Corrientes transitorias e inductancia

Presentación PowerPoint de

Paul E. Tippens, Profesor de Física

Southern Polytechnic State University

Objetivos: Después de completar este módulo deberá:

• Definir y calcular la inductancia en términos de una corriente variable.

• Discutir y resolver problemas que involucran aumento y reducción de corriente en capacitores e inductores.

• Calcular la energía almacenada en un inductor y encontrar la densidad de energía.

Autoinductancia

R

I creciente

Considere una bobina conectada a una resistencia R y voltaje V. Cuando se cierra el interruptor, el aumento de corriente I aumenta el flujo, lo que produce una fuerza contraelectromotriz interna en la bobina. El interruptor abierto invierte la fem.

R

I decrecienteLey de Lenz:

La fcem (flecha roja) debe

oponerse al cambio en

flujo:

Inductancia

La fuerza contraelectromotriz (fcem) E inducida en

una bobina es proporcional a la tasa de cambio de la corriente DI/Dt.

Una inductancia de un henry (H) significa que el cambio de corriente a la tasa de un ampere por segundo inducirá una fcem de un volt.

R

Di/ Dt creciente

1 V1 H

1 A/s

; inductancei

L Lt

D

DE inductancia

Ejemplo 1: Una bobina de 20 vueltas tiene una fem inducida de 4 mV cuando la corriente cambia a la tasa de 2 A/s. ¿Cuál es la inductancia?

; /

iL L

t i t

D

D D D

EE

( 0.004 V)

2 A/sL

L = 2.00 mH

Nota: Se sigue la práctica de usar i minúscula para corriente variable o transitoria e Imayúscula para corriente estacionaria.

R

Di/ Dt = 2 A/s

4 mV

Cálculo de inductancia

Recuerde dos formas de encontrar E:

iL

t

D

DEN

t

D

DE

Al igualar estos términos se obtiene:

iN L

t t

D D

D D

Por tanto, la inductancia L se puede encontrar de:

NL

I

Di/ Dt creciente

R

Inductancia L

Inductancia de un solenoide

El campo B que crea una corriente I para longitud l es:

0NIB

y = BA

0 NIA N

LI

Al combinar las últimas dos ecuaciones se obtiene:

2

0N AL

R

Inductancia L

lB

Solenoide

Ejemplo 2: Un solenoide de 0.002 m2 de área y 30 cm de longitud tiene 100 vueltas. Si la corriente aumenta de 0 a 2 A en 0.1 s, ¿cuál es la inductancia del solenoide?

Primero se encuentra la inductancia del solenoide:

-7 2 22 T m0 A

(4 x 10 )(100) (0.002 m )

0.300 m

N AL

R

l

A

L = 8.38 x 10-5 H

Nota: L NO depende de la corriente, sino de parámetros físicos de la bobina.

Ejemplo 2 (Cont.): Si la corriente en el solenoide de 83.8 H aumentó de 0 a 2 A en 0.1 s, ¿cuál es la fem inducida?

R

l

A

L = 8.38 x 10-5 H

iL

t

D

DE

-5(8.38 x 10 H)(2 A - 0)

0.100 s

E 1.68 mV E

Energía almacenada en un inductor

En un instante cuando la corriente cambia a Di/Dt, se tiene:

; i i

L P i Lit t

D D

D DE E

Dado que la potencia P = trabajo/t, Trabajo = P Dt. Además, el valor promedio de Li es Li/2 durante el aumento a la corriente final I. Por tanto, la energía total almacenada es:

Energía potencial almacenada en

inductor:

212

U Li

R

Ejemplo 3: ¿Cuál es la energía potencial almacenada en un inductor de 0.3 H si la corriente se eleva de 0 a un valor final de 2 A?

212

U Li

212

(0.3 H)(2 A) 0.600 JU

U = 0.600 J

Esta energía es igual al trabajo realizado al llegar a la corriente final I; se devuelve cuando la corriente disminuye a cero.

L = 0.3 H

I = 2 A

R

Densidad de energía (opcional)

R

l

A

La densidad de energía u es la energía U por unidad de volumen V

220 1

2; ;

N AL U LI V A

Al sustituir se obtiene u = U/V :

2 2

0

2201

2

2;

N AI

N A UU I u

V A

2 2

0

22

N Iu

Densidad de energía (continúa)

R

l

A

2 2

0

22

N Iu

Densidad de energía:

Recuerde la fórmula para el campo B:

0

0

NI NI B

B

2 2

0 0

2

02 2

NI Bu

2

02

Bu

Ejemplo 4: La corriente estacionaria final en un solenoide de 40 vueltas y 20 cm de longitud es 5 A. ¿Cuál es la densidad de energía?

R

l

A

-7

0 (4 x 10 )(40)(5 A)

0.200 m

NIB

B = 1.26 mT

2 -3 2

-7 T m0 A

(1.26 x 10 T)

2 2(4 x 10 )

Bu

u = 0.268 J/m3

La densidad de energía es importante para el estudio de las ondas electromagnéticas.

El circuito R-L

R

L

S2

S1

V

E

Un inductor L y un resistor R se conectan en serie y el interruptor 1 se cierra:

iV – E = iR

iL

t

D

DE

iV L iR

t

D

D

Inicialmente, Di/Dt es grande, lo que hace grande la fcem y la corriente i pequeña. La corriente aumenta a su valor máximo I cuando la tasa de cambio es cero.

Aumento de corriente en L

( / )(1 )R L tVi e

R

En t = 0, I = 0

En t = , I = V/R

Constante de tiempo t:

L

Rt

En un inductor, la corriente subirá a 63% de su valor máximo en una constante de tiempo t = L/R.

Tiempo, t

I

i

Aumento de corriente

t

0.63 I

Reducción R-L

R

L

S2

S1

V

Ahora suponga que S2 se cierra después de que hay energía en el inductor:

E = iRi

Lt

D

DE

iL iR

t

D

D

Inicialmente, Di/Dt es grande y la fem E que activa

la corriente está en su valor máximo I. la corriente se reduce a cero cuando la fem se quita.

Para reducción de corriente en L:

E

i

Reducción de corriente en L

( / )R L tVi e

R

En t = 0, i = V/R

En t = , i = 0

Constante de tiempo t:

L

Rt

En un inductor, la corriente se reducirá a 37% de

su valor máximo en una constante de tiempo t.

Tiempo, t

I

i

Reducción de corriente

t

0.37 I

Ejemplo 5: El circuito siguiente tiene un inductor de 40 mH conectado a un resistor de 5 W y una batería de 16 V. ¿Cuál es la constante de tiempo y la corriente después de una constante de tiempo?

5 W

L = 0.04 H

16 V

R

0.040 H

5

L

Rt

W

Constante de tiempo: t = 8 ms

( / )(1 )R L tVi e

R

Después del tiempo t:

i = 0.63(V/R)

16V0.63

5i

W i = 2.02 A

El circuito R-C

RC

S2

S1

V

E

Cierre S1. Entonces, conforme la carga Q se acumula en el capacitor C, resulta una fcem E:

iV – E = iR

Q

CE

QV iR

C

Inicialmente, Q/C es pequeño, lo que hace pequeña la fcem y la corriente i es un máximo I.Conforme la carga Q se acumula, la corriente se reduce a cero cuando Eb = V.

Aumento de carga

t = 0, Q = 0, I = V/R

t = , i = 0, Qm = C V

Constante de tiempo t:

RCt

En un capacitor, la carga Qaumentará a 63% de su valor máximo en una

constante de tiempo t.

QV iR

C

/(1 )t RCQ CV e

Desde luego, conforme la carga aumenta, la corriente i se reducirá.

Tiempo, t

Qmax

q

Aumento de carga

Capacitor

t

0.63 I

Reducción de corriente en C

/t RCVi e

R

En t = 0, i = V/R

En t = , i = 0

Constante de tiempo t:

RCt

La corriente se reducirá a 37% de su valor máximo en una constante de tiempo t; la carga aumenta.

Tiempo, t

I

i

Reducción de corriente

Capacitor

t

0.37 I

Conforme aumenta la carga Q

Descarga R-CAhora suponga que se cierra S2 y se permite la descarga de C:

E = iRQ

CE

QiR

C

Inicialmente, Q es grande y la fem E que activa la

corriente está en su valor máximo I. La corriente se reduce a cero cuando la fem se quita.

Para reducción de corriente en L:

RS2

S1

V

i

C

E

Reducción de corriente

En t = 0, I = V/R

En t = , I = 0

En un capacitor que se descarga, tanto corriente como carga se reducen a 37% de sus valores máximos en una constante de tiempo t = RC.

/t RCVi e

R

RCt

Conforme la corriente se reduce, la carga también se reduce:

/t RCQ CVe

Tiempo, t

Ii

Current Decay

Capacitor

t

0.37 IReducción de corriente

Ejemplo 6: El circuito siguiente tiene un capacitor de 4 F conectado a un resistor de 3 W y una batería de 12 V. El interruptor está abierto. ¿Cuál es la corriente después de una constante de tiempo t?

Constante de tiempo: t = 12 s

/(1 )t RCVi e

R

Después del tiempo t:

i = 0.63(V/R)

12V0.63

3i

W i = 2.52 A

3 W

C = 4 F

12 V

R

t = RC = (3 W)(4 F)

Resumen

R

l

A

NL

I

2

0N AL

Energía potencial,densidad de energía:

212

U Li2

02

Bu

; inductancei

L Lt

D

DE inductancia

Resumen

( / )(1 )R L tVi e

R

L

Rt

En un inductor, la corriente aumentará a 63% de su valor máximo en una constante de tiempo t = L/R.

Tiempo, t

Ii

Aumento de corriente

t

0.63I

Inductor

La corriente inicial es cero debido al rápido cambio de corriente en la bobina. Eventualmente, la fem inducida se vuelve cero, lo que resulta en la corriente máxima V/R.

Resumen (Cont.)

( / )R L tVi e

R

La corriente se reducirá a 37% de su valor

máximo en una constante de tiempo t = L/R.

La corriente inicial, I = V/R, se reduce a cero conforme se disipa la fem en la bobina.

Tiempo, t

Ii

Current Decay

t

0.37I

Inductor

Reducción de corriente

Resumen (Cont.)Cuando se carga un capacitor, la carga se eleva a 63% de su máximo mientras la corriente disminuye a 37% de su valor máximo.

Tiempo, t

Qmax

q

Aumento de carga

Capacitor

t

0.63 I

/(1 )t RCQ CV e RCt

/t RCVi e

R

Tiempo, t

Ii

Current Decay

Capacitor

t

0.37 I

Reducción de carga

CONCLUSIÓN: Corriente transitoria - Inductancia