y e s t o signi-
f i c a que son c o n g r u e n t e s e s d e c i r ,
/y <ECB- <ACK ............ 8
a l sumar a ambos ángulos <ECB y <ACK el ángiilo <.KB
tenemos #4 <ACE = K B C K ............ 9
puesto que
AC =1 CK
BC = CE
nor ser l a d o s de un mismo cuadrado, entonces e n t r e l o s t r i á n - L
gulOs \BCK y L A C E hay una correspondencia d e l
t i p o L a d o , Angulo, Lado, es. . 'decir ,
AC = CK
<ACE 2 <BCK CE = BC
e s t o significa que d i c h o s t r i s n g u l o s son c o n g r u e n t e s e s d c c i r ,
24
Are;:
A tf
- D E
L--
F H I_-
C X
A 14 A G 1 6 = Arca r--\ +Aren r' K . . . . . . . . .
B C I: -
coil esta última i g u a l d a d qucda demostrado e l teorema.
26
con l o c cn l queda demostrado e l teorema.
7.1 TEOREMlA TIE P I T A G O R A S ( D e m o s t r a c i ó n con praduct-o i.nrerr,*) t r! y 1
Er, \ir, tri6nqulo r e c t á n g u l o , l a suma de los 7uadradoc CXF
c a t e t o s es igual a l cuadrado d e l a h i o o t e n r i s 3 .
Consideremos el t r i h g u l o r e c t á n g u l o D ABC de R"
cuyos v é r t i c e s l o s denotamos p o r l o s v e c t o r e s A , B y C cuyos
c a t e t o s t i e n e n 1oHgitudes C, y C, r e s p e c t i v a m e n t e y cuya .hi-
potenusa C - A t i e n e l o n g i t u d H. + +
A
C1
B
FIGUP? 1 4 -b + +
Los c a t e t o s son A - B y B - C l o s c u a l e s como observdmcs
de l a figura e l l o s son p e r p e n d i c u l a r e s y t í e n e n longitudes C!
y C2re.spcctiv3incnte m i e n t r a s que l a hipotenusa t i e n e 1ong:i tiiJ
H. De las p r o p i e d a d e s d e l producto i n t c r n o y norma o longi-
t u d dc un v e c t o r tcncmos:
28
- t + + - t + 3 - b - b
A ' B - B - B A*C + E*C F .O .... .,.,, . ...., - 5
a l multiplicar la igualdad en 5 por 2 teneníJs
3 3 3 3 + + + - t
2A.B - 2 B . B - 2A.C + 2B - IC O ..,..)...- 6
Ahora; sumando l o s miembros i z q u i e r d o s de las igualdades
'1 y 2 y tomando en cuenta 16 nos queda
3 - b - b + - + + + - b
+ 2A-B - 2 B - B - 2 A - C + 2B - C A l c a n c c l a r términos nos queda
es d e c i r
2 IC:+ C,= H 2 I
con io c u a l queda demostrado e l teorema,
K o t a . - Es importaiitc n o t a r quc en c s t n dcrnostracián 110 Eué
i i c c c s n r i o t r a b a j a r con 1 3 s coniponcntcs dc l o s v c c t o r c s
A, R, C. 3 -b -+ I
29
1) GEO!.IETRIA.- S e r i c Natcm5tica Moderna I V d e l fondo educa- t i v o i n t c r a n c , t i c a n o del a u t o r EDVJIN E. i\lOI,E Y FLOYD L. DOVINS 1 9 7 2 .
2) GEOblEI'RIA. - Un cnfoquc i n t u i t i v o de l a e d i t o r i a l Trillas de l a a u t a r a FlARCARET 1VISCAhIB I i U T C H I N S O N
1 9 7 6 .
3) Gl?Oi.lETRIA. - E d i t o r i a l UTCHA d e l autor J. E. THOMSON 1 9 7 5 .
30
