Elasticidad y resistencia de materiales FLEXION ... · 9.499..449.4 Diagramas a estima....

Elasticidad y resistencia de materialesFLEXION - DEFORMACIONES INDICEINDICEINDICEINDICE

9.19.19.19.1 Introducción.

9.29.29.29.2 Ecuación general de la Elástica.

9.39.39.39.3 Efecto del esfuerzo cortante en la deformación.

9.49.49.49.4 Diagramas a estima.

9.59.59.59.5 Giros

9.69.69.69.6 Viga Conjugada

Área: mecánica de medios continuos y teoría de estructuras / Universidad de Málaga

Elasticidad y resistencia de materialesFLEXION - DEFORMACIONES

introducción.

El conocimiento de la DEFORMACION de una barra sometida a una tensión determinada es necesario para garantizar el cumplimiento de las hipótesis generales

de pequeñas deformaciones y para evitar que la funcionalidad o la estética del resultado se vea

comprometida.

Ya se ha visto que las secciones transversales experimentan un giro debido al momento flector y las fibras longitudinales flectan de tal forma que siempre permanecen perpendiculares a la sección transversal

de la barra.


En consecuencia, existe una fibra que ni se acorta ni se alarga, es la fibra neutra o línea neutra.

Las fibras longitudinales de curvan variando su longitud de modo que unas se acortan y otras se

alargan;

La LINEA NEUTRA es el lugar geométrico de los centros de

gravedad de todas las secciones de la barra.


introducción.

las deformaciones

DEBEN LIMITARSE


para lo cual existen diversos métodos:

- ecuación diferencial de la línea elástica

- teoremas de mohr

- teoremas de castigliano y menabrea

- principio de los trabajos virtuales

ya hemos visto que puede medirse el giro de una sección determinada alrededor del eje

neutro

también pueden medirse los desplazamientos verticales (flechas) del centro de gravedad de

las secciones


introducción.



ecuación general de la elástica.

Se define la LINEA ELASTICA como la curva deformada de la fibra neutra, o sea el eje de la barra ya deformado.

Puede establecerse la hipótesis de que la sección transversal no cambia su forma en el proceso de flexión y que, por tanto, todos los puntos de la sección sufren el mismo desplazamiento según el eje OY.

Considerando que la barra trabaja en flexión plana (existe un único momento flector MZ=M) y notando IZ como I puede escribirse esta relación entre curvatura de la barra y esfuerzo flector:

Siendo ρ el radio de curvatura de la elástica y 1/ρ la curvatura.IE

M

·

1 =ρ Donde y’ es la tangente de θ; el ángulo que


elástica y 1/ρ la curvatura.IE·ρDejando para más adelante la cuestión del signo matemático, la expresión que define la curvatura de una línea es: ( ) 232'1

''1

y

y

+=

ρComo se mantiene la hipótesis de pequeñas deformaciones los ángulos θde la deformada son pequeños y también lo es su tangente, por lo que pueden despreciarse frente a la unidad. Del mismo modo puede prescindirse del valor y’2 frente a 1. Por tanto:

Donde y’ es la tangente de θ; el ángulo que forma la deformada con la horizontal

''1

y=ρ

Con lo que se obtiene la ecuación diferencial de la elástica:IE

M

dx

yd

·2

2

=

La ecuación de la elástica muestra que la curvatura de la deformada la curvatura de la deformada la curvatura de la deformada la curvatura de la deformada está proporcionalmente relacionada con el momento flectorestá proporcionalmente relacionada con el momento flectorestá proporcionalmente relacionada con el momento flectorestá proporcionalmente relacionada con el momento flector. Para asignar el signo a la expresión conviene recordar la relación entre el momento flector y la deformada de una viga; Si el flector es positivo la deformada es cóncava y a la inversa, un flector nulo indica un cambio de inflexión en la deformada de la pieza.

Al ser una ecuación diferencial de grado dos necesita, para su resolu-ción, disponer de dos condiciones de contorno (pueden determinarse conociendo el desplazamiento y giro de algunos puntos de la pieza)

Rigidez de la viga a flexión: oposición que muestra la sección de la barra a ser deformada en el proceso de flexión.


DETERMINACION DE LA ECUACION DE LA ELASTICA DE UNA VIGA EN VOLADIZO CON CARGA PUNTUAL APLICADA EN EL EXTREMO LIBRE.

1. Lo primero es obtener el esfuerzo flector; se corta por un plano genérico y se aísla, por ejemplo, la parte derecha de la viga, (tomando el sistema de coordenadas de la figura):

2. Se aplica la ecuación diferencial de la elástica y se integra:


L

x

yP

PV

M

L-x( ) 0x-LP--M0M0V-P0F

B

y

=⇒=

=⇒=

∑∑

( )x-L-PMP;V ==⇒

⇒

( ) ( )BAx

6

L-x·

E·I

Py

E·I

x-LP-

E·I

M

dx

yd 3

2

2

++=⇒==


se integra:

3. Como se cumple la hipótesis de pequeñas deformaciones, puede aproximarse el valor del giro al de la tangente de su ángulo, con lo que se obtendrá la expresión completa de la elástica:

BAx6

·E·I

yE·I

-E·Idx x

2++=⇒==

Donde los valores A y B son constantes de integración que se obtienen aplicando condiciones de contorno en desplazamientos; que son los desplazamientos lineales o giros que se extraen de las condiciones de apoyo de la pieza. En este caso se sabe que el desplazamiento y giro En este caso se sabe que el desplazamiento y giro En este caso se sabe que el desplazamiento y giro En este caso se sabe que el desplazamiento y giro en el punto A es ceroen el punto A es ceroen el punto A es ceroen el punto A es cero (empotramiento).

( ) ( )6

L·

E·I

PBBA·0

6

L-0·

E·I

P000xy

33

=⇒++=⇒==

( ) ( )2

L·

E·I

PAA

2

L-0·

E·I

P000xy'

22

=⇒+=⇒==

⇒

Con lo que se ha obtenido ya la expresión completa de la elástica.

( ) ( )

+=⇒

6

Lx·

2

L-

6

L-x

E·I

Pxy

323


1. Como en el caso anterior, interesa conocer el esfuerzo flector; ya se vio en el capítulo anterior que era:

2. Con lo que la ecuación de la elástica resulta: ∑

∑

===−+⇒=

⇒=

2

q·LY;

2

q·LY0q·LYY0F

X0F

BABAy

Ax

L

x

yq

qL

YA YB

XA

A

L/2

2

q·LYY BA ==

DETERMINACION DE LA ECUACION DE LA ELASTICA DE UNA VIGA BIAPOYADA SOMETIDA A CARGA DISTRIBUIDA CONSTANTE.


2

q·x·x

2

q·LM0

2

q·xx·

2

q·LM0M

q·x2

q·LV0Vq·x

2

q·L0F

22

x

y

−==+−⇒=

−==−−⇒=

∑

∑


3. Siendo las condiciones de contorno en este caso que los desplazamientos lineales en el eje vertical son los desplazamientos lineales en el eje vertical son los desplazamientos lineales en el eje vertical son los desplazamientos lineales en el eje vertical son nulos en ambos extremos de la barranulos en ambos extremos de la barranulos en ambos extremos de la barranulos en ambos extremos de la barra:

∑ =−⇒= 02q·L

L·Y0M

222

BA

(qL²)/8

(qL)/2

(qL)/2

BAx2

x-L

·E·I12

qxBAx

12

x

6

Lx

2·E·I

qy

E·I2

qx-x

2qL

E·I

M

dx

yd 3432

2

2

++

=++

−=⇒==

( )

( )E·I·24

q·L-A0BA·L

2

L-L

EI12

q·L0Lxy0y

0B0BA·02

0-L

EI12

q·000xy0y

33

B

3

A

=⇒=++

⇒==⇒=

=⇒=++

⇒==⇒=

Con lo que la ecuación de la elástica toma, finalmente, esta forma:

( )323 x2Lx-L24·E·I

q·xy +=


1. Como en los casos anteriores, interesa conocer el esfuerzo flector que, tal y como se determinó en el capítulo anterior, era:

2. Como el dominio de definición del momento flector viene separado en dos partes distintas, habrá que determinar la ecuación de la elástica de cada una de las partes:

a b

L

x

yP

P

YA YB

XA

A B

∑

∑

∑

=⇒=

===−+⇒=

=⇒=

0P·a-L·Y0ML

P·aY;

L

P·bY0PYY0F

0X0F

BA

BABAy

Ax


DETERMINACION DE LA ECUACION DE LA ELASTICA DE UNA VIGA BIAPOYADA SOMETIDA A CARGA PUNTUAL.

( ) ·xL

P·bM0a-xPx·

L

P·bM0M

L

P·aV0VP

L

P·b0Fy

==+−⇒=

−==−−⇒=

∑

∑

·bP


las partes:

3. Y las condiciones de contorno a aplicar en este caso son las mismas que en el anterior (desplazamiento lineal nulo en el eje Y para ambos extremos); ello supone aplicar dos condiciones de contorno para obtener cuatro incógnitas, las cuatro constantes A1, A2, B1 y B2, con la peculiaridad de que ha de existir ha de existir ha de existir ha de existir continuidad de la elástica y de su derivadacontinuidad de la elástica y de su derivadacontinuidad de la elástica y de su derivadacontinuidad de la elástica y de su derivada; por tramos:

∑ =⇒= 0P·a-L·Y0M BA0


HASTA AHORA SOLO SE HA CONSIDERADO EL EFECTO DE ESFUERZO FLECTOR EN EL DESPLAZAMIENTO TRANSVERSAL DE LOS PUNTOS DE UNA BARRA.

Pero parece lógico que el CORTANTE, que tiene componente transversal, provoque desplazamientos en esa dirección.

En efecto, el cortante provoca un desplazamiento relativo de las secciones transversales contiguas.

Ya se había visto que la reciprocidad de las tensiones tangenciales provocaba un alabeo de la sección transversal, representado en la figura de la derecha:

efecto del esfuerzo cortante en la deformación de vi gas


LOS CENTROS DE GRAVEDAD DE LA SECCION SUFREN SOLO UN DESPLAZAMIENTO VERTICAL (no se consideran deformaciones de segundo orden en la Resistencia de Materiales).

Por lo que la distorsión de la sección viene caracterizada por la distorsión del centro de gravedad de la misma. (en la expresión de la derecha la y1 representa la flecha producida por el esfuerzo cortante)

Y, como en el centro de gravedad du/dy=0, la deformación angular resulta:

Nótese que la pendiente de la elástica y el cortante tienen signo contrario; esto es lógico porque un cortante positivo como el de la figura provoca una pendiente negativa.

dy

du

dx

dy

G

τγ 1

xyxy +==

GIb

qS

dx

dV

GIb

S

dx

yd

GIb

VS

dx

dy

G zzz

xy

)0(

··

)0()0(maxmax

21

2max1 =−=⇒−==

τ

Donde: Smax es el momento máximo del trozo de sección (entre la fibra neutra y el contorno) Y b es la anchura de la seccion


efecto del esfuerzo cortante en la deformación de vi gas

Uniendo los efectos de la deformación por flexión y por cortante se tiene la ecuación de la elástica completa:

Y a través de un análisis dimensional de estas expresiones puede entenderse el efecto despreciable del esfuerzo cortante en la deformación de una barra.

( ) ( )

++= υ1·2

0b

·qSM

E·I

I

dx

yd max

z2

2


esfuerzo cortante en la deformación de una barra.h= dimensión característica de la sección transversal

L= longitud de la barra

Q= carga distribuida por unidad de longitud

Siendo el orden de cada término:

Con lo que la relación entre los términos resulta:

O sea, despreciable.

( ) ( ) 112;0;;; 3max2 ≈+≈≈≈≈ υhbQqhSQLM

( ) ( )1

·12·

0·

2

2

2

3max


ángulos de giro.

El avezado estudiante, tras detenido análisis del prontuario de esfuerzos y deformaciones, habrá podido observar la existencia de unas expresiones tituladas “ANGULOS DE GIRO”

?¿Como consecuencia inevitable de la

deformación, se desprende la existencia de un ángulo entre la elástica y la horizontal, en

cada punto de la viga.

θ

Y como los ángulos serán muy pequeños Algunos ángulos de giro:


∫=−

≈=

B

A

X

X

AB dxIE

M

tgdx

dy

·θθ

θθ

Y como los ángulos serán muy pequeños (hipótesis de pequeñas deformaciones) su

valor coincidirá con la pendiente de la elástica en el punto elegido. . .

. . . que no es sino la la derivada primera de la ecuación de la elástica:

Algunos ángulos de giro:


Se denomina VIGA CONJUGADA de una principal a la misma viga sometida a un esquema de cargas igual al diagrama de momentos flectores de la viga principal

dividido por el producto EI[momento positivo, cargas hacia arriba y

viceversa]

viga conjugada.

CORRESPONDENCIA ENTRE ENLACES

A un apoyo extremo de viga principal corrresponde un apoyo extremo de viga conjugada.

A un empotramiento de viga principal corresponde un extremo libre de viga conjugada (y viceversa)

A un apoyo intermedio de viga principal corresponde una rótula de viga conjugada (y viceversa).


CORRESPONDENCIAS

CONJUGADA PRINCIPALEsfuerzos DeformacionesCortantes GirosFlectores Flechas

UTILIDAD PRINCIPAL

Cálculo de giros en los extremos de vigas

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