Ejemplo por el Método Indirecto - Líneas de Influencia

CATEDRA DE ESTRUCTURAS IIICATEDRA DE ESTRUCTURAS IIICATEDRA DE ESTRUCTURAS IIICATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.

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LÍNEAS DE INFLUENCIAEJEMPLOS DE OBTENCIÓN POR EL MÉTODO INDIRECTO

DIEGO JAVIER CERNUSCHIAyudante AlumnoCátedra de Estructuras III y IV

INTRODUCCIÓN

Una línea de influencia de un efecto ei debido a una causa móvil Cj, es un gráfico cuya ordenadaen una sección genérica j móvil mide la intensidad del efecto e en la sección fija i, producido poruna causa unitaria Cj que actúa en la sección j.A diferencia de los diagramas de N, Q, y M donde las causas están en un lugar fijo (por ejemplouna fuerza en centro de una barra) y los efectos son móviles (los diagramas se extienden a toda laestructura) los diagramas de línea de influencia el efecto es fijo y las causas son móviles.La obtención de líneas de influencia por el método indirecto surge en forma inmediata de laaplicación de la ley de Maxwell que es un caso particular de la ley de Betti cuando las causas sonunitarias. El enunciado de esta última dice que

El trabajo que realiza una causa Ci en los efectos generados por otra causa Cj, es igual altrabajo que realiza esta última en los efectos generados por la primera

y puede expresarse de la siguiente forma

±±±± Ci ei(Cj) = ±±±± Cj ej(Ci) (el signo menos corresponde al trabajo que realizan efectos reactivos)

si la causa Ci es unitaria se tiene que

±±±±ei(Cj) = ±±±± Cj ej(Ci=1)

y para una causa Cj unitaria la expresión se transforma en

±±±±ei(Cj=1) = ±±±± ej(Ci=1)

Esta forma que adquiere esta ley se denomina Ley Maxwell

±±±±eij= ±±±±eji

El signo negativo en ambos miembros corresponde al caso en que los efectos e sean fuerzasreactivas, ya que su trabajo será negativo.

Con esta expresión podemos calcular líneas de influencia transformado el cálculo de un efecto enun punto fijo en uno donde ahora la causa está en un punto fijo y cuyo cálculo es similar a losutilizados para los diagramas de solicitaciones N, Q o M o elásticas.El primer miembro es por definición la línea de influencia que se desea hallar y el segundomiembro es el efecto debido a una causa fija que es necesario medir para su obtención.

EJEMPLOS

En los siguientes casos se utilizará el método indirecto para la obtención de las líneas deinfluencia. Todas las estructuras resueltas en estos ejemplos están realizadas con perfiles deacero IPN 240 cuya área es 4.61×10-3 m2 y su momento de inercia es 4.25×10-5 m4. No obstante,con el fin de considerar a las barras como de rigidez axil infinita (mantienen su longitudconstante después de deformarse) el área ha sido considerada como de 1m2. El módulo deelasticidad del acero es 2.1×107 T/m2.



La convención tomada en estos ejemplos para dibujar las líneas de influencia es similar a laadoptada por la Cátedra para los diagramas de M, N y Q, es decir que los valores positivos sedibujarán hacia donde se encuentra ubicada la fibra de referencia, debajo de la barra para barrashorizontales e inclinadas y a la derecha si la barra es vertical.

1

2

3

4

1

2

3

4

5

A

B

X

Y

3 m 2 m

3 m

2 m

Esquema I

Ejemplo 1: Obtener la línea de influencia de corte en el punto A debido a fuerzas según Y en laestructura del esquema I

En este caso la causa Cj son las fuerzas según Y unitarias (el sentido positivo según la ternaglobal adoptada es hacia arriba ↑ ).

El efecto ei que se desea conocer es el corte en el punto A

El efecto ej correspondiente con la causa Cj es un desplazamiento absoluto según Y.

La causa Ci correspondiente con el efecto ei es un desplazamiento relativo normal a la barra en elpunto A

Debido a que Cj es una causa estática y Ci en una causa cinemática, el signo de la expresión seránegativo

Resumiendo se tiene

Cj = FY ⇒ ej = δY

ei = QA ⇒ Ci = δnrA

La expresión

ei(Cj=1) = ± ej(Ci=1)

quedará entonces como

QA (FY = 1) = – δY (δnrA = 1)

o lo que es lo mismo, introduciendo el signo negativo en la causa Cj

QA (FY = 1) = δY (δnr = – 1)



Con este cambio los diagramas de las líneas de influencia tienen el mismo signo que losdesplazamientos.

Un desplazamiento normal relativo de valor positivo implica que la parte izquierda de la barra sedesplazará por sobre la parte derecha como muestra la siguiente figura

Un desplazamiento relativo de valor negativo será

Aplicando este desplazamiento a la estructura se obtiene la siguiente deformada

X

Y

1

2

3

4

δnr= –1

Para obtener la línea de influencia sobre esta deformada se debe medir el efecto ej que en estecaso es el desplazamiento vertical de cada punto lo cual dá como resultado la línea de influenciaque se desea obtener

X

Y

1

2

3

4

-0.375

0.625

-0.020

0.121

+

–

LI QA (FY = 1) = δY (δnr = – 1)



Ejemplo 2: Obtener la línea de influencia de corte en el punto A de la estructura del esquema Idebido a fuerzas según X

En este caso se tiene

Cj = FX ⇒ ej = δX

ei = QA ⇒ Ci = δnrA

ei(Cj=1) = ± ej(Ci=1)

debido a que Cj es estática y Ci es cinemática el signo que corresponde es el negativo

QA (FX = 1) = – δX (δnrA = 1)

QA (FX = 1) = δX (δnrA = – 1)

Debido a que sobre la estructura hay que aplicar nuevamente un desplazamiento relativo unitarioen la sección A, la deformada sobre la que se tiene que medir el efecto ej el la misma que en elejemplo 1. Sobre ella se medirá el efecto ej que en este caso el el desplazamiento horizontalabsoluto, con lo que la línea de influencia resulta ser

X

Y

1

2

3

4

0.199

0.182 0.182

-0.030

0.182

Ejemplo 3: Obtener la línea de influencia de corte en el punto A de la estructura del esquema Idebido a momentos


Cj = M ⇒ ej = θei = QA ⇒ Ci = δnrA

ei(Cj=1) = ± ej(Ci=1)

debido a que Cj es estática y Ci cinemática el signo que corresponde es el negativo

QA (Mz = 1) = – θ (δnrA = 1)

QA (Mz= 1) = θ (δnrA = – 1)

LI QA (FX = 1) = δX (δnrA = – 1)



La deformada vuelve a ser la misma de los ejemplos anteriores pero en este caso el efecto ej amedir será el giro absoluto por lo que la línea de influencia es la siguiente

X

Y

1

2

3

4

-0.095

0.184

-0.360

-0.265

0.041

-0.095

Ejemplo 4: Obtener la línea de influencia de axil en el punto A de la estructura del esquema Idebido a fuerzas horizontales.



ei = NA ⇒ Ci = δarA

ei(Cj=1) = ± ej(Ci=1)

debido a que Cj es estática y Ci es cinemática el signo que corresponde es el negativo

NA (FX = 1) = – δX (δarA = 1)

NA (FX = 1) = δX (δarA = – 1)

Un desplazamiento relativo positivo en la dirección axil producirá un acercamiento de la partederecha de la barra con la parte izquierda como se muestra en la siguiente figura

Del mismo modo un desplazamiento axil negativo llevará a un alejamiento de las partes como seobserva en el gráfico a continuación

La deformada al aplicar un desplazamiento relativo axil unitario y negativo es la siguiente

+

–

LI QA (FX = 1) = θ (δnrA = – 1)


6666 www.ing.unlp.edu.ar/conwww.ing.unlp.edu.ar/conwww.ing.unlp.edu.ar/conwww.ing.unlp.edu.ar/con

X

Y

1

2

3

4

δar = –1

Midiendo el efecto ej que es el desplazamiento horizontal sobre esta deformada se obtiene lalínea de influencia buscada

X

Y

1

2

3

4

-0.231

0.779 0.779

-0.221 -0.221

Ejemplo 5: Obtener la línea de influencia de adebido a fuerzas verticales.



ei = NA ⇒ Cj = δarA

ei(Cj=1) = ± ej(Ci=1)

debido a que Cj es estática y Ci cinemática el sig

NA (FY = 1) = – δY (δarA = 1)

NA (FY = 1) = δY (δarA = – 1)

La deformada es la misma que la del ejemplo andesplazamiento vertical absoluto, resultando ento

LI NA (FX = 1) = δX (δarA = – 1)

str/estructuras3.htmstr/estructuras3.htmstr/estructuras3.htmstr/estructuras3.htm

xil en el punto A de la estructura del esquema I

no que corresponde es el negativo

terior pero en este caso el efecto ej a medir es elnces la línea de influencia


7777 www.ing.unlp.edu.ar/cwww.ing.unlp.edu.ar/cwww.ing.unlp.edu.ar/cwww.ing.unlp.edu.ar/c

X

Y

1

2

3

4

0.519

Ejemplo 6: Obtener la línea de influencia de laesquema I debido a fuerzas horizontales.



ei = RY5 ⇒ Ci = δY5

ei(Cj=1) = ± ej(Ci=1)

debido a que Cj es estática y Ci cinemática el si

RY5 (FX = 1) = – δX (δY5 = 1)

RY5 (FX = 1) = δX (δY5 = – 1)

δY4=-1 implica un desplazamiento de vínculo iLa deformada al aplicar este desplazamiento ab

X

Y

1

2

3

4

δ

Midiendo los ej que en este caso son los desqueda

LI N (F = 1) = δ (δ = – 1)

onstr/estructuras3.htmonstr/estructuras3.htmonstr/estructuras3.htmonstr/estructuras3.htm

reacción vertical en el nudo 5 de la estructura del

gno que corresponde es el negativo

mpuesto en el apoyo del nudo 4 de valor –1 en Y.soluto es

Y = –1

plazamientos horizontales, la línea de influencia

A Y Y arA


8888 www.ing.unlp.edu.arwww.ing.unlp.edu.arwww.ing.unlp.edu.arwww.ing.unlp.edu.ar

X

Y

1

2

3

4

0.182

0.199

0.182 0.182

-0.030

0.182

Ejemplo 7: Obtener la línea de influencia desquema I debido a fuerzas verticales.



ei = M1 ⇒ Ci = θ1

ei(Cj=1) = ± ej(Ci=1)

debido a que Cj es estática y Ci cinemática e

M1 (FY = 1) = –δY (θ1= 1)

M1 (FY = 1) = δY (θ1= – 1)

La deformada al aplicar un giro impuesto en

X

Y

1

2

3

4

θ = –1

Para confeccionar la línea de influencia hdeformada anterior, obteniendo

LI R (F = 1) = δ (δ = – 1)

/constr/estructuras3.htm/constr/estructuras3.htm/constr/estructuras3.htm/constr/estructuras3.htm

el momento reactivo en el nudo 1 de la estructura del

l signo que corresponde es el negativo

el empotramiento del nudo 1 es

ay que medir los desplazamientos verticales en la

Y5 X X Y5



X

Y

1

2

3

4

0.000

0.479

0.479

Ejemplo 8: Obtener la línea de influencia del giro en el nudo 4 de la estructura del esquema Idebido a fuerzas horizontales.



ei = θ4 ⇒ Ci = M4

ei(Cj=1) = ± ej(Ci=1)

debido a que Cj es estática y Ci también es estática el signo que corresponde es positivo

θ4 (FX = 1) = δX (M4= 1)

Aplicando un momento unitario en el nudo 4 la deformada obtenida es la siguiente

X

Y

1

2

3

4

M = 1

El efecto ej a medir sobre esta deformada es el desplazamiento horizontal, por lo que la línea deinfuencia es la siguiente

LI M1 (FY = 1) = δY (θ1= – 1)


10101010 www.ing.unlp.edu.ar/www.ing.unlp.edu.ar/www.ing.unlp.edu.ar/www.ing.unlp.edu.ar/

X

Y

1

2

3

4-0.000009

0.000043

0.000067

0.000043

0.000349

Ejemplo 9: Obtener la línea de influencia estructura del esquema I debido a fuerzas verti



ei = δY4 ⇒ Ci = FY4

ei(Cj=1) = ± ej(Ci=1)

debido a que Cj es estática y Ci también es está

δY4 (FY = 1) = δY (FY4= 1)

La deformada para una fuerza vertical unitaria

X

FY = 1

1

2

3

4

El efecto ej a medir sobre esta deformada es infuencia resulta ser la siguiente

LI θ4 (FX = 1) = δX (M4= 1)

constr/estructuras3.htmconstr/estructuras3.htmconstr/estructuras3.htmconstr/estructuras3.htm

del desplazamiento vertical en el nudo 4 de lacales.

tica el signo que corresponde es positivo

aplicada en el nudo 4 es la siguiente

el desplazamiento vertical, por lo que la línea de


11111111 www.ing.unlp.edu.ar/constr/ewww.ing.unlp.edu.ar/constr/ewww.ing.unlp.edu.ar/constr/ewww.ing.unlp.edu.ar/constr/e

X

Y

1

2

3

4

0.000479

0.000479

Ejemplo 10: Obtener la línea de influencia del giroesquema I debido a momentos.


Cj = M ⇒ ej = θei = θ3 ⇒ Ci = M3

ei(Cj=1) = ± ej(Ci=1)

debido a que Cj es estática y Ci también es estática el

θ3 (M = 1) = θ (M3= 1)

La deformada para una momento unitario aplicado en

X

Y

1

2

3

4

M = 1

El efecto ej a que se debe medir sobre esta deformadaes el giro, resultando la línea de infuencia ser la siguie

LI δ (F = 1) = δ (F = 1)

structuras3.htmstructuras3.htmstructuras3.htmstructuras3.htm

en apoyo del nudo 3 de la estructura del

signo que corresponde es positivo

el nudo 3 es la siguiente

para obtener la línea de influencia deseadante

Y4 Y Y Y4


12121212 www.ing.unlp.edu.ar/cowww.ing.unlp.edu.ar/cowww.ing.unlp.edu.ar/cowww.ing.unlp.edu.ar/co

X

Y

1

2

3

4-0.000359

0.001144

-0.000052

0.000246

-0.0

0.000073

Ejemplo 11: Obtener la línea de influencia deesquema I debido a fuerzas horizontales.



ei = MB ⇒ Ci = θrB

ei(Cj=1) = ± ej(Ci=1)

debido a que Cj es estática y Ci es cinemática el

MB (FX = 1) = – δX (θrB = 1)

MB (FX = 1) = δX (θrB = –1)

Un giro relativo unitario positivo corresponde al

En el caso de tener un giro unitario negativo el g

La deformada para una momento unitario negati

LI θ3 (M = 1) = θ (M3= 1)

nstr/estructuras3.htmnstr/estructuras3.htmnstr/estructuras3.htmnstr/estructuras3.htm

00408

l momento en el punto B de la estructura del

signo que corresponde es negativo

indicado en la figura siguiente

iro será

vo aplicado en el punto B es la siguiente

+

–


13131313 www.ing.unlp.edu.ar/cwww.ing.unlp.edu.ar/cwww.ing.unlp.edu.ar/cwww.ing.unlp.edu.ar/c

X

Y

1

2

3

4

θr= –1

El efecto ej a medir sobre esta deformada es el desplazamiento horizontal con lo que la línea deinfuencia es la siguiente

X

Y

1

2

3

4

-0.1494-0.1494

-0.6885

Ejemplo 12: Obtener la línea de influencia esquema II (similar a la anterior sólo que se ha3) que se muestra a continuación debido a fuerz

1

2

3

4

1

2

3

4

53 m 2 m

3 m

2 m

LI MB (FX = 1) = δX (θrB = –1)

onstr/estructuras3.htmonstr/estructuras3.htmonstr/estructuras3.htmonstr/estructuras3.htm

del giro relativo el nudo 2 de la estructura del agregado una articulación en el inicio de la barraas verticales.

Esquema II


14141414 www.ing.unlp.edu.ar/constr/www.ing.unlp.edu.ar/constr/www.ing.unlp.edu.ar/constr/www.ing.unlp.edu.ar/constr/



ei = θr2 ⇒ Ci = Mr2

ei(Cj=1) = ± ej(Ci=1)

debido a que Cj es estática y Ci es también es estática el signo que corresponde es positivo

θr2 (FY = 1) = δY (Mr2 = 1)

Al aplicar un par de momentos unitarios en el nudo 2 la deformada de la estructura es

X

Y

1

2

3

4

M = 1

Sobre esta deformada el efecto ej a medir es el desplazamiento vertical. La línea de influenciaresulta ser

X

Y

1

2

3

4

-0.000664

-0.000249

Ejemplo 13: Obtener la línea de influencia del cortela viga continua que se muestra a continuación en el

1 21 2 35m 5m

CX

Y

LI θr2 (FY = 1) = δY (Mr2 = 1)

estructuras3.htmestructuras3.htmestructuras3.htmestructuras3.htm

debido a fuerzas verticales en el punto C deesquema III

3 45m

Esquema III



Se vuelve a remarcar en este punto que las fuerzas verticales positivas de acuerdo a laconvención adoptada en este apunte tienen el sentido positivo del eje Y de la terna global (↑).



ei = QC ⇒ Ci = δnrC

ei(Cj=1) = ± ej(Ci=1)

debido a que Cj es estática y Ci es cinemática el signo que corresponde es negativo

QC (FY = 1) = – δY (δnrC = 1)

QC (FY = 1) = δY (δnrC = – 1)

La deformada al aplicar un desplazamiento normal relativo unitario de signo negativo es

1 2 3

δnr = –1

Para obtener la línea de influencia el efecto ej a medir sobre esta deformada es de desplazamientovertical, por lo que finalmente la línea de influencia es

1 2 3

0.128

-0.500

0.500

-0.128

LI QC (FY = 1) = δY (δnrC = – 1)

Ejemplo 14: Obtener la línea de influencia del momento debido a fuerzas verticales en el puntoC de la viga continua del esquema III



ei = MC ⇒ Ci = θrC

ei(Cj=1) = ± ej(Ci=1)


MC (FY = 1) = – δY (θrC = 1)

MC (FY = 1) = δY (θrC = – 1)

La deformada al aplicar como causa Ci un desplazamiento normal relativo unitario de signonegativo es



1 2 3

θr= –1

El efecto ej a medir en esta deformada es el desplazamiento vertical, por lo que la línea deinfluencia solicitada es la siguiente

1 2 30.192

-0.875

0.192 LI MC (FY = 1) = δY (θrC = – 1)

Puede verse que todos los conceptos de simetría previamente estudiados son aplicables a laslíneas de influencia en estructuras simétricas.

Ejemplo 15: Obtener la línea de influencia del giro en el apoyo del nudo 2 de la viga continuadel esquema III debido a fuerzas verticales



ei = θ2 ⇒ Ci = M2

ei(Cj=1) = ± ej(Ci=1)

debido a que Cj y Ci son ambas estáticas el signo que corresponde es positivo

θ2 (FY = 1) = δY (M2 = 1)

La deformada al aplicar un momento unitario en el nudo 2 es la siguiente

1 2 3

M = 1

El efecto ej a medir sobre la estructura deformada es el desplazamiento vertical y la línea deinfluencia resultante es

1 2 3

-0.000837

0.000747

-0.000239

LI θ2 (FY = 1) = δY (M2 = 1)

Ejemplo 16: Obtener la línea de influencia de la reacción vertical en el apoyo del nudo 2 de laviga continua del esquema III debido a fuerzas verticales





ei = RY2 ⇒ Ci = δY2

ei(Cj=1) = ± ej(Ci=1)


RY2 (FY = 1) = – δY (δY2 = 1)

RY2 (FY = 1) = δY (δY2 = – 1)

La deformada al aplicar como causa Ci un desplazamiento de vínculo impuesto unitario negativoen el nudo 2 es

1 2 3δY = –1

Sobre esta deformada se medirá el efecto ej, que es el desplazamiento vertical, para obtener lalínea de influencia

1 2

3

-1.000

0.154 LI RY2 (FY = 1) = δY (δY2 = – 1)

EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS LÍNEAS DE INFLUENCIA

Ejemplo 17: Obtener el valor máximo de la reacción vertical en el apoyo del nudo 2 de la vigacontinua del esquema III debido una carga como la que se muestra en la siguiente figura

Conociendo la línea de influencia de la reacción vertical en el apoyo del nudo 2 tal como se hahecho en el ejemplo anterior, solamente queda por aplicar la carga en aquella posición que lareacción resulte máxima. El valor máximo de la línea de influencia de la reacción se encuentraen la ordenada del apoyo, por lo tanto se debe colocar la carga sobre esta ordenada para obtenerun máximo. La carga tiene sentido contrario al sentido adoptado como positivo para el eje Y, porlo tanto, para hallar el valor de la reacción debido esta carga se tendrá

RY2,max = –1 × –2 T = 2 T

Es decir que de acuerdo a la convención adoptada, la reacción vertical tendrá el sentido positivodel eje Y (hacia arriba) como era de esperar.

Ejemplo 18: Obtener el valor máximo de la reacción vertical en el apoyo del nudo 2 de la vigacontinua del esquema III debido un tren de cargas como el que se muestra en la siguiente figura

2 T

2 m1.5 T2 T



Este caso tiene como diferencia del anterior que ya no es una sola la carga aplicada si no que esuna configuración particular de cargas llamada tren de cargas. Para obtener la máxima reacciónvertical en el apoyo 2 se tendrá que aplicar la carga mayor sobre el máximo de la línea deinfluencia y la carga restante en la ordenada distante a dos metros del apoyo que tenga mayorvalor. En este caso el tren de cargas debe aplicarse de la siguiente forma para lograr la máximareacción vertical

1 2

3

-1.000

0.154

3.2456 T

-0.8304

1.5 T 2 m 2 T

LI RY2 (FY = 1)

De este modo la máxima reacción vertical en el apoyo del nudo 2 para este tren de cargas será

RY2,mzx = (–1 × –2 T) + (–0.8304 × –1.5 T) = 2 T + 1.2456 T = 3.2456 T

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