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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Isaac Gutierrez Departamento de Ciencias Exactas, Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE Sangolqu´ ı-Ecuador [email protected] I. 1.-BIOGRAF´ IA DE DANIEL BERNOULLI Autor de notables contribuciones a la teor´ ıa de las ecuaciones diferenciales, el tercer Bernoulli destac´ o sobre todo por su estudio de la mec´ anica de fluidos; su obra principal, Hydrodynamica, se public´ o en 1738, aunque ya la hab´ ıa concluido en 1734. Contiene la idea de lo que m´ as tarde se conoci´ o como teorema de Bernoulli, as´ ı como los fundamentos de la moderna teor´ ıa cin´ etica de los gases. Desde 1750 hasta 1776 ocup´ o la c´ atedra de f´ ısica en Basilea; se distingui´ o por ilustrar sus clases con interesant´ ısimos experimentos que le valieron grandes ´ exitos de audiencia. El principio de Bernoulli, tambi´ en denominado ecuaci´ on de Bernoulli o trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido movi´ endose a lo largo de una corriente de agua. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodin´ amica (1737) y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en r´ egimen de circulaci´ on por un conducto cerrado, la energ´ ıa que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido. Daniel Bernoulli, que se doctor´ o en medicina en Basilea (1721) con una tesis sobre la respiraci´ on, fue nombrado en 1725 profesor de matem´ aticas en la Academia de San Petersburgo; se traslad´ o a Rusia en compa˜ n´ ıa de su hermano Nikolaus, quien falleci´ o al a˜ no siguiente de su llegada; en San Petersburgo cont´ o, desde 1727, con la colaboraci´ on de L. Euler, disc´ ıpulo de su padre y de su t´ ıo Jakob, que sucedi´ o a Daniel cuando, en 1732, ´ este regres´ o a Basilea como catedr´ atico de anatom´ ıa y de bot´ anica. dy dx + P (x)y = Q(x)y α donde P (x)yQ(x) son funciones continuas en un intervalo abierto(a, b) ⊆ Ryα es un n´ umero real cualquiera II. 2.BIOGRAF´ IA DE RICATTI El conde Jacopo Francesco Riccati (Venecia, 28 de mayo de 1676 ? 15 de abril de 1754) fue un matem´ atico y fil´ osofo1 veneciano, que estudi´ o detalladamente la hidrodin´ amica sobre la base de la mec´ anica newtoniana, a cuya introducci´ on en Italia colabor´ o. En su momento se le ofreci´ o la presidencia de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, pero rechaz´ o el honor en aras de su retirada y aristocr´ atica vida. Se le recuerda por el estudio de ecuaciones que llevan su nombre, un tipo de ecuaciones diferenciales de la forma y 0 = q 0 (x)+ q 1 (x)y + q 2 (x)y 2 extensiones de la ecuaci´ on diferencial de primer orden. En general, esta ecuaci´ on no se puede resolver elementalmente (o en t´ erminos finitos); lo que fue demostrado en el siglo XIX. Aunque ello es un accidente hist´ orico, pues su trabajo se limit´ o al an´ alisis de casos particulares de la ecuaci´ on. Siendo est´ a planteada y analizada en la forma que conocemos por la familia Bernoulli. En las investigaciones de esa familia de ecuaciones plante´ o la ecuaci´ on especial de Riccati, que s´ ı posee soluci´ on en t´ erminos finitos para un n´ umero limitado de casos. III. 3.-BIOGRAF´ IA DE CLAIRAUT Astr´ onomo y uno de los matem´ aticos m´ as precoces de todos los tiempos, superando incluso a Blaise Pascal (1623- 1662). Se cuenta que a la edad de diez a˜ nos ya le´ ıa los libros de Guillaume Franc ¸ois Antoine l’Hospital (1661-1704) sobre c´ onicas y c´ alculo infinitesimal. Con tan s´ olo doce a˜ nos de edad, Clairaut present´ o una memoria sobre cuatro curvas de cuarto grado a la Academia de Ciencias de Paris, la cual, y tras haberse asegurado que era el autor verdadero, se deshizo en grandes elogios. Naci´ o en Par´ ıs el 7 de mayo de 1713 y muri´ o en la misma ciudad el 11 de mayo de 1765. Su padre, Jean-Baptiste, era maestro de matem´ aticas de Par´ ıs y miembro de la Academia de Berl´ ın, lo que acredita su calidad como matem´ atico. Con s´ olo dieciocho a˜ nos, en 1731, public´ o la obra Investigaciones sobre las curvas con doble curvatura, gracias a la cual fue admitido en la Academia de Ciencias, aunque hubo de hacerse una excepci´ on con ´ el, ya que el reglamento exig´ ıa una edad m´ ınima de veinte a˜ nos. En la Academia se uni´ o a los ?newtonianos?, un peque˜ no grupo que apoyaba la filosof´ ıa natural de Newton.
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Ecuaciones Diferenciales OrdinariasIsaac Gutierrez
Departamento de Ciencias Exactas, Universidad de las Fuerzas Armadas ESPESangolquı-Ecuador
I. 1.-BIOGRAFIA DE DANIEL BERNOULLI
Autor de notables contribuciones a la teorıa de lasecuaciones diferenciales, el tercer Bernoulli destaco sobretodo por su estudio de la mecanica de fluidos; su obraprincipal, Hydrodynamica, se publico en 1738, aunque yala habıa concluido en 1734. Contiene la idea de lo que mastarde se conocio como teorema de Bernoulli, ası como losfundamentos de la moderna teorıa cinetica de los gases.Desde 1750 hasta 1776 ocupo la catedra de fısica en Basilea;se distinguio por ilustrar sus clases con interesantısimosexperimentos que le valieron grandes exitos de audiencia.El principio de Bernoulli, tambien denominado ecuacion deBernoulli o trinomio de Bernoulli, describe el comportamientode un fluido moviendose a lo largo de una corriente de agua.Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinamica(1737) y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidadni rozamiento) en regimen de circulacion por un conductocerrado, la energıa que posee el fluido permanece constante alo largo de su recorrido.
Daniel Bernoulli, que se doctoro en medicina en Basilea(1721) con una tesis sobre la respiracion, fue nombradoen 1725 profesor de matematicas en la Academia de SanPetersburgo; se traslado a Rusia en companıa de su hermanoNikolaus, quien fallecio al ano siguiente de su llegada; enSan Petersburgo conto, desde 1727, con la colaboracionde L. Euler, discıpulo de su padre y de su tıo Jakob, quesucedio a Daniel cuando, en 1732, este regreso a Basileacomo catedratico de anatomıa y de botanica.
dy
dx+ P (x)y = Q(x)yα
donde P (x)yQ(x) son funciones continuas en un intervaloabierto(a, b) ⊆ Ryα es un numero real cualquiera
II. 2.BIOGRAFIA DE RICATTI
El conde Jacopo Francesco Riccati (Venecia, 28 de mayode 1676 ? 15 de abril de 1754) fue un matematico y filosofo1veneciano, que estudio detalladamente la hidrodinamica sobrela base de la mecanica newtoniana, a cuya introduccion enItalia colaboro. En su momento se le ofrecio la presidenciade la Academia de Ciencias de San Petersburgo, pero rechazo
el honor en aras de su retirada y aristocratica vida.
Se le recuerda por el estudio de ecuaciones que llevan sunombre, un tipo de ecuaciones diferenciales de la forma
y′= q0(x) + q1(x)y + q2(x)y
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extensiones de la ecuacion diferencial de primer orden. Engeneral, esta ecuacion no se puede resolver elementalmente(o en terminos finitos); lo que fue demostrado en el siglo XIX.
Aunque ello es un accidente historico, pues su trabajo selimito al analisis de casos particulares de la ecuacion. Siendoesta planteada y analizada en la forma que conocemos por lafamilia Bernoulli.
En las investigaciones de esa familia de ecuaciones planteola ecuacion especial de Riccati, que sı posee solucion enterminos finitos para un numero limitado de casos.
III. 3.-BIOGRAFIA DE CLAIRAUT
Astronomo y uno de los matematicos mas precoces detodos los tiempos, superando incluso a Blaise Pascal (1623-1662). Se cuenta que a la edad de diez anos ya leıa los librosde Guillaume Francois Antoine l’Hospital (1661-1704) sobreconicas y calculo infinitesimal. Con tan solo doce anos deedad, Clairaut presento una memoria sobre cuatro curvas decuarto grado a la Academia de Ciencias de Paris, la cual, ytras haberse asegurado que era el autor verdadero, se deshizoen grandes elogios.
Nacio en Parıs el 7 de mayo de 1713 y murio en la mismaciudad el 11 de mayo de 1765. Su padre, Jean-Baptiste, eramaestro de matematicas de Parıs y miembro de la Academiade Berlın, lo que acredita su calidad como matematico.
Con solo dieciocho anos, en 1731, publico la obraInvestigaciones sobre las curvas con doble curvatura, graciasa la cual fue admitido en la Academia de Ciencias, aunquehubo de hacerse una excepcion con el, ya que el reglamentoexigıa una edad mınima de veinte anos. En la Academia seunio a los ?newtonianos?, un pequeno grupo que apoyaba lafilosofıa natural de Newton.
En su tratado de 1731, Alexis Clairaut desarrollo las ideasque Rene Descartes (1596-1650) habıa sugerido, casi unsiglo antes, en el estudio de las curvas del espacio mediantela consideracion de las proyecciones sobre dos planoscoordenados. Clairaut las llamo ?curvas con doble curvatura?porque la curvatura de estas curvas esta determinada por lascurvaturas de las dos curvas que se obtienen por proyeccionde la curva original en dos planos perpendiculares. Determinoası numerosas curvas del espacio mediante intersecciones desuperficies variadas, dio las ecuaciones de algunas superficiesy demostro que dos de estas ecuaciones son necesarias paradescribir una curva en el espacio. Se encuentran tambienen este tratado las formulas de la distancia para dos ytres dimensiones, ecuaciones de superficies cuadricas, y lastangentes de curvas del espacio. Clairaut demostro tambienque una ecuacion homogenea en las variables x, y, z (todoslos terminos del mismo grado) representa un cono cuyovertice esta situado en el origen.
Portada de Recherches sur les courbes a double coubure(1731)
Ese mismo ano, y con solo quince anos de edad, suhermano menor, del que se desconoce el nombre, publicola obra Tratado de cuadraturas circulares e hiperbolicas.El historiador Montucla opina que poseıa todo el talentonecesario para seguir las huellas de su hermano Alexis, peroeste genio precoz murio prematuramente de viruela en 1732.
Clairaut publico varios e importantes trabajos durante ladecada 1733-1743. En 1733 publico Sur quelques questions demaximis et minimis, un trabajo sobre calculo de variacionesescrito en el estilo de Johann Bernoulli, y el mismo anopublico sobre las geodesicas de las cuadricas de rotacion.Otros campos de interes fueron las ecuaciones diferenciales,las ecuaciones en derivadas parciales, la teorıa de superficies,el calculo en varias variables y las series trigonometricas.Por lo que respecta a las ecuaciones diferenciales, en 1734,Clairaut se intereso por una ecuacion que actualmente llevasu nombre:
y = xy′ + f(y′),
cuya solucion general consiste en una familia de lıneasrectas. La ecuacion de Clairaut posee tambien una solucionsingular, siendo una de las primeras veces en la historia queeste tipo de solucion se pone de relieve.
IV. 4.-ECUACION DE LAPLACE
La ecuacion de LAPLACE en dos dimensiones es
∂2u(x, y
∂x2+∂2u(x, y
∂y2= 0
REFERENCIAS
[1] Esther de Ves. (2003) Conceptos de EDO. [Online]. Avali-ble:http://campus.usal.es/ mpg/Personales
[2] M. Sc. Geovanni Figueroa M.(2009) Soluciones Singulares[Online].Avalible: https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/EcuacionesDiferencialeso Gracia Rivas (2008)ECUA-CIONES DIFERENCIALES. [Online].Avalible:http://www-ma4.upc.edu/ nrr/docs/edteor.pdf
[3] Luis (2011) Soluciones. [Online]. Avalible:http://www.mat.ucm.es/ vic-torms/Elementos
