Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDOs) · PDF fileEstas ecuaciones se denominan ecuaciones...

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDOs)La segunda parte del curso es probablemente la mas sencilla. Trata de la resolucion y analisis

de varios tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs). En las asignaturas Algebra Lineal yCalculo 2 se estudiaron las EDOs de variables separadas y los sistemas de EDOs lineales. Por tanto,supondremos que todos los estudiantes saben resolver:

EDOs de variables separadas de la forma

x′ = f(t)g(x),

donde f(t) y g(x) son funciones continuas en algunos intervalo abiertos I ⊂ R y J ⊂ R.EDOs lineales (EDOLs) de primer orden de la forma

x′ = a(t)x+ b(t),

donde a(t) y b(t) son funciones continuas en algun intervalo abierto I ⊂ R.Sistemas lineales (SLs) homogeneos a coeficientes constantes de la forma

x′ = Ax,

cuando la matriz cuadrada A ∈Mn(R) es diagonalizable.

Aquı profundizaremos en el estudio de estas ecuaciones, enfatizando sus aplicaciones practicas.Algunas de las preguntas que queremos responder, si el tiempo lo permite, son las siguientes:

¿Como se comportan, a grosso modo, las soluciones de un sistema lineal a coeficientes constan-tes? ¿Y las soluciones de un sistema no lineal autonomo entorno a un punto de equilibrio?¿Como funciona el metodo de datacion por Carbono-14? (Willard Libby gano el premio Nobelde Quımica en 1960 por ese metodo.)¿Como evoluciona la concentracion de contaminantes en un lago situado en el curso de unrıo con fabricas en sus orillas? ¿Cuanto tiempo deben cerrar las fabricas para cumplir unadeterminada normativa medioambiental?¿Donde se debe poner un satelite para que se quede “quieto”? ¿Que pasa si el posicionamientofalla y el satelite se queda a unos (pocos) kilometros de la posicion calculada?¿Cual es la base matematica del Principio de Exclusion que afirma que si tenemos variasespecies que compiten por unos recursos, entonces a largo plazo solo puede sobrevivir una?

Nociones y resultados basicos

Sistemas de EDOs. Estudiaremos ecuaciones cuyas soluciones son funciones y en las cuales aparecenla funcion incognita y algunas de sus derivadas. Ademas, supondremos que las funciones incognitasdependen de una unica variable, dejando el caso de varias variables para la ultima parte del curso.

Empezaremos por los sistemas de EDOs de primer orden en forma normal, lo cual significa quetenemos tantas ecuaciones como funciones incognitas y en cada ecuacion una derivada primera aparecedespejada en funcion de una expresion que no contiene derivadas. Es decir, son ecuaciones del tipo

(1) x′ = F (t,x)

donde

t es el tiempo o variable independiente,x = (x1, . . . , xn) es la incognita o variable dependiente, yF : U ⊂ R×Rn → Rn, F = F (t,x), es una aplicacion que depende de un argumento escalar ty un argumento vectorial x.

Diremos que el sistema es autonomo si el tiempo no aparece explıcitamente en la expresion que lodefine. Las soluciones del sistema (1) son todas aquellas funciones vectoriales

x : I → Rn, x = x(t),

definidas en un intervalo abierto I ⊂ R que cumplen el sistema. En particular:

La funcion x = x(t) es derivable, yLa aplicacion F = F (t,x) se puede evaluar en los puntos

(t,x(t)) para todo t ∈ I.

1

2 Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/edos.pdf

La curva C = x(I) ⊂ Rn es la orbita de la solucion x(t). Ası pues, la diferencia entre soluciones yorbitas es que las soluciones explicitan la velocidad a la que se recorren las orbitas.

Campos vectoriales. Consideramos el sistema de primer orden en forma normal

x′ = F (t,x),

donde la aplicacion F : U → Rn esta definida en un abierto U ⊂ R × Rn. Fısicamente, podemosinterpretar el sistema como una condicion que fija la velocidad x′ = F (t,x) de una partıcula situadaen la posicion x en el instante t. Geometricamente, podemos pensar que hay un vector F (t,x) en laposicion x en el instante t. De ahı viene que en este contexto la aplicacion F : U → Rn se denominecampo de velocidades o campo de vectores. Dos ejemplos intuitivos de estos campos son la disposicionque adquieren unas virutas de hierro imantadas bajo el influjo de un iman o el aspecto cambiante deun campo de trigo cuando sopla el viento.

Por definicion, la funcion x : I → R es una solucion del sistema anterior cuando

x′(t) = F (t,x(t)), ∀t ∈ I.

Es decir, x(t) es una solucion del sistema si y solo si la trayectoria de la partıcula es tangente alcampo de vectores en cada uno de sus puntos. Ası pues, hemos relacionado el problema analıtico deresolver el sistema x′ = F (t,x) con el problema geometrico de encontrar trayectorias tangentes alcampo vectorial F (t,x).

Ejercicio. Dibujar el campo vectorial plano F (x, y) = (x, y) y algunas de sus orbitas.

Ejercicio. Dibujar el campo vectorial plano F (x, y) = (−y, x) y algunas de sus orbitas.

Teoremas de existencia y unicidad. Los problemas en los que se busca la trayectoria de unapartıcula que sigue un campo de velocidades dado y que en un cierto instante inicial esta situada enuna posicion concreta se denominan problemas de valor inicial (PVIs). La condicion inicial se expresaası: x(t0) = x0, donde t0 es el instante inicial y x0 es la posicion o valor inicial. Si x(t) es una soluciondel sistema x′ = F (t,x) definida en un entorno del instante t0 y x(t0) = x0, entonces, suponiendoque los objetos involucrados se pueden derivar tantas veces como queramos, resulta que

x′(t0) = F (t0,x0), x′′(t0) = DtF (t0,x0) +DxF (t0,x0)F (t0,x0), . . .

Es decir, la posicion inicial de la partıcula determina su velocidad inicial, su aceleracion inicial, etc. Portanto, parece razonable pensar que la trayectoria de la partıcula queda completamente determinada; osea, que los PVIs tienen soluciones unicas. Esta intuicion queda confirmada por el siguiente teorema.No lo probaremos.

Teorema (Teorema de existencia y unicidad para sistemas). Si el campo F = F (t,x) es de clase C1

en un abierto U ⊂ R× Rn y (t0,x0) ∈ U , entonces el PVI

x′ = F (t,x), x(t0) = x0,

tiene exactamente una solucion local; es decir, una unica solucion definida cuando |t− t0| es pequeno.

Cuando el sistema es autonomo; es decir, cuando el campo de velocidades es de la forma F = F (x),la velocidad x′ = F (x) de la partıcula solo depende de la posicion x pero no del instante concreto1.En tal caso, el primer teorema de existencia y unicidad implica que orbitas de partıculas diferentes nopueden tocarse. Por contra, cuando el sistema no es autonomo; es decir, cuando existen puntos dondela velocidad no es constante, puede suceder incluso que orbitas de partıculas diferentes se corten deforma transversal. Evidentemente, las partıculas pasaran por el punto de corte en instantes diferentes.

1Esta situacion implica que cada espiga mantiene su posicion en el ejemplo del campo de trigo azotado por el viento.

http://www.ma1.upc.edu/~ed/edos.pdf

Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/edos.pdf 3

EDOs de orden superior. Tambien estudiaremos las ecuaciones con una sola funcion incognita

(2) x(n) = f(t, x, x′, . . . , x(n−1)

)donde

t es el tiempo o variable independiente,x es la funcion incognita o variable dependiente,n es el orden de la ecuacion, yf = f

(t, x, x′, . . . , x(n−1)

)es una funcion que depende de n+ 1 argumentos escalares.

Estas ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) en forma normal, porquela derivada mayor x(n) aparece despejada.

Cualquier EDO en forma normal de orden n se puede transformar en un sistema de EDOs de primerorden en forma normal con n ecuaciones. Concretamente, al introducir las funciones incognita x1 = x,x2 = x′, . . . , xn = x(n−1), vemos que la ecuacion (2) se convierte en el sistema (1) con

F (t,x) =(x2, . . . , xn, f(t,x)

).

Corolario (Teorema de existencia y unicidad para EDOs). Si la funcion f = f(t, x, x′, . . . , x(n−1)

)es de clase C1 en un abierto U ⊂ Rn+1 y (t0, x0, x1, . . . , xn−1) ∈ U , entonces el PVI{

x(n) = f(t, x, x′, . . . , x(n−1)

)x(t0) = x0, x

′(t0) = x1, . . . , x(n−1)(t0) = xn−1

tiene exactamente una solucion local; es decir, una unica solucion definida cuando |t− t0| es pequeno.

Las EDOs de los siguientes ejemplos son de variables separadas, luego son faciles de resolver.

Ejemplo 1. El PVI x′ = x2, x(0) = 1, tiene una unica solucion: x(t) = 1/(1 − t). Esta solucionesta definida en el intervalo I = (−∞, 1) y no se puede extender mas, pues llega a infinito en untiempo finito. N

Ejemplo 2. El PVI tx′ = x, x(0) = 0, tiene infinitas soluciones: x(t) = ct, con c ∈ R constante libre.En cambio, el PVI tx′ = x, x(0) = x0 6= 0, no tiene ninguna solucion, pues si tuviera alguna solucional evaluar la ecuacion en el instante t = 0 resulta que x0 = x(0) = 0 · x′(0) = 0. Ninguno de estosresultados contradice al teorema de existencia y unicidad para EDOLs pues la ecuacion tx′ = x noesta normalizada y es singular en el instante t = 0. (Para normalizarla se necesita dividir por t.) N

Vale la pena recalcar que en los PVIs para EDOs se debe fijar el valor de la funcion incognita yvarias de sus derivadas en algun instante inicial comun para tener una condicion inicial “completa”.En particular, las graficas en el plano (t, x) de dos soluciones diferentes de una EDO en forma normalde orden n solo pueden tocarse cuando n ≥ 2.

Ejemplo 3. La solucion general de la EDO lineal de primer orden x′ = ax+ b, con a 6= 0, es

xg(t) = ceat − b/a,

donde la constante c ∈ R queda libre. No hay dos soluciones diferentes cuyas graficas se toquen. N

Ejemplo 4. Veremos dentro de unas semanas que la solucion general de la EDO lineal homogenea desegundo orden a coeficientes constantes x′′ + ω2x = 0, con ω > 0, es

xh(t) = c1 cosωt+ c2 sinωt,

donde las constantes c1, c2 ∈ R son libres. Las graficas de las soluciones x1(t) = cosωt y x2(t) = sinωtse cruzan transversalmente en infinitos puntos. N



El retrato de fases de EDOs de primer orden autonomas. Consideramos la EDO de primerorden autonoma en forma normal

x′ = f(x)

donde el termino f : I → R es una funcion de clase C1 en un intervalo abierto I ⊂ R. Si x(t) es lasolucion del PVI x′ = f(x), x(0) = x0 ∈ I, entonces se cumple que:

f(x0) > 0⇒ x(t) es creciente en t = 0 y el campo de vectores en x0 apunta a la derecha2;f(x0) < 0⇒ x(t) es decreciente en t = 0 y el campo de vectores en x0 apunta a la izquierda;f(x0) = 0⇒ x(t) ≡ x0 y decimos que x0 es un punto de equilibrio.

Una pregunta natural es ¿como se comportan las soluciones de x′ = f(x) cerca de un equilibrio? Agrosso modo, un equilibrio es atractor/repulsor cuando las soluciones que parten de puntos cercanostienden al/se alejan del punto de equilibrio. La estabilidad de un equilibrio x0 de la EDO x′ = f(x)se puede deducir mirando el signo de la funcion f(x) cuando x & x0 y cuando x . x0, lo cual permitedeterminar como es el campo de vectores a ambos lados de x0. Los puntos de equilibrio de EDOs deprimer orden pueden ser repulsores por un lado y atractores por el otro.

Ejemplo 5. Dibujar el retrato de fases de la ecuacion logıstica

x′ = kx(1− x/m), k,m > 0.

La funcion f(x) = kx(1 − x/m) es negativa en (−∞, 0) ∪ (m,+∞), positiva en (0,m) y se anula enlos dos puntos de equilibrio x = 0 y x = m. Por tanto, la solucion del PVI

x′ = kx(1− x/m), x(0) = x0

cumple las siguientes propiedades:

lımt→+∞ x(t) = m si x0 > 0;lımt→+∞ x(t) = −∞ si x0 < 0; yx(t) ≡ x0 si x0 = 0 o x0 = m.

El equilibrio x = m es atractor (A) y el equilibrio x = 0 es repulsor (R), ver figura 1. N

tt0 m

(R) (A)f(x) < 0J

f(x) > 0I

f(x) < 0J

Figura 1. Retrato de fases de la ecuacion logıstica x′ = f(x) = kx(1− x/m).

Ejemplo 6. Discutir la estabilidad del unico punto de equilibrio de la EDO x′ = x2.La funcion f(x) = x2 solo se anula en el origen. Por tanto, el unico equilibrio es x0 = 0. Ademas,

f(x) es positiva a ambos lados del punto de equilibrio, luego x0 es repulsor por su derecha y atractorpor su izquierda. En el ejemplo 1 vimos que la partıcula escapa a infinito en tiempo finito si su posicioninicial es x(0) = 1. El mismo resultado es cierto siempre que x(0) > 0. N

Ejercicio. Sea x0 un punto de equilibrio de la EDO x′ = f(x). Probar que:

f ′(x0) > 0 =⇒ x0 es repulsor (por ambos lados).f ′(x0) < 0 =⇒ x0 es atractor (por ambos lados).

Ejercicio. Conectarse al enlace http://www-math.mit.edu/daimp/ y entender los applets de JAVAsobre Phase lines.

2Suponiendo que dibujamos el intervalo I horizontalmente con la orientacion estandar.


http://www-math.mit.edu/daimp/


Sistemas lineales

El sistema x′ = F (t,x) es un sistema de EDOs lineales de primer orden en forma normal —o,abreviando, un sistema lineal (SL)— cuando F (t,x) sea lineal en la incognita. Es decir, cuando

(3) x′ = A(t)x + b(t)

para algunas funciones continuas A : I → Mn(R) y b : I → Rn definidas en algun intervalo abiertoI ⊂ R. Diremos que el sistema lineal es:

homogeneo, cuando b(t) = 0; ya coeficientes constantes, cuando la matriz A(t) no depende del tiempo.

Si el sistema x′ = A(t)x + b(t) no es homogeneo, diremos que x′ = A(t)x es su sistema homogeneoasociado.

Los sistemas lineales (SLs) cumplen un resultado de existencia y unicidad mas potente que lossistemas no lineales (SNLs), pues sus soluciones tienen un caracter global.

Teorema (Teorema de existencia y unicidad para SLs). Si A = A(t) y b = b(t) son continuas en unintervalo abierto I ⊂ R, t0 ∈ I y x0 ∈ Rn, entonces el PVI lineal

x′ = A(t)x + b(t), x(t0) = x0,

tiene exactamente una solucion global; es decir, una unica solucion definida en todo el intervalo I.

A continuacion, empezaremos recordando algunos metodos cuantitativos para resolver sistemaslineales explicados en anteriores asignaturas. Tambien desarrollaremos metodos cualitativos que pro-porcionan informacion sobre el aspecto de las trayectorias de un sistema lineal sin necesidad de resolverel sistema.

Resolucion de sistemas lineales.

Estructura de la soluciones. La estructura de las soluciones de un sistema lineal se explico en Calculo 2.En el caso homogeneo las soluciones forman un subespacio vectorial cuya dimension coincide con ladimension del sistema; es decir, con el numero de incognitas. En el caso no homogeneo las solucionesse pueden expresar como la suma de las soluciones del sistema homogeneo asociado y una solucionparticular cualquiera del sistema no homogeneo.

Conjuntos y matrices fundamentales. Un conjunto fundamental de soluciones de un sistema linealhomogeneo es cualquier base del subespacio vectorial formado por sus soluciones. Si el sistema tienedimension n, entonces cualquier conjunto de n soluciones x1(t), . . . ,xn(t) linealmente independientesforma un conjunto fundamental, en cuyo caso la solucion general es la combinacion lineal

xh(t) = c1x1(t) + · · ·+ cnxn(t), c1, . . . , cn ∈ R.

El Wronskiano de las soluciones x1(t), . . . ,xn(t) es el determinante de la matriz cuadrada que seforma al escribir las soluciones en columnas. Es decir,

w(t) = w[x1(t), . . . ,xn(t)] = det[x1(t), . . . ,xn(t)].

El Wronskiano es la herramienta estandar para comprobar la independencia de n soluciones:

Las soluciones x1(t), . . . ,xn(t) son linealmente dependientes ⇔ w(t) = 0 ∀t.Las soluciones x1(t), . . . ,xn(t) son linealmente independientes ⇔ w(t) 6= 0 ∀t.

Finalmente, decimos que una matriz cuadrada X : I → Mn(R) es una matriz fundamental delsistema x′ = A(t)x cuando sus columnas son soluciones linealmente independientes del sistema; esdecir, cuando X ′(t) = A(t)X(t) y det[X(t)] 6= 0 para todo t ∈ I. Una manera de obtener una matrizfundamental consiste en encontrar n soluciones linealmente independientes del sistema y formar unamatriz n× n poniendolas por columnas. Si X(t) es una matriz fundamental, entonces

xh(t) = X(t)c,

es la solucion general del sistema homogeneo, siendo c ∈ Rn un vector de constantes libres.



Resolucion de SLs homogeneos a coeficientes constantes. La idea basica para resolver un sistema linealhomogeneo a coeficientes constantes es que las funciones vectoriales que se obtienen al multiplicar unVEP por la funcion exponencial que tiene el correspondiente VAP por exponente son soluciones.

Proposicion. Si v es un VEP de VAP λ de una matriz cuadrada A, entonces

x(t) = eλtv

es una solucion del sistema x′ = Ax. Ademas, x(0) = v.

Demostracion. Como v es un VEP de VAP λ de la matriz A, sabemos que Av = λv. Por tanto,

x′(t) = λeλtv = eλtλv = eλtAv = Aeλtv = Ax(t).

Aquı hemos usado que la posicion de los escalares en una cadena de productos es indiferente. �

Ejercicio. Sea v un VEP de VAP λ de una matriz cuadrada A y sea u un vector tal que Au = λu+v.Probar que la funcion

y(t) = eλt(u + tv)

es otra solucion del sistema x′ = Ax. (Esto tiene relacion con la formas y bases de Jordan.)

Ejercicio. Probar que si v es un VEP constante de VAP λ(t) de una matriz cuadrada A(t), entonces

x(t) = e∫λ(t)dt · v

es una solucion del sistema homogeneo no autonomo x′ = A(t)x.

Cuando la matriz del sistema es diagonalizable podemos generar, a partir de una base de VEPs,un conjunto fundamental formado por soluciones de la forma anterior.

Teorema. Supongamos que {v1, . . . ,vn} es una base de VEPs de VAPs λ1, . . . , λn de la matriz A.Entonces, la solucion general del sistema x′ = Ax es

xh(t) = c1eλ1tv1 + · · ·+ cneλntvn, c1, . . . , cn ∈ R.

Demostracion. Como las n funciones vectoriales xj(t) = eλjtvj son soluciones del sistema, bastacomprobar que son li. Por ejemplo, viendo que su Wronskiano no se anula en el instante t = 0. Pero

w(0) = det[x1(0), . . . ,xn(0)] = det[v1, . . . ,vn] 6= 0

pues los VEPs v1, . . . ,vn forman una base. �

Ejemplo 7. Calcular la solucion general y una matriz fundamental del sistema

x′ = Ax, A =

(−3 1

1 −3

).

El polinomio caracterıstico de esta matriz es

QA(λ) = det(A− λId) = λ2 − (trazaA)λ+ detA = λ2 + 6λ+ 8 = (λ+ 2)(λ+ 4),

luego los VAPs son λ1 = −2 y λ2 = −4, ambos simples. Por tanto, la matriz A diagonaliza y resultafacil calcular una base de VEPs. Una posible base es v1 = (1, 1) y v2 = (1,−1). Ası pues,

xh(t) = c1eλ1tv1 + c2eλ2tv2 = c1e−2t

(11

)+ c2e−4t

(1−1

)=

(c1e−2t + c2e−4t

c1e−2t − c2e−4t

), c1, c2 ∈ R

es la solucion general del sistema. Ademas,

X(t) =

(v1eλ1t

∣∣∣∣ v2eλ2t

)=

(e−2t e−4t

e−2t −e−4t

)es una matriz fundamental, probablemente la mas simple de obtener. N

Ejercicio. Sea x(t) una solucion del sistema anterior. ¿Que se puede decir sobre lımt→+∞ x(t)?



El caso diagonalizable complejo. Cuando la matriz diagonaliza en los complejos; es decir, cuandodiagonaliza pero tiene algunos VAPs complejos conjugados, el metodo anterior proporciona solucionescomplejas que se pueden convertir facilmente en soluciones reales (es decir, en soluciones que tomanvalores reales para todo t ∈ R). Basta substituir cada pareja de soluciones complejas conjugadas porsus partes real e imaginaria.

Proposicion. Si v± = u±w i son VEPs de VAPs λ± = α±β i de una matriz A ∈Mn(R), entonces

y(t) = eαt(u cosβt−w sinβt

), z(t) = eαt

(u sinβt+ w cosβt

),

son soluciones linealmente independientes del sistema x′ = Ax. Ademas, y(0) = u y z(0) = w.

Demostracion. En primer lugar, recordamos que las funciones

x±(t) = eλ±tv± = eαt(cosβt± i sinβt)(u± iw) = y(t)± z(t) i

son soluciones complejas conjugadas. En la tercera igualdad hemos usado la formula de Euler. Comoel conjunto de soluciones es un subespacio vectorial, deducimos que las combinaciones lineales

y(t) =x+(t) + x−(t)

2, z(t) =

x+(t)− x−(t)

2 i

tambien son soluciones. Para ver que son linealmente independientes, recordamos un resultado clasicode algebra lineal: VEPs de VAPs diferentes siempre son linealmente independientes, En particular, losVEPs complejos conjugados v± = u±w i son independientes, luego sus partes reales e imaginarias uy w tambien lo son. Las propiedades y(0) = u y z(0) = w son triviales. �

Este truco funciona siempre, pero lo explicamos siguiendo un ejemplo concreto para clarificar ideas.

Ejemplo 8. Calcular la solucion general y una matriz fundamental del sistema

x′ = Ax, A =

1 −12 −141 2 −31 1 −2

.

Se puede comprobar (¡comprobadlo!) que el polinomio caracterıstico de esta matriz es

QA(λ) = det(A− λId) = · · · = −λ3 + λ2 − 25λ+ 25 = −(λ− 1)(λ2 + 25).

Los VAPs son λ1 = 1 y λ2,3 = ±5i, todos simples. Por tanto, la matriz diagonaliza en los complejos.Pasamos a calcular una base de VEPs. Empezamos por el caso mas facil, el VAP real λ1 = 1.

Nuc(A− Id) =

x

yz

∈ R3 :−12y − 14z = 0x+ y − 3z = 0

=

25z/6−7z/6z

: z ∈ R

=

25−7

6

.Por tanto, v1 = (25,−7, 6) es un VEP de VAP λ1 = 1, luego obtenemos la solucion

x1(t) = eλ1tv1 =

25et

−7et

6et

.

El caso de los VAPs complejos conjugados es mas complicado, aunque aprovecharemos que si dosVAPs son conjugados, sus VEPs tambien lo son. Es decir, basta realizar la mitad de los calculos. Portanto, para calcular la parte de la base asociada a los VAPs λ2,3 = ±5i, basta calcular el nucleo

Nuc(A− 5iId) =

x

yz

∈ R3 :(1− 5i)x− 12y − 14z = 0

x+ (2− 5i)y − 3z = 0x+ y − (2 + 5i)z = 0

=

1 + 5i11

.Por tanto, v2,3 = u ± w i son VEPs complejos conjugados de VAPs λ2,3 = α ± β i, siendo α = 0,β = 5, u = (1, 1, 1) y w = (5, 0, 0). Usando la proposicion anterior, obtenemos dos soluciones reales



linealmente independientes:

y(t) =

cos 5t− 5 sin 5tcos 5tcos 5t

, z(t) =

sin 5t+ 5 cos 5tsin 5tsin 5t

.

En particular, xh(t) = c1x1(t) + c2y(t) + c3z(t) = X(t)c es la solucion general real del sistema, dondeel vector de constantes c = (c1, c2, c3) ∈ R3 queda libre y

X(t) =

(x1(t)

∣∣∣∣ y(t)

∣∣∣∣ z(t)])

=

25et cos 5t− 5 sin 5t sin 5t+ 5 cos 5t−7et cos 5t sin 5t

6et cos 5t sin 5t

es una matriz fundamental real. N

Formula de variacion de las constantes. Sirve para calcular una solucion particular de un sistemalineal no homogeneo a partir de una matriz fundamental de su sistema homogeneo asociado.

Teorema. Si X(t) es una matriz fundamental del sistema homogeneo x′ = A(t)x y la derivada de lafuncion vectorial u : I → Rn es una solucion del sistema X(t)u′(t) = b(t), entonces

xp(t) = X(t)u(t)

es una solucion particular del sistema no homogeneo x′ = A(t)x + b(t).

Demostracion. x′p(t) = X ′(t)u(t) +X(t)u′(t) = A(t)X(t)u(t) + b(t) = A(t)xp(t) + b(t). �

Ejemplo 9. Resolver el sistema lineal no homogeneo x′ = A(t)x + b(t), donde

A(t) =

(2− t 2t− 21− t 2t− 1

), b(t) =

(tt

).

(Indicacion: Los VEPs de la matriz A(t) no dependen de t.)La matriz A(t) es diagonalizable con VEPs v1 = (1, 1) y v2(2, 1) de VAPs λ1(t) = t y λ2(t) = 1.

Por tanto, usando el ejercicio de la pagina 6 obtenemos que las funciones

x1(t) = e∫λ1(t)dt · v1 = et

2/2v1, x2(t) = e∫λ2(t)dt · v2 = etv2

son soluciones del sistema homogeneo x′ = A(t)x. Poniendolas por columnas, obtenemos la matriz

X(t) =

(et

2/2 2et

et2/2 et

).

Esta matriz es fundamental, pues su Wronskiano es no nulo: w(t) = detX(t) = −et+t2/2. Por tanto,

xh(t) = X(t)c = c1x1(t) + c2x2(t) = c1

(11

)et

2/2 + c2

(21

)et, c1, c2 ∈ R

es la solucion general del sistema homogeneo. Ahora resolvemos el sistema lineal(et

2/2 2et

et2/2 et

)(u′1(t)u′2(t)

)= X(t)u′(t) = b(t) =

(tt

)⇒{

et2/2u′1(t) = t

u′2(t) = 0⇒ u(t) =

(−et

2/2

0

).

Por tanto, xp(t) = X(t)u(t) es una solucion particular y

xg(t) = xh(t) + xp(t) = X(t)[c + u(t)

]= c1

(11

)et

2/2 + c2

(21

)et +

(−1−1

), c1, c2 ∈ R

es la solucion general del sistema no homogeneo. N



Estabilidad de SLs a coeficientes constantes. Hemos recordado como resolver algunos sistemaslineales, pero los sistemas (lineales o no) que sabemos resolver son una minorıa, luego necesitamos unmetodo para describir cualitativamente el comportamiento dinamico de sus soluciones sin resolverlos.

Empezaremos por los SLs a coeficientes constantes que son los mas simples.La primera observacion es que la velocidad del sistema x′ = Ax en el origen es igual a cero, pues

x = 0 =⇒ x′ = Ax = A0 = 0.

En particular, la funcion constante x(t) ≡ 0 siempre es una solucion (usualmente llamada soluciontrivial) del sistema homogeneo x′ = Ax. Esto es un caso particular del siguiente concepto.

Definicion. Diremos que un punto x0 ∈ Rn es un punto de equilibrio del sistema x′ = Ax cuandola velocidad del sistema en ese punto sea cero. Es decir, cuando x0 ∈ NucA. Diremos que el sistemax′ = Ax es degenerado cuando tenga infinitos puntos de equilibrio. Es decir, cuando det[A] = 0.

Si un sistema es degenerado, todos sus puntos de equilibrio son “iguales” y basta estudiar el origen.

Ejercicio. Probar que si x0 es un punto de equilibrio del sistema lineal x′ = Ax, entonces el cambio devariable dependiente y = x−x0 no modifica el sistema; es decir, el sistema transformado es y′ = Ay.

Dado un sistema lineal homogeneo a coeficientes constantes, la primera cuestion cualitativa que nosplanteamos es determinar el comportamiento futuro (t ≥ 0 o t → +∞) y pasado (t ≤ 0 o t → −∞)de sus trayectorias. Distinguimos cuatro tipos de sistemas.

Definicion. Diremos que el sistema x′ = Ax es:

Inestable si alguna de sus soluciones escapa a infinito cuando t→ +∞;Estable cuando no es inestable (es decir, cuando todas sus soluciones estan acotadas para t ≥ 0);Atractor (tambien llamado asintoticamente estable) si todas sus soluciones no triviales tiendenal origen cuando t→ +∞ y escapan a infinito cuando t→ −∞; yRepulsor si todas sus soluciones no triviales escapan a infinito cuando t → +∞ y tienden alorigen cuando t→ −∞.

Observacion. Vemos que x′ = Ax es atractor/repulsor si y solo si x′ = −Ax es repulsor/atractor, pero,en cambio, no es cierto que x′ = Ax es estable/inestable si y solo si x′ = −Ax es inestable/estable.

Observacion. Por definicion, los conceptos estable e inestable son “complementarios”; es decir, todosistema lineal es o bien estable o bien inestable. Por contra, repulsor y atractor no son conceptoscomplementarios; es decir, existen sistemas que no son ni repulsores ni atractores.

El sistema x′ = Ax es estable pero no asintoticamente estable cuando todas sus soluciones estanacotadas para t ≥ 0 pero alguna de ellas no tiende al origen cuando t→ +∞.

Ejemplo 10. La funcion xh(t) = x0eλt es la solucion general de la EDO lineal homogenea x′ = λx.Por tanto, esta EDO es: repulsora ⇔ λ > 0, atractora ⇔ λ < 0 y E pero no AE ⇔ λ = 0. N

Definicion. Sea v un VEP de VAP λ ∈ R de la matriz A. Sea r = [v] la recta que pasa por el origencon direccion v. Entonces, diremos que r es una

Recta invariante inestable (o de salida) del sistema x′ = Ax cuando λ > 0.Recta invariante estable (o de entrada) del sistema x′ = Ax cuando λ < 0.Recta invariante de puntos de equilibrio del sistema x′ = Ax cuando λ = 0.

Analogamente, sean v± = u±w i VEPs complejos conjugados de VAPs λ± = α± β i de la matriz A.Sea Π = [u,w] el plano que pasa por el origen con direcciones u y w. Entonces, diremos que Π es un

Plano invariante inestable (o de salida) del sistema x′ = Ax cuando α > 0.Plano invariante estable (o de entrada) del sistema x′ = Ax cuando α < 0.Plano invariante de giros cerrados del sistema x′ = Ax cuando α = 0.



La interpretacion de estas definiciones es la siguiente. Sea x(t) la solucion del PVI

x′ = Ax, x(0) = x0.

Si x0 ∈ r, entonces Ax0 = λx0, luego x(t) = eλtx0. Por tanto, cualquier trayectoria que empieza enun punto de la recta r se mantiene dentro de la recta (por eso decimos que la recta es invariante) ypara decidir si escapa hacia infinito, tiende al origen o se queda fija basta mirar el signo del VAP λ.

Si x0 ∈ Π = [u,w], entonces existen unos coeficientes a0, b0 ∈ R tales que x0 = a0u+ b0w. Usandola linealidad y el teorema de existencia y unicidad de soluciones, deducimos que

x(t) = a0y(t) + b0z(t) = a(t)u + b(t)w,

donde (a(t)b(t)

)= eαt

(cosβt sinβt− sinβt cosβt

)(a0

b0

).

Por tanto, cualquier trayectoria que empieza en un punto del plano Π se mantiene dentro del plano(por eso decimos que el plano es invariante) girando sin parar y para decidir si escapa hacia infinito,tiende al origen o los giros son cerrados basta mirar el signo de la parte real α. Si la parte real es iguala cero, entonces todas las trayectorias contenidas en el plano son periodicas de periodo T = 2π/β.Podemos escribir la fomula anterior en “polares”. Notando a0 + ib0 = r0e iθ0 y a(t) + ib(t) = r(t)e iθ(t),resulta que r(t) = r0eαt y θ(t) = θ0 − βt, lo cual muestra que el angulo avanza a velocidad constante.

Ejercicio. En una recta o plano de entrada, ¿cuanto tiempo tarda la trayectoria en llegar al origen?

Ya sabemos que los VAPs reales positivos y los VAPs complejos de parte real positiva dan lugar arectas y planos invariantes inestables y, por tanto, dan lugar a soluciones inestables. Pero no son losunicos VAPs con esta propiedad. Damos los siguientes teoremas sin probarlos.

Teorema. El sistema lineal homogeneo a coeficientes constantes x′ = Ax es:

Inestable si y solo si algun VAP de A tiene parte real positiva o algun VAP no semi-simple3 deA tiene parte real nula.Atractor/repulsor si y solo si todos sus VAPs tienen parte real negativa/positiva.

Teorema (Evolucion de un volumen bajo un sistema lineal). Sean A : I →Mn(R) y b : I → Rn unasfunciones continuas definidas en un intervalo abierto I ⊂ R. Sea T (t) = trazaA(t). Dado un instantearbitrario t0 ∈ I y un dominio arbitrario Wt0 ⊂ Rn, sea Wt el conjunto formado en el instante t porlas partıculas que en el instante t0 estaban en el dominio Wt0 . Es decir,

Wt =⋃

x0∈Wt0

{x(t) : x es la solucion del PVI x′ = A(t)x + b(t), x(t0) = x0

}.

EntoncesVol(Wt) = Vol(Wt0)e

∫ tt0T (s)ds

.

En particular, un sistema lineal expande, preserva o contrae volumen si su matriz tiene traza positiva,nula o negativa, respectivamente.

Ejemplo 11. Estudiar la estabilidad del sistema x′ = Ax, donde A =

(3 −1

14 −4

). Este sistema,

¿expande, preserva o contrae area?Las raıces del polinomio caracterıstico QA(λ) = λ2 + λ + 2 son λ1,2 = (−1 ±

√7i)/2, luego este

sistema lineal es atractor. La traza es T = −1 < 0, luego contrae area. N

Ejercicio. Probar que si la traza de A es positiva, entonces el sistema x′ = Ax es inestable.

Un resultado interesante es que todas todas las soluciones de un sistema lineal atractor/repulsor(homogeneo o no) se juntan/separan cuando t→ +∞ y se separan/juntan cuando t→ −∞.

Proposicion. Sean x1(t) y x2(t) dos soluciones diferentes de un sistema lineal (homogeneo o no).

3Un VAP es semi-simple cuando coinciden sus multiplicidades algebraica y geometrica.



1. Si el sistema homogeneo asociado es atractor, entonces

lımt→−∞

‖x1(t)− x2(t)‖ =∞, lımt→+∞

‖x1(t)− x2(t)‖ = 0.

2. Si el sistema homogeneo asociado es repulsor, entonces

lımt→−∞

‖x1(t)− x2(t)‖ = 0, lımt→+∞

‖x1(t)− x2(t)‖ =∞.

Demostracion. Si x1(t) y x2(t) son soluciones diferentes del sistema no homogeneo x′ = Ax + b(t),la diferencia x(t) = x1(t)− x2(t) es una solucion no trivial del sistema homogeneo asociado, pues

x′(t) = x′1(t)− x′2(t) =(Ax1(t) + b(t)

)−(Ax2(t) + b(t)

)= A(x1(t)− x2(t)

)= Ax(t).

Si este sistema homogeneo es atractor/repulsor, entonces, por definicion, todas sus soluciones notriviales se comportan de la forma que la proposicion describe. �

Ejercicio. Argumentar que un sistema lineal (homogeneo o no) a coeficientes constantes tal que susistema homogeneo asociado es atractor o repulsor no puede tener dos soluciones periodicas diferentes.

Clasificacion de SLs 2D a coeficientes constantes. En esta seccion nos limitamos a clasificar lossistemas lineales x′ = Ax cuando A es una matriz 2× 2. Es decir, es una seccion de terminologıa.

Supongamos que el sistema x′ = Ax no es degenerado, luego los dos VAPS de la matriz sondiferentes de cero. Entonces clasificaremos el sistema como:

Una silla, si los VAPs son reales y de signos diferentes,Un nodo, si los VAPs son reales pero del mismo signo, en cuyo caso diremos que el nodo es:• atractor/repulsor cuando ambos VAPs sean negativos/positivos; y• propio/impropio si la matriz diagonaliza/no diagonaliza;

Un centro, si los VAPs son imaginarios puros; yUn foco, si los VAPs son complejos conjugados de parte real no nula, en cuyo caso diremos queel foco es atractor/repulsor cuando la parte real sea negativa/positiva.

Solo hay tres tipos de sistemas 2D a coeficientes constantes que preservan area: los centros, un tipoespecial de sillas y los sistemas degenerados con VAP cero doble.

Proposicion (Criterio traza-determinante para SLs 2D a coeficientes constantes). Sea A una matrizreal 2× 2. Notamos T = trazaA, D = detA y ∆ = T 2 − 4D. Entonces el sistema x′ = Ax es:

Una silla (I) si y solo si D < 0.Un centro (E, pero no AE) si y solo si T = 0 y D > 0.Un foco si y solo si T 6= 0 y ∆ < 0. El foco es repulsor cuando T > 0 y atractor cuando T < 0.Un nodo si y solo si D > 0 y ∆ ≥ 0. El nodo es repulsor cuando T > 0 y atractor cuandoT < 0. Ademas, el nodo es impropio si y solo si ∆ = 0 y la matriz A no es diagonal.Degenerado cuando D = 0. Un sistema degenerado es I cuando T > 0, E pero no AE cuandoT < 0, y puede ser E o I cuando T = 0.

Demostracion. Sean λ+ y λ− las raıces del polinomio caracterıstico QA(t) = t2 − Tt+D. Entonces

λ± =T ±√T 2 − 4D

2=T ±√

∆

2.

Ademas, T = λ+ + λ− y D = λ+λ−. Ahora distinguimos cinco casos:

D = λ+λ− < 0 =⇒ ∆ = T 2 − 4D ≥ 0 =⇒ λ+, λ− ∈ R =⇒ signoλ+ 6= signoλ− =⇒ Silla (I).T = 0 y D > 0 =⇒ λ± = ±

√−D son imaginarios puros =⇒ Centro (E, pero no AE).

T 6= 0 y ∆ < 0 =⇒ λ± = T2 ±

√−∆2 i son complejos conjugados y Reλ± = T/2 6= 0 =⇒ Foco.

Ademas, el signo de la parte real de los VAPs coincide con el signo de la traza.D = λ+λ− > 0 y ∆ ≥ 0 =⇒ VAPs reales del mismo signo =⇒ Nodo.

Ademas, el signo de la traza T = λ+ +λ− coincide con el signo de ambos VAPs. Finalmente,

el nodo es impropio, por definicion, si y solo si A no diagonaliza. En Algebra Lineal se vio quelas unicas matrices 2× 2 no diagonalizables son las matrices no diagonales con un VAP doble.



Figura 2. Criterio traza-determinante en el plano (T,D).

El sistema es degenerado, por definicion, si y solo si D = 0. Las relaciones D = λ+λ− = 0 yT = λ+ + λ− implican que uno de los VAPs es igual a cero y el otro es igual a la traza.

La figura 2 contiene una representacion grafica de los resultados en el plano de coordenadas (T,D). �Este criterio simplifica la clasificacion de sistemas 2D con parametros. Veamos un ejemplo.

Ejemplo 12. Clasificar el sistema x′ = Ax, donde

A =

(−2µ 2µ− 1−1 0

), µ ∈ R.

La traza T = −2µ solo cambia de signo en µ = 0. El determinante D = 2µ − 1 solo cambia designo en µ = 1/2. El discriminante ∆ = T 2 − 4D = 4µ2 − 8µ + 4 = 4(µ − 1)2 es positivo si µ 6= 1y nulo si µ = 1. Ademas, la matriz A no es diagonal cuando µ = 1. Por tanto, aplicando el criteriotraza-determinante vemos que el sistema es:

Una silla (I) cuando µ < 1/2;Degenerado (E pero no AE) cuando µ = 1/2; yUn nodo atractor cuando µ > 1/2, siendo propio cuando µ 6= 1 e impropio cuando µ = 1.

En particular, la unica bifurcacion4 del sistema tiene lugar al cruzar el valor µ∗ = 1/2, momento enel cual el sistema pasa de inestable a asintoticamente estable (atractor). Es usual representar toda lainformacion en un diagrama a color5 llamado diagrama de bifurcacion, ver figura 3. N

tµ∗

Silla (I) Degen. (E) Nodo (AE)

Figura 3. Diagrama de bifurcacion del ejemplo 12 en la recta µ ∈ R. Aquı, µ∗ = 1/2.

4Una bifurcacion se define como un cambio en el aspecto cualitativo de las trayectorias de sistema.5Por ejemplo, rojo para la parte inestable del espacio de parametros, azul para la parte asintoticamente estable y

verde para la parte estable pero no asintoticamente estable.



Croquis de SLs a coeficientes constantes. Cuando ya sabemos si el sistema x′ = Ax es atractor,repulsor, inestable, o estable pero no asintoticamente estable, podemos dibujar una representaciongeometrica de sus orbitas. Esta representacion, denominada croquis o retrato de fases del sistema,debe resaltar las rectas y planos invariantes. Seguiremos un codigo de colores para distinguir salidas(rojas), entradas (azules), planos de giros cerrados (verdes) y rectas de puntos de equilibrio (amarillas).Y un codigo de flechas para distinguir direcciones rapidas y lentas o visualizar los sentidos de giro.

La interpretacion geometrica de las rectas y los planos invariantes dada en la pagina 10 nos ayudaa dibujar croquis precisos de cualquier sistema lineal homogeneo a coeficientes contantes x′ = Axcuando la matriz A diagonaliza.

Por ejemplo, sean v1, . . . ,vn los VEPs y supongamos que todos los VAPs λ1, . . . , λn son reales.Los signos de los VAPs determinan el comportamiento de las trayectorias contenidas en las rectasinvariantes rj = [vj ]. Luego la pregunta es: ¿Que aspecto tienen las otras trayectorias? Para respondera esta pregunta proyectamos una condicion inicial arbitraria sobre cada una de las rectas invariantes.Como los VEPs v1, . . . ,vn forman una base de Rn, sabemos que dado un punto arbitrario x0 ∈ Rn,existen unos coeficientes c1, . . . , cn ∈ Rn tales que x0 = c1v1 + · · ·+cnvn. Entonces, usando el teoremade existencia y unicidad de soluciones deducimos que

x(t) = c1eλ1tv1 + · · ·+ cneλntvn

es la solucion del PVI correspondiente a la condicion inicial x(0) = x0. Esto permite describir la formade cualquier trayectoria del sistema. Veamos un ejemplo 2D y otro 3D.

Ejemplo 13. Sea A la matriz 2× 2 del sistema del ejemplo 7. Sabemos que tiene VEPs v1 = (1, 1) yv2 = (1,−1) de VAPs λ1 = −2 y λ2 = −4. Por tanto, hay dos rectas invariantes de entrada:

r1 = [v1] ={

(x1, x2) ∈ R2 : x1 − x2 = 0}, r2 = [v2] =

{(x1, x2) ∈ R2 : x1 + x2 = 0

}.

Ademas, r1 corresponde a la entrada lenta y r2 a la rapida, pues eλ1t = e−2t tiende a cero maslentamente que eλ2t = e−4t. Por tanto, todas las soluciones del sistema x′ = Ax tienden al origen.Concretamente, las soluciones situadas sobre una recta invariante no abandonan la recta, mientrasque las demas soluciones trazan orbitas con aspecto de parabolas que son tangentes en el origen a larecta lenta y que lejos del origen tienden a adquirir la direccion de la recta rapida. Con esos datos yapodemos dibujar el croquis del sistema. N

Ejemplo 14. Sea A la matriz 3× 3 del ejemplo 8. Sabemos que tiene VEPs v1 = (25,−7, 6) y v2,3 =u±w i, con u = (1, 1, 1) y w = (5, 0, 0), de VAPs λ1 = 1 y λ2,3 = ±5i. Por tanto,

r = [v1] ={

(x1, x2, x3) ∈ R3 : x1/25 = −x2/7 = x3/6}

es una recta invariante de salida y

Π = [u,w] ={

(x1, x2, x3) ∈ R3 : x2 = x3

}es un plano invariante de giros cerrados donde todas las trayectorias tienen periodo T = 2π/5. El trucode proyectar una condicion inicial arbitraria sobre r y Π para ver la forma de su trayectoria funcionaigual que antes. En este caso, obtenemos que todas las orbitas del sistema x′ = Ax no contenidas nien r ni en Π son helices que escapan a infinito. N

En estos apuntes, por pereza, no vamos a incluir dibujos. El lector interesado los puede realizar porsi mismo y compararlos despues con los dibujos de la referencia Notes on Differential Equations deBob Terrell que se puede obtener del enlace http://www.math.cornell.edu/∼bterrell/dn.pdf. O mejoraun, puede realizar el siguiente ejercicio.

Ejercicio. Conectarse al enlace http://www-math.mit.edu/daimp/ y entender los dos applets de JAVAsobre Linear Phase Portraits.

Los siguentes comentarios proporcionan algunas claves para dibujar un croquis:

Dos orbitas diferentes no pueden tocarse;Los VAPs reales dan lugar a rectas invariantes de entrada, salida o puntos de equilibrio;


http://www.math.cornell.edu/~bterrell/dn.pdf



Los VAPs complejos conjugados dan lugar a planos invariantes de entrada, salida o giros;Una silla tiene una recta invariante de salida y otra de entrada, el resto de sus orbitas tienenel aspecto de hiperbolas;Un nodo propio atractor/repulsor con VAPs simples tiene dos rectas de entrada/salida (la lentay la rapida) y el resto de sus orbitas parecen parabolas tangentes en el origen a la recta lenta;Un nodo impropio atractor/repulsor tiene una unica recta invariante de entrada/salida y todassus otras orbitas son tangentes en el origen a esa recta invariante;Todas las orbitas de un nodo propio con un VAP doble son rectas que pasan por el origen;En un sistema degenerado 2D el campo de vectores F (x) = Ax apunta siempre en la mismadireccion, luego sus orbitas forman un haz de rectas paralelas;Todas las orbitas de un centro son elipses;Todas las orbitas de un foco son espirales; yEn estos dos ultimos casos, que corresponden a VAPs complejos conjugados λ± = α ± β i, elsentido de giro se determina calculando la velocidad en algun punto del plano. La velocidad degiro depende de la parte imaginaria β y la expansion/contraccion depende de la parte real α.

Ejemplo 15. Sea A una matriz 3× 3 con VAPs λ1, λ2, λ3 ∈ R tales que

λ3 < λ2 < 0 < λ1

y sea {v1,v2,v3} una base de VEPs. Entonces existen tres rectas importantes: r1 = [v1] (salida),r2 = [v2] (entrada lenta) y r3 = [v3] (entrada rapida). En el plano generado por los VEPs de VAPsnegativos el sistema tiene el aspecto de un nodo propio atractor. En los planos generados por v1 y unVEP de VAP negativo, el sistema es una silla. El resto del croquis 3D se deduce de ese “esqueleto”.

Ejercicio. Dibujar el croquis en los casos: 1) λ3 < λ2 < λ1 = 0, y 2) λ3 < λ2 < λ1 < 0.

Ejemplo 16. Sea A una matriz con VAPs λ1 ∈ R y λ2,3 = α± β i tales que

α < 0 < λ1.

Sea v1 un VEP de VAP λ1 y sean v2,3 = u±w i VEPs de VAP λ2,3. Entonces r1 = [v1] es una rectainvariante de salida y Π = [u,w] es un plano invariante de entrada. En el plano Π el sistema es unfoco atractor. Las trayectorias 3D trazan espirales que se escapan al infinito en la direccion v1, perocuyas amplitudes se hacen cada vez mas pequenas.

Ejercicio. Dibujar el croquis en los casos: 1) α = 0 < λ1, 2) 0 < α < λ1, y 3) 0 < λ1 < α.

Ejercicio. Dibujar los croquis de los sistemas degenerados x′ = A±x y x′ = A0x dados por

A± =

(±1 0

0 0

), A0 =

(0 01 0

).

Sistemas no lineales

Ya sabemos resolver sistemas lineales, determinar su estabilidad y dibujar sus trayectorias. Ahorapasamos a estudiar sistemas no lineales autonomos de primer orden expresados en forma normal.Concretamente, sistemas de la forma

x′ = F (x)

donde el campo vectorial F : U → Rn es una funcion de clase C1 en un abierto U ⊂ Rn. Recordamosque las trayectorias de este sistema son tangentes al campo de velocidades F (x). Ademas, por cadaposicion inicial pasa una unica orbita del sistema (teorema de existencia y unicidad).

Estabilidad de puntos de equilibrio. La siguiente definicion es una copia del caso lineal.

Definicion. Diremos que un punto x0 ∈ U es un punto de equilibrio del sistema x′ = F (x) cuandola velocidad del sistema en ese punto sea cero. Es decir, cuando F (x0) = 0.



Si x0 es un punto de equilibrio, la funcion constante x(t) ≡ x0 es una solucion del SNL, pues

x′(t) = 0 = F (x0) = F (x(t)), ∀t ∈ R.

Esto era algo previsible, pues significa que si una partıcula se mueve segun un campo de velocidades,permanecera quieta cuando la situamos en una posicion con velocidad cero.

La pregunta que nos hacemos ahora es, ¿como se comportan las trayectorias de un SNL que partende puntos cercanos a un punto de equilibrio del SNL? A grosso modo, diremos que un punto deequilibrio es estable cuando ninguna de las trayectorias que parten de puntos suficientemente cercanosse alejan de el; inestable cuando existen trayectorias que se alejan de el aunque partan de puntos muyproximos; y atractor/repulsor cuando las trayectorias que parten de puntos suficientemente cercanostienden a el cuando el tiempo avanza/retrocede. Sin embargo, la definicion formal es algo mas tecnica.

Definicion. Sea x0 ∈ U un punto de equilibrio del sistema x′ = F (x). Diremos que ese punto es:

Estable (E) si y solo si para todo ε > 0 existe algun δ > 0 tal que

‖x(0)− x0‖ ≤ δ =⇒ ‖x(t)− x0‖ ≤ ε, ∀t ≥ 0.

Aquı, x(t) denota a una trayectoria cualquiera del sistema.Inestable (I) cuando no es estable.Atractor o asintoticamente estable (AE) si y solo si es estable y, ademas, existe δ0 > 0 tal que

‖x(0)− x0‖ ≤ δ =⇒ lımt→+∞

x(t) = x0.

Repulsor si y solo si es atractor para el sistema x′ = −F (x).

Estas definiciones son parecidas, pero no iguales, a las dadas en el caso de SLs. Conviene entenderlas tres principales diferencias. La primera diferencia es que son los propios SLs los que se definen comoatractores, repulsores, inestables o estables, pero al trabajar con SNLs son sus puntos de equilibriolos que se definen como tales. Por ejemplo, un SNL puede tener simultaneamente puntos de equilibrioatractores y puntos de equilibrio repulsores. Vimos una muestra de esta convivencia al estudiar laecuacion logıstica en el ejemplo 5. La segunda diferencia es el caracter local que tienen las definicionesen el caso no lineal, en contraposicion al caracter global del caso lineal. Por ejemplo, si un SL esatractor, todas sus trayectorias tienden al origen. En cambio, dado un punto de equilibrio atractor deun SNL, tan solo podemos afirmar que tienden a el las trayectorias que empiezan suficientemente cercade ese punto, en una zona que recibe el nombre de cuenca de atraccion. La tercera diferencia es queen los atractores y repulsores lineales se fija el comportamiento pasado y futuro: t → ±∞, mientrasque en los atractores/repulsores no lineales tan solo se fija el comportamiento futuro/pasado.

Estabilidad de puntos de equilibrio por linealizacion. La idea detras del metodo de linealizacionpara estudiar la estabilidad de un punto de equilibrio de un SNL autonomo consiste en construir un SLhomogeneo a coeficientes constantes que “se parezca” al SNL original en las proximidades del puntode equilibrio, esperando que el comportamiento dinamico de ambos sistemas sea “similar”.

Definicion. Sea x0 ∈ U un punto de equilibrio del SNL x′ = F (x). Entonces, diremos que

A = DF (x0) =

(∂fi∂xj

(x0)

)1≤i,j≤n

es la matriz del sistema linealizado de x′ = F (x) en el punto x0.

Este concepto es clave para estudiar la estabilidad de SNLs. Damos el siguiente teorema sin probarlo.

Teorema. Sea A la matriz del sistema linealizado de un SNL en un punto de equilibrio.

Si A tiene algun VAP de parte real positiva, entonces el punto de equilibrio es inestable.Si todos los VAPs tienen parte real negativa/positiva, el punto de equilibrio es atractor/repulsor.En los otros casos, la linealizacion no decide la estabilidad.



Observacion. La existencia de algun VAP de parte real nula no impide per se que la linealizaciondecida la estabilidad. Por ejemplo, si la matriz asociada a un punto de equilibrio de un SNL 2D tieneun VAP nulo y un VAP positivo, entonces el punto de equilibrio es inestable.

Se puede probar que si el sistema linealizado de un SNL en un punto de equilibrio no tiene VAPs departe real nula, entonces los sistemas lineal y no lineal son cualitativamente “similares”. Este resultadorecibe el nombre de teorema de Hartman-Grobman. Hemos definido cinco tipos de SLs 2D homogeneosa coeficientes constantes: sillas, nodos, focos, centros y los sistemas degenerados. Solo los centros ylos sistemas degenerados tienen VAPs con parte real nula. Por tanto, si el sistema linealizado de unSNL 2D en un punto de equilibrio es una silla, un nodo o un foco, entonces podremos decir como sonlas trayectorias del SNL cerca del punto de equilibrio. Por ejemplo, si el SL asociado es una silla, elSNL tiene unas curvas invariantes de entrada y salida (tangentes en el punto de equilibrio a las rectasinvariantes de entrada y salida del SL asociado) que organizan su dinamica local entorno a ese punto.En el argot matematico, esas curvas se denominan curvas invariantes estable e inestable. El terminoinvariante enfatiza que si tomamos una condicion inicial arbitraria sobre cualquiera de esas curvas, latrayectoria se mantiene sobre la curva.

Ejemplo 17. El origen es un punto de equilibrio del sistema 3D de Lorenz x′1 = σ(x2 − x1)x′2 = x1(ρ− x3)− x2

x′3 = x1x2 − βx3

donde σ, ρ, β > 0 son parametros del sistema. Para simplificar, supondremos que ρ > 1.La matriz del sistema linealizado en el origen es

A =

−σ σ 0ρ −1 −x1

x2 x1 −β

(x1,x2,x3)=(0,0,0)

=

−σ σ 0ρ −1 00 0 −β

,

cuyos tres VAPs son

λ1,2 =−(σ + 1)±

√(σ + 1)2 + 4σ(ρ− 1)

2, λ3 = −β.

Como λ1 > 0 y λ2, λ3 < 0, el origen tiene una dimension inestable (una curva invariante de salida)y dos dimensiones estables (una superficie invariante de entrada). El eje vertical correspondiente a lacoordenada x3 es una curva invariante de entrada. (¿Por que?) Las trayectorias cerca del origen nogiran, pues todos los VAPs son reales. N

Ejercicio. Conectarse al enlace http://www.falstad.com/mathphysics.html, escoger el applet sobre 3DVector Fields, marcar el sistema de Lorenz en el menu de sistemas y visualizar sus trayectorias.

Ejemplo 18. El origen es un punto de equilibrio del sistema 2D no lineal{x′1 = x2(x1 − 1)x′2 = x1(1− x1)

.

La matriz del sistema linealizado en el origen es

A =

(x2 x1 − 1

1− 2x1 0

)(x1,x2)=(0,0)

=

(0 −11 0

)cuyos VAPs son complejos conjugados de parte real nula: λ1,2 = ± i. Por tanto, la linealizacion nodecide la estabilidad y tampoco sabemos que aspecto tienen las trayectorias del SNL cerca del origen,tan solo podemos decir que el sistema linealizado es un centro. La unica conclusion que podemosextraer a partir de la linealizacion es que las trayectorias giran entorno al origen. Sin embargo, nosabemos si estas trayectorias se alejan, se acercan o se mantienen a una distancia constante del origentras dar una vuelta completa. N


http://www.falstad.com/mathphysics.html


Ejercicio. Queremos entender el significado del sistema linealizado mediante un ejemplo. Para eso,vamos a ver que el SNL anterior tiende a su sistema linealizado cuando hacemos un zoom cada vezmayor sobre el origen. Concretamente, consideramos el cambio de escala

x1 = εy1, x2 = εy2, ε > 0.

Cuando ε � 1, el cuadrado [−1, 1] × [−1, 1] en las nuevas coordenadas (y1, y2) se corresponde con elminusculo cuadrado [−ε, ε]× [−ε, ε] en las coordenadas originales (x1, x2). Realizando este cambio deescala, el SNL del ejemplo anterior se transforma en el SNL{

y′1 = y2(εy1 − 1)y′2 = y1(1− εx1)

.

Finalmente, tomando el lımite ε→ 0, el SNL transformado tiende al SL dado por{y′1 = −y2

y′2 = y1.

Es decir, hemos obtenido el SL y′ = Ay, siendo A =

(0 −11 0

)la matriz calculada anteriormente.

Ejercicio. Conectarse al enlace http://www-math.mit.edu/daimp/ y jugar con el applet de JAVAsobre Vector Fields. En particular, usar el zoom de ese applet para comprobar que los sistemas nolineales se parecen a sus sistemas linealizados entorno cada uno de sus puntos de equilibrio.

Ejercicio. El punto (1, 1) tambien es un punto de equilibrio del SNL anterior. Calcular la matriz delsistema linealizado en ese punto. ¿Que podemos decir sobre la estabilidad del SNL?

Estabilidad de puntos de equilibrio por el metodo de Liapunov. El metodo de Liapunov puedeproporcionar informacion cuando el metodo de linealizacion no decide la estabilidad. Recordamos queen el caso 2D eso solo puede pasar cuando el sistema linealizado es degenerado y sin VAPs positivoso cuando el sistema linealizado es un centro.

El metodo consiste en considerar una funcion V (x) que mida la “distancia” al punto de equilibrio(por ejemplo, V (x) = ‖x−x0‖2 que es el cuadrado de la distancia al punto x0), para despues estudiarsi esa “distancia” V (x) aumenta, no aumenta, disminuye, no disminuye o se mantiene constante a lolargo de las trayectorias del sistema, en cuyo caso el punto de equilibrio sera repulsor, estable, atractor,no atractor o estable pero no asintoticamente estable, respectivamente.

Ejemplo 19. Estudiamos como varıa el valor de la funcion

V (x) = ‖x− 0‖2 = (x1)2 + (x2)2

sobre las trayectorias del sistema 2D del ejemplo 18. Dada una trayectoria x(t) = (x1(t), x2(t)) delsistema, aplicamos la regla de la cadena para calcular la derivada de la composicion t 7→ V (x(t))respecto el tiempo. En este caso la derivada es identicamente nula, pues

d

dt

{V (x(t))

}=∂V

∂x1(x(t)) · dx1

dt(t) +

∂V

∂x2(x(t)) · dx2

dt(t) = 2x1(t)x′1(t) + 2x2(t)x′2(t) ≡ 0.

En la ultima igualdad hemos usado las ecuaciones diferenciales x′1 = x2(x1−1) y x′2 = x1(1−x1). Portanto, la funcion V (x) es constante sobre las trayectorias del sistema, pues su “derivada temporal” esigual a cero. En otras palabras, las trayectorias estan contenidas en las curvas de nivel de la funcionV (x), las cuales son circunferencias centradas en el origen. En particular, deducimos que el origen esun punto de equilibrio estable, pero no asintoticamente estable. N

Ejercicio. Dibujar el retrato de fases del sistema 2D que acabamos de estudiar. Es decir, dibujar suspuntos de equilibrio, esquematizar la forma de sus orbitas y representar mediante flechas el sentido decada trayectoria. Discutir la estabilidad de cada punto de equilibrio a partir del retrato de fases.

Ejercicio. Conectarse al enlace http://www.falstad.com/mathphysics.html, escoger el applet de JAVAsobre 2D Vector Fields, introducir a mano el sistema 2D del ejemplo 18 en el menu de sistemas ycomparar los resultados visuales con el retrato de fases obtenido en el ejercicio anterior.



http://www.falstad.com/mathphysics.html


Definicion. Dado un sistema autonomo x′ = F (x), la derivada temporal de una funcion V (x) es

W (x) := 〈gradV (x),F (x)〉.

Diremos que V (x) es una cantidad conservada cuando su derivada temporal sea identicamente nula.

Si x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) es una trayectoria del sistema x′ = F (x), entonces la derivada de lafuncion t 7→ V (x(t)) en el instante t es igual a la derivada temporal de V (x) en el punto x(t), pues

d

dt

{V (x(t))

}=

n∑j=1

∂V

∂xj(x(t))

dxjdt

(t) = 〈gradV (x(t)),x′(t)〉 = 〈gradV (x(t)),F (x(t))〉 = W (x(t)).

El signo de esta derivada nos indica como varıa el valor de la funcion V (x) sobre las trayectoriasdel sistema. Por ejemplo, si V (x) es una cantidad conservada y sus hipersuperficies de nivel tienenel aspecto de “esferas deformadas” centradas en el punto de equilibrio, como las trayectorias estancontenidas en esas “esferas” podemos afirmar que el punto de equilibrio es estable pero no asintotica-mente estable. (Es la misma idea que ya usamos en el ejemplo 19.) La estrategia general del metodode Liapunov consiste en encontrar una funcion “distancia al punto de equilibrio” V (x) cuya derivadatemporal no tenga cambios de signo cerca del punto de equilibrio. Las funciones que no tienen cambiosde signo cerca de un punto se denominan definidas (cuando localmente solo se anulan en el punto encuestion) o semidefinidas (cuando permitimos que falle la condicion anterior).

Definicion. Diremos que una funcion W : U ⊂ Rn → R es semidefinida positiva/negativa en unpunto x0 ∈ U cuando tiene un mınimo/maximo local en ese punto y, ademas, W (x0) = 0. Y diremosque es definida positiva/negativa cuando, ademas, ese mınimo/maximo local es estricto.

Por ejemplo, la funcion W (x1, x2, x3) = 3(x1)2 + 7(x2)2 + (x3)2 es definida positiva en el origen,mientras que la funcion W (x1, x2, x3) = (x1)2 + 4(x3)2 no lo es, aunque si es semidefinida positiva.Tambien conviene notar que si x0 es un punto de equilibrio del sistema x′ = F (x) y V (x) es unafuncion arbitraria, entonces su derivada temporal W (x) = 〈gradV (x),F (x)〉 se anula en x0.

Teorema (Liapunov). Sea x0 un punto de equilibrio del sistema x′ = F (x), sea V (x) una funcion quetiene un mınimo local estricto en el punto x0 y sea W (x) = 〈gradV (x),F (x)〉 su derivada temporal.

1. Si W (x) es definida positiva/negativa en x0, entonces el punto x0 es repulsor/atractor.2. Si W (x) es semidefinida negativa en x0, entonces el punto de equilibrio x0 es estable.3. Si W (x) es semidefinida positiva en x0, entonces el punto de equilibrio x0 no es atractor.4. Si W (x) es semidefinida positiva/negativa en x0 y ninguna trayectoria6 esta contenida en el

conjunto de nivel {x ∈ U : W (x) = 0}, entonces el punto x0 es repulsor/atractor.5. Si W (x) ≡ 0, entonces el punto de equilibrio x0 es estable pero no asintoticamente estable.

Definicion. Los puntos de equilibrio de sistemas no lineales 2D con cantidades conservadas tales quesus sistemas linealizados son centros, se denominan centros no lineales.

Todas las trayectorias de SNLs 2D cercanas a un centro no lineal son soluciones periodicas; esdecir, giran formando curvas cerradas, ver ejemplo 19. Si los VAPs del sistema linealizado entorno aun centro no lineal son λ± = ±β i, con β > 0, entonces el periodo de las soluciones del SNL tiendea p = 2π/β cuando nos acercamos al punto de equilibrio. Usaremos esta propiedad para calcular elperiodo de las pequenas oscilaciones de un pendulo.

Observacion. La mayor dificultad del metodo de Liapunov consiste en hallar una funcion V (x) quepermita aplicar el teorema. No es facil. Una eleccion estandar en los problemas mecanicos es tomar laenergıa mecanica (cinetica mas potencial) como funcion V (x). Si no tenemos en cuenta la friccion, laenergıa mecanica se conserva, luego su derivada temporal sera nula. Si tenemos en cuenta la friccion,la energıa mecanica se disipa, luego su derivada temporal sera definida (o semidefinida) negativa.

6Salvo la trayectoria constante x(t) ≡ x0, claro.



Figura 4. Esquema de un pendulo.

Evolucion de un volumen. La divergencia de un campo vectorial F : U ⊂ R× Rn → Rn de claseC1, donde F = F (t,x) con x = (x1, . . . , xn) y F = (f1, . . . , fn), es la funcion

divF (t,x) =∂f1

∂x1(t,x) + · · ·+ ∂fn

∂xn(t,x).

Teorema. En los instantes t y posiciones x donde el campo tiene divergencia positiva, nula o negativa,el sistema no lineal x′ = F (t,x) expande, preserva o contrae (localmente) volumen, respectivamente.

Una consecuencia de este teorema es que la divergencia de un campo autonomo en un punto deequilibrio atractor/repulsor no puede ser positiva/negativa. Y el siguiente resultado es otra.

Corolario. Si F : U ⊂ R2 → R2 es un campo autonomo 2D cuya divergencia nunca es nula, entoncesel sistema autonomo x′ = F (x) no puede tener ninguna solucion periodica no constante que encierreun dominio contenido en el abierto U .

Demostracion. Por reduccion al absurdo. Supongamos que el sistema tiene una solucion T -periodicano constante σ(t) que encierra un dominio D ⊂ U . Sea C = ∂D = σ([0, T ]) su orbita. En primer lugar,D 6= ∅, pues σ(t) no es constante. En segundo lugar, D es invariante, pues el teorema de existenciay unicidad implica que una partıcula que inicialmente esta dentro de D, no puede escaparse. Y,analogamente, una partıcula que empieza fuera no puede entrar. Es decir,

Dt :=⋃

x0∈D

{x(t) : x es la solucion del PVI x′ = F (x), x(0) = x0

}≡ D.

Pero sabemos que la divergencia nunca se anula. Por tanto, o bien es positiva o bien es negativa. Enel primer caso, el sistema expande area: Area(Dt) es estrictamente creciente en t. En el segundo caso,el sistema contrae area: Area(Dt) es estrictamente decreciente en t. Ambas situaciones contradicen laigualdad Dt ≡ D. �

Ejercicio. Probar que un campo autonomo F : U ⊂ R3 → R3 cuya divergencia nunca es nula nopuede tener ninguna superficie invariante cerrada que encierre una region W ⊂ U .

El retrato de fases del pendulo sin friccion. Esta seccion es algo durilla. Tomad un cafe cargadoantes de leerla. Tenemos un pendulo de masa m y longitud l bajo un campo gravitatorio de intensidadconstante g. Usando la segunda ley de Newton comprobamos que la ecuacion del movimiento delpendulo sin friccion es la EDO de segundo orden

mlθ′′ = −mg sin θ,

donde θ(t) es el angulo formado por el pendulo con la posicion vertical inferior, ver la figura 4.Introduciendo la velocidad angular ω = θ′, reescribimos la EDO anterior como el sistema no lineal 2D


http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum


de primer orden {θ′ = ωω′ = −gl−1 sin θ

.

Queremos dibujar el retrato de fases de este sistema no lineal 2D. Eso incluye calcular todos sus puntosde equilibrio, estudiar la estabilidad de cada uno de ellos y representar las orbitas del sistema de formaaproximada. El proceso consta de los siguientes pasos:

Puntos de equilibrio. Buscamos los puntos donde el campo es igual a cero:

θ′ = ω = 0ω′ = −gl−1 sin θ = 0

}=⇒ (θ, ω) = (kπ, 0), k ∈ Z.

Estos puntos de equilibrio corresponden a las posiciones de equilibrio inferior (si k es par) ysuperior (si k es impar) del pendulo.Estabilidad de los puntos de equilibrio por linealizacion. La matriz del sistema linealizado en elpunto de equilibrio (θ, ω) = (kπ, 0) es igual a

Ak =

(0 1

−gl−1 cos θ 0

)(θ,ω)=(kπ,0)

=

(0 1

(−1)k+1g/l 0

).

Si k = 2n + 1 es impar, detAk = (−1)2n+1g/l = −g/l < 0 y el sistema linealizado es unasilla. Por tanto, hemos probado que la posicion de equilibrio superior es inestable. En cambio,si k = 2n es par, detAk = (−1)2ng/l = g/l > 0 y trazaAk = 0, luego el sistema linealizado esun centro. En este segundo caso, la linealizacion no decide la estabilidad.Estabilidad de la posicion de equilibrio inferior por Liapunov. Si normalizamos el problematomando el origen de energıa potencial en la posicion de equilibrio inferior (es decir, en θ = 0),entonces la energıa mecanica del pendulo es igual a

V (θ, ω) = ml2ω2/2 +mgl(1− cos θ).

Esta energıa mecanica alcanza su valor mınimo si y solo si: 1) la energıa cinetica es nula: ω = 0;y 2) la energıa potencial es mınima: cos θ = 1. Este argumento fısico demuestra que la energıatiene mınimos locales estrictos en los puntos de equilibrio asociados a la posicion de equilibrioinferior. A continuacion, calculamos la derivada temporal de la energıa mecanica:

d

dt

{V (θ, ω)

}=∂V

∂θ(θ, ω)

dθ

dt+∂V

∂ω(θ, ω)

dω

dt= (mgl sin θ)θ′+(ml2ω)ω′ = mglω sin θ−mglω sin θ ≡ 0.

Es decir, la energıa mecanica se conserva. ¡Sorpresa! Finalmente, aplicamos el ultimo apartadodel teorema de Liapunov y obtenemos que la posicion de equilibrio inferior es estable, pero noasintoticamente estable. De hecho, es un centro no lineal. Es decir, todas las trayectorias delpendulo cerca de la posicion de equilibrio inferior son periodicas.Dibujar las curvas de nivel de la funcion V (θ, ω). Como el valor de funcion V (θ, ω) permanececonstante a lo largo de las trayectorias del sistema, dibujar las curvas de nivel de esta funcionequivale a dibujar las orbitas del sistema. Una vez fijada la energıa mecanica total E ≥ 0, lascurvas de nivel {V (θ, ω) = E} se expresan en forma de graficas:

ω = ±l−1√

2E/m− 2gl(1− cos θ).

Vemos que E = 0 y E = 2mgl en las posiciones de equilibrio inferior y superior, respectivamente.Determinar el sentido de las trayectorias. Las trayectorias se recorren hacia la derecha mientrasestan en el semiplano superior {(θ, ω) ∈ R2 : ω > 0}, pues θ′(t) = ω(t) > 0. Analogamente, enel semiplano inferior se recorren hacia la izquierda.Resaltar las curvas invariantes de la posicion de equilibrio superior. Los puntos (θ, ω) = (kπ, 0)con k impar son sillas no lineales, luego tienen una curva invariante de salida (inestable) y unacurva invariante de entrada (estable). Ademas, la energıa mecanica en esos puntos es E = 2mgl.Ese nivel de energıa se puede expresar ası:

V (θ, ω) = 2mgl⇐⇒ ω2 = 2gl−1(1 + cos θ)⇐⇒ ω = ±2√g/l| cos(θ/2)|.



Ejercicio. Dejamos caer el pendulo desde la posicion que corresponde a un cierto angulo θ0 convelocidad angular nula: ω0 = 0. Sabemos que el pendulo oscila periodicamente entorno a la posicionde equilibrio inferior. Sea p = p(θ0) el periodo. Argumentar que

lımθ0→0

p(θ0) = 2π√l/g.

Indicacion: Si |θ0| es pequeno, entonces las pequenas oscilaciones del pendulo se pueden aproximarpor la oscilaciones del sistema linealizado.

Ejercicio. Determinar la estabilidad de las dos posiciones de equilibrio cuando se tiene en cuenta lafriccion. Es decir, cuando la EDO de segundo orden de partida es

mlθ′′ = −mg sin θ − µlθ′,siendo µ > 0 el coeficiente de friccion.

Fin de la Segunda Parte


Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDOs) · PDF fileEstas ecuaciones se denominan ecuaciones...

Documents

Transcript of Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDOs) · PDF fileEstas ecuaciones se denominan ecuaciones...