El Triángulo de Tartaglia

por Paulino Valderas

En Matemáticas hay infinidad de triángulos, y algunos de ellos merecen especial mención. El Triángulo de Tartaglia no es un

triángulo en el sentido geométrico de la palabra, sino una colección de números dispuestos en forma triangular que se obtienen de una

manera muy sencilla.

 

...

Como se puede observar, en la cúspide del triángulo hay un 1, en la segunda fila hay dos 1, y las demás filas empiezan con 1 y terminan con 1, y cada número intermedio se obtiene sumando los dos que

se encuentran justo encima.

El Triángulo de Tartaglia, llamado también de Pascal, es infinito. Podemos construir todas las filas que queramos. En el ejemplo de

arriba hemos desarrollado once filas. Por convenio, a la primera fila, que solo contiene el 1, le llamaremos fila 0, a la segunda fila, fila 1, a

la tercera, fila 2, para que así coincida el nombre de la fila con el número que viene detrás del primer 1 y antes del último 1, etc.

          1             fila 0

        1   1           fila 1

      1   2   1         fila 2

    1   3   3   1       fila 3

  1   4   6   4   1     fila 4

1   5   10   10   5   1         fila 5...

El Triángulo de Tartaglia está relacionado con el desarrollo de las potencias de un binomio y con los números combinatorios.

Si queremos desarrollar las potencias de una suma, tenemos:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

etc...

Como se puede comprobar si nos fijamos en los coeficientes que acompañan a las potencias de a y de b, son los mismos números que

los de la fila correspondiente del Triángulo. Así por ejemplo:

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4

Es fácil también darse cuenta de que a aparece elevado a la potencia máxima y luego en cada sumando va disminuyendo la potencia (en el

último ejemplo, a4, a3, a2, etc.), mientras que b no aparece en el primer término, sí en el segundo, y luego va aumentando su potencia

hasta acabar solo en el último término.

Cada número que aparece en el Triángulo se puede calcular independientemente del resto. Si queremos averiguar un número de

la fila 20, por ejemplo, no es necesario calcular todas las filas anteriores. Cada número en realidad es un número combinatorio;

para obtenerlos hay una fórmula un poco rara, donde aparecen dos números uno encima de otro entre paréntesis y luego aparecen

números con signos de admiración, los factoriales. La fórmula en concreto es:

Veamos un ejemplo de cálculo para entender la fórmula:

Hemos calculado el número combinatorio 8 sobre 5 y nos ha dado 56. Si nos fijamos en el Triángulo de Tartaglia de arriba del todo veremos

que en la fila 8, en el quinto lugar si no contamos el primer 1,

tenemos 56.

Cada número del Triángulo es el resultado de calcular el número combinatorio que corresponde a su fila y al lugar que ocupa dentro

de ella. El Triángulo se puede expresar también así:

 

...Si por ejemplo queremos calcular el término de la cúspide, cero sobre cero, podemos aplicar la fórmula, teniendo en cuenta que el factorial

de cero es por definición igual a uno, 0! = 1.

De forma análoga se pueden ir calculando todos los restantes números combinatorios y se puede comprobar que van coincidiendo

con los términos del Triángulo.

Con todo lo que hemos explicado no será muy difícil comprender la fórmula general para el cálculo del desarrollo de un binomio, llamada

el Binomio de Newton:

Para terminar, queremos recordar al matemático italiano, del que procede el nombre, Niccolò

Fontana, apodado Tartaglia porque era tartamudo. Vivió entre los años 1500 y 1557, nació en Brescia,

Italia y enseñó en varias universidades hasta

establecerse en Florencia en 1542. Resolvió la ecuación de tercer grado y escribió tratados sobre artillería.

El Triángulo de Tartaglia tiene algunos aspectos interesantes que trataremos en un próximo artículo.

  Última actualización de esta página en la web: 12/10/2006 . Publicada por primera vez: 01/10/2003

Créditos y Colaboraciones

Pautas en el triángulo

Diagonales

La primera diagonal es, claro, sólo "unos", y la siguiente son todos los números consecutivamente (1,2,3, etc.)

La tercera diagonal son los números triangulares

(La cuarta diagonal, que no hemos remarcado, son los números tetraédricos.)

Pares e impares

Si usas distintos colores para los números pares e impares, obtienes un patrón igual al del Triángulo de Sierpinski

Sumas horizontales

¿Notas algo en las sumas horizontales? ¿Hay algún patrón? ¡Es increíble!

Se dobla cada vez (son las potencias de 2).

Sucesión de Fibonacci

Prueba esto: empieza con un 1 de la izquierda, da un paso arriba y uno al lado, suma los cuadrados donde caigas (como en el dibujo)... las sumas que salen son la sucesión de Fibonacci.

(La sucesión de Fibonacci se hace sumando dos números para conseguir el siguiente, por ejemplo 3+5=8, después 5+8=13, etc.)

Simetría

El triángulo es simétrico, esto quiere decir que se ve igual desde la derecha que desde la izquierda

Usar el triángulo de Pascal

Caras y cruces

El triángulo de Pascal te dice cuántas combinaciones de caras y cruces de pueden salir tirando monedas. Así puedes averiguar la "probabilidad" de cualquier combinación.

Por ejemplo, si tiras una moneda tres veces, sólo hay una manera de sacar tres caras (CCC), pero hay tres maneras de sacar dos caras y una cruz (CCX, CXC, XCC), también tres de sacar una cara y dos cruces (CXX, XCX, CXX) y sólo una de sacar tres cruces (XXX). Esta es la pauta "1,3,3,1" en el triángulo de Pascal.

Tiradas Resultados posibles (agrupados) Triángulo de Pascal

1HT

1, 1

2HH

HT THTT

1, 2, 1

3

HHHHHT, HTH, THHHTT, THT, TTH

TTT

1, 3, 3, 1

4

HHHHHHHT, HHTH, HTHH, THHH

HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHHHTTT, THTT, TTHT, TTTH

TTTT

1, 4, 6, 4, 1

  ... etc ...  

¿Cuál es la probabilidad de sacar exactamente dos caras con 4 monedas?

Hay 1+4+6+4+1 = 16 (o 4×4=16) resultados posibles, y 6 de ellos dan exactamente dos caras. Así que la probabilidad es 6/16, o 37.5%

Combinaciones

El triángulo también muestra cuántas combinaciones de objetos son posibles.

Por ejemplo, si tienes 16 bolas de billar, ¿de cuántas maneras puedes elegir tres de ellas (sin hacer diferencia del orden en que las eliges)?

Respuesta: baja a la fila 16 (la primera es la fila 0), y mira 3 lugares a la derecha, allí está la respuesta, 560. Aquí tienes un trozo del triángulo en la fila 16:

1 14 91 364 ...

1 15 105 455 1365 ...1 16 120 560 1820 4368 ...

Polinomios

El triángulo de Pascal también te da los coeficientes en la expansión de un binomio:

Potencia Expansión polinomial Triángulo de Pascal2 (x + 1)2 = 1x2 + 2x + 1 1, 2, 13 (x + 1)3 = 1x3 + 3x2 + 3x + 1 1, 3, 3, 14 (x + 1)4 = 1x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1 1, 4, 6, 4, 1  ... etc ...  

Las 15 primeras líneas

Como referencia, aquí tienes las filas 0 a 14 del triángulo de Pascal

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1 1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1

Los chinos ya lo conocían

Este dibujo se titula "El antiguo gráfico del método de los siete cuadrados multiplicadores". Ver imagen completa

Esto es de la portada del libro de Chu Shi-Chieh "Ssu Yuan Yü Chien" (Espejo precioso de los cuatro elementos), escrito en 1303 (¡hace más de 700 años!), y en el libro se dice que el triángulo ya era conocido más de dos siglos antes.

El quincunce

Esta asombrosa máquina creada por Sir Francis Galton es un triángulo de Pascal hecho con palos. Se llama quincunce.

Las bolas se dejan caer sobre el primer palo y rebotan hasta abajo del triángulo donde caen en pequeños contenedores.

Parece completamente aleatorio (y lo es) pero después de un rato verás que las bolas caen en un bonito patrón: la distribución normal.

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