El Triángulo Reuleaux

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Matemáticas. Geometría. Breve trabajo sobe el triangulo de Reuleaux

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El tringulo Reuleaux es la versin ms conocida de los llamados polgonos de Reuleaux, denominados as por el cientfico e in

CONCEPTOEl tringulo Reuleaux es la versin ms conocida de los llamados polgonos de Reuleaux, Estos polgonos tienen la particularidad de ser curvas de anchura constante, es decir, donde todos los dimetros trazados desde cualquiera de las curvas tienen la misma longitud.

Las curvas de anchura constante ya eran conocidas en matemticas con anterioridad pero su nombre se debe a que fueron estudiados por Franz Reuleaux (1829-1905), ingeniero y matemtico que fue profesor del Real Instituto Tcnico de Berln y que llev a cabo una investigacin general de los dispositivos mecnicos que haban tenido mayor una mayor influencia en la historia.

El tringulo es la forma ms sencilla de este tipo de polgonos, donde la distancia entre dos lneas tangentes paralelas opuestas y el borde es el mismo, independientemente de la direccin de esas lneas.

El tringulo de Reuleaux es slo una de la infinidad (en sentido literal) de curvas de ancho constante que pueden construirse. Siguiendo el mismo mtodo utilizado para construir el tringulo, se puede construir una curva de anchura constante partiendo de cualquier polgono regular, siempre y cuando el nmero de lados de ste sea impar.CONSTRUCCINPara construir un tringulo de Reuleaux hay que partir de un tringulo equiltero. Situando el comps en uno de los vrtices de dicho tringulo se traza una circunferencia cuyo radio es el lado del tringulo, repitiendo lo mismo en los otros dos vrtices. Borrando el tringulo inicial, el espacio central que queda entre los tres crculos es el tringulo de Reuleaux, una curva de anchura constante.

Partiendo de un tringulo equilatero de vrtices A, B y C utilizando un comps y, con centro en el vrtice A, se traza el arco de circunferencia que va de B a C. Luego, con centro en B, se repite la operacin trazando el arco que une C con D y, por ltimo, se hace lo mismo con el tercer lado.

PROPIEDADES

El matemtico francs J. E. Barbier (1839-1889) demostr que todas las curvas de ancho constante tenan la misma rea. Como la circunferencia es una de ellas, se deduce que para un ancho dado d, el rea de cualquiera de estas figuras es siempre

Otras propiedades de las curvas de ancho constante son:1. Toda figura de ancho constante uno tiene dimetro uno.

2. Toda figura de ancho constante uno tiene permetro p.3. La nica figura de ancho constante totalmente simtrica es el crculo.

4. Entre las figuras de ancho constante uno, la de ms rea es el crculo y, la de menor rea, es el tringulo de Reuleaux.

El teorema de Blaschke-Lebesgue establece que el tringulo de Reuleaux tiene menor superficie que cualquier otra curva de anchura constante dada. Esta rea se define por la formula indicada a la derecha donde r es el radio constante.

Las puntas del tringulo de Reuleaux pueden redondearse sin que ste pierda su propiedad de curva de anchura constante. Para ello basta con prolongar los lados del tringulo una longitud arbitraria y, haciendo centro en los vrtices con comps, unir los extremos de las prolongaciones mediante arcos de circunferencia.

APLICACIONES

Adems de ser una curiosidad geomtrica, el tringulo de Reuleaux tiene diversas aplicaciones prcticas. Debido a que todos sus dimetros tienen la misma longitud, el tringulo Reuleaux, junto con los dems polgonos regulares de Reuleaux, es la respuesta a la pregunta "Adems de un crculo, qu otra forma puede tener una tapa de alcantarilla para que no caiga a travs del agujero?" El rotor de un Motor Wankel tiene como pieza fundamental un tringulo de Reuleaux.El motor Wankel es un tipo de motor de combustin interna, inventado por Felix Wankel, que utiliza rotores en vez de los pistones de los motores alternativos. Al igual que un motor de pistones, el rotativo emplea la presin creada por la combustin de la mezcla aire-combustible.En un motor alternativo en el mismo volumen (cilindro) se efectan sucesivamente 4 diferentes trabajos: admisin, compresin, combustin y escape. En un motor Wankel se desarrollan los mismos 4 tiempos pero en lugares distintos de la carcasa o bloque; es decir, viene a ser como tener un cilindro dedicado a cada uno de los tiempos, con el pistn movindose continuamente de uno a otro. Ms concretamente, el cilindro es una cavidad con forma de 8, dentro de la cual se encuentra un pistn con forma de tringulo de Reuleaux que realiza un giro de centro variable. El pistn triangular sigue un recorrido en el que mantiene sus 3 vrtices en contacto con el alojamiento, delimitando as tres compartimentos separados de mezcla. A medida que gira dentro de la cmara, cada uno de los 3 volmenes se expanden y contraen alternativamente; es esta expansin-contraccin la que succiona el aire y el combustible hacia el motor, comprime la mezcla, extrae su energa expansiva y la expele hacia el escape.

Este pistn comunica su movimiento rotatorio a un cigeal que se encuentra en su interior, y que gira ya con un centro nico.

Una broca con forma de tringulo de Reuleaux puede taladrar un agujero con una forma casi exacta a la de un cuadrado perfecto.Una broca especial basada en el tringulo de Reuleaux, inventada en 1914 por Harry Watt, permite perforar agujeros casi cuadrados, siempre que se disponga de un taladro especial que la haga girar de la manera adecuada.

El que sea de ancho constante, implica que si inscribimos el triangulo en un cuadrado, el tringulo siempre tocar los cuatro lados del cuadrado. Al girar el tringulo de Reuleaux, con el epicentro descentrado, dibuja un cuadrado, o mejor dicho, un cuasi-cuadrado, puesto que la figura resultante tiene los bordes ligeramente redondeados. La taladradora debe tener el centro descentrado, es decir, realizar un pequeo crculo en cada rotacin, para que al girar la broca perfore un seccin cuadrada. Un tringulo de Reuleaux puede rodar fcilmente, pero no funciona bien como rueda debido a que no tiene un centro fijo de rotacin.Las ruedas son dispositivos mecnicos que se construyen siguiendo el perfil de una circunferencia. La utilizacin de ruedas para el desplazamiento de vehculos sobre superficies planas se basa en que todos los radios de una rueda tienen la misma longitud, ya que la circunferencia se define como el lugar geomtrico de los puntos que equidistan del centro. Gracias a esta propiedad, si el eje de giro de la rueda est en el centro de sta, el desplazamiento es uniforme en lo que a la altura se refiere.

Existe otra forma de desplazamiento ms primitiva que en vez de ruedas utiliza rodillos. Si colocamos un bloque muy pesado sobre varios rodillos, al rodar stos, el bloque se traslada sin subir ni bajar, siempre a la misma altura sobre el suelo. Este tipo de desplazamiento es posible gracias a una propiedad de las circunferencias que no tiene nada que ver con la que se ha descrito antes. Hasta tal punto se trata de propiedades diferentes que, mientras que las ruedas slo pueden ser circulares, los rodillos pueden adoptar formas muy variadas.La propiedad que hace que los rodillos funcionen bien no tiene nada que ver con el centro de la circunferencia, si no con el ancho de sta, que permanece constante sea cual sea la direccin en la que se mida.Es claro que si para dos direcciones diferentes el ancho de una figura no es el mismo, entonces esta figura, al ser usada como seccin de un rodillo, producir en el bloque que se pretende trasladar un movimiento hacia arriba y hacia abajo. Tomando por ejemplo una elipse se observa claramente que el ancho segn la direccin de eje mayor no es el mismo que si lo tomamos en la direccin del eje menor. No es difcil imaginar lo que suceder si utilizamos rodillos en forma de elipse para trasladar un bloque de piedra: ste ir subiendo y bajando hasta que se desestabilice y caiga al suelo.

Por tanto, ya que los tringulos de Reuleaux tienen anchura constante, los rodillos cuyas secciones transversales son tringulos de Reuleaux funcionan tan bien como los rodillos circulares. Estos rodillos al rodar, nunca pierden el contacto entre el suelo y el bloque, ya que siempre estn pivotando sobre uno de los vrtices y la distancia de ste al arco de circunferencia es constante.

La existencia de los polgonos de Reuleaux es una buena demostracin de por qu no se debe usar solamente la medicin del dimetro para verificar que un objeto tiene seccin circular.

Franz Reuleaux

Broca

Seccin de la broca