Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias … · Resoluci´on num´erica de problemas de...

Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinariasResolucion numerica de problemas de valor inicial de EDOs

Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

Simulacion numerica

Ander Murua

Donostia, UPV/EHU



Ecuaciones de primer ordenEcuaciones de segundo ordenSistemas de ecuaciones de primer ordenEcuaciones diferenciales en derivadas parciales

Modelo Malthusiano

dP

dt= rP, P(0) = P0

donde r es la diferencia entre la tasa de natalidad y la tasa demortandad por unidad de tiempo. La solucion exacta es

P(t) = P0 er t .

Si r > 0, la poblacion crece de forma ilimitada, y si r < 0, decaeexponencialmente hacia cero.Este modelo no es nada realista, pues no tiene en cuenta lalimitacion de recursos naturales.




Modelo de Verhulst. Ecuacion logıstica

dP

dt= r (1! P/K ) P, P(0) = P0,

donde r > 0.

Si P0 = K , entonces P(t) = K para todo t.

Se puede comprobarque la solucion general es de la forma

P(t) =K P0

P0 + (K ! P0)e!r t,

de modo que en cualquier caso (para P0 " 0 arbitrario), lapoblacion tiende hacia K cuando t #$.




Modelo de Verhulst. Ecuacion logıstica

dP

dt= r (1! P/K ) P, P(0) = P0,

donde r > 0.

Si P0 = K , entonces P(t) = K para todo t. Se puede comprobarque la solucion general es de la forma

P(t) =K P0

P0 + (K ! P0)e!r t,

de modo que en cualquier caso (para P0 " 0 arbitrario), lapoblacion tiende hacia K cuando t #$.




Modelo simplificado de pesca

dP

dt= r(1! P/K )P ! H(t)

donde t el tiempo medido en meses, y H(t) es la cantidad detoneladas que se pesca por unidad de tiempo. Consideremos doscasos:

Se pesca un numero fijo L de toneladas al mes durante todo elano. En ese caso, H(t) es una funcion constante H(t) = L.Solo se pesca durante tres meses al ano, con una cantidad fijaL de toneladas al mes, y durante el resto del ano no se pesca.En tal caso, H(t) sera una funcion periodica

H(t) =

!L si 12n % t < 12n + 3

0 si 12n + 3 % t < 13n





dP

dt= r(1! P/K )P ! H(t)


Se pesca un numero fijo L de toneladas al mes durante todo elano. En ese caso, H(t) es una funcion constante H(t) = L.

Solo se pesca durante tres meses al ano, con una cantidad fijaL de toneladas al mes, y durante el resto del ano no se pesca.En tal caso, H(t) sera una funcion periodica

H(t) =

!L si 12n % t < 12n + 3

0 si 12n + 3 % t < 13n





dP

dt= r(1! P/K )P ! H(t)


Se pesca un numero fijo L de toneladas al mes durante todo elano. En ese caso, H(t) es una funcion constante H(t) = L.Solo se pesca durante tres meses al ano, con una cantidad fijaL de toneladas al mes, y durante el resto del ano no se pesca.En tal caso, H(t) sera una funcion periodica

H(t) =

!L si 12n % t < 12n + 3

0 si 12n + 3 % t < 13n




Velocidad de caida de un paracaidista

mdv

dt= !m g + c v2, v(0) = 0.

donde m es la masa del paracaidista en kilogramos, g = 9.8 m/s2,y c > 0 es un parametro relativo a la friccion del aire con respectoal cuerpo que cae.¿Tiene dicho problema solucion unica?

De hecho, se puedecomprobar que la solucion v(t) es

v(t) = !vt1! exp(!2gt/vt)

1 + exp(!2gt/vt)

donde vt ="

m g/c . Observar que limt"#

v(t) = vt .





mdv

dt= !m g + c v2, v(0) = 0.

donde m es la masa del paracaidista en kilogramos, g = 9.8 m/s2,y c > 0 es un parametro relativo a la friccion del aire con respectoal cuerpo que cae.¿Tiene dicho problema solucion unica? De hecho, se puedecomprobar que la solucion v(t) es


1 + exp(!2gt/vt)

donde vt ="

m g/c .

Observar que limt"#

v(t) = vt .





mdv

dt= !m g + c v2, v(0) = 0.

donde m es la masa del paracaidista en kilogramos, g = 9.8 m/s2,y c > 0 es un parametro relativo a la friccion del aire con respectoal cuerpo que cae.¿Tiene dicho problema solucion unica? De hecho, se puedecomprobar que la solucion v(t) es


1 + exp(!2gt/vt)

donde vt ="

m g/c . Observar que limt"#

v(t) = vt .




Ecuacion del pendulo

m Ld2!

dt2= !m g sin(!)! c

d!

dt

Este es un ejemplo de ecuacion de segundo orden. Si introducimosuna nueva variable " para la velocidad angular d!

dt , obtenemos unsistema de ecuaciones diferenciales de primer orden

d"

dt= !g

Lsin(!)! c

m L"

d!

dt= "

Para determinar una solucion concreta, hay que conocer !(t0) y"(t0) para un instante t0 inicial. Fijados estos valores, la soluciones unica.




Un modelo depredador-presa: El sistema de Lotka-Volterra

du

dt= (a! b v) u,

dv

dt= (c u ! d) v ,

donde u representa la poblacion de presas y v la de depredadores,y a, b, c , d > 0 son parametros del problema previamente fijados.

Es un sistema autonomo.

Se puede ver que sus soluciones son periodicas.

Si se conocen u(0) y v(0) (ademas de los valores de losparametros a, b, c , d > 0), la solucion (u(t), v(t)) se puededeterminar de forma unica.




Consideremos la funcion

I (u, v) = d ln u + a ln v ! c u ! b v .

Para cualquier solucion (u(t), v(t)) del sistema

d

dtI (u(t), v(t)) = 0 para todo t,

y por tanto

I (u(t), v(t)) = I (u(0), v(0)) para todo t,

es decir, I (u, v) is un invariante del sistema. A partir de ello, sepuede deducir que (u(t), v(t)) es periodica respecto de t.




Simulacion de un satelite artificial

El movimiento de un satelite artificial alrededor de la tierra:

d2x

dt2= ! x

r3+ # Fx(x , y),

d2y

dt2= ! y

r3+ # Fy (x , y),

donde # es una constante positiva, r ="

x2 + y2, y

Fx(x , y) =1

2

#!9 + 15

x2

r2

$x

r5,

Fy (x , y) =1

2

#!3 + 15

x2

r2

$y

r5.

Valor tıpico del parmetro: # = 10!3.Ejemplo de valores iniciales con solucion casi periodica:

x(0) = 1, y(0) = 0, x $(0) = 0, y $(0) = 1.




El sistema de Lorenz

El siguiente sistema es un ejemplo de sistema caotico (fuepropuesto por Lorenz como un modelo simplificado para laevolucion de variables atmosfericas).

dx

dt= !a x + a y ,

dy

dt= r x ! y ! x z ,

dz

dt= !b z + x y ,

donde a, b, y r son constantes positivas.Valores tıpicos de los parametros: a = 10, b = 8/3, y r = 28.Ejemplo de condiciones iniciales:

x(0) = 1, y(0) = 2, z(0) = 3.




Supongamos que tenemos una barra fina aislada termicamente delexterior, excepto posiblemente por los extremos.

La ecuacion del calor unidimensional

$

$tu(x , t) = a

$2

$x2u(x , t).

donde

a > 0 es la constante de difusion,

u(x , t) es la temperatura en el tiempo t del punto concoordenada espacial x .

Para determinar de forma unica la solucion, necesitamos masinformacion:

¿Que ocurre en los extremos? (i.e. ¿condiciones de contorno?)

Condiciones iniciales: u(x , 0) =? para cada x .



Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas sti!

Problema de valor inicial de EDOs

d

dty = f (t, y),

y(t0) = y0.

Datos del problema:1 Tiempo inicial t0,2 Valor inicial y0,3 Lado derecho de la equacion diferencial: f (t, y).

Solucion: La funcion y(t).

Resolucion numerica:

Discretizacion del tiempo: Considerar t0, t1, t2, . . . , tn, dondetk = tk!1 + h, con h relativamente pequeno,

Calcular aproximaciones yk & y(tk) para k = 1, 2, 3, . . . , n.




Metodo de Euler

Para k = 0, 1, . . . , n ! 1

yk+1 = yk + h f (tk , yk)

Importante: En el caso de un sistema de EDOs de dimension d ,

Cada yk es un vector de d componentes ( yk ' Rd),

Para cada (t, y) ' Rd+1, tenemos f (t, y) ' Rd .




Metodo de Euler mejorado

Para k = 0, 1, . . . , n ! 1

yk+1 = yk + h f (tk +h

2, yk +

h

2f (tk , yk))

Metodo del punto medio explıcito

y1 = y0 + h f (t0 +h

2, y0 +

h

2f (t0, y0))

y para k = 1, . . . , n ! 1,

yk+1 = yk!1 + 2h f (tk , yk).




Para sistemas autonomos, es decir de la formad

dty = f (y),

Metodo de Euler mejorado

Para k = 0, 1, . . . , n ! 1

yk+1 = yk + h f (yk +h

2f (yk))

Metodo del punto medio explıcito

y1 = y0 + h f (y0 +h

2f (y0))

y para k = 1, . . . , n ! 1,

yk+1 = yk!1 + 2h f (yk).




Ejercicio

La EDO de la velocidad del paracaidista

mdv

dt= !m g + c v2, v(0) = 0,

donde g = 9.8 m/s2, m = 70Kg y c = 0.3, y que queremosaproximar la solucion v(t) para t ' [0, 30].

Aproximar la solucion v(t) para t = t0, t1, t2, . . . , tn = 30(donde tk = h k y h = 30/n) utilizando el metodo de Eulercon distintos valores de h. Nuestro objetivo es analizar comose reduce el error cometido segun reducimos h. Para ello,calcular para h = 0.3, h = 0.15, h = 0.075

Error = max1%k%n

|v(tk)! vk |.

Repetir el experimento para el metodo de Euler mejorado.




Definicion de orden de un metodo

Supongamos que aplicamos un metodo numerico a un problema devalor inicial

d

dty = f (t, y), y(t0) = y0

para aproximar la solucion y(t) para t ' [t0,T ], de modo queobtenemos

yk & y(tk), k = 0, 1, 2, . . . , n,

donde tk = t0 + k h y h = (T ! t0)/n.El metodo es de orden r si existe C > 0 tal que para cualquierdiscretizacion suficientemente fina

1

hrError =

1

hrmax

1%k%n||y(tk)! yk || % C .




Ejercicio

Las ecuaciones del pendulo

d!

dt= ", m L

d"

dt= !m g sin(!)! c",

donde g = 9.8 m/s2, L = 1m, m = 1Kg y c = 0.0003, y quequeremos aproximar la solucion y(t) = (!(t), "(t)) para t ' [0,T ]con T = 10.

Aproximar la solucion y(t) para t = t0, t1, t2, . . . , tn = T(donde tk = h k y h = T/n) utilizando el metodo de Eulermejorado con distintos valores de h. Comprobarexperimentalmente que el metodo es de orden 2. Para ello,calcular para h = 0.01, h = 0.005, h = 0.00025

1

h2Error =

1

h2max

1%k%n||y(tk)! yk ||.

Repetir el experimento para T = 20.Repetir el experimento para T = 40.




Implementacion

Supongamos que tenemos definida en Matlab una funcion (porejemplo, ’edofun’) tal que, dados t ' R un vector y ' Rd ,edofun(t, y) devuelve un vector f (t, y) ' Rd . Dicha funciondetermina un sistema de ecuaciones di!erenciales de la forma

d

dty = f (t, y).

Sabemos que, dados t0 ' R y y0 ' Rd , existe una unica soluciondel sistema que satisfaga la condicion inicial

y(t0) = y0.




Ejercicio

Definir una nueva funcion, digamos ’EulerModif’, que dadost0 ' R,y0 ' Rd , h > 0, y n ' N, devuelve un vector columnaT ' Rn+1 y una matriz Y ' R(n+1)&d , tales que

T =

%

&&&&'

t0

t1...

tn

(

))))*, Y &

%

&&&&'

y(t0)T

y(t1)T

...

y(tn)T

(

))))*,

donde tk = t0 + k h.




Dado el problema de valor inicial

d

dty = f (t, y), y(t0) = y0,

Para obtener para j = 0, 1, 2, . . . las aproximaciones yj & y(tj)(tj = t0 + j h),

Metodo de Runge-Kutta de orden 4

k1 = h f (tj , yj),

k2 = h f (tj +h

2, yj +

1

2k1),

k3 = h f (tj +h

2, yj +

1

2k2),

k4 = h f (tj + h, yj + k3),

yj+1 = yj +1

6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4).




Dado un sistema autonomo con condicion iniciald

dty = f (y), y(t0) = y0,

Para obtener las aproximaciones yj & y(tj) (tj = t0 + j h,j = 0, 1, 2, . . .),

Metodo de Runge-Kutta de orden 4 para sistemas autonomos

k1 = h f (yj),

k2 = h f (yj +1

2k1),

k3 = h f (yj +1

2k2),

k4 = h f (yj + k3),

yj+1 = yj +1

6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4).




RK de orden 5 de Dormand & Prince (ode45)

Para tj = t0 + j h (j = 0, 1, 2, . . .), y(tj) & yj , donde

k1 = h f (yj)

k2 = h f (yj +k1

5)

k3 = h f (yj +3k1

40+

9k2

40)

k4 = h f (yj +44k1

45! 56k2

15+

32k3

9)

k5 = h f (yj +19372k1

6561! 25360k2

2187+

64448k3

6561! 212k4

729)

k6 = h f (yj +9017k1

3168! 355k2

33+

46732 k3

5247+

49k4

176! 5103k5

18656)

yj+1 = yj +35k1

384+

500k3

1113+

125k4

192! 2187k5

6784+

11k6

84.




Ejemplo de decaimiento radiactivo

dy

dt= !100y , y(0) = 1,

La solucion exacta es

y(t) = e!100 t .

Queremos aproximar la solucion para t ' [0, 100].Aplicar el metodo de Euler, primero con h = 0.019, y despuescon h = 0.021. Comparar graficamente los resultados.Aplicar el integrador ’ode45’ con longitud de paso constante,primero con h = 0.02, y despues con h = 0.04, yrepresentarlas graficamente en una misma figura.Aplicar el integrador ’ode45’ con tolerancia absoluta y relativatol, primero con tol = 10!3, Y despues con tol = 10!4.Comparar el coste computacional y el error cometido.




Problema test de estabilidad lineal

y $ = % y , y(0) = 1,

donde % es una constante.

La solucion exacta es y(t) = e" t , y si % < 0,

limt"#

y(t) = 0.

Aplicacion del metodo de Euler

y(n h) & yn = (1 + h %) yn!1, y0 = 1.

Es decir yn = (1 + h %)n





y(n h) & yn = (1 + h %) yn!1, y0 = 1.

Es decir yn = (1 + h %)n.

Inestabilidad: Si |1 + % h| > 1, entonces limn"#

|yn| =$. Por

ejemplo, si % = !100 y h = 0.009, |1 + h %| = 1.1, y por tanto

limn"#

|yn| = limn"#

(1.1)n =$.





y(n h) & yn = (1 + h %) yn!1, y0 = 1.



|yn| =$.

Por


limn"#

|yn| = limn"#

(1.1)n =$.





y(n h) & yn = (1 + h %) yn!1, y0 = 1.



|yn| =$. Por


limn"#

|yn| = limn"#

(1.1)n =$.




Ejemplo de muelle rıgido con masa puntual (oscilador armonico)

x $$ = !1000000(x ! 1), x(0) = 1.1, x $(0) = 0.

La solucion exacta es

x(t) = 1 + cos(1000 t).

Queremos aproximar la solucion para t ' [0, 1].Aplicar el metodo de Euler, primero con h = 0.01, y despuescon h = 0.001. Comparar graficamente los resultados.Aplicar el integrador ’ode45’ con longitud de paso constante,primero con h = 0.0009, y despues con h = 0.0011, yrepresentarlas graficamente en una misma figura.Aplicar el integrador ’ode45’ con tolerancia absoluta y relativatol, primero con tol = 10!4, Y despues con tol = 10!3.Comparar el coste computacional y el error cometido.




La ecuacion de segundo orden del oscilador armonico se puedereescribir, con el cambio de variable u = x ! 1, y anadiendo lavariable v = x $ = u$, como

u$ = v , v $ = !1000000u, u(0) = 0.1, v(0) = 0. (1)

Ejercicio

Encontrar un cambio de variable de la forma

u = a1,1y + a1,2z , v = a2,1y + a2,2z ,

que transforma el sistema (1) en dos ecuaciones independientes

y $ = % y , z $ = µ z .

¿Cuales son concretamente los valores %, µ?




Version general del test de estabilidad lineal

y $ = % y , y(0) = 1,

donde % ' C.

La solucion exacta es y(t) = e" t , ySi Re(%) < 0, lim

t"#y(t) = 0,

Si Re(%) > 0, limt"#

|y(t)| =$,

Si Re(%) = 0 (% imaginario puro), entonces |y(t)| % 1 ((t).


y(n h) & yn = (1 + h %) yn!1, y0 = 1.






y(n h) & yn = (1 + h %) yn!1, y0 = 1.


Inestabilidad: Si |1 + % h| > 1, entonces

limn"#

|yn| =$.

Por ejemplo, si % = 100i y h = 0.009, |1 + h %| = 1 + 0.9i , y portanto, puesto que |1 + 0.9i | =

)1.81 > 1,

limn"#

|yn| = limn"#

()

1.81)n =$.




Si aplicamos el metodo de Runge-Kutta de orden 5 de Dormand &Prince (Dopri5, ode45) al problema test

y $ = % y , y(0) = 1,

donde % ' C, las aproximaciones yn & y(n h) = e"n,h que seobtienen son

yn = R(h %)n

Funcion de estabilidad lineal de DOPRI5 (ode45)

R(z) = 1 + z +z2

2+

z3

6+

z4

24+

z5

120+

z6

600




La solucion numerica sera estable si h % pertenece a la

Region de estabilidad lineal de DOPRI5 (ode45)

{z ' C / |R(z)| % 1}

-4 -2 0 2

-4

-2

0

2

4

rk46.ma 1




Dado un problema de valor inicial de EDOs

d

dty = f (t, y), y(t0) = y0,

y fijada una discretizazion tn = t0 + n h del tiempo, paran = 0, 1, 2, . . ., se pueden obtener las aproximaciones

yn & y(tn)

por medio del

Metodo de Euler implıcito

yn = yn!1 + h f (tn, yn)

Precision: Es un metodo de orden 1.




El metodo de Euler implıcito aplicado al problema test

y $ = % y , y(0) = 1,

(donde % ' C), da la solucion numerica

yn = R(h%)n, donde R(z) =1

1! z.

Region de estabilidad lineal

{z ' C / |R(z)| % 1} = {z ' C / |z ! 1| " 1}




Metodo del trapecio

yn = yn!1 +h

2(f (tn!1, yn!1) + f (tn, yn))

Precision: Es un metodo de orden 2.Aplicado al problema test de estabilidad lineal, se obtiene

yn = R(h%)n, donde R(z) =1 + 1

2z

1! 12z

.


{z ' C / |R(z)| % 1} = {z ' C / Re(z) % 0}.




Metodo del trapecio

yn = yn!1 +h

2(f (tn!1, yn!1) + f (tn, yn))

Precision: Es un metodo de orden 2.

Aplicado al problema test de estabilidad lineal, se obtiene


2z

1! 12z

.


{z ' C / |R(z)| % 1} = {z ' C / Re(z) % 0}.




Metodo del trapecio

yn = yn!1 +h

2(f (tn!1, yn!1) + f (tn, yn))

Precision: Es un metodo de orden 2.Aplicado al problema test de estabilidad lineal, se obtiene


2z

1! 12z

.


{z ' C / |R(z)| % 1} = {z ' C / Re(z) % 0}.




Metodo de Gauss de orden 4

yn = yn!1 +h

2(f (tn!1 + c1h,Z1) + f (tn!1 + c2h,Z2)),

donde Z1 y Z2 estan definidos de forma implıcita por medio de

Z1 = yn!1 + h (a11 f (tn!1 + c1h,Z1) + a12 f (tn!1 + c2h,Z2)),

Z2 = yn!1 + h (a21 f (tn!1 + c1h,Z1) + a22 f (tn!1 + c2h,Z2)),

con los coeficientes

a11 = a22 =1

4, a12 =

1

4!)

3

6, a21 =

1

4+

)3

6,

y c1 = a11 + a21, c2 = a21 + a22.




El metodo de Gauss de orden 4 aplicado al problema test deestabilidad lineal y $ = % y , y(0) = 1:

yn = R(h%)n, donde R(z) =1 + z

2 + z2

12

1! z2 + z2

12

.


{z ' C / |R(z)| % 1} = {z ' C / Re(z) % 0}.




Metodo de BDF de orden 2

2

3yn ! 2yn!1 +

1

2yn!2 = h f (tn, yn).


11

6yn ! 3yn!1 +

3

2yn!2 !

1

3yn!3 = h f (tn, yn).


25

12yn ! 4yn!1 + 3yn!2 !

4

3yn!3 +

1

4yn!4 = h f (tn, yn).





$

$tu(x , t) = a

$2

$x2u(x , t).

donde



¿Que ocurre en los extremos? Es decir, ¿cuales son lascondiciones de contorno? Ejemplo: u(0, t) = 0 = u(1, t) paratodo t.Condiciones iniciales: u(x , 0) =? para cada x .





$

$tu(x , t) = a

$2

$x2u(x , t).

donde



¿Que ocurre en los extremos? Es decir, ¿cuales son lascondiciones de contorno?

Ejemplo: u(0, t) = 0 = u(1, t) paratodo t.Condiciones iniciales: u(x , 0) =? para cada x .





$

$tu(x , t) = a

$2

$x2u(x , t).

donde



¿Que ocurre en los extremos? Es decir, ¿cuales son lascondiciones de contorno? Ejemplo: u(0, t) = 0 = u(1, t) paratodo t.

Condiciones iniciales: u(x , 0) =? para cada x .





$

$tu(x , t) = a

$2

$x2u(x , t).

donde



¿Que ocurre en los extremos? Es decir, ¿cuales son lascondiciones de contorno? Ejemplo: u(0, t) = 0 = u(1, t) paratodo t.Condiciones iniciales: u(x , 0) =? para cada x .



La ecuacion del calor bidimensional

$

$tu(x , y , t) = a

#$2

$x2u(x , y , t) +

$2

$y2u(x , y , t)

$.

donde


u(x , y , t) es la temperatura en el tiempo t del punto concoordenadas cartesianas (x , y).

¿Que forma tiene la placa? Es decir, ¿como es su contorno?

¿Que ocurre en los puntos del contorno? Es decir, ¿cuales sonlas condiciones de contorno? Ejemplo: u(x , y , t) = 0 paratodo t en cualquier punto (x , y) de su contorno.

Condiciones iniciales: u(x , y , 0) =? para cada (x , y).




$

$tu(x , y , t) = a

#$2

$x2u(x , y , t) +

$2

$y2u(x , y , t)

$.

donde




¿Que ocurre en los puntos del contorno? Es decir, ¿cuales sonlas condiciones de contorno?

Ejemplo: u(x , y , t) = 0 paratodo t en cualquier punto (x , y) de su contorno.





$

$tu(x , y , t) = a

#$2

$x2u(x , y , t) +

$2

$y2u(x , y , t)

$.

donde




¿Que ocurre en los puntos del contorno? Es decir, ¿cuales sonlas condiciones de contorno? Ejemplo: u(x , y , t) = 0 paratodo t en cualquier punto (x , y) de su contorno.




Siguiendo con el ejemplo anterior:

El conjunto " de puntos (x , y) de la placa se conoce como eldominio del problema.

La frontera de " se denota como $".

Una condicion de contorno tıpica es u(x , y , t) = Cte paratodo x ' $".

Ejemplo

" = {(x , y) ' R2 / 0 % x % 1, 0 % y % 1}Condiciones de contorno: u(x , y , t) = 0 si (x , y) ' $"

Condiciones iniciales:

u(x , y , 0) =

!1 si x2 + y2 < 2/5,

0 si x2 + y2 " 2/5,



Familias de metodos para la discretizacion espacial

Diferencias finitas (basados en formulas de derivacion),

Elementos finitos (FEM),

Metodos de tipo espectral,

. . .

Formulas de derivacion numerica

Para aproximar derivadas primeras

f $(x) & f (x + #x)! f (x !#x)

2#x= f $(x) + O(#x2)

Para aproximar derivadas segundas

f $$(x) & f (x + #x)! 2f (x) + f (x !#x)

#x2= f $$(x) + O(#x2)



La ecuacion de ondas lineal

$2

$t2u(x , y , t) = a

#$2

$x2u(x , y , t) +

$2

$y2u(x , y , t)

$.

donde

a > 0 es la constante de elasticidad,

u(x , y , t) es la altura de la placa en el punto con coordenadascartesianas (x , y).

Condiciones iniciales: u(x , y , 0) = u0(x , y),##t u(x , y , 0) = v0(x , y)

Condiciones de contorno tıpica: u(x , y , t) = 0 para(x , y) ' $"



La ecuacion de ondas no-lineal

$2

$t2u(x , y , t) = a

#$2

$x2u(x , y , t) +

$2

$y2u(x , y , t)

$+ f (u).

donde

a > 0 es la constante de elasticidad,

u(x , y , t) es la altura de la placa en el punto con coordenadascartesianas (x , y),

f (u) es el termino no lineal. Ejemplos: b u2, b sin(u) (b ' R),

Condiciones iniciales y de contorno como en la ecuacion lineal.



Ejemplo

" = {(x , y) ' R2 / 0 % x % 1, 0 % y % 1}Condiciones de contorno: u(x , y , t) = 0 si (x , y) ' $"

Condiciones iniciales:

u(x , y , 0) = arctan(sin(&x) sin(&y)),

v(x , y , 0) = 3 sin(&x) sin(&y)esin($y).

Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias … · Resoluci´on num´erica de problemas de...

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