EJERCICIO DE TORSIÓN-III (PROF. JOSÉ GRIMÁN)

Diseñar el refuerzo longitudinal y transversal requerido para una viga rectangular de

dimensiones 40cm x 60cm y 7m de centro a centro de apoyos, sometida a una carga

permanente uniformemente distribuida Wp = 3500 kgf/m (que no incluye el peso

propio) y una carga variable uniformemente distribuida WV = 2000 kgf/m.

Adicionalmente la viga debe soportar una carga concentrada P aplicada por medio de

una ménsula de concreto armado de 25 cm de ancho y con las otras dimensiones

mostradas en la figura, el brazo de palanca de la carga P es z = 1 m, medido desde el

eje de la viga. El peso de la ménsula es 180 kgf y su brazo de palanca es zm = (5/9) m,

medido desde el eje de la viga. La carga P está compuesta por una parte permanente

dada por Pp = 4100 kgf y una parte variable dada por PV = 2550 kgf . Considere f’c =

280 kgf/cm2 , fy = 4200 kgf/cm2, recubrimiento de diseño rd = 6,5 cm, y el

recubrimiento al centro de estribos de 4,5 cm. Considere el ancho de la columna en la

dirección del eje de la viga a = 50 cm.

SOLUCIÓN:

1. Análisis de cargas:

Datos:

Sobre la viga: Se determina el peso propio por unidad de longitud de viga.

Wconcreto =2400 kgf/m3,

Peso permanente wpl = 0,40·0.60·2400 =

b = 0,4

h = 0,6

WC = 2400

wp = 576 kgf/m

Cargas mayoradas aplicadas a la viga:

Carga distribuida mayorada:

Carga distribuida permanente total: 3500 + 576 = 4076 kgf/m

Carga distribuida variable: 2000 kg/m

wuv1 = 1,4·4076 =

factor = 1,4

wp 4076 kgf/m

wu1 = 5706,4 kgf/m

wuv2 = 1,2·4076+1,6·2000 =

factor cp = 1,2

factor cv = 1,6

wpl = 4076

wvl = 2000

wuL2 = 8091,2 kgf/m

Carga distribuida mayorada se toma igual a wu = 8091,2 kgf/m

Carga concentrada mayorada:

Puv1 = 1,4·4280 = 5992 kgf

Puv2 = 1,2·4280+1,6·2550 = 9216 kgf

Se toma como carga concentrada mayorada igual a Pu = 9216 kgf

Diagrama de corte y diagrama de torsión:

Se tiene conocido: wu = 8091,2 kgf/m, Pub = 9216 kgf,

Se determina el torque concentrado en B, Tub:

Se tiene Tbp = 4100·1 + (5/9)·180 = 4200 kgf-m

Se tiene Tbv = 2550·1 = 2550 kgf-m

El momento de torsión concentrado mayorado es:

Tub = 1,2·4200 + 1,6·2550 = 9120 kgf-m

De un programa de elementos finitos para análisis estructural se obtiene:

Mc = 31079,53 kgf-m y Ma = 30168,1 kgf-m.

Tc = 5443,8 kgf-m y Ta = 3676,2 kgf-m

Vc = 34373,98 kgf y Va = 31480,42 kgf

Se determina el diagrama de fuerza cortante:

0 ≤ x ≤ 2,5 m, V = 34373,98 – 8091,2·x

En x = 2,5 m, V(x = 2,5 m) = 34373,98 – 8091,2·2,5 = 14145,98 kgf

Luego de la carga aplicada,

V(x > 2,5 m) =14145,98 - 9216 = 4929,98 kgf

2,5 m ≤ x ≤ 7 m, V = 4929,98 – 8091,2·x

En x = 7 m, V(x = 7 m) = 4929,98 – 8091,2·4,5 = -31480,42 kgf

Diagrama de fuerza cortante

Se determina el diagrama de torsión:

Se adoptará como convención que un vector de momento torsión actuante en un punto,

que apunte hacia la izquierda genera un salto positivo en el diagrama de torsión, y un

vector torsión actuante que apunte a la derecha, genera entonces un salto negativo en

el diagrama de torsión.

Considerando d = 53,5 cm y como el ancho de los apoyos es a = 50 cm, las secciones

críticas para corte y para torsión quedan a (53,5 + 50/2) = 78,5 cm, medidos desde el

centro del apoyo.

Estudiamos primero el lado CB.

Vucrit = 34373,98 – 8091,2·0,785 =

Vu = 34373,98 kgf

wu = 8091,2 kgf/m

x secc crit = 0,785 m

Vucrit = 28022,39 kgf

Tucrit = 5443,8 kgf·m

Se chequea si 𝑻𝒖 ≤ 𝝓 ∙ 𝟎, 𝟐𝟕 ∙ √𝒇′𝒄

∙𝑨𝒄𝒑

𝟐

𝑷𝒄𝒑 (16.6). Si se cumple entonces se pueden

despreciar los efectos de la torsión.

Acp = 40·60=

b = 40 cm

h = 60 cm

Acp = 2400 cm2

Pcp = 2·(40+60) =

b = 40 cm

h = 60 cm

Pcp = 200 cm

𝑻𝒖 ≤ 𝝓 ∙ 𝟎, 𝟐𝟕 ∙ √𝒇′𝒄

∙𝑨𝒄𝒑

𝟐

𝑷𝒄𝒑= 𝟎, 𝟕𝟓 ∙ 𝟎, 𝟐𝟕 ∙ √𝟐𝟖𝟎 ∙

𝟐𝟒𝟎𝟎𝟐

𝟐𝟎𝟎 = 975,88 kgf·m

Como Tu crit = 5443,8 kgf·m, > 975,88 kgf·m, se debe considerar la torsión.

Estudiando la porción AB, con origen en A hacia B.

Vucrit = -31480,42 + 8091,2·0,785 =

Vu = -31480,42 kgf

wu = 8091,2 kgf/m

x secc crit = 0,785 m

Vucrit = -25128,83 kgf

Tu crit = -3676,2 kgf-m

Pero para efecto de los cálculos siguientes, estos valores se consideran en valor

absoluto.

Considerando que se tiene la misma sección transversal, se tiene que como Tu crit =

3676,2 kgf·m, > 975,88 kgf·m, se debe considerar la torsión en el diseño de la

porción AB.

Se debe tener en cuenta que tenemos en este caso una torsión primaria, por lo cual los

valores de Tu no se deben reducir.

Antes de diseñar el refuerzo a torsión se debe verificar que la sección cumple con la

ecuación:

Se calcula Aoh y Ph considerando las dimensiones de la viga:

xo = 40 – 2·4,5 = 31 cm

yo = 60 – 2·4, 5 = 51 cm

Aoh = xo·yo = 31·51 = 1581 cm^2

Ph = 2·(xo +yo) = 2·( 31+51)

Ph = 164 cm

Se chequea entonces la fórmula 11.21 de la Norma 1753-06

√(28022,39

40 · 53,5)

2

+ (5443,8 ∙ 100 · 164

1,7 · 15812)

2

≤ 0,75 ∙ 2.7 ∙ √280

24,76 < 33,88 kgf/cm2

Como la relación se cumple se continúa con el diseño, si no fuera así se debería

aumentar la sección de concreto. Esta misma relación nos permite concluir que para el

lado AB también se cumple porque Vu crit y Tu crít del lado AB son menores a los

considerados aquí.

Diseño por torsión del lado CB:

Como se cumple que 𝑻𝒖 ≤ 𝝓 ∙ 𝟎, 𝟐𝟕 ∙ √𝒇′𝒄

∙𝑨𝒄𝒑

𝟐

𝑷𝒄𝒑 se considera la torsión

Se calcula el acero transversal por torsión:

𝐴𝑡

𝑠=

𝑇𝑢 𝜙⁄

2 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝑓𝑦𝑣 ∙ 𝑐𝑡𝑔 𝜃

Asumiendo θ = 45°, Ao = 0.85·Aoh = 0.85·1581= 1343,85 cm2

𝐴𝑡

𝑠=

5443,8·100 0.75⁄

2∙1343,85∙4200∙𝑐𝑡𝑔 45°= 0,0643 cm^2/cm

Entonces 2𝐴𝑡

𝑠= 2 ∙ 0,0643 = 0,1286 cm^2/cm

Se calcula el acero transversal por cortante:

Se chequea si 𝑉𝑢 ≥ 𝜙 ∙ 𝑉𝑐 :

Se calcula ϕ·Vc = 𝜙 · 0,53 · √𝑓′𝑐 · 𝑏𝑤 · 𝑑 = 0,75 · 0,53 · √280 · 40 · 53,5 =

𝜙·Vc = 14234,097 kgf

Como Vu = 28022,39 kgf es mayor que 𝜙Vc = 14234,097 kgf , se requiere acero

transversal por corte, se calcula el acero transversal por corte:

Se calcula Vs =𝑉𝑢 𝑐𝑟𝑖𝑡−𝜙𝑉𝑐

𝜙=

28022,39−14234,097

0,75= 18384,3907 kgf

Se chequea con Vsmax = 2.1 · √𝑓′𝑐 · 𝑏𝑤 · 𝑑 = 2.1 · √280 · 40 · 53,5 =

𝑉𝑠𝑚𝑎𝑥 = 75199,0032 kgf

Como Vs es menor que Vsmax , se continua con el diseño, no se requiere aumentar la

sección.

Calcula el acero necesario por cortante:

𝐴𝑣

𝑠=

𝑉𝑢 𝜙⁄ −𝑉𝑐

𝑓𝑦𝑣·𝑑=

28022,39 0,75⁄ −14234,097 0,75⁄

4200·53,5= 0,082 cm^2/cm

Se compara con Av / s min = 0.20·√𝑓′𝑐·𝑏𝑤

𝑓𝑦𝑣≥

3.5·𝑏𝑤

𝑓𝑦𝑣

𝐴𝑣

𝑠min =

0,20·√280·40

4200= 0,032 cm^2/cm

3,5·40

4200= 0,0333 cm^2/cm

Se debe colocar 𝐴𝑣

𝑠= 0,082 cm

2/cm

Considerando torsión + corte, se calcula el acero transversal total:

𝐴𝑣𝑡

𝑠=

𝐴𝑣

𝑠+ 2 ·

𝐴𝑡

𝑠= 0.082 + 0,1286 = 0,2106 cm2/cm

Se chequea que 𝐴𝑣𝑡

𝑠≥

3,5·𝑏𝑤

𝑓𝑦𝑣⟹ se cumple 0,2106 > 0,0333

Se asume el área de estribos como # 4 de dos ramas: Av = 2·1,27 = 2,54 cm2=

𝑠 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠

𝐴𝑣𝑡 𝑠⁄=

2,54

0,2106= 12,06 cm

Se calculan las separaciones máximas para torsión y para cortante y se coloca la más

exigente:

Por torsión 𝑠𝑚𝑎𝑥𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖ó𝑛 =≤ {𝑃ℎ 8⁄ ; 30 𝑐𝑚} = {164 8⁄ = 20,5 𝑐𝑚 ; 30 𝑐𝑚} =

20,5 𝑐𝑚

Por cortante:

Se chequea si Vs es menor que 1,06 · √𝑓′𝑐 · 𝑏𝑤 · 𝑑 = 37957,5921 kgf

Se cumple, entonces smax = d/2 o 60 cm (Para ND1)

𝑠𝑚𝑎𝑥𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 =≤ {0,5 · 𝑑 ; 60 𝑐𝑚; 5 · 𝐴𝑣𝑡 · 𝑓𝑦𝑣

𝑏𝑤 · √𝑓′𝑐;

𝐴𝑣𝑡 · 𝑓𝑦𝑣

3,5 · 𝑏𝑤} =

𝑠𝑚𝑎𝑥𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 =≤ {0,5 · 53,5 ; 60 𝑐𝑚; 5 · 2,54 · 4200

40 · √280;

2,54 · 4200

3,5 · 40} =

0,5·53,5 = 26,75 cm

5·2,54·4200

40·√280= 79,69 cm

2,54·4200

3,5·40= 76,20 cm

Separación elegida es : s = 12 cm. El primer estribo se colocará a 5 cm de la cara del

apoyo, y los estribos siguientes a cada 12 cm, hasta donde sea necesario.

El refuerzo por torsión deja de ser necesario en el punto donde

𝑻𝒖 = 𝝓 ∙ 𝟎, 𝟐𝟕 ∙ √𝒇′𝒄

∙𝑨𝒄𝒑

𝟐

𝑷𝒄𝒑= 𝟎, 𝟕𝟓 ∙ 𝟎, 𝟐𝟕 ∙ √𝟐𝟖𝟎 ∙

𝟐𝟒𝟎𝟎𝟐

𝟐𝟎𝟎 =

= 975,88 kgf·m

Como en cualquier punto de la viga, el momento de torsión Tu es mayor que este valor

del umbral de torsión, entonces se requiere refuerzo por torsión en toda la viga.

Hacemos una tabla para considerar el efecto de las variaciones en Vu y Tu, en las

separaciones de los estribos:

x (m) Vu Tu 2At/s Av/s 2At/s + Av/s s (cm)

0,785 28022,39 5443,8 0,1286 0,0818 0,21041745 12,0712424

1 26282,782 5443,8 0,1286 0,0715 0,20009489 12,693977

1,5 22237,182 5443,8 0,1286 0,0475 0,17608896 14,4245271

1,9 19000,702 5443,8 0,1286 0,0283 0,15688421 16,1902841

2,2 16573,342 5443,8 0,1286 0,0139 0,14248065 17,8269816

2,49 14226,894 5443,8 0,1286 0,0000 0,12855721 19,7577402

2,5 14145,982 5444,8 0,1286 0,0000 0,12862358 19,747546

Se puede observar en la tabla a partir de 1,90 m desde el eje del apoyo se pueden

colocar los estribos a cada 16 cm con el fin de reducir el número de estribos

necesarios. Observe que en x = 2,49 m, Vu es casi igual a 𝜙Vc = 14234,097 kgf, por

lo cual la cantidad (Av / s) es prácticamente cero, es decir es este punto, teóricamente

no se requiere refuerzo por cortante.

Se colocaran estribos cerrados #4, el primero a 5 cm desde la cara de apoyo,

luego 14 estribos a cada 12 cm hasta una distancia de 1,98 m desde el eje del

apoyo. Luego 4 estribos a cada 16 cm, con lo cual se llega hasta una distancia de

2,62 m. En total 19 estribos como refuerzo transversal por corte y torsión.

Se calcula ahora el acero longitudinal.

Se tiene 𝐴𝑡

𝑠=

5443,8·100 0.75⁄

2∙1343,85∙4200∙𝑐𝑡𝑔 45°= 0,0643 cm^2/cm

𝑨𝒍 = (𝑨𝒕

𝒔) · 𝒑𝒉 · (

𝒇𝒚𝒗

𝒇𝒚𝒍) · 𝑪𝒕𝒈𝟐𝜽 ≥

𝟏, 𝟑𝟑 · √𝒇′𝒄 · 𝑨𝒄𝒑

𝒇𝒚𝒍− (

𝑨𝒕

𝒔) · 𝒑𝒉 · (

𝒇𝒚𝒗

𝒇𝒚𝒍)

𝑨𝒍 = (𝟎, 𝟎𝟔𝟒𝟑) · 𝟏𝟔𝟒 · (𝟏) · 𝟏𝟐 = 10,55 cm^2

Para calcular el Al min, At/s no debe ser menor que 1,75bw / fy =1,75·40/4200

=0,017, cumple:

𝟏,𝟑𝟑·√𝟐𝟖𝟎·𝟐𝟒𝟎𝟎

𝟒𝟐𝟎𝟎− (𝟎. 𝟎𝟔𝟒𝟑) · 𝟏𝟔𝟒 · (𝟏) = 2,1720324 cm^2

Se cumple con Al > Al mín.

Si se divide Ph entre los 30 cm de separación máxima que deben tener entre sí las

barras de refuerzo longitudinal por torsión, se obtiene aproximadamente el número de

barras necesarias.

No. Barras = 164 / 30 = 5,47 , se consideran 6 barras.

El diámetro debe ser mayor que 0,042·s = 0,042·12 =0,504 cm, pero no menor que la

#3, es decir el diámetro =(3/8)·2,54 =0,953 cm.

Consideremos 6 barras: el área de una barra será aproximadamente: 10,55 / 6 = 1,76

cm2, lo cual se satisface con barras #5, con área Ab= 1,98 cm

2.

Diseño por flexión de la sección rectangular: 40 x 60:

Momento flexionante:

En máximo en el apoyo C: 𝑀𝑐 = 31079,53 𝑘𝑔𝑓 − 𝑚

En el tramo, el punto donde el cortante es cero es en: 𝑥𝑚 =31480,42

8091.2= 3,891 𝑚,

medidos desde A hacia B.

Entonces el momento máximo en el tramo es:

𝑀𝑚−𝑡𝑟𝑎𝑚𝑜 = 31480,42 · 3,891 − 30168,1 −8091,2∙3,8912

2= 31072,31 kgf-m

Se dimensiona la sección para el momento mayor, que es en el apoyo C:

Datos: b = 40 cm, h = 60 cm, rd = 6,5 cm, d = h – rd = 60 – 6,5 = 53,5cm.

1. Dado que f’c = 280 kg/cm2, 𝛽1 = 0,85

2. Se determina el porcentaje de acero para la sección controlada por tracción: 0,005 =

t

𝜌𝑡 = 0,319 ∙ 𝛽1 ∙𝑓′

𝑐

𝑓𝑦= 0,319 ∙ 0,85 ∙

280

4200= 0,01808

Se diseña para un porcentaje de acero seleccionado:

𝜌 = 𝜌𝑠𝑒𝑙𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜 = 0,90 ∙ 𝜌𝑡 = 0,90 ∙ 0,01808 = 0,0163

3. Se determina el factor de resistencia nominal R.

𝑅 = 𝜌 · 𝑓𝑦 ∙ (1 − 0,59 ∙𝜌 ∙ 𝑓𝑦

𝑓′𝑐

) = 0,0163 ∙ 4200 ∙ (1 − 0,59 ∙0,0163 ∙ 4200

280)

𝑅 = 58,584 𝑘𝑔

𝑐𝑚2

4. Se determina la altura útil requerida para la sección controlada por tracción:

Mu = 31079,53 kgf -m

𝑑𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎 = √𝑀𝑢

𝜙∙𝑅∙𝑏= √

31079,53∙100

0,90∙58,584∙40= 38,39 cm

d = 53,5 cm > 38,39 cm, se diseña como SSA.

5. Se determina para la d conocida, la cuantía mecánica específica , resolviendo la

ecuación cuadrática que resulta de:

𝑀𝑢

𝜙 ∙ 𝑓′𝑐 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑2= 𝜔(1 − 0,59 ∙ 𝜔)

31079,53 ∙ 100

0,90 ∙ 280 ∙ 40 ∙ 53,52= 𝜔 − 0,59 ∙ 𝜔2

0,59 ∙ 𝜔2 − 𝜔 + 0,10772 = 0

La solución es = 0,1156,

6. Se determina la cuantía geométrica del acero :

𝜌 = 𝜔 ∙𝑓′

𝑐

𝑓𝑦= 0,1156 ∙

280

4200= 0,0077

7. Se determina el área de acero As:

𝐴𝑠 = 𝜌 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑 = 0,0077 ∙ 40 ∙ 53,5 = 16,48 𝑐𝑚2

8. Se determina el acero mínimo:

𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 =14

𝑓𝑦∙ 𝑏 ∙ 𝑑 𝑠𝑖 𝑓′

𝑐< 315

𝑘𝑔

𝑐𝑚2

𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 =14

4200∙ 40 ∙ 53,5 = 7,13 𝑐𝑚2

𝐴𝑠 = 16,48 𝑐𝑚2 > 7,13 𝑐𝑚2, cumple.

Para el centro del tramo:

Como el momento en el tramo tiene un valor cercano al del apoyo C, se considera

válido el mismo diseño de acero longitudinal por flexión.

Detalle de la sección en el apoyo:

Se distribuye el área de acero longitudinal por torsión Al = 10,55 cm2 en tres

partes, en la parte central de la sección de la viga se colocan 2 barras de 5/8 “, y

en la zona a tensión y a compresión se agregan (10,55 – 3,96)/2 = 3,295 cm2.

El acero a colocar en el apoyo, en la zona traccionada (arriba) es 16,48 + 3.295

=19,78 cm2. Lo cual se suple con 4 #8, con un área de 20,27 cm2.

As(abajo) = 10,13 + 3,295 =13,43 cm2

Se coloca 2 # 8 + 1 # 7 = 10,13 + 3,88 = 14,01 cm2

Diseño por torsión del lado AB:

Como se cumple que 𝑻𝒖 ≤ 𝝓 ∙ 𝟎, 𝟐𝟕 ∙ √𝒇′𝒄

∙𝑨𝒄𝒑

𝟐

𝑷𝒄𝒑 se considera la torsión

Se calcula el acero transversal por torsión:

𝐴𝑡

𝑠=

𝑇𝑢 𝜙⁄

2 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝑓𝑦𝑣 ∙ 𝑐𝑡𝑔 𝜃

Asumiendo θ = 45°, Ao = 0.85·Aoh = 0.85·1581= 1343,85 cm2

𝐴𝑡

𝑠=

3676,2·100 0.75⁄

2∙1343,85∙4200∙𝑐𝑡𝑔 45°= 0,0434 cm^2/cm

Entonces 2𝐴𝑡

𝑠= 2 ∙ 0,0434 = 0,0868 cm^2/cm

Se calcula el acero transversal por cortante:

Se chequea si 𝑉𝑢 ≥ 𝜙 ∙ 𝑉𝑐 :

Se calcula ϕ·Vc = 𝜙 · 0,53 · √𝑓′𝑐 · 𝑏𝑤 · 𝑑 = 0,75 · 0,53 · √280 · 40 · 53,5 =

𝜙·Vc = 14234,097 kgf

Como Vu = 25128,83 kgf es mayor que 𝜙Vc = 14234,097 kgf , se requiere acero

transversal por corte, se calcula el acero transversal por corte:

Se calcula Vs =𝑉𝑢 𝑐𝑟𝑖𝑡−𝜙𝑉𝑐

𝜙=

25128,83−14234,097

0,75= 14526,3107 kgf

Se chequea con Vsmax = 2.1 · √𝑓′𝑐 · 𝑏𝑤 · 𝑑 = 2.1 · √280 · 40 · 53,5 =

𝑉𝑠𝑚𝑎𝑥 = 75199,0032 kgf

Como Vs es menor que Vsmax , se continua con el diseño, no se requiere aumentar la

sección.

Calcula el acero necesario por cortante:

𝐴𝑣

𝑠=

𝑉𝑢 𝜙⁄ −𝑉𝑐

𝑓𝑦𝑣·𝑑=

25128,83 0,75⁄ −14234,097 0,75⁄

4200·53,5= 0,065 cm^2/cm

Se compara con Av / s min = 0.20·√𝑓′𝑐·𝑏𝑤

𝑓𝑦𝑣≥

3.5·𝑏𝑤

𝑓𝑦𝑣

𝐴𝑣

𝑠min =

0,20·√280·40

4200= 0,032 cm^2/cm

3,5·40

4200= 0,0333 cm^2/cm

Se debe colocar 𝐴𝑣

𝑠= 0,065 cm

2/cm

Considerando torsión + corte, se calcula el acero transversal total:

𝐴𝑣𝑡

𝑠=

𝐴𝑣

𝑠+ 2 ·

𝐴𝑡

𝑠= 0,065 + 0,0868 = 0,1518 cm2/cm

Se chequea que 𝐴𝑣𝑡

𝑠≥

3,5·𝑏𝑤

𝑓𝑦𝑣⟹ se cumple 0,1518 > 0,0333

Se asume el área de estribos como # 4 de dos ramas: Av = 2·1,27 = 2,54 cm2=

𝑠 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠

𝐴𝑣𝑡 𝑠⁄=

2,54

0,1518= 16,73 cm

Se calculan las separaciones máximas para torsión y para cortante y se coloca la más

exigente:

Por torsión 𝑠𝑚𝑎𝑥𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖ó𝑛 =≤ {𝑃ℎ 8⁄ ; 30 𝑐𝑚} = {164 8⁄ = 20,5 𝑐𝑚 ; 30 𝑐𝑚} =

20,5 𝑐𝑚

Por cortante:

Se chequea si Vs es menor que 1,06 · √𝑓′𝑐 · 𝑏𝑤 · 𝑑 = 37957,5921 kgf

Se cumple, entonces smax = d/2 o 60 cm (Para ND1)

𝑠𝑚𝑎𝑥𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 =≤ {0,5 · 𝑑 ; 60 𝑐𝑚; 5 · 𝐴𝑣𝑡 · 𝑓𝑦𝑣

𝑏𝑤 · √𝑓′𝑐;

𝐴𝑣𝑡 · 𝑓𝑦𝑣

3,5 · 𝑏𝑤} =

𝑠𝑚𝑎𝑥𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 =≤ {0,5 · 53,5 ; 60 𝑐𝑚; 5 · 2,54 · 4200

40 · √280;

2,54 · 4200

3,5 · 40} =

0,5·53,5 = 26,75 cm

5·2,54·4200

40·√280= 79,69 cm

2,54·4200

3,5·40= 76,20 cm

Separación elegida es : s = 16 cm. El primer estribo se colocará a 5 cm de la cara del

apoyo, y los estribos siguientes a cada 16 cm, hasta donde sea necesario.

El refuerzo por torsión deja de ser necesario en el punto donde

𝑻𝒖 = 𝝓 ∙ 𝟎, 𝟐𝟕 ∙ √𝒇′𝒄

∙𝑨𝒄𝒑

𝟐

𝑷𝒄𝒑= 𝟎, 𝟕𝟓 ∙ 𝟎, 𝟐𝟕 ∙ √𝟐𝟖𝟎 ∙

𝟐𝟒𝟎𝟎𝟐

𝟐𝟎𝟎 =

= 975,88 kgf·m

Como en cualquier punto de la viga, el momento de torsión Tu es mayor que este valor

del umbral de torsión, entonces se requiere refuerzo por torsión en toda la viga.

Hacemos una tabla para considerar el efecto de las variaciones en Vu y Tu, en las

separaciones de los estribos:

x (m) Vu Tu 2At/s Av/s 2At/s + Av/s s (cm)

0,785 25128,83 3676,2 0,0868 0,0646 0,15149117 16,7666538

1 23389,222 3676,2 0,0868 0,0543 0,14116862 17,9926674

1,5 19343,622 3676,2 0,0868 0,0303 0,11716268 21,6792574

1,9 16107,142 3676,2 0,0868 0,0111 0,09795794 25,9294965

2,13 14246,166 3676,2 0,0868 0,0001 0,08691521 29,2238845

3 7206,822 3676,2 0,0868 0,0333 0,12014359 21,1413688

3,89 5,654 3676,2 0,0868 0,0000 0,08684359 29,2479839

Se tiene que 0,5 𝜙Vc = 7117 kgf. Observe en la tabla que el punto donde Vu tiene el

valor de 𝜙Vc = 14234,097 kgf, es aproximadamente en x = 2,13 m, el punto donde Vu

es igual a 0,5 𝜙Vc, es aproximadamente en x = 3 m, entre estos dos puntos la norma

manda colocar refuerzo transversal mínimo por cortantes dado por 0,0333 cm2/cm, por

esto la separación en esta región se puede considerar igual a la separación máxima por

cortante 20 cm. Desde x = 1,5 m hasta x = 2,13 m se coloca separación máxima por

torsión igual a 20 cm. Desde x = 3 m hasta x = (7 – 2,62) =4,38 m medidos desde A,

no se requiere refuerzo por cortante (Para ND1), por lo tanto en esa región se coloca el

refuerzo por torsión con su separación máxima igual a 20 cm.

Se colocaran estribos cerrados #4, el primero a 5 cm desde la cara de apoyo,

luego 8 estribos a cada 16 cm hasta una distancia de 1,58 m desde el eje del

apoyo A. Luego 13 estribos a cada 20 cm, con lo cual se llega hasta una distancia

de 4,18 m, porque en x = 4,38 m ya está colocado (justo a 0,20 m más) el último

estribo que viene de la parte BC, que está a x = 2,62 m de C. En total 22 estribos

como refuerzo transversal por corte y torsión, para esta parte AB. En total para la

viga completa serán 41 estribos.

Se calcula ahora el acero longitudinal.

Se tiene 𝐴𝑡

𝑠=

3676,2·100 0.75⁄

2∙1343,85∙4200∙𝑐𝑡𝑔 45°= 0,0434 cm^2/cm

𝑨𝒍 = (𝑨𝒕

𝒔) · 𝒑𝒉 · (

𝒇𝒚𝒗

𝒇𝒚𝒍) · 𝑪𝒕𝒈𝟐𝜽 ≥

𝟏, 𝟑𝟑 · √𝒇′𝒄 · 𝑨𝒄𝒑

𝒇𝒚𝒍− (

𝑨𝒕

𝒔) · 𝒑𝒉 · (

𝒇𝒚𝒗

𝒇𝒚𝒍)

𝑨𝒍 = (𝟎, 𝟎𝟒𝟑𝟒) · 𝟏𝟔𝟒 · (𝟏) · 𝟏𝟐 = 7,12 cm^2

Para calcular el Al min, At/s no debe ser menor que 1,75bw / fy =1,75·40/4200

=0,017, cumple:

𝟏,𝟑𝟑·√𝟐𝟖𝟎·𝟐𝟒𝟎𝟎

𝟒𝟐𝟎𝟎− (𝟎. 𝟎𝟔𝟒𝟑) · 𝟏𝟔𝟒 · (𝟏) = 2,1720324 cm^2

Se cumple con Al > Al mín.

Si se divide Ph entre los 30 cm de separación máxima que deben tener entre sí las

barras de refuerzo longitudinal por torsión, se obtiene aproximadamente el número de

barras necesarias.

No. Barras = 164 / 30 = 5,47 , se consideran 6 barras.

El diámetro debe ser mayor que 0,042·s = 0,042·16 =0,672 cm, pero no menor que la

#3, es decir el diámetro =(3/8)·2,54 =0,953 cm.

Consideremos 6 barras: el área de una barra será aproximadamente: 7,12 / 6 = 1,19

cm2, lo cual se satisface con barras #4, con área Ab= 1,27 cm

2.

Diseño por flexión de la sección rectangular: 40 x 60:

Momento flexionante:

En máximo en el apoyo A: 𝑀𝐴 = 30168,1 𝑘𝑔𝑓 − 𝑚

Se determina el acero para el apoyo en A:

Datos: b = 40 cm, h = 60 cm, rd = 6,5 cm, d = h – rd = 60 – 6,5 = 53,5cm.

1. Dado que f’c = 280 kg/cm2, 𝛽1 = 0,85

2. Se determina el porcentaje de acero para la sección controlada por tracción: 0,005 =

t

𝜌𝑡 = 0,319 ∙ 𝛽1 ∙𝑓′

𝑐

𝑓𝑦= 0,319 ∙ 0,85 ∙

280

4200= 0,01808

Se diseña para un porcentaje de acero seleccionado:

𝜌 = 𝜌𝑠𝑒𝑙𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜 = 0,90 ∙ 𝜌𝑡 = 0,90 ∙ 0,01808 = 0,0163

3. Se determina el factor de resistencia nominal R.

𝑅 = 𝜌 · 𝑓𝑦 ∙ (1 − 0,59 ∙𝜌 ∙ 𝑓𝑦

𝑓′𝑐

) = 0,0163 ∙ 4200 ∙ (1 − 0,59 ∙0,0163 ∙ 4200

280)

𝑅 = 58,584 𝑘𝑔

𝑐𝑚2

4. Se determina la altura útil requerida para la sección controlada por tracción:

Mu = 30168,1 kgf -m

𝑑𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎 = √𝑀𝑢

𝜙∙𝑅∙𝑏= √

30168,1∙100

0,90∙58,584∙40= 37,82 cm

d = 53,5 cm > 37,82 cm, se diseña como SSA.

5. Se determina para la d conocida, la cuantía mecánica específica , resolviendo la

ecuación cuadrática que resulta de:

𝑀𝑢

𝜙 ∙ 𝑓′𝑐 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑2= 𝜔(1 − 0,59 ∙ 𝜔)

30168,1 ∙ 100

0,90 ∙ 280 ∙ 40 ∙ 53,52= 𝜔 − 0,59 ∙ 𝜔2

0,59 ∙ 𝜔2 − 𝜔 + 0,1046 = 0

La solución es = 0,112,

6. Se determina la cuantía geométrica del acero :

𝜌 = 𝜔 ∙𝑓′

𝑐

𝑓𝑦= 0,112 ∙

280

4200= 0,00747

7. Se determina el área de acero As:

𝐴𝑠 = 𝜌 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑 = 0,00747 ∙ 40 ∙ 53,5 = 15,99 𝑐𝑚2

8. Se determina el acero mínimo:

𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 =14

𝑓𝑦∙ 𝑏 ∙ 𝑑 𝑠𝑖 𝑓′

𝑐< 315

𝑘𝑔

𝑐𝑚2

𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 =14

4200∙ 40 ∙ 53,5 = 7,13 𝑐𝑚2

𝐴𝑠 = 15,99 𝑐𝑚2 > 7,13 𝑐𝑚2, cumple.

Detalle de la sección en el apoyo A:

Se distribuye el área de acero longitudinal por torsión Al = 7,12 cm2 en tres

partes, en la parte central de la sección de la viga se colocan 2 barras de 1/2 “, y

en la zona a tensión y a compresión se agregan (7,12 – 2,53)/2 = 2,295 cm2.

El acero a colocar en el apoyo, en la zona traccionada (arriba) es 15,99 + 2,295

=18,29 cm2. Lo cual se suple con 2 #8 + 3 #6, con un área de 18,68 cm2.

As(abajo) = 10,13 + 2,295 =12,43 cm2

Se coloca 2 # 8 + 1 # 6 = 10,13 + 2,85 = 12,98 cm2

Detalle de la sección en el tramo:

En el centro del tramo el refuerzo transversal por torsión es estribo #4 a cada 20 cm:

𝑨𝒍 = (𝟏,𝟐𝟕

𝟐𝟎) · 𝟏𝟔𝟒 · (𝟏) · 𝟏𝟐 = 10,414 cm^2

Se distribuye el área de acero longitudinal por torsión Al = 10,414 cm2 en tres

partes, en la parte central de la sección de la viga se colocan 2 barras de 5/8 “, y

en la zona a tensión y a compresión se agregan (10,414 – 3,96)/2 = 3,227 cm2.

El acero a colocar en el tramo, en la zona traccionada (abajo) es 16,48 + 3,227

=19,71 cm2. Lo cual se suple con 4 #8, con un área de 20,27 cm2.

As(arriba) = 10,13 + 3,295 =13,43 cm2

Se coloca 2 # 8 + 1 # 7 = 10,13 + 3,88 = 14,01 cm2