4. Calculo de la inductancia de una línea eléctrica (Presente deducción de las ecuaciones y desarrolle un ejemplo de cada tema).

a. Debida al flujo interno.b. De una línea monofásica de dos conductores.c. De un conductor dentro de un grupo.d. De conductores compuestos.e. De líneas trifásicas.

i. Con espaciamiento simétrico.ii. Con espaciamiento asimétrico.iii. Describa que es la transposición de líneas y porque se hace necesaria.

f. De conductores agrupados.

Debida al flujo interno

El valor de la inductancia de una línea de transporte es necesario considerar el flujo interior y exterior. Para ello se supone un largo conductor cilíndrico con la sección transversal descrita en la figura 3.5. Se dice que el hilo de vuelta esta tan lejos que no afecta el campo magnético de nuestro conductor. Las líneas de flujo son concéntricas al conductor.

La fuerza magnetromotriz ( fmm) , en amperio-vueltas, alrededor de cualquier línea cerrada es igual a la corriente, abarcada por el conductor. También es igual a la integral de la componente tangencial de la intensidad de campo magnético a lo largo de la línea.

fmm=∮H ∙ds=I At

Donde H=Intensidad de campo

magnético, At/m

s=Distancia a través del paso, m

I=Corriente encerrada, A

Fig.1.1

Si la integración anterior se hace a lo largo d una línea circular, concéntrica al conductor y a “x” metros del centro, Hx es constante:

∮H x ∙ ds=I x

2πx H x=I x ecu(3.14)

Suponiendo una densidad de corriente uniforme:

I x=π x2

π r2 I Donde I es la corriente total del conductor. ecu(3.15)

Sustituyendo la ecu(3.15) en la ecu(3.14), queda:

H x=x

2 π r2I amperio-vuelta/metro ecu(3.16)

La densidad de flujo a “x” metros dl centro del conductor es:

Bx=μH x=μx

2π r2I Wb/m2 ecu(3.17)

Donde μ es la permeabilidad magnética del conductor.

En el elemento tubular de espesor dx . El flujo por metro de longitud es:

dϕ= μx

2π r2I dx Wb/m ecu(3.18)

Los enlaces de flujo dψ por metro de longitud, producidos por el flujo del elemento tubular son el producto del flujo por metro de longitud por la fracción de corriente enlazada.

dψ=π x2

π r2 dϕ=μ x3

2π r4 I dx Weber-vueltas/metros ecu(3.19)

Integrando desde el centro del conductor hasta el

borde externo para encontrar ψ∫¿ ¿

ψ∫¿=∫

0

rμ x3

2π r4 I dx¿

ψ∫¿= μI

8π¿ Weber-vueltas/metros ecu(3.20)

Problema de ejemplo: para una permeabilidad relativa de 1, μ=4 π∗10−7 henrios/metros y corriente de 1 amperio.

ψ∫¿=

(4 π∗10−7)I8π

¿

ψ∫¿= I

2∗10−7¿Weber-vueltas/metros

L∫¿

I2∗10−7

H/m

De una línea monofásica de dos conductores

La fig.3.7 representa un circuito que tiene dos conductores de radios r1 y r2. Uno de los conductores constituye el hilo de retorno. Una línea de flujo, debida a la corriente del conductor 1, situada a una distancia igual o mayor a D + r2. La corriente del conductor 2 es igual en magnitud pero opuesta en sentido.

La inductancia del circuito debida a la corriente del conductor 1 se determina por la ecuación

L12=2∗10−7 I 1 lnD2

D1

ecu(3.28).

Sustituyendo D2 por la distancia D entre los conductores y D1 por el radio r1.

Para el flujo exterior solamente:

L1 ,ext=2∗10−7 I 1 lnDr 1

H/m ecu(3.30).

Para el flujo interior:

L1 ,∫ ¿=

I1

2∗10−7¿ H/m ecu(3.31).

La inductancia total es:

L1=( I 1

2+2 I 1 ln

Dr 1 )∗10−7 H/m ecu(3.32).

Se puede simplificar la ecu(3.32) de la siguiente manera:

L1=2∗10−7( I 1

4+2 I 1 ln

Dr1 ) ecu(3.33).

L1=2∗10−7( ln eI1/4+2 I 1lnDr 1 ) ecu(3.34).

L1=2∗10−7 I1 lnD

r1e− I1/4 ecu(3.35).

Sustituyendo r1' por r1 e

−I1 /4

L1=2∗10−7 I1 lnD

r1' ecu(3.36).

Por comparación, la inductancia debido a la corriente en el conductor 2 es:

L2=2∗10−7 I1 lnD

r2' ecu(3.37).

Y para todo el circuito:

L=L1+L2=4∗10−7 I1 lnD

√r1' r2

' H/m ecu(3.38).

Si r1'=r2

'=r ', la inductancia total se reduce a

L=4∗10−7 I 1lnD

r ' H/m ecu(3.39).

De un conductor dentro de un grupo

Un conductor en un grupo de ellos, es en el que la suma de las corrientes es igual a cero. El grupo de conductores se representa en la fig.3.8. Los conductores 1, 2, 3,….n son recorridos por los vectores I1, I2 , I3 ,…, In .

Las distancias de estos conductores a un punto P, están representados en la fig.3.8. Determinamos λ1P1, enlaces de flujos del conductor 1 debidos a la corriente I1, comprendiendo los enlaces de flujo interno y excluyendo todo el flujo más allá de P. por las ecuaciones anteriores:

L1P1=( I 1

2+2 I 1 ln

Dr 1 )∗10−7 H/m ecu(3.40).

L1P1=2∗10−7 I 1 lnD1P

r1

ecu(3.41).

Los enlaces de flujo λ1P2 con el conductor 1 debido a I2, y excluyendo el flujo más allá de P1 es igual al flujo producido por I2 entre P y el conductor 1:

L1P2=2∗10−7 I 2 lnD2P

D12

ecu(3.42).

Los enlaces de flujo λ1P con el conductor 1, debido a todos los conductores del grupo, y excluyendo el flujo más allá de P1, es:

L1P=2∗10−7(I 1lnD1P

r 1' + I 2 ln

D 2P

D12

+ I 3 lnD3 P

D13

+….+ I n lnDnP

D1n ) ecu(3.43).

Suponiendo que P se aleja hasta el infinito, de forma que los términos logarítmicos de las relaciones de distancias desde P de hagan infinitesimales, obtenemos:

L1=2∗10−7(I 1 ln1r1' + I2 ln

1D 12

+ I3 ln1D13

+….+ I n ln1D1n ) ecu(3.44).

Los conductores trenzados están comprendidos en la denominación general de conductores compuestos que están formados por dos o más elementos o hilos en paralelo. El método es aplicable a la determinación de la inductancia de líneas formadas por circuitos en paralelos, puesto que dos conductores en dicho arreglo se consideran como hilos de un solo conductor compuesto.

De conductores compuestos

La fig.3.9 representa una línea monofásica formada por dos conductores, cada conductor que constituye una parte de la línea, se representa como un indefinido número de conductores agrupados arbitrariamente. Los hilos paralelos han de ser cilíndricos y con la corriente igualmente distribuida entre ellos. El conductor X está compuesto por n hilos paralelos,

exactamente iguales, cada uno tiene una corriente de −In

. El conductor Y, que constituye el

retorno de la corriente de X, está formado por m hilos paralelos, exactamente iguales cada uno

de los cuales lleva la corriente −Im

. Las distancias se designaran por la letra D. aplicando la

siguiente ecuación al conductor X:

λa=−2∗10−7 In ( ln

1r a' + ln

1Dab

+ ln1Dac

+….+ ln1D an) ecu(3.45).

λa=−2∗10−7 Im ( ln

1raa '' + ln

1Dab '

+ ln1Dac'

+….+ln1Dam ) ecu(3.46).

De lo cual obtenemos

λa=−2∗10−7 I lnm√D aa'Dab'Dac' ,… ,Dam

n√raD abDac ,…,D an

Wbv/m ecu(3.47).

Dividiendo por la corriente In

la ecuación anterior, encontramos la inductancia sobre el hilo a

La=λaIn

=−2n∗10−7 lnm√Daa'Dab'D ac' ,…,D am

n√raDabD ac ,…,D an H/m ecu(3.48).

Lb=λbIn

=−2n∗10−7 lnm√Dba'Dbb'D bc' ,…,D bm

n√rbDbaD bc ,…,D bn H/m ecu(3.49).

La inductancia media de todos los hilos del conductor X, es:

Lav=La+ Lb+ Lc+...+Ln

n ecu(3.50).

El conductor x formado por n hilos en paralelo. Si todos tienen la misma inductancia, la del

conductor será In

la del hilo. Todos los hilos tienen inductancias diferentes, pero la de todos los

hilos, en paralelo, es In

de la inductancia promedio. Así la del conductor X, es:

Lx=Lavn

=La+Lb+Lc+...+Ln

n2 ecu(3.51).

Pasando la expresión anterior a logarítmica y agrupando términos:

Lx=2∗10−7 lnmn√(D¿¿ aa' D ab'Dac ' ,…, Dam)

(D¿¿b a'Dbb' Dbc ' ,…,D bm)…(D¿¿ na'Dnb'D nc' ,…,Dnm)n2

√(D¿¿aa DabDac ,…, Dan)(D¿¿ baD bbDbc ,…, Dbn)… (D¿¿na DnbDnc ,…,Dnm)¿¿¿¿¿¿

H/m ecu(3.52).

Donde ra' , rb

' y rc' se han sustituido por Daa, Dbb y Dnm. Y reemplazando los términos del

denominador por DMG (distancia media geométrica) y el numerador por RMG (radio medio geométrico):

Lx=2∗10−7 lnDMGRMG

H /m =0.7411 logDMGRMG

mH /mi ecu(3.53).

X L=2πfL=4.657∗10−3 f logDMGRMG

Ω /mi ecu(3.54).

La inductancia del conductor Y se determina de forma similar siendo la de la línea.

Problema de ejemplo: Encuentre la reactancia inductiva por milla de una línea monofásica operando a 60 Hz. El tipo de conductor es Partridge, y el DMG = 20 ft.

Sol. Para este conductor la tabla A.1 RMG = 0.0217 ft

X L=2πfL=4.657∗10−3∗60 log20

0.0217=0.828Ω /mi

De líneas trifásicas con espaciamiento simétrico

La figura 3.13 representa los conductores de una línea trifásica colocados en los vértices de un triángulo equilátero. Si suponemos que no existe hilo neutro, o que los vectores corrientes de las tres fases están equilibrados. Ia+ Ib + Ic=0, entonces:

λa=2∗10−7(I a ln1r 1' + I b ln

1D

+ Ic ln1D ) ecu(3.55)

Cambiando Ia=-(Ib + Ic)

λa=2∗10−7(I a ln1r 1' −I a ln

1D ) ecu(3.56).

λa=2∗10−7(I a lnDr1' )Wbv /m ecu(3.57).

La=2∗10−7( lnDr1' )H /m ecu(3.58).

X a=0.0754 (ln Dr1' )Ω /km =

X a=0.0754 (ln DMGRMG )Ω /km ecu(3.59).

Debido a la simetría las inductancias de los conductores a, b y c son iguales. Cada fase tiene solamente un conductor, por ello las ecuaciones anteriores dan la inductancia por fase de una línea trifásica.

De líneas trifásicas con espaciamiento asimétrico

Los enlaces de flujo y la inductancia de todas las fases no son iguales. Si se tienen tres conductores, con corrientes trifásicas balanceadas y de igual radio, los enlaces son:

λa=2∗10−7(I a ln1daa

+ I b ln1dab

+ I c ln1dac ) ecu(3.60).

Como las corrientes están desfasadas 120 Gen secuencia ABC:

I b=I a∠ 240° ; I c=I a∠120 °

λa=2∗10−7 I ( ln1daa

+(−0.5+ √32j) ln

1dab dac

+(−0.5−√32j) ln

1dab ) ecu (3.61).

Por lo tanto la inductancia de la fase a es:

La=2∗10−7( ln1daa

+(−0.5) ln1

dab dac+(√3

2j) ln

dacdab ) ecu(3.62).

La reactancia inductiva de la fase a es:

X a=2πf La ecu(3.63).

La distancia equivalente:

DMG= 3√D12∗D23∗D 13 ecu(3.64).

Y la inductancia media por fase es:

L=2∗10−7( lnDMGRMG )H /m ecu(3.65).

L=0.7411( logDMGRMG )mH /mi ecu(3.66).

Transposición de líneas

Si se hace la operación anterior nos queda una reactancia negativa, lo cual ocasiona un desbalance.

Se puede solucionar el balance en las tres fases intercambiando las posiciones de los conductores en intervalos regulares a lo largo de la línea, de forma que los conductores ocupen la posición de otros q tenían originalmente. A esto se le llama transposición. Los conductores se designan con las letras a, b y c, y las posiciones con los números 1, 2 y 3. El resultado de la transposición es que todos los conductores tienen la misma inductancia media a lo largo del ciclo completo.

Las líneas de los sistemas de potencia modernos no se transponen en intervalos regulares, aunque, aunque se puede hacer un intercambio de posiciones de los conductores en las subestaciones de interconexión. Sin embargo la asimetría de una línea sin transposición es pequeña y despreciable.

Problema de ejemplo: Una línea trifásica de un circuito simple de 60 Hz está dispuesto como se muestra en la fig.3.15. Los conductores son ACSR Drake. Encuentre la inductancia y la reactancia inductiva por fase y por milla.

Sol. De la tabla A.1

RMG=0.0373 ft; DMG=3√20∗20∗38=24.8 ft

L=0.7411(log24.8

0.0373 )=2.09 mH/mi/fase

XL=2π∗60∗2.09∗10−3=0.788Ωmi

∗fase

De conductores agrupados

El agrupamiento consiste en dos, tres o cuatro conductores. En la fig.3.16 se muestran estos arreglos. La corriente no se repartirá exactamente entre los conductores del agrupamiento a menos que exista una transposición de conductores dentro del grupo.

La reactancia reducida es la otra ventaja importante del agrupamiento de los conductores. Al incrementar el número de conductores en el agrupamiento, se reduce el efecto corona y la reactancia. La reducción de la reactancia es el resultado del incremento de RMG del agrupamiento de conductores.

Si se denomina Dsp a RMG de los conductores agrupados y el Ds el RMG de los conductores

que individualmente componen el agrupamiento:

Para dos conductores agrupados:

Dsp= 4√(D s∗d )2 ecu(3.67).

Para un agrupamiento de tres conductores:

Dsp= 9√(D s∗d∗d )3 ecu(3.68).

Para un agrupamiento de cuatro conductores:

Dsp=12√ (Ds∗d∗d∗√2d )4 ecu(3.69).

Al calcular la inductancia mediante la ecuación 3.59, el RMG propio de cada conductor se reemplaza por el del agrupamiento. Para calcular el DMG, la distancia desde el centro de un agrupamiento de conductores al centro del otro, sirve para el cálculo de DMGab ,DMGbc ,DMGca

y para obtener el DMG real entre los conductores de un agrupamiento y los de otro es prácticamente igual al cálculo mediante las distancias centro a centro del espaciamiento común.

Problema de ejemplo: Cada conductor de la línea de conductores agrupados que se muestra en la fig.3.17 es un ACSR, 1 272 000 c mil Pheasant. Encuentre la reactancia inductiva en ohmios por milla y por fase.

Sol. Dab=4√( 0.0466∗18

12 )2

=0.264 ft

Deq=3√24∗24∗48= 30.2 ft

XL=2π∗60∗10−3∗0.7411log30.2

0.264=0.575

Ωmi

∗fase

9. Defina los límites de transferencia de potencia para una línea de transmisióna – Nivel térmicob - Nivel de flujo de potencia no controlado.c - Nivel de estabilidad.

Nivel térmico

El nivel térmico de un conductor para líneas aéreas es la corriente máxima permitida, considerando una temperatura máxima a través del conductor para condiciones ambientales establecidas. Para determinar el nivel térmico de conductores aéreos desnudos es necesario considerar en el análisis el efecto de la temperatura ambiente, la velocidad y dirección del viento, la emisión solar y la altura sobre el nivel del mar (IEEE Std.730-2002).

Existen métodos tanto estáticos como dinámicos para determinar el nivel térmico, la diferencia es que en el caso de los dinámicos algunas de las variables utilizadas en el cálculo se obtienen con mediciones reales (tensión, flecha, temperatura, corriente en l conductor) que se envían para ser procesadas en un centro de control. Por eso que el límite térmico depende de una gran cantidad de criterios, los cuales están definidos de acuerdo con los criterios de diseño de las empresas eléctricas.

Para contrarrestar las restricciones en la determinación del nivel térmico y aprovechar al máximo la capacidad de transferencia de una línea eléctrica se puede utilizar el método dinámico (Kyeon et al., 2001). Esto se logra a través de la medición de condiciones ambientales y parámetros de la línea eléctrica: flujo de corriente, flecha y libramiento entre el conductor y tierra. Estos métodos permiten conocer en tiempo real la capacidad de la línea y así poder transmitir la máxima cantidad de energía eléctrica.

Nivel de flujo de potencia no controlado

También llamada enlace asíncrono, parte del hecho que aun teniendo en cuenta el nivel térmico, la potencia activa transferible al final de línea tiene nivel superior. La teoría de circuitos demuestra que tal nivel se alcanza cuando la impedancia de carga es la conjugada de la impedancia del circuito alimentador.

Este nivel carece de interés práctico en los casos de líneas de potencia, porque al utilizarlo supone bajos rendimientos. En cambio si se toman corrientes débiles, puede interesar transferir la máxima potencia, perdiendo valor la consideración del rendimiento.

La carga final puede estar formada por impedancias estáticas o por maquinas no sincrónicas. En dichos casos no existe problema de perdida de estabilidad. Se dirá que una unión es asíncrona si una central o sistema generador alimenta, mediante una línea, otro sistema cuyas cargas sean resistencias y reactancias, y no existen centrales generadoras importantes. De existir no se les conferirá la labor de influir sensiblemente en la tensión ni en la frecuencia.

Nivel de estabilidad

La estabilidad es una propiedad inherente a los sistemas dinámicos y comprende el estudio de la capacidad del sistema de alcanzar un punto de equilibrio estable o de volver al punto de equilibrio estable original tras la ocurrencia de una perturbación (conexión y desconexión de generadores, líneas de transmisión, transformadores, etc.).

Los límites de estabilidad se producen o están hechos debido a los siguientes problemas:

Ángulo: i. Pequeña señal:

1.1. Inestabilidad no oscilatoria.1.2. Inestabilidad oscilatoria.

ii. Transitoria. Frecuencia:

i. Mediano plazo.ii. Largo plazo.

Tensión:i. Gran perturbación.ii. Pequeña perturbación.

Conclusiones

Las líneas de energía eléctrica de corta longitud pueden llegar a transmitir niveles de potencia cercanos al nivel térmico. En cambio para líneas de larga longitud hay impedimentos como la estabilidad que limitan la transferencia de potencia a valores menores a su nivel térmico. Para aumentar la transferencia de potencia en niveles térmicos solo se utiliza conductores de alta temperatura.

La inductancia es el parámetro que relaciona la perdida de energía almacenada en el campo magnético variable originado por la corriente de la línea.

En el transporte de la energía eléctrica, el análisis de la geometría y de los parámetros de las líneas han permitido desarrollar ecuaciones que permiten obtener la caída de tensión que se presentan en el transporte a corta o larga distancia.

Recomendaciones

Se deben considerar en primer lugar los parámetros de rama serie de la línea de transmisión, ya que afectan directamente el transporte de la energía eléctrica.

Referencia bibliográfica

Análisis de Sistema eléctricos de potencias, 2da edición, William D. Stevenson

http://www.ing.uc.edu.ve/~viper/INDUCTANCIA.html

http://www.ingenieria.unam.mx/~revistafi/ejemplares/V15N2/V15N2_art10.pdf

http://www.cidel2010.com/papers/PAPER-20-22022010.PDF

http://books.google.com.pa/books?id=cleujL3IWlIC&pg=PA187&lpg=PA187&dq=limites+de+transferencia+de+lineas+electricas&source=bl&ots=ds_HB_Jk-H&sig=Z_CyAOPcReSWu0Oq87IPDWahVns&hl=es&sa=X&ei=W1irU_WNAuu0sATdiIDICw&redir_esc=y#v=onepage&q=limites%20de%20transferencia%20de%20lineas%20electricas&f=false