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Captulo V
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
V.1 Ecuaciones diferenciales
Una ecuacin diferencial (ED) es aquella ecuacin que contiene las derivadas o
las diferenciales (totales o parciales) de una o ms variables dependientes con
respecto a una o ms variables independientes.
V.2 Clasificacin y resultados elementales
Ecuaciones diferenciales parciales (EDP): Si una ecuacin diferencial (ED)
contiene derivadas parciales de una o ms variables dependientes con respecto a
una o ms variables independientes, se dice que es una ecuacin en derivadas
parciales. Para el caso particular en que una ecuacin diferencial (EDP) contenga
nicamente derivadas parciales de una variable dependiente con respecto a una o
ms variables independientes, su solucin (la funcin desconocida) tendr la
siguiente forma:
It,,p,w,rfx
Sin embargo, nosotros no estudiaremos este tipo de ecuaciones diferenciales en
este manual ya que escapa a nuestros objetivos.
Ejemplos:
r,wfx4r
x5
w
x.1
z,r,wfx0z
xsenz
r
xrln
w
x.2
42
3
33
2
2
Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO): Una ecuacin diferencial ordinaria
(EDO) es una ecuacin diferencial (ED) que contiene derivadas totales de una o
ms variables dependientes con respecto a una sola variable independiente. Este
tipo de ecuaciones responde a la siguiente expresin general:

CIRO BAZN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
238
II0r,dr
xd,,
dr
xd,
dr
dx,x,,
dr
xd,,
dr
xd,
dr
dx,xF
n
mn
2
m2
mmn
1n
2
12
11
Ejemplos:
rdr10senzdzydyln0r10dr
dzsenz
dr
dyylnr;
dr
dz,z,
dr
dy,yF.1
drrwdwydy0rdr
dww
dr
dyyr;
dr
dw,w,
dr
dy,yF.2 22
No obstante, en este manual slo abordaremos las EDO que contienen derivadas
totales de una nica variable dependiente con respecto a una sola variable
independiente, y que pueden expresarse en forma implcita:
III0r,dr
xd,,
dr
xd,
dr
dx,xF
n
n
2
2
Donde:
2n:F
O que pueden expresarse en forma explcita:
IVr,x,dr
dx,
dr
xd,,
dr
xdf
dr
dx
2
2
1n
1n
n
n
Dnde:
1n:f
Es decir, nosotros estudiaremos aquellas EDOs que describan una relacin entre una
funcin desconocida x y sus derivadas/diferenciales totales. A la ecuacin (IV) se
le denomina ecuacin diferencial ordinaria normal. La solucin de este tipo de EDOs
es una funcin desconocida rx definida en un dominio D que admite derivadas totales hasta de orden n, tambin definidas en D, tales que esta funcin
y sus derivadas satisfacen (IV) como una identidad cuando .Dr Por tanto, la
solucin general de (IV) ser:
rxrD:x
V

MATEMTICAS PARA EL ANLISIS ECONMICO
239
Ejemplos:
rxx0dr2x6rdx402x6dr
dxr4r,
dr
dx,xF.1
rxx0xr28dr
dxx5
dr
xdr;
dr
xd,
dr
dx,xF.2 2
3
2
2
2
2
sxx0ds
xdsln
ds
xd4
ds
dxes;
ds
xd,
ds
xd,
ds
dx,xF.3
3
3
3
2
24
x
3
3
2
2
Dado que en economa es frecuente encontrar modelos dinmicos, en este
manual usualmente vamos a considerar como variable independiente al tiempo.
No obstante, toda la parte conceptual que se va a estudiar es aplicable a
cualquier otra variable independiente cuya naturaleza no sea temporal. Por tanto,
en estos casos las EDOs que vamos a estudiar podrn expresarse en forma
implcita tal como sigue:
VI0t,dt
xd,,
dt
xd,
dt
dx,xF
n
n
2
2
Dnde:
2n:F
O podrn expresarse en forma explcita tal como se muestra a continuacin:
VIIt,x,dt
dx,
dt
xd,,
dt
xdf
dt
dx
2
2
1n
1n
n
n
Dnde:
1n:f
Adems, se deber tener presente que la solucin general de dicha ecuacin
diferencial estar definida en .D Esto es:
txtD:x
VIII
La solucin general de una EDO contendr n constantes arbitrarias, por lo que
una EDO tendr infinitas soluciones.

240
V.3 Existencia y unicidad de una solucin
A la ecuacin (VII) junto con las siguientes n condiciones iniciales:
1n00
1n
'00
'
00
xtx
xtx
xtx
IX
Se le denomina el problema del valor inicial1, donde 1n
0'00 x,,x,x
son
valores especificados.
Si consideramos la ecuacin diferencial ordinaria normal de orden n dada
por (VII) y asumimos que f posee derivadas parciales continuas en DX con
respecto a todos sus argumentos. Entonces para cada conjunto de condiciones
iniciales tales como (IX) que pertenecen a nX , y si ,Dt 0 existe
una nica solucin (solucin particular) para (VII), vlida para ,dt0 donde
d es un sub-intervalo de D.
Es importante resaltar que a diferencia de la solucin general de una EDO, una
solucin particular de dicha ecuacin no contendr ninguna constante arbitraria,
por lo que no depender de las condiciones iniciales.
Para determinar la solucin general de una ecuacin diferencial ordinaria existen
diversos mtodos, pero todos ellos se basan en el uso de las integrales. Para aclarar
ideas, vamos a presentar algunos ejemplos sencillos que sern resueltos mediante
la integracin de las ecuaciones diferenciales respecto de su variable
independiente, tantas veces como sea necesario (en estos ejemplos el nmero de
veces que necesitaremos integrar la ecuacin diferencial para obtener su solucin
general coincidir con el orden de la derivada de mayor orden en dicha ecuacin).
Ejemplos:
1.- Determinar la solucin del siguiente problema de valor inicial:
1
40x
5)0(x
10tx
'
''
La solucin general de la ecuacin diferencial 10tx '' la obtendremos integrando dos veces dicha ecuacin respecto de la variable independiente t.
Integrando 10tx '' respecto a t resulta:
2At10txdt10dtdt
tdxdt10dttx '
'''
1 Si junto a la ecuacin (VII) se dan condiciones (denominadas condiciones de frontera) que corresponden
a valores distintos de la variable independiente se dice que se tiene un problema de valores en la frontera.

241
Integrando (2) respecto de t resulta:
dtAt10dtdt
tdxdtAt10dttx '
3BAtt5tx 2
La ecuacin (3) en realidad no representa una nica solucin de ,10tx '' ms bien representa una familia de infinitas funciones (parbolas en este
caso) que son solucin general de .10tx '' Dado que
,t010tx '' podemos decir que esta familia de parbolas tiene en
comn la propiedad geomtrica de ser estrictamente convexas para .0t
Para determinar la solucin particular del problema de valores iniciales, dado
por (1), deberemos determinar el valor de las constantes de integracin
haciendo uso de las condiciones iniciales. Reemplazando las condiciones
iniciales, dadas en (1), en las ecuaciones (2) y (3), se tiene:
5B0x
4A0x '
4
Reemplazando (4) en (3) obtenemos la solucin particular:
5t4t5tx 2
En la figura 1 se han representado algunas de las curvas que forman parte de
esta familia de soluciones de .10tx '' Entre ellas, se ha representado la solucin particular que resuelve el problema de valores iniciales (1).
Figura 1

242
2.- Determinar la solucin del siguiente problema de valor inicial:
5
80x
40x
10)0(x
20tx
''
'
'''
La solucin general de la ecuacin diferencial 20tx ''' la obtendremos integrando tres veces dicha ecuacin respecto de la variable independiente t.
Integrando 20tx ''' respecto a t resulta:
6At20txdt20dtdt
tdxdt20dttx ''
'''''
dtAt20dttx''
7BAtt10txdtAt20dt
dt
tdx 2''
dtBAtt10dtdt
tdxdtBAtt10dttx 22'
8CBtt2
At20tx 23
En este caso, la ecuacin (8) representa una familia de polinomios de tercer
grado para valores de .0t
Para determinar la solucin particular del problema de valores iniciales, dado
por (5), deberemos determinar el valor de las constantes de integracin
haciendo uso de las condiciones iniciales. Reemplazando las condiciones
iniciales, dadas en (5), en las ecuaciones (6), (7) y (8), se tiene:
8C0x
4B0x
8A0x
'
''
9
Reemplazando (9) en (8) obtenemos la solucin particular:
8t4t4t20tx 23

243
En la figura 2 se han representado algunas de las curvas que forman parte de
esta familia de soluciones de .20tx ''' Entre ellas, se ha represe

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