EXAMEN TEMA 1: NÚMEROS RACIONALES. 4º Op A

- Problemas con fracciones

1. Un ciclista recorre el primer día 2/7 de la distancia, el segundo día 1/8 y el tercero 3/14. ¿Qué fracción de distancia lleva recorrido?

Solución:

distancia la de 8

5 los recorridos Lleva

8

5

56

35

56

12

56

7

56

16

14

3

8

1

7

2 ==++=++

2. Un coche tiene que recorrer una distancia de 300 km en 3 horas. La primera hora recorre 3/9 de la distancia, la segunda 5/10 y la última 2/12. ¿Cuántos kilómetros recorrió cada hora?

Solución:

km. 5012

600300

12

2 :hora Tercera

km. 15010

1500300

10

5 :hora Segunda

km. 1009

900300

9

3 :hora Primera

==⋅

==⋅

==⋅

3. Raúl se gasta 5

2 de su paga en el cine y

4

1 en la compra de una revista ¿Qué

fracción de su dinero se ha gastado?

Solución:

20

13

20

5

20

8

4

1

5

2 =+=+

4. De una garrafa de agua, Juan saca 1/3 del contenido y Pedro 1/3 de lo que queda. Al final restan en la garrafa 4 litros de agua. ¿Cuál es la capacidad de la garrafa?

Solución:

Después de sacar Juan 3

1 quedan

3

2 del contenido.

Pedro saca 3

1 de lo que queda, es decir,

9

2

3

2

3

1=⋅

Queda: 9

4

9

51

9

2

3

11 =−=

+−

Por tanto, 9

4 equivalen a 4 litros.

9

1 equivale a 1 litro y

9

9 equivalen a 9 litros.

La garrafa contenía 9 litros de agua.

- Fracciones equivalentes y ordenar números racionales

1. Carlos dedica 2/9 de su tiempo a estudiar, 1/8 a hacer deporte y 1/3 a dormir. ¿Cuál es la actividad a la que dedica menos tiempo?

Solución:

deporte. hacer a tiempo menos dedica Carlos

3

1

9

2

8

1

72

24

72

16

72

9

72,3)m.c.m.(9,8

72

24

3

1Dormir

72

9

8

1Deporte

72

16

9

2Estudiar

<<→<<

=

=→=→=→

2. Ordena de forma decreciente las siguientes fracciones:

6

5y

3

4,

10

1,

5

4 −−

Solución:

300,3,6)m.c.m.(5,1

6

5

10

1

5

4

3

4

30

25

30

3

30

24

30

40

30

25,

30

40,

30

3,

30

24

6

5y

3

4,

10

1,

5

4

=

−>−>>→−>−>>→−−→−−

3. Reduce a común denominador y ordena de forma creciente las siguientes fracciones:

a)2

1,

4

3 y

6

5

b)20

7,

5

6 y

10

3

Solución:

5

6

20

7

10

3

20

24

20

7

20

6

20

6,

20

24,

20

7

10

3y

5

6,

20

7)b

6

5

4

3

2

1

12

10

12

9

12

6

12

10,

12

9,

12

6

6

5y

4

3,

2

1)a

<<→<<→→

<<→<<→→

4. Ordena de forma decreciente los números: 35,1− 5

7

9

8− 95,0

Solución:

Pasando los decimales a fracción se obtiene: 11

15

99

13535,1 −=−=−

5

3

90

54

90

55995,0 ==−=

Reduciendo las fracciones a denominador común:

495

675

11

15 −=− 495

693

5

7 = 495

440

9

8 −=− 495

297

5

3 =

Como 5

7>

5

3>

9

8− >11

15− , entonces 5

7> 95,0

>

9

8− > 35,1−

5. Reduce a común denominador las siguientes fracciones:

a)5

2y

2

3

b)6

5y

9

7

Solución:

a)2

3 y

5

2

m.c.m.(2,5) = 10

10

15

5·2

5·3

2

3 == y 10

4

2·5

2·2

5

2 ==

b)9

7 y

6

5

m.c.m.(9,6) = 18

18

14

2·9

2·7

9

7 == y 18

15

3·6

3·5

6

5 ==

- Operaciones con fracciones

1. Realiza las siguientes operaciones:

a) =

−−⋅−

4

3

2

1

14

4

2

1

7

2

b) =

−⋅+

2

4

1

5

3

3

4

5

2

Solución:a) 11/28 b) 91/80

2. Realiza las siguientes operaciones:

a) =−−+8

3

6

2

4

1

2

1

b) =+−⋅5

1

5

2

2

1

4

3

Solución:a) 1/24 b) 7/40

3. Realiza las siguientes operaciones

a) =−−+8

3

6

2

4

1

2

1

b) =⋅−⋅5

1

2

1

4

3

5

2

c) =−

+

4

3

6

2

3

1:

3

4

Solución:

a) 1/24 b) 1/5 c) 5/4

4. Realiza las siguientes operaciones

a) =−+⋅−5

3:

4

1

3

5

3

2

5

4

3

2:

10

4

b) =−+⋅

−

5

3:

4

1

3

5

3

2

5

1

3

2:

10

4

Solución:a) 121/60 b) -9/12

5. Realiza las siguientes operaciones

++−−−

+−

++−

−−

15

6

2

11

6

5c)

5

1

3

2:

2

1

4

3b)

125

124

25

3

25

3

5

1a)

Solución:

30

74

30

9925

10

33

6

5

10

33

6

5

10

102·65·11

6

51

5

6

2

11

6

5c)

5

1

5

1

4

3

4

3

5

1

2·2

3·1

4

3

5

1

3

2:

2

1

4

3b)

125

149

125

124

125

25

125

124

5

1

125

124

5

1

125

124

25

3

25

3

5

1a)

=+−=+−=

−−−=

++−

−−=

++−−−

=+−=+−=+−

=+=+=+

−−=++−

−−

Realiza las siguientes operaciones:

a) =−+⋅−5

3:

4

1

3

5

3

2

5

4

3

2:

10

4

b) =

−+−+

+−−

2

26

1

3

2

3

4

4

1

6

5

2

7

3

2

Solución:a) 121/60 b) -49/18

- Representación de fracciones y ordenar números racionales

1. El premio de un sorteo se reparte entre 12 personas. ¿Qué parte del premio recibirá cada uno de ellos? ¿Qué fracción corresponde a lo que reciben 5 personas? Representa el resultado en la recta real.

2. Representa en la recta real los siguientes números:

10

15− -0,333333... 0,75

9

1

Solución:

10

15− -1 -0,333.. 09

1 0,75 1

3. A partir de la unidad fraccionaria 1/3, representa en la recta real: 1/3, 4/3, 6/3, -2/3

Solución:

2. Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones:

8

5y

3

4

5

3

2

5

4

1

3

2

2

1

Solución:Reducimos a común denominador:

120

75

8

5y

120

160

3

4

120

72

5

3

120

300

2

5

120

30

4

1

120

80

3

2

120

60

2

1 =======

El orden de las fracciones, cuando todas tienen el mismo denominador, está dado por el orden de los numeradores, ya que si el numerador es menor, la fracción es menor.Ordenados de menor a mayor:

2

5

3

4

3

2

8

5

5

3

2

1

4

1 <<<<<<

3. Ordena de forma decreciente las siguientes fracciones:

6

5y

3

4,

10

1,

5

4 −−

Solución:

300,3,6)m.c.m.(5,1

6

5

10

1

5

4

3

4

30

25

30

3

30

24

30

40

30

25,

30

40,

30

3,

30

24

6

5y

3

4,

10

1,

5

4

=

−>−>>→−>−>>→−−→−−

4. Reduce a común denominador y ordena de forma creciente las siguientes fracciones:

c)2

1,

4

3 y

6

5

d)20

7,

5

6 y

10

3

Solución:

5

6

20

7

10

3

20

24

20

7

20

6

20

6,

20

24,

20

7

10

3y

5

6,

20

7)b

6

5

4

3

2

1

12

10

12

9

12

6

12

10,

12

9,

12

6

6

5y

4

3,

2

1)a

<<→<<→→

<<→<<→→

- Fracción generatriz

1. Calcula, pasando a fracción, las siguientes operaciones:

0,777...0,333...c)

8...1,928928929...3,82982982b)

2,3444...0,4333...a)

+−

+

Solución:

19

9

9

7

9

30,777...0,333...c)

999

1899

999

19273826

999

11928

999

338298...1,928928929...3,82982982b)

9

25

90

250

90

21139

90

23234

90

4432,3444...0,4333...a)

==+=+

=−=−−−=−

==+

=−

+−

=+

2. Calcula, pasando a fracción, las operaciones:a) 0,333... + 0,525252...b) 5,2333... - 1,3222...

Suma luego, directamente, los números decimales, pásalos a fracciones y comprueba que se obtiene el mismo resultado.

Solución:

90

352

90

393913,91111...1,3222...5,2333...

90

352

90

119471

90

13132

90

525231,3222...5,2333...b)

99

85.85858585..0,85858585.....52525252..0,52525252.....33333333..0,33333333

99

85

99

5211·3

99

52

9

3.0,525252..0,333...a)

=−

==−

=−

=−

−−

=−

==+

=+

=+=+

4. Calcula la forma fraccionaria o decimal (identificando cada una de sus partes), según corresponda de:

22

63 d) ..14,371717. b)

160

28 c) 9,2777.. a)

Solución:

a) 90

92927 − Parte entera 9,anteperiodo 2, periodo 7

b) 9900

14314371 − Parte entera 14, anteperiodo 3, periodo 71

c) 0,175 No es un número periódicod) 2,863636… Parte entera 2, anteperiodo 8, periodo 36

5. Escribe en forma de fracción los siguientes números reales:a) 1,43000…

b) -9,636363….c) 1,010010001…d) 9,636363…

Solución:

a) 100

143

b) 99

954

99

9963 −=+−

c) No se puede porque es irracional

d) 99

954

99

9963 =−

6. Escribe primero los decimales en forma de fracción y luego calcula:

6,22

1·5,0

4

3 +−

Solución:

6

19

180

570

180

48045135

9

24

20

5

4

3

9

226

2

1·

10

5

4

36,2

2

1·5,0

4

3 ==−−=+−=−+−=+−

- Clasificar números reales

1. Sin realizar las siguientes operaciones, indica si su resultado es un numero racional o irracional y por qué.a) 0,01100011100001111… + 1,313131…b) 0,33333…. + 0,333333…c) 93 ⋅

d) 0,31323132… + 9

Solución:a) Irracional, porque en la suma hay un irracional.b) Racional, porque se están sumando dos periódicos que se pueden escribir como fracciones.c) Irracional, porque en el producto hay un irracional.d) Racional, porque sumamos dos racionales, un periódico y uno entero.

2. Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales y explica la razón:

a) 1,3030030003...b) 2,1245124512...c) 4,18325183251...d) 6,1452453454...

Solución:a) 1,3030030003... → IRRACIONAL porque es un número decimal no periódico.b) 2,1245124512... → RACIONAL porque es un número decimal periódico y se puede

expresar en forma fraccionaria. Su periodo es 1245 c) 4,18325183251... → RACIONAL porque es un número decimal periódico y se puede

expresar en forma fraccionaria. Su periodo es 18325d) 6,1452453454... → IRRACIONAL porque es un número decimal no periódico.

3. Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales y explica la razón:

a)2

π

b) 23

c)3

3

d)100001

1−

Solución:

a)2

π → IRRACIONAL porque el numerador de la fracción es un número decimal no

periódico.b) 23 → IRRACIONAL, ya que la solución de la raíz tiene ilimitadas cifras decimales no

periódicas.

c)3

3→ IRRACIONAL , ya que el numerador de la fracción tiene ilimitadas cifras

decimales no periódicas.

d)100001

1− → RACIONAL porque el cociente de la fracción es un número decimal

periódico.

- Potencias

- Operar utilizando las propiedades de las potencias

1. Expresa el resultado como potencia única:

( ) ( ) 43

5-2

432

6:6- c)

7

2

7

2 b)

4

3 a)

−−

−⋅

−

Solución:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )74343

35-2

24432

666:6- c)

7

2

7

2

7

2 b)

4

3

4

3 a)

−=−=−

−=

−⋅

−

=

−−−

−

2. Expresa los números como multiplicación de factores iguales y luego en forma de potencia:

( ) ( ) ( )

625

1 d)

128- c)

555

1 b)

5

3

5

3

5

3 a)

−⋅−⋅−

−⋅

−⋅

−

Solución:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )4

4

7

3-

3

3

55

1

625

1 d)

2- 128- c)

5-5-

1

555

1 b)

5

3

5

3

5

3

5

3 a)

−==

=

==−⋅−⋅−

−=

−⋅

−⋅

−

3. Expresa en forma de una potencia que tenga como base un número primo: a) 5 · 5 · 5 · 5b) ( ) ( ) ( )3·3·3 −−−

c)2·2·2·2·2

1

d) 81e) −27

f)25

1

Solución:a) 5 · 5 · 5 · 5 = 54

b) ( ) ( ) ( ) ( )333·3·3 −=−−−

c)5

2

1

2·2·2·2·2

1

=

d) 81 = 34

e) ( )3327 −=−2

5

1

25

1

=

4. En las siguientes operaciones, aplica las propiedades correspondientes y expresa el resultado como potencia única:

( )[ ] ( ) ( )

( ) ( ) 24223

4532

6 : 66 b)

5- : 5-5- a)

−⋅

⋅

Solución:

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 1881081082524223

74564564532

666:66:66 : 66 b)

555:555- : 5-5- a)

====⋅

−=−=−−⋅−=⋅

−−−−−

−+

5. Utiliza las propiedades adecuadas para expresar el resultado de la siguiente operación como una única potencia:

21

52

16·32

8·4−

−

Solución:

( ) ( )( ) ( )

143

11

85

154

2415

5322

21

52

22

2

2·2

2·2

2·2

2·2

16·32

8·4 −−

−

−

−

−

−

−====

- Notación científica

1. Pasa estos números de notación científica a forma ordinaria:a) 2,43 · 104 =b) 6,31 · 10-6=c) 63,1 · 10-6=d) 3,187 · 109=

Solución:a) 2,43 · 104 = 24.300b) 6,31 · 10-6= 0,00000631c) 63,1 · 10-6= 0,0000631d) 3,187 · 109= 3.187.000.000

2. Escribe los siguientes números en notación científica e indica su orden de magnitud.a) 91.700.000.000b) 6.300.000.000.000c) 0,00000000134d) 0,071

Solución:a) 91.700.000.000= 9,17 · 1010. Orden 10b) 6.300.000.000.000= 6,3 · 1012. Orden 12c) 0,00000000134= 1,34 · 10-9. Orden -9d) 0,071=7,1 · 10-2. Orden -2

3. Realiza las siguientes operaciones, sin calculadora, redondeando los números en notación científica a dos cifras decimales:a) (3,72 · 1011) · ( 1,43 · 10-7)b) (2,9 · 10-5) · ( 3,1 · 10-3)c) (4,1 · 102) · 103

d) (1,7 · 10-9) · ( 2,1 · 10-7)Solución:a) (3,72 · 1011) · ( 1,43 · 10-7) = 5,32 · 104

b) (2,9 · 10-5) · ( 3,1 · 10-3) = 8,99 · 10-8

c) (4,1 · 102) · 103 = 4,1 · 105

d) (1,7 · 10-9) · ( 2,1 · 10-7) = 3,57 · 10-2

4. Realiza las siguientes operaciones, sin calculadora, redondeando los números en notación científica a dos cifras decimales:a) (1,7 · 10-9) · ( 2,1 · 107)b) (6,0 · 10-4) : ( 1,5 · 10-3)c) (2,37 · 1012) · ( 3,97 · 103)d) (4,5 · 109) : ( 2,5 · 10-3)

Solución:a) (1,7 · 10-9) · ( 2,1 · 107) = 3,57 · 10-2 b) (6,0 · 10-4) : ( 1,5 · 10-3) = 4 · 10-1

c) (2,37 · 1012) · ( 3,97 · 103) = 9,4 · 1015

d) (4,5 · 109) : ( 2,5 · 10-3) = 1,8 · 1012

5. Realiza las siguientes operaciones, sin calculadora, redondeando los números en notación científica a dos cifras decimales:a) (1,46 · 105) + ( 9,2 · 104)b) (2,96 · 104) - ( 7,43 · 105)c) (9,2 · 1011) · ( 5,4 · 103)d) (2,9 · 10-7) : ( 1,4 · 10-5)

Solución:a) (1,46 · 105) + ( 9,2 · 104) = 2,38 · 105

b) (2,96 · 104) - ( 7,43 · 105) = -7,13 · 105

c) (9,2 · 1011) · ( 5,4 · 103) = 4,97 · 1015

d) (2,9 · 10-7) : ( 1,4 · 10-5) = 2,07 · 10-2

- Radicales

1. Reduce los siguientes radicales a índice común y ordénalos de menor a mayor:

.8,3c);10,12b);3,4a) 53543

Solución:

.836488;2433310mcm(2,5)c)

.12101000001010;1728121215mcm(5,3)b)

.342733;2564412mcm(3,4)a)

51010 251010 5

531515 531515 35

431212 341212 43

>⇒====⇒=

>⇒====⇒=

>⇒====⇒=

2. Expresa como radical:

.5d);7c);3b);3a)5

2

3

13

4

2

53

1

4

14

1

6

5

Solución:

.55d);777c);33b);33a) 15 215

23 103

10

6

201212

124 524

5

=====

3. Saca del radicando la mayor cantidad posiblede factores:

.800d);240c);250b);405a) 3

Solución:

.22025252800d)

.3025322532240c)

.10552552250b)

.595353405a)

225

333 43

3

24

=⋅=⋅=

=⋅⋅=⋅⋅=

=⋅=⋅=

==⋅=

4. Simplifica los siguientes radicales:

a) 9 38

b) 3 16

c) 3 37

Solución:

a) ( ) 2228 9 99 339 3 ===

b) 3

22216 3 43 ==

c) ( ) 7777 2

1

6

136 3 ===

5. Escribe las siguientes raíces como exponentes fraccionarios y simplifica cuanto se pueda:

a) 5 103

b) 7 142

c) 67

Solución:

a) 9333 25

105 10 ===

b) 4222 27

147 14 ===

c) 343777 32

66 ===

6. Calcula las siguientes raíces factorizando cuando sea necesario:

a) 5

243

32

b) 7 285

c) 3

1331

343

d) 1116

5

10

10

Solución:

a) 3

2

3

2

3

23243,232

5 5

5 55

5

555 ==⇒==

b) 625555 47

287 28 ===

c) 11

7

11

7

11

7111331,7343

3 3

3 33

3

333 ==⇒==

d) 10

1101010

10

10 111

1111 1111

16

5

==== −−−

7. Realiza las siguientes operaciones:

.2851755

23433b);1250

5

11623a) 44 −−−

Solución:

.7971072721

725755

2773727228;7575175;777343b)

.28229

255

12331250

5

1162325521250;2332162a)

223

444

444444 4444 44

=−−=

=⋅−⋅−⋅⇒=⋅==⋅===

=−=

=⋅−⋅=−⇒=⋅==⋅=

- Calcular aproximaciones y errores

1. Un atleta corre los 50 metros en 10 segundos y 856 milésimas. Le piden el resultado con dos cifras decimales. ¿Qué marca dará si aproxima por defecto?

Solución:10,856 seg. aproximando por defecto ≈ 10,85 seg

- Intervalos y semirrectas

1. Escribe y dibuja y nombra los siguientes intervalos:2x1- d) 3x0 c) -1x4- b) 0x3- a) ≤≤<≤≤<<<

Solución:a) Abierto (-3,0) b) Abierto por la izquierda (-4,-1]c) Abierto por la derecha [0,3)d) Cerrado [-1,2]

2. Escribe y dibuja los siguientes intervalos:1x d) x0 c) x1- b) 1x a) ≤≤<−<

Solución:a) ( )1,−∞− b) ( )+∞−1, c) [ )+∞0, d) ( ],1∞−