12

Ejemplo 1

Halle la solucin de las siguientes ecuaciones :

aa.. 31 =+x bb.. ( ) 6323 +=+ xx cc.. 10= xx

Solucin :

aa.. Tiene una nica solucin, sea 2x = , lo sustituiremos en la ecuacin as,

2 1 3 3 3+ = = . Hemos verificado la igualdad, es decir x = 2 es la nica solucin de la

ecuacin ya que no existe otro nmero que al sumarlo con uno d tres.

bb.. Tiene infinitas soluciones, ya que cualquier valor que le demos a la variable x verifica

la igualdad.

Sea 2x = lo sustituiremos en la ecuacin as, ( ) ( )3 2 2 3 2 6 12 12+ = + = ,

sea 1x = lo sustituiremos en la ecuacin as, ( ) ( )3 1 2 3 1 6 9 9+ = + = y as para

cualquier nmero real.

cc.. No tiene solucin, ya que no existe nmero que verifique la igualdad. Prubalo!

Adems dos ecuaciones diferentes pueden tener las mismas soluciones o ambas carecer

de solucin, estas ecuaciones se llaman equivalentes. As, la ecuacin 3x 7 = x + 1 es

equivalente a 2x 8 = 0 porque ambas tienen como solucin nica x = 4.

Formalmente para resolver una ecuacin aplicamos algunas propiedades del conjunto de los

nmeros reales, por ejemplo:

Ejemplo 2

Halle el conjunto solucin de la siguiente ecuacin 3 4 8x x = + .Procedimiento:

1 Aplicamos la ley del inverso aditivo,

3 4 4 8 4x x x x + = +

13

2 Reduciendo trminos semejantes en 1 ,

2 0 0 12x + = +

3 Aplicando la propiedad del elemento neutro en la adicin en 2 ,

2 12x =

4 Aplicamos ley del inverso multiplicativo en 3 ,

( ) ( )1 12 2 12 2x =5 Lo que es equivalente a,

2 122 2x= por que

1nna a

=

6 6x = por simplificacin en 5

Conjunto solucin { }6 ( { }6S = ).

Conocido el proceso para resolver una ecuacin y con el propsito de hallar la solucin ms

rpidamente, aplicaremos la tcnica del despeje .

1.3.2 Tcnica del despeje para la solucin de una ecuacin

Se conoce como despeje el aislar, desamparar, separar a una determinada variable en un

lado de la igualdad; mediante est tcnica conseguiremos de manera precisa la solucin o

soluciones de la ecuacin. Para ello debemos tener en cuenta las siguientes reglas :

1. Si se suma o se resta la misma cantidad a ambos lados

de una ecuacin, sus soluciones no cambian.

2. Al multiplicar o dividir ambos lados de una ecuacin

por la misma cantidad distinta de cero sus soluciones

no cambian.

14

Importante...

Recomendaciones para despejar una variable:

aa.. Ubique en un solo lado de la ecuacin todos aquellos trminos que posean la variable a

despejar, para ello puede utilizar la regla 1.

bb.. Trate que la variable a despejar aparezca una sola vez.

cc.. Quite los trminos que acompaan la variable; para ello utilizar la regla 2.

dd.. El resultado es su despeje.

Ejemplo 3

Resuelva la ecuacin yyy 6322

31

=+ .

Solucin :

Despejemos la variable y para obtener su conjunto solucin. Siguiendo las

recomendaciones para el despeje, primero dejaremos en un solo lado de la igualdad los

trminos que posean la variable a despejar y en el otro los trminos que no la posean ,as

1 2 2 1 32 6 2 6 53 3 3 3 3

y y y y y y y+ = + = = , resolviendo

15 15

y y= =

Entonces el conjunto solucin de la ecuacin es

51 .

Para comprobar si esta solucin es correcta, evaluaremos la ecuacin en el punto 51

=y .

Comprobando

51

632

51

231

51

=+ Resolviendo por separado cada lado de la igualdad

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 3 1 5 2 3 2 5 6 32 2 6 3 515 5 3 5 15 15

+ + += + =

2 6 10 18 2 215 15 15 15

+= =

Primero debes pasar los trminos que estn sumando o restando antes de

los que estn multiplicando o dividiendo.

15

Enunciado verdadero, entonces la solucin es la correcta. Este proceso se conoce como

proceso de comprobacin.

Ejemplo 4

Resulvase para la variable indicada en trminos de las variables restantes:

1) Circunferencia de un crculo, .para,2 rrC =

Solucin :

Para dejar a la variable r sola , necesitamos trasladar al otro lado de la igualdad a 2 .

Por la regla 2 notamos que 2 multiplica a r entonces pasa al otro lado dividiendo, as

22CC r r

= =

Obsrvese que no necesariamente la variable que despejamos debe quedar en el lado

izquierdo de la ecuacin ya que en este problema lo logramos dejndola en el lado derecho.

2) Cantidad de dinero acumulado bajo inters simple, con una tasa de inters r y

durante un tiempo t trCCA += , resuelva para C.Solucin:

Aqu aplicaremos la ley distributiva para transformar las dos C en una sola,

( )1 trCAtrCCA +=+= , aplicando las reglas del despeje tenemos

( )1C

trA

=+

lo que es equivalente a1 tr

AC+

=

3)rea lateral de la superficie de un cilindro, hrS 2= , despeje h.Solucin:

Aplicando las reglas del despeje,

hr

hrS ==2

S2

lo que es equivalente ar

h2

S

=

Importante...

Para tener xito en el trabajo con ecuaciones es necesario adiestrarnos

correctamente en el despeje de variables.

16

1.3.3 Estrategias para la enseanza del despeje de variables en las ecuaciones

Una estrategia didctica es un conjunto de instrucciones articuladas pedaggicamente para

la facilitacion de la adquisicin del conocimiento en determinado tema.

Para el despeje de variables presentaremos dos tcnicas: Las fichas y la balanza.

1.3.3.1 Las fichas

En esta tcnica se utiliza material concreto: tijeras y cartulina. Consiste en copiar los

trminos de la ecuacin en pequeos cuadros de cartulina, los cuales sern manipulados de

un lado a otro cuando se utilicen las reglas del despeje.

Observe la metodologa en el siguiente:

Ejemplo 5

Sea la ecuacin de la distancia en un movimiento rectilneo uniformemente acelerado

definida por 2

2

0tatVd += , donde d es la distancia , t el tiempo, a la

aceleracion y 0V la velocidad inicial . Despeje la velocidad inicial.

Procedimiento:

Escrbase la ecuacin en cartulina de la siguiente forma:

2

2

0tatVd += , recortese los recuadros segn la lnea punteada

2

2

0tatVd +=

Ahora podemos desplazarlas hacia donde las necesitemos con el fin de lograr nuestro

objetivo, el despeje de 0V .

Por la regla 1 trasladamos el trmino 2

2a t hacia el otro lado de la igualdad

17

2

0 2a td V t= +

Le cambiamos el signo

2

02a td V t = , por la regla 2

Pasa a dividir

20

2

Vt

tad=

, lo que es equivalente a

2

2

0 t

tadV

= y de esa manera hemos despejado a 0V .

1.3.3.2 La balanza

Otra sugerencia til para la presentacin de este tpico es hacer ver las ecuaciones como

una balanza, donde hay que conservar el equilibrio; es decir, podemos jugar con ella

agregando o eliminando cosas siempre y cuando siga estando balanceada esa balanza

imaginaria.

Ejemplo 6

La frmula para transformar grados Centgrados a Farenheit est definida por

3259

+= CF , despeje a C.

18

Procedimiento:

Obsrvese la balanza, luego le agregamos 32 y tenemos

F = 3259

+C donde F 32 = 3259

+C 32

Resolviendo donde sea posible tenemos,

F 32 = C59 , le agregamos

95 multiplicado y obtenemos

( )3295

F = C95

59 , expresin equivalente a

( )3295

= FC , y as hemos logrado lo deseado.

Observe que todo el tiempo hemos agregado la misma cosa o cantidad a cada uno de los

platos de la balanza, manteniendo as ese equilibrio, que nos indica la veracidad de nuestro

trabajo.

-32 -32

95

95

19

Para finalizar, amigo lector atrvase usted mismo a disear otras estrategias metodolgicas

en este tpico o en otros y cosechar ms adelante sus frutos, en la labor docente con sus

estudiantes.