ELEMENTOS DE MATEMATICA´ - Universidad CAECE · ELEMENTOS DE MATEMATICA´ ... pero un ﬁl´osofo...

ELEMENTOS DE

MATEMATICA

Publicacion didactico-cientıfica editada

por la UNIVERSIDAD CAECE

VOLUMEN XXIV - NUMERO 83

Marzo de 2018

ELEMENTOS DE MATEMATICA

Propietario: Fundacion CAECEPublicacion didactico-cientıfica

editada por la Universidad CAECEen forma semestral.

Redaccion y administracion

Av. de Mayo 866 - CP: 1084CABA, Argentina

Tel: (011) 5252-2800e-mail: [email protected]

Comite Editorial:

Dr. Daniel PrelatDr. Cesar Massri

Dr. Federico Quallbrunn

Comite Cientıfico:

Dr. Efim ZelmanovDr. Arturo PianzolaDr. Philippe Gille

Dr. Fernando Cukierman

Diagramacion:

Dr. Cesar Massri

Secretaria:

Lic. Mayra Valije

ELEMENTOS DE

MATEMATICAPUBLICACION DIDACTICO-CIENTIFICA

DE LA UNIVERSIDAD CAECE

VOLUMEN XXIV - NUMERO 83

Marzo de 2018

SUMARIO

Editorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Noticias matematicas . . . . . . . . . . . 4

Crupiers y matematica

Dr. Nicolas Frevenza . . . . . . . . . . . . 5

Problemas para pensar

26a Olimpiadas de Matematicas Nandu . . . . 11

Ejemplos de analisis global para metricas

euclıdeas

Dr. Osvaldo P. Santillan . . . . . . . . . . . 13

La distribucion de probabilidad Chi-Cuadrado

Lic. Susana Pasciullo . . . . . . . . . . . . 22

Sistemas hamiltonianos

Lic. Francisco Kordon . . . . . . . . . . . . 30

ISSN: 2591-3131

[email protected]

Editorial

El numero 83 de la Revista esta en marcha. No es para ufanarse en excesopor la continuidad de la publicacion (dado que hubo una interrupcion de variosanos), pero la sucesion de los numeros naturales comienza por el 1 y paraalcanzar el numero 100 es necesario publicar el segundo, luego el tercero, porlo cual, vamos por buen camino. Esta es una Revista hecha por y dirigida apersonas que se dedican a la Matematica, con mayor o menor exito, pero todoscon la misma fascinacion frente a esta ciencia (¿arte?). Esta fascinacion quesuele ser un misterio para la inmensa mayorıa de la gente. Un filosofo escribio,en sus indagaciones juveniles, que se encontro con “algunos filosofos infiltradosen el genero humano”. Podrıamos expresar lo mismo de los matematicos. Talvez exista un virus, digamos el mathematicaviridae, que causa una enfermedadincurable: la pasion por la Matematica. El efecto es un camino de ida, deun punto de no retorno. Cabe aclarar, enfaticamente, que no se trata de un“juego divertido”. ¿Alguien dirıa que una sinfonıa de Mozart es “divertida”?Creo que, en este sentido, hay mas afinidad entre la Matematica y la Musica ola Literatura, que, por ejemplo, con la Ingenierıa. Es conocida la fascinacionde Borges por la Matematica, por citar un ejemplo ilustre. Lo demuestranno solamente sus reflexiones sobre el infinito o las paradojas eleaticas, sinotambien sus maravillosas ficciones, a las que volvemos siempre, una y otravez, como El libro de arena o El disco (de Odın). Pero hay otro aspecto,quizas, mas misterioso: “La irrazonable eficacia de la Matematica en lasCiencias Naturales” (E. Wigner 1960). Para terminar con estas disquisiciones,acompano con una cita clasica que incorpora, curiosamente, el “honor delespıritu” a esta cuestion. En una carta, Jacobi le escribe a Legendre: “Fouriersostenıa que la finalidad principal de la Matematica era la utilidad publica y laexplicacion de los fenomenos naturales, pero un filosofo como el deberıa saberque el objetivo unico de la ciencia es el honor del espıritu humano y que, en esesentido, un problema de teorıa de numeros es tan valioso como un problemasobre la estructura del universo”.

Dr. Daniel PrelatDirector del Departamento de Matematica

4 Noticias matematicas

Noticias matematicas

En esta seccion recopilamos noticias de interes a todo el espectro de la comunidad matematica quehayan ocurrido en los ultimos meses

• La red de publicaciones cientıficas “Frontiers in science” lanzo una nueva revista on-line“Frontiers for Young Minds” que publica artıculos expositivos de investigaciones recientesorientados hacia un publico infantil. En la seccion “Understanding mathematics” aparecenartıculos explicando problemas actuales de la matematica en terminos muy sencillos

Link: https://kids.frontiersin.org/section/understanding-mathematics/articles.

• Este ano se realizara el ICM, International Congress of Mathematics, la reunion de matematicamas importante a nivel mundial. Esta vez es la primera que se realiza en lationamerica, enla ciudad de Rio de Janeiro entre el 31 de julio y el 8 de agosto. Es en este encuentro dondese daran a conocer los nombres de los nuevos galardonados con la medalla Fields, el premiomas famoso en matematica.

Link: http://www.icm2018.org/portal/en/.

• Entre el 22 y el 26 de Enero del 2018, se realizo en Valdivia, Chile, el II Encuentro de MujeresMatematicas de America Latina. La primera version de este encuentro se realizo en Oaxaca.El objetivo del encuentro es hacer visible el trabajo de mujeres matematicas de la region,crear redes, y tambien mostrar parte de la investigacion que se esta haciendo en torno a larelacion de ninas y mujeres con esta disciplina. Conto con charlas de matematicas dictadaspor investigadoras de diferentes paıses de America Latina, ası como tambien con charlas ytalleres relativos a genero y ciencias.

• El Premio Wolf de 2018 para Matematicas ha sido otorgado a Alexander Beilinson (izquierda)y Vladimir Drinfeld (derecha), ambos de la Universidad de Chicago, “por su trabajo pioneroen geometrıa algebraica, teorıa de la representacion y fısica matematica”. El premio, queconlleva un premio en efectivo de US $ 100.000, fue anunciado en un evento especial organizadopor el Presidente de Israel, el Sr. Reuven Rivlin. Los Premios Wolf se otorgan anualmentedesde 1978 a reconocidos cientıficos y artistas por sus logros para la humanidad y por lasrelaciones amistosas entre los pueblos, independientemente de su nacionalidad, raza, color,religion, genero o perspectiva polıtica, en campos como agricultura, quımica, matematica,medicina, fısica y las artes.

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https://kids.frontiersin.org/section/understanding-mathematics/articles

http://www.icm2018.org/portal/en/

ELEMENTOS DE MATEMATICA - Vol. XXIV Nro. 83, Marzo de 2018 5

Crupiers y matematica

Dr. Nicolas Frevenza

... la suerte juega con cartas sin marcar

no se puede cambiar ...

https://www.youtube.com/watch?v=yMvWAuLhjB4

Cartas sin marcar - Andres Calamaro.

En casi cualquier juego de cartas es importante saber si las cartas estan bien mezcladas. Atodos alguna vez, para bien o para mal, nos sucedio que las cartas no se mezclaran bien, haciendoque algunos juegos de la mano anterior se repitan casi identicamente. Saber mezclar es toda unahabilidad aunque mas habilidad requiere barajar para aparentar que las cartas se mezclaron perosin que lo hayan hecho demasiado. En definitiva, si no se mezclo bien se podrıan reconocer patronespara saber que cartas estan en el juego y cuales no. En esta nota se comentaran algunos modelosmatematicos que representan el proceso de barajar cartas y se vera en que medida se puede decirsi lo hicimos bien o no.

Supongamos que tenemos n cartas en el mazo. La primer pregunta es de cuantas formasdiferentes podemos ordenarlas, es decir, cuantos mazos diferentes existen. El mazo es en definitivaun conjunto ordenando de cartas, por lo que lo pensaremos como una secuencia de n posiciones,donde cada posicion se corresponde con un lugar en el mazo. Cada carta debe tener una posicion,por lo que para la primer carta que se toma hay n posibles opciones para ubicarla en el mazo.Para la segunda carta se tienen n− 1 opciones porque ya se uso una posicion para la primer carta;la tercera cuenta con n − 2 posibilidades, y ası sucesivamente hasta que en el n-esimo paso nosqueda solo una carta para colocar en el mazo. Es decir que tenemos n! mazos posibles (se dice nfactorial), donde n! se define como

n! = n× (n− 1)× (n− 2)× · · · × 2× 1.

Notar que de la definicion del factorial se deduce que (k + 1)k! = (k + 1)! para cualquiera k.Comencemos precisando que quiere decir que las cartas esten bien mezcladas.

Definicion 1. Diremos que las cartas estan bien mezcladas cuando todos los mazos tienen lamisma probabilidad de obtenerse, es decir, la probabilidad de tener las cartas ordenadas de algunaforma prefijada, es 1/n!.

No es difıcil deducir que un mazo de n cartas es en realidad una permutacion del conjunto1, . . . , n; y que decir que las cartas esten bien mezcladas es elegir una permutacion al azar entrelas n! permutaciones disponibles y todas con la misma probabilidad.

Comencemos con un metodo muy sencillo aunque no muy practico para mezclar cartas. Yahabra tiempo para mejorar. En el primer turno tenemos n cartas en el mazo y tomamos la queesta mas arriba y la colocamos en un lugar aleatorio del mazo (hay n posibles lugares). En elsegundo turno tomamos la carta que quedo mas arriba y volvemos a elegir una posicion al azardentro del mazo para colocarla, y ası sucesivamente en siguientes turnos. Como queremos jugara las cartas sin pasarnos la vida mezclando con un algoritmo bastante aburrido, cabe preguntar:¿cuantas veces tenemos que aplicarlo para poder decir que el mazo esta bien mezclado? Si ustedesperaba un numero concreto como respuesta esta equivocado, pero podemos dar una regla exactaque nos indica cuando dejar de mezclar.

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https://www.youtube.com/watch?v=yMvWAuLhjB4

6 Dr. Nicolas Frevenza

Mazo inicial:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tomamos la carta que esta mas arriba (derechaen nuestro caso) y redistribuimos:

1 2 3 10 4 5 6 7 8 9De nuevo

1 2 3 10 4 5 6 9 7 8La carta de arriba (8) se coloca en una

posicion aleatoria (6 en este caso):1 2 3 10 4 8 5 6 9 7

Otro cambio:7 1 2 3 10 4 8 5 6 9

Siguiente turno:7 9 1 2 3 10 4 8 5 6

Esquema del algoritmo para 10 cartas aplicado 5 veces;termina cuando la carta 1 este en la posicion de mas

arriba (derecha).

Para ello vamos a mirar la posicion en el mazo de la carta que originalmente estaba debajo. Estacarta sera una carta distinguida, vamos a tener que poder diferenciarla del resto. Llamaremos τ alturno en el que esa carta quedo arriba del mazo durante el procedimiento de mezcla. Resaltemosla definicion de τ .

Definicion 2. τ es el primer turno en el que la carta que estaba originalmente debajo del mazoesta arriba del todo.

En el turno posterior, τ + 1, se tomara esa carta y se la ubicara de forma aleatoria en algunaposicion del mazo. En ese turno, τ + 1, el mazo se encontrara perfectamente mezclado.

Antes de probar la afirmacion anterior vamos a hacer algunas observaciones. Para que en unturno la carta que estaba originalmente debajo este arriba y la podamos tomar para redistribuirla,se debio haber tomado previamente cada una de las n− 1 cartas que originalmente estaban sobreella, porque en cada paso se toma solo una carta y luego se coloca al azar. Se tiene entonces queτ ≥ n. Notar que en cada turno del algoritmo no tomamos necesariamente una carta nueva, sepuede agarrar una carta que ya se habıa tomado en un turno anterior. Por ejemplo, a la primeracarta, cuando se eligio donde colocarla, se la puede volver a poner arriba del mazo, en el lugar quetenıa originalmente; de hecho esto sucede con probabilidad 1/n. En caso de que ello suceda, en elsegundo turno se tomarıa nuevamente la misma carta. Esta situacion puede ocurrir en cualquiermomento, no necesariamente con la primer carta, por lo que esta bien que tengamos que esperar almenos n turnos para que la carta que estaba originalmente debajo quede arriba del mazo. Ahorası, la prueba de nuestra afirmacion y su enunciado como teorema.

Teorema 3. Tenemos un mazo de n cartas que vamos a barajar de la siguiente forma:

• Tomamos la carta que esta arriba y la colocamos al azar en alguna posicion del mazo.

• Repetimos el ıtem anterior hasta la primera vez que tomamos la carta que estaba originalmentedebajo del mazo (es decir, hasta τ), y colocamos a esta ultima en una posicion al azar en elmazo.

En ese momento, τ + 1, el mazo estara bien mezclado, esto es, la probabilidad de obtener unmazo con las cartas ordenadas de alguna forma prefijada, cualquiera sea esta, es 1/n!.

La demostracion consiste en probar que si en un turno t del algoritmo de mezcla tenemos kcartas debajo de nuestra carta distinguida (la carta que originalmente estaba abajo del todo en elmazo), entonces esas k cartas estan ordenadas de forma aleatoria. Si probamos eso, en el turnoτ todas las cartas debajo de la carta que esta arriba (que es la que originalmente estaba abajo)estan distribuidas aleatoriamente, por lo que cuando insertemos a esta ultima en una posicion alazar, el mazo, como conjunto ordenando de cartas, tendra un orden perfectamente aleatorio.

Para la prueba usaremos el metodo de induccion y lo haremos sobre la cantidad de turnost. Si t = 0, es decir antes de comenzar con el algoritmo, no hay cartas debajo de la carta queestaba (¡esta!) ultima originalmente, por lo que la afirmacion es trivialmente verdadera. Ahorasupongamos que la afirmacion es cierta para un turno t e intentemos probarlo para el siguiente

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turno. En el paso t+ 1 hay dos posibilidades para la carta que tomamos y vamos a redistribuir: obien la colocamos debajo de la carta que estaba originalmente abajo del mazo o bien lo hacemosarriba de esta. En el segundo caso, las cartas que estaban debajo de la ultima carta en el mazooriginal son las mismas que en el turno anterior, por lo que siguen ordenadas aleatoriamente. Enel primer caso, se tienen k+1 posiciones para colocar la carta y todas igualmente probables, por loque hay (k+1)k! = (k+1)! arreglos posibles para esas cartas y todos equiprobables. Por lo tanto,en cualquier caso, las cartas debajo de la carta que originalmente era la ultima, estan distribuidasaleatoriamente. Fin de la demostracion y podemos jugar en paz una mano de Tute Cabrero.

Ahora bien, si concretamente se quiere jugar a un juego con 50 cartas, debido al componentealeatorio del modelo, no se puede decir a priori cuantos turnos nos llevara este algoritmo paratener un mazo bien mezclado. Sin embargo, podemos tener una idea de cual es el tiempo promedioque nos llevarıa hacerlo. Esto es, si M personas se pone a mezclar mazos de n cartas usando elalgoritmo anterior y se observa el tiempo promedio en el que terminaron de mezclar, cuandoM (lacantidad de personas) es suficientemente grande, el tiempo promedio deberıa encontrarse cercanoal valor n ln(n), lo que para un mazo de 50 cartas resulta en aproximadamente unos 196 turnos!

¿De donde viene este valor de n ln(n)? Para decir algo sobre esto precisamos repasar algunosconceptos de probabilidad.

• Distribucion geometrica: se realiza un experimento que tiene dos resultados posibles,exito o fracaso. Pensemos que se esta tirando una moneda cargada donde la probabilidad deobtener cara (un exito) es p y la de obtener seca (fracaso) es (1− p). Se va a tirar la monedahasta la primera vez que se obtenga un exito, es decir, salga cara, pero cada tirada se hacede forma independiente a las anteriores. El resultado sera un numero Y ∈ 1, 2, 3, . . . quecuenta la cantidad de fracasos que tuvimos que esperar hasta obtener el primer exito. Aesta Y , que es variable porque no siempre se obtiene el mismo resultado, se le llama variablealeatoria geometrica con parametro de exito p. Nos interesa saber cual es la distribucion quetiene el numero Y que se obtiene. Por ejemplo, esto es decir cual es la probabilidad de quetengamos que esperar 4 tiradas. Si escribimos P a esta probabilidad no es difıcil de calculary se obtiene que:

P(Y = k) = p(1− p)k−1.

• Ley de los grandes numeros: en general, en cada realizacion del experimento anteriorvamos a obtener un valor diferente de Y . Si el experimento se repite muchas veces de formaindependiente, entonces se puede demostrar que el promedio de estos valores converge a unnumero que tiene que ver con la distribucion geometrica. Mas precisamente, si Y1, Y2, . . . , YMson realizaciones independientes del experimento, se tiene que:

Y1 + Y2 + · · ·+ YMM

−→M−→∞

E(Y ),

donde E(Y ) es un numero real que se lo conoce como valor esperado (o esperanza) de lavariable aleatoria Y . En el caso de que Y tenga distribucion geometrica con parametro deexito p, E(Y ) = 1

p (es decir, mientras mas chica es la probabilidad de exito, mas tiempo se

debe esperar en promedio hasta observar el primer exito). A este tipo de resultados dondeel promedio de cantidades independientes pero con la misma distribucion (geometrica en elcaso de las Y ’s) converge a su valor esperado se lo conoce como Ley de los grandes numeros.Conviene destacar que es un resultado muy general dentro de la Probabilidad, y que es ciertopara una gran variedad de variables aleatorias (no necesariamente geometricas).

Luego de esta disgresion, volvamos a pregunta que querıamos responder: si se pone a Mpersonas a mezclar mazos de n cartas con el metodo anterior y se calcula el numero de turnospromedio en el que terminaron de mezclar, ¿cuanto vale esa cantidad? Para dar una respuestavamos a suponer que M es grande y que las personas mezclan de forma independiente entre sı(nadie mira el mazo de otra persona para mezclar). En ese caso, por la Ley de los grandes numerosque recien se describıa, el numero de turnos promedio se puede aproximar por el valor esperado dela mezcla de un solo mazo. Por lo tanto, la respuesta a cual es el tiempo promedio, enunciada enforma de teorema, es la siguiente:

Teorema 4. Se considera un mazo de n cartas y el procedimiento de mezclado donde se toma lacarta de arriba del mazo y se la redistribuye aleatoriamente en este. Si se denomina τ el primer

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tiempo para el cual la carta que estaba ultima en el mazo original se encuentra arriba del mismo,se tiene entonces que:

E(τ) = n

n∑

k=1

1

k≈ n ln(n) .

Ademas ya sabıamos que en el instante τ + 1, es decir cuando se redistribuye esta ultima carta, elmazo se encuentra perfectamente mezclado.

El aproximado del teorema se basa en que la suman∑

k=1

1k crece como ln(n) (este ultimo es un

resultado clasico de series, ver serie armonica en Wikipedia).Demostremos este segundo teorema.Sea Xt la posicion en el mazo en el turno t de la carta que originalmente era la ultima. Vamos

a pensar que las posiciones comienzan en la ultima carta (la que esta mas abajo) y que terminanen la carta que esta mas arriba (en la posicion n). Por tanto en el turno t = 0 se tiene que X0 = 1.Notar que el numero de cartas que estan debajo de la carta que era originalmente la ultima, essiempre Xt − 1 y que si se quiere insertar una carta debajo de la carta en Xt se tienen Xt sitiospara hacerlo.

Cuando en nuestro algoritmo se toma una carta en el turno t+1 hay dos posibilidades: o biense coloca arriba de la carta que estaba originalmente ultima o debajo de ella. En el primer casonuestra carta permanece en la misma posicion, es decir, Xt+1 = Xt y en el segundo caso la posicionse incrementa en 1, esto es, Xt+1 = Xt +1. Estas son las unicas transiciones posibles, por lo tantoXt es no decreciente (es decir, crece o queda igual). Calculemos las probabilidades de que estastransiciones ocurran bajo el supuesto que Xt = k. La carta que tomamos de arriba del mazo se vaa colocar en una posicion del mazo elegida al azar, por lo tanto las probabilidades de insertar estacarta debajo o arriba de la que era originalmente ultima (que ahora esta en la posicion Xt) son

kn

y n−kn respectivamente.Sea el turno τk definido como τk = mint ≥ 0: Xt = k, es decir, el primer instante en el que

la carta que originalmente era la ultima esta exactamente en la posicion k del mazo. Con estanotacion τ = τn y τ1 = 0. Observar que se puede escribir a τ de la siguiente forma:

τ = τ1 + (τ2 − τ1) + · · ·+ (τn − τn−1) ,

donde cada diferencia (τk−τk−1) cuenta la cantidad de turnos que se usaron para que la carta pasede la posicion k− 1 a la k. Ahora bien, se puede pensar que cada vez que Xt crece se esta ante unexito y que el caso contrario (cuando permanece igual) es un fracaso. El procedimiento se repitehasta obtener el primer exito, es decir, hasta que la posicion de la carta que era originalmentela ultima suba en una unidad, o equivalentemente, haya una carta mas debajo de ella. Con esteesquema nos podemos dar cuenta que la variable aleatoria (τk−τk−1) tiene distribucion geometricacon parametro de exito k

n puesto que hay k lugares para insertar la carta que se tomo debajo denuestra carta distinguida. Entonces la esperanza o tiempo medio de τ se calcula como:

E [τ ] = E[ n∑

k=1

τi − τi−1

]=

n∑

k=1

E [τi − τi−1] =

n∑

k=1

n

k= n

n∑

k=1

1

k.

Ahora vamos a comentar otro modelo para mezclar cartas, denominado mezcla americana oriffle shuffle, mucho mas real pero en el que resulta mas difıcil probar resultados.

Se corta el mazo aproximadamente por la mitad y se mezclan los dos mazos que quedaronintercalando las cartas de ambos. Obviamente, si no se intercala de forma perfecta pueden quedarmas cartas entre medio. Lo que sı sucede es que si dos cartas pertenecen al mismo sub-mazoy tienen un orden relativo entre sı (es decir, una esta arriba de la otra), ese orden relativo semantiene luego de la mezcla. En el siguiente cuadro mostramos un ejemplo de mezcla americanapero tambien se pueden buscar vıdeos en YouTube para ver como funciona este tipo de mezcla eincluso tutoriales para aprender a mezclar de esta forma (https://youtu.be/AW91UR1bdT8aca hayuno). Para el ejemplo, se vuelve a enumerar las cartas pero ahora al reves que en la parte anterior:denominamos 1 a la carta que esta mas arriba del mazo, 2 a la siguiente y ası sucesivamente.

Mazo inicial:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

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https://youtu.be/AW91UR1bdT8


Luego de cortar:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Ahora mezclamos1 6 2 7 8 3 9 4 10 11 12 5 13

Volvemos a cortar:1 6 2 7 8 3 9 4 10 11 12 5 13

Se mezcla de nuevo y se obtiene4 1 10 6 11 2 7 12 5 8 13 3 9

Esquema del algoritmo de mezcla americanapara un mazo de 13 cartas aplicado 2 veces.

Para describir el modelo matematico detras de esta forma de mezclar cartas precisamos otroparentesis para recordar a la distribucion Binomial. Si ya conoce a esta distribucion, puede saltearsela disgresion.

• Distribucion Binomial: vamos realizar n veces de forma independiente un experimentoque tiene dos resultados posibles: exito o fracaso, y donde la probabilidad de exito es p.Estos dos parametros, n, cantidad de veces que se repite el experimento, y p, la probabilidadindividual de obtener un exito, estan fijos y los conocemos de antemano. Llamamos M ala cantidad de exitos que obtenemos en esas n realizaciones del experimento. M sera unnumero natural entre 0 y n. Se puede calcular exactamente cual es la probabilidad de queM = i, es decir, de obtener exactamente i exitos y n− i fracasos, es

P(M = i) =

(n

i

)pi(1− p)n−i,

donde(ni

)= n!

(n−i)!i! . Si bien esta formula puede parecer engorrosa, es sencillo de creer que

la cantidad media de exitos que se espera obtener es

np = cantidad de experimentos× probabilidad de exito de un experimento.

Ahora sı, describamos el modelo de mezcla americana. Se elige un numero M con distribucionBinomial(n, 1/2) y se divide el mazo en las primeras M cartas y las restantes n−M . Al tomar Mcomo una variable aleatoria Binomial estamos considerando la posibilidad de que el mazo se puedepartir de forma no necesariamente perfecta, y al mismo tiempo le asignamos mayor probabilidada los cortes que dividen el mazo en tamanos similares (y en media, estamos dividiendo el mazoa la mitad). Al momento de intercalar tenemos que elegir al azar donde insertar las cartas perorespetando el orden relativo de cada mazo. ¿Cuantas formas hay de hacer esto? Notar que lounico que hace falta, dado que el orden relativo se va a respetar, es elegir los lugares donde secolocaran las cartas del primer mazo. Elegidos esos M lugares, se coloca la primer carta del mazo1 en el primer lugar, la segunda en el segundo, etc. Se tienen entonces tantas formas de hacerlocomo subconjuntos de M elementos dentro de un conjunto de n elementos donde el orden de losM lugares no nos importa porque vamos a respetar el orden del primer mazo. Hay en definitiva(nM

)posibles formas de colocar las M cartas del primer mazo respetando el orden entre ellas. En

resumen, para la mezcla americana o riffle shuffle hacemos lo siguiente:

• se elige M con distribucion Binomial(n, 1/2) y se divide el mazo en dos.

• los dos mazos se intercalan usando de forma equiprobable alguna de las(nM

)formas que

existen de hacerlo.

No entraremos en detalles pero es facil de creer que de esta forma las cartas se mezclan masrapido que con el primer algoritmo. Concretamente se puede probar que si la cantidad de cartas,es decir n, es grande, en este caso se requieren alrededor de 2 ln(n) para decir que la mezcla esbuena, cuando con el primer metodo eran necesarias del orden de n ln(n) iteraciones. Por ejemplo,en un mazo de 50 cartas serıan unas 8 contra 196 veces.

Llamemos µt a la distribucion que tiene el mazo de cartas luego de repetir t veces alguno de losprocedimientos de mezcla que se comentaron y µ a la distribucion uniforme sobre estos mazos. Losteoremas y afirmaciones anteriores nos dicen que si t crece, usando cualquiera de los dos metodosde mezcla, µt se acerca a µ y se acerca en un sentido que puede precisarse bien pero sobre el que

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no daremos detalles. Solo mencionaremos que es posible definir una distancia entre µt y µ (ladistancia en variacion total), y que la diferencia de los metodos radica en su eficiencia para queµt se acerque a µ: la mezcla americana lo hace mucho mas rapido que el primer metodo. En elsiguiente cuadro se muestra como se modifica esa distancia entre µt y la distribucion uniforme µcon las sucesivas mezclas en el caso de la mezcla americana para un mazo de 52 cartas (barajafrancesa ♥♣♦♠):

1 2 3 4 5 61.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9237 0.6135

7 8 9 10 11 120.3341 0.1672 0.0854 0.0429 0.0215 0.0108

Cuadro de distancia entre la distribucion del mazo luego de t mezclasy una distribucion uniforme.

Notar que el cambio en la distancia es muy drastico luego de las 7 primeras mezclas y que aunhaciendo la mezcla americana 5 veces, las cartas estan lejos de ser distribuidas de forma aleatoria(aunque enganen a nuestros ojos y ası lo parezcan). Este fenomeno, donde la distancia varıa deforma muy abrupta se conoce como cut-off y es de gran interes matematico.

Mirando el cuadro anterior quizas nos podemos convencer de que 7 u 8 mezclas son suficientespara aleatorizar un mazo de 52 cartas. Sin embargo, en los 90’, Peter G. Doyle describio un juegode cartas (New-Age Solitaire, un solitario) en el que si el mazo esta distribuido de forma uniforme,la probabilidad de ganar es exactamente 1/2, pero si se toma un mazo nuevo y se aplica 7 vecesel algoritmo de mezcla americana, entonces la probabilidad de ganar asciende a aproximadamente0.8. Por lo tanto, en este juego inventado por Doyle, mezclar 7 u 8 esta lejos de ser satisfactoriopara que el juego sea justo. Nos encontramos entonces con que dar una respuesta a priori decuantas veces es necesario barajar con la mezcla americana para decir que el mazo es aleatorio, noes posible y depende del juego y una tolerancia que estemos dispuestos a aceptar. En cada caso, sise fija un nivel de tolerancia, el cuadro anterior nos permite decir cuantas veces mezclar para caerdentro de ese rango de tolerancia.

Referencias

Para esta nota se siguieron algunas partes del libro de Levin, Peres y Wilmer [3], allı la mezclade cartas aparece como un ejemplo relevante de cadenas de Markov. En el artıculo [1] de Aldous yDiaconis tambien se encuentra una descripcion detallada de estos modelos. El libro de Grinstead ySnell [2] dedica una seccion del tercer capıtulo a estos modelos y utiliza esencialmente herramientascombinatorias. En particular, explica con detalle el solitario que propuso Doyle donde aplicar lamezcla americana es totalmente insuficiente para tener un juego “justo”. Para esto ultimo y paraalgunas generalizaciones de este modelo (por ejemplo, mezcla americana pero cortando el mazo en3,4, 5, ... mazos en vez de 2) se puede consultar el apunte de Mann [4].

Referencias

[1] Aldous, David; Diaconis, Persi. Shuffling cards and stopping times. Amer. Math. Monthly 93(1986), no. 5, 333–348.

[2] Grinstead, Charles M.; Snell, J. Laurie. Grinstead and Snell’s Introduction to Probability.University Press of Florida, 2009, x+510 pp, ISBN: 978-0-8218-4739-8.

[3] Levin, David A.; Peres, Yuval; Wilmer, Elizabeth L. Markov chains and mixing times. With achapter by James G. Propp and David B. Wilson. American Mathematical Society, Providence,RI, 2009. xviii+371 pp. ISBN: 978-0-8218-4739-8. Disponible en http://yuvalperes.com/

markovmixing.pdf.

[4] Mann, Bran. How many times should you suffle a deck of cards?. Disponible en https://www.

dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/Mann.pdf.

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http://yuvalperes.com/markovmixing.pdf

http://yuvalperes.com/markovmixing.pdf

https://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/Mann.pdf

https://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/Mann.pdf


Problemas para pensar

26a Olimpiadas de Matematicas Nandu

Resumen. Los siguientes problemas fueron propuestos en el segundo nivel de las 26aOlimpiadas de Matematicas Nandu, 2017.

Problemas

1. En la funcion de teatro la entrada cuesta $200. El ultimo domingo1

3de las entradas quedaron

sin vender,1

5de las entradas se vendieron a mitad de precio y el resto de las entradas se

vendieron al precio original; se recaudaron $37400 por la venta de entradas.

(a) ¿Cuantas entradas habıa en total?

(b) ¿Cuanto se habrıa recaudado ese dıa si todas las entradas vendidas se hubiesen pagadoal precio original?

2. En la figura:

A B

P Q

D R C

ABCD es un cuadrado de 2304cm2 de area, BC = 3BQ, DR = 3RC y PQRD es unparalelogramo.

(a) ¿Cual es el area de QCR?

(b) ¿Cual es el area de PQRD?

(c) ¿Cual es el area de PBCD?

(d) ¿Cual es el area de PBR?

3. Estan escritos los numeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Beto tacha alguno de estos numeros. Andressuma los numeros que quedaron sin tachar. La suma de Andres es igual al doble de la sumade los numeros que tacho Beto.

¿Que numeros puede haber tachado Beto? Da todas las posibilidades.

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12 26a Olimpiadas de Matematicas Nandu

Soluciones

En lo que sigue daremos una solucion de los problemas planteados en el segundo nivel de las 26aOlimpiadas de Matematicas Nandu, 2017.

1. Respuestas al primero problema

(a) Habıa 330 entradas

(b) Se habrıan recaudado $44000

Idea de resolucion:

Sea T el total de entradas. Dado que 1/3 + 1/5 es 8/15, resulta que se vendieron (7/15)Tentradas al precio original. Luego,

(1

5100 +

7

15200

)T = 37400 =⇒ T = 330

Se vendieron (2/3)T = 220 entradas y se habrıa recaudado (2/3)T × $200 = $44000.

Notemos que se vendieron 66 entradas a $100 y 154 entradas a $200.

2. Respuestas al segundo problema

(a) Area de QCR es 192cm2

(b) Area de PQRD es 1152cm2

(c) Area de PBCD es 1632cm2

(d) Area de PBR es 768cm2

Idea de resolucion:

Area ABCD = (AB)2 = 2304cm2, luego AB = 48cm. Dado que BC = 3BQ, resultaBQ = BC/3 = AB/3 = 16cm y entonces QC = 32cm.

Dado que DR = 3RC, el segmento total DC = 4RC. Luego RC = DC/4 = AB/4 = 12cm.Entonces, DR = 36cm y por ser PQRD un paralelogramo, resulta PQ = 36cm.

Con estos datos podemos calcular

QCR = (RC ×QC)/2 = 192cm2,

PQRD = PQ×QC = 1152cm2,

PBCD = PBQ+QCR+ PQRD = (288 + 192 + 1152)cm2 = 1632cm2,

PBR = PBCD −BCR− PRD = (1632− 288− 576)cm2 = 768cm2.

donde PRD se calcula como la mitad de PQRD.

3. Respuestas al tercer problema

(a) Hay 17 maneras de elegir los numeros

Idea de resolucion:

La suma de los 9 dıgitos es 45; la suma de los dıgitos que tacho Beto es 45/3 = 15. Luegolos dıgitos que suman 15 son,

(1, 2, 3, 4, 5) (2, 3, 4, 6) (3, 4, 8) (4, 5, 6) (6, 9) (7, 8)

(1, 2, 3, 9) (2, 4, 9) (3, 5, 7) (1, 2, 4, 8) (2, 5, 8) (1, 2, 5, 7) (2, 6, 7)

(1, 3, 4, 7) (1, 3, 5, 6) (1, 5, 9) (1, 6, 8).

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Ejemplos de analisis global para metricas

euclıdeas

Dr. Osvaldo P. Santillan

Resumen. En el repaso siguiente se ejemplificara con tres casos como se efectua unanalisis global de una metrica dada. Se asume que la forma local del elemento dedistancia g = gijdx

idxj es conocido, y se desea determinar el rango global de suscoordenadas xi. Los ejemplos utilizados son los instantones gravitatorios de Taub-Nut[1] y Eguchi-Hanson [2], asi como los espacios Einstein-Sasaki Y (p, q) [3]. Sin embargo,no se asume que el lector tenga algun conocimiento previo sobre estas geometrıas niconceptos avanzados de topologıa algebraica. La descripcion a continuacion utiliza unlenguaje intencionalmente elemental para no expertos en el tema.

1. Introduccion

En este corto repaso, se daran ejemplos de analisis global de una metrica o elemento de distanciadado, en dimension arbitraria.

La idea de este repaso es la siguiente. En varias ramas de la matematica pura, en particular latopologıa [4] y la geometrıa algebraica [5], se estudian propiedades de variedades, fibrados, haces,y diversas estructuras que pueden ser definida sobre ellas. Estas estructuras permiten distinguirentre variedades inequivalentes. Ejemplos no exhaustivos son los grupos de homotopıa, los gruposde homologıa y cohomologıa, invariantes topologicos varios como los invariantes de Donaldson encuatro dimensiones y las clases de Chern de un fibrado dado. En estas aplicaciones, la variedad aser estudiada es un objeto conocido.

En fısica en cambio, el problema que surge a veces es opuesto. En muchos casos, los modeloscomo la Relatividad General o las Teorıas de Cuerdas, contienen ecuaciones diferenciales quedescriben localmente una geometrıa dada. Por ejemplo, en el caso de la Relatividad General conconstante cosmologica, se busca hallar una metrica o elemento de distancia

g = gijdxidxj ,

tal que su tensor de Ricci satisfaga Rij = Λgij , siendo Λ una constante, denominada constantecosmologica. No se pretende en este repaso entender en profundidad esta condicion. Lo que sedesea resaltar es que, a priori, se ignora en que variedad suave y regular esta metrica se halladefinida. Incluso, son muchas las situaciones en las cuales ignora si esta metrica se halla siquieradefinida en una variedad suave. Es decir que se conocen aspectos locales de la geometrıa, pero nose conocen las propiedades globales, al menos sin un analisis adicional.

Los ejemplos que se dan a continuacion son simples, pero cuidadosamente seleccionados, yrecogen en gran parte la tecnica para hacer un analisis global de una metrica dada. El lenguajese mantiene intencionalmente elemental, para dar luego pie a un lenguaje mas sofisticado. Enmi opinion, el entendendimiento de la intuicion detras de este lenguaje es una herramienta muypotente para aprender la teorıa general posteriormente.

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2. Singularidades conicas, fibrados y esferas

Es simple pero fundamental para el objetivo de este repaso entender el significado de una singularidadconica. Consideremos una metrica bidimensional plana euclıdea (pitagorica)

g2 = dx2 + dy2.

En coordenadas cilındricas o polares, x = ρ cos θ, y = ρ sin θ se tiene que

dx = cos θdρ− ρ sin θdθ, dy = sin θdρ+ ρ cos θdθ.

Utilizando estas expresiones y teniendo en cuenta la identidad pitagorica sin2 θ + cos2 θ = 1 lametrica plana queda expresada como sigue

g2 = dρ2 + ρ2dθ2, (2.1)

La coordenada angular θ, como es sabido, tiene perıodo 2π.Sin definir siquiera lo que es la curvatura, sabemos intuitivamente que la metrica plana (2.1)

tiene curvatura nula.Consideremos ahora la figura de un cono bidimensional embebido en un espacio en tres dimensiones

R3 con su metrica plana. La ecuacion que define este cono es extremadamente simple. Si se asume

que el eje del cono coincide con el eje z, la ecuacion definitoria es

z = aρ,

siendo z, ρ y θ las coordenadas cilındricas usuales en R3. Esta relacion indica que las laderas del

cono son rectas. La metrica inducida sobre la superficie del cono se deduce partiendo de la metricaplana en R

3 donde el cono se halla embebido

g3 = dρ2 + ρ2dθ2 + dz2,

e incluyendo la relacion z = aρ en la misma. El resultado es

gc = (1 + a2)dρ2 + ρ2dθ2.

Definiendo la nueva coordenada angular θ = θ/√1 + a2 y la nueva coordenada radial ρ =

√1 + a2ρ

la metrica resultagc = dρ2 + ρ2dθ2. (2.2)

Esto es localmente equivalente a (2.1), la metrica plana euclıdea en dos dimensiones. La metricaplana euclıdea es claramente no singular, de hecho es la metrica mas sencilla que pueda imaginarse.Pero por otro lado, intuitivamente sabemos que un cono tiene una singularidad de curvatura ensu punta. Esto no implica ninguna paradoja. El problema se halla en que el nuevo angulo θ notiene perıodo 2π, sino 2π/

√1 + a2 por lo tanto la equivalencia es local y no global. Es decir que

la metrica (2.2) tiene una singularidad de curvatura en la punta del cono ρ = 0 excepto cuandoel perıodo θ es 2π, para el cual simplemente es la metrica plana. Esta singularidad se llamasingularidad conica, por razones que se explican por si solas.

En general, dada una metrica de la forma

gn = dr2 + r2Ωn−1 (2.3)

siendo Ωn−1 una metrica arbitaria compacta, esta metrica tiene una singularidad conica en r = 0excepto si Ωn−1 es la metrica estandar de la esfera Sn−1. No daremos una demostracion de estehecho, pero la intuicion detras es identica al caso bidimensional discutido mas arriba.

Es importante notar que ante un escaleo de la forma r → λr la metrica conica (2.3) escaleacomo gn → λ2gn. Este escaleo es un buen indicador que hay una singularidad conica. Para dar unejemplo, consideremos una superficie en C

3 descripta por la ecuacion de la forma

z1z2 = z23 . (2.4)

Esta ecuacion es invariante ante un cambio zi → λzi, y esto implica que la metrica inducidaresultante es de la forma (2.3), dado que un escaleo transforma la metrica en gn → λ2gn. Es decir

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que se sabe de antemano, sin hacer ninguna cuenta, que la metrica inducida por la ecuacion (2.4)tiene una singularidad conica.

Es un buen ejercicio deducir la metrica estandar de una esfera S2. Esta puede hallarse teniendoen cuenta la relacion

x2 + y2 + z2 = 1,

la cual describe a la esfera como una superficie en R3. Por simplicidad, asumimos que el radio de

la esfera es R = 1. Se tienen dos formas de parametrizar la esfera. La primera es postular

z = ±√

1− x2 − y2.

Vemos que necesitamos dos cartas para definir una esfera, debido al signo ± presente en la ultimaexpresion. Otra forma es parametrizar las coordenadas de la forma

x = cos θ cosφ, y = cos θ sinφ, z = sin θ. (2.5)

Aquı, 0 ≤ θ ≤ π y 0 ≤ φ < 2π. Sin embargo, no hay que concluır que este sistema de coordenadascubre a la esfera con una carta. Este sistema de coordenadas tiene una singularidad en el polo surθ = π y polo norte θ = 0, dado que la coordenada φ no se halla definida en esos puntos. Ahorabien, hallando dx, dy y dz teniendo en cuenta (2.5) e introduciendo las expresiones resultantes enla metrica plana g3 = dx2 + dy2 + dz2 se obtiene que

.gS2 = dθ2 + sin2 θdφ2. (2.6)

Esta expresion sera utilizada frecuentemente en lo que sigue. Otra expresion que necesitaremos esla de la metrica de una tres esfera S3. Existe una eleccion de angulos para los cuales la metricatoma la forma

gS3 = (dψ + cos θdφ)2 + dθ2 + sin2 θdφ2 = (dψ + cos θdφ)2 + gS2 . (2.7)

Aquı, el nuevo angulo ψ tiene perıodo 4π.En este punto, es conveniente hacer una aclaracion de vocabulario. Vemos que la metrica

estandar de la esfera S3 tiene un factor gS2 mas un elemento (dτ +cos θdϕ)2. Se dice que S3 tienea S2 como espacio base con una fibra U(1) ∼ S1 parametrizada por ψ. Veamos esto en forma masexplıcita. Consideremos por un momento la siguiente metrica en tres dimensiones

g3 = dθ2 + sin2 θdϕ2 + dψ2,

siendo ψ periodica. Llamamos a esta metrica un fibrado U(1) trivial. La denominacion U(1) ∼ S1

indica que la coordenada ψ es perıodica y parametriza un cırculo. La palabra trivial indica queesta metrica es una suma directa de la metrica de S2 y la metrica plana de un cırculo U(1). Encambio, la metrica de una esfera S3 (2.7) es un fibrado U(1) sobre una esfera S2. Pero este fibradono es trivial, dado que ”la fibra” (dτ +cos θdϕ)2 varıa al moverse sobre las coordenadas de la baseS2 por su dependencia con la coordenada θ.

Para finalizar, hay que indicar que no toda metrica puede ser descripta como un fibrado U(1).Por ejemplo, existe un teorema debido a Adams que afirma que la esfera S4 no puede describirsecomo un fibrado U(1) sobre S3.

3. La geometrıa Taub-Nut

Armados con el entendimiento basico de singularidades conicas, procedemos a continuacion connuestros ejemplos. La primera metrica a analizar es la siguiente

g =

(r

r + a

)(dτ +

az

rd arctan(y/x)

)2

+

(r + a

r

)(dx2 + dy2 + dz2

). (3.8)

Esta metrica se halla definida en cuatro dimensiones, con coordenadas x, y, z y τ . Aquı r =√x2 + y2 + z2 y a es un simple parametro numerico, hasta el momento arbitrario. Esta metrica se

llama instanton de Taub-Nut [1] y es conocida en fısica porque tiene tensor de Ricci nulo Rij = 0.Sin embargo, no nos interesan sus aplicaciones. En cambio, se plantea la siguiente pregunta. Para

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que valores de coordenadas τ , x, y y z se halla definida esta metrica? Se halla esta metricadefinida en una variedad? O este elemento de distancia es tan solo local y no puede ser extendidoglobalmente?

Para analizar este problema, en primer lugar, es tentador asumir que x, y y z son coordenadasplanas cuyo rango va desde −∞ hasta ∞. Esto por el momento es valido. Sin embargo, la funcionz/r es discontinua cuando se cruza el origen desde z > 0 a z < 0 a lo largo del eje z, para el cualz = r en la parte superior y z = −r en la parte inferior. Es decir que la metrica parece estar definidaen la zona z > 0 o z ≤ 0 por separado, pero hay que analizar si puede pegarse para conseguir unametrica suave en todos lados. Se necesitan entonces dos cartas para definir la geometrıa. Ahorabien, estas dos cartas pueden describirse declarando que para z > 0 la primera coordenada sedenomina τ mientras que para z ≤ 0 la coordenada se denomina τ = τ +2a arctan(y/x). Como severa a continuacion, esto implica que τ tiene que ser periodica. Para visualizarlo, es convenienteintroducir las coordenadas cilındricas estandar

x = ρ cosϕ, y = ρ sinϕ, z = η, d arctan(y/x) = dϕ.

En estos terminos, se ve que la forma

A =az

rd arctan(y/x) = cos θdϕ,

que aparece en la metrica (3.8) tiene la siguiente discontinuidad al moverse a lo largo del eje z

limz=r→+0

A− limz=−r→−0

A = 2adϕ.

Es decir que esta forma, la cual aparece en la metrica, tiene un salto al pasar por el origen z = 0 porla recta z = r equivalente a 2adϕ. Este salto puede compensarse si la coordenada τ en el ecuadorθ = π/2 se identifica como τ = τ +2aϕ. Dado que el angulo ϕ tiene perıodo 2π es claro que τ tieneperıodo 4aπ, en caso contrario la identificacion no serıa posible. Con este simple razonamiento, seha determinado el rango de todas las coordenadas de la metrica.

Existe otra forma de explicar esto, que quizas sea mas familiar para un matematico. La metrica(3.8) puede escribirse de la siguiente forma

g =

(r

r + a

)(dτ + a cos θdϕ)

2+

(r + a

r

)(dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdϕ2

). (3.9)

En el polo norte θ = 0 la coordenada ϕ no se halla definida. La forma dτ + a cos θdϕ en ese puntose convierte en dτ + adϕ. La singularidad en dicho punto puede evitarse definiendo la coordenadaτ1 = τ + aϕ, la cual necesariamente tiene perıodo 2aϕ. En el polo sur la coordenada es en cambioτ2 = τ − aϕ, con el mismo perıodo. En el ecuador, ambas coordenadas se hallan relacionadas porτ1 = τ2 + 2aϕ. Con estas condiciones pueden obtenerse las mismas conclusiones que en el parrafoanterior. La ventaja de este razonamiento es que puede generalizarse a geometrıas compactas,como una esfera por ejemplo, en las cuales no es posible atravesar el origen moviendose a lo largodel eje z.

3.1 La metrica de Eguchi-Hanson

La segunda metrica a analizar es la de Eguchi y Hanson [2]

g =r2

4

(1− (a/r)4

)( dτ + cos θdϕ )2 +

(1− (a/r)4

)−1dr2 +

r2

4( dθ2 + sin2 θdϕ2 ) (3.10)

Este ejemplo es quizas mas interesante que el anterior. Se quiere hallar un rango de coordenadaspara que la metrica no tenga ningun tipo de singularidades.

En primer lugar, r ≥ a, en caso contrario se tendrıa una distancia negativa, lo cual es inaceptableen el caso euclıdeo. Ahora bien, para la region asintotica r >> a la metrica puede aproximarsepor

g ≃ r2

4( dτ + cos θdϕ )2 + dr2 +

r2

4( dθ2 + sin2 θdϕ2 ) (3.11)

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Esta metrica se parece entonces a una metrica plana, dado que es localmente de la forma g ∼dr2 + r2g3 con g3 la metrica estandar de la esfera S3 descripta en (2.7). Pero como se define elrango de sus coordenadas? En principio la parte de la metrica

g2 = dθ2 + sin2 θdϕ2,

tiene una singularidad conica cerca de θ = 0 a menos que ϕ tenga perıodo 2π, dado que en eseentorno vale la aproximacion

g2 ≃ dθ2 + θ2dϕ2,

la cual tiene una singularidad conica si ϕ no tiene perıodo 2π. Es decir que se ha determinado queϕ = ϕ+ 2π, lo cual era de esperarse. Ademas, la coordenada θ en principio puede ser identificadacon perıodo π. Por otro lado, si se analiza la forma

dτ + cos θdϕ = dτ +A,

presente en la metrica, se tiene nuevamente un salto en δA = 2dϕ al pasar de cos θ = 1 a cos θ = −1.Este salto, como en el ejemplo anterior, puede cancelarse si τ = τ+4π, debido a que ϕ tiene perıodo2π. Hasta aquı esto es lo esperado. Sin embargo, hay una singularidad conica extra no tan evidente.Esta singularidad puede visualizarse haciendo el cambio de coordenadas

u2 = r2(1− (a/r)4

),

con el cual la metrica (3.10) queda expresada de la siguiente forma

g =u2

4( dτ + cos θdϕ )2 +

(1 + (a/r)4

)−2du2 +

r2

4( dθ2 + sin2 θdϕ2 ). (3.12)

La singularidad aparente en r = a se corresponde con u = 0 en estas nuevas coordenadas. Cercade esa singularidad la metrica toma la siguiente forma

g ≃ u2

4( dτ + cosϕdϕ )2 +

1

4du2 +

a2

4( dϕ2 + sin2 ϕdϕ2 ).

Si se dejan a θ y ϕ fijas, esta ultima expresion se reduce a

g ≃ 1

4du2 +

u2

4dθ2.

Nuevamente se ha obtenido una singularidad conica, en la cual u/2 juega el rol de coordenadaradial y τ de coordenada angular. Esta singularidad puede ser evitada tan solo si el rango de τvarıa entre 0 a 2π.

Es importante notar que anteriormente se habıa concluıdo que 0 ≤ τ < 4π mientras con esterazonamiento se tiene que 0 ≤ τ < 2π. Ambas condiciones son consistentes eligiendo el menorperıodo, es decir 0 ≤ τ < 2π. Que significa esto? Significa que esta metrica es asintoticamentelocalmente euclıdea (ALE), pero uno de sus angulos no tiene el rango esperado 4π, sino una mitad2π. Es decir al alejarse a la region asintotica r >> a, si se efectua media vuelta alrededor del centror = 0, se vuelve al punto de partida. Por eso se enfatiza la palabra localmente. La metrica deEguchi-Hanson entonces se halla definida en C

2/Z2, que es el cociente del espacio vectorial complejoC

2 por la accion del grupo de dos elementos Z2 = −1, 1 por multiplicacion por escalares. Encoordenadas radiales, el factor Z2 describe la media vuelta recien mencionada e identifica τ = τ+2πen vez de τ = τ + 4π.

Es conveniente remarcar que existe una interpretacion sencilla del comportamiento de estametrica. Para ello, es conveniente parametrizar C

2 con coordenadas complejas a y b. Estascoordenadas, por definicion, son doble valuadas en C

2/Z2 debido a que un punto dado (a, b) ∈ C2

se identifica con (−a,−b) en el cociente C2/Z2. Pero las funciones

z1 = a2, z2 = b2, z3 = ab,

son univaluadas en C2/Z2. Dos de ellas pueden ser utilizadas como coordenadas en C

2/Z2, porejemplo z1 y z2. La funcion z3 queda definida en terminos de estas coordenadas por la relacionevidente

z1z2 = z23 ,

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la cual es la ecuacion algebraica de C2/Z2 vista como una superficie en C

3. Esta ultima variedadse halla parametrizada por z1, z2 y z3. Cabe mencionar que esta ecuacion es identica a (2.4), lacual fue discutida intencionalmente en secciones anteriores. La superficie inducida resultante poresta ecuacion es singular, mas precisamente, tiene una singularidad conica. En la literatura suelenser llamadas orbifolds.

A pesar que la ecuacion algebraica descripta en el parrafo anterior define una superficie singular,la ecuacion deformada

z1z2 − ǫ2 = z23 ,

define una geometrıa regular, si ǫ es un parametro positivo. El efecto de este parametro es suavizarla punta del cono, donde se halla concentrada la singularidad de la curvatura. Puede hacerse uncambio de coordenadas para poner esta ultima ecuacion en la forma

z21 + z22 + z23 = ǫ2. (3.13)

Si se considera la metrica inducida por esta ecuacion, es decir que se considera la metrica plana enC

3

g = dz1dz1 + dz2dz2 + dz3dz3,

y se introduce la relacion (3.13) en la misma, se obtiene luego de algunos cambios de coordenadasla metrica de Eguchi-Hanson (3.10) con la identificacion de parametros

ǫ = a.

Es decir que la metrica de Eguchi-Hanson se corresponde con la resolucion de la singularidad conicaen C

2/Z2. Esta resolucion suele llamarse blowup (explotado), pero no es el tema central de esterepaso. Sin embargo, cabe aclarar que los blowups a veces no son faciles de hacer, especialmentesi se desea mantener ciertas propiedades de la geometrıa en forma intacta. Por ejemplo, podrıaser no trivial hallar un blowup tal que la metrica resultante tenga tensor de Ricci nulo. Lo que esnotable de esta discusion es que el analisis de la metrica hecho anteriormente permitio conocer lavariedad sobre la cual se halla definida a partir de su forma local, ignorando inicialmente que estavariedad se halla descripta por (3.13).

Existe otro aspecto importante a ser discutido, que es el siguiente. Si se introduce un parametroirracional q en la metrica (3.10), tal que la nueva metrica resulta ser

gp =r2

4

(1− (a/r)4

)( dτ + q cos θdϕ )2 +

(1− (a/r)4

)−1dr2 +

r2

4( dθ2 + sin2 θdϕ2 ) (3.14)

se hubiera llegado a la conclusion que τ = τ+4qπ y τ = τ+2π. Si q es irracional, es imposible haceresta identificacion. La metrica resultante es singular necesariamente. Es decir que los valores de losparametros de una metrica pueden jugar un rol fundamental en sus aspectos globales. Hablandosin demasiado rigor, el conjunto de parametros de una geometrıa dada suele llamarse en algunoscontextos el moduli.

4. La metrica Y (p, q)

Como ultimo ejemplo, consideremos ahora la siguiente metrica [3]

g5 =1− y

6(dθ2 + sin2 θdφ2) +

1

w(y)q(y)dy2 +

q(y)

9[dψ − cos θdφ]2+

+w(y)

[dα+

a− 2y + y2

6(a− y2)[dψ − cos θdφ]

]2(4.15)

siendo

w(y) =2(a− y2)

1− yq(y) =

a− 3y2 + 2y3

a− y2. (4.16)

Esta metrica ese halla definida en 5 dimensiones y viene descripta por coordenadas θ, φ, y, ψ yα. Se desea entender, como en los ejemplos anteriores, el rango en el cual estas coordenadas sehallan definidas. De nuestra discusion sobre fibrados, vemos que esta metrica se halla representada

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como una fibracion, probablmente U(1), cuya fibra se halla parametrizada por la coordenada α. Lametrica base viene descripta por θ, φ, y, ψ. Desde un punto de vista fısico se requiere que tanto labase como la metrica total sean regulares. Esto se debe a que esta geometrıa se utiliza en teorıas deKaluza-Klein, las cuales tienen este requerimiento. Desde un punto de vista matematico en cambio,esto no es obligatorio y pueden considerarse casos en que la metrica base sea irregular, siemprey cuando la metrica total sea regular. En el siguiente analisis nos centramos en la condicionfısica, aunque algunos matematicos fueron capaces de hallar soluciones regulares extras que noconsideraremos a continuacion [6].

Ahora bien, como proceder para determinar el rango de las coordenadas? En principio, podrıapostularse que la parte bidimensional de la metrica dada por dθ2 + sin2 θdφ2 se corresponde conla metrica de la esfera S2 y por lo tanto θ tiene un rango de 0 a π y φ varıa entre 0 y 2π. Laforma dψ− cos θdφ se halla bien definida al pasar de cos θ = −1 a cos θ = 1 si vale la identificacionψ = ψ + 4π, de la misma forma que en los ejemplos anteriores. Otra condicion necesaria es quew(y) > 0 y q(y) > 0, en caso contrario se obtendrıa una distancia euclıdea negativa, lo cual esinaceptable. Esta ultima condicion implica que

y < 1, y2 < a.

En particular, y tiene que variar entre dos ceros adjacentes yi de q(y). Es decir que yi son cerosadjacentes de la ecuacion cubica

a− 3y2 + 2y3 = 0.

Ahora bien, cerca de alguno de estos ceros yi, vale el desarrollo de Taylor a primer orden q(y) ∼q′(yi)(y − yi). La metrica base entonces toma, para θ y φ fijos, la forma siguiente

1

w(yi)q′(yi)(y − yi)dy2 +

q′(yi)(y − yi)

9dψ2 . (4.17)

Si se hace el cambio de coordenadas R = [4(y−yi)/w(yi)q′(yi)]1/2 esta ultima expresion se convierteen

dR2 +q′(yi)

2w(yi)R2

36dψ2. (4.18)

Dado que q′(yi) = −3/yi y w(yi) = 4y2i , se tiene que q′(yi)2w(yi)/36 = 1 para ambos ceros y = y1

and y = y2. Por lo tanto no habra una singularidad conica en y = yi si el perıodo de ψ es 2π.Anteriormente se habıa concluıdo que ψ = ψ+4π, y ambas conclusiones son consistentes asumiendoel mınimo perıodo, que es 2π. Por otro lado, puede introducirse la coordenada angular

cos ζ = q(y)1/2 =

(a− 3y2 + 2y3

a− y2

)1/2

sin ζ = − 2y

w(y)1/2(4.19)

con ζ variando entre π/2 y −π/2 cuando se varıa entre y1 e y2. Pero es algo difıcil trabajar conestas coordenadas, por lo que seguimos trabajando con y. Claramente, ζ y ψ parametrizan unaesfera S2. Lo mismo pasa con las coordenadas φ y θ. Es decir que el espacio base es S2 × S2.

Para finalizar el analisis, es necesario que determinar el rango de valores de la coordenada α.Esto requiere analizar la forma siguiente

dα+a− 2y + y2

6(a− y2)[dψ − cos θdφ],

la cual aparece en la expresion de la metrica. De la discusion anterior se concluye que ψ e y sondos coordenadas angulares que parametrizan una esfera S2. Las coordenadas (4.19) muestran queel polo sur se corresponde con y = y1 y el polo norte con y = y2. Si se deja φ y θ fijos, existeuna posible potencial singularidad en y = y1 e y = y2, dado que la coordenada ψ no se halladefinida en los polos. Esto es identico a los ejemplos anteriores. En los polos pueden introducirsela coordenadas

α1 = α+a− 2y1 + y216(a− y21)

ψ, α2 = α+a− 2y2 + y226(a− y22)

ψ.

Es decir que α1 tiene perıodo

α1 = α1 +a− 2y1 + y216(a− y21)

2π,

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y α2 tiene perıodo

α2 = α2 +a− 2y2 + y226(a− y22)

2π.

Pero estas coordenadas tienen que pegarse en el ecuador, y eso tan solo es posible si el cocienteentre sus perıodos

P1

P2=a− 2y1 + y216(a− y21)

6(a− y22)

a− 2y2 + y22,

es racional. En caso contrario, no es posible definir una coordenada α globalmente. Esta condiciondepende de la forma de las raıces yi, las cuales son funciones del parametro a por la famosa formulade Cardamo. Se ha demostrado que existen una cantidad infinita contable de valores de a paralos cuales el cociente es un numero racional p/q, siendo p y q enteros. Mas aun, cualquier cocienteracional se halla permitido. Por este motivo estas metricas se suelen denotar con el sımbolo Y (p, q).Este analisis es puramente numerico y no es intrincado, pero preferimos remitirnos a la literaturaoriginal para mas detalles [3].

5. Discusion

Para concluir este repaso, es necesario remarcar dos aspectos importantes. En primer lugar, existenotro tipos de singularidades que este repaso no tiene en cuenta. En principio, dada una metricaarbitraria g = gijdx

idxj , pueden existir puntos en los cuales alguna componente de la metricadiverge o se anula. Las singularidades conicas pertenecen a este segundo caso. Esto no implica enabsoluto la presencia de una singularidad. Por ejemplo, la metrica

g =1

t4dt2 +

1

t2dθ2,

parece divergente en t = 0. Sin embargo, el cambio de coordenadas ρ = 1/t la convierte en

g = dρ2 + ρ2dθ2.

Esta es la metrica plana en dos dimensiones, y es perfectamente regular. La divergencia aparente enesta metrica se debe a una mala eleccion de coordenadas. Ademas, el punto t→ 0 se correspondecon ρ → ∞, es decir la region asintotica. Claramente, este punto se halla a distancia infinita decualquier otro punto en la variedad. Este ejemplo muestra que es necesario adoptar un criterio maspreciso de singularidad. Dada una metrica, pueden construirse los tensores de curvatura Rijkl, eltensor de Ricci Rij y la curvatura R. A partir de estos tensores pueden construirse invariantescomo

RijklRijkl, RijR

ij ,

entre otros. Denominamos a estas cantidades invariantes, porque su valor en un punto dado dela variedad es independiente del sistema de coordenadas elegido. Si alguno de estos invariantes esdivergente en algun punto x0, entonces se tiene una singularidad verdadera en dicho punto. Launica excepcion se da cuando x0 es un punto que se halla a distancia infinita de cualquier otropunto, como en el caso t = 0 del ejemplo anterior. Una singularidad en un punto que se halla ainfinita distancia de cualquier otro punto no se considera una singularidad real. En una geometrıacompacta en cambio, necesariamente se tiene una singularidad cuando alguno de estos invariantesdiverge.

En segundo lugar, parte del analisis hecho en las secciones anteriores requiere el estudio deformas de tipo dτ+A. En varios ejemplos, se encontro que A = cos θdϕ, lo cual permitio deducir elperıodo de la coordenada τ estudiando el salto de la forma A al cruzar el origen desde la recta θ = 0a θ = π. En forma equivalente, se pudo determinar este perıodo estudiando el comportamientode dichas formas en los polos de la esfera S2. Este analisis es posible debido a que la forma Atiene una expresion sencilla. Sin embargo, pueden existir situaciones en la cual la expresion de Aes mas confusa, debido a la eleccion de coordenadas. Por ese motivo, los matematicos prefierenun procedimiento mas intrınseco para determinar el perıodo de la coordenada en cuestion. Esteprocedimiento fue hallado por Chern. La justifiacion de este procedimiento no es nada trivial, ylos conceptos involucrados son profundos. Sin intentar describirlo en detalle, nos limitaremos a

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inidicar que la forma dA es cerrada pero no exacta, debido a la presencia de singularidades en lospolos de la esfera. En particular, esta forma tiene un perıodo no nulo

P =1

2π

∫

S2

dA.

Es justamente esta cantidad la que determina el perıodo de τ . Esta cantidad se denomina clase deChern de la esfera. Ademas, las metricas Y (p, q) pueden considerarse como un fibrado U(1) sobreun espacio base S2

1 × S22 , como indicamos en secciones anteriores. Estos fibrados son conocidos en

la literatura matematica. Los perıodos

Pi =1

2π

∫

S2

i

dA,

determinan la periodicidad de la coordenada α. Sin embargo, es posible definir dicha periodicidadsi el cociente P1/P2 es racional. En caso contrario se llega a una contradiccion insalvable. Estacondicion es equivalente a la obtenida anteriormente, e implica que estas metricas vienen descriptaspor dos numeros enteros p y q. No podemos hacer mas comentarios sobre este formalismo, yreferimos al lector a literatura mas profunda sobre el tema [7].

Referencias

[1] G. Gibbons and S. Hawking Physics Letters B. 78 (1978) 430.

[2] T. Eguchi and A. Hanson, Physics Letters B. 74 (1978) 249.

[3] J. Gauntlett, D. Martelli, J. Sparks and D. Waldram Theor. Math. Phys. 8 (2004) 711.

[4] A. Hatcher ”Algebraic Topology” Cambridge University Press 2002, ISBN 0-521-79540-0.

[5] P. Griffiths and J. Harris ”Principles of Algebraic Geometry” John Wiley and Sons 1978, ISBN9780471050599.

[6] W. Chen, H. Lu, C. Pope and J. Vazquez-Poritz Class. Quant. Grav. 22 (2005) 3421.

[7] J. Milnor and A. Stasheff ”Characteristic classes” Annals of Mathematical Studies PrincetonUniversity Press 1974, ISBN-13 978-0691081229.

Agradecimientos

O.P.S es financiado por el CONICET.

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22 Lic. Susana Pasciullo

La distribucion de probabilidad Chi-Cuadrado

Lic. Susana Pasciullo

La distribucion de probabilidad Chi-Cuadrado es una de las principales distribuciones usadas enInferencia Estadıstica. La funcion de densidad es:

f(x) =1

2n/2Γ(n/2)x

n2−1e−

x2 x > 0 n ≥ 1 entero.

y se la representa con el sımbolo χ2n. Depende de un unico parametro n, llamado grados de libertad.

Se trata de una distribucion asimetrica a la derecha y su asimetrıa disminuye si n crece, como seobserva en las Figuras 1 y 2. Para n grande la distribucion converge a la distribucion Normal conesperanza n y variancia 2n.

Figura 1 Figura 2

Probamos la condicion de cierre haciendox

2= z de donde dx = 2dz

∫∞

0

1

2n/2Γ(n/2)x

n2−1e−

x2 dx =

1

2n/2Γ(n/2)

∫∞

0

e−z(2z)n2−12dz =

1

Γ(n/2)

∫∞

0

e−zzn2−1dz = 1

ya que la ultima integral es Γ(n/2).La distribucion fue trabajada por el aleman Friedrich Robert Helmert (1843-1917) por lo que a

veces se la nombra como la distribucion de Helmert. Independientemente el britanico Karl Pearson(1857-1936) la regenera en sus aplicaciones de pruebas de bondad de ajuste, por lo que tambienes conocida como distribucion de Pearson. Es difıcil conocer el momento preciso en el que surgeun modelo cientıfico. El nombre de “grados de libertad” al unico parametro de la distribucion fuedado por el britanico Sir Ronald Aylmer Fisher (1890-1962), un grande de la Estadıstica del siglo20.

El nombre original de Pearson era Carl, pero cuando viaja a Alemania a estudiar cienciaspolıticas, siendo un joven entusiasta, es capturado por las ideas de Karl Marx y su admiracion lolleva a cambiar Carl por Karl. Tambien se dijo que el cambio se origino por un error en algundocumento de la universidad a la que asistıa.

Volviendo a nuestro Chi-Cuadrado, citemos la definicion dada por el profesor argentino CarlosEugenio Dieulefait (1901-1982), creador de la carrera de Estadıstica en Argentina (1948), en su“Matematica Superior I” pag.201: “Se llama Chi-Cuadrado de una muestra proveniente de ununiverso normal, a la suma de los cuadrados de los desvıos de cada valor de la variable con respectoa la media parametro, partida por la variancia de la poblacion”.

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La expresion de f(x) expuesta al comienzo corresponde a la suma de cuadrados de n variablesaleatorias N(0; 1) independientes. Para X ∼ χ2

n tenemos las siguientes caracterısticas:

Caracterıstica Expresion

Esperanza Matematica E(χ2n) = n

Momento Ordinario r-esimo mr = 2rΓ(r + n/2)/Γ(n/2)Variancia V ar(χ2

n) = 2nMediana Mna = m− 2/3Modo Mdo = n− 2 si n ≥ 2

Coeficiente de Asimetrıa As =√8/n

Coeficiente de Curtosis K = 12/n

Funcion Generatriz de Momentos ϕx(t) = (1− 2t)−n/2 si 2t < 1

La distribucion Chi-Cuadrado se relaciona con otras distribuciones de probabilidad ademasde la distribucion Normal. Mencionemos como ejemplos la distribucion Gamma, la distribucionUniforme y la distribucion F de Snedecor, por el estadounidense George Snedecor (1881-1974),conocida tambien como F de Fisher.

a) La funcion de densidad Gamma f(x) = 1βαΓ(α)x

α−1e−x/β con x > 0 α > 0 β > 0 la que para

α = n/2 y β = 2 con n entero positivo, se transforma en la distribucion χ2n.

b) Si X se distribuye Uniforme (0;1) tenemos que −2 lnX ∼ χ22. Ademas si P = X1X2 . . . Xn

con Xi independientes, −2 lnP ∼ χ2n.

c) El cociente de dos variables independientesχ2

n

n yχ2

m

m es una Fn;m . Si n → ∞ y m → ∞,F → Normal.

Retomando la definicion original del Chi-Cuadrado, en el caso en que Z ∼ N(0; 1) se tieneque Z2 ∼ χ2

1 y si X ∼ N(µ, σ2) con X como estimador de µ , en una muestra de n valoresindependientes, se tiene lo siguiente:

n∑

i=1

(Xi −X

σ

)2

=1

σ2

n∑

i=1

(Xi −X)2 =S2(n− 1)

σ2= χ2

0 ∼ χ2n−1

siendo S2 = 1n−1

∑ni=1(Xi −X)2 el estimador insesgado de la variancia σ2. Los grados de libertad

son n-1 dado que en la expresion se ha estimado µ con X y las n variables cumplen la restriccion∑ni=1(Xi −X) = 0.

La simulacion de variables aleatorias es una muy util herramienta analoga a un experimentode muestreo recreado en el computador, que nos permite comprobar las propiedades de modelosprobabilısticos. Por esta vıa obtendremos valores de χ2

0, construiremos la distribucion correspondientey comprobaremos sus propiedades . En una planilla de Excel generamos 1000 muestras de extensionn=12 observaciones independientes provenientes de una poblacion Normal con E(X) = 100 yσ = 10 como se muestra en las columnas B a M de la Figura 3:

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Figura 3

En la columna N calculamos la variancia de cada una de las muestras y en la columna O la

cantidad S2(n−1)σ2 .

Al final de la planilla para los datos de la columna O calculamos el mınimo obtenido, el maximo,la media, la variancia y la mediana. Dado que n=12 tendremos un χ2

11 y el resultado de la mediaen la simulacion es 10,94 siendo 11 el valor teorico dado que E(χ2

11) = 11.La variancia teorica es 22 y en la simulacion resulto 21,51 mientras que la mediana teorica

es 11,33 y la experimental fue 10,29. Se ve como la convergencia de la media muestral hacia lapoblacional es mas rapida que la convergencia de cualquier otro estimador como por ejemplo lavariancia, para un numero fijo de iteraciones.

Vemos en las Figuras 4 y 5 la distribucion de frecuencias de los valores de S2(n−1)σ2 y el

histograma.

Figura 4 Figura 5

La distribucion Chi-Cuadrado pertenece al repertorio de curvas de Karl Pearson que cumplencon la ecuacion diferencial:

f ′(x)

f(x)=

x− a

b0 + b1x+ b2x2con a = n− 2 b0 = 0 b1 = −2 b2 = 0

como se puede facilmente comprobar calculando la derivada primera de la funcion de densidad yhaciendo el cociente indicado.

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Karl Pearson nacido en Londres, discıpulo, admirador y continuador de Francis Galton (1822-1911)fue el creador de la Biometrıa. Dedico su vida al desarrollo y vınculo entre la Estadıstica Teoricay la Estadıstica Aplicada. Fundo junto a Galton y a Walter Weldon (1860-1906) la importantepublicacion cientıfica Biometrika, que edito desde Octubre de 1901 hasta su muerte. Esta publicaciontuvo como principal objetivo durante toda su existencia darle vida a la bioestadıstica y su nombreescrito con k y no con c obedece al griego antiguo. Las siguientes palabras escritas por Galton enel primer numero muestran el espıritu que mantuvo siempre la publicacion:

“It is intended that Biometrika shall serve as a means not only of collecting or publishing underone title biological data of a kind not systematically collected or published elsewhere in any otherperiodical, but also of spreading a knowledge of such statistical theory as may be requisite for theirscientific treatment”.

Las Figuras 6 y 7 corresponden a esta prestigiosa y singular publicacion cientıfica en la queaparecen las primeras aplicaciones de la distribucion Chi-Cuadrado.

Figura 6Figura 7

Los trabajos de Karl Pearson y Francis Galton y de otros cientıficos estadısticos de la epocafueron publicados en Biometrika. Algunos de ellos: George. U. Yule (1871-1951) distinguido porsus reconocidos aportes en la teorıa de correlacion y regresion, William S. Gosset (1876-1937), masconocido por su seudonimo Student, y muy popular por su tan difundida t de Student, William F.Sheppard (1863-1936) al que muchos recordamos por su correccion para los errores de agrupamientoen grandes cantidades de datos.

Los dibujos de Francis Galton y Karl Pearson se muestran en las Figuras 8 y 9 respectivamente.El primero fue publicado en el N4 de Biometrika en Noviembre de 1903.

Figura 8 Figura 9

Las aplicaciones del χ2n son muchas, algunas pertenecen a modelos avanzados de la teorıa

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Estadıstica, como el Chi-Cuadrado y la Normal multidimensional, o formas cuadraticas mascomplejas de la que hemos presentado, y otras en cambio, tratan cuestiones mas simples pertenecientesa la Inferencia, en su mayorıa presentadas casi siempre en los cursos elementales de Estadısticabasica, como por ejemplo:

1. Pruebas de hipotesis e intervalos de confianza para la variancia σ2.

2. Pruebas de bondad de ajuste.

3. Pruebas de independencia y homogeneidad en datos categoricos.

4. Coeficientes de contingencia.

5. Pruebas de homogeneidad de variancias.

6. Pruebas ANOVA no parametricas.

7. Pruebas de normalidad.

8. Pruebas de multicolinealidad.

Una propiedad importante de la distribucion Chi-Cuadrado es la de ser “reproductiva”.La misma establece que si sumamos k variables aleatorias independientes distribuidas con unChi-Cuadrado, obtenemos otro Chi-Cuadrado cuyos grados de libertad resultan ser la suma delos grados de libertad de cada una de las variables. Veamos esta propiedad usando la funciongeneratriz de momentos. Sea Sk = X1 +X2 + . . .+Xk donde cada variable del segundo miembrotiene una distribucion χ2

nicon i = 1, 2, . . . , k entonces como la funcion generatriz de la suma de

variables independientes es el producto de las funciones generatrices de cada una de las variable,tendremos:

ϕSk(t) = ϕX1

(t) . . . ϕXk(t) = (1− 2t)−n1/2 . . . (1− 2t)−nk/2 = (1− 2t)−

1

2(n1+...+nk)

expresion que corresponde a la funcion generatriz de momento de χ2n1+n2+...+nk

por lo que envirtud del teorema de unicidad, concluimos que Sk tiene una distribucion Chi-Cuadrado con n1 +n2 + . . .+ nk grados de libertad.

Probemos el resultado expuesto simulando variables aleatorias con distribucion Chi-Cuadradoen Excel para lo que usaremos las funciones inversas de la planilla de calculo y el generador devalores aleatorios con distribucion uniforme en el intervalo 0;1: ALEATORIO() . Una presentaciondetallada de estas funciones se podra ver en: “Generacion de variables aleatorias usando lasFunciones Inversas de Excel”, Lic. Susana Pasciullo, Elementos de Matematica UniversidadCAECE, marzo 2005. En una planilla de Excel generamos en las columnas B, C y D, 1000 muestrasde 3 valores independientes X, Y y Z cada uno de ellos con distribucion Chi-Cuadrado con 1, 4 y2 grados de libertad respectivamente para lo que usamos las funciones inversas mostradas en lasllamadas. El argumento de estas funciones son los grados de libertad y la probabilidad de superar elvalor de la variable, que se genera con la funcion ALEATORIO() . En la columna E sumamos estosvalores en cada muestra. Posteriormente, para los datos de la columna E calculamos el mınimo,el maximo, el promedio, la variancia y la mediana. De acuerdo con lo expuesto W ∼ χ2

7 entonceslos resultados teoricos son: E(χ2

7) = 7, V ar(χ27) = 14, Mna(χ2

7) = 6, 33. Los valores obtenidos enla simulacion para estos parametros son respectivamente 7,34 15,55 y 6,66. Todos estos resultadosaparecen en la Figura 10.

La Figura 11 y la Figura 12 muestran la distribucion de frecuencias obtenida y el correspondientehistograma donde se puede observar la asimetrıa positiva de la distribucion. El coeficiente deasimetrıa teorico es

√8/7 = 1.069

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Figura 10

Figura 11 Figura 12

Para ejemplificar una de las contribuciones de Pearson a la Estadıstica, realizaremos unaprueba de bondad de ajuste a la distribucion de la Figura 11. Si bien hemos construido ladistribucion simulando variables Chi-Cuadrado, esta prueba podra tomarse como una verificacionde los generadores aleatorios de Excel. En una prueba de bondad de ajuste se comparan lasfrecuencias observadas Oi de un conjunto de valores de una variable con las frecuencias esperadasEi bajo el supuesto de una determinada distribucion teorica. Una vez postuladas las hipotesis,debemos recurrir a una estadıstica de pruebas cuya evaluacion determinara si la hipotesis formuladase rechaza o no se rechaza, usando aquı un nivel de significacion α = 1%. Planteamos entoncespara la distribucion de la variable W: H0) La distribucion es χ2

7 H1) La distribucion no es χ27.

La estadıstica de pruebas es χ20 =

∑ki=1

(Oi−Ei)2

Ei∼ χ2

k−p−1 donde k es la cantidad de intervalosde la distribucion que verifican la condicion requerida Ei > 5 y p es la cantidad de parametrosestimados en el proceso de la prueba que en este caso es cero. Construyamos la siguiente tabla:

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Figura 13

Figura 14

Las probabilidades, columna O, fueron calculadas con la integral de la funcion χ27 en cada uno

de los intervalos de la distribucion de frecuencias; a modo de ejemplo mostramos el primer calculo:

∫ 2

0

e−w/2w2,5

23,53, 323dq == 0, 040164 con 3, 323 = Γ(7/2)

Esta columna forzosamente debe cumplir con la condicion de cierre para no perder observacionesal calcular las Ei . A veces por problemas de truncamiento falta una pequena cantidad que laagregamos.

Las frecuencias esperadas se calcularon en la columna P multiplicando la probabilidad por eltotal de datos N=1000 y en la columna Q se calcularon los valores como indica el cabezal y lallamada, que al sumarlos obtenemos el valor de la estadıstica de pruebas, en nuestro caso 20,501.Notar que toda vez que Ei no supero 5 debimos fundir las clases, quedandonos con 11 de ellas.

Como no hemos estimado ningun parametro, resulta k − p − 1 = 11 − 0 − 1 = 10 grados delibertad. Entonces resumimos los resultados en el grafico de la Figura 14 con χ2

10 = 23, 21 valordel Chi-Cuadrado con 10 grados de libertad que deja a la derecha una probabilidad 0,01. Entoncesno rechazamos H0, la distribucion de W es χ2

7.Otra relacion entre las distribuciones Chi-Cuadrado y Normal, debida a Fisher es la siguiente:

si X ∼ χ2n entonces Y =

√2X ∼ N(

√2n − 1; 1). Recreamos esta propiedad en Excel con 2000

valores independientes de X con n=5:

Figura 15

Tambien podemos obtener valores χ2n usando la funcion INV.GAMMA de Excel haciendo α =

1/2 y r = n/2.

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Otra atrayente propiedad debida a Wilson y Hilferty es: siX ∼ χ2n entonces Y = (X/n)1/3 ∼

N(1 − 29n ;

29n ). Dejamos la verificacion de esta propiedad en una planilla de calculo para lectores

interesados.Miembros de la comunidad cientıfica argentina y espanola coincidieron en que el profesor

Carlos Eugenio Dieulefait es el continuador de Karl Pearson por sus valiosos aportes en la teorıade Correlacion y Regresion y en la Estadıstica en general. En la Figura 16 se muestra unacorrespondencia de Pearson a Dieulefait del ano 1934:

Figura 16

Figura 17

Como resultado de esa correspondencia, Biometrika publico “Contribution a l’Etude de laTheorie de la Correlation” par M. le Professeur Carlos E. Dieulefait, 01 december 1934 volume 26Issue 4, pages 378-403. Hubo tambien posteriores publicaciones del autor en Biometrika. La Figura17 muestra la foto exhibida en la pagina 373 del libro Algoritmo- Matematicas II, de J.R. Vizmanosy M. Anzola, Ediciones Madrid. Finalmente recordemos que cuando Pearson construyo la pruebade bondad de ajuste uso la letra griega χ porque la estadıstica de pruebas tenıa una distribucioncomo las de su grupo de distribuciones asimetricas que oportunamente habıa denominado “familiachi”, pero elevadas al cuadrado. Esta relacion explica el nombre tan particular de la distribucion.

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30 Lic. Francisco Kordon

Sistemas hamiltonianos

Lic. Francisco Kordon

Resumen. Los sistemas hamiltonianos definidos en variedades son sistemas dinamicosque nacen para formalizar la descripcion de problemas de la mecanica clasica. Integrarun sistema hamiltoniano es, moralmente, conseguir ecuaciones no diferenciales parasus trayectorias. En este artıculo hacemos una introduccion a estos temas y en laultima seccion damos condiciones suficientes para integrar sistemas hamiltonianos ydar descripciones geometricas cualitativas de su dinamica.

Agradecimientos

Este trabajo esta basado en mi tesis de licenciatura, realizada durante el segundo semestre de2013 bajo la direccion de Sergio Grillo y con la colaboracion de Javier Fernandez, ambos delInstituto Balseiro - Centro Atomico Bariloche. Les agradezco entonces a ellos por su excelentetrabajo y aprovecho para agradecer tambien a Cesar Massri y a Federico Quallbrunn por darmela oportunidad de publicar aquı.

1. Motivaciones desde la mecanica

Intentaremos motivar, de manera resumida y omitiendo algunos detalles, el uso de sistemas hamiltonianosen la mecanica clasica. Esto se hara solo como motivacion; para una explicacion mas apropiadadel tema se recomienda recurrir, por ejemplo, a [4], [2] o [1], o incluso a [3] como referencia clasicaen la fısica.

Consideremos un sistema de N partıculas. La posicion de cada partıcula puede pensarsecomo un elemento de R

3, ası que la posicion del sistema se asocia a un punto de R3N . Las

trayectorias de este sistema satisfaran las ecuaciones de Newton, esto es, la aceleracion de cadapartıcula multiplicada por su masa coincidira con la suma de las fuerzas que actuan sobre ella. Lasfuerzas en cuestion pueden ser de todo tipo; pueden depender de las posiciones, de las velocidades.Supondremos aquı que no son sino conservativas o de vınculo. Por fuerza conservativa entenderemosaquella que es derivada de un potencial que solo depende de la posicion, esto es, que se escribe

F = −∇V.

Aquı, como estamos en R3N , no nos preocupamos por la definicion de gradiente o si conviene o no

pensar las fuerzas como vectores o covectores.

Diremos que el sistema esta sujeto a un vınculo —trataremos aquı solo a los holonomos— silas trayectorias de las partıculas deben vivir en la preimagen de 0 por una aplicacion diferenciablev : R

3N −→ R. En caso de tener varios vınculos v1, . . . , vk, (que suponemos independientes;sus diferenciales en cada punto son linealmente independientes), el sistema se movera en Q =⋂n

i=1 v−1i (0). Decimos que Q es el espacio de configuraciones del sistema; bajo ciertas hipotesis de

regularidad, es una subvariedad de R3N . En este caso, 3N − k es el numero de grados de libertad

del sistema.

A los sistemas de partıculas con vınculos se les puede asociar una aplicacion de TQ a valo resreales llamada lagrangiano. La energıa cinetica del sistema T : TQ −→ R se puede escribir como

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T (v) = 12g(v, v), donde g es una metrica riemanniana en TQ. Si V : Q −→ R es el potencial

mecanico del sistema, el lagrangiano se define por, para v ∈ TqQ,

L(v) = T (v)− V p(v) = 12g(v, v)− V (q). (1.1)

Aun en presencia de vınculos, utilizando el principio de D’Alembert, puede deducirse que lastrayectorias del sistema son aquellas que cumplen las ecuaciones de Euler-Lagrange: en cada carta(q1, . . . , qn, q1, . . . , qn) inducida en TQ por una carta (q1, . . . , qn) en Q se satisfara que

d

dt

( ∂L∂qi

)− ∂L

∂qi= 0, (1.2)

para cada 1 ≤ i ≤ n, donde L : TQ −→ R es el definido en (1.1).

Definicion 1. Llamaremos sistema langrangiano a un par (Q,L) donde Q es una variedad yL : TQ −→ R una aplicacion diferenciable. Las trayectorias del sistema son las curvas t 7→ γ(t) ∈ Qtales que en cada carta (U, (q1, . . . , qn)) se satisfacen las ecuaciones (1.2), las de Euler–Lagrange.

No vamos a estudiar la formulacion lagrangiana de la mecanica sino la hamiltoniana y, paraesto, hay que pasar por la transformada de Legendre. Si (Q,L) es un sistema lagrangiano, latransformada de Legendre consiste en una aplicacion FL : TQ −→ T ∗Q definida por

〈FL(v), w〉 = d

dt

∣∣∣t=0

L(v + tw),

donde v, w ∈ TqQ. A esta aplicacion tambien se la denomina derivada a lo largo de la fibra de L.La expresion local es

〈FL(q, q1), (q, q2)〉 = (q,d

dt

∣∣∣t=0

L(q, q1 + tq2)) = (q,∂L

∂q(q, q1) · q2).

Definicion 2. El lagrangiano L se dice hiperregular si FL es un difeomorfismo.

Si L es hiperregular, podemos definir la funcion hamiltoniana. Primero, definimos la energiaE : TQ −→ R por, para v ∈ TQ,

E(v) := 〈FL(v), v〉 − L(v);

ahora, el hamiltoniano correspondiente al lagrangiano L se define por

H := E (FL)−1

y en coordenadas locales, si (q, p) = FL(q, q), es

H(q, p) = p · q(q, p)− L(q, q(q, p))

En el caso en que L es un lagrangiano mecanico —es decir, uno como el de la ecuacion (1.1)—,la transformada de Legendre se ve como

FL(v) = g(v,−).

La aplicacion g : TQ ∋ v 7→ g(v,−) ∈ T ∗Q es inversible por la no degeneracion de la metrica;notemos su inversa por g♯. Ası, (FL)−1 = g♯ y el hamiltoniano es, para σ ∈ T ∗

qQ,

H(σ) = 12g

(g♯(σ), g♯(σ)

)+ V (q).

La siguiente proposicion, que no demostraremos, dice como se ven las ecuaciones de movimientosobre T ∗Q.

Proposicion 3. Sean L un lagrangiano hiperregular y H la funcion hamiltoniana que reciendefinimos. Entonces t 7→ γ(t) es una trayectoria en Q del sistema lagrangiano si y solo si sesatisfacen localmente en T ∗Q las ecuaciones

dqi

dt(t) =

∂H

∂pi(q(t), p(t)),

dpi

dt(t) = −∂H

∂qi(q(t), p(t)). (1.3)

para 1 ≤ i ≤ n.

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Las (1.3) se conocen como las ecuaciones canonicas de Hamilton, y a H se la llama funcionhamiltoniana del sistema. Observemos que las trayectorias del sistema en T ∗Q son soluciones deecuaciones de primer orden, ası que pueden entenderse como curvas integrales de un cierto campovectorial.

La moraleja que se quiere dejar es, precisamente, que el problema de encontrar las trayectoriasde un sistema mecanico de partıculas se puede traducir a otro, que consiste en encontrar las curvasintegrales de un campo definido en el fibrado cotangente al espacio de configuraciones.

Ejemplo 4. Consideremos una partıcula de masa m moviendose en R3 sujeta a una fuerza

conservativa con potencial V , definida en algun abierto de R3; para fijar ideas, digamos que ese

abierto es todo R3. Segun la segunda ley de Newton, si q = (q1, q2, q3) denota un punto generico

de R3 y t 7→ q(t) la trayectoria de la partıcula, esta cumplira las ecuaciones diferenciales, para cadai,

md2qi

dt2(t) = −∂V

∂qi(q(t)). (1.4)

Este es un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden, es decir, aparece una derivadasegunda. Para hacer de el un sistema de primer orden podemos considerar una nueva ¡¡variable¿¿:ponemos, para cada i, pi = mqi; se suele llamar momentos a estas nuevas variables. Las ecuacionesde Newton se dejan reescribir entonces como

dqi

dt(t) =

∂H

∂pi(q(t), p(t)),

dpi

dt(t) = −∂H

∂qi(q(t), p(t)), (1.5)

con

H(q, p) =p2

2m+ V (q). (1.6)

Dado que las ecuaciones que tenemos que resolver son de primer orden, podemos entenderlas comolas ecuaciones para las curvas integrales de cierto campo vectorial. Efectivamente, si notamos

XH : R6 −→ R6

(q1, q2, q3, p1, p2, p3) 7→(∂H∂p1

,∂H

∂p2,∂H

∂p3,−∂H

∂q1,−∂H

∂q2,−∂H

∂q3

)(q, p)

=(p1m,p2m,p3m,− ∂V

∂q1,− ∂V

∂q2,− ∂V

∂q3

)(q, p),

tendremos que t 7→ (q(t), p(t)) es una curva integral de XH si y solo si se cumplen las ecuaciones(1.3). Esto equivale tambien a que las q(t) satisfagan las ecuaciones (1.4), que son las que tenıamosoriginalmente. El campo vectorial XH es un campo hamiltoniano.

2. Variedades simplecticas

Hablamos en la seccion anterior de que podemos pensar al espacio de configuraciones de unsistema mecanico como una variedad; su fibrado cotangente es el lugar natural para desarrollarla mecanica hamiltoniana. Vamos a ver que este fibrado tiene una estructura, tambien natural,de variedad simplectica y con esto en mente nos sera razonable considerar sistemas hamiltonianosdefinidos directamente en variedades simplecticas. Repasamos primero un resultado sobre algebrassimplecticas cuya prueba puede verse en [1, II.3.1].

Proposicion 5. Si V es un R–espacio vectorial y a : V×V −→ R es un forma bilineal antisimetricade rango r, entonces r es par. Ademas, poniendo r = 2n se tiene que existe una base ordenada(vi) de V en la que la matriz de a es

0 −I 0I 0 00 0 0

.

En otras palabras, si (ψi) es la base dual a la anterior, es a =∑n

i=1 ψi+n ∧ ψi.

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Tambien, si a : V × V −→ R es un forma bilineal, tenemos definido su nucleo ker a = v ∈V | a(v, w) = 0 ∀w ∈ V . Decimos que a es no degenerada si ker a = 0, es decir, si cada vez quea(v, w) = 0 para todo w ∈ V debe ser v = 0.

Sean M una variedad y ω una seccion diferenciable de

∐

x∈M

Bil(TxM,R) −→M,

donde, si V es un R–espacio vectorial, Bil(V,R) denota las formas bilineales de V en R. Diremosque ω es no degenerada si para cada x ∈ M , ωx, que es una forma bilineal definida en TxM , esno degenerada. En tal caso, podemos construir un difeomorfismo entre las secciones diferenciablesdel fibrado tangente y las del cotangente de M como sigue.

Definicion 6. Si M y ω son los de recien, definimos ω : X(M) −→ Ω1(M) por

X 7→ X = −ιXω = ω(−, X).

Cuando ω es no degenerada, la aplicacion que acabamos de definir es inversible y notamos suinversa por ω♯ : α 7→ α♯.

Si M admite una 2–forma no degenerada ω, por la proposicion 5 obtenemos que dimM es par,digamos dimM = 2n. A partir de ω podemos construir una 2n–forma, poniendo ν = ωn. Estaresulta una forma de volumen en M : si x ∈M , por la misma proposicion podemos considerar (ψi)

una base dual a TxM tal que ωx =∑n

i=1 ψi+n ∧ ψi y en consecuencia ν = n!(−1)n2 ψ1 ∧ . . . ∧ ψ2n.

Hemos probado, pues, lo siguiente.

Proposicion 7. Si una variedad M admite una 2–forma no degenerada, es de dimension par. Ental caso, M es orientable y si ω es una tal forma y dimM = 2n, ωn es una forma de volumen.

El siguiente teorema, que data de 1882, establece que si M admite una 2–forma no degeneradaque ademas es cerrada, se le puede conocer una expresion local. La prueba es la que aparece en[1], y es atribuida a Moser y Weinstein.

Teorema 8 (Darboux). Sea ω una 2–forma no degenerada en M , una variedad de dimension2n. Entonces dω = 0 si y solo si para cada x ∈ M existe una carta (U,ϕ) tal que ϕ(x) = 0 y siϕ(x) = (x1(x), . . . , xn(x), y1(x), . . . , yn(x)), es

ω∣∣U=

n∑

i=1

dyi ∧ dxi. (2.7)

Proof. Si ω se escribe localmente como en (2.7), es evidentemente cerrada. Recıprocamente,supongamos que es cerrada y busquemos una carta en la que tiene esa expresion. Para esto,podemos suponer que M = R

2n; fijemos x = 0. Sea ω1 una forma constantemente igual a ω(0)y pongamos ω = ω1 − ω y, para cada 0 ≤ t ≤ 1, ωt = ω + tω. Para cada t, ωt(0) = ω(0) es nodegenerada, y entonces existe un entorno de 0 —digamos una bola— en que ωt es no degeneradapara todo t. Por el lema de Poincare, ω = dα allı; podemos suponer que α(0) = 0. Sea Xt = ω♯(α).Tenemos localmente definido el flujo de Xt, llamemoslo gt, con g0 = Id. Entonces

d

dt(g∗t ωt) = g∗t (LXt

ωt) + g∗td

dtωt = g∗t dιXt

ω − g∗t ω =

= g∗t (−dα− ω) = 0.

Por lo tanto g∗1ω1 = g∗0ω0 = ω, ası que g1 da el cambio de coordenadas que trasforma ω en la formaconstante ω1.

Las cartas del teorema de Darboux seran llamadas cartas simplecticas, las funciones xi, yicoordenadas canonicas. Estamos en condiciones de hablar de variedades simplecticas.

Definicion 9. Una forma simplectica en una variedad M es una 2–forma cerrada no degeneradaω. Una variedad simplectica (M,ω) es una variedad M junto con una forma simplectica ω.

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Ejemplo 10. En R2n = (q1, . . . , qn, p1, . . . , pn) puede ponerse una estructura simplectica ω. La

definimos dando su matriz en la base ¡¡canonica¿¿ [ω]:

[ω] =

(0 −InIn 0

),

donde In denota la matriz identidad de tamano n × n. Si (dq1, . . . , dqn, dp1, . . . , dpn) es la basedual a la canonica, se escribe ω =

∑ni=1 dpi ∧ dqi.

Sea (M,ω) una variedad simplectica. Si ponemos νω = (−1)n/2

n! ωn, razonando como antes de laProposicion 7, esta resulta una forma de volumen y, en virtud del teorema de Darboux, se tieneque en cartas simplecticas es

νω = dx1 ∧ . . . ∧ xn ∧ dy1 ∧ . . . ∧ dyn. (2.8)

Definicion 11. Sean (M,ω) y (N, ρ) variedades simplecticas. Una aplicacion diferenciable f :M −→ N es simplectica o transformacion canonica si f∗ρ = ω.

Observemos que si f : (M2n, ω) −→ (N2n, ρ) es simplectica, como los elementos de volumen νωy νρ se obtienen a partir de las formas simplecticas, se tendra que f conserva la forma de volumen.Tambien, para cada x en M se pueden tomar coordenadas simplecticas y lo propio puede hacerseen f(x). En estas coordenadas, f es la identidad, y en particular f es un difeomorfismo local.

En mecanica, tıpicamente el planteo del problema sucede en el fibrado cotangente del espaciode configuraciones Q. Allı puede ponerse una 2–forma diferencial no degenerada y exacta, y deesta manera hacer de T ∗Q una variedad simplectica. Para una demostracion del siguiente teorema,se sugiere recurrir a [1].

Teorema 12. Sea Q una variedad, escribamosM = T ∗Q y llamemos π :M −→ Q a la proyeccion.Si α ∈M , definimos

θα : TαM −→ R

w 7→ 〈α, dπα(w)〉.

Entonces θ : α 7→ θα es una 1–forma en M y su diferencial es una forma simplectica en M , conlo que (M,dθ) resulta una variedad simplectica.

Puede recuperarse del Teorema 12 que los fibrados cotangentes son orientables. Como ω es nodegenerada, la aplicacion definida en la Definicion 6 induce un difeomorfismo entre TQ y T ∗Q, yde esta manera tambien recuperamos que los fibrados tangentes son orientables.

Llamemos ω = dθ. Si notamos (q1, . . . , qn) a las coordenadas en Q y (q1, . . . , qn, p1, . . . , pn) lasde M , obtenemos las siguientes expresiones locales:

θ =

n∑

i=1

pidqi, (2.9)

ω =

n∑

i=1

dpi ∧ dqi. (2.10)

La 1–forma canonica tiene una propiedad que la caracteriza: para todas las 1-formas β de Qvale que β∗θ = β. En efecto, si β ∈ Ω1(Q) y v ∈ TqQ,

〈β∗θ(q), v〉 = 〈θ(β(q)), dβq(v)〉 = 〈β(q), dπβ(q)dβq(v)〉= 〈β(q), d(π β)q(v)〉 = 〈β(q), v〉,

en virtud de la regla de la cadena y de que π β = 1Q.

3. Sistemas hamiltonianos

Una familia bastante amplia de sistemas dinamicos es la de los que se describen mediante unavariedad y un campo vectorial en ella; las trayectorias del sistema son las curvas integrales de este

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campo. En muchos casos, este campo es un campo gradiente: si f es una funcion a valores realesdefinida en la variedad y g es una metrica riemanniana, el campo vectorial que define el sistemadinamico es el unico X tal que g(X,−) = df .

Algo muy similar puede hacerse cuando, en vez de considerar una variedad riemanniana, seconsidera una variedad simplectica. El campo hamiltoniano asociado a una funcion f sera aquelque al contraer a la forma simplectica coincide con (menos) la diferencial de f . La antisimetrıade la forma simplectica llevara a propiedades conservativas de los campos hamiltonianos: esto nosucede tıpicamente con los campos gradientes, donde la simetrıa de la metrica induce mas bienpropiedades disipativas.

Definicion 13. Sean (M,ω) una variedad simplectica y H : M −→ R una funcion diferenciable.Definimos el campo vectorial hamiltoniano asociado a H, XH , como el unico campo vectorial quecumple

ω(Y,XH) = 〈dH, Y 〉 (3.11)

para todo Y ∈ X(M), o, equivalentemente, −ιXHω = dH. La existencia de este campo esta

garantizada por la no degeneracion de ω.Llamamos a la terna (M,ω,H) sistema hamiltoniano; las trayectorias del sistema son las curvas

integrales de XH .

Observemos que XH = ω♯(dH); esta concisa escritura de el campo hamiltoniano nos sera utilen varios calculos en lo sucesivo.

Ejemplo 14. Sea (M,ω,H) un sistema hamiltoniano. Sean (q1, . . . , qn, p1, . . . , pn) coordenadascanonicas para ω. Encontremos una expresion local de XH en estas coordenadas. Pongamos,omitiendo el sımbolo de sumatoria, XH = ai ∂

∂qi + bi∂

∂pi. Como ω = dpi ∧ dqi, es −ιXH

ω =

aidpi − bidqi. Ahora, como queremos que esto sea igual a dH = ∂H

∂qi dqi + ∂H

∂pidpi, debe ser ai = ∂H

∂pi

y tambien bi = −∂H∂qi . Por lo tanto, en estas coordenadas, se escribe

XH =

n∑

i=1

∂H

∂pi

∂

∂qi− ∂H

∂qi∂

∂pi. (3.12)

En particular, (q1(t), . . . , qn(t), p1(t), . . . , pn(t)) es una trayectoria del sistema si y solo si, paratodo 1 ≤ i ≤ n, es

dqi

dt(t) =

∂H

∂pi(q(t), p(t)),

dpi

dt(t) = −∂H

∂qi(q(t), p(t)).

Las ecuaciones de recien son las llamadas ecuaciones de Hamilton o ecuaciones canonicas: sonlas mismas que (1.3). Si pensamos que H es el hamiltoniano (sin dependencia explıcita en eltiempo) de un sistema mecanico en el sentido clasico, recuperamos la formulacion hamiltonianamas conocida de los problemas de mecanica, como aparecen por ejemplo en el libro de Goldstein[3] o en el de Landau, o en el apunte [7].

Proposicion 15. Si (M,ω,H) es un sistema hamiltoniano, y t 7→ c(t) es una curva integral deXH , entonces H es constante a lo largo de c.

Proof. Para ver que H(c(t)) es constante en t, veremos que su derivada se anula:

d

dt

∣∣∣t=0

H(c(t)) = dHc(t)c(t) = 〈dHc(t), XH(c(t))〉

= −ω(XH(c(t)), XH(c(t))) = 0,

en virtud de la antisimetrıa de ω.

Observemos, continuando el paralelismo entre campos hamiltonianos y gradientes introducidoal principio de esta seccion, que la reciente proposicion no es cierta en caso de tener camposgradientes: de hecho, las curvas integrales del gradiente son, en cada punto, las direcciones demaximo crecimiento de la funcion.

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Ejemplo 16. La proposicion anterior tambien puede probarse usando las expresiones localesencontradas en el Ejemplo 14:

d

dt

∣∣∣t=0

H(c(t)) = 〈dHc(t), c(t)〉 =∂H

∂qi∂h

∂pi+∂H

∂pi

(− ∂H

∂qi)= 0,

con (q1, . . . , qn, p1, . . . , pn) coordenadas canonicas.

Otro hecho para destacar es que los flujos de los campos hamiltonianos son transformacionescanonicas, y en particular preservan el volumen. En el caso en que nuestra variedad simplecticaviene de la mecanica clasica, recuperamos el llamado Teorema de Liouville que aparece en textosclasicos como [7] o [3].

Proposicion 17. Sean (M,ω,H) un sistema hamiltoniano y φt el flujo del campo. Entonces, paracada t, φ∗tω = ω.

Proof. Veremos que φ∗tω es constante en t. En efecto, usando la conocida relacion entre flujos yderivadas de Lie, obtenemos que

d

dt

∣∣∣t=0

φ∗tω = φ∗tLXHω = φ∗t (ιXH

dω + dιXHω)

= φ∗t (0− ddH) = 0,

puesto que ω es cerrada. Ahora, como φ0 = 1M , resulta que φ∗tω = φ∗0ω = ω cualquiera sea t.

En general, no todos los campos vectoriales son campos hamiltonianos; es decir, no es ciertoque para todo X ∈ X(M) exista una funcion f ∈ C∞(M) tal que X = Xf . Ciertamente, serequiere es que ω(−, X) sea exacta para todo X ∈ X(M) y esto no es para nada cierto en general,ni siquiera localmente. En virtud de la igualdad LXω = dιXM (ω es cerrada) y del Lema dePoincare, que un campo X sea localmente hamiltoniano es equivalente a que la derivada de Lie dela forma simplectica respecto de X se anule.

Por supuesto, un campo hamiltoniano es localmente hamiltoniano, ası que una condicionnecesaria para que un campo X sea hamiltoniano es que LXω = 0. Ahora, para que efectivamentelo sea se necesita que ademas ιXω sea exacta. En particular, si el primer grupo de cohomologıa deDe Rham de M es nulo, los campos hamiltonianos son exactamente los localmente hamiltonianos.

Ejemplo 18. Si en el toro T 2 identificamos las coordenadas angulares x, y; ω = dy ∧ dx es unaforma simplectica. Si a, b ∈ R, consideramos el campo vectorial definido por X(x, y) = (a, b). EsιXω = ady− bdx, que es evidentemente cerrada, y por lo tanto X es localmente hamiltoniano. Sinembargo, X no es hamiltoniano globalmente: si X = XH , de la compacidad de T 2 se sigue que Htiene, por ejemplo, un maximo local y allı se anula su diferencial, mientras que ιXω nunca es cero.

Si (M,ω) es una variedad simplectica, puede definirse en ella lo que llamaremos corchetes dePoisson. Estos ya aparecıan en los textos clasicos de mecanica y resultaban de gran utilidad; elconcepto se ha generalizado bastante desde entonces.

Definicion 19. Sea (M,ω) una variedad simplectica. Si f, g ∈ C∞(M), el corchete de Poissonentre f y g es, por definicion, el elemento de C∞(M) dado por

f, g = ω(Xf , Xg). (3.13)

Notemos que esto es igual a −ιXfιXg

ω y tambien a Xf (g).

Observemos que de la antisimetrıa de ω sigue que f, g = −g, f cualesquiera sean f, g ∈C∞(M). La siguiente propiedad ilustra la utilidad de los corchetes de Poisson en la consideracionde constantes de movimiento, esto es, en las funciones a valores reales que son constantes en lastrayectorias del sistema.

Proposicion 20. Sea (M,ω) una variedad simplectica y f, g ∈ C∞(M).

(i) Es f, g = LXfg = −LXg

f .

(ii) Si h ∈ C∞(M), la aplicacion g 7→ h, g es una derivacion en C∞(M).

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(iii) Como consecuencia de lo anterior, f es constante en las curvas integrales de Xg si y solo sif, g = 0.

Proof. Para el primer inciso, observemos que LXfg = ιXf

dg = −ιXfιXgω, esto ultimo es el corchete

entre f y g. El segundo es consecuencia directa del primero.Para el ultimo, sea φt el flujo del campo Xf . Se tiene

d

dt

∣∣∣t=0

(g φt) = φ∗tLXfg = φ∗t f, g.

El lado derecho se anula solo cuando f, g, y el lado izquierdo se anula si y solo si g φt esconstante en t, i.e., si g es constante en las trayectorias de Xf .

Debido a la antisimetrıa del corchete de Poisson, se tiene que f es constante en las curvasintegrales de Xg si y solo si g lo es en las de Xf . Se deduce, tambien de la antisimetrıa, que en unsistema hamiltoniano el hamiltoniano es constante en las trayectorias del sistema.

Ejemplo 21. Si f, g ∈ C∞(M), escribamos la expresion de su corchete de Poisson en coordenadascanonicas (q1, . . . , qn, p1, . . . , pn). Era f, g = Xf (g) y usando la expresion (3.12) obtenemos

f, g =

n∑

i=1

∂f

∂pi

∂g

∂qi− ∂f

∂qi∂g

∂pi,

lo que coincide con la expresion usual del corchete de Poisson que aparece en los textos clasicos demecanica —a menos, depende de las convenciones, de un signo—.

El corchete de Poisson puede utilizarse tambien para escribir las ecuaciones de movimientosin mencionar explıcitamente a la forma simplectica. En algun punto, esto es una motivacionpara considerar sistemas dinamicos cuyas ecuaciones de movimiento esten dadas por expresionescomo las que siguen, pero que el corchete de Poisson no provenga de una forma simplectica.Mas aun, existe la nocion de algebra de Poisson, que consiste de un algebra asociativa sobre unanillo conmutativo equipada con una estructura de Lie que es una derivacion en cada coordenada:C∞(M) es un algebra de Poisson sobre R.

Proposicion 22. Sean (M,ω,H) un sistema hamiltoniano, y φt el flujo del campo XH . Entonces,si f ∈ C∞(M), es

d

dt(f φt) = H, f φt. (3.14)

Proof. Es, en virtud de la relacion entre el flujo de un campo y la derivada de Lie respecto de el,

d

dt(f φt) =

d

dtφ∗t f = φ∗tLXH

f =

= LXH(f φt) = H, f φt,

como querıamos probar.

Para terminar la seccion, observemos que el corchete que definimos satisface la llamada identidadde Jacobi : es, si f, g, h ∈ C∞(M),

f, g, h+ h, f, g+ g, h, f = 0.

Puede encontrarse en [5], [2] o [1] una prueba de esta afirmacion. Como consecuencia, se tiene queC∞(M) junto con el corchete es un algebra de Poisson.

4. Integrabilidad Liouville

Daremos en lo siguiente una definicion de integrabilidad de sistemas hamiltonianos. Es cierto quecuanto mas constantes de movimiento moralmente independientes tenga un sistema hamiltoniano,mas condicionada estara su dinamica y ciertamente sera mas accesible encontrar sus trayectorias.El teorema clave de esta seccion, el de Liouville-Arnold, da condiciones suficientes para encontrarlas trayectorias del sistema a menos de cuadraturas; un sistema hamiltoniano que este en las

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hipotesis del teorema se dira integrable Liouville. Segun comenta Arnold, ¡¡el teorema cubre todoslos problemas de dinamica que han sido integrados hasta el presente dıa¿¿ [2, pag 273]. Por supuestono daremos una demostracion de esta altisonante afirmacion; sı algunos ejemplos donde se aplicael teorema, ni bien lo hayamos formulado.

Sean (M,ω) una 2n–variedad simplectica, H : M −→ R suave y XH su campo hamiltonianoasociado; notemos al sistema hamiltoniano ası determinado (M2n, ω,H).

Definicion 23 (Integrabilidad Liouville). El sistema hamiltoniano es integrable Liouville si existenfunciones f1, ..., fn ∈ C∞(M) tales que

1. f1, ..., fn son integrales de XH , es decir, son constantes a lo largo de sus curvas integrales;

2. f1, ..., fn son independientes:dfi(x)ni=1 es linealmente independiente para todo x en M ;

3. fi, fj = 0 para cualesquiera i, j; y, por ultimo,

4. Los campos Xi := ω♯(dfi) ∈ X(M) son completos: sus curvas integrales tienen dominio R.

La descomposicion deM2n en componentes conexas de las superficies de nivel de f = (f1, ..., fn)se llama la foliacion de Liouville correspondiente al sistema integrable XH , y a la postre resultano depender de f . En efecto, esto sigue de que cada una de estas componentes conexas puedeobtenerse como la clausura de la union de las imagenes de las trayectorias que allı empiezan. Elteorema de Liouville describe la estructura de la foliacion de Liouville cerca de hojas regulares, queson la preimagen de valores regulares. Vale aclarar o recordar que c ∈ R

n es un valor regular de fsi dfi(x)ni=1 es linealmente independiente para cada x ∈Mc = f−1(c).

Teorema 24 (Liouville-Arnold). Fijemos (M2n, ω,H) un sistema hamiltoniano integrable Liouvilley sea Mc una hoja de f = (f1, ..., fn). Entonces

1. Mc es una variedad de dimension n, Lagrangiana (ω = 0 allı) e invariante respecto a Xi

para todo i;

2. y si Mc es conexo y compacto, entonces es difeomorfo a Tn, el llamado toro de Liouville.

3. La foliacion de Liouville es trivial en un entorno del toro de Liouville: existe un entorno Ude Mc que es difeomorfo a Tn×Dn por un difeomorfismo que preserva las hojas, y mas aun:

4. en U = Tn×Dn hay un sistema de coordenadas, las variables angulo-accion s1, ..., sn, ϕ1, ..., ϕn,donde las primeras son coordenadas en el disco y las ultimas en el toro, tales que

(a) ω =∑dϕi ∧ dsi,

(b) las variables de accion dependen exlusivamente de f , y

(c) el flujo de XH en las coordenadas angulo-accion se endereza: las derivadas de si y deϕi son nulas y constantes, respectivamente.

Ejemplo 25. Consideremos el caso de una partıcula que se puede mover en una sola direccionsujeta a la accion de un potencial V = V (x), que depende solo de la distancia a un punto fijo. Elespacio de configuraciones es de dimension 1, el fibrado cotangente de dimension 2, y se tiene unaconstante de movimiento, la energıa. Supongamos que V tiene la pinta de la Figura 1. A energıaconstante, el movimiento sera oscilatorio: las hojas Mc son difemorfas al toro de dimension 1.

Consideremos ahora el caso de la Figura 2. Aquı, si la energıa tiene valores no negativos, ME1

sera difeomorfo a R y si no, ME2lo sera al toro de dimension 1.

Por ultimo, miremos el potencial de la Figura 3. Las hojas aquı no son todas conexas, y,dependiendo de cual es el valor de la energıa, algunas componentes conexas son difeomorfas al toroy otras a R.

Ejemplo 26. Si en un sistema hamiltoniano (M2n, ω, h) con n = 2 —que en el caso mecanicocorresponde a un sistema con espacio de configuraciones de dimension 2, i.e., de dos gradosde libertad— se tiene una constante de movimiento independiente del hamiltoniano, entoncesel sistema es integrable por cuadraturas. Por ejemplo, los problemas de fuerzas centrales, queconsisten en dos partıculas interactuando entre sı con fuerzas en la direccion que las une, la posiciondel sistema se describe dando la posicion del centro de masa y el vector que une a las dos partıculas;

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Figura 1: Primer potencial

Figura 2: Segundo potencial

Figura 3: Tercer potencial

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se conservan el momento angular y la energıa: son entonces integrables. Famosos son los casos enque la fuerza es de gravedad o elastica. La coordenada angular se movera en un toro de dimension1 y, de hecho, puede verse que pasando al potencial efectivo, la coordenada radial puede estudiarsemirando graficos de potencial como en el ejemplo anterior.

Ejemplo 27. El conocido trompo de Lagrange es un trompo simetrico fijado en O, y sujeto a laaccion de la fuerza de gravedad mg, como muestra la Figura 4.

Figura 4: El trompo de Lagrange

Se tienen tres constantes de movimiento: primero, el hamiltoniano, que es la energıa; segundo ytercero, las proyecciones del momento angular en los ejes z y e3, que llamaremosMz yM3 —esto sedebe a la simetrıa de rotacion del trompo alrededor de cada eje, como puede verse con el Teorema deNoether, pero tambien puede verificarse haciendo la cuenta a mano—. Puede verificarse que estasconstantes de movimiento estan en involucion. Mas aun, las superficies de nivel del hamiltonianoH son compactas. Se tiene entonces, por el Teorema 24, que para todas las condiciones inicialesque no degeneran (h,Mz,M3) —que son, segun Arnold, ¡¡la mayorıa¿¿— el movimiento del trompoes periodico en las tres coordenadas angulares: las trayectorias en el espacio de fases suceden enel toro tridimensional dado por (H,Mz,M3) = cte; las correspondientes tres frecuencias se llamanfrecuencias de revolucion, precesion y nutacion.

Referencias

[1] ] R. Abraham y J .Marsden, Foundations of Mechanics, Addison–Wesley, 1978.

[2] V. I. Arnold, Mathematical methods of classical mechanics, Springer, 1989.

[3] H. Goldstein, Classical mechanics, Addison–Wesley, 1980.

[4] S. Grillo, Introduccion a la Mecanica Lagrangiana y Hamiltoniana, III Encuentro deGeometrıa Diferencial, La Falda, Agosto 06–11, 2007.

[5] P. Libermann y C.M. Marle, Symplectic geometry and analytical mechanics, Springer, 1987.

[6] J. E. Marsden and A. Weinstein, Reduction of symplectic manifolds with symmetry,Reports on Mathematical Physics 5 (1974), 121–130.

[7] F. O. Minotti, Apuntes de Mecanica Clasica, disponible enhttp://www.lfp.uba.ar/minotti/mecanica/cursomec.pdf.

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