1.-Este árbol macizo de un tren de laminación tiene que transmitir una potencia de 20kW a 2r/s. Determine su diámetro de manera que el esfuerzo cortante máximo no exceda de 40 MN/m² y que el ángulo de torsión, en una longitud de 3m., sea como máximo de 6°.Emplee un valor de G de 83 GN/m.²SOLUCION: Este problema es un ejemplo de diseño de un elemento de máquina en el que se ha de tener en cuenta tanto la resistencia como la rigidez . Se comienza por determinar, el momento torsionante a que esta sometido el árbol.

Para satisfacer la condición de resistencia se aplica el esfuerzo cortante máximo.

Ahora de la expresión del ángulo de torsión , se reduce el diámetro necesario que satisface la condición de rigidez,

Por lo tanto,

El diámetro mayor de 58.7mm satisface, pues, a las dos condiciones de resistencia y de rigidez.

2.-La figura muestra un árbol macizo de dos materiales y distintos diámetros, firmemente unidos y perfectamente empotrado en sus extremos. La parte de aluminio tiene 75mm de diámetro y GAl vale 28 x 10^9

N/m2 y la de acero tiene 50 mm de diámetro y Ga = 83 x 10^9 N/m2 . El par torsor aplicado es de 1000 N.m, y como se observa en la figura, se aplica en la unión de las dos partes. Calcular el máximo esfuerzo cortante en el acero y en el aluminio.

SOLUCION: Se trata de un problema estáticamente indeterminado en el que se desconoce en que proporción se reparte el par torsor aplicado entre las dos partes , derecha e izquierda, del árbol. Aplicando en primer lugar las condiciones de equilibrio estático se tiene:

La otra relación entre Ta y TAl se obtiene por las condiciones geométricas de la deformación que, en este caso, se expresa por la igualdad del ángulo de torsión desde la sección en que se aplica el par torsor, a los dos extremos del eje. Es decir .

De donde Resolviendo el sistema formado por (a) y (b) resulta:

Teniendo ahora en cuenta la fórmula de la torsión, los esfuerzos respectivos vienen dados por:

3.- Un tubo de pared delgada tiene la forma semicircular de la figura. Prescindiendo de la concentración de esfuerzos que se produce en las esquinas, calcular el momento torsionante que producirá un esfuerzo cortante de 40 MN/m2.

SOLUCION: Teniendo en cuenta que A es el área encerrada por la línea media del tubo resulta:

•TORSION DE TUBOS DE PARED DELGADA

Un árbol de sección constante, de 50 mm de diámetro está sometido a los pares torsores que se indican en la figura a través de engranes montados sobre él. Si G = 83 x 103 MN/m2, determinar, en grados, el ángulo total de torsión entre A y D. (Material: acero.)

Solución: El empleo de vectores para indicar el sentido de los pares aplicados, como se ve en la parte inferior de la figura facilita la determinación del momento torsionante resultante sobre cada parte del árbol. Para ello, apliquemos las condiciones de equilibrio al diagrama de cuerpo libre entre una sección cualquiera y un extremo del eje, por ejemplo, D. Entonces, con respecto a D, los pares trasmitidos por cada porción y, por tanto, los momentos torsionantes a que están sometidos, son: TAB =700 N.m en sentido del reloj, TBC = 500 N.m en sentido contrario al del reloj y TBC =800 N.m en sentido del reloj.

El ángulo de torsión total es la suma algebraica de los ángulos parciales en cada porción.

Tomando arbitrariamente la deformación en sentido del reloj como positiva, y aplicando la expresión (3-1) con el factor 57.3 para obtener el ángulo en grados, se obtiene:

resp. 32,3

)2(800)5,1(500)3(700

)1083(32

(0,050)

57,3

3.571

/

94

/

/

DA

DA

DA

TLJG

JG

TL

PROBLEMA ILUSTRATIVO

Dos resortes de acero dispuestos en serie soportan una carga P, como se indica en la figura. El resorte superior tiene 20 espiras de alambre de 20 mm, y un diámetro medio de 150 mm. El resorte inferior tiene 15 espiras de alambre de 10 mm y un radio medio de 130 mm. Calcular el máximo esfuerzo cortante en cada resorte si la deformación total, alargamiento en este caso, es de 80 mm y G = 83 GN/m2.

wahl.de formula la de exactos

más valoreslos de abajopor 6,35%y 10,2 de relativos errores unos de aproximada fórmula la caso este

en que deduce Se mente.respectiva inferior, esuperior resorte elen MN/m 76,7y 11,4 sidohubieran

resultados los cortantes, esfuerzos los de valoreslosobtener para 9)-(3expresión la aplicado hubiera se si

/9,81

13

615,0

452

152

)010,0(

)065,0)(223(16

: tienese 524my 13,0102(0,065)/0m que elen inferior resorte el para te,Análogamen

Resp. /7,12

5,7

615,0

430

130

)020,0(

075,0)(223(16

615,0

44

1416

:resulta (3,10) wahlde fórmula la aplicando que lopor 30,4my 7,5,0202(0,075)/0

2R/dm superior, resorte el Para esfuerzos. los determinarpueden se P Conocida

233NP )010,0(

)15()065,0(

)020,0(

)20()075,0(

83x10

64P0,080

64PR

: valorel P para obtiene se 11)-(3 cuentaen Teniendo P. tracción la a sometidos

están que ya resortes, ambos de nesdeformacio las de suma la es n totaldeformació La:

2

2max

3max

2max

3max

3max

4

3

4

3

94

3

mMN

mMN

mm

m

d

PR

Gd

n

Solución