63. Si X e Y son dos variables aleatorias independientes, compruebe que:

Var (X+Y )=Var ( X )+Var (Y )

SOLUCION:

Se sabe que:

V ar (X )=E ¿¿) Sib∈R entoncesVar ( X+b )=Var (X )

Teniendo en cuenta estos dos puntos la demostración será:

Var (X+Y )=E [ (X+Y−E(X+Y ))2 ]=E [ (X−E (X )+Y−E(Y ))2 ]¿ E [(E−E (X ))2+(E−E (Y ))2+2(E−E (X ))(E−E (Y ))]

¿ E [(E−E (X ))2 ]+E [(E−E (Y ))2 ]+2 E [(E−E (X ))] . E [(E−E (Y ))]

¿Var (X )+Var (Y )+0

Var (X+Y )=Var (X )+Var (Y )lo quequeria demostrar

75. Una pieza es considerada defectuosa y por lo tanto rechazada si su diámetro es mayor que 2.02cm o si es menos que 1.98cm. Suponga que los diámetros tienen distribución normal con media de 2cm y desviación estándar de 0.01cm.

a) ¿Cuántas piezas de 10000 se espera sean rechazadas?b) ¿Cuál es la probabilidad de que 2 piezas de 4 sean rechazadas si las 4 piezas se escogen

una a una sin reposición de un número desconocido de piezas?c) ¿Cuál es la probabilidad de que la cuarta pieza buena sea la sexta probada si las piezas se

escogen una a una sin reposición de un número desconocido de piezas?

SOLUCION:

a) TEMA: DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMALEntonces la pieza es rechazada si su Diámetro: D<1.98cmo si2.02cm<D

DATOS:D: Diámetro

D N (μ ,σ2)μ=2cmσ=0.01→σ2=0.0001

Calculemos la probabilidad de que se rechace la pieza

P= [D>2.02 ]=P [D−μσ

> 2.02−20.01 ]=P [ Z>2 ]=1−ϕ(2)=1−0.9772=0.0228

P= [D<1.98 ]=P[D−μσ

< 1.98−20.01 ]=P [Z←2 ]=1−ϕ(2)=1−0.9772=0.0228

Entonces la probabilidad de que la pieza sea rechazado es: 0.0228+0.0228=0.0456Luego de 10000 pizas serán rechazadas= 10000×0.0456=456 piezas

b) TEMA: PROBABILIDAD BINOMIALSi B es el evento = ‘’Ocurren k éxitos de n pruebas’’, entonces, un caso partícula de B es el

evento (EE…EE)⏟k veces

(FF…FF)⏟n−k veces

cuya probabilidad es ¿ pk×(1−p)n−k donde p es la

probabilidad de que ocurra un éxito luego (1-p) es la probabilidad de que ocurra un fracaso.Luego todos los caso de B se obtienen ‘’chocolatendo las letras repetidas y nos importa el orden en que salgan’’ entonces el número de formas que ocurra en evento B es C k

n

Entonces P (B )=C kn× pk×(1−p)n−k

En nuestro caso sería: Ocurren k=2 éxitos (que se rechace) de n=4 pruebas (piezas que se escogieron). Entonces P (B )=C2

4×m2×(1−m)2 donde m es la probabilidad de que se rechace que para nosotros lo consideraremos como éxito.

c) TEMA: PROBABILIDAD DE PASCAL O BINOMIAL NEGATIVASea el evento D = ‘’ Ocurren k éxitos de n pruebas, de manera que el k-ésimo éxito sea la n-ésima prueba’’. El último ensayo es un éxito, en los restantes ensayos anteriores ocurre una binomial. Luego:

P (D )=(Ck−1n−1× pk−1× (1−p )n−k)× p=C k−1

n−1× pk×(1−p)n−k don de p es la probabilidad

un éxito.

En nuestro caso: Ocurren k=4 éxitos (es decir salen buenas) de n=6 pruebas, de manera que la CUARTA pieza buena sea la SEXTA probada. Sabemos que la probabilidad de éxito es en este caso la que era la de fracaso en la pregunta b ósea (1-m) entonces:

P (D )=C4−16−1×(1−m)4×m6−4=C3

5×(1−m)4×m2

77. Una fábrica cuenta con 3 máquinas A, B y C, donde, la maquina A produce diariamente el triple de B y ésta el doble de C. Además se sabe que el peso de los artículos producidos por A se distribuye exponencialmente con una media de 5 Kg, el peso de los producidos por B se distribuyen uniformemente entre 3 Kg y 8 Kg, mientras que el peso de los producidos por C se distribuye normalmente con una media de 6 Kg y una desviación estándar de 2 Kg. Estos artículos llegan a una bandeja donde se juntan aleatoriamente. Si se extrae de la bandeja un artículo al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que pese a lo más 5Kg?b) Si pesa más de 5 Kg, ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por la maquina A?

SOLUCION:

TEMA: ALGUNAS DISTRIBUICIONES IMPORTANTES DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Y TEOREMAS DE BAYES

A se distribuye exponencialmente con una media igual a 5, entonces μ=5 se sabe además

que 1β=μ→ β=1

μ=15

, luego la probabilidad se calcula así: P ⌈ X≤ x ⌉=∫0

x

βe−βxdx

entonces: P ⌈ X≤5 ⌉=∫0

515e

−15xdx=0.6321

B tiene una distribución uniforme entre 3 y 8 entonces: B U [3,8 ] Luego si [c ,d ]⊂ [a ,b ]La probabilidad de que X tome valores entre [c ,d ] es:

P [c≤ X ≤d ]=d−cb−a , entonces P [3≤ X ≤5 ]=5−3

8−3=0.4

C se distribuye normalmente con μ=6 y σ=2→σ2=4 entonces C N [6,4 ]La probabilidad será:

P [X ≤5 ]=P [ X−μσ

≤5−62 ]=P [ Z≤−0.5 ]=1−ϕ (0.5 )=1−0.6915=0.3085

Ahora armemos en diagrama de árbol: para ello hallemos la producción por día de cada uno, sabemos que:

A=3B→A=3 (2C )=6C. Entonces la probabilidad de que se saque un artículo producido por la

maquina A será 6C9C

=69

B=2C. Entonces la probabilidad de que se saque un artículo producido por la maquina B será 2C9C

=29

C =C. Entonces la probabilidad de que se saque un artículo producido por la maquina C será 19

produccion total por dia=A+B+C=6C+2C+C=9C

a) La probabilidad de que pese más de 5 Kg será

69×0.6321+ 2

9×0,4+ 1

9×0.3085=0.5446

b) La probabilidad de que pese más de 5 Kg y haya sido producida por A sera: guiándonos de la grafica

69×0.3679

69×0.3679+

29×0.6+

19×0.6915

=0.5385