ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

MECATRÓNICA

TERCER NIVEL “A”

“Aplicación de las ecuaciones diferenciales ordinarias en la eliminación de medicamentos”

INTEGRANTES:

Ney Aucapiña

Brayan Iza

Bryan Navas

ELIMINACIÓN DE MEDICAMENTOS

Considere la muestra de un material que contiene N (t ) átomos de cierto isótopo radiactivo en el tiempo t . Se ha observado que cierta fracción constante de esos átomos radiactivos decrece espontáneamente (convirtiéndose en átomos de otro elemento o de otro isótopo del mismo elemento) durante cada unidad de tiempo. En consecuencia, la muestra se comporta exactamente igual que una población con tasa de mortalidad constante y sin nacimientos. Para escribir un modelo de N (t ) se utiliza la

ecuación dPdt

= lim∆t →0

∆ P∆ t

=kP con N en lugar de P, con k>0 en lugar de δ y β=0. Por

tanto, se obtiene la ecuación diferencial

dNdt

=−kN

El valor de k depende del isótopo radiactivo en particular.

La clave del método de radiocarbono para conocer la antigüedad de una pieza orgánica radica en que una proporción constante de los átomos de carbono en cualquier ser vivo depende del isótopo radiactivo C 14 del carbono. Esta proporción permanece constante porque la fracción del C14 en la atmósfera es prácticamente invariable, y la materia viva está tomando en forma continua carbono del aire o está consumiendo otra materia viva que contiene la misma proporción constante entre los átomos del C14 y los átomos normales del C12. Esta relación se mantiene toda la vida porque al parecer los procesos orgánicos no hacen distinción entre los dos isótopos.

La relación entre el C14 y el carbono normal permanece constante en la atmósfera porque mientras el C14 es radiactivo y decrece lentamente, la cantidad es continuamente reemplazada a través de la conversión de N14 (nitrógeno ordinario) en C14 debido al bombardeo de los rayos cósmicos en la atmósfera superior. Más allá de la larga historia del planeta, este proceso de decrecimiento y reemplazo ha entrado en un estado cercano a su respuesta permanente.

Por supuesto, cuando un organismo vivo muere, cesa su metabolismo de carbono y el proceso de decrecimiento radiactivo se inicia para eliminar el contenido de C14. Ya no hay reemplazo de este C14, y en consecuencia la relación entre éste y el carbono normal comienza a aminorar. Midiendo esta relación, se puede estimar la cantidad de tiempo transcurrido desde la muerte del organismo. Para tales propósitos es necesario medir la constante de decrecimiento k . Para el C14, se sabe que k ≈0.0001216 si t se mide en años.

En muchos casos la cantidad A( t) de cierta droga en el torrente sanguíneo, medida por el exceso respecto del nivel natural de la droga, declinará a una razón de cambio proporcional a la cantidad presente en exceso. Esto es:

dAdt

=−γA

Donde γ>0. El parámetro γ se llama constante de eliminación de la droga.

Ejemplos:

1. Se administra por vía intravenosa una dosis de 100 mg de un fármaco monocompartimental que presenta una semivida biológica de 12 h. Indique cuál será la cantidad de fármaco eliminado cuando ha transcurrido un tiempo igual a 24 horas desde su administración:

Lo primero que debemos hacer es calcular Kel. Podemos deducir la fórmula de la semivida de la siguiente forma:

C=Co∗e−kel t1/ 2

Teniendo que en cuenta que por definición a t=t 1/2,C=0.5Co

0.5Co=Co∗e−kel t

0.5=e−k elt

ln (0.5)=−kel t

−0.693k el

=−t 1/2

k el=0.693t 1/2

k el=0.69312

k el=0.058h−1

Como: Q=Q o∗e−kel t

Q=100∗e−0.058∗24

Q=25mg

100−25=75mg

Por lo tanto se habrán eliminado 75 mg del organismo.

2. El 50% de la dosis administrada de un fármaco se elimina en 24 horas. Calcule su semivida biológica y su constante de velocidad de eliminación.

En este caso nos dice que el 50% de la dosis se elimina en 24 horas por tanto sabiendo que la semivida por definición es el tiempo que se tarda en eliminar el 50% de la dosis de fármaco, podemos concluir que su semivida es de 24 horas, aplicando la fórmula de la semivida:

t 1/2=0.693kel

k el=0.693t 1/2

k el=0.69324

k el=0.0289h−1

3. El tiempo de eliminación del alcohol varía de una persona a otra. Si el

tiempo “para ponerse sobrio” de una persona es T=1k=2.5h .

¿Cuánto tardará en que el exceso de concentración del alcohol en el torrente sanguíneo se reduzca del 0.10% al 0.02%?

- Supongamos que la concentración normal de alcohol en la sangre es cero, por lo que cualquier cantidad es un excedente. En este problema, tenemos:

k= 12.5

=0.4

Reemplazamos en:

C=Co∗e−kel t1/ 2

0.02=(0.10)∗e−0.4 t

Entonces:

t=−ln (0.2 )0.4

t=4.02h .

4. El 75% de la dosis administrada de un fármaco se elimina en 30 horas.

Calcule su semivida biológica y su constante de velocidad de eliminación.

Q=Q 0∗e−k el t

0.75Q0=Q0∗Q0∗e−k el t

0.75=e−k elt

ln 0.2530

=k el=0.0462h−1

Conociendok el , ya podemos calcular t1 /2

t 1/2=0.693kel

t 1/2=0.6930.0462

=15horas

5. Deduzca y justifique la expresión matemática del tmáx para fármacos monocompartimentales administrados por vía extravasal, con cinética de absorción de orden uno.

Cuando t=tmax , se puedeescribir :

dAdt

=dCdt

Teniendoencuenta que :

dAdt

=−ka∗A y A=A0∗e−ka t dCdt

=−kel∗C y C=C0∗e−kelt

Para tmax se cumpleque

−k a∗A=−kel∗C

k a∗A0∗e−ka t=kel∗C0∗e−k el t

−k a∗tmax+ ln ka+ln A0=¿kel∗tmax+ln k el+¿ lnC0 ¿¿

O loque es lomismo

tmax=ln( k a

k el∗A0

C0 )k a−kel

Bibliografía

Edwards, H., & Penney, D. (2009). Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera. En H. Edwards, & D. Penney, Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera (págs. 38-39). México: Pearson.

(s.f.). Recuperado el 02 de Mayo de 2014, de https://www.facebook.com/ajax/messaging/attachment.php?attach_id=de1e20c17d9477a66031b076a0752876&mid=mid.1399243938307%3Acf9018181102da4528&hash=AQDkuYwJ9J5f7Kyb

Ibarra, E. (s.f.). Recuperado el 02 de Mayo de 2014, de http://fcf.unse.edu.ar/archivos/series-didacticas/SD-11-Ecuaciones-diferenciales-GOMEZ.pdf