Educativo

Análisis de Sistemas Lineales

“Respuesta Impulsiva de Sistemas Continuos”

ASL/RAD/2001

Respuesta Impulsiva de Sistemas Continuos

Representación General

ASL/RAD/2001

Sistema Lineal e Invariante en Tiempo

(LIT)

x(t) y(t)

En general

y(t) = (x(t))

El objetivo general es conocer cuando el sistema es LIT y el objetivo particular es conocer y(t) cuando x(t) = (t)


Sistema de Primer Orden

ASL/RAD/2001

dy t

dtay t bx t

x t t

dh ah t dt t dt

dh t

dtah t t

h(

dh t

dtah t t

siempre

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

)

( )( )

si entonces la ecuacion se puede escribir como

donde h(t) es la respuesta al impulso, evaluando las integrales queda

por lo tanto, el problema se reduce a conseguir

la respuesta natural del sistema cuando la condicion

inicial es h(0) = 1

0

0

0

0

0

0

-

+

-

+

-

+

1

0 0

0 1

0 0

0


Sistema de Primer Orden

ASL/RAD/2001

resolviendo el problema planteado

la respuesta sera

h(

dh t

dtah t t

h t e u tat

0 1

0 0

)

( )( )

( ) ( )

“La respuesta de un sistema lineal de primer orden a un impulso es idéntica a la respuesta natural del

sistema cuando la condición inicial es 1”


Sistema de Orden Superior

ASL/RAD/2001

“La respuesta impulsiva de un sistema lineal de orden superior es idéntica a la respuesta natural del sistema

cuando la condición inicial de la derivada (n-1)-ésima es 1 y el resto de condiciones iniciales son cero”

d h t

dta

d h t

dtadh t

dta h t

h h h

n

n n

n

n

n

( ) ( )....

( )( )

( ) , ( )( )

1

1

1 1 0

1

0

0 0 0 1

con las condiciones iniciales

(0) = 0,......,



ASL/RAD/2001

Conseguir la respuesta impulsiva para el sistema

descrito por la ecuacion diferencial

Primero, se debe conseguir la respuesta natural

o homogenea del sistema, esto es

la ecuacion auxiliar sera

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ,

d y t

dt

dy t

dty t x t

d h t

dt

dh t

dth t

p p p p r r

2

2

2

2

21 2

4 3

4 3 0

4 3 0 1 3 0 1 3



ASL/RAD/2001

entonces la respuesta natural tiene la forma

para conocer A y B se consideran las condiciones iniciales

(0) = 1

de donde

, ,

en definitiva, la respuesta impulsiva es

h(t)=Ae Be

h h

A+B= -A- B= A= . B=- .

h(t)= e e u t

t t

t t

3

3

0 0

0 3 1 05 05

05 05

( ) ,

( . . ) ( )


ASL/RAD/2001

Sistema Lineal e Invariante en Tiempo

(LIT)

(t) h(t)

En general, se puede escribir

h(t) = ((t))

ahora se quiere conocer la forma de , en términos de una entrada cualquiera x(t) y la respuesta impulsiva h(t)

Integral de Convolución


Integral de Convolución

ASL/RAD/2001

x t

x t x t d t

y t x t x t d x t d

y t x h t d x t h t

( )

( ) ( ) ( ) ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ))

( ) ( ) ( )) ( ) ( )

se puede escribir como

entonces

00

0 0

0

“La respuesta de un sistema lineal e invariante en tiempo se obtiene convolucionando la señal de entrada con la

respuesta impulsiva del sistema”


Integral de Convolución (ejemplo)

ASL/RAD/2001

tegraficamen problema el analizando

)()5.0()5.0(*)()5.0(*)()(

?)5.0( pulsoun a respuesta la es la¿Cu

)()(

es sistemaun de impulsiva respuesta La

)(

0

5.05.05.0

5.0

dtueptptuetpthty

tp

tueth(t)=Exp

tt

t

1

1

p0.5(t-0.5)

t

1

Exp(t)=e-t u(t)

t*



ASL/RAD/2001

1

1

P0.5(-0.5)

1Exp(t-)=e-(t-)u(t-)

t

1

1

t

No hay solapamiento



ASL/RAD/2001

1

1


t

1

1

t

IS

IS: Intervalo de solapamiento

P0.5(-0.5)



ASL/RAD/2001

1

1


t

1

1

t


IS

P0.5(-0.5)



ASL/RAD/2001

1 si 1)e-(e=

10 si e-1=

0 si 0

)(*)()(

1 si )()5.0(

10 si )()5.0(

0 si 0

)(*)()(

siguiente forma la den convolució de integral la

escribir a lleva gráficas estas de análisis El

t-1

0

)(

t-

0

)(

1

0

5.0

0

5.0

tde

tde

t

thtxty

tdtExpp

tdtExpp

t

thtxty

t

tt

t



ASL/RAD/2001

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 1 2 3 4

1-e-1

y(t) = p0.5(t-0.5) * Exp(t)


Integral de Convolución (otro ejemplo)

ASL/RAD/2001

tegraficamen problema el analizando

)5.0()5.0()5.0(*)5.0()(

?)5.0( pulsoun a respuesta la es la¿Cu

)5.0(

es sistemaun de impulsiva respuesta La

5.0

0

5.05.05.0

5.0

5.0

dtpptptpty

tp

th(t)=p

1

1

t * 1

1

t

)5.0(5.0 tp )5.0(5.0 tp



ASL/RAD/2001

1

1

p0.5(-0.5)

1

1

No hay solapamiento

t

1

p0.5(t-0.5)

t-1

t<0t-1



ASL/RAD/2001

1

1

ISIS: Intervalo de solapamiento

1

1

0<t<1t-1

t

1

t-1

p0.5(-0.5) p0.5(t-0.5)



ASL/RAD/2001

1

1


IS

t=1

1

t-1=0

t

1

t-1

p0.5(-0.5) p0.5(t-0.5)



ASL/RAD/2001

1

1

IS: Intervalo de solapamientoIS

1<t<2

1

t-1

t

1

t-1

1

p0.5(-0.5) p0.5(t-0.5)



ASL/RAD/2001

1

1

t>2

1

t-1

t

1

t-1

1

No hay solapamiento

p0.5(-0.5) p0.5(t-0.5)



ASL/RAD/2001

El analisis de estas graficas lleva a escribir

la integral de convolucion de la forma siguiente

si o

= si 0

= si 1

( ) ( ) * ( )

y t x t h t

t t

d t t

d -t t

t

t

0 0 2

1

2 2

0

1

1



ASL/RAD/2001

y(t) = p0.5(t-0.5) * p0.5(t-0.5)

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

ASL/RAD/2001

Consiga la respuesta impulsiva de los sistemas descritos por las ecuaciones diferenciales siguientes

y la respuesta a la señal de entrada dada

ecuación

y’’(t) + 8y’(t)+25y = 6 sin(2t) p2(t-2)

y’’(t) + 8y’(t)+165y = 6e-2tu(t)

y’’(t) + 8y’(t)+12y = 6u(t)

y’’(t) + 10y’(t)+24y = 50e-2t p2(t-2)


y’’(t) + 10y’(t)+24y = q2(t-2)

y’’(t) + 8y’(t)+12y = 6p2(t-4)

y’’(t) + 8y’(t)+25y = q2(t-2)

y’’(t) + 8y’(t)+165y = e-2tq1(t-1)

ecuación

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