EKUAZIO BIKARRATUAK · 2017. 12. 14. · DBH-4 MATEMATIKA Laguntza neurriak Orr. 1 EKUAZIO...
Transcript of EKUAZIO BIKARRATUAK · 2017. 12. 14. · DBH-4 MATEMATIKA Laguntza neurriak Orr. 1 EKUAZIO...
DBH-4 MATEMATIKA Laguntza neurriak
Orr. 1
EKUAZIO BIKARRATUAK GOGORATU ________________________________ • Forma honetakoak dira: ax4 + bx2 + c = 0, a≠0 delarik. • Ebazteko, aldagaia alda dezakegu, x2 = z esanez
Horrela, zera lortuko dugu: az2 +bz + c = 0, eta bigarren mailako ekuazioa da.
• Ekuazioa ebatzi, z-ren balioa (edo balioak) lortuz, eta aldagai-aldaketa deseginez: zx ±=
ARIKETA EBATZIAK
Ebatzi: a) x4 – 13x2 + 36 = 0 b) x4 – 3x2 –4 = 0 c) x4 – 25x2 = 0 a) x4 – 13x2 + 36 = 0 x2 =z z2 – 13z + 36 = 0
9zeta4z2
5132
25132
14416913z ==→±
=±
=−±
=
z=4 → x2 = 4 → x= 4± → x= -2 eta x= 2
z=9 → x2 = 9 → x= 9± → x= -3 eta x= 3 b) x4 – 3x2 –4 = 0 x2 =z z2 + 3z – 4 = 0
2
532
2532
1693z ±−=
±−=
+±−= → z= -4 eta z= 1
z= -4 → x2 = -4 → Ez du soluziorik z= 1 → x2 = 1 → x= 1± → x= -1 eta x= 1
c) x4 – 25x2 = 0 → x2 (x2 – 25)=0 → ⎪⎩
⎪⎨⎧
=−=→=−
=→=
5xeta5x025x0x0x
2
2
x=0; x= -5 eta x= 5 PROPOSATUTAKO ARIKETAK
Ebatzi honako ekuazio hauek Ariketak Soluzioak Ariketak Soluzioak
a) x4-5x2+4=0 2; -2; 1; -1 h) x4+1=0 Ez du soluziorik
b) x4+x2+2=0 Ez du soluziorik i) 4x4-17x2+4=0 ½; - ½; 2; -2
c) x4-7x2-18=0 -3; 3 j) x4+x2=0 0
d) x4-1=0 -1; 1 k) 9x4-46x2+5=0 31;
31;5;5 −
−
e) x4-10x2+9=0 3; -3; 1; -1 l) x4-
45 x2 +
41 =0 1; -1;
21;
21
−
f) x4-5x2-36=0 3; -3 m) x2(x2-17)+16=0 4; -4; 1; -1
g) x4 –4x2=0 0; 2; -2 n) x4+100 = 29x2 5; -5; 2; -2
4 soluzio ditu
2 soluzio ditu
3 soluzio ditu
DBH-4 MATEMATIKA Laguntza neurriak
Orr. 2
EKUAZIO FAKTORIZATUAK GOGORATU ________________________________ • (x-a) (x-b) ... (x-k) = 0 motako ekuazioak honela ebazten direla: faktore bakoitza zerora
berdinduz, biderkadura berdin zero delako, faktoreetako bat ere berdin 0 bada. ARIKETA EBATZIA Ebatzi x4+3x3-7x2-27x-18=0 ekuazioa. Bi erro oso aurkitu behar ditugu 18ren zatitzaileen artean. Horrela, bigarren mailako polinomiora helduko gara, x2-9. x4+3x3-7x2-27x-18 = (x+1) (x+2) (x2-9) = 0
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−==→=−
−=→=+−=→=+
3xeta3x09x
2x02x1x01x
2
horiek dira ekuazioaren soluzioak PROPOSATUTAKO ARIKETAK Ebatzi honako ekuazio hauek: a) (x-3) (x-25) (x+1) = 0 3; 25; -1
b) x (x+4) (x-2) = 0 0; 4; -2
c) (2x-1) (6x-15)2 = 0 25;
211
d) x (x2-4) (3x+18) = 0 0; 2; -2; -6
e) x2 (x+2) (x2-1) = 0 0; -2; 1; -1
f) (x+2) (x2+1) = 0 -2
g) (x+3)2 (x2+2) = 0 -3
h) (-x-1)2 (x2-5) = 0 -1; 5;5 −
Deskonposatu faktoreetan eta ebatzi honako ekuazio hauek: a) x4-x3-13x2+x+12 = 0 (x-1)(x+1)(x-4)(x+3)=0 Soluzioak: 1; -1; 4; -3
b) x3-12x2+41x-30 = 0 (x-5)(x-6)(x-1)=0 Soluzioak: 5; 6; 1
c) 5x3-20x2-20x+80 = 0 5(x+2)(x-2)(x-4)=0 Soluzioak: -2; 2; 4
d) x3-13x+12 = 0 (x-1)(x-3)(x+4)=0 Soluzioak: 1; 3; -4
e) 6x3-15x2+12x-3 = 0 3(x-1)2 (2x-1)=0 Soluzioak: 1; ½
f) x3+x-2 = 0 (x-1)(x2+x+2)=0 Soluzioak: 1
g) x3-9x = 0 x (x+3)(x-3)=0 Soluzioak: 0; -3; 3
h) x4-2x3+x2 = 0 x2 (x-1)2=0 Soluzioak: 0; 1
i) x3+x2-2x = 0 x (x-1)(x+2)=0 Soluzioak: 0; 1; -2
j) (x2+x)(4x2-1) = 0 x (x+1)(2x+1)(2x-1)=0 Soluzioak: 0; -1; ½; - ½
1 3 -7 -27 -18-1 -1 -2 9 18
1 2 -9 -18 0-2 -2 0 18
1 0 -9
DBH-4 MATEMATIKA Laguntza neurriak
Orr. 3
IZENDATZAILEAN x DUTEN EKUAZIOAK GOGORATU ________________________________
Mota honetako ekuazioak ebazteko, zatikiak izendatzaile komunera laburtu behar dira, izen-datzaileen mkt aurkituz. Ekuazioaren bi ataletan izendatzaile bera daukagunean, zenbakitzai-leak berdinduko ditugu. Prozesu honetan, soluzio faltsuak ager daitezke; horregatik, derrigo-rrezkoa da lortu diren soluzio guztiak egiaztatzea, hasierako ekuazioan ordezkatuz. ARIKETA EBATZIA
Ebatzi 1x
3x2xx3x
xx3x
222 −−
=++
−−− ekuazioa.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−+=−
+=+
−=−
1)1)(x(x1x
1)x(xxx
1)(xxxx
2
2
2
1)1)(xx(x3x)x(2
1)1)(xx(x1)3)(x(x1)3)(x(x
+−−
=+−
−+−+− → -4x = 2x-3x2
3x2-6x = 0 →
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=−
−→=
⎩⎨⎧
=
dubalio,34
65
2322x
zatitu0rekindaitekeezinetadituelako,anulatzenleakizendatzaigaikolehenengobalio,duezhonekSoluzio
0x
Soluzioa x=2 da. PROPOSATUTAKO ARIKETAK
Ariketak Soluzioak Ariketak Soluzioak
a) x
3x3xx133x
1x1x
2
2 −+=
−
−+
−+ 2
b)
32
x3x
x3x
2=
++
− 3
c) 04x
3x82x
3x2x
42
2=
−
−+
−+
+ 0
d)
22x6x722
x15 −
=− 3; 6
e) 2
6x3x112x
2x8 +
=−−
−− -2; 4
f) 1
6xx12
7x8
=−−
++
-3; 10
Mkt= x(x-1)(x+1). Zatikiak izendatzaile komunera laburtzeko, mktizendatzaile bakoitzarekin zatituko dugu, eta emaitza zenbakitzai-learekin biderkatuko dugu.
DBH-4 MATEMATIKA Laguntza neurriak
Orr. 4
EKUAZIOAK ERROEKIN ARIKETA EBATZIA
Ebatzi x113x =++ ekuazioa 1-x13x =+ Erroa isolatu
( ) 221)(x13x −=+ Bi atalak ber bi egiten dira.
Kontuz! Karratua jasotzean, soluzio faltsuak ager daitezke. Ezinbeste- koa da soluzioak egiaztatzea hasierako ekuazioan. 3x+1=x2-2x+1
x2-5x = 0 → {
soluzioabada5x511535x
soluzioadaez0x0211030x
=→=++⋅→=
=→≠=++⋅→=
Soluzio bakarra x=5 du. ARIKETA PROPOSATUAK
Ariketak Soluzioak a) x112xx −=−− 1; ½
b) 3x52x75xx 2 −=+−+− 3
c) 42x43x =++ ¾
d) 13x7x =−− 2
e) 2x365x =−+ -1; - ¾
f) 12x4x 2 −=− 2
g) 8x3x1 −=−− 7
h) x5x43x3 +=−+ -1; 11/4
DBH-4 MATEMATIKA Laguntza neurriak
Orr. 5
EKUAZIO SISTEMAK ARIKETA EBATZIA
Ebatzi honako sistema hau, ordezkatuz, berdinduz eta murriztuz: ⎩⎨⎧
=−=+
112y3x5y2x
Ordezkapen-metodoa: Ekuazioetako ezezagun bat bakandu eta, beste ekuazioan, lortu den balioa ordezkatuko dugu:
1y3x1325y3x217x
114x103x112x)2(53x
2x5y112y3x
5y2x−==→
⎭⎬⎫
−=⋅−=→=→==+−
→⎭⎬⎫
=−−−=
⎭⎬⎫
=−=+
Berdinketa-metodoa: Ezezagun bera bakanduko dugu bi ekuazioetan, eta lortutako balioak berdindu egingo ditugu:
⎭⎬⎫
−=→⋅−==→=
⎪⎭
⎪⎬⎫
−=+−−−
=−
⎪⎭
⎪⎬⎫
−−
=
−=
⎭⎬⎫
=−=+
1y235y3x217x
3x114x10x23x112x5
23x11y
2x5y
112y3x5y2x
Laburketa-metodoa: Ekuazio bakoitza zenbaki egokiarekin biderkatuko dugu. Batuketa egi-tean, ezezagunetako bat desagertzeko moduan:
⎭⎬⎫
=−=+
112y3x5y2x
⎭⎬⎫
=−=+
112y3x102y4x
7x =21 → x=3 Laburketa-metodoa berriz erabiliz ere aurki genezakeen y-ren balioa
⎭⎬⎫
=+=+
−⋅⋅
⎭⎬⎫
=−=+
22-4y6x-153y6x
2)(3
112y3x5y2x
7y= -7 → y= -1 ARIKETA PROPOSATUAK Ebatzi sistema bakoitza, adierazten den metodoa erabiliz a) Ordezkapena:
⎩⎨⎧
−=+=−
75yx123y2x
x=3; y= -2
b) Berdinketa
⎩⎨⎧
=+−=+
0y2x3y4x
x= ½ ; y= 1
c) Laburketa (birritan)
⎩⎨⎧
−=+−=−
133y7x12y5x
x= -1; y= -2
2x+y=5 → 6+y=5 y= -1
DBH-4 MATEMATIKA Laguntza neurriak
Orr. 6
Ebatzi, egokien deritzozun metodoa erabiliz:
a) ⎩⎨⎧
+−=−=+yx
yx26
1735
x=-4; y=1
b)
⎩⎨⎧
−=+=−
952173
yxyx
x= -2; y= -1
c) ⎩⎨⎧
−=−=
72328
yxyx
x= 7; y=7
d)
⎩⎨⎧
=+=−
63y5x13y2x
x=1; y= 1/3
e) ⎩⎨⎧
=−−=−325y53x
123y45x
x=1; y=2
f)
⎩⎨⎧
=+=−
24y6x32y3x
x=2/3; y= -½
Ebatzi:
a)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=−+
+
=−
−+
29y)2(x
2y3x
511
5y)2(x
3yx
x=0; y= 3
b)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
−+−
=+
−+
113
yx5)y2(x
27
2yx
31)5(x
x= 2/3; y= - ½
c)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=−
−+
41
4yx
02
2)3(y5
1)2(x
x= -1; y= 2
d)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=+−
+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−
629y)2(x
31x
225
3yx125x
x=5/2; y= ½
DBH-4 MATEMATIKA Laguntza neurriak
Orr. 7
SISTEMA EZ_LINEALAK ARIKETA EBATZIA
Ebatzi honako sistema hauek:
a) ⎪⎩
⎪⎨⎧
=−
=+
3yx
5yx22
22
b) ⎩⎨⎧
=+
=+
72yx
2yx2
a) Laburketa metodoa birritan erabiliko dugu:
35
22
22
=−=+
yxyx
35
22
22
−=+−=+
yxyx
2x2 = 8 → x2 = 4 → x= -2 eta x= 2 2y2 = 2 → y= -1 eta y= 1 Lau soluzio daude: (-2, -1); (-2, 1); 2, -1) eta (2, 1) b) Ordezkapen-metodoa erabiliko dugu:
3xeta1x032xx72x4x
7x)2(2x
x2y72yx
2yx2
2
22 =−==−−=−+
⎭⎬⎫
=−+
−=
⎭⎬⎫
=+=+
⎭⎬⎫
−=−=→==−−=→−=1323
3)1(21yxyx
Soluzioak: (-1,3) eta (3, -1)
ARIKETA PROPOSATUAK Ebatzi honako ekuazio-sistema hauek:
a) ⎩⎨⎧
=−
=+
0yx
3y2x22 (3, -3); (1,1)
b)
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−
=+
133
18222
22
yx
yx (-1,-4); (-1,4)
(1,-4); (1,4)
c) ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=−
102
022
2
yx
yx (-2,2); (2,2)
d)
⎩⎨⎧
−==+
213
xyyx
(1, -2); (- 2/3, 3)
e) ⎪⎩
⎪⎨⎧
=−
=−
72
305322
22
yx
yx (5,3); (5, -3)
(-5,3); (-5, -3)
f)
⎩⎨⎧
=+
=+−
03
0122 xyx
yx (0,1); (- 3/7, 1/7)
DBH-4 MATEMATIKA Laguntza neurriak
Orr. 8
DEFINIZIO EREMUA ARIKETA PROPOSATUAK 1. Aurkitu hurrengo funtzio hauen definizio eremua:
a) 1xy 2 += R b) 1xy −= [1,∞) c) x1y −= (-∞,1]
d) 2x4y −= [-2,2] e) 4xy 2 −= (-∞,-2]∪[2, ∞) f) 1x
1y2 −
= (-∞,-1)∪(1, ∞)
g) 1x
1y−
= (1,∞) h) x1
1y−
= (-∞,1) i) 2x4
1y−
= (-2,2)
j) 4x
1y2 −
= (-∞,-2)∪(2,∞) k) y=x3-2x+3 R l) x1y = R-{0}
m) 2x
1y = R-{0} n)
4x1y
2 −=
R-{-2,2} o) 4x
1y2 +
= R
p) 1x
1y3 +
= R- { }2,2−
2. Aurkitu funtzio hauen definizio eremua:
a) xx
3y2 +
= R-{-1,0} b) 22)(x
xy−
= R-{2} c) 12x1xy+−
= R-{- 1/2 }
d) 32xx
1y2 ++
= R e) 2x5x
2y−
= R-{0,5} f) 2x
1y2 −
= R- { }2,2−
3. Aurkitu funtzio hauen definizio eremua: a) 9xy 2 −= x2-9≥0 (x-3)(x+3)≥0
(-∞,-3]∪[3,∞) b) 43xxy 2 ++= x2+3x+4≥0 R
c) 22x12xy −= 12x-2x2≥0 2x(6-x)≥ [0,6]
d) 54xxy 2 −−= x2-4x-5≥0 (x+1)(x-5)≥0 (-∞,-1]∪[5,∞)
e) x4
1y−
= 4-x>0, 4>x (-∞,4) f)
3xx
1y2 −
= x2-3x>0 x(x-3)>0 (-∞,0)∪(3,∞)
g) 23 xx
1y−
−=
x3-x2=0 x2(x-1)=0 R-{0,1} h)
1x2xy4 −
= x4-1=0 (x-1)(x+1)(x2+1)=0 R-{-1,1}
DBH-4 MATEMATIKA Laguntza neurriak
Orr. 9
FUNTZIO LINEALAK BI PUNTUTIK PASATZEN DEN ZUZENA
ARIKETA EBATZIA
Aurkitu A(2,4) eta B(3,7) puntuetatik pasatzen den zuzenaren ekuazioa.
a) Zuzenaren malda 32347m =
−−
= da.
b) Ekuazioa puntu-malda eran zera da: y=4+3(x-2) → y=3x-2 Ekuazioa lortzeko beste bide bat Zuzenaren ekuazioa idatziko dugu: y= mx + n A(2,4) puntutik pasatzea nahi badugu, zerak izan beharko du: 4= m.2 + n B(3,7) puntutik pasatzea nahi badugu, zerak izan beharko du: 7= m.3 + n Sistema ebatziz zera dugu, m=3 eta n= -2; hau da, y= 3x - 2 ARIKETA PROPOSATUAK 1. Aurreko probleman A-tik eta B-tik pasatzen den zuzenaren ekuazioa idazteko, A puntua
hartu dugu. Egiaztatu zuzen bera lortuko duzula B puntua hartuz. 2. Idatzi ondoko puntuetatik pasatzen den zuzenaren akuazioa: a) P(1,0), Q(-5,6) y= -x +1 b) P(3,0), Q(0,-4)
3)(x34y −=
c) P(5,-2), Q(-3,1) 5)(x
832y −−−=
d) P(-3/2,1), Q(-1,1/4) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
23x
231y
e) P(4,5), Q(-2,4) y= 4+1,6(x-2) f) P(125,50), Q(200,25) 125)(x
3150y −−=
3. Aukeratu zuzen hauetariko bakoitzaren bi puntu, eta idatzi ekuazioa:
a) 1)(x535y −+= b) 20)(x
615y −−=
c) y= 0,1 + 0,025(x-6)
d) y= 30 + 12(x-5) e) y= 1000
DBH-4 MATEMATIKA Laguntza neurriak
Orr. 10
FUNTZIO KOADRATIKOAK. PARABOLAK ARIKETA PROPOSATUAK 1. Irudikatu parabola hauek a) y=x2-2x+3 b) y= -x2-2x-3 c) y=x2-6x+5 d) y= 2x2-10x+8 e) y=
31 x2-x+3 f) y=
41 x2+x-2
2. Irudikatu beheko parabolak. Horretarako, aurkitu erpina, koordenatu ardatzekin dituzten ebaki puntuak eta erpinetik hurbil dagoen punturen bat.
a) y=0,5x2-3 b) y= -x2+3 c) y= 2x2-4 d) y= -2
3x 2
Erpina: /0,-3). Ardatzarekin ebaki puntuak ( ) ( ) 3)(0,;,06;,06 −−
Erpina: (0,3) Ardatzarekin ebaki puntuak: ( ) ( ) (0,3);,03;,03−
Erpina: (0,-4) Ardatzarekin ebaki puntuak: ( ) ( ) (0,-4);,02;,02−
Erpina: (0,0) Ardatzarekin ebaki puntuak: (0,0)
3. Irudikatu funtzio hauek:
a) y=x2+2x+1 b) y= 2
2x +3x+1 c) y= -x2+3x-5 d) y= 2x2
+3x+6
DBH-4 MATEMATIKA Laguntza neurriak
Orr. 11
ZATIKA DEFINITUTAKO FUNTZIOAK ARIKETA PROPOSATUAK 1. Adierazi funtzio hauek:
)[)[
( ) ⎪⎩
⎪⎨⎧
≥−
<+=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈∈+−
−∈+
=1x1,x
1x1,2xg(x)b)
3,7x4,30,x1,2xx
03,x1,x
f(x)a) 22
2. Adierazi grafiko batean funtzio hauek:
⎩⎨⎧
≥−<−−
=⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥<≤−
<−=
1xbaldin15)/2,(3x1xbaldin1,2x
yb)4xbaldin2,
4x0baldin2,x0xbaldin2,
ya)
3. Adierazi:
⎩⎨⎧
≥+−<+
=⎩⎨⎧
>−≤+
=2xbaldin62x
2xbaldin2)/3(2xyb)
2xbaldin3/2x2xbaldin2x/2
ya)
4. Egin ondoko funtzioen adierazpen grafikoak:
⎪⎩
⎪⎨⎧
≥
<−=
⎪⎩
⎪⎨⎧
−≥
−<−−−=
⎪⎩
⎪⎨⎧
>≤−
=⎪⎩
⎪⎨⎧
>−≤
=
0xbaldinx
0xbaldinxyd)
1x,x
1x2,4xxyc)
2x3,2x2x,xyb)
1x1)/3,(2x1x,xya)
2
2
2
2
22
5. Adierazi: ⎪⎩
⎪⎨⎧
≥−<+−
=⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥−<<−−
−≤−−
=1xbaldin3x
1xbaldin1/2xyb)1xbaldin1x
1x1baldin22x
1xbaldin1x
ya)2
2
DBH-4 MATEMATIKA Laguntza neurriak
Orr. 12
ALDERANTZIZKO FUNTZIOAK ARIKETA PROPOSATUAK 1. Adierazi funtzio hauek:
1x34xyf)
1x23xye)2
3x4yd)
3x4yc)
x4yb)
x4ya)
++
=++
=+−
=
−=
−==
2. Adierazi funtzio hauek:
3x1yd)
x1yc)
1x1yb)
1x1ya)
−−
=−
=−
=+
=
DBH-4 MATEMATIKA Laguntza neurriak
Orr. 13
ERRODUN FUNTZIOAK ARIKETA PROPOSATUAK 1. Adierazi ondorengo funtzioak:
3 xyc)x2yb)4x3ya) −=−=−+=
2. Adierazi funtzio hauek: x1yd)x2yc)3xyb)1xya) −=+=+−=−=