ECUACIONESDIFERENCIALESA.CachafeiroL opezJ.IllanGonzalezDepartamentodeMatematicaAplicadaIUniversidadedeVigoSEGUNDAEDICIONA no: 2009Editores: LosautoresISBN:978-84-611-9916-7INDICEGENERAL1 Comandossimb olicospararesolverecuaciones.Camposdedirecciones. Isoclinas 11.1 COMANDOSSIMBOLICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Comandosparaladerivaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Problemasresueltos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 ElcomandoDSOLVE.ResoluciondePVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.4 EjemplosdeEEDDquenopuedenserresueltasporDSOLVE . . . . . . . . . 31.1.5 Funci onLAMBERTW(Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 CAMPODEDIRECCIONESDEUNAED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 TRAYECTORIASISOCLINAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1 Metododelasisoclinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Metododeseparaci ondevariables. Ecuacioneshomogeneas,exactas,implcitasydeBernoulli 112.1 ECUACIONESENVARIABLESSEPARADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 ECUACIONESDIFERENCIALESHOMOGENEAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 ECUACIONESDIFERENCIALESEXACTAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 ECUACIONDECLAIRAUT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5 ECUACIONDEBERNOULLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.6 FACTORINTEGRANTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Resoluci onsimbolicadesistemasdiferenciales 253.1 SISTEMALINEALHOMOGENEODECOEFICIENTESCONSTANTES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 SISTEMALINEALCOMPLETODECOEFICIENTESCONSTANTES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27iiiIndiceGeneral3.3 RESOLUCIONDESISTEMASDIFERENCIALESLINEALESHOMOGENEOSDECOEFICIENTESCONSTANTESPORLAVIAESPECTRAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3.1 CalculodevaloresyvectorespropiosviaMATLAB . . . . . . . . . . . . . . . 303.3.2 Elmetodoespectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4 EEDDLINEALESDEORDENSUPERIOR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4.1 EEDDlinealesdeordensuperiorhomogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4.2 EEDDlinealesdeordensuperiorcompletas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.5 ECUACIONDEEULERYDEEULERGENERALIZADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.6 CALCULODEWRONSKIANOSYAPLICACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.6.1 Wronskianoeindependencialineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.7 SOLUCIONESPARTICULARESDEEEDDLINEALESCOMPLETAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.7.1 Metododecoecientesindeterminados(MCI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.7.2 Metododevariaciondeparametros(MVP). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.8 REDUCCIONDEORDEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.9 EJERCICIOSCOMPLEMENTARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.10 APENDICE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.10.1 Notassobrefuncionesespeciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.10.2 Sobreelmetodobasadoenelc alculoaproximadodelasracesdelaecuaci oncaracterstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 TransformadadeLaplace 494.1 DEFINICIONYCALCULO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.1.1 DeniciondelatransformadadeLaplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.1.2 CalculomediantecomandosMATLAB.Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . 504.1.3 PropiedadesdelaTransformadadeLaplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2 TRANSFORMADAINVERSADELAPLACE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3 APLICACIONESALARESOLUCIONDEPROBLEMASDECONDICIONINICIAL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.4 PROBLEMASDEVALORESINICIALESCONDATOSDISCONTINUOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.4.1 Funci onescalonunitario(Heaviside) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.4.2 Representaci ondefuncionescondiscontinuidadesdesaltonito . . . . . . . . 584.5 TRANSFORMADADELAPLACEDEUNAFUNCIONPERIODICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.6 LAFUNCIONDETRANSFERENCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Indicegeneral iii5 MetodosnumericosparaPVI(I) 655.1 FUNCIONESESPECIALES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.1.1 FuncionesdeBessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2 ESTUDIODELASSOLUCIONESDEUNAED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.2.1 Metodosnumericosderesoluci ondePVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.2.2 MetododeEulerodelatangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.2.3 OtrainterpretaciondelmetododeEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.2.4 EjemplosenlosqueseaplicaelmetododeEuler . . . . . . . . . . . . . . . . 705.2.5 Precisiondelosresultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.3 METODODEEULERMEJORADO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.3.1 Laf ormuladelostrapecios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.3.2 DeducciondelmetododeEulermejorado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.3.3 EulerversusEulermejorado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.4 OTROSMETODOSNUMERICOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.4.1 Ejemplodemetododedospasos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.5 CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.6 EJERCICIOSADICIONALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.6.1 Aplicacion: c alculodelaelasticidadb(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846 MetodosnumericosparaPVI(II) 876.1 METODOSPARARESOLVERPROBLEMASASOCIADOSASISTEMASDEEEDD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.1.1 MetododeEulermejorado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.1.2 SobrelosprogramasS2EULERyRKCELL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.1.3 Ejerciciosconindicacionesparaserresueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.2 EJERCICIOSADICIONALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.2.1 Indicacionespararesolverlosejercicios(6.4)-(6.7) . . . . . . . . . . . . . . . . 956.3 SERIESDEFOURIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.3.1 Programas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.3.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.4 APENDICE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.4.1 ProgramaSNEULER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.4.2 Interpolacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027 MetodosnumericosparaPVI(III) 1057.1 METODOSDERUNGE-KUTTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.1.1 MetodosdeTaylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.1.2 MetododeRunge-Kuttadecuartoorden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106ivIndiceGeneral7.1.3 Descripci ondelprogramaRUNGEKUTTA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.1.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077.1.5 Estabilidaddeunmetodonumerico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.1.6 Descripci ondelprogramaEJE7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.2 PROBLEMASDECONTORNO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107.2.1 Planteamientomatematico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107.2.2 Aplicacion: Vigacolumna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.3 ECUACIONESENDERIVADASPARCIALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.3.1 Ecuaciondelcalorenunabarradelongitudnita . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.3.2 Ecuaciondeondassobreunintervaloacotado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.3.3 HerramientassimbolicasparaEDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116BibliografadepracticasysitiosWEB 119LISTADEFIGURAS1.1 Gr acodelassolucionesdelosejemplos1.3y1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Campodedireccionesysolucionparticular. Ejemplo1.8 . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Campodedireccionesysolucionparticular. Ejemplo1.9 . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Representacion(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Representacion(b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Ejemplo1.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7 Gr acodelejemplo1.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.8 Gr acodelejemplo1.12-a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.9 Gr acodelejemplo1.12-b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.10 Gracodelejemplo1.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1 Soluci ondelejemplo2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Gr acodelejemplo2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Gr acodelejemplo2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4 Gr acodelejemplo2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5 Gr acodelejemplo2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.6 Gr acodelejemplo2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.1 Evidenciagr acadequePrueba(2)debesernulaen[1, 1] . . . . . . . . . . . . . . . 303.2 Gr acasdeZ= yiv)16yiii)1+ 9yii)124yi)1 20y1en[2, 2]y[20, 60] . . . . . . . . . 474.1 Representaciongracade(t)en[4, 4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2 Representaciongracadelaentradag(t)ylasalidaI(t) . . . . . . . . . . . . . . . . 595.1 Gr acadeJ1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2 Gr acadeJ0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.3 Gr acassuperpuestasdeJ1yJ0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.4 Gr acasdeBesselJ3/2yJ1/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.5 MetododeEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.6 InterpretaciondelmetododeEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.7 Solucionesexactasyaproximadasdelosejemplos5.1y5.2 . . . . . . . . . . . . . . . 735.8 Solucionesexactasyaproximadasdelejemplo5.2paran = 100, 200 . . . . . . . . . . 73vvi Listadodeguras5.9 Soluci onaproximadadelejemplo5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.10 Solucionesaproximadasdelejemplo5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.11 Regladeltrapecio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.12 Solucionesexactasyaproximadasdelejemplo5.5(n = 21, 41) . . . . . . . . . . . . . 815.13 Ilustraciondeunmetododedospasos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.1 Gr acoproducidoporS2EULERalresolverelejercicio6.1 . . . . . . . . . . . . . . 906.2 Gr acoproducidoporS2EULERalresolverelejercicio6.2 . . . . . . . . . . . . . . 916.3 Gr acoproducidoporS2EULERalresolverelejercicio6.3 . . . . . . . . . . . . . . 926.4 Gr acoobtenidoalresolverelejemplo6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.5 Gr acasdeS2EULER.MeINTERPOLA.M.Ejercicio6.4 . . . . . . . . . . . . . . . 966.6 RKCELLeINTERPOLA.Maplicadosalejercicio6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.7 Soluci ongracadelejercicio6.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.8 SolucionesDSOLVEyRKCELL.Ejercicio6.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.9 Ejercicio6.8. Sumasparciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.10 Ejercicio6.9. SumasparcialesN= 2, 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.11 Ilustraciongr acadelmetododeinterpolaci on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.1 Gr acasproducidasporEJE7.4.M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107.2 Gr acaproducidaporCALOR.M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.3 Gr acaproducidaporONDA.M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115INDICACIONESGENERALESAntesdecomenzarlasesiondetrabajoconMATLAB(ML)yAdobe-Reader(PDF)debemosper-sonalizarelentornodetrabajo.1. (ML)Seleccionaradecuadamente,paranoda narlavista,eltipo,tama no,colordelasfuentesyelcolordefondodelasventanasMATLAB.2. (ML y PDF) Ajustar el tama no de ambas ventanas, Command Window de MATLAB y el guiondelaclase,paratrabajarsimult aneamenteconambas.3. (ML)Crearcarpetaspersonalestemporalesydeclararlacorrespondientetrayectoria(PATH)medianteelmen uprincipal: FILE\SET PATH.Estoesesencialparalaejecuci ondeprogramas.ComoalternativabastaejecutarlosiguientedesdelaventanadecomandosMATLAB>>!mkdir C:\carpeta_personal>>path(C:\carpeta_personal,path)Laprimeralneacreanuestracarpetapersonal,mientrasquelasegundainformaaMATLABd ondeseencuentra esta,ylasit uaalcomienzodelalistadetrayectorias.4. (ML)Paradisminuirelespacioverticalinter-lneaenlaventanadecomandosejecutar>>format compact5. (ML)ActivarelinterruptorMOREmediante>>more onparaimpedireldesplazamientodescontroladodelaventanadecomandos.6. (ML)DesactivarelinterruptorWARNINGmediante>>warning offsisedeseaqueelsistemanomuestreenpantallaadvertencias.Elalumnodebeentregarporescritolasoluciondealgunosejerciciosseleccionados, seg unseindicaenlaplantillacorrespondiente. Paraellodebebasarseeneldesarrollodelosejemplosqueaparecenresueltosenelgui ondelaclase.viiCLASEPRACTICA1Comandossimb olicospararesolverecuaciones.Camposdedirecciones. IsoclinasOBJETIVOSAbordar lasoluci ondeecuaciones diferenciales (EEDD) yproblemas devalor inicial desdeunaperspectivaexperimental, mediantelaaplicaci ondelos recursos simb olicos del sistemaMATLAB

.Contribuir con el uso de herramientas gracas al estudio de las EEDD a traves de la visualiza-ci ondelcampodedireccionesasociadoylasisoclinas.1.1 COMANDOSSIMBOLICOS1.1.1 ComandosparaladerivacionLasiguientesecuenciahallalafuncionderivadadefrespectoax.>> syms x>> diff(f,x)Parahallarladerivadaenesimahacemos>>diff(f,x,n)El smboloDf representa simbolicamente la derivada de f. Para derivadas sucesivas usamosD2f,D3f,etc.12 ClasePractica11.1.2 ProblemasresueltosEjemplo1.1Dadalaecuacionmy

= mg +ky

,comprobarquey(t) = A +Bekt/m+mgt/k,esunasoluciondedichaE.DSoluci ondelejemplo1.11. Denirsimb olicamentey(t).2. SustituirenlaED>>syms t y k m g A B>>y = A + B*exp(k*t/m) + m*g/k*t;>>a=m*diff(y,t,2)-k*diff(y,t)+m*ga=1/m*B*k^2*exp(k*t/m)-k*(B*k/m*exp(k*t/m)+m*g/k)+m>>simplify(a)ans =0Ejemplo1.2Comprobarquelafuncionu(x, t) = e2c2t/l2sen(x/l)essoluciondelaecuaciondel calorut(x, t) = c2uxx(x, t)Soluci ondelejemplo1.2>>syms c>>u=exp(-pi^2*c^2*t/l^2)*sin(pi*x/l)>>diff(u,t)-c^2*diff(u,x,2)ans=0Nota1.1Nohasidonecesariodeclararsimbolicasalasvariablesu,t,xyl.1.1.3 ElcomandoDSOLVE.ResoluciondePVIElcomandoDSOLVEesdetiposimb olicoypermiteobtenerlasolucionexactadealgunasEEDDydeloscorrespondientesproblemasdevalorinicial.(1ElargumentodeestecomandoesunSTRINGdemodoquenoesnecesariodeclararsimb olicasalasvariablesinvolucradas.1En lo que sigue usaremos las siglas PVI para problema(s) de valor(es) inicial(es).ClasePractica1 3Ejemplo1.3ResolverlaEDy

= 1 + y2,obtenerlasolucionlocal correspondientealaC.I.(0, 1),yrepresentarlagracamente.Resoluciondelejemplo1.3Paso1 >>dsolve(Dy=1+y^2)ans =tan(t+C1)Paso2 >>dsolve(Dy=1+y^2,y(0)=1)ans =tan(t+1/4*pi)Paso3 >>ezplot(tan(t+pi/4),[-pi/4,pi/4]);>> hold on>> plot(0,1,*r)Ejemplo1.4ResolverlaEDy

= y 2t. ObtenerlasolucionlocalconlaC.I.(2, 1)yrepresen-tarla.Resoluciondelejemplo1.4>>dsolve(Dy=-y-2*t)ans = -2*t+2+exp(-t)*C1>>dsolve(Dy=-y- 2*t,y(-2)=1)ans = -2*t+2-5*exp(-t)/exp(2)>>ezplot(-2*t+2-5*exp(-t)/exp(2),[-4,3]),>>hold on>>plot(-2,1,*g)1.1.4 EjemplosdeEEDDquenopuedenserresueltasporDSOLVEEjemplo1.5IntentarresolverlaEDy

= 2t y +cos(y)conDSOLVE.Desarrollodelejemplo1.5>>dsolve(Dy=-2*t-y+cos(y))Warning:Explicit solution could not be found.>In C:\MATLABR11\toolbox\symbolic\dsolve.m at line 326ans =[ empty sym ]Si el comandoDSOLVE nopuedeobtener explcitamentelasolucion, entonces el propioDSOLVEofrece,enalgunoscasos,lasoluci onenlaformaimplcita.4 ClasePractica1Fig.1.1: Gracodelassolucionesdelosejemplos1.3y1.4Ejemplo1.6Intentarresolvery

= y2(1 y)aplicandoDSOLVE.Resoluciondelejemplo1.6>>dsolve(Dy=y^2*(1-y))Warning: Explicit solution could not be found; implicit solution returned.> In C:\MATLABR11\toolbox\symbolic\dsolve.m at line 292ans =t+1/y-log(y)+log(-1+y)+C1=0Ejemplo1.7ResolverlaEDy

= y +cos(2x),conlascondicionesinicialesy(0) = 1,y

(0) = 0.Resoluciondelejemplo1.7>> y=dsolve(D2y=-y+ cos(2*x),y(0)=1,Dy(0)=0,x)y =(1/2*sin(x)+1/6*sin(3*x))*sin(x)+(1/6*cos(3*x)-1/2*cos(x))*cos(x)+4/3*cos(x)ObservarenlassiguienteslneaselefectodelcomandoSIMPLIFY.>> y=simplify(y)y= -2/3*cos(x)^2+4/3*cos(x)+1/31.1.5 FuncionLAMBERTW(Z)MATLAB se vale de una colecci on de funciones b asicas elementales m as amplia que la que usualmenteutilizamos, conlacualnospuededarunamayorcantidadderespuestasenformacerrada. UnadeClasePractica1 5estasfuncionesesw(z) = Lambertw(z)denidaimplcitamenteporw(z) exp(w(z)) = zLadeniciondecualquierfunci onespecialMATLABpuedeserconsultadainvocandoenlalneadecomandos>>help+nombreobien,paraaquellasespeccasdeln ucleoMAPLE>>mhelp+nombredondenombreeselnombredelafuncion.Otras funciones especiales incorporadas al sistema MATLAB-MAPLE son BERNOULLI, BESSElJ,DILOG,etc. Paraverelcat alogocompletoMAPLEejecutamoslaorden>>mfunlistComoevitarqueLambertwaparezcaenlarespuestanal?Uncaso enque podemos eliminar a Lambertwde la expresi onque hemos obtenido al ejecutarDSOLVE,escuandopodemosdespejarle,esdecir,cuandosomoscapacesdellegaralambertw(E1(x)) = E2(x),dondeE1yE2sonciertasexpresionesenlavariablex.Entonces,atendiendoalaformulaci onimplcitaquedeneaestafunci on,setienequeE2(x) exp(E2(x)) = E1(x).Ejercicio1.1ResolverlassiguientesEEDDyPVI.a) (x2+ 1)dy + (y2+ 1)dx = 0,y(0) = 1/2b) y

= y cos(x)/(1 + y2),y(0) = 1c) y

3y

+ 3y

y= xd) y

3y

+ 3y

y= x,y(0) = 0, y

(0) = 1, y

(0) = 01.2 CAMPODEDIRECCIONESDEUNAEDDada la ED y

= f(x, y) , si y= y(x) es soluci on y (x0, y0) es un punto de la gr aca de y(x), entonceslapendientedey= y(x)en(x0, y0)esy

(x0)queesigualaf(x0, y0).6 ClasePractica1Fig.1.2: Campodedireccionesysoluci onparticular. Ejemplo1.8Loanteriorsignicaque,paraconocerlapendientedelasoluci onquepasapor(x0, y0)nohacefaltaconocerdichasoluci on;bastaconcalcularf(x0, y0).Si estosehacecontodoslospuntosdel plano, tendremoslaspendientesdelassolucionesquepasanporcadapuntodelplano. Naturalmente,enlapracticaesimposiblehacerestocontodoslospuntosdelplano,peronadanosimpidehacerlocontantospuntoscomoqueramos,congurandoungr acoquellamaremos campodedireccionesdelaED.ComoconstruirelcampodedireccionesasociadoaunaED?Consideremos la ED generica y

(x) = f(x, y(x)). Para construir su campo de direcciones procedemosde la siguiente forma: por cada punto (x, y) de una red de puntos de R2, convenientemente prejada,sedibujaunsegmentoderectaovector dependientef(x, y). El resultadonal deestetrabajoseinterpretacomoinformaciongracaacercadelasoluci ondelaEDquea unnohemosintentadoresolverporotrosmedios. ParaaumentarlaecienciausaremosunprogramaMATLABenel queintervienenlos comandos MESHGRIDyQUIVERquepermitengenerar el gracodel campodedirecciones.Losvectoresaconsiderarparaobtenerelcampodedireccionesser an(1, y

) = (1, f(x, y)).Ejemplo1.8Construir el campo de direcciones de la ED y

= x, y representar la solucion particularquecumplelacondicioninicial y(0) = 0.Resoluciondelejemplo1.8LasaccionesMATLABsonlassiguientes:>>f=inline(x,x,y);>>paso=0.5;ClasePractica1 7Fig.1.3: Campodedireccionesysoluci onparticular. Ejemplo1.9>>iz=-3;>>der=3;>>[x,y]=meshgrid(iz:paso:der,iz:paso:der);>>[n,m]=size(x);>>dx=ones(n,m);>>z=f(x,y);>>dy=z;>>quiver(x,y,dx,dy)Lagura1.2(izquierda) muestrael campode direcciones. Lasolucionparticular se obtieneartesanalmentecomoy=x2/2, medianteseparaciondevariables, obien, aplicandoDSOLVE. Acontinuaci onaparecenlas ordenesMATLABnecesarias(vergura1.2-derecha).>>hold on % HOLD ON permite superponer los graficos>>dsolve(Dy=x,y(0)=0, x)>>ezplot(1/2*x^2,[-2.5,2.5]),>>plot(0,0,*g)Ejemplo1.9Construir el campodedirecciones asociadoay

= x/y yrepresentar lasolucionparticularquecumplelaCIy(1) = 1.Indicacionesparaelejemplo1.9LaredcreadaconMESHGRIDparaelejemplo1.9debeevitary=0yconteneralpunto(1, 1)delacondici oninicial. Laexpresi ondentrodeINLINEquedenealafunciondebeescribirseentreap ostrofes, es decir, x./y

. El punto debe preceder a /, y ^ pues se opera con vectores componenteacomponente. Lasoluci ongracaest adadaporlasgurasenelcuadro1.3.8 ClasePractica1Ejercicio1.2Asociarcadaunadelasrepresentaciones(a)y(b), mostradasenloscuadros1.4y1.5,conel campodedireccionesdealgunadelassiguientesEEDD:i) y

= y x, ii) y

= 2x.Fig.1.4: Representaci on(a) Fig.1.5: Representaci on(b)1.3 TRAYECTORIASISOCLINASDenici on1.1DadalaEDy

= f(x, y),sellamancurvasdeniveloisoclinasalasobtenidasal imponerlacondiciony

= k.1.3.1 MetododelasisoclinasElmetododelasisoclinasesunavariantedelasideasantesdescritas. Lospuntosdelplanoporlosquepasaunasoluci onconpendientek,sonlospuntosdelacurvadeecuaci onf(x, y) = k(isoclinadependientek).Dibujandolasdistintasisoclinasseobtieneunarepresentacionsimilaraladel campodedirec-ciones. Puedetenerinteresidenticarlaisoclinaparalapendiente0pueslassolucionestendrangeneralmenteunmaximoounmnimoalpasarporestaisoclina.Ejemplo1.101RepresentarlasisoclinasdelaEDy

= x + y2.2Representarel gracodecontorno(curvasdenivel oisoclinas)delasuperciez= x +y2.ClasePractica1 9Desarrollodelasoluci ondelejemplo1.10>>[x,y]=meshgrid(0:0.05:3,-2:0.05:2);>> z=x+y.^2;>> isoclinas=contour(x,y,z,20)Elresultadoenpantallaeselqueofrecelagura1.6.Fig.1.6: Ejemplo1.10 Fig.1.7: Gracodelejemplo1.11Ejemplo1.11RepresentarlasisoclinasdelaEDy

= x2+ y2.Soluci on,pasoapaso,delejemplo1.11(verg. 1.7)>>[x,y]=meshgrid(-4:0.05:4);>>z=x.^2+y.^2;>>isoclinas=contour(x,y,z,20);Ejemplo1.12(a) RepresentarlasisoclinasdelaEDy

= 2x y.(b) Quetipodecurvassondichasisoclinas?(c) Representarlasisoclinascorrespondientesak = 0,yk = 2.(d) Queparticularidadtienelacorrespondienteak = 2?10 ClasePractica1Fig.1.8: Gracodelejemplo1.12-a Fig.1.9: Gracodelejemplo1.12-bFig.1.10: Gracodelejemplo1.13Ejemplo1.13Construirelcampodedi-reccionesylascurvasdenivel delaEDy

=sen(x) + y.Desarrollo, paso a paso, de lasolucion del ejemplo 1.13 (gura1.10)>>f=inline(sin(x)+y,x,y);>>paso=0.5;iz=-3;der=3;>>[x,y]=meshgrid(iz:paso:der,iz:paso:der);>>[n,m]=size(x);dx=ones(n,m);>>z=f(x,y);dy=z;>>hold on,contour(x,y,z,20);>>quiver(x,y,dx,dy);CLASEPRACTICA2Metododeseparaci ondevariables. Ecuacioneshomogeneas,exactas,implcitasydeBernoulliOBJETIVOS1. Ejercitarelusodeherramientassimb olicasparalaresoluci ondeED.2. Aplicarmetodosdecuadraturasexactasestudiadosenclase.2.1 ECUACIONESENVARIABLESSEPARADASSondelaformay

(x) = f(x)h(y).PararesolverelPCIy

= f(x)h(y),y(x0) = y0,escribimoslaEDcomosigue:dyh(y)= f(x)dxysillamamosg=1h,entoncesquedag(y)dy= f(x)dx.IntegrandoenambosmiembrosdelaigualdadanteriorobtenemosG(y) = F(x) + C, (Soluci ongeneraldelaED),ycalculamoselpar ametroCusandolaCI.AsC= G(y0) F(x0)yporlotantoG(y) = F(x) + G(y0) F(x0), (Soluci ondelPCI).Ejemplo2.1Resolverel PVI,y

= 2xy, y(0) = 2,yrepresentargracamentelasolucion.1112 ClasePractica2Fig.2.1: Soluciondelejemplo2.1Resoluciondelejemplo2.1ResolveremoselPVIconMATLABsiguiendoelmetododeseparaci ondevariables.>>syms F G x y c>>f=-2*x; g=1/y;>>x0=0;y0=2;>>F=int(f); G=int(g);>>sol=solve(G-F-c,y)%solucion general>>c=solve(subs(sol,x0,x)-y0,c);>>y=subs(sol,c,c)%solucion particularParaobtenerelgr acodelasoluci ondelejemplo2.1(gura2.1),ejecutarenlalneadecomandos.>>ezplot(y,[-2,2]), hold on, plot(0,2,+r)Debemosdistinguirentrelasoluci ongeneralsol =exp(-x^2+2*c)ylasoluci onparticulardelPVIy =exp(-x^2+log(2)).Elejemplo2.1puederesolversedirectamenteusandoelcomandoDSOLVE,enefecto>>y=dsolve(Dy=-2*x*y,y(0)=2,x)y =2*exp(-x^2)Ejemplo2.2Resolverel PVI,y

=sen(x)(y 1), y(0) = 2.Resoluciondelejemplo2.2>>f=sin(x)ClasePractica2 13>>g=1/(y-1)>>F=int(f,x,0,X)F =-cos(X)+1>>G=int(g,y,2,Y)G =log(Y-1)>>sol=solve(G-F,Y)sol =exp(-cos(X)+1)+1Ejemplo2.3Resolvery cos(x)dx (1 + y2)dy= 0,y(0) = 1.Resoluciondelejemplo2.3Despejandoobtenemosy

= y cos(x)/(1 + y2)yusandoDSOLVE>>y=dsolve(Dy=y*cos(x)/(1+y^2),x)y=-i*(-lambertw(exp(2*sin(x)+2*C1)))^(1/2)Laaceptaciondelaanteriorrespuestadepender adelconsumidor. SitenemosencuentaqueLambertw(x)=weslafunci ondenidaimplcitamenteporwew= x,loqueseobtieneesy2 exp(y2) = K exp(2 sen(x)).Ejemplo2.4ResolverlaEDanterior, esdecir, y cos(x)dx (1 + y2)dy=0, y(0)=1, separandolasvariables.Notasobreel ejemplo2.3. SupongamosqueG(Lambertw(x), y, x, C)=0, eslasoluci ongene-ral (conparametroC), deunaEDy

=f(x, y). Entoncespodemoshallarunaexpresionequiva-lentealaanteriorsi somoscapacesdedespejaraLambertw(x)=w. Enefecto, supongamosqueLambertw(x) =F(x). SabiendoqueLambertw(x) =wsecaracterizapor satisfacer laecuacionw(x)ew(x)= x,entonceslanuevaexpresiondelasoluci ongeneralesF(x)eF(x)= x.Resoluciondelejemplo2.4Escribimosdeunavezenlalneadecomandos>> x=solve(int(cos(x),x)-int((1+y^2)/y,y))x =asin(1/2*y^2+log(y))paraobtener sen(x) = log(y) + y2/2 + c,queeslasoluciongeneraldelaED.Parahallarlasoluci oncorrespondientealascondicionesinicialesdadashacemos>>c=simple(sym(solve(subs(x=0,y=1,sin(x)=log(y)+1/2*y^2+c),c)))c=-1/214 ClasePractica2esdecir,denuevoobtenemoslasolucionparticular: sen(x) = ln(y) + (y21)/2.Ejercicio2.1AplicarherramientasMATLABpararesolverlossiguientesejerciciosextradosdelBoletn2.a) y

+ y2sen(x) = 0 b) 4xy dx + (x2+ 1)dy= 0c) xy

= y +_x2y2d) (x y)dy= (x + 3y)dxe) (x2+ 1)dy= (y2+ 1)dx, y(0) = 1/2 f) (1 +ex)yy

= ey, y(0) = 02.2 ECUACIONESDIFERENCIALESHOMOGENEASEjemplo2.5ResolverlaED(x2y2)dx +xydy= 0.Resoluciondelejemplo2.5Es claro que es una ED homogenea pues P(x, y) = x2y2y Q(x, y) = xyson funciones homogeneasdelmismogrado2.Se sabe entonces que el cambiode variable z =y/xlatransformaenunaEDenvariablesseparadas.Pararesolverlausandoobjetossimb olicosdelMATLABseescribelaEDenlaformay

+ (x2y2)/(xy) = 0,ysesiguenlospasossiguientes:>>syms x y z>>y=x*z;>>y=subs(y,z(x),z)y =x*z(x)>>subs(diff(y,x)+(x^2-y^2)/(x*y),y,y)ans =z(x)+x*diff(z(x),x)+(x^2-x^2*z(x)^2)/x^2/z(x)La respuestaans es la ED de variables separables que,para simplicar,resolvemos directamenteusandoelcomandoDSOLVE.>>z=dsolve(z+x*Dz+(x^2-x^2*z^2)/x^2/z=0,x)z =[ (-2*log(x)+C1)^(1/2)][ -(-2*log(x)+C1)^(1/2)]Finalmentesedeshaceelcambioyseobtieneenformaimplcitalasoluci on(y/x)2= 2 log(x) + C1.2.3 ECUACIONESDIFERENCIALESEXACTASConsideremoslaunaEDdeordenuno,quepuedeescribirseenlaformadiferencial,esdecirP(x, y)dx +Q(x, y)dy= 0.ClasePractica2 15Si Py Q tienen derivadas parciales primeras continuas en un abierto simplemente conexo D, entoncesenDequivalen:1. P(x, y)dx +Q(x, y)dy= 0esexacta.2. P/y= Q/x.Si la ED es exacta entonces existe el potencial F(x, y) tal que F/x = Py F/y= Q y la soluci ongeneralesF(x, y) = C.ParalaobtenciondeFseprocedecomosigue.IntegramosaF(x, y)respectoaunasoladesusvariables,digamosx.F(x, y) =_P(x, y)dx + f(y),dondef(y)esunaconstantequedependedelavariableyquehapermanecidoconstantedurantelaintegraci on. NotarqueparadeterminaraF(x, y)solorestahallaraf(y)SiderivamosconrespectoayQ =(_P(x, y)dx)y+f

(y).Luegof

(y) = Q(_P(x, y)dx)y.Integrandorespectoaylaanteriorexpresionobtenemosf(y). LasoluciongeneralesF(x, y) = C, C R.Ejemplo2.6Comprobar que la ED (2x+y)dx+(x3y)dy= 0,es exacta. Resolver dicha ecuacionyrepresentarlassoluciones.Resoluciondelejemplo2.6UtilizamoslasherramientasMatlabdelasiguientemanera.>>P=2*x+y;>>Q=x-3*y;>>test=diff(P,y)-diff(Q,x)test =0>>F1=int(P,x);F1 =x^2+y*x>>derf=Q-diff(F1,y)derf =-3*y>>f=int(derf,y)f =-3/2*y^2>>F=F1+fF =x^2+y*x-3/2*y^216 ClasePractica2Fig.2.2: Gracodelejemplo2.6Porlotantolasoluci ongeneralesx2+xy 3/2y2= C.Pararepresentargr acamentelassoluciones,ocurvasdenivel,escribimos(vergura2.2)>>[x,y]=meshgrid(0:0.1:3);>>z=x.^2+y.*x-3/2*y.^2;>>contour(x,y,z,15)Ejemplo2.7ComprobarquelaEDy

=x2y2, esexacta. ResolverdichaEDyrepresentarlassolu-ciones.Resoluciondelejemplo2.7>>P=x^2;>>Q=-y^2;>>test=diff(P,y)-diff(Q,x)test =0>>F1=int(P,x)F1 =1/3*x^3>>derf=Q-diff(F1,y)derf =-y^2>>f=int(derf,y)f =-1/3*y^3>>F=F1+fF =1/3*x^3-1/3*y^3Porlotanto,lasoluci ongeneraldelaEDes1/3x31/3y3= C.Pararepresentarlassolucionesescribimos(vergura2.3)ClasePractica2 17Fig.2.3: Gracodelejemplo2.7>>[x,y]=meshgrid(-3:0.05:3);>>z=z=1/3*x.^3-1/3*y.^3;>>contour(x,y,z,15)Ejemplo2.8Comprobar quelaEDcosh(x)sen(y) + senh(x) cos(y)y

=0, es exacta. Resolverdichaecuacionyrepresentarlassoluciones.Resoluciondelejemplo2.8>>P=cosh(x)*sin(y);>>Q=sinh(x)*cos(y);>>test=diff(P,y)-diff(Q,x)test =0>>F1=int(P,x)F1 =sin(y)*sinh(x)>>derf=Q-diff(F1,y)derf =0>>f=int(derf,y)f =0>>F=F1+fF =sin(y)*sinh(x)Por lotanto, lasoluci ondel ejemplo2.8es sen(y) senh(x) =C. Pararepresentarlassolucionesescribimos(vergura2.4)>>[x,y]=meshgrid(0:0.05:2);>>z=sin(y).*sinh(x);>>contour(x,y,z,15)18 ClasePractica2Fig.2.4: Gracodelejemplo2.82.4 ECUACIONDECLAIRAUTRecordemosquelaecuaci ondeClairautesdelaformay= xy

+f(y

). (2.1)Elmetododeresolucioneshacery

= pyderivarrespectoax,teniendoencuentaquep = p(x).Nosquedaentonceslaexpresi onsiguientedpdx(x + f

(p)) = 0.Sidpdx= 0entoncesy

= Cyportantoteniendoencuenta(2.1)seobtienequey= Cx + f(C), C R, (2.2)siendo(2.2)unhazderectas,todasellassoluci ondelaecuaci onoriginal(2.1).Six + f

(p) = 0,usando(2.1)seobtienelasolucionsingularenformaparametrica:x = f

(p),y= f

(p)p +f(p).En general no es necesario eliminar p para obtener una ecuaci on de la forma G(x, y) = 0, y de hecho,podraresultarmuydifciloimposible.Ejemplo2.9ResolverlaecuaciondeClairaut y=xy

14(y

)2. Representarlasoluciongeneralobtenida,ascomolasolucionsingular.ClasePractica2 19Fig.2.5: Gracodelejemplo2.9Resoluciondelejemplo2.9>>sol=dsolve(y=x*Dy-1/4*Dy^2,x)sol = [ x*C1-1/4*C1^2][ x^2]Lasegundafunci oneslaenvolventedelafamiliaintegraldelaecuaci on.Paradarunaideagr acaaproximadadelconjuntosoluci onhacemos(vergura2.5)>>x=(-4:0.1:4);>>y=x.^2; z=0; %envolvente y recta para C1=0>>w=x.*2-1; %recta para C1=2>>u=x.*8-16; %recta para C1=8>>v=x.*4- 4; %recta para C1=4>>t=x.*3-9/4; %recta para C1=3>>j=x.*(-2)-1; %recta para C1=-2>>plot(x,y,x,z,x,w,x,u,x,v,x,t,x,j)>>legend(Envolvente,C1=0,C1=2,C1=8,C1=4,C1=3,C1=-2)Ejercicio2.2ResolverutilizandoherramientasMATLAB,laecuaciondeClairauty= xy

+ln(y

).2.5 ECUACIONDEBERNOULLILallamadaecuaciondeBernoulliesdelaformay

+p(x)y= q(x)yn.Ejemplo2.10Resolverel PVIy

+ y/x = y2ln(x),y(1) = 1,yrepresentarlasolucion.20 ClasePractica2Resoluciondelejemplo2.10>>sol=dsolve(Dy+y/x=y^2*log(x),y(1)=1,x)sol =2/x/(-log(x)^2+2)Lagracaenelintervalo[1, 3]seobtieneejecutando(vergura2.6)>>ezplot(sol,[1,3])Ejercicio2.31. ResolverlaED3xy

2y=x3y2.2. Resolverel PVI3xy

2y=x3y2, y(1) = 1.Fig.2.6: Gracodelejemplo2.10LaEDdeBernoulliy

+p(x)y= q(x)ynseresuelvetransformandolaenlineal,paralocualseprocedecomosigue:SedividelaEDporynysehaceelcambioz=1yn1,obteniendounaEDlinealenz(x).>>syms p q n>>y=z^(1/(1-n));>>y=subs(y,z(x),z)y =z(x)^(1/(1-n))>>op=diff(y,x)+p*y-q*y^n;>>a=op/z(x)^(n/(1-n))a=(z(x)^(1/(1-n))/(1-n)*diff(z(x),x)/z(x)p*+...z(x)^(1/(1-n))-q*(z(x)^(1/(1-n)))^n)/(z(x)^(n/(1-n)))Ejemplo2.11Resolverlaecuaciony

+y/x = log(x)y3,aplicandoel metodoantesexplicado.ClasePractica2 21Resoluciondelejemplo2.11>>syms x>>y=z^(1/(1-3));>>y=subs(y,z(x),z)y =z(x)^(1/(1-3))>>op=diff(y,x)+y/x-log(x)*y^3op =-1/2/z(x)^(3/2)*diff(z(x),x)+1/z(x)^(1/2)/x-log(x)/z(x)^(3/2)>>a=op/z(x)^(3/(1-3));>>a=simplify(a)a =-1/2*(diff(z(x),x)*x-2*z(x)+2*log(x)*x)/xAcontinuaci onseresuelvelaanteriorEDlinealusandoDSOLVE>>z=dsolve(-1/2*Dz+z/x=log(x),x)z =2*log(x)*x+2*x+x^2*C1Finalmentesedebedeshacerelcambioz= 1/y2paraobtenerlasoluci on.2.6 FACTORINTEGRANTERecordemosquesi laEDP(x, y)dx + Q(x, y)dy=0noesexacta, siempreexisteunafuncion=(x, y) tal que P(x, y)dx +Q(x, y)dy= 0 s es exacta. Los casos aparentemente mas sencillos sonaquellosenquepuedeencontrarseunfactor, llamadofactorintegrante(f.i.), ques olodependedexos olodependedey. Unejemplodef.i. quedependedeambasvariablesxeyesaquel queencontramosparalaED(xy2yx2)dx +x3dy= 0. (2.3)SillamamosP(x, y) = xy2yx2yQ(x, y) = x3comprobaremosque1xP+yQ=1x2y2esunf.i. paralaED(2.3).LacomprobaciondeloanteriormentedichopodemoshacerlafacilmenteconMATLAB.>>syms x y>>P=x*y^2-y*x^2;Q=x^3;>>Test=diff(P,y)-diff(Q,x); %No es exacta>>M=1/(x*P+y*Q); %f.i. en (x,y)>>P=M*P;Q=M*Q ;>>Test1=simplify(diff(P,y)-diff(Q,x))Test1=0LarespuestaTest1 =0demuestraexperimentalmentequeM=x2y2esciertamenteunf.i.para(2.3).22 ClasePractica2ElpotencialF(x, y)seobtienemediantelassiguientesoperaciones.>>F1=int(P,x)>>derf=Q-diff(F1,y);>>f=int(derf,y)>>F=F1+fparaobtenerqueF= log(x) x/y,porlotantolasoluci oneslog(x) x/y= C.Nota2.1El anteriorprocedimientopuedeaplicarseacualquierecuacionhomogenea. El alumnopuedecomprobarqueenel casoP=x2 y2, Q=xy, el f.i. queseobtienedependedeunasolavariable.Ejemplo2.12UsarMATLABpararesolverlasiguienteEDdel Boletn2.y

=x +y. (2.4)Resoluciondelejemplo2.12La soluci on puede obtenerse mediante el cambio z= x+y, ya que es de la forma: y

= G(ax+by +c)cona=b =1, c =0yG(t) =t. Sinembargo, a unnotenemos explicaci onparael siguienteresultadoMATLAB:>>dsolve(Dy=sqrt(x+y),x)ans =0Es simple comprobar que y= 0 no es soluci on de la ecuaci on. Sin embargo, si elevamos al cuadradoambosmiembros,aunqueintroduzcamossolucionesadicionales,entoncessobtenemosrespuesta:>>dsolve(Dy^2=(x+y),x)ans =[ 1-x][ (-lambertw(-exp(-1-1/2*x+1/2*C1))-1)^2-x]Notemosqueahoratenemostodaslassolucionesdey

= x +y.Mediantecomprobaci ondirectavemosquey= 1 xessolamentesoluciondey

= x +yPorotraparte,teniendoencuentaquelambertw(x)=w(x)cumplew(x)ew(x)= x,obtenemosdelapropiarespuestadadaporMATLAB(-lambertw(-exp(-1-1/2*x+1/2*C1))-1)^2-xClasePractica2 23lasiguienteexpresion:(1 x +y) exp(1 x + y) = exp(x/2 + C)Paranuestroproblemaoriginal,tenemoscomorespuestalasiguienteecuaci on(1 +x +y) exp(1 x +y) = exp(x/2 + C) (2.5)alacualpodemosllegarconelcambioz= x +y,sinusarherramientasMATLAB.Insistamosenelproblema. LarespuestaMATLABseobtuvoalintegrarlaecuaciony= (y

)2x,queesdelaforma,resueltarespectoay,deltipoLagrangey= (1)x + (y

)2.Hacemosy

= pyderivamosconrespectoaxparaobtenerlaecuaci onlinealenx = x(p)(p + 1)x

= 2p,queseintegraf acilmenteobteniendox = 2p log(p + 1) + C,y= p22p + log(p + 1) C,(2.6)teniendoencuentaquey= p2x.Aunqueparezcaaprimeravistaqueesdifcil, enrealidadesmuyf acil eliminarp= x +ydelasecuaciones(2.6),paradeducir(2.5).Por lotanto(2.4) puede ser consideradade dos maneras. Asaber, comode laformay

=G(ax +by + c),ycomoLagrangey= xf(y

) + g(y

).TambienpodemosverlaEDdelejemplo(2.12)comolaecuaci onnoexactax +y dx dy= 0.Lomasinteresanteahoraesqueresultainfructuosoelintentodehallarunf.i. ques olodependadexoques olodependadey. Comprobarlo!EnestecasolasugerenciaesdescubrirquelaEDadmiteunf.i. delaforma(x, y) = (x + y).Paraobtenerloprocedemosdelaformasiguiente.TenemosP=x + yyQ = 1. Siesdelaformaanterioresf.i. entoncesdebeser(P)y=(Q)x,esdecir,yx +y + 12x +y= x,24 ClasePractica2oequivalentemente

(x +y)x +y + (x +y)12x + y=

(x +y).Debido a la forma de ,y a la expresi on anteriormente calculada,si hacemos t = x +y,obtenemos,separandolasvariables.d= dt2t(1 +t)(2.7)En todo lo anterior, tener en cuenta que hemos usado la regla de la cadena para calcular las derivadasderespectoaxey,estoes,x(x, y) =

(x +y),y(x, y) =

(x +y),siendo

laderivadaordinariadelafunci on(t).Integrando(2.7)obtenemosqueelf.i. delaEDes(x, y) =11 +x +y.Notarqueenestecaso(t) = 1/(1 +t).SabiendoquePdx +Qdy= 0esexactaprocedemosalcalculodelpotencialF(x, y).LaintegralgeneralesF(x, y) = C.Ejercicio2.4Resolverel siguientePVI(Boletn2)y

=_yx, y(1) = 4.CLASEPRACTICA3Resoluci onsimbolicadesistemasdiferencialesOBJETIVOSEjercitar el uso combinado de tecnicas matem aticas y herramientas simbolicas del MATLAB para elestudioyresoluci ondesistemasdiferencialeslinealesyecuacioneslinealesdeordensuperior.3.1 SISTEMALINEALHOMOGENEODECOEFICIENTESCONSTANTESEjemplo3.1Resolverel sistemadiferencial lineal siguientex

= 5x + 3yy

= 2x 10y1. Medianteel comandoDSOLVE.2. UsandoherramientasMATLABperosiguiendolaviamatricial.Resoluciondelejemplo3.1I- MATLAB resuelve directamente este tipo de sistemas utilizando el comando DSOLVE con la sin-taxisconocida. SillamamosSalasoluci onyescribimos>>S=dsolve(Dx=-5*x+3*y,Dy=-2*x-10*y)MATLABdevuelvelascomponentessimb olicasdelasolucion:S=x: [1x1 sym]y: [1x1 sym]2526 ClasePractica3Paraobtenerexplcitamentelasoluci onSsepidecadaunadesuscomponentes [S.x,S.y]opretty([S.x,S.y])>>pretty([S.x,S.y])[-2C1 exp(-8t)+3C1 exp(-7t)+3C2 exp(-7t)-3C2 exp(-8t),-2C1 exp(-7t)+2C1 exp(-8t)+3C2 exp(-8t)-2C2 exp(-7t)]esdecir,larespuestaesx = C1(2e8t+ 3e7t) + 3C2(e7te8t)y= 2C1(e7t+ e8t) + C2(3e8t2e7t)Alternativamentesepuedeobtenerdirectamentelarespuestaindicandolascomponentesdelvectorsoluci on.>>[x,y]=dsolve(Dx=-5*x+3*y,Dy=-2*x-10*y)x=-2*C1*exp(-8*t)+3*C1*exp(-7*t)+3*C2*exp(- 7*t)-3*C2*exp(-8*t)y=-2*C1*exp(-7*t)+2*C1*exp(-8*t)+3*C2*exp(- 8*t)-2*C2*exp(-7*t)Otravapararesolverelanteriorsistemalinealhomogeneo,decoecientesconstantes,esseguirlaviamatricialdirecta. Paraellocomenzamosescribiendoelsistemaenformamatricial:_xy_

=_ 5 32 10__xy_= A_xy_Conocer la soluci on general de este sistema signica conocer una matriz fundamental R(t) del mismo.EsoesloquecalcularemosmediantecomandosMATLAB.II-SabemosqueR(t) = etA. ParacalcularetAusaremoselcomandoEXPMdeMATLAB.>>A=[-5 3;-2 -10];%Crear la matriz A>>syms t %declarar simbolica t>>Rt=expm(t*A); %calcular matriz fundamental>>X1=Rt(:,1); %opcional calculo de un SFS,>>X2=Rt(:,2); %es decir, de las columnas de R(t)>>diff(X1)-A*X1 %Pueden hacerse comprobacionesans = [ 0][ 0]>>diff(X2)-A*X2ans = [ 0][ 0]ClasePractica3 27VisualizarRtycompararconlosresultadosanteriores>>RtRt =[-2*exp(-8*t)+3*exp(-7*t),3*exp(-7*t)-3*exp(-8*t)][-2*exp(-7*t)+2*exp(-8*t),3*exp(-8*t)-2*exp(-7*t)]>>X1X1 =[-2*exp(-8*t)+3*exp(-7*t)][-2*exp(-7*t)+2*exp(-8*t)]>>X2X2 =[-3*exp(-8*t)+3*exp(-7*t)][-2*exp(-7*t)+3*exp(-8*t)]3.2 SISTEMALINEALCOMPLETODECOEFICIENTESCONSTANTESEjemplo3.2Resolverel sistemadiferencial lineal siguiente:x

y= ety

+ 5x + 2y=sen(3 + t),conx(0) = 1,y(0) = 1.1. DirectamenteusandoDSOLVE.2. Utilizandoel MVP(1.Resoluciondelejemplo3.21. MedianteDSOLVE>>[x,y]=dsolve(Dx-y=exp(t),Dy+5*x+2*y=sin(3+t),x(0)=1,y(0)=-1)x=1/2*exp(-t)*sin(2*t)*(5/8-1/5*sin(3)+1/10*cos(3))+1/2*exp(-t)*...sin(2*t)*(-3/8-1/5*cos(3)-1/10*sin(3))+(5/8-1/5*sin(3)+1/10*...cos(3))*exp(-t)*cos(2*t)+3/8*exp(t)+1/5*sin(3+t)-1/10*cos(3+t)y=1Metodo de Variacion de Parametros28 ClasePractica3-5/2*exp(-t)*sin(2*t)*(5/8-1/5*sin(3)+1/10*cos(3))-1/2*...exp(-t)*sin(2*t)*(-3/8-1/5*cos(3)-1/10*sin(3))+1/5*cos(3+t)...+(-3/8-1/5*cos(3)-1/10*sin(3))*exp(-t)*cos(2*t)-5/8*exp(t)...+1/10*sin(3+t)2. Paralaresolucionmedianteel MVPusaremoslaformulacorrespondienteparaobtenerunasoluci onparticulardel sistemadiferencial lineal X

=A(t)X+ B(t). Lasoluci ongeneral delmismoesX(t) = R(t)V+R(t)_t0R(s)1B(s)ds, (3.1)siendoR(t)unamatrizfundamentalyV Rn.Laf ormula(3.1)correspondealcasogeneralA(t)decoecientesvariables. Elcasoparticulardecoecientesconstantesapareceacontinuaci on.Recordemos que, encasode sistemas diferenciales homogeneos concoecientes constantes,X

= AX,unamatrizfundamentalest adadaporR(t) = etA.Luego, si setratadeunsistemacompletodecoecientesconstantesX

=AX+ B(t), unasoluci onparticularXpest adadaporXp= etA_t0esAB(s)ds.Pararesolverelsistemadiferenciallinealdelejemplo3.2,esdecirx

y= ety

+ 5x + 2y=sen(3 + t),conx(0)=1,y(0)= 1,usaremoslaf ormulageneraldevariaci ondeparametrosparahallarunasolucionparticularXpdelsistemanohomogeneo.>>syms s t>>A=[0 1;-5 -2];>>Bt=[exp(t);sin(3+t)];>>Bs=subs(Bt,s,t);>>Rt=expm(t*A)Rt=[exp(-t)*cos(2*t)+1/2*exp(-t)*sin(2*t),1/2*exp(-t)*sin(2*t)][-5/2*exp(-t)*sin(2*t), exp(-t)*cos(2*t)-1/2*exp(-t)*sin(2*t)]>>Rs=subs(Rt,s,t)Rs=[exp(-s)*cos(2*s)+1/2*exp(-s)*sin(2*s),1/2*exp(-s)*sin(2*s)]ClasePractica3 29[-5/2*exp(-s)*sin(2*s),exp(-s)*cos(2*s)-1/2*exp(-s)*sin(2*s)]>>Xp=Rt*int(Rs\Bs,s,0,t);>>Prueba=diff(Xp)-A*Xp-Bt;% ComprobacionSi>>simplify(Prueba)noproduce[0;0],ejecutar>>ezplot(Prueba(1),[-1,1]),>>ezplot(Prueba(2),[-1,1])paraapreciar,conciertasignicaci on,querealmentePruebaescero.(2Laformulaci onexplcitadelasoluci onparticularXpsecomponedeunacadenadecaracteresdemasiadolargayportantodereducidautilidad,enefecto,sihacemoslaconversi ondeSYMaSTRINGmedianteelcomandoCHAR,tendremosque>>size(char(Xp))ans =1 1669esdecir,Xpest acompuestode1669caracteres!Lagura3.1muestragr acamenteelresultadodeejecutarezplot(Prueba(2),[-1,1]). El rangodevariaci onenelintervalo[1, 1]sugierelanulidadconunasignicaciondelordende1015.Ejemplo3.3Resolverel siguientesistemalineal completodecoecientesconstantesx

+x + 2y= cos(t) +sen(t) + ety

2x +y=sen(t) cos(t),x(0) = 1, y(0) = 1.Obtenciondelasoluci ondelejemplo3.3medianteDSOLVE>>sis1=Dx+x+2*y=cos(t)+sin(t)+exp(-t);>>sis2=Dy-2*x+y=sin(t)-cos(t);>>[x,y]=dsolve(sis1,sis2,x(0)=1,y(0)=1)x =cos(t)-1/2*exp(-t)*sin(2*t)y =1/2*exp(-t)+sin(t)+1/2*exp(-t)*cos(2*t)2Los errores menores queeps 2.2e 16 se asume que son cero.30 ClasePractica3Fig.3.1: Evidenciagr acadequePrueba(2)debesernulaen[1, 1]3.3 RESOLUCIONDESISTEMASDIFERENCIALESLINEALESHOMOGENEOSDECOEFICIENTESCONSTANTESPORLAVIAESPECTRALDenici on3.1Valoresyvectorespropios.SeaAunamatrizconstante,cuadradadeordenn. DecimosqueesunvalorpropiooautovalordeAsiexisteunvectorunonulotal queAu = u. Aesteuselellamavectorpropiooautovalorasociadoa.3.3.1 CalculodevaloresyvectorespropiosviaMATLABSiAesunavariablequecontieneunamatrizcuadrada,entonces>>[V,D] = eig(A)producelamatrizV= [u1 un]deautovectores,ylamatrizdiagonalD,talesqueAV= V D.Esdecir,ladiagonalprincipaldeDcontienealosautovaloresdeA.Sihacemos>>valores_propios=eig(A)almacenamosenlavariablevectorialvalores_propiosalosvalorespropiosdeA.ClasePractica3 313.3.2 ElmetodoespectralEl siguienteresultadonosofrecelaherramientateoricapararesolverunsistemadiferencial linealhomogeneo,decoecientesconstantesporlaviadelosvaloresyvectorespropios.Teorema3.1Si lamatrizAtienenvalorespropiosdiferentes1,...,n, yukesunvectorpropioasociadoak,k = 1, ..., n,entoncese1tu1, , entun,esunsistemaoconjuntofundamental desoluciones(SFS)parael sistemadiferencial X

= AX.Ejemplo3.4Resolverporlaviaespectral, yaplicandoherramientasMATLAB, el siguientepro-blemaconvaloresinicialesX

=__1 2 11 0 14 4 5__X(t) X(0) =__100__Indicacionespararesolverelejemplo3.4Usar el comando EIG para calcular los valores y vectores propios de la matriz del sistema y vericarsisondiferentesdosadosparaaplicarelTeorema3.1. RecordarqueunaveztengamosunamatrizfundamentalR(t),entoncesX(t) = R(t)__c1c2c3__nos dalasoluci ongeneral del sistema. Luego, la unicasolucionestar adadapor lasoluciondelsiguientesistemaX(0) = R(0)__c1c2c3__=__100__esdecir,__c1c2c3__= R(0)1__100__32 ClasePractica33.4 EEDDLINEALESDEORDENSUPERIORLas EEDD de orden superior pueden ser tratadas con el comando DSOLVE de una manera muy exi-ble. Se presentan a continuaci on diversos ejemplos de EEDD homogeneas y completas de coecientesconstantesparalasqueseobtienelasoluci ongeneralascomociertassolucionesparticulares.SepresentatambienunejemplodecoecientesvariablesquecorrespondeaunaEuler.3.4.1 EEDDlinealesdeordensuperiorhomogeneasEjemplo3.5ResolverlaEDy

+ 4y

+ 4y= 0ResolucionmedianteMATLABdelejemplo3.5>>S=dsolve(D2y+4*Dy+4*y=0)S =C1*exp(-2*t)+C2*exp(-2*t)*t %(sol. gral.)Observeseque 2esunarazdobledelpolinomiocaractersticoEjemplo3.6Resolverel PVIy

+ 4y

+ 4y= 0,y(0) = 1,y

(0) = 4.ResolucionmedianteMATLABdelejemplo3.6>>S=dsolve(D2y+4*Dy+4*y=0,y(0)=1,Dy(0)=4)S=exp(-2*t)+6*exp(-2*t)*t %(sol. part.)NotarquesehaobtenidoC1=1yC2=6. Entodosloscasoslasrespuestassonexactas, conf ormulascerradas.3.4.2 EEDDlinealesdeordensuperiorcompletasEjemplo3.7ResolverlaEDy

+y

+ 4y= 1.ResolucionmedianteMATLABdelejemplo3.7>>S=dsolve(D2y+Dy+4*y-1=0)S=1/4+C1*exp(-1/2*t)*cos(1/2*15^(1/2)*t)+C2*exp(-1/2*t)*...sin(1/2*15^(1/2)*t)Notarqueelpolinomiocaractersticotieneracescomplejasconjugadas(1 i15)/2.Ejemplo3.8Resolvery

= log(x)/x2,y(1) = 0,y

(1) = 1,y

(1) = 2.ClasePractica3 33ResolucionmedianteMATLABdelejemplo3.8>>y=dsolve(D3y=log(x)/x^2,y(1)=0,Dy(1)=1,D2y(1)=2,x)y=-1/2*log(x)^2*x+3/2*x^2-2*x+1/2COMOSOLVENTARDIFICULTADESRELACIONADASCONDSOLVE?SiunaEDnoadmitesolucionexactaenterminosdelcat alogodefuncioneselementalesMATLAB,entonces DSOLVEnopuedeofrecer unasoluci on. Existenotras causas queimpidenaDSOLVEllegaraunarespuestaexactaperosuconsideracionquedafueradenuestrasposibilidades.Enalgunoscasosel comandoDSOLVEpuedeproducirrespuestaspocoamigables, esdecir, ex-cesivamentelargasoexpresadasenterminosdefuncionesespecialespocousuales. Entalescasosdebemos hallar metodos alternativos que produzcan soluciones, quiz as aproximadas pero mucho maspotables. Parailustrarlodicho, acontinuaci onseofreceunejemplodeEDLhomogeneadecuartoorden, cuyasoluci onse obtiene de formaaproximada, siguiendounmetodobasadoennuestrosconocimientosteoricos. Enel apendiceseamplanlosdetallestecnicosdel metodoyseejerceunacrticanecesaria.Ejemplo3.9ConsiderelaEDLH(3L[y] = 0,dondeL[y] = yiv)6yiii)+ 9yii)24yi)20y.Intenteresolverla,esdecir,halleinformacion util sobrelasolucion.Desarrollodelejemplo3.9TratemosderesolverL[y] = 0utilizandoDSOLVE.>>y=dsolve(D4y-6*D3y+9*D2y-24*Dy-20*y=0);>> size(char(y))ans = 1 2765Larespuesta(4constade2765caracteres!Siendo la EDL de coecientes constantes, podemos intentar hallar una respuesta, satisfactoria enciertosentido(verApendice),calculandounSFSapartirdelpolinomiocaractersticoP= m46m3+ 9m224m20.CalculemosaproximadamentelasracesdePconalgunodeloscomandosSOLVEyROOTS.El comandoSOLVEresuelveexactamente, enterminos deradicales, ecuaciones polin omicashastael grado4. ROOTScalculaaproximadamentelasracesdecualquierpolinomiomedianteun3Ecuacion Diferencial Lineal y Homogenea4La respuesta puede cambiar seg un la version MATLAB o el software que se utilice34 ClasePractica3procedimientomuyecienteypreciso. Noobstante, losresultadosnumericosobtenidosmedianteSOLVEdeberansersuperiores, enalgunoscasos, alosproducidosporROOTS. El nivel decoin-cidenciaentreambosesdel orden1015enel casoquenosocupa, seg unseapreciaenlaspruebasnumericasquesemuestranacontinuaci on.>>format long e>>S=numeric(solve(x^4-6*x^3+9*x^2-24*x-20))S =5.291305619991860e+006.653067648628088e-01+2.373811784418384e+00i6.653067648628088e-01-2.373811784418384e+00i-6.219191497174775e-01>>R=roots([1 -6 9 -24 -20])R =5.291305619991865e+006.653067648628106e-01+2.373811784418383e+00i6.653067648628106e-01-2.373811784418383e+00i-6.219191497174774e-01>>max(abs(R-S))ans= 5.329070518200751e-015ElcorrespondienteSFSesy1= e0.6653067648628088 tsen(2.373811784418384 t),y2= e0.6653067648628088 tcos(2.373811784418384 t),y3= e5.291305619991860 ty4= e0.6219191497174775 tVerenelAPENDICEcomointentamosvalorarlacalidaddeestasoluci onaproximada.Ejercicio3.1DadaslassiguientesEEDDa.- yiv)10yiii)+ 3yii)2yi)20y= 0,b.- yiii)2yii)+ 3yi)= 0,c.- yiv)6yiii)+ 9yii)24yi)+ 50y= 1,obtenerunasolucionparticularparalaEDdel apartadoc)medianteel metododecoecientesinde-terminados(MCI)sinayudadel MATLAB,yunSFSparaa),b)yc).ClasePractica3 353.5 ECUACIONDEEULERYDEEULERGENERALIZADALaecuaciondeEulerdesegundoordenesdelaformax2y

(x) + xy

(x) + y(x) = (x)Recordemos que esta se transforma en una ED de coecientes constantes mediante el cambio x = et,yquelaecuaci ondeEulergeneralizadadesegundoordenesdelaforma(ax +b)2y

(x) + (ax + b)y

(x) + y(x) = (x)Ejemplo3.10Resolver(2x + 1)2y

(4x + 2)y

12y= 8x.Resoluciondelejemplo3.10medianteMATLABAplicandoDSOLVEseobtieneque>>y=dsolve((2*x+1)^2*D2y-(4*x+2)*Dy-12*y=8*x,x)y=2/3*x^3*(2+x)/(2*x+1)+ C1*(2*x+1)^3+C2/(2*x+1)Ejercicio3.2Acuales delas siguientes EEDD, despues deser transformadas enEDLdecoe-cientesconstantes, puedeaplicarseel MCI?Cual eslaalternativaal MCI?IntentarresolverlasmedianteDSOLVEymediantemetodosartesanales. Contrastarlosresultados.1. (2x + 1)2y

(4x + 2)y

12y= 8x2. x2y

+ 5xy

2y= 5 log(x)3. (10x + 50)2y

3(x + 5)y

+ 7y= x24. x3y

6x2y

+ 2xy= x + 15. 5x2y

6xy

+ y= ex3.6 CALCULODEWRONSKIANOSYAPLICACIONESEnloquesigueseutilizar aelwronskianoparaelestudiodelaindependencialinealdesistemasdefunciones. Tambienseaplicar aenlaobtenciondeunaEDLHconocidasalgunasdesussoluciones.El wronskiano juega un papel relevante en la teora y practica de las EDL. Si y1 e y2 son funcionesdenidassobreelintervaloI,entonceselwronskianoW(y1, y2)de estassedenecomo:W(y1, y2)(t) = det_y1(t) y2(t)y

1(t) y

2(t)_, t I.36 ClasePractica33.6.1 WronskianoeindependencialinealTeorema3.2Seanx1(t)yx2(t)dossolucionesdeunaEDdel tipox

(t) + p(t)x

(t) + q(t)x(t) = 0,conp(t)yq(t)continuasenI.Entoncessecumpleque:x1yx2sonlinealmenteindependientesenI W(x1, x2)(t) ,= 0 t I t Ital queW(x1, x2)(t) ,= 0.Nota3.1Seanx1yx2declase1enI,nonecesariamentesolucionesdeunaEDLH.Entonces1)W(x1, x2)(t) ,= 0paraalg unt I x1yx2sonlinealmenteindependientesenI.2)Sinembargo, esposiblequex1yx2seanlinealmenteindependientesenI yW(x1, x2)(t)=0enalg unI. Porejemplo,tyt2sonl.i. en[1/2, 1/2]yW(t, t2)(0) = 0.Ejemplo3.11Calcularel Wronskianodee2ty senh(t) 2 cosh(2t).Resoluciondelejemplo3.11>>a=[exp(-2*t), sinh(t)-2*cosh(2*t)] ;>> b=diff(a,t) % tambien diff(a)b=[-2*exp(-2*t),cosh(t)-4*sinh(2*t)]>> c=[a;b]c=[exp(-2*t),sinh(t)-2*cosh(2*t)][-2*exp(-2*t),cosh(t)-4*sinh(2*t)]>>d=det(c) %(es el Wronskiano pedido)d=exp(-2*t)*cosh(t)-4*exp(-2*t)*sinh(2*t)+...2*exp(-2*t)*sinh(t)-4*exp(-2*t)*cosh(2*t)ParaabreviarpuedeutilizarseelprogramaWRONSKY.M,quepuededescargarsedesdelaWebdelaasignatura[15].Ejemplo3.12Calcularel Wronskianodeex,e2xye3x.Resoluciondelejemplo3.12.>>a=[exp(x),exp(2*x),exp(3*x)];>>b=diff(a,x);>>c=diff(b,x);>>d=[a;b;c]ClasePractica3 37d=[exp(x),exp(2*x),exp(3*x)][exp(x),2*exp(2*x),3*exp(3*x)][exp(x),4*exp(2*x),9*exp(3*x)]>>W=det(d)%%%%(es el Wronskiano)W=2*exp(x)*exp(2*x)*exp(3*x)Ejemplo3.13Determinarsilassiguientesfuncionessonlinealmenteindependientes:f(t) = etsen(2t)yg(t) =sen(t) cos(t)enel intervalo[1/2, 3/4].Resoluciondelejemplo3.13usandoMATLAB>>syms a b c d t>>a=[exp(t)*sin(2*t),sin(t)*cos(t)];>>b=diff(a,t);>>c=[a;b];>>d=det(c);>>d=simplify(d)d=2*exp(t)*sin(2*t)*cos(t)^2-exp(t)*...sin(2*t)- sin(t)*cos(t)*exp(t)*...sin(2*t)-2*sin(t)*cos(t)*exp(t)*cos(2*t)>>W=subs(d,3/4,t)W=-1.05320353709056Porlotantofygsonlinealmenteindependientes.Ejemplo3.14Estudiarlaindependencialineal def(t)=1, g(t)= t + 1, h(t)=3t2+ 2t 4en(1, 2).Resoluciondelejemplo3.14usandoMATLAB>>syms t>>a=[1,-t+1,3*t^2+2*t-4];>>b=diff(a,t);>>c=diff(b,t);>>d=[a;b;c];>>e=det(d)e =-6Porlotantolasfuncionessonl.i.Ejemplo3.15Dadaslasfamiliasdefunciones38 ClasePractica3a) y1= ex,y2= e2x,y3= e3xb) y1= 1,y2= x,y3= 1/(1 + x2)c) y1=sen(x),y2= xd) y1= ex,y2= cos(3x)e) y1= x,y2= x2+ 1,y3= x2+ 2x + 1hallarparacadaunalaEDLhomogeneaconel menorordenposibleparalacual lasfunciones yiformanpartedeunconjuntofundamental desoluciones,considerandoporseparadoloscasos1. coecientesconstantes(cuandoseaposible),2. coecientesvariables.Construcci on de una EDLH de coecientes variables teniendo a las funciones del ejemplo3.15,apartadob)comoSFSPuedenejecutarsecomandosMATLABenlneatal comosemuestraacontinuacion, outilizarelprogramaWRONSKY.>>syms x y dy d2y d3y>>A=[1 x 1/(1+x^2)];>>A1=[y,A];>>A2=[dy,diff(A)];>>A3=[d2y,diff(A,2)];>>A4=[d3y,diff(A,3)];>>W=det([A1;A2;A3;A4])W=-2*(12*d2y*x^3-12*d2y*x+2*d3y*x^2+3*d3y*x^4-d3y)/(1+x^2)^4Laecuaci onesW=0, siendody=y

, d2y=y

, etc. Si seseleccionaunintervalodominioI0,entoncesI0nodebecontenercerosdelwronskiano.3.7 SOLUCIONESPARTICULARESDEEEDDLINEALESCOMPLETAS3.7.1 Metododecoecientesindeterminados(MCI)ElMCIesaplicablecuandolaEDtienecoecientesconstantesylapartecompletaesdetipoCI.Ejemplo3.16ObtenerunasolucionparticulardelaEDx

+ 3x

4x = 3sen(t) + 7e4te2tClasePractica3 39Resoluciondelejemplo3.16conDSOLVE>>y=dsolve(D2x+3*Dx-4*x=0)y=C1*exp(t)+C2*exp(-4*t)queeslasoluci ongeneraldelahomogenea.TeniendoencuentalaformadelapartecompletadelaED,sebuscaunasoluci onparticularxpqueseacombinacionlinealdex1=sen(t), x2= cos(t), x3= te4t, y x4= e2t.>>syms t A B C D>>xp=A*sin(t)+B*cos(t)+C*t*exp(-4*t)+D*exp(2*t);queeslasoluci onparticularbuscada.ParadeterminarloscoecientesA,B,CyDsedebesustituirxpenlaED.>>l=diff(xp,2,t)+3*diff(xp,t)-4*xpl=-5*A*sin(t)-5*B*cos(t)-5*C*exp(-4*t)+6*D*exp(2*t)+3*A*cos(t)-3*B*sin(t)>>eqn=l-3*sin(t)-7*exp(-4*t)+exp(2*t)eqn=-5*A*sin(t)-5*B*cos(t)-5*C*exp(-4*t)+6*D*exp(2*t)+3*A*cos(t)-3*B*sin(t)-...3*sin(t)-7*exp(-4*t)+exp(2*t)Pararesolvereqn=0yasobtenerA,B,C,yD,seeval uaeqnysusderivadas1ra,2day3raenunpunto(enestecasotomamoselpunto0),obteniendoseunsistemacuyaresoluci onnosdaA,B,C,yD.>>eqn1=subs(eqn,0,t)eqn1=-6-5*B-5*C+6*D+3*A>>eqn2=subs(diff(eqn,t),0,t)eqn2=-5*A+27+20*C+12*D-3*B>>eqn3=subs(diff(eqn,t,2),0,t)eqn3=-108+5*B-80*C+24*D-3*A>>eqn4=subs(diff(eqn,t,3),0,t)eqn4=5*A+459+320*C+48*D+3*B40 ClasePractica3Acontinuaci onseresuelveel sistemalineal formadopor las4ecuaciones eqn1, eqn2, eqn3yeqn4,conlasinc ognitasA,B,C,yD.>>[A B C D]=solve(eqn1,eqn2,eqn3,eqn4)A =-15/34B =-9/34C =-7/5D =-1/6Unasolucionparticularesxp=-15/34 *sin(t)-9/34 *cos(t)-7/5*t*exp(-4*t)-1/6 *exp(2*t)Elprocedimientoanteriorusadoparaelc alculodeloscoecientesnoesaconsejablesinlaayudade instrumentos de c alculo, pero s parece ser mas adecuado para simular el proceso en el ordenador.EnsudefectopuedeusarseelprogramaMCIdescargabledesdelaWebdelaasignatura[15].3.7.2 Metododevariaciondeparametros(MVP)Ejemplo3.17ObtenerunasolucionparticulardelaEDt2x

+ tx

x =sen(t).Seutilizaraquex1= tyx2= 1/tsonsolucionesl.i. delaEDhomogenea. (SepuedenobtenerconDSOLVE)Resoluciondelejemplo3.17Lasoluciongeneraldelahomogeneaesxh= At +B/t, A, B Rysebuscaunaparticulardelacompletadelaformaxp= A(t)t + B(t)/t.SabemosqueA

(t)yB

(t)sonsolucionesdelsistema_t 1/t1 1/t2__A

(t)B

(t)_=_0sen(t)/t2_Procedemosaresolverdichosistema.ClasePractica3 41>>syms t>>a=[t,1/t]>>b=diff(a);>>c=[a;b]c = [t,1/t ][1,-1/t^2]>>W=det(c)W =-2/t>>A=int(sin(t)/(2*t^2))>>B=int(-sin(t)/2)>>xp=A*t+B*1/txp=(-1/2*sin(t)/t+1/2*cosint(t))*t+1/2*cos(t)/t>>pretty(sym(xp))/ sin(t) \ cos(t)|- 1/2 ------ + 1/2 cosint(t)| t + 1/2 ------\ t / tEjemplo3.18ObtenerunasolucionparticulardelaEDx

6x

+ 9x =e3tt2.Resoluciondelejemplo3.18>>y=dsolve(D2x-6*Dx+9*x=0)y=C1*exp(3*t)+C2*exp(3*t)*t %(sol. gral. homogenea)Paraobtenerxp=A(t)*exp(3*t)+B(t)*exp(3*t)*t,nosbasamosenqueA

(t)yB

(t)sonsolucionesdelsistema_e3tte3t(e3t)

(te3t)

__A

(t)B

(t)_=_0e3t/t2_Porlotanto,seprocedearesolverdichosistema>>syms t>>a=[exp(3*t),t*exp(3*t)]>>b=diff(a,t);>>c=[a;b]c=[exp(3*t), t*exp(3*t)][3*exp(3*t),3*exp(3*t)*t+exp(3*t)]>>W=det(c)W =exp(3*t)^242 ClasePractica3>>A=int(-1/t)A =-log(t)>>B=int(1/t^2)B =-1/t>>xp=A*exp(3*t)+B*t*exp(3*t)xp=-log(t)*exp(3*t)-exp(3*t)Estaeslasoluci onparticularobtenida.Ejemplo3.19Resolvermedianteel MVPlaEDx

+ 3x

+ 2x = e3tcos(5t) + 2t4.Resoluciondelejemplo3.19>>dsolve(D2x+3*Dx+2*x=0) % hallar un SFSans= C1*exp(-2*t)+C2*exp(-t)Se buscan A(t) y B(t) para tener una soluci on particular xpcuya expresi on pretendemos que seaxp= A(t)e2t+B(t)et.El procedimiento interactivo (lnea de comandos) aparece a continuaci on. Puede usarse el programaMVP.MquesedescargadesdelaWebdelaasignatura[15].>>syms t>>a=[exp(-2*t),exp(-t)];b=diff(a,t);c=[a;b]c =[exp(-2*t),exp(-t)][-2*exp(-2*t),-exp(-t)]>>H=[0;exp(3*t)*cos(5*t)+2*t^4];>>S=inv(c)*H;A=int(S(1));B=int(S(2));>>xp=simplify(A*exp(-2*t) +B*exp(-t))xp=-8/205*cos(t)^5*exp(3*t)+72/205*cos(t)^4*sin(t)...*exp(3*t)+2/41*cos(t)^3*exp(3*t)-54/205*cos(t)^2...*sin(t)*exp(3*t)-1/82*cos(t)*exp(3*t)+9/410*...sin(t)*exp(3*t)+t^4-6*t^3+21*t^2-45*t+93/2Como alternativa podemos usar el MCI y el principio de superposici on, pero en cualquier caso esmuchom ascomodousardirectamenteDSOLVEqueaplicaautom aticamenteelprincipiodesuper-posicion.ClasePractica3 433.8 REDUCCIONDEORDENEjemplo3.20ResolverlaEDx

+ (2/t)x

+ x=0, usandoquef(t)= sen(t)/tesunasolucionparticular.Resoluciondelejemplo3.20Buscamosunasoluci ondelaformax =sen(t)/t v(t).DerivandoysustituyendoenlaEDyhaciendov

= ysellegaaunaEDdeprimerordeneny.y

+ (2/t + 2f

(t)/f(t))y= 0.ResolviendoestaEDseobtienesusoluci ongeneral.y= F(t, C1).Comoy= v

,integrandoseobtienev= G(t, C1, C2).Finalmentehaciendox = f vseobtienelasoluci ongeneraldelaED.LospasosconMATLABseindicanacontinuacion.>>syms t C2 %ecuacion original x+2/tx+x=0>>f=sin(t)/t>>diff(f)ans=cos(t)/t-sin(t)/t^2>>diff(f)/fans=(cos(t)/t-sin(t)/t^2)/sin(t)*tSeresuelvelaEDy

+ (2/t + 2f

/f)y= 0copiandof/f =diff(f)/fenDSOLVE>>y=dsolve(Dy+2*(1/t+((cos(t)/t-sin(t)/...t^2)/sin(t)*t))*y=0)y =-2*C1/(-1+cos(2*t))Comoy= v

,seintegra>>v=int(y,t)+C244 ClasePractica3v =-C1/tan(t)+C2Seusaquex = f v>> x=sin(t)/t*vx=sin(t)/t*(-C1/tan(t)+C2)>>simplify(x)ans=-(C1*cos(t)-C2*sin(t))/t %(sol. gral.)3.9 EJERCICIOSCOMPLEMENTARIOSEjercicio3.31. Investigar si las funciones y1(t) = et, y2(t) = tet, e y3(t) = t2et, son linealmente independientesen[a, b].2. Resolverel siguienteproblemadeCI2y

+ 5y

+ 5y= 0, y(0) = 0, y

(0) = 1/2.3. Resolver9yiv)6yiii)+ 46yii)6yi)+ 37y= 0.4. Hallarlasoluciongeneral del sistemadeecuacionesy

+ z

= exp(x)y + z

= x5. Determinarlasoluciondel sistemax

= yy

= zz

= yx(0) = 1, y(0) = 1, z(0) = 0.6. Calcularunamatrizfundamental parael sistemadel apartado5).7. IntentarhallarlasoluciondelassiguientesEEDDmedianteMATLAB.(a) y

4ty

+y= 1(b) y

4t2y

+ y= 0(c) y

4ty

+ty= 0ClasePractica3 45(d) ty

4y

+y= 0(e) x

+ 5x

50x = 1/tVerenel APENDICEunanotasrelativasalasfuncionesespecialesquepuedenaparecerenlasoluci ondealgunosdelosproblemasanteriores.3.10 APENDICE3.10.1 NotassobrefuncionesespecialesPara complementar lo dicho en la clase No. 1 -pag. 4 de este material- sobre la funci on Lambertw,mencionaremos otras funciones b asicas tambien incorporadas a MATLAB. Estas son: WhittakerW,WhittakerM, besselj, bessely, Ei, dilog, lafunciondeerrorerf, Heaviside, Dirac, etc, quetambien pueden ser conocidas mediante MHELP. Se trata de funciones especiales para el matem aticoy el fsico debido a que son la soluci on de problemas especcos, frecuentes y de gran importancia endeterminadosambitosdelamatematica,laingenieraolafsica.LalosofaquesigueelMATLABrespectoaestasfuncioneseslausual. Expresarlassolucionesde una ED en terminos de ciertas funciones especiales que hemos adoptado, y que son bien conocidasenel sentidodequetenemossucienteinformaci onacercadeellas: intervalosdeconvexidadydecrecimiento, maximos ymnimos locales, comportamientoasint oticoenel innito, derivabilidad,singularidades,desarrolloenseriedepotencias,etc.LasEEDDdecoecientesvariablesdel ultimolistadodeejerciciosser anestudiadasenel 2docuatrimestreutilizandounmetodorelativamentesimple,basadoenasumiraprioriquelasoluci onadmiteundesarrolloenseriedepotencias.(5Conestosapuntesnosepretendequeel alumnoestudiedetalladamentetodasestasfuncionessinoqueaumentesuculturaprofesional,conociendoa unmejorcu aleslatareaquedesempe nanlasfuncionesespecialesyque estasnosereducenalasconocidasexponencial,seno,coseno,etc.3.10.2 Sobreelmetodobasadoenelcalculoaproximadodelasracesdelaecuaci oncaractersticaPararesolverlaecuacionlinealhomogeneadecoecientesconstantesayiv)+byiii)+cyii)+ dyi)+ey= 0aplicamos el comando DSOLVE. Si la respuesta que se obtiene con DSOLVE no es satisfactoria, unavariantepocoortodoxa,quenorecomendamos,consisteentomarelpolinomiocaractersticoP= as4+bs3+cs2+ds + e5Notar que ninguna de las EEDD del problema (7) del ejercicio 3.3 es del tipo Euler.46 ClasePractica3ycalcularaproximadamentesusracesmedianteelcomandoSOLVEtalcomosemuestraacontin-uaci on>>format long e % se sugiere formato largo>>S=numeric(solve(a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e))FinalmentedamoscomosolucionelcorrespondienteSFS.Esexactalarespuesta?Obviamentenoloes. Enlassiguienteslneassereconsideraelejemplo3.9 de la pagina 33, para ilustrar el nivel de ajuste que se obtiene al calcular una soluci on aproximada yporestemetodo.Loprimeroatenerencuentaesqueel criterioqueaqu sesigueesel demedirel errorenlaecuaci on: [L[ y][,enlugardelerrorenlasolucion: | y y|.Tomemosporcasoa [L[ y][enlosintervalos[2, 2]y[20, 60].>>syms t;>>y1=exp(t*0.6653067648628088)*sin(2.373811784418384*t);ycalculemosZ= L[y1].>>Z=diff(y1,4)-6*diff(y1,3)+9*diff(y1,2)-24*diff(y1,1)-20*y1;Hagamos(6>>subplot(1,2,1);ezplot(Z,[-2,2]),title()>>subplot(1,2,2);ezplot(Z,[20,60]),title()paraobtenerlosgr acosquesemuestranenlagura3.2.Tienencalidadlosresultados?El metodoalternativoaDSOLVEquehemos utilizadoes aproximado, yconcuerdaconnuestrosconocimientoste oricos. Sinembargo, enel ambitoexperimental losbaremoscambian. Lacalidaddelosresultadosobtenidossemide,enestecaso,apartirdelaestimacionquehagamosdelresiduo[Z[ = [L[ y(t)][ sobre ciertos intervalos. Hemos comprobado que [Z[ es del orden de 101510 = 1014cuando yest adadapor y(t) = etsen( t), 2 t 2siendo = 0.6653067648628088, y = 2.373811784418384.PodemosaceptarqueZ= 0en[2, 2]?Larespuestapodraserarmativasitenemosencuentaquelosc alculosMATLABsehacenconunaprecisionnita.(7Parececorrectoaceptarqueloserroresexperimentalessonnuloscuando estosson< eps 2.22e 016,y estenoeselcasoquenosocupa.(8Peroacaso1014noessucientementepeque no? PodemosaceptarcomoSFSalobtenidoporelmetododescritoanteriormente?6Agregando title() evitamos que en el ttulo de la graca aparezcan cadenas interminables de caracteres.7Se llama precision al n umero de dgitos que forman la mantisa.8Por eps se representa al epsilon de maquina, es decir, el n umero positivo mas peque no, representable internamente,tal que 1 + eps > 1. Hacer>> eps para obtener su valor con 16 dgitos.ClasePractica3 47Fig.3.2: GracasdeZ= yiv)16yiii)1+ 9yii)124yi)1 20y1en[2, 2]y[20, 60]Enprincipiolarespuestaalaprimerapreguntaesarmativa. Podemosaceptarunresultadoaproximadosiemprequetengamosunamedidadelacalidaddedichaaproximacionyque esta,asuvez, se corresponda con la tolerancia de nuestros instrumentos. En este caso tendremos presente quenotenemosinformacionacercadelerrorenlasoluci on| y y|,yquenuestraconclusi ondependeradelintervaloconsiderado.Larespuestaalasegundapreguntaesnegativa,yesqueenrealidadhemosavanzadomuypocopueslasoluci ongeneraldelaEDesdelaforma(9 yG= C1e3 tcos( t) + C2e3 tsen( t) + C3e1 t+C4e2 t, (3.2)demodoquelasconstantesC1, ..., C4puedenmodicarsustancialmentelaescalayporellopodrasera unm asdifcilaceptarqueelresiduorelativoa yGseacero.Apesardeloanterior,elcriteriobasadoenmedirdirectamentelasdiscrepanciasenlaecuaci onesunaestrategiauniversalmenteaceptada. El llamadometododelosresiduos(ponderados)(10consisteenaceptarcomosoluci onaquellaqueanulaalresiduoenunsentidomasdebilqueelaquutilizado.9Un serio inconveniente es que la funcion yGdepende no linealmente de los parametros1,...,3, y.10Estan dise nados para resolver problemas de contorno (Tema 7). Ver 20.3 de [5]48 ClasePractica3Paraterminardemomentoestadiscusi on, reiteremosqueesposibleparaEEDDlinealesyho-mogeneas de ordencuatroomenor, calcular exactamente las races del polinomiocaractersticoutilizandoSOLVEsinaplicar NUMERIC, soloquelaexpresionliteral dedichasracespuedeserunSTRINGcondemasiadoscaracteres. Encualquiercaso, lasventajasquesederivandel trabajoconobjetossimb olicosnoparecenserconcluyentes,almenosconesteenfoque. Pararesolver esteymuchosotrosproblemasnosapuntamosalusodelosmetodosnumericostradicionalescuyoestudioser aabordadoenlasclasespracticas5,6y7.CLASEPRACTICA4TransformadadeLaplaceOBJETIVOSEjercitarel usocombinadodetecnicasmatematicasyherramientassimbolicasdel MATLABparalaresolucion, mediantelatransformadadeLaplace, deproblemasdevaloresinicialesasociadosasistemasdiferencialeslinealesyecuacioneslinealesdeordensuperior.4.1 DEFINICIONYCALCULO4.1.1 Denici ondelatransformadadeLaplaceLatransformadade Laplace de unafuncionf(t) denidaen[0, +) es unanuevafuncionquedenotaremosporF(s)of(s)o L(f)(s),denidaporlaintegralf(s) =_+0estf(t)dt. (4.1)Eldominiodef(s)estaformadoporlosvaloresdesparaloscualeslaintegral(4.1)existe.Recordarquesigesintegrableencadaintervalo[0, b],entonces_+0g(t)dt = limb+_b0g(t)dt. (4.2)DecimosquegesintegrableRiemannen[0, +]siellmitedeladerechaen(4.2)existeyesnito.Elsmbolodelaizquierdarecibeelnombredeintegralimpropiadeprimeraespecie.Si [g[esintegrableRiemannen[0, +]decimosquegesabsolutamenteintegrable. Enelrestodeestaclases olotrabajaremosconfuncionesf(t)talesqueestf(t)esabsolutamenteintegrable.Atendiendoalosobjetivosdelaclase,enlasiguientesubsecci onabordaremoselc alculodef(s)(ydelatransformadainversa)utilizandocomandosMATLAB-MAPLE.4950 ClasePractica44.1.2 CalculomediantecomandosMATLAB.EjemplosParaelc alculoautomatizadode(4.1)MATLABofreceelcomandoLAPLACEdetiposimb olico,cuyasintaxises>>F=laplace(f)dondefesunafunci onescalardelavariablesimb olicat,previamentedeclaradayFesunafunci oncuyavariableespordefectos.Tambienpodemosformular>> syms u v>>F=laplace(u^2,v)F = 2/v^3loquepermiteelegirlasvariablesautilizar.Ejemplo4.1CalcularlatransformadadeLaplacedelafuncionf(t) = 1.Resoluciondelejemplo4.1.>>syms t s>>laplace(1,t,s)ans =1/sEjemplo4.2CalcularlatransformadadeLaplacedelafuncionf(t) = eatyf(t) = eatsen(bt).Resoluciondelejemplo4.2>>syms a;>>laplace(exp(-a*t),t,s)ans =1/(s+a)Alternativamentesepuedecrearlafunci oncomounacadenadecaracteres(string)>>syms t s>>f=exp(-a*t)>>laplace(f,t,s)ans =1/(s+a)De esta forma no tenemos que declarar previamente a ning un par ametro como simb olico. Invocandoaln ucleoMAPLEpodemostrabajarexclusivamenteconSTRINGS.>>maple(f:=t->exp(-a*t)*sin(b*t))>>F=maple(laplace(f(x),x,s))F=b/((s+a)^2+b^2)ClasePractica4 51Ejercicio4.1Calcular,utilizandoMATLAB,latransformadadeLaplacedelasfuncionesf(t) = t,f(t) = t2yf(t) = t3.Nota para el ejercicio 4.1 Recordar que para n N la formula general viene dada por la expresi on:tn(s) =n!sn+1,yparar > 1,r R,setiene,a unm asgeneral,quetr(s) =(r + 1)sr+1,donde(r)sedeneacontinuaci on. Lafunci onGammasedenecomo(t) =_+0ut1eudu, t > 0.MATLABposeeelcomandogammaquepermitesimulara(t).Ejemplo4.3(a)Comprobarexperimentalmentelaigualdad(n) = (n 1)!,utilizandoelcomandofactorial.(b)Calcular(1/2)y(17/3)porlasdiferentesvasquesesugierenacontinuacion.Resoluciondelejemplo4.3.>>gamma(1/2)>>maple(gamma(1/2))>>numeric(maple(gamma(1/2)))>>int(t^(1/2-1)*exp(-t),0,inf)Representaci ongracadelafunci on(t)Lagura4.1sugierequelasrectast=n, n=0, 1, 2, 3sonasntotasverticalesdelafunci on(t). Verdaderamente,estoesciertoparacualquierrectat = n,n = 0, 1, 2, ....4.1.3 PropiedadesdelaTransformadadeLaplaceElejemplo4.2anteriorsecorrespondeconlaPropiedaddeTraslacion:

eatf(t)(s) =f(s a),queMATLABaplicaautomaticamente.Ejercicio4.2Calcular la transformada de Laplace de las funciones f(t) = eatcos(bt) y f(t) = eatt4utilizandorecursosMATLAB-MAPLEdemodoquenointervenganvariablesSYM.52 ClasePractica4Fig.4.1: Representaci ongr acade(t)en[4, 4]Ejercicio4.3Calcularfenlossiguientescasosyreconocerlaspropiedadesquesehanaplicadoencadacaso.(a) f(t) = t1/3(b) f(t) = e2tt5/6(c) f(t) = g

(t) (d) f(t) =sen(t + a)(e) f(t) =sen(t 1)u(t 1) (f ) f(t) = t2senh(t)En(c)hacer>>laplace(diff(sym(g(t)))). NotarqueestasintaxisnoexigedeclaracionpreviaSYMS.Aplicarlamismatecnicaalapartado(e),esdecir,laplace(sym(Heaviside(t-1)*sin(t-1))),dondeHeaviside(t-a)eselnombrecodicadodelafunci ondesaltounitariou(t a).4.2 TRANSFORMADAINVERSADELAPLACEEl comandoILAPLACEhasidodise nadoparacalcular exactamente, cuandoelloseaposible, latransformadainversadeLaplace. Lasintaxisescomosigue.>>ilaplace(expresion_simbolica,s,t)osimplemente>>ilaplace(expresion_simbolica)Notar que ILAPLACE calcula la transformada inversa de Laplace de una expresi on F(s), produciendootraexpresionf(t).Laversi onMAPLEeslaquesigue>>maple(invlaplace(F(s),s,t))ClasePractica4 53Ejemplo4.4ObtenerlatransformadainversadelafuncionF(s) =s + 3s2Resoluciondelejemplo4.4.>>syms s>>F=(s+3)/s^2;>>ilaplace(F)ans =3*t+1AlternativamenteconMAPLE>>maple(invlaplace((s+3)/s^2,s,t))Ejemplo4.5CalcularlastransformadasinversasdeLaplacedelassiguientesfunciones:F(s) =1s3+ 1, F(s) =1s4+ 1, F(s) =1s5+ 1.Resoluciondelejemplo4.5.>>F=1/(s^3+1)>>ilaplace(F)ans =1/3*exp(-t)- 1/3*exp(1/2*t)*cos(1/2*3^(1/2)*t)+1/3*3^(1/2)*exp(1/2*t)*...sin(1/2*3^(1/2)*t)Tambienpuedeutilizarse>>F=1/(s^4+1)>>pretty(ilaplace(F))ans=1/2*2^(1/2)*(sin(1/2*2^(1/2)*t)*cosh(1/2*2^(1/2)*t)-cos(1/2*2^(1/2)*t)*...sinh(1/2*2^(1/2)*t))El caso1/(s5+ 1)MATLABloresuelveenel campocomplejo, puesfactorizaas5+ 1seg unsus5cerossimplesycomplejos,demodoquetodosaleporlavadeexponenciales.>>F=1/(s^5+1)>>ilaplace(F)ans=1/5*Sum(exp(1/5*i*pi*(2*k-1))*exp(-exp(1/5*i*pi*(2*k-1))*t),k=1..5)Nota4.1exp(1/5*i*pi*(2*k-1)),k=1..5sonlas5racescomplejasdel n umero 154 ClasePractica44.3 APLICACIONESALARESOLUCIONDEPROBLEMASDECONDICIONINICIALEjemplo4.6Resolverel siguienteproblemadevalorinicial usandotransformadasdeLaplace.x

(t) + 3x(t) = 0, x(0) = 1.Resoluciondelejemplo4.6.Sever aqueelcomandoLAPLACEaplicaautomaticamentelapropiedadx

= s x x(0)>>syms t s lapx>>diffeqn=diff(x(t),t)+3*x(t) % se introduce la EDdiffeqn=diff(x(t),t)+3*x(t)>>a=laplace(diffeqn,t,s) % se transforma la EDa =s*laplace(x(t),t,s)-x(0)+3*laplace(x(t),t,s)>>a=subs(a,laplace(x(t),t,s),lapx) % por comodidada =s*lapx-x(0)+3*lapxenlaexpresiontransformadasesustituyelaplace(x(t),t,s)porlapx>>lapx=solve(a,lapx) % en a=0 se despeja lapxlapx =x(0)/(s+3)>>x=ilaplace(lapx,s,t) %se calcula x mediantex =x(0)*exp(-3*t)Latransformadainversa>>sol=subs(x,x(0),1)enx(t)sesustituyex(0)por1sol =exp(-3*t)Ejemplo4.7Resolverel siguienteproblemadevalorinicialx

(t) + 3x

(t) + 2x(t) =sen(t),x(0) = x

(0) = 0.Resoluciondelejemplo4.7.>>syms s t lapx x>>diffeq=diff(x(t),t$2)+3*diff(x(t),t)+2*x(t)-sin(t);>>a=laplace(diffeq,t,s)a =s*(s*laplace(x(t),t,s)-x(0))-D(x)(0)+...3*s*laplace(x(t),t,s)-3*x(0)+ 2*laplace(x(t),t,s)-1/(s^2+1)ClasePractica4 55>>a=subs(a,laplace(x(t),t,s),lapx)a=s*(s*lapx-x(0))-D(x)(0)+3*s*lapx-3*x(0)+2*lapx-1/(s^2+1)>>lapx=solve(a,lapx)lapx=(x(0)*s^3+s*x(0)+D(x)(0)*s^2+D(x)(0)+...3*x(0)*s^2+3*x(0)+1)/(s^4+3*s^2+3*s^3+3*s+2)>>x=ilaplace(lapx,s,t)>>x =-exp(-2*t)*x(0)-1/5*exp(-2*t)-exp(-2*t)*D(x)(0)+2*exp(-t)*x(0)+...1/2*exp(-t)+exp(-t)*D(x)(0)-3/10*cos(t)+1/10*sin(t)>>sol=subs(x,x(0),0);>>sol=subs(sol,D(x)(0),0)sol=-1/5*exp(-2*t)+1/2*exp(-t)-3/10*cos(t)+1/10*sin(t)Ejercicio4.4Resolverel siguienteproblemadevalorinicialx

(t) 3x

(t) + 2x(t) = 2e2t,x(0) = 1/6, x

(0) = 5/3.Ejemplo4.8Resolverel siguientesistemax

= x yy

= y +xx(0) = 1,y(0) = 2Resoluciondelejemplo4.8>> syms s t lapx lapy% Se introducen las dos ED.>>diffeq1=diff(x(t),t)+x(t)+y(t);>>diffeq2=diff(y(t),t)+y(t)-x(t);AcontinuacionsetransformanlasdosED.>> a=laplace(diffeq1,t,s)a =s*laplace(x(t),t,s)-x(0)+laplace(x(t),t,s)+ laplace(y(t),t,s)>> b=laplace(diffeq2,t,s)b=s*laplace(y(t),t,s)-y(0)+laplace(y(t),t,s)- laplace(x(t),t,s)>>a=subs(a,laplace(x(t),t,s),lapx);>>a=subs(a,laplace(y(t),t,s),lapy)a=s*lapx-x(0)+lapx+lapy>>b=subs(b,laplace(x(t),t,s),lapx);56 ClasePractica4>>b=subs(b,laplace(y(t),t,s),lapy)b=s*lapy-y(0)+lapy-lapx% En las expresiones a=0 y b=0 se despejan% las transformadas de x e y: lapx, lapy>>[lapx,lapy]=solve(a,b,lapx,lapy)lapx = (s*x(0)-y(0)+x(0))/(s^2+2*s+2)lapy =(s*y(0)+x(0)+y(0))/(s^2+2*s+2)% Se obtienen x e y mediante la transformada inversa>>x=ilaplace(lapx,s,t)x = exp(-t)*x(0)*cos(t)-exp(-t)*y(0)*sin(t)>>y=ilaplace(lapy,s,t)y =exp(-t)*x(0)*sin(t)+exp(-t)*y(0)*cos(t)% En las expresiones de x e y se sustituyenlas condiciones iniciales>>x=subs(x,x(0),1);>>x=subs(x,y(0),-2)x =exp(-t)*cos(t)+2*exp(-t)*sin(t)>>y=subs(y,x(0),1);y =exp(-t)*sin(t)-2*exp(-t)*cos(t)Ejercicio4.5Resolverel siguientesistema:x

(t) = x

(t) 2y

(t) + 2y(t),y

(t) = 3y(t) + x(t),y(0) = 0, x(0) = 2, x

(0) = 1.4.4 PROBLEMASDEVALORESINICIALESCONDATOSDISCONTINUOS4.4.1 Funcionescal onunitario(Heaviside)Lafunciondesaltounitariou(t) =___0 t < 01 t 0se representa en notacion MATLAB como Heaviside(t) y es de gran utilidad para representar otrasfuncionesdenidasatramos.Veamosc omosecalculasutransformada:>>syms t s>>f=Heaviside(t)ClasePractica4 57>>laplace(f,t,s)ans=1/sEjemplo4.9Calcular latransformadadelafuncionu(t a). Teniendoencuentalanotaciona(f)(t)=f(t a)u(t a), ylaterminologaal uso, podemosdecirqueu(t a)=a(1), esdecir,u(t a)eslatrasladadaparalelamenteal ejeOXdelafuncionf= 1al puntoa.Resoluciondelejemplo4.9.>>syms t s>>f=Heaviside(t-1);>>laplace(f,t,s)ans=exp(-s)/sLoanterioresunresultadoyavistoenclases,yf acildeobtener.Esoportunorecordarunaimportantepropiedadvinculadaalafuncionescalonunitario.Propiedaddelatraslaci onent.SeaF(s) =f(s)ya > 0. Entonces

f(t a)u(t a)(s) = easF(s), (4.3)quesetransformaenlasiguienteigualdadcuandoaplicamosen(4.3)latransformadainversa:

easF(s) = f(t a)u(t a).Ejemplo4.10Resolverel siguienteproblemadecondicioninicialx

(t) + x(t) = 1 u(t 2),x(0) = 0.utilizandolasherramientasMATLABquesimulanlatransformadadeLaplace.Esposibleresolverlosiguiendolosmetodosanteriormentevistos?Resoluciondelejemplo4.10.>>syms s t lapx>>diffeqn=diff(x(t),t)+x(t)-1+Heaviside(t-2)diffeqn =diff(x(t),t)+x(t)-1+Heaviside(t-2)>>a=laplace(diffeqn,t,s)a=s*laplace(x(t),t,s)-x(0)+laplace(x(t),t,s)-1/s+exp(-2*s)/s58 ClasePractica4>>a=subs(a,laplace(x(t),t,s),lapx)a=s*lapx-x(0)+lapx-1/s+exp(-2*s)/s>>lapx=solve(a,lapx)lapx=(x(0)*s+1-exp(-2*s))/s/(1+s)>>x=ilaplace(lapx,s,t)x=x(0)*exp(-t)+1-exp(-t)-Heaviside(t-2)+Heaviside(t-2)*exp(-t+2)>>sol=subs(x,x(0),0)sol=1-exp(-t)-Heaviside(t-2)+Heaviside(t-2)*exp(-t+2)4.4.2 Representaci ondefuncionescondiscontinuidadesdesaltonitoEjemplo4.11LacorrienteI(t)enuncircuitoRLCestaregidaporel problemadevalorinicial:I

(t) + 4I(t) = g(t),I(0) = I

(0) = 0,siendog(t) =___1 0 < t 11 1 < t 20 t > 2DeterminarI(t).Nota4.2Observesequelafunciong(t)puedeescribirsecomog(t) = u(t) 2u(t 1) + u(t 2).Resoluciondelejemplo4.11.>>syms s t a I lapI>>diffeq=diff(I(t),t$2)+4*I(t)-Heaviside(t)+2*Heaviside(t-1)-Heaviside(t-2);>>a=laplace(diffeq,t,s)a=s*(s*laplace(I(t),t,s)-I(0))-D(I)(0)+...4*laplace(I(t),t,s)-1/s+2*exp(-s)/s-exp(-2*s)/s>>a=subs(a,laplace(I(t),t,s),lapI)a=s*(s*lapI-I(0))-D(I)(0)+4*lapI-1/s+... 2*exp(-s)/s-exp(-2*s)/s>>lapI=solve(a,lapI)lapI=(s^2*I(0)+D(I)(0)*s+1-2*exp(-s)+exp(-2*s))/s/(s^2+4)>>I=ilaplace(lapI,s,t)I=I(0)*cos(2*t)+1/2*D(I)(0)*sin(2*t)+1/4-1/4*cos(2*t)-1/2*Heaviside(t-1)+...1/2*Heaviside(t-1)*cos(2*t-2)+1/4*Heaviside(t-2)-1/4*Heaviside(t-2)*cos(2*t-4)>>sol=subs(I,I(0),0) % condicion inicial I(0)=0>>sol=subs(sol,D(I)(0),0) % condicion inicial I(0)=0ClasePractica4 59sol=1/4-1/4*cos(2*t)-1/2*Heaviside(t-1)+1/2*Heaviside(t-1)*cos(2*t-2)+...1/4*Heaviside(t-2)-1/4*Heaviside(t-2)*cos(2*t-4)% fin de la resolucion del ejemplo 4.11Fig.4.2: Representaci ongr acadelaentradag(t)ylasalidaI(t)Larepresentaciongracaconjuntadelaentradag(t) ylasalidaI(t), quepuedenverseenlagura4.2,seobtienecomosigue:(1>>maple(g:=t->1-2*Heaviside(t-1)+Heaviside(t-2));>>maple(I:=t->1/4-1/4*cos(2*t)-1/2*Heaviside(t-1)+...1/2*Heaviside(t-1)*cos(2*t-2)+1/4*Heaviside(t-2)-...1/4*Heaviside(t-2)*cos(2*t-4));>>x=linspace(0,6,500);>>for k=1:500,a=num2str(x(k));...h(k)=str2num(maple(strcat(evalf(g(,a,),12))));j(k)=str2num(maple(strcat(evalf(I(,a,),12))));end>>plot(x,h,r.);hold on;plot(x,j,r.)>>axis([0 6 -2 2]);title(funciones g(t) e I(t))LadeltadeDiracSeaa R. LadeltadeDirac(t a),secaracterizaporlasdospropiedadessiguientes:(t a) =_0 t ,= a t = a(4.4)1Lo mas sencillo es copiar lo anterior en el Editor-Debugger, borrar los smbolos>> y ejecutar.60 ClasePractica4y_f(t)(t a)dt = f(a), (4.5)paracualquierfuncionf(t)queseacontinuaenunintervaloabiertoquecontieneat = a.Observemosque(t a)noesunafunci onenel sentidousual yaquetomael valor enunpunto.Delapropiedad(4.5)seobtieneque

(t a)(s) = eas(4.6)LaDeltadeDiracserelacionaconlafuncionescalonunitariodelasiguienteforma_t(u a)du =_0 t < a1 t a= u(t a), (4.7)loque,formalmente,signicaque(t a) = u

(t a).La delta de Dirac sirve para modelizar fenomenos en los que intervienen entidades fsicas de ndoleelectrica o mec anica, cuyas magnitudes alcanzan en poco tiempo valores relativamente grandes. Elloocurrecuandoseaplicaunacargamuypesadaconcentradaenunpuntodeunaviga, ungolpedemartilloaunsistemamasa-resorte,picosdevoltaje,etc.Debido a razones historicas y practicas, la delta de Dirac se presenta tal como acabamos de hacer enestegui on, peroel alumnopuedeintentarconciliarlasrelaciones(4.5-4.7)asumiendoqueda(t)=(t a)dteslamedidadeprobabilidadconcentradaent = a.Despuesdeunperodooscuroperoexitoso,elusode(t a)fuerigurosamentejusticadoen1944porLaurentSchwarz,alcrearlasdistribucionesloquelevali orecibiren1950laMedallaFields.Sobreestetemaserecomiendaleerlasecci on7.8del librodeNagle-Sa[8], la7.8del Nagle-Sa-Snider[9],ola7.6deD.G.Zill[11].Ejemplo4.12Unamasasujetaaunresortesesueltaapartir del reposo1mpor debajodelaposiciondeequilibriodel sistemaresorte-masa,yempiezaavibrar. Despuesdesegundoslamasaes golpeadapor unmartilloque ejerce unimpulsosobre lamasa. El sistemaestaregidopor elproblemadevalorinicial siguientex

(t) + 9x(t) = 3(t )x(0) = 1, x

(0) = 0,dondex(t)representael desplazamientoapartirdel equilibrioenel instantet. Hallarx(t).Resoluciondelejemplo4.12>>syms s t lapx x % lapx=X>>diffeq=diff(x(t),t$2)+9*x(t)-3*Dirac(t-pi)diffeq =diff(x(t),t$2)+9*x(t)-3*Dirac(t-pi)ClasePractica4 61>>a=laplace(diffeq,t,s)a=s*(s*laplace(x(t),t,s)-x(0))-D(x)(0)+9*laplace(x(t),t,s)-3*exp(-pi*s)>>a=subs(a,laplace(x(t),t,s),lapx)a=s*(s*lapx-x(0))-D(x)(0)+9*lapx-3*exp(-pi*s)>>lapx=solve(a,lapx)lapx=(s*x(0)+D(x)(0)+3*exp(-pi*s))/(s^2+9)>>lapx=subs(lapx,x(0),1) % cond. inicial x(0)=1lapx=(s+D(x)(0)+3*exp(-pi*s))/(s^2+9)>>lapx=subs(lapx,D(x)(0),0) %cond. inicial x(0)=0lapx=(s+3*exp(-pi*s))/(s^2+9)>>x=ilaplace(lapx,s,t)x=cos(3*t)-Heaviside(t-pi)*sin(3*t)% fin de la resolucion del ejemplo 4.12Ejemplo4.13ResolverlasiguienteEDdecoecientesvariables,sujetaaciertascondiciones.tx

(t) + (t 1)x

(t) x(t) = 0,x(0) = 5,limt+x(t) = 0.Nota4.3EstaEDesde2doorden...peronoseestablececondicionalgunasobrex

(0)! Ensulugarseimponeunacondicionenel innito... Notarquet=0esunasingularidad(porque?). Quizasesto ultimoesteasociadoaesasextra nascondicionesqueseimponenalasolucion. Unaidea: sit [, ] con > 0muypeque no,laEDescasideordenuno...yparatgrandeesindudablementeunaecuaciondeordendos.Resoluciondelejemplo4.13>>syms s t a x>>diffeq=t*diff(x(t),t$2)+(t-1)*diff(x(t),t)-x(t);>>a=laplace(diffeq,t,s)a=-2*s*laplace(x(t),t,s)+2*x(0)-...s*(laplace(x(t),t,s)+s*diff(laplace(x(t),t,s),s))-...2*laplace(x(t),t,s)-s*diff(laplace(x(t),t,s),s)>>X=dsolve(-2*s*X+2*5-s*(X+s*DX)-2*X-s*DX=0, s)X=5/(s+1)+1/(s+1)/s^2*C1%Ver nota sobre X y x>>x=ilaplace(X,s,t)x=5*exp(-t)+C1*(t-1+exp(-t))Nota4.4Hemos sidoconsecuentes connuestranotacionhabitual escribiendoXenlugar de x.Aunque estonoes esencial alos efectos de lacompilacionyel calculo, s facilitalalecturadelcodigo. Esunahorroinnecesariodememoriausarlamismavariablexparaambospapeles. NotarqueXsecreaporasignacionynoporladeclaracionSYMS.62 ClasePractica4Finalmente, teniendo en cuenta el comportamiento de x en el punto del innito se sigue que C1 debesercero.Porlotantolasoluci ondelejemplo4.13esx(t) = 5et.4.5 TRANSFORMADADELAPLACEDEUNAFUNCIONPERIODICAEn primer lugar recordamos la expresi on obtenida en clase para calcular la transformada de Laplacedeunafunci onperiodicaf(t)conperodoT.f(s) =_T0estf(t)dt1 eTs.Acontinuaci onlaescribimosdenuevoutilizandoahoralanotaci onMATLAB.1/(1-exp(-T*s))*(int(exp(-s*t)*f(t),0,T)Ejemplo4.14Obtenerlatransformadadelafuncionf(t),periodicadeperodo2,denidaporf(t) =___20 0 t 20 < t < 2Resoluciondelejemplo4.14>>Lf=1/(1-exp(-2*pi*s))*(int(20*exp(-s*t),0,pi)-int(20*exp(-s*t),pi,2*pi));>>Lf=simplify(Lf)Lf=-20*(exp(-pi*s)-1)/s/(exp(-pi*s)+1)4.6 LAFUNCIONDETRANSFERENCIALa funcion de transferencia H(s) de un sistema lineal se dene como la raz on entre la transformadadeLaplacedelasaliday(t) ylatransformadadeLaplacedelaentradag(t), asumiendoquelascondiciones iniciales son nulas. Supongamos que el sistema est a gobernado por la EDL de coecientesconstantessiguienteay

+ by

+ cy= g(t), t > 0,y(0) = y

(0) = 0.(4.8)Al aplicartransformadasenambosmiembrosdelaecuacion, yreejarlascondicionesinicialesnulas,seobtiene(as2+bs +c)Y (s) = G(s).ClasePractica4 63Luego,obtenemoslasiguientef ormulaparaH(s)enterminosdelpolinomiocaractersticodelaEDH(s) =Y (s)G(s)=1as2+bs +cdedonde,sih = H,sesiguequeY (s) =G(s)as2+bs +c= G(s)H(s) = gh. (4.9)NotarqueH(s)nodependedelaentradag(t).Denamosahoralallamadafuncionderespuestaalimpulsocomoh(t) = L1H(t)Notar que h(t), al igual que H(s), tampoco depende de la entrada g(t). El alumno esta en capacidadde deducir de (4.9) que lasoluci ony(t) de laecuaci on(4.8) est adadapor (aplicar teoremadeconvolucion)y(t) =_g h_(t) (4.10)Lo anterior signica que h(t) juega el papel de n ucleo resolvente de la ecuaci on (4.8). Se halla de unavez,yluego,convolucionadoconcualquierg(t)deentradanosproducelarespuestaosaliday(t).Ejercicio4.6MediantecalculodirectohallelafunciondetransferenciaH(s)del sistema. Conlaayudadel MATLABencuentrelafuncionderespuestaal impulsoh(t) delossiguientesPVI, concondicionesnulas.(i) y

+ 9y= g(t) (ii) y

9y= g(t)(iii) y

y

6y= g(t) (iv) y

+ 2y

15y= g(t)(v) y

+ 2y

+ 5y= g(t) (vi) y

4y

+ 5y= g(t)Los resultados que se piden ya sabemos que no dependen de g(t). Usar la formula (4.10) para calcularlasoluciony(t)de(i)cuandog(t)=4t2yde(vi)cuandog(t)=exp(3t). (Paracalcularelproductode convoluci on ver las instrucciones que se dan a continuacion.)Indicacionessobreelejercicio4.6Elsiguientecodigopuedeejecutarseenlalneadecomandos,opuedeconfeccionarseunprograma.>>syms s t u>>h=ilaplace(H,s,t);>>f=subs(h,t,t-u);>>g=subs(g,t,u);>>P=f*g;>>y=int(P,u,0,t)64 ClasePractica4Nota4.5Tenerencuentaquesen(t) =eiteit2i, cos(t) =eit+eit2senh(t) =etet2, cosh(t) =et+ et2Usartentativamenteel comandoSIMPLIFYsifuesenecesarioCLASEPRACTICA5MetodosnumericosparaPVI(I)OBJETIVOSPresentar los metodos numericos de Euler y Euler mejorado para aproximar la soluci on de problemasdevaloresiniciales. Resolverproblemasconcretos,obteniendosolucionesnumericasyestimadosdelerror,medianteelmanejodeprogramasdomesticosMATLABbasadosenlosalgoritmoscorrespon-dientes.5.1 FUNCIONESESPECIALESEnMatematicaAplicada, FsicaeIngenieraaparecenconfrecuenciaEDdesegundoorden. Entreellas destacamos la EcuaciondeBessel. Esta ED ha sido ampliamente estudiada y sus soluciones,asi comolas deotras EEDDquesurgenenlas aplicaciones, recibenel nombredeFUNCIONESESPECIALES.LaEDlinealdesegundoordenx2y

+xy

+ (x2q2)y= 0 (5.1)donde q es un par ametro jo, se llama ecuaci on de Bessel de orden q y tiene una unica singularidadregular en x = 0. Aplicando el metodo de Frobenius se obtienen, si 2q/ N, las 2 soluciones linealmenteindependientessiguientes:Jq(x) =

n=0(1)nn!(1 + q +n)(x2)2n+qJq(x) =

n=0(1)nn!(1 q +n)(x2)2nqquesonlasfuncionesdeBesseldeprimeraespeciedeordenesqy qrespectivamente.LasFuncionesdeBesselvericandiversasrelacionesderecurrencia,asaber:Jq+1(x) + Jq1(x) = 2q/xJq(x),Jq+1(x) Jq1(x) = 2J

q(x).6566 ClasePractica5Siq Z,entoncesJq(x)yJq(x)sonlinealmentedependientes. Adem asJq(x) = (1)qJq(x).Si q= 1/2, 3/2, 5/2,, las funciones de Bessel Jq se pueden expresar como una combinacionnitadesenos, cosenosypotenciasdex; esdecirquesonfuncioneselementales. Enconcretosecumpleque:J1/2(x) =_2x_1/2sen(x)yJ1/2(x) =_2x_1/2cos(x).LasFuncionesdeBesselJqparaq Nsonanalticasen0. Ademassonfuncionesparessiqespareimparessiqesimpar. AcontinuacionserepresentanlasfuncionesdeBesselJ0,J1,J1/2yJ3/2.5.1.1 FuncionesdeBesselDentrodelgrupodefuncionesmatematicasespecializadasquecontieneMATLABseencuentranlasfuncionesdeBesseldeprimeraclase: besselj(n, x).Acontinuaci onserepresentanlafuncionesdeBesselJ1yJ0.>>ezplot(0+x*0,[-20,20])>>hold on; ezplot(besselj(1,x),[-20,20])>>ezplot(0+x*0,[-10,10])>>hold on; ezplot(besselj(0,x),[-10,10])Fig.5.1: GracadeJ1Fig.5.2: GracadeJ0FuncionesdeBesselJ0yJ1Serepresentanconjuntamenteen[20, 20] lasdosfuncionesdeBessel J0yJ1. Observesec omosealternanloscerosdeJ0yJ1.ClasePractica5 67>>x=linspace(-20, 20,300);>>y=besselj(0,x);>>z=besselj(1,x);>>plot(x, y,b.,x,z, r-,x,zeros(1,max(size(x))),k)FuncionesdeBesselJ1/2yJ3/2Ejecutarenlalneadecomandoselc odigo>>subplot(2,1,1),ezplot(besselj(3/2,x),[0,100])>>subplot(2,1,2),ezplot(besselj(1/2,x),[0,100])Paralograrlosefectosquesemuestranenlagura5.4debenusarselosrecursosqueofrecelapropiaventanagr aca.Fig.5.3: GracassuperpuestasdeJ1yJ0Fig.5.4: GracasdeBesselJ3/2yJ1/25.2 ESTUDIODELASSOLUCIONESDEUNAEDLosmetodosautilizarsepuedenclasicarcomo:(1) Metodosanalticosdecuadraturasexactas(Temas2,3,4y5).(2) Metodoscualitativos.(3) Metodosnumericos(ClasesPracticas5,6y7).Losmetodosexactoshastaahoraestudiadostienengrandeslimitaciones,pueslamayoradelasEDqueseencuentranenlas aplicaciones nosepuedenresolver deformaexacta, mediantef ormulas68 ClasePractica5implcitas o explcitas.(1Para compensar estas limitaciones se introducen los metodos numericos quesonelobjetodeestapr actica.5.2.1 Metodosnumericosderesoluci ondePVIConsideremoselsiguientePVIy

= f(x, y), y(x0) = y0, (5.2)siendox0 [a, b]yf C([a, b] R).Se asume que fyfyson continuas en un rect angulo que contiene al punto (x0, y0), de modo queelproblema(5.2)tienesoluci on unica.Estrategiadelosmetodosnumericos:Siy(x)eslasoluci onexactadelproblema(5.2),setratadeobtenervaloresaproximadosykdeyenciertospuntosxkde[a, b].Setratadecrearunatabladevaloresdelavariabledependienteycorrespondientesavaloresconocidosdelavariableindependientexenunintervalo[x0, X] [a, b].El primer pasoparaobtener unasoluci onnumericaconsisteendeterminar unapartici ondelsubintervalo[x0, X],estoes,x0< x1 0dependiendodex.Denici on5.3Al exponentepdelarelacionanteriorselellamaordendel metodo.Nota5.1El metododeEuleresdeordenp = 1.5.2.4 EjemplosenlosqueseaplicaelmetododeEulerEjemplo5.1Obtenerunasolucionaproximadadel PVIy

= y2+ 2x x4,0 x 1, con y(0) = 0En el programa EULER1.m que indicamos a continuacion, se calcula la solucion aproximada del PVIy

= y2+ 2x x4, a x b,cony(a) = y0.Secalculatambienel errorcometidocomparandoconlasolucionexactadel PVIqueesy= x2.2Un principio es un enunciado metalingustico, mediante el cual se establecen expectativas, se resumen resultados,se sugieren acciones,... Los principios surgen de la experiencia y conforman el criterio experto.3Es decir, la mantisa correspondiente ayk, podra no tener dgitos signicativos coincidentes con la representacionde punto otante dey(xk).ClasePractica5 71Fig.5.5: MetododeEuler Fig.5.6: InterpretaciondelmetododeEulerResoluciondelejemplo5.1ProgramaEULER1.mDatos:neseln umerodepuntosdelamalla,a, b: extremosde