Teoria Edo

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ECUACIONES DIFENCIALES APUNTES DE CLASE: (CLASE 1,2,3,4) 25/05/2009 Introducción. Si bien todas las leyes del universo pueden ser descritas en términos matemáticos, es fundamental separar aquellas situaciones estáticas de las dinámicas. Situaciones estáticas : pueden ser descritas e interpretadas mediante el algebra elemental (ecuaciones, ……) que dan por resultado ciertos números fijos. Situaciones dinámicas : pueden ser descritas e interpretadas mediante las derivadas e integrales y al plantear una ecuación que las contenga, necesariamente se acude a las ecuaciones diferenciales las que dan como resultado funciones. Ejemplo: Vaciado de un tanque cilíndrico en el tiempo. gh kA dt dh A 2 2 1 Ejemplo:

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ECUACIONES DIFENCIALES APUNTES DE CLASE: (CLASE 1,2,3,4) 25/05/2009 Introducción. Si bien todas las leyes del universo pueden ser descritas en términos matemáticos, es fundamental separar aquellas situaciones estáticas de las dinámicas. Situaciones estáticas: pueden ser descritas e interpretadas mediante el

algebra elemental (ecuaciones, ……) que dan por resultado ciertos números fijos.

Situaciones dinámicas: pueden ser descritas e interpretadas mediante

las derivadas e integrales y al plantear una ecuación que las contenga, necesariamente se acude a las ecuaciones diferenciales las que dan como resultado funciones.

Ejemplo: Vaciado de un tanque cilíndrico en el tiempo.

ghkA

dt

dhA 221

Ejemplo:

Page 2: Teoria Edo

Sistema masa resorte con gravedad:

L

Feky

dt

dy

dt

ydm

2

2

Definición. Una ecuación diferencial es aquella ecuación que relaciona la variable independiente x, la función incógnita y = y(x) y sus derivadas y’ , y’’, ….., es decir.

0),......,'',',,( )( nyyyyxF Ecuación diferencial ordinaria. Si la ED contiene una sola variable independiente:

yxdx

dy 2 yxy 2'

01522

2

xdt

dx

dt

xd 015'2'' xxx 0)(15)('2)('' txtxtx

Ecuación diferencial entre derivadas parciales. Si la ecuación contiene a varias variables independientes.

vy

v

x

v

2

2

2

2

2

Orden de una EDO. Es el orden de la derivada mas alta que aparece en la ecuación. Grado de una EDO. Es el grado que posee la derivada de mayor orden, entre las derivadas que contiene.

Page 3: Teoria Edo

Ejemplos:

23 xxydx

dy primer orden y primer grado

5

2

2

127 xydx

dy

dx

yd Segundo orden y primer grado

02

xydx

dy Primer orden y segundo grado

053

2

2

y

dx

dy

dx

yd Segundo orden y tercer grado

Nota: los métodos de resolución de las EDO, se clasifican en base al orden y grado de las derivadas. Nota: Adicionalmente a su orden, es útil clasificar una EDO como lineal y no lineal. Definición. Una EDO lineal es una ecuación que puede ser escrita de la forma:

QyPdx

dyP

dx

ydP

dx

ydP nnn

n

n

n

11

1

10 .......

QPPPP nn ,,,......., 110 : funciones de x.

Ecuaciones diferenciales de primer orden. Son ecuaciones que contienen a derivadas de primer orden. Toda ecuación diferencial de primer orden puede expresarse de la manera:

0),(),( dyyxNdxyxM Para resolver EDO de primero orden, existen diversos métodos, siendo los principales:

Ecuaciones por separación de variables.

Page 4: Teoria Edo

Ecuaciones homogéneas. Ecuaciones de M, N lineales no homogéneas. Ecuaciones de diferencial exacto. Ecuaciones de diferencial exacto por factor de integración. Ecuaciones lineales de primero orden, primer grado. Ecuación de Bernoulli.

Ecuaciones de variables separables. Son aquellas ecuaciones donde es posible reordenarlas, de manera que sus variables queden separadas y agrupadas sobre sus correspondientes diferenciales.

0),(),( dyyxNdxyxM 0)()( dyygdxxf

Una vez que queden separadas las variables, por integración se obtendrá la solución de la ecuación.

cdyygdxxf )()( Ejemplo:

Ejemplo:

Page 5: Teoria Edo

Ejercicio:

y

x

dx

dy

2

12

condición: 4)3( y

Resp: 12223

23

yy

xx

Ejercicio:

0)()1( dyexedxx yy Resp: 1ln2 xxce y Ecuaciones homogéneas. Ejemplo: Dada la EDO 022 xydydxyx ¿es de variable separable? Una función f(x,y) se llama homogénea de grado n si: ),(),( yxfyxf n Ej. 32),( yyxyxf es homogénea porque:

),()()()()(),( 332332 yxfyyxxyxyxf

Ejercicio: 6),( y

xsenyxf

La EDO 0),(),( dyyxNdxyxM se llama homogénea si ),(),,( yxNyxM son funciones homogéneas del mismo grado. Ej. 0)()( 2333 dyxyxdxyx homogénea de grado 3.

Ej. 0)5( dyedxy

xsen y

x

homogénea de grado 0

Ej. 0)()( 2442 dyyxdxyx No homogénea. Si la EDO 0),(),( dyyxNdxyxM es homogénea, la sustitución y= vx ó x= vy permite convertirla en una EDO de variables separables.

Page 6: Teoria Edo

Ej. 022 xydydxyx (1) Resolución:

vxy xdvvdxdy (2)

(2) en (1) : 0))(()( 22 xdvvdxvxxdxvxx Simplificando: 0 xvdvdx

Separando variables: vdvx

dx

cvx 2

2

1ln

cxv 2ln22

cxx

y2ln2

cxxy 2ln2 Ejercicio: 0)3( 222 dyxdxyxyx

Resp. kyx

xx

ln

Ecuaciones de M, N lineales no homogéneas. Ecuaciones de diferencial exacto. Consideremos la función ),( yxfz , su diferencial total es:

dyy

fdx

x

fdz

Consideremos la EDO: 0),(),( dyyxNdxyxM

Si existe una función: ),( yxfz tal que: ),( yxMx

f

y ),( yxN

y

f

Diremos que la ecuación diferencial es exacta: Teorema: La condición necesaria y suficiente para que la ecuación

diferencial 0),(),( dyyxNdxyxM sea exacta es que: x

N

y

M

Ej. 0)1(2 2 dyxxydx ¿es exacta?

xx

Nx

y

M2;2

; por lo tanto es exacta.

Page 7: Teoria Edo

Solución de una EDO exacta: Consideremos una EDO exacta: 0),(),( dyyxNdxyxM (1)

Entonces existe una f(x,y) tal que: : ),( yxMx

f

y ),( yxN

y

f

Reemplazando en (1): 0

dyy

fdx

x

f (2)

Por otra parte, si ),( yxfz , entonces su diferencial total es:

dyy

fdx

x

fdz

(3)

Luego comparando (2) con (3) se tiene que: 0dz Integrando: cz ó cyxf ),( es la solución general de la EDO exacta. ¿Como hallar f(x,y) = c?

Como ),( yxMx

f

Integrando con respecto a x: )(),(),( ygdxyxMyxf (1) Donde )(yg es la constante de integración que es una función que depende de la variable y, puesto que la integral es con respecto a x.

Derivando (1) con respecto a y:

)(']),([),( ygdxyxMy

yxfy

Como: ),( yxNy

f

Entonces: ),()(']),([ yxNygdxyxMy

(2)

De donde:

]),([),()(' dxyxMy

yxNyg

Integrando: kdxyxMy

yxNyg

]),([),()(

Este resultado se reemplaza en (1). Ej. dyyxxydx )cos(2 2

xx

Nx

y

M2;2

La solución es: cyxf ),(

Page 8: Teoria Edo

)(2),( ygxydxyxf

)(),( 2 ygyxyxf

)cos()('),( 22 yxygxyxfy

)cos()(' yyg kysenyg )()(

Solución: ckysenyx )(2 12 )( cysenyx

Ejercicios: 1. 0)cos2cos()2( dyxyedxysenxsenye xx Resp. 1cos2 cxysenyex

2. 0)2(ln)6( dyxdxxx

y

Resp. 12 23ln cyxxy

3. 0)142()52( dyyxdxyx Resp. 1

22 21044 cyxxyyx 4. 0)2cos2()cos( 22 dyyxyxxedxxye yy Resp. 1

22 cysenxyxe y Ecuaciones de diferencial exacto por factor de integración. Una EDO 0),(),( dyyxNdxyxM que no es exacta, se puede transformar en exacta, multiplicando por una función apropiada ),( yx llamado factor de integración que la convertirá en exacta.

0),(*),(),(*),( dyyxNyxdxyxMyx (1)

Como (1) es exacta se cumple: x

N

y

M

De donde: x

N

xN

y

M

yM

Agrupando: y

Mx

Nx

N

y

M

Page 9: Teoria Edo

Se consideran los siguientes casos:

Caso1: Si es una función solo de x 0

y

x

Nx

N

y

M

dxxfdxx

N

y

M

N

d)(

1

dxxf )(ln dxxf

e)(

; x

N

y

M

Nxf

1

)(

Caso2: Si es una función solo de y 0

x

y

Mx

N

y

M

dyx

N

y

M

M

d

1

dyyg )(ln dyyg

e)(

; x

N

y

M

Myg

1

)(

Ejemplo:

0)()1( 322 dyxyxdxyx

2xy

M

; 232 xxy

x

N

; no es exacta.

FIx

ee xdx

x

2ln

2 12

Multiplicando la ecuación por el FI: 0)(1

)1(1 32

22

2 dyxyx

xdxyx

x

Tenemos: 0)()1

(2

dyxydxyx

que es exacta.

Resolviendo: ky

xyx

2

1 2

Ejercicios:

x

xxyxxyx

xf2

321

)( 2232

Page 10: Teoria Edo

1. 0)37()32( 232 dyxydxyxy

Resp. FI = 2

1

y; k

yxyx

732

Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primero Orden. Se llama EDL de primer orden a toda ecuación que puede expresarse de la forma:

)()(. xqxpydx

dy (1)

Si q(x) = 0, la ecuación se llama homogénea y es de variable separable. La solución es:

dxxpy

dy)(

dxxpcy )(lnln dxxpdxxpdxxp

Aexyecyecy)()()(

)(ln Si q(x) 0, la ecuación (1) no es exacta, buscamos un factor de integración I = I(x).

Partiendo de: )()(. xqxpydx

dy

Reescribimos de la forma:

dydxxqxpy

dxxpyxqdy

xpyxqdx

dy

)()(.

)(.)((

)(.)(

Multiplicando por el factor de integración: IdydxxqxpyI )()(.

Esta ecuación es exacta: Ix

xqxpyIy

)()(.

Ix

xqIxpyIy

)(.)(..

dx

dIxpI )(.

dxxpI

dI)(

dxxpI )(ln

I= dxxpe

)( Factor de integración.

En la ecuación (1): )()(. xqxpydx

dy multiplicamos por el factor de

integración.

Page 11: Teoria Edo

)(.)(...)()()(

xqexpeydx

dye

dxxpdxxpdxxp (3)

NOTA:

dxxpdxxpdxxpdxxpdxxpe

dx

dyedxxpye

dx

dye

dx

dyey

dx

d )()(')()()(..))(.(..

dxxpdxxpe

dx

dyexpy

)()(.).(. (4)

Por tanto: )(.)()(

xqeeydx

d dxxpdxxp

dxxqeeyd

dxxqeeyd

dxxpdxxp

dxxpdxxp

)(.

)(.

)()(

)()(

dxxqeeydxxpdxxp

)(.)()(

dxxqeexy

dxxpdxxp)()(

)()( que es la solución de la ecuación lineal.

EEjjeemmpplloo 11:

xxydx

dy82

xdxeexy

xdxxdx8)(

22

2222

42

188)( 2 xxxx cecxexdxeexy

Ecuaciones diferenciales lineales de orden: “n” Las EDO lineales de orden n contienen a derivadas de orden n, de grado 1.

Forma general: QyPdx

dyP

dx

ydP

dx

ydP

dx

ydP nnn

n

n

n

n

n

o

12

2

21

1

1 ......

Q es una función de x.

Si nno PPPP ,,......, 11 son constantes, la EDO es lineal de coeficientes constantes.

Si nno PPPP ,,......, 11 son funciones de x, la EDO es lineal de coeficientes variables.

Page 12: Teoria Edo

Si 0Q entonces, la EDO se llama lineal homogénea. Ejemplos:

1. senxydx

dyx

dx

ydx

dx

ydx 5

2

22

3

33

2. senxxydx

dy

dx

yd

dx

yd 287

2

2

3

3

3. 0222

2

ydx

dy

dx

yd

4. Fekydt

dy

dt

ydm

2

2

Soluciones de EDO lineal.

Una función )(xy , es solución de la ecuación si satisface a la misma. Si )(1 xy es una solución, entonces )(1 xyc es también una solución de la

ecuación. Si )(1 xy , )(2 xy son soluciones, entonces: )(11 xyc + )(22 xyc es también

una solución. Toda vez que se desee plantear una suma de funciones como solución

de una EDO lineal, se debe verificar que esta funciones sean linealmente independiente.

En la ecuación: QyPdx

dyP

dx

ydP

dx

ydP

dx

ydP nnn

n

n

n

n

n

o

12

2

21

1

1 ...... tomando

solamente a: 0...... 12

2

21

1

1

yPdx

dyP

dx

ydP

dx

ydP

dx

ydP nnn

n

n

n

n

n

o se llama

ecuación homogénea asociada. La solución que se obtenga, se llamará solución particular: py

Tomando toda la ecuación QyPdx

dyP

dx

ydP

dx

ydP

dx

ydP nnn

n

n

n

n

n

o

12

2

21

1

1 ...... ,

una solución que se obtenga, se llamará solución particular. De donde: pc yyxy )( En la práctica la solución complementaria y particular suelen calcularse por diferentes métodos.

Page 13: Teoria Edo

Ecuaciones diferenciales lineales de orden: “n” de coeficientes constante. La EDO lineales de orden n de coeficientes constantes, son aquellas ecuaciones que poseen la siguiente forma general:

QyPdx

dyP

dx

ydP

dx

ydP

dx

ydP nnn

n

n

n

n

n

o

12

2

21

1

1 ......

Donde: nno PPPP ,,......, 11 son constantes , Q es una función de x.

xseneydx

dy

dx

yd x 7127 32

2

Ecuaciones diferenciales lineales de orden: “n” de coeficientes constante y homogéneas.

cuando 0Q

01272

2

ydx

dy

dx

yd

Cambio de notación. Operador D. Para un mejor estudio de estas ecuaciones es conveniente el siguiente cambio de notación de las derivadas.

dx

dyDy

dx

dD

En general: 0...... 1

22

11

yPDyPyDPyDPyDP nnnnn

o 0)......( 1

22

11

yPDPDPDPDP nnnnn

o 0)( yDF

Donde )......()( 12

21

1 nnnnn

o PDPDPDPDPDF

)(DF es un operador lineal de variable D. Es un polinomio.

Ejemplo: 0)127( 2 yDD

Page 14: Teoria Edo

Ecuación característica:

0)......()( 12

21

1

nnnnn

o PDPDPDPDPDF

0))(......().........)()(()( 1321 nn mDmDmDmDmDDF Donde: nn mmmmm ,.....,, 1321 son las raíces características. Estas raíces pueden ser: reales o complejas, simples o múltiples. CASO 1. Raíces reales y distintas. CASO 2. Raíces reales y múltiple. CASO 3. Raíces imaginarias. CASO 4. Raíces complejas. CASO 1. Raíces reales y distintas. Si las raíces características son reales y diferentes entre sí:

nn mmmmm 1321 ..... La solución presenta la forma:

xmn

xmn

xmxmxm nn ecececececxy

13211321 .......)(

Ejemplo: 01452

2

ydx

dy

dx

yd

0)145( 2 yDD 0)2)(7( yDD 2;7 21 mm

xx ececxy 22

71)( : solución de la ecuación.

Ejemplo: 03'5''2 yyy

0)352( 2 yDD 0)3)(12( yDD

xxececxy 3

2121

)(

CASO 2. Raíces reales y múltiples

Page 15: Teoria Edo

Si las raíces características son reales, siendo algunas iguales entre sí:

nn mmmmm 1321 ..... Entonces la solución presenta la forma:

xmn

xmn

xmxmxm nn ecececxececxy

13211321 .......)(

Ejemplo: 03633102

2

3

3

dx

dy

dx

yd

dx

yd

0)363310( 23 yDDD 0)4()3( 2 yDD

xxx ecxececxy 43

32

31)(

CASO 3. Raíces imaginarias. Si la ecuación es de orden 2; y las raíces características son imaginarias:

bim Entonces la solución presenta la forma:

senbxcbxcxy 21 cos)( Esta expresión proviene de la identidad de números complejos:

isenei cos ; (número real)

)(cos)(cos senbxibxBsenbxíbxABeAe ibxibx senbxiBAbxBA )(cos)( senbxcbxc 21 cos Ejemplo:

092

2

ydx

yd

0)9( 2 yD 0)3)(3( yiDiD

xsencxcxy 33cos)( 21

Page 16: Teoria Edo

CASO 4. Raíces complejas. Si la ecuación es de orden 2; y las raíces características son complejas:

biam La solución presenta la forma:

)cos()( 21 senbxcbxcexy ax Esta expresión proviene de la identidad de números complejos:

)cos()( 21)()( senbxcbxceBeAeeBeAe axbixbixaxxbiaxbia

Ejemplo:

02942

2

dx

dy

dx

yd

0)294( 2 yDD iD 52

)55cos()( 212 xsencxcexy x

Ejemplo:

017'4''4 yyy ; 2)0(';1)0( yy 0)1744( 2 yDD

iD 22

1

)22cos()( 2121

xsencxcexy x

1210* )0*20*2cos(1)0( 2

1

csenccey ; 11 c

)2cos222()22cos()(' 212121 2

121

xcxsencexsencxcexyxx

)0*2cos20*22()0*20*2cos(2)0(' 21

0*

21

0*

21 2

121

xcsencexsenccey

212

1 22 cc 43

2 c

Page 17: Teoria Edo

Por tanto: )22cos()( 432

1

xsenxexyx

Maple: > ecu3:=4*diff(y(x),x$2)+4*diff(y(x),x)+17*y(x);

> condiciones:=y(0)=-1,D(y)(0)=2;

> dsolve({ecu3,condiciones});

Ejercicios combinados para la clase:

1. 036132

2

4

4

ydx

yd

dx

yd ;

2. 0862

2

3

3

dx

dy

dx

yd

dx

yd

3. 044322

2

3

3

4

4

ydx

dy

dx

yd

dx

d

dx

yd

4. 08126 2

2

3

3

ydxdy

dxyd

dxyd

5. 03642

2

4

4

ydx

yd

dx

yd

> solve(D^4+4*D+36=0);

Page 18: Teoria Edo

> evalf({%});

> with(DEtools): > ecu1:=diff(y(x),x$4)+4*diff(y(x),x)+36*y(x);

> dsolve(ecu1);

> evalf({%});

Page 19: Teoria Edo

6. 025252

2

3

3

ydx

dy

dx

yd

dx

yd

7. 081182

2

4

4

ydx

yd

dx

yd

8. 01362

2

ydx

dy

dx

yd

9. 025402682

2

3

3

4

4

ydx

dy

dx

yd

dx

yd

dx

yd

> factor(D^4-8*D^3+26*D^2-40*D+25);

> solve(D^2-4*D+5);

)()cos(()cos()( 432

212 xsencxcxesenxcxcexy xx

10. 03

3

ydx

yd

Ecuaciones no homogéneas. Las EDO lineales de coeficientes constantes no homogéneas, presentan la siguiente forma general.

QyPdx

dyP

dx

ydP

dx

ydP

dx

ydP nnn

n

n

n

n

n

o

12

2

21

1

1 ......

Donde: nno PPPP ,,......, 11 son constantes , Q es una función de x.

Ejemplo. xseneydx

dy

dx

yd x 7127 32

2

Para resolver estas ecuaciones, primero se debe hallar la solución complementaria cy (asumiendo que 0Q ); luego se hallará una solución particular py considerando a Q . La suma de ambas soluciones constituye la solución de la ecuación. Para hallar la solución particular py existen diversos métodos.

Page 20: Teoria Edo

Método de los coeficiente indeterminados. Este método permite hallar una solución particular, mediante el análisis de la función Q y todas las derivadas que de ésta pueden obtenerse.

La idea básica es una conjetura o propuesta coherente acerca de la forma de py originada por los tipos de funciones que forman la función de entrada Q . El método es básicamente directo, pero está limitado a ecuaciones lineales no homogéneas, donde:

Los coeficientes nno PPPP ,,......, 11 son constantes. Q es un polinomio, una función exponencial axe , funciones seno o

coseno o sumas y productos finitos de esas funciones. Metodología: Primero se calcula la solución de la ecuación homogénea asociada cy . Luego se calcula la solución particular tomando en cuenta el tipo de

función Q y todas las derivadas (formas) que se generen al derivar Q .

Q Forma de py

)tan( teconsa bmx bax 2

cbxax 3 axsen axcos

axe 2xeax

cxebax )( senbxeax senbxax 2

cxxeax cos

A BAx

CBxAx 2 DCxBxAx 23

axBaxAsen cos axBaxAsen cos

axAe )( 2 CBxAxeax

cxeBAx )( )cosbxBesenbxAe axax

bxCBxAxsenbxCBxAx cos)()( 22 sencxeDCxcxeBAx axax )(cos)(

Ejemplo: 22

2

86 xydx

dy

dx

yd (1)

0)4)(2( yDD xx

c ececy 42

21

pc
Nota
ó e^ax*cos(bx)
Page 21: Teoria Edo

2xQ

Ay

BAxy

CBxAxy

2''

2'

2

En (1): 22 )(8)2(62 xCBxAxBAxA Igualando coeficiente y resolviendo: 64

7163

81 ;; CBA

647

1632

814

22

1)( xxececxy xx > ecu:=diff(y(x),x,x)-6*diff(y(x),x)+8*y(x)=x^2;

> dsolve(ecu,y(x));

Ejemplo: senxeydx

yd x2

2

0)1)(1( yDD xxc ececy 21

xBesenxAey xxp cos

xesenxey xxp cos5

251

pc yyxy )( Ejemplo: 6322'4'' 2 xxyyy (1)

632)24( 22 xxyDD 0)24( 2 yDD

xxc ececy )62(

2)62(

1

CBxAxy p 2 Derivando y reemplazando en (1), igualando coeficientes tenemos:

9;;1 25 CBA

Por tanto: 9252 xxy p

9)( 252)62(

2)62(

1 xxececxy xx Ejemplo: xsenyyy 32''' (1)

xsenyDD 32)1( 2

Page 22: Teoria Edo

)cos( 23

223

121

xsencxceyx

c

xBsenxAy p 33cos

Derivando y reemplazando en (1), igualando coeficientes tenemos: 7316

736 ; BA

xsenxy p 33cos 7316

736

pc yyxy )( > yp:=A*cos(3*x)+B*sin(3*x);

> dat1:=diff(yp,x,x)-diff(yp,x)+yp=2*sin(3*x);

> data2:=collect(dat1,[cos(3*x),sin(3*x)]);

> solve({-8*A-3*B=0,-8*B+3*A=2});

Ejemplo: xxexyyy 26543'2'' (1) xx

c ececy 321

xxp EeCxeBAxy 22

Resolviendo: xxp exexBAxy 2

342

923

34 2

Casos especiales.

En algunas funciones Q el método es inaplicable, ya que el desarrollo de sus derivadas es infinito. Ej. xQ ln .

Si un término de Q es también un término de la función complementaria, por ejemplo u y si es un término que corresponde a una raíz de orden s , en la función de py debe agregarse el término

uxs con sus correspondientes derivadas. Ejemplos:

xeyDD 2)4)(2( xx

c ececy 42

21

xxp BeAxey 22

pc
Resaltado
pc
Resaltado
Page 23: Teoria Edo

xeyDD 52 )4()5( xxx

c ecxececy 43

52

51

xxxp CeBxeeAxy 4552

Si un término de Q es uxr , donde u es también un término de la

función complementaria que corresponde a una raíz de orden s , en la

función py debe agregarse el término ux sr con sus

correspondientes derivadas.

Ejemplo

xexyDD x 3)9()7( 723 xxxx

c ecexcxececy 94

723

72

71

HGxFeExeeDxeCxeBxeAxy xxxxxxp 7772737475

La funciones que están en cy se descartan.

HGxeCxeBxeAxy xxxp 737475

Ejemplo

xeydx

dy

dx

dy 396 (1)

9)3(

0)96(2

2

yD

yDD

xxc xececy 3

23

1 xxx

p CeBxeeAxy 3332 La funciones que están en cy se descartan.

xp eAxy 32

Derivando en sustituyendo en (1); 5

1A Por tanto: x

p exy 3251

xxx exxececxy 32

513

23

1)(

pc
Tachado
pc
Tachado
pc
Tachado
pc
Tachado
pc
Tachado
pc
Tachado
pc
Resaltado
Page 24: Teoria Edo

Ejemplo.

32

2

3

3

xdx

yd

dx

yd (1)

323 )( xyDD 32 )1()0( xyDD

xc ecxccy 321

FExDxCxBxAxy p 2345 La funciones que están en cy se descartan.

2345 DxCxBxAxy p Derivando y sustituyendo en (1)

3;1;; 41

201 DCBA

234415

201 3xxxxy p

234415

201

321 3)( xxxxecxccxy x

Page 25: Teoria Edo

Ejemplo.

32

2

3

3

xdx

yd

dx

yd=− (1)

323 )( xyDD =− 32 )1()0( xyDD =−−

xc ecxccy 321 ++=

FExDxCxBxAxy p +++++= 2345 La funciones que están en cy se descartan.

2345 DxCxBxAxy p +++= Derivando y sustituyendo en (1)

3;1;; 41

201 −=−=−=−= DCBA

234415

201 3xxxxy p −−−−=

234415

201

321 3)( xxxxecxccxy x −−−−++= Ejemplo.

xeyyy x 2cos13'6'' 3−=++ xeyDD x 2cos)136( 32 −=++

iD 23±−= )22cos( 21

3 xsencxcey xc +=

)22cos(22cos 333 xBsenxAxexsenBxexAxeyp xxx +=+= −−− Ejemplo:

xxsenexyDD x 3)9()2( 2223 +=+− xsencxcexcxececyc xxx 33cos 54

223

22

21 ++++=

xGxsenxFxxsenExxDxeCxeBxeAxyp xxx 33cos33cos 22232425 ++++++= Método de variación de parámetros. Este método permite hallar soluciones particulares de ecuaciones lineales de orden n de coeficientes constantes. Metodología:

• Paso 1. Se determina la solución complementaria de la forma:

pc
Resaltado
Page 26: Teoria Edo

)()(22)(11 ....... xnnxxc ycycycy +++=

• Se reemplazan las constantes ic por funciones desconocidas iL

)()()(2)(2)(1)(1 ....... xnxnxxxxc yLyLyLy +++= • El cálculo de las funciones iL se efectúa haciendo cumplir las

condiciones:

QyLyLyL

yLyLyL

yLyLyL

nnn

nn

nn

nn

=+++

=+++=+++

−−− 1122

111

2211

2211

'.............''

.............................

0''.............''''

0'.............''

• Calculando estas funciones iL se obtendrá la solución particular.

Ejemplo. xyy tan'' =+

xyD tan)1( 2 =+ iD ±=

xsencxcyc 21 cos += senxLxLy p 21 cos += (1)

⎩⎨⎧

=+−=+

xxLsenxL

senxLxL

tancos''

0'cos'

21

21

xxxsenx

gsenx

xsenx

senxx

xx

senx

L seccoscos

tan*

cos

cos

costan

0

'221 −=

+−

=

=

xxsenxdxxxL tansecln)sec(cos1 +−=−= ∫

senxxsenx

gx

xsenx

senxx

xsenx

x

L =+

=

−=

222 cos

tan*cos

cos

cos

tan

0cos

'

∫ −== xsenxdxL cos2 Sustituyendo en (1)

Page 27: Teoria Edo

senxLxLy p 21 cos += senxxxxxsenxy p coscostansecln −+−=

Por tanto: senxxxxxsenxsenxcxcy p coscostanseclncos 21 −+−++=

MAPLE: >with(linalg): >A := matrix(2,2,[0,sin(x),tan(x),cos(x)]); >det(A); >B := matrix(2,2,[cos(x),sin(x),-sin(x),cos(x)]); >det(B); >dL1:=det(A)/det(B); >int(dL1,x); sin(x)-ln(sec(x)+tan(x))

Ejemplo. xe

yyy −+=+−

1

12'3'' ⇔

xey

dx

dy

dx

yd−+

=+−1

123

2

2

xeyDD −+=+−

1

1)23( 2

xeyDD −+=−−

1

1)1)(2(

xxc ececy 2

21 += xx

p eLeLy 221 += (1)

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=+

=+

−xxx

xx

eeLeL

eLeL

1

1'2'

0''

221

221

Resolviendo el sistema: x

x

e

eL −

+=

1'

2

2 )1ln(2xx eeL −− ++−=

x

x

e

eL −

+−

=1

'1 )1ln(1xeL −+=

Sustituyendo en (1): xxxxxp eeeeey 2)]1ln([)]1[ln( −−− ++−++=

xxxxxxx eeeeeececxy 22

21 )]1ln([)]1[ln()( −−− ++−++++= Ejemplo:

2

3

2

2

96x

ey

dx

dy

dx

yd x

=+−

2

32 )96(

x

eyDD

x

=+−

2

32)3(

x

eyD

x

=−

Page 28: Teoria Edo

xxc xececy 3

23

1 += xx

p xeLeLy 32

31 +=

⎪⎩

⎪⎨

=++

=+

2

33

23

23

1

32

31

'3''

0''

x

exeLeLeL

xeLeLx

xxx

xx

De la primera despejamos: xLL 21 '' −=

Sustituimos en la segunda: 22

1'

xL =

xL

12 −=

Luego: x

L1

'1 −= xL ln1 −=

Por tanto: xxp xe

xexy 33 *

1*ln −−=

xxp exey 33 ln −−=

xxxx exexececxy 3332

31 ln)( −−+=

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES En sistema de EDO es un conjunto de m ecuaciones diferenciales, con n incógnitas (variables dependientes) que dependen a su vez de una sola variable independiente. Si todas las ecuaciones son lineales, el sistema será lineal.

Ejemplo:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=+

−=−

)2(8

)1(6 2

txdt

dy

tydt

dx

Procedimiento: • Se procura obtener una ecuación que contenga a una sola variable

dependiente, para aplicar los métodos antes estudiados. • Se deben realizar operaciones entre las ecuaciones, derivando tantas

veces como sea necesario hasta obtener una ecuación que contenga a una sola variable dependiente.

Page 29: Teoria Edo

Ejemplo:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=+

−=−

)2(8

)1(6 2

txdt

dy

tydt

dx

De (1): 26 tdt

dxy +−= (*)

Derivando con respecto a t: tdt

xd

dt

dy2

2

2

+= (3)

Sustituyendo (3) en (2): txtdt

xd82

2

=++

Ordenado: txdt

xd6

2

2

=+ (4)

Operador: txD 6)1( 2 =+ (5) iDD ±=→=+ 012 Solución complementaria: sentctcxc 21 cos += Solución particular: BAtyp += Ax p =' 0'' =px Sustituyendo en (4): tBAt 60 =++ Igualando: 0;6 == BA La solución particular es: typ 6= La solución de la ecuación: tsentctctx 6cos)( 21 ++=

Reemplazando en (*): 26 tdt

dxy +−= =

221 6)6cos( ttcsentcy +−++−=

221 cos)( ttcsentcty ++−=

MAPLE: > c > e1:=diff(x(t),t)-y(t)=6-t^2; > e2:=diff(y(t),t)+x(t)=8*t; > dsolve({e1,e2}); Utilizando operador D:

⎩⎨⎧

=+−=−

)2(8

)1(6 2

txDy

tyDx

Ordenado⎩⎨⎧

=+−=−

)4(8

)3(6 2

tDyx

tyDx

Page 30: Teoria Edo

D

D

Dt

t

x

1

1

8

16 2

−−

= =1

6

1

820

1

8)6(222

2

+=

++−

=++−

D

t

D

tt

D

ttD

txD 6)1( 2 =+ Esta ecuación es igual que la (5) tsentctctx 6cos)( 21 ++=

En (*): 26 tdt

dxy +−= =+−++−= 2

21 6)6( tsentcsentcy 2

21)( tsentcsentcty ++−= Ejemplo:

⎩⎨⎧

=−+=++tyyx

yxx

''3

1'4'4 ⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=−+

=++

tydt

dy

dt

dxdt

dyx

dt

dx

3

144 ;

6)0(

;2)0(

−==

y

x

⎩⎨⎧

=−+=++

tyDDx

DyxD

)1(3

1)1(4

4

2

4

110

4

11

4

1)1(

13

)1(4

1

1

2222 −−

=−−−

=−−−

=−−−

=

−+

−=

DDD

DtD

D

DtD

DD

DD

Dt

D

x

2)4( 2 =− xD 242

2

−=− xdt

xd

2)2)(2( −=+− xDD tt

c ececx 22

21

−+= Axp = 0'' =px

240 −=− A2

1=A

2

1)( 2

22

1 ++= − tt ecectx

Para hallar )(ty se sustituye x(t) en la original: 1'4'4 =++ yxx xxy 4'41' −−=

)2

1(4)022(41' 2

22

12

22

1 ++−+−−= tttt ececececy

244881' 22

21

22

21 −−−+−= tttt ececececy

Page 31: Teoria Edo

1412)(' 22

21 −+−= tt ececty

dtececty tt )1412()( 22

21 −+−= ∫ = ctececty tt +−+−= 2

22

1 26)( Por tanto tenemos:

2

1)( 2

22

1 ++= − tt ecectx (3)

ctececty tt +−+−= 22

21 26)( (4)

Para eliminar c se procede: Se sustituye (3) y (4) en la segunda ecuación original: tyyx =−+ ''3

tyecececec tttt =−−+−+− − ]1412[]22[3 22

21

22

21

tctecececececec tttttt =−+−−−+−− − 2

22

12

22

12

22

1 26141266 Simplificando: tctececec ttt =−+−+−− − 12126 2

22

12

2 Agrupando: tcteccec tt =−−++−−− − )1()212(6 2

212

2

Igualando coeficientes: ⎪⎩

⎪⎨

−=→=−−=→=−−

=→=−

101

00)212(

006

121

22

cc

ccc

cc

Por tanto: 2

1)( 2

22

1 ++= − tt ecectx

126)( 22

21 −−+−= tececty tt

Utilizando las condiciones iniciales: 6)0(

;2)0(

−==

y

x

2

1

2

1)( 22 ++= − tt eetx

132)( 22 −−−−= teety tt Ejemplo. Examinemos los dos tanques de la figura. Supongamos que el tanque A contiene 50 galones de agua en la que se disolvieron 25 libras de sal. Consideremos que el tanque B está lleno con 50 galones de agua pura. El líquido es bombeado hacia dentro y hacia fuera de los tanques, como se ve

Page 32: Teoria Edo

en la figura; la mezcla se intercambia entre ambos mientras que se supone que el líquido que sale de B se ha mezclado bien.

3 gal/min

3 gal/min 1 gal/min

4 gal/min

A B

a) ¿Qué cantidad de sal habrá en cada tanque al cabo de una ¼ de hora? b) ¿En que tiempo las concentraciones son iguales? Resolución: Sea: )(tx la cantidad (libras) de sal en el tanque A en el tiempo t (minutos)

)(ty la cantidad (libras) de sal en el tanque B en el tiempo t (minutos)

• El volumen de ambos tanques es constante.

• Condiciones iniciales: 0)0(;25)0( == yx

Las ecuaciones que describen el cambio en las cantidades de sal son:

saldesalidaderazonsaldeentradaderazondt

dxTanqueA −=:

:TanqueA ]

50*

min4[]

50*

min10*

min3

gal

lbxgal

gal

lbygal

gal

lbgal

dt

dx−+=

yx

xy

dt

dy

50

1

25

2

50*4

501 +−=−=

:TanqueB ]50

*min

350

*min

1[]50

*min

4gal

lbygal

gal

lbygal

gal

lbxgal

dt

dy+−=

]

50*3

50*1[]

50*4

yyx

dt

dy+−=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

−=

+−=

)2(25

2

25

2

)1(50

1

25

2

yxdt

dy

yxdt

dx

De (1): ]25

2[50 xdt

dxy += (3)

Page 33: Teoria Edo

Derivando con respecto a t: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

dt

dx

dt

xd

dt

dy

25

250

2

2

(4)

Sustituyendo (3) y (4) en (2): ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=⎥

⎤⎢⎣

⎡+ x

dt

dxx

dt

dx

dt

xd

25

250

25

2

25

2

25

250

2

2

Desarrollando y simplificando: 025

6850

2

2

=++ xdt

dx

dt

xd

0625

3

25

42

2

=++ xdt

dx

dt

xd

0)625

3

25

4( 2 =++ xDD (*)

0)25

1)(

25

3( =++ xDD

La solución es: tt

ecectx 25

1

225

3

1)(−−

+= (5)

Sustituyendo (5) en (3): )](25

2

25

1

25

3[50 25

1

225

3

125

1

225

3

1

ttttececececy−−−−

++−−=

Simplificando: tt

ececty 25

3

125

1

2 22)(−−

−=

La solución del sistema es: tt

ecectx 25

1

225

3

1)(−−

+= tt

ececty 25

3

125

1

2 22)(−−

−= Utilizando las condiciones iniciales: 2125 cc +=

12 220 cc −=

Resolviendo el sistema: 2

25;

2

2521 == cc

Solución final: tt

eetx 25

1

25

3

2

25

2

25)(

−−+=

tt

eety 25

3

25

1

2525)(−−

−= Respuesta: a) lbx 9.8)15( =

lby 5.9)15( = b) A los 13 minutos.

MAPLE: > with(DEtools): > ecu1:=diff(x(t),t)=-2/25*x(t)+1/50*y(t); > ecu2:=diff(y(t),t)=2/25*x(t)-2/25*y(t); > dsolve({ecu1,ecu2}); > dsolve({ecu1,ecu2,x(0)=25,y(0)=0}); > plot({25/2*exp(-3/25*t)+25/2*exp(-1/25*t),-25*exp(-3/25*t)+25*exp(-1/25*t)},t=0..100);

Page 34: Teoria Edo

> x:=t->25/2*exp(-3/25*t)+25/2*exp(-1/25*t); > y:=t->-25*exp(-3/25*t)+25*exp(-1/25*t); > evalf(x(15)); > evalf(y(15)); > solve(25/2*exp(-3/25*t)+25/2*exp(-1/25*t)=-25*exp(-3/25*t)+25*exp(-1/25*t)); > evalf(%);

Otro método:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

−=

+−=

)2(25

2

25

2

)1(50

1

25

2

yxdt

dy

yxdt

dx

Ordenando:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=++−

=−+

)2(025

2

25

2

)1(050

1

25

2

ydt

dyx

yxdt

dx

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=++−

=−+

)2(0)25

2(

25

2

)1(050

1)

25

2(

yDx

yxD

625

3

25

40

1250

2

625

4

25

40

25

2

25

250

1

25

225

20

50

10

22 ++=

−++=

+−

−+

+

=DDDD

D

D

Dx

Pasando a multiplicar: 0)625

3

25

4( 2 =++ xDD igual que (*). Luego se sigue

como el caso anterior.

Page 35: Teoria Edo

Ejercicio Propuesto: Usando la información de la figura, encuentre el modelo matemático que se

adapte a la situación y luego resuelva el sistema. Al tanque A ingresa agua

pura. El tanque A contiene inicialmente 50 libras de sal.

4 gal / min

4 gal / min

Tanque CTanque BTanque A

100 gal 100 gal 100 gal

1 gal / min2 gal / min

5 gal / min6 gal / min

x503-y

501

dtdx

=

yyzx50

1

20

1

100

1

100

3−−+=

dtdy

zzy

100

1

25

1

20

1−−=

dtdz

Ejercicio propuesto: Dos tanques A y B contienen 50 litros de agua en la que se han disuelto 3 kilogramos de sal en el tanque A, y 5 kilogramos de sal en el tanque B. A partir del instante t = 0, se empieza a introducir en ambos tanques, a razón de 2 litros por minuto, una mezcla que contiene 100 gramos de sal por litro. Simultáneamente, de cada tanque se bombean 8 litros por minuto, de los cuales 6 van al otro tanque, y el resto se expulsan al exterior. Calcúlense las cantidades de sal, x(t) e y(t), presentes en los tanques A y B, respectivamente, en el instante t.

Page 36: Teoria Edo

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

Lgr100

minL6

Salmuera

V = 50 Lxo = 3

V = 50 Lyo = 5

A B

minL2

minL2

minL6

minL6

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

Lgr100

minL6

Salmuera

Lkr

50x

minL)26(

Lkg

30y

minL6

Lkg

1.0minL2

dtdx

∗+−∗+∗=

2.0y

253x

254

dtdx

=−+ (1)

Lkg

50y

minL)26(

Lkg

1.0minL6

Lkg

50x

minL6

dtdy

∗+−∗+∗=

2.0y254x

253

dtdy

=+− (2)

Resolviendo el sistema:

y253x

254

dtdx

−+ =0.2 (3)

x253y

254

dtdy

−+ =0.2 (4)

Page 37: Teoria Edo

VIBRACIONES MECANICAS: Sistema masa resorte con gravedad:

Fs: Fuerza del resorte. Fr : Fuerza de fricción. Fe: Fuerza externa. (1) : Fr = Fs = Fe = 0

(2) : ∑ = maF ; ∑ = 0F ; mg-Fs=0; mg=k LΔ ; L

mgk

Δ=

(3): ∑ = maF

mgFeFrFsdt

ydm +++=

2

2

mgFedt

dyLyk

dt

ydm ++−Δ+−= δ)(

2

2

mgFedt

dyLkky

dt

ydm ++−Δ−−= δ

2

2

Como: mgLk =Δ

Fedt

dyky

dt

ydm +−−= δ

2

2

Fekydt

dy

dt

ydm =++ δ

2

2

Page 38: Teoria Edo

Sistema masa resorte vertical:

∑ = maF

FeFrFsdt

ydm ++=

2

2

Fedt

dxkx

dt

ydm +−−= δ

2

2

Fekydt

dy

dt

ydm =++δ

2

2

I. Sistema masa – resorte: Movimiento libre no amortiguado-Movimiento armónico simple Si solo tenemos una masa en el resorte, sin amortiguamiento ni fuerzas externas.

02

2

=+ kxdt

xdm ;

Condiciones iniciales:⎩⎨⎧

==

masaladeinicialvelocidadxx

inicialentodesplazamidecantidadxx

:)0('

:)0(

1

0

02

2

=+ xm

k

dt

xd ; 002

2

=+ xwdt

xd ; m

kw =0

0)( 2 =+ xm

kD

Page 39: Teoria Edo

iwim

kD 0±=±=

tsenwctwctx 0201 cos)( +=

22

21

c

c

A1c

2c

A

csen 1=α ,

A

c2cos =α

tsenwAtwAsentx 00 coscos.)( αα += )cos..(cos)( 00 αα tsenwsentwAtx +=

Nota: sen(x+y) = sen x. cos y + cos x .sen y

)()( 0 α+= twAsentx A : amplitud

0w : Frecuencia circular( rad./s) α : Angulo de fase. t : Tiempo (segundos) T : periodo (tiempo requerido para que el sistema complete una oscilación)

0

2

wT

π= segundos

F = frecuencia = π2

1 0w

T= Hz =ciclos/segundos (mide el número de

oscilaciones o ciclos por segundo.

2

1tanc

c=α

2

11tanc

c−=α si 01 ≥c

1

21tanc

c−=α + π si 01 <c

Page 40: Teoria Edo

0w

α

0

2

w

π

A

A−

Ejemplo: Una masa de 2 lb. hace que un resorte se estire 6 pulg. Cuando t=0, la masa se suelta desde un punto a 8 pulg. Debajo de la posición de equilibrio con una velocidad inicial, hacia arriba, de 4/3 pie/s. Deduzca la ecuación del movimiento libre. 1 pie = 12 pulg. 6 pulg. = ½ pie. 8 pulg. = 2/3 pie. Masa = peso/gravedad m = 2/32 = 1/16 slug.

Condiciones iniciales: piex3

2)0( = ; spiex

dt

dxv /

3

4)0(' −===

02

2

=+ xm

k

dt

xd

Calculo de k: 42/1

2==

Δ=

L

mgk lb/pie.

04

1612

2

=+ xdt

xd

0642

2

=+ xdt

xd

0)64( 2 =+ xD iD 8±=

tsenctctx 88cos)( 21 +=

3

20*80*8cos

3

2)0( 121 =→+== csenccx

tctsenctvdt

dx8cos888)( 21 +−==

Page 41: Teoria Edo

6

10*8cos80*88

3

4)0( 221 −=→+−=−= ccsencv

Por tanto: tsenttx 86

18cos

3

2)( −=

Forma alternativa:

)()( 0 α+= twAsentx 2

22

1 ccA += .69.0)()( 36172

612

32 pieA ≈=−+=

A

csen 2=α

17

1

3617

61

−=−

=αsen , A

c1cos =α17

4cos

3617

32

==α

4tan171

174

−=−

=α está en el cuarto cuadrante.

3258.1−=α Para llevar hacer el ángulo positivo se suma π :

rad816.1)3258.1(1416.3 =−+=α

)816.18(6

17)( += tsentx

T : periodo (tiempo requerido para que el sistema complete una oscilación)

48

2 ππ==T segundos

II. Sistema masa – resorte: Movimiento libre amortiguado:

Page 42: Teoria Edo

• Aquí la masa podría estar suspendida en un medio viscoso o conectada a un dispositivo amortiguador.

• Se considera que las fuerzas de amortiguamiento que actúan sobre el cuerpo son proporcionales a alguna potencia de la velocidad instantánea.

Fekydt

dy

dt

ydm =++ δ

2

2

02

2

=++ kydt

dy

dt

ydm δ

02

2

=++ ym

k

dt

dy

mdt

yd δ

02

2

=++ cydt

dyb

dt

yd

0)( 2 =++ ycbDD ; a

acbbD

2

42 −±−=

Caso I: Sistema sobreamortiguado: 042 >− acb ;

• El coeficiente de amortiguamiento es grande comparado con la constante del resorte.

)()( 2

4

22

4

1

2

ta

acbbt

a

acbb

ececty−−−−+−

+= • Esta ecuación representa un movimiento suave no oscilatorio. Ejemplo:

0452

2

=++ ydt

dy

dt

yd ; 1)0`(;1)0( == yy (la masa comienza desde una posición

1 unidad debajo de la posición de equilibrio con una velocidad hacia debajo de 1 pie/s).

0)45( 2 =++ yDD D = -1; D = -4

tt ececty 421)( −− +=

tt ececty 421 4)`( −− −−=

⎩⎨⎧

14

1

21

21

=−−=+cc

cc ; 3

523

21 ; =−= cc

2

35

1*2

4*1*4255 ±−=

−±−=D

Page 43: Teoria Edo

tt eety 4

3

2

3

5)( −− −−=

Caso II: sistema críticamente amortiguado: 042 =− acb ;

a

bD

2−= ; )()( 2

22

1

ta

bt

a

b

tececty−−

+=

Ejemplo 3. Un contrapeso de 8 lb. Estira 2 pies un resorte. Si una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual 2 veces la velocidad instantánea actúa sobre el sistema deduzca la ecuación del movimiento si el contrapeso se suelta de la posición de equilibrio con una velocidad hacia arriba de 3 pies/s. • Cualquier pequeña disminución de la fuerza de amortiguamiento

originaría un movimiento oscilatorio.

42

8==

Δ=

L

mgk

Masa = peso/gravedad m = 8/32 = 1/4 slug.

0)0( =y ; spieydt

dyv /3)0`( −===

dt

dy2−=δ

042

41

412

2

=++ ydt

dy

dt

yd

01682

2

=++ ydt

dy

dt

yd

42

8

2

16*1*4648−=

−=

−±−=D

)()( 42

41

tt tececty −− += Aplicando las condiciones iniciales: 3;0 21 −== cc

)3()( 4ttety −−=

Page 44: Teoria Edo

Caso III: sistema subamortiguado: 042 <− acb ; • La constante de amortiguamiento es pequeño en comparación con la

constante del resorte.

ia

acb

a

bD

2

4

2

2 −±−=

)2

4

2

4cos()(

2

2

2

12 t

a

acbsenct

a

acbcety

ta

b −+

−=

Ejemplo 4. Un contrapeso de 16 lb. Se une a un resorte de 5 pie de longitud. En la posición de equilibrio, el resorte mide 8.2 pies. Si el contrapeso se eleva y se suelta del reposo en un punto a 2 pies arriba de la posición de equilibrio, determine los desplazamientos, y(t). Considere que el medio que rodea al sistema ofrece una resistencia al movimiento numéricamente igual a la velocidad instantánea.

pie

lb

L

mgk 5

2.3

16==

Δ=

Masa = peso/gravedad m = 16/32 = 1/2 slug.

2)0( −=y ; 0)0`( === ydt

dyv

dt

dy=δ

051

21

212

2

=++ ydt

dy

dt

yd

01022

2

=++ ydt

dy

dt

yd

Page 45: Teoria Edo

iiD 312

10*44

2

2±−=

−±−=

)33cos()( 21 tsenctcety t += −

Utilizando las condiciones: )33

23cos2()( tsentety t −−= −

II. a) Sistema masa – resorte: Movimiento forzado amortiguado. • Se toma en cuenta la fuerza externa que actúa sobre una masa

oscilatoria.

Fekydt

dy

dt

ydm =++ δ

2

2

Ejemplo 5. Interprete y resuelva el problema de valor inicial: Resolución: • Es un sistema vibratorio formado por una masa de ½ slug o kg. Unida a

una resorte (k=2 lb/pie o N/m). La masa parte del reposo a ½ unidad (pie o m) debajo de su posición de equilibrio. El movimiento es amortiguado ( 2.1=δ ) y está dirigido por una fuerza externa periódica ( )2/ sT π= que se incia cuando t=0.

0)0`(;2

1)0(;4cos25106

2

2

===++ xxtxdt

dx

dt

xd

Page 46: Teoria Edo

b) Sistema masa – resorte: Movimiento forzado amortiguado. • Cuando se ejerce una fuerza periódica y no existe fuerza de

amortiguamiento, no hay parte transitoria en la solución del problema.