EDO Capitulo02

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CAPÍTULO 2 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden En este capitulo desarrollaremos muchos modelos matemáticos, como los del crecimiento demográfico, la desintegración radiactiva, el interés compuesto continuamente, las reacciones químicas, un líquido que sale por un agujero en un tanque, la velocidad de caída de un cuerpo, la rapidez de memorización y la corriente en un circuito enserie, involucran ecuaciones diferenciales de primer orden. 2.1. Trayectorias ortogonales Las trayectorias ortogonales aparecen naturalmente en muchas aplicaciones físicas. Por ejemplo, si u = u(x, y) es la temperatura en un punto (x, y), entonces las curvas definidas por u(x, y)= k (2.1) se llaman curvas isométricas. Las trayectorias ortogonales de esta familia se llaman lineas de flujo de calor, porque en cualquier punto dado la dirección de flujo máximo de calor es perpendicular a la isotérma que pasa por el punto; dibujadas juntas constituyen una carta meteorológica. Si U representa la energia potencial de un objeto que se mueve impelido por una fuerza que depende de (x, y) entonces las curvas (2.1)se lla- man equipotenciales, y las trayectorias ortogonales se llaman lineas de fuerza; presentes en el estudio de la electricidad y el magnetismo. Figura 2.1: En electricidad, las lineas de fuerza son perpendiculares a las curvas equipotenciales. 2.1.1. Curvas ortogonales Recordemos que dos rectas L 1 y L 2 son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -1. En general dos curvas ζ 1 y ζ 2 se dice que son curvas ortogonales en un punto, si y sólo si sus rectas tangentes T 1 y T 2 son perpendiculares en el punto de intersección. 21

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CAPÍTULO

2 Aplicaciones de las ecuaciones

diferenciales de primer orden

En este capitulo desarrollaremos muchos modelos matemáticos, como los del crecimiento demográfico, la

desintegración radiactiva, el interés compuesto continuamente, las reacciones químicas, un líquido que sale

por un agujero en un tanque, la velocidad de caída de un cuerpo, la rapidez de memorización y la corriente

en un circuito enserie, involucran ecuaciones diferenciales de primer orden.

2.1. Trayectorias ortogonales

Las trayectorias ortogonales aparecen naturalmente en muchas aplicaciones físicas. Por ejemplo, si

u = u(x,y) es la temperatura en un punto (x,y), entonces las curvas definidas por

u(x,y) = k (2.1)

se llaman curvas isométricas. Las trayectorias ortogonales de esta familia se llaman lineas de flujo de calor,

porque en cualquier punto dado la dirección de flujo máximo de calor es perpendicular a la isotérma que

pasa por el punto; dibujadas juntas constituyen una carta meteorológica. Si U representa la energia potencial

de un objeto que se mueve impelido por una fuerza que depende de (x,y) entonces las curvas (2.1)se lla-

man equipotenciales, y las trayectorias ortogonales se llaman lineas de fuerza; presentes en el estudio de la

electricidad y el magnetismo.

Figura 2.1: En electricidad, las lineas de fuerza son perpendiculares a las curvas equipotenciales.

2.1.1. Curvas ortogonales

Recordemos que dos rectas L1 y L2 son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es −1. En

general dos curvas ζ1 y ζ2 se dice que son curvas ortogonales en un punto, si y sólo si sus rectas tangentes T1

y T2 son perpendiculares en el punto de intersección.

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2.1. TRAYECTORIAS ORTOGONALES 22

Ejemplo 2.1.1 Demuestre que las curvas definidas por ζ1 : y = lnx y ζ2 : y = − 12 x2 son ortogonales en sus

puntos de intersección.

Solución

De ζ1 : y = lnx, tenemos dydx

= 1x

y de ζ2 : y = − 12 x2 tenemos dy

dx= −x

Luego en el punto de intersección P = (0,7530,−0,2835) , se cumple

que:(

dy

dx

)

ζ1

.

(

dy

dx

)

ζ2

=

(

1x

)

(−x) = −1

como las pendientes de las tangentes son cada una, la recíproca negativa

de la otra, las curvas ζ1 y ζ2.

La figura muestra que las curvas y = lnx y y =− 12 x2, son ortogonales

en su punto de intersección.

y = ln(x)

y = − 12 x2

P

Ejemplo 2.1.2 Probaremos que las curvas ζ1 : y = x y ζ2 : x2 + y2 = 4, son ortogonales en sus puntos de

intersección.

Las curvas tienen como puntos de intersección a P1 = (√

2,√

2) y

P2 = (−√

2,−√

2).

Sea m1 = 1 la pendiente de la curva ζ1 en cualquier punto de su do-

minio, y m2 = − xy

la pendiente de la curva ζ2

En el punto de intersección P1 = (√

2,√

2) tenemos que: m1 = 1 y

m2 = − xy|(√2,

√2) = −1 tales que m1.m2 = −1. Se realiza el mismo

análisis en el punto P2 y se prueba que son curvas ortogonales en cada

uno de sus puntos de intesección.

2−2

y = xx2 + y2 = 4

P1

P2

Definición 16 Cuando todas las curvas de una familia de curvas G(x,y,C1) = 0 cortan ortogonalmente a to-

das las curvas de otra familia H(x,y,C2)= 0, se dice que las familias son, cada una, trayectorias ortogonales

de la otra.

Ejemplo 2.1.3 Obtenga la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas y = C1x2.

Solución

Sea ζ1: y = C1x2,de donde tenemos(

dydx

)

ζ1) = C12x

y sea ζ2:la familia de curvas ortogonale que deseamos encontrar

Luego en un punto de intersección P , se cumple que:(

dy

dx

)

ζ1

.

(

dy

dx

)

ζ2

= −1

reemplazando C1 = y

x2 , tenemos(

y

x2

)

ζ1.(2x).

(

dydx

)

ζ2= −1

(

2yx

)

.(

dydx

)

ζ2= −1, resultando la ecuación diferencial de variables

separadasdy

dx= − x

2y

Resolviendo tenemos la familia de elipses y2 = −x2

2+C2.

Ejemplo 2.1.4 La familia de rectas que pasan por el origen y = C1x y la familia de circunferencias concén-

tricas con centro en el origen x2 + y2 = C22 , son trayectorias ortogonales.

Ecuaciones diferenciales Rendón y García

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2.1. TRAYECTORIAS ORTOGONALES 23

Solución

De ζ1 : y = C1x, tenemos dydx

= C1

y de ζ2 : x2 + y2 = C22 tenemos 2x+2yy′ = 0 , y′ = −x/y

Luego en un punto de intersección P , se cumple que:(

dy

dx

)

ζ1

.

(

dy

dx

)

ζ2

= (C1)

(−x

y

)

=(y

x

)

(−x

y

)

= −1

y = xx2 + y2 = 4

P1

P2

Ejemplo 2.1.5 Halle las trayectorias ortogonales de la familia de curvas x2 + y2 = C1x.

Solución

Denotamos por ζ1 a la familia de curvas de x2 + y2 = C1x y ζ2 a la familia de curvas ortogonales que nos

piden.

Para ζ1 hallemos su derivada 2x+2ydy

dx= C1 de donde

dy

dx=

C1−2x

2y

pero de x2 + y2 = C1x tenemos C1 =x2 + y2

xy esto reemplazamos en

la derivada anterior de ζ1

ζ1 :dy

dx=

x2 + y2

x−2x

2y, ζ1 :

dy

dx=

y2 − x2

2xy

Ahora buscamos la familia ζ2 de curvas ortogonales a ζ1

(

dy

dx

)

ζ1

.

(

dy

dx

)

ζ2

=

(

y2 − x2

2xy

)

.

(

dy

dx

)

ζ2

= −1

de donde:(

dy

dx

)

ζ2

= − 2xy

y2 − x2

ζ1

ζ2

Resolviendo esta ecuación diferencial, tendremos la familia ζ2 de trayectorias ortogonales a ζ1.

ζ2 : (y2 − x2)dy = −2xydx

que es lo mismo

ζ2 : 2xydx+(y2 − x2)dy = 0

Notamos que esta ecuación diferencial es homogenea de grado 2. Sea x = vy, entonces dx = ydv+ vdy

ζ2 : 2(vy)y(ydv+ vdy)+(y2 − (vy)2)dy = 0

ζ2 : 2vy2(ydv+ vdy)+(y2 − v2y2)dy = 0

ζ2 : 2vy3dv+2v2y2dy+ y2dy− v2y2dy = 0

ζ2 : 2vy3dv+ v2y2dy+ y2dy = 0

ζ2 : 2vydv+ v2dy+dy = 0

ζ2 : 2vydv = −(v2 +1)dy

ζ2 :2v

(v2 +1)dv = −1

ydy

integrando

ζ2 :∫

2v

(v2 +1)dv = −

1y

dy

Ecuaciones diferenciales Rendón y García

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2.1. TRAYECTORIAS ORTOGONALES 24

ζ2 : ln(v2 +1) = − lny+ lnc

de donde

ζ2 : y(v2 +1) = C2

pero v = xy

ζ2 : y((x

y)2 +1) = C2

Así tenemos la familia de curvas ortogonales ζ2 : x2 + y2 = C2y a la familia de curvas ζ1 : x2 + y2 = C1x.

Familia de curvas ortogonales en coordenadas polares

La pendiente de una gráfica r = f (θ ), en coordenadas polares está dada por:

tanψ = rdθ

dr

donde ψ es el ángulo positivo (medido en sentido opuesto al reloj).

Dos curvas polares r = f1(θ ) y r = f2(θ ) son ortogonales en un punto de su intersección si y sólo si

(tan ψ)ζ1.(tanψ)ζ2

= −1

Ejemplo 2.1.6 Determine las trayectorias ortogonales de r = 2C1cos(θ )

Solución

Consideremos como ζ1 a la familia de curvas polares r = 2C1cos(θ ). Calculemos su tanψ

c1 =r

2cosθ

Cálculo de r dθdr

= tanψ1

tenemos quedr

dθ= −2C1senθ reemplazando C1 en la derivada

anterior tenemos drdθ = − r

cosθsen θ

dr= − cosθ

rsenθ

Así,

tanψ = rdθ

dr= −cosθ

senθ

Cálculo de la familia ortogonal

(tanψ)ζ1.(tanψ)ζ2

= −1

rdθ

dr.r

dr= −1

sustituyendo −rcosθ

senθ.r

dr= −1

searando las variables cosθsenθ dθ =

dr

rintegrando ln|senθ |= ln|r|+ ln|C|la familia de curvas ortogonales es: r = C2 sen θ

2

−2

2−2

ζ1

ζ2

Ejemplo 2.1.7 Determine las trayectorias ortogonales de r = c1(1− senθ )

Solución

Consideremos ζ1 a la familia de curvas polares r = c1(1− senθ ). Calculemos su tanψ derivando tenemos:

ζ1 :dr

dθ= −c1 cosθ

Ecuaciones diferenciales Rendón y García

Page 5: EDO Capitulo02

2.1. TRAYECTORIAS ORTOGONALES 25

pero de ζ1 : r = c1(1− senθ )

derivando tenemos:

ζ1 :dr

dθ= −c1 cosθ

pero de ζ1 : r = c1(1− senθ )

c1 =r

1− senθ

reemplazando en la derivada anterior drdθ = −c1 cosθ obtenemos:

ζ1 :dr

dθ= − r

1− senθcosθ = − r cosθ

1− senθ

de donde

ζ1 :dθ

dr= −1− senθ

r cosθ

ζ1 : rdθ

dr= −1− senθ

cosθ= tan ψ

Ahora encontraremos la familia de curvas polares ζ2 ortogonales a la familia ζ1

(tanψ)ζ1.(tanψ)ζ2

= −1

(rdθ

dr)ζ1

.(rdθ

dr)ζ2

= −1

(−1− senθ

cosθ).(r

dr)ζ2

= −1

de donde:

ζ2 :r(1− senθ )

cosθ

dr= 1

resolvemos esta ecuación

ζ2 : r(1− senθ )dθ = cosθ dr

2

−2

2−2

ζ2

ζ1

separando variables

ζ2 :(1− senθ )

cosθdθ =

1r

dr

integrando

ζ2 :∫

(1− senθ )

cosθdθ =

1r

dr

ζ2 : ln(sec θ + tan θ )+ ln(cosθ ) = lnr + c

ζ2 : ln(1 + senθ ) = lnr + c

de donde

ζ2 : r = c2(1 + senθ )

es la familia de curvas ortogonales a ζ1 : r = c1(1− senθ ).

2.1.2. Problemas propuestos

En los ejercicios del 01−20 obtenga las trayectorias ortogonales a la familia de curvas dadas.

1. y = c1x2 Rpta: 2y2 + x2 = c2

2. y = ln(ax); a > 0 Rpta: y = − 12 x2 + c2

3. y2 = c1x3 Rpta: 2x2 +3y2 = c2

4. xy = c1 Rpta: x2 − y2 = c2

Ecuaciones diferenciales Rendón y García

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2.2. CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO 26

5. y = c1e−x Rpta: 12 y2 = x+ c2

6. y = c1x3 Rpta: x2 +3y2 = c2

7. c1x2 + y2 = 1 Rpta: x2 + y2 −2 lny = c2

8. y = x−1 + c1e−x Rpta: x = y−1 + c2e−y

9. x2 + y2 = c1x3 Rpta: x2y+ y3 = c2

10. x =y2

4+

c1

y2 Rpta: y2 = 2x−1 + c2e−2x

11. 3xy2 = 2 +3c1x Rpta: lny = x3 + c2

12. cosy = c1e−x Rpta: seny = c2e−x

13. y =c1x

1 + xRpta: 3x2 +3y2 + x3 = c2

14. 4y+ x2 +1 + c1e2y = 0 Rpta: y =14− 1

6x2 +

c

x4

15. r = 2c1 cosθ Rpta: r = c2senθ

16. r2 = c1sen(2θ ) Rpta: r2 = c2 cos(2θ )

17. r = c1 sec θ Rpta: r = c2 coscθ

18. r = c1eθ Rpta: r = c2e−θ

19. Encuentre una curva que pertenece a la familia de trayectorias ortogonales de la familia de curvas

x+ y = c1ey que pasa por el punto (0,5) Rpta: y = 2− x+3e−x

20. Halle la familia de trayectorias ortogonales a la familia de circunferencias que son tangentes al eje y en

el origen Rpta: x2 + y2 = c1y

2.2. Crecimiento y decaimiento

Existen en el mundo físico, en biología, medicina, demografía, economía, etc. cantidades cuya rapidez de

crecimiento o descomposición varía en forma proporcional a la cantidad presente, es decir,

dx

dt= kx, con x(t0) = x0

o sea que es una ecuación diferencial lineal de primer orden de variables separables en x cuya solución es:

x(t) = c1ekt

como x(t0) = x0 tenemos la solución particular x(t) = x0ek(t−t0).

Si t0 = 0, la solución es x(t) = x0ekt .

Ejemplo 2.2.1 Si en un análisis de una botella de yogurt probiotico, un día después de haber sido embotel-

ladas se encuentran 500 microorganismos (bacterias) y al segundo día se encuentran 8000 microorganismos.

¿Cuál es el número de microorganismos en el momento de embotellar el yogurt ?

Ecuaciones diferenciales Rendón y García

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2.2. CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO 27

Solución. Dedx

dt= kx =⇒ x = c1ekt ,

siendo c1 es el número de organismos al momento de embotellar el

yogurt, es decir se tiene la condición inicial x(0) = c1.

Si t = 1 =⇒ 500 = c1ek(1) = c1ek , así tenemos que 500 = c1ek

Si t = 2 =⇒ 8000 = c1ek(2) = c1e2k , tenemos 8000 = c1e2k

De la última expresión

8000 = c1e2k = c1ekek

8000 = 500ek

de donde ek = 8000/500 = 16 y reemplazando en 500 = c1ek ⇒ 500 =

c116. Luego c1 = 500/16 = 31,25.Así al inicio habían 31 organismos

en el yogurt.

Ejemplo 2.2.2 La población de una comunidad crece con una tasa proporcional a la población presente

en cualquier instante. Su población inicial es 500 y aumenta el 15 % en 10 años ¿Cuál será la población

pasados 30 años?.

Solución

Denotemos por A(t) la población en cualquier instante, con A(0) = 500 y A(10) = 575

t: el tiempo medido en años

k: la constante de crecimiento,

Cálculo de A(t)

dA

dt= kA

separando las variables e integrando ln(A) = kt +C

despejando A(t) = cekt

usamos el dato A(0) = 500

del cual obtenemos que C = 500,

Así A(t) = 500ekt.

Cálculo de k

con A(10) = 575

575 = 500ek(10),

de la cual se obtiene k = 0,0139761

Asi nuestro modelo es: A(t) = 500e(0,0139761)t .

Predicción: para t=30 años

A(t) = 500e(0,0139761)(30) = 760 habitantes

2468

10

−2 2−2

500

10

Ejemplo 2.2.3 Por experiencia se sabe que en una cierta población la rapidez de nacimientos y la rapidez

de muertes es proporcional al número de individuos que instantáneamente estén vivos en un momento dado.

Encuentre el modelo matemático del comportamiento del crecimiento de esta población.

Solución. Sea y el número de individuos de la población.

Ecuaciones diferenciales Rendón y García

Page 8: EDO Capitulo02

2.2. CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO 28

LlamemosdN

dta la rapidez de nacimientos.

LlamemosdM

dta la rapidez de muertes. Entonces:

dy

dt= (rapidez de nacimientos)-(rapidez de muertes)

dy

dt=

dN

dt− dM

dt

dy

dt= KNy−KMy

dy

y= (KN −KM)dt

lny = (KN −KM)t +C

Luego el modelo matemático del comportamiento del crecimiento de

esta población es

y = Ce(KN−KM )t.

2.2.1. Desintegración radioactiva

Entre 1900 y 1902, Rutherford y Soddy (posteriormente galardonados ambos con el premio Nobel de Quími-

ca), estudiaron la desintegración de la materia por emisión de radiactividad. Aunque existían algunos exper-

imentos previos, los resultados que obtuvieron fueron realmente revolucionarios, pues se rompía definitiva-

mente la idea de indestructibilidad de la materia.

Sea Q la cantidad de material radiactivo que se descompone con el transcurso del tiempo, el problema de

valor inicial que rige dicha descomposición se define como:

dQ

dt= −kQ; con Q(t0) = Q0

Donde k recibe el nombre de constante de desintegración radiactiva (obviamente k es positiva).

y Qo es la cantidad inicial de material radiactivo.

Cuya solución es Q(t) = Q0e−k(t−t0).

Es habitual definir en este tipo de modelos la vida media, o

“semi-vida"(a veces denotada por τ, y otras por Qt/2) de

una sustancia radiactiva como el tiempo necesario para que una

sustancia se desintegre hasta la mitad de su masa inicial Qo.

τ =1k

ln2

0,5Qo

Q0

τ

. OBSERVACIÓN:

La vida media no depende de la cantidad inicial del material. Un gramo de plutonio y una tonelada del

mismo se reducen a su mitad en el mismo tiempo.

Q(t) representa la cantidad de material radiactivo que va quedando al transcurrir el tiempo.

Ejemplo 2.2.4 Un reactor transforma el uranio 238, que es relativamente estable, en el isótopo plutonio

239. Después de 15 años se determina que 0.043 % de la cantidad inicial Ao de plutonio se ha desintegrado.

Determine la semivida del isótopo si la rapidez de desintegración es proporcional a la cantidad restante.

Ecuaciones diferenciales Rendón y García

Page 9: EDO Capitulo02

2.2. CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO 29

Solución

- Sea A(t) : La cantidad de plutonio que queda en un instante cualquiera,

- sea t: el tiempo medido en años.

- sea Ao la cantidad inicial de plutonio.

Consideremos el PVIdA

dt= −kA, sujeto a A(0) = Ao.

resolvemos el PVI separando las variables , integrando y aplicando la condición, obteniendo:

A(t) = Aoe−kt (2.2)

Cálculo de k:

Si después de 15 años se ha desintegrado el 0,043Ao lo que queda es 0,99957Ao

esto es A(15) = 0,99957Ao

con este dato calculamos k: Sustituyendo en la ecuación (2.2)

tenemos 0,99957Ao = Aoe−15k

de donde −k =ln(0,99957)

15 , k = 0,00002867

El modelo matemático es:

A(t) = Aoe−0,00002867t (2.3)

Cálculo de la semivida:

La semivida es el tiempo τ que le tomará al plutonio en desintegrar la mitad de la cantidad inicial.

Esto es A(τ) =Ao

2sustituyendo en la ecuación (2.3)

Ao

2= Aoe−0,00002867τ

12

= e−0,00002867τ

τ =ln(2)

0,00002867= 24,18 años.

Ejemplo 2.2.5 Se ha encontrado que un hueso fosilizado contiene 11000 de la cantidad original de C14. De-

terminar la edad del fósil, sabiendo que el tiempo de vida medio del C14 es de 5600 años.

Solución. De dQdt

= −kQ , tenemos Q = c1e−kt . Considerando t = 0 =⇒ Q(0) = Q0 = c1

Asi Q(t) = Q0e−kt . Se sabe que el tiempo de vida medio del C14 es de 5600 años

Q0

2= Q0e−k(5600)

resolviendo encontramos k = 1,237762822x10−4, luego tenemos

Q(t) = Q0e−1,237762822x10−4 t

Ahora hallemos el tiempo, sabiendo que el hueso fosilizado encontrado contiene1

1000 Q0 de C14 :1

1000Q0 = Q0e−1,237762822x10−4 t

de donde t ≈ 55808,39199 años.

2.2.2. Ley de enfriamiento de Newton

Si se tiene un cuerpo a una temperatura T , y se le sumerge en un medio ambiente de temperatura To (To no

varía apreciablemente con el tiempo), el enfriamiento de este cuerpo se comporta de acuerdo a la ecuación

diferencial:dT

dt= k(T −To)

en donde k es una constante de proporcionalidad.

Ecuaciones diferenciales Rendón y García

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2.2. CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO 30

Ejemplo 2.2.6 Un aislante de cerámica se cuece a 400C y se emfria en una habitación a una temperatura

de 25C . Después de 4 minutos la temperatura del aislante está a 200C . ¿Cuál será su temperatura

después de 8 minutos?

Solución.

- Sea T medida en (C) la temperatura marcada por el termómetro,

- sea el tiempo "t"medido en minutos.

Tenemos T = 400 cuando t = 0, y To = 25C.

De acuerdo con la ecuación de la ley de enfriamiento de Newton

dT

dt= k(T −25)

resolviendo, tendremos T (t) = 25 +C1ekt

Cálculo de C1

Asi que bajo las condiciones dadas: con T (0) = 400

400 = 25 +C1ek(0)

tenemos que C1 = 375Cálculo de k

Luego tendremos T = 25 + 375ekt, y considerando t = 4

min, T = 200C

400 = 20 +375ek(4)

de donde k = 14 ln 15

7

Así tendremos la ecuación del enfriamiento

T (t) = 25 +375e2ln(15/7)

Cálculo de T cuando t = 8 min

T (8) = 25 +375( 7

15

)2= 107

así la temperatura del aislante después de 8 minutos es 107C.

400T

τ

107o

To = 25o

8

Ejemplo 2.2.7 Al sacar un pastel del horno, su temperatura es de 300oF. Tres minutos después, su temper-

atura es de 200oF. ¿Cuánto demorará en enfriarse hasta un temperatura ambiente de 70oF.

Solución.

- Sea T medida en (F) la temperatura,

- sea el tiempo "t"medido en minutos.

Nos indican que cuando t = 0; T = 300oF , y cuando t = 3 min, T = 200F .

De acuerdo con la ecuación de la ley de enfriamiento de Newton

dT

dt= k(T −70)

resolviendo por separación de variables, tendremos

T (t) = 70 +C2ekt

Cálculo de C2

Asi que bajo las condiciones dadas: con T (0) = 300

300 = 70 +C2ek(0)

Ecuaciones diferenciales Rendón y García

Page 11: EDO Capitulo02

2.2. CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO 31

tenemos que C2 = 230Cálculo de k

Luego tendremos T = 70 +230ekt,

y considerando t = 3 min, T = 200F

200 = 70 +230ek(3)

de donde k = −0,19018

Así tendremos la ecuación del enfriamiento

T (t) = 70 +230e−0,19018t

¿Cuánto se demorará en alcanzar la temperatura ambiente?

T (t) = 70 +230e−0,19018t = 70, ⇒ e−0,19018t = 0 ⇒ para t = +∞

así, nuestro modelo falla. Pero si construimos una pequeña tabla vere-

mos que al cabo de media hora aproximadamente la temperatura de la

torta es de 70oF .

300

T

30

To = 70o

Ejemplo 2.2.8 Un termómetro marca la temperatura de un sistema igual a 80C, se mide también la tem-

peratura del medio la cual es de 20C. El sistema se empieza a enfriar y tres minutos después se encuentra

que el termómetro marca 75C se desea predecir la lectura del termómetro a los 14 minutos.

Solución.

- Sea T medida en (C) la temperatura marcada por el termómetro,

- sea el tiempo "t"medido en minutos.

Nos indican que cuando t = 0; T = 80oC, y cuando t = 3 min, T = 75C.

De acuerdo con la ecuación de la ley de enfriamiento de Newton

dT

dt= k(T −20)

resolviendo, tendremos T (t) = 20 + c1ekt

Asi que bajo las condiciones dadas: con T (0) = 80

80 = 20 + c1ek(0)

tenemos que c1 = 60Luego tendremos T = 20 +60ekt, y considerando t = 3 min.,T =

75C

75 = 20 +60ek(3)

de donde k = −0,029000379233

Así tendremos la ecuación del enfriamiento

T = 20 +60e−0,029000379233t

Cálculo de T cuando t = 14 min

T (14) = 20 +60e−0,029000379233(14) = 59,978,

así a los 14 minutos el termómetro marcará 600C.

80o

T

t

60o

To = 20o

14

2.2.3. Ley de absorción de Lambert

Esta ley dice que la tasa de absorción de luz con respecto a una profundidad x de un material translúcido (que

deja pasar la luz, pero que no deja ver nítidamente los objetos) es proporcional a la intensidad de la luz a una

Ecuaciones diferenciales Rendón y García

Page 12: EDO Capitulo02

2.3. CIRCUITOS ELÉCTRICOS 32

profundidad x; es decir, si I es la intensidad de la luz a una profundidad x, entonces

dI

dx= −kI

donde k es la constante de proporcionalidad.

Ejemplo 2.2.9 En agua limpia la intensidad I a 3 pies bajo la superficie es de un 25 % de la intensidad I0

en la superficie. ¿Cuál es la intensidad del rayo a 15 pies bajo la superficie?.

Solución. Tenemos que la solución de dIdx

= −kI es

I = I0e−kx

donde I(0) = I0 es la intensidad en la superficie. Cuando x = 3, la intensidad es I = 0,25I0, de donde

0,25I0 = I0e−k(3)

resolviendo la ecuación k ≈ 0,4621 , entonces

I = I0e−0,4621x

Finalmente para x = 15 se tiene I(15) = I0e−0,4621(15) = I0e−6,9315 ≈ 9,7653x10−4I0.

2.3. Circuitos eléctricos

2.3.1. Circuito eléctrico L−R en serie:

De acuerdo a la segunda ley de Kirchoff, si se tiene un circuito en serie que

contiene sólo una resistencia y una inductancia, la suma de las caídas de voltaje

a través de la inductor (L didt

) y de la resistencia (iR) es igual a la tensión (E(t))

aplicada al circuito.

La EDO lineal asociada a este circuito es:

Ldi

dt+ iR = E(t)

2.3.2. Circuito eléctrico R−C en serie:De acuerdo a la segunda ley de Kirchoff, si se tiene un circuito en serie que

contiene sólo una resistencia y un capacitor, la suma de las caídas de voltaje a

través de la capacitor ( q(t)C

) y de la resistencia (iR) es igual a la tensión (E(t))

aplicada al circuito.

A q(t) se le llama carga.

La EDO lineal asociada a este circuito es:

q(t)

C+Ri = E(t)

pero, como la corriente i y la carga q están relacionadas por i = dqdt

tenemos:

Rdq

dt+

1C

q = E(t).

La corriente i(t) se llama, también, respuesta del sistema.

Ejemplo 2.3.1 Una batería de 12 voltios se conecta a un circuito L−R en serie con L = 1/2 H y la resisten-

cia de 10Ω . Determine la intensidad de la corriente i(t) si la intensidad inicial es cero.

Ecuaciones diferenciales Rendón y García

Page 13: EDO Capitulo02

2.3. CIRCUITOS ELÉCTRICOS 33

Solución

Consideremos el PVI Ldi

dt+ iR = E(t) con i(0) = 0.

reemplazando los datos 0,5di

dt+10i = 12

de donde tenemos la ecuación lineal

di

dt+20i = 24

resolviendo tenemos el modelo matemático: i(t) = 65 + c1e−20t

Cálculo de c1

como i(0) = 0 sustituyendo en la última ecuación tenemos c1 = −1,2.

Modelo matemático

i(t) =65−1,2e−20t .

t

i(t)

6/5

Puesto que

lımt→+∞

i(t) = lımt→+∞

65−1,2e−20t =

65

al término 65 se le denomina término permanente, y a la expresión −1,2e−20t término transitorio, pues

tiende a desaparecer cuando transcurre mucho tiempo.

Ejemplo 2.3.2 Resuelva el PVI Ldi

dt+ iR = E(t) suponiendo que E(t) = Eosen(wt) con i(0) = io.

Resolvemos

Ldi

dt+ iR = Eosen(wt)

di

dt+

R

Li =

Eo

Lsen(wt)

el factor integrante es e∫ R

L dt = eRL t

eRL t di

dt+ e

RL t R

Li =

Eo

Lsen(wt)e

RL t

d

dt

[

eRL t .i

]

=Eo

Lsen(wt)e

RL t

integrando eRL t .i = e

RL t .i

[

R.Eosen(tw)

L2w2 +R2 − LwEocos(wt)

L2w2 + r2

]

+C

La respuesta del sistema es

i(t) =REo

L2w2 +R2 (sen(wt)−LwEocos(wt))+Ce−RL t

con i(0) = i0 tenemos

i(0) =REo

L2w2 +R2 (−LwEo))+C = io

de donde C = io +RE2

o Lw

L2w2 +R2

La respuesta del sistema es

i(t) =REo

L2w2 +R2 (sen(wt)−LwEocos(wt))+

(

io +RE2

o Lw

L2w2 +R2

)

e−RL t

Ejemplo 2.3.3 Se aplica una fuerza electromotriz de 100 voltios a un circuito en serie RC, donde la

resistencia es de 200Ω y la capacitancia es de 10−4f. Determine la carga q(t) del capacitor, si q(0) = 0.

Halle la corriente i(t).

Ecuaciones diferenciales Rendón y García

Page 14: EDO Capitulo02

2.3. CIRCUITOS ELÉCTRICOS 34

El PVI asociado es

Rdq

dt+

q

C= E(t), con q(0) = 0

reemplazando los datos 200dq

dt+

q

10−4 = 10

tenemos una ecuación linealdq

dt+50q =

12

resolviendo q(t) =1

100+Ce−50t

Cálculo de C

como q(0) = 0 sustituyendo en la última ecuación tenemos C = −1/100

Modelo matemático

La carga en el sistema es: q(t) =1

100− 1

100e−50t

La intensidad de la corriente es: i(t) =12

e−50t .

i(t)

q(t)

Ejemplo 2.3.4 Se aplica una fuerza electromotriz de 200 v a un circuito en serie RC, en que la capacitancia

es de 5x10−6 f y la resistencia es de 1000Ω. Determine la carga q(t) del capacitor , si i(0) = 0,4amp.

Halle la carga cuando t → ∞.

Solución

Consideremos la ecuacióndq

dt+

q

RC=

E

R

sustituyendo los datosdq

dt+

q

5x10−3 =15

el factor integrante es e∫ 1

5x10−3 dt= e200t

multiplicamos la integral por el factor integrante e200t dq

dt+ e200t q

5x10−3 =15

e200t

la solución de la EDO lineal es q(t) =1

100+Ce−200t

Ejemplo 2.3.5 Se aplica una fuerza electromotriz E(t) =

120, 0 ≤ t ≤ 20

0, t > 20a un circuito en serie LR,

en que la inductancia es de 20 h y la resistencia es de 2 Ω. Determine la corriente, i(t), si i(0) = 0.

Solución

a) Primero, calcularemos i1(t) para 0 ≤ t ≤ 20

Consideremos el PVI L didt

+Ri = E(t), con i(0) = 0

Sustituyendo los valores de L,R y E 20di

dt+2i = 120

reescribimosdi

dt+

110

i = 6

el factor integrante es e∫

p(t)dt = e110 t

multiplicando la edo por el factor integrante e110 t di

dt+ e

110 t 1

10i = 6e

110 t

integrando i1(t) = 60 +C1e−110 t .

Cálculo de C1

Con i(0) = 0 reemplazando en la última ecuación tenemos C1 = −60

Asi la solución parcial es

i1(t) = 60−60e−110 t . (2.4)

Ecuaciones diferenciales Rendón y García

Page 15: EDO Capitulo02

2.4. PROBLEMA DE MEZCLAS 35

a) Segundo, calcularemos i2(t) para t > 20

Consideremos el PVI L didt

+Ri = 0,

Sustituyendo los valores de L y R 20di

dt+2i = 0

reescribimosdi

dt+

110

i = 0

separando las variables tenemosdi

i= − 1

10dt

la solución de la ecuación diferencial es i2(t) = C2e−110 t .

Cálculo de C2

de la ecuación (2.4)sabemos que i1(20) = 60−60e−1

10 20 = 60−60e−2

Por otra parte i1(20) = lımx→20+ i2(t).

Para i2(t) tenemos lımt→20+ i2(t) = lımt→20+ C2e−110 20 = C2e−2

de donde 60−60e−2 = C2e−2 despejando C2 = 60e2 −60. Asi la solución

parcial es

i2(t) =(

60e2 −60)

e−110 t . (2.5)

La solución del PVI es: i(t) =

60−60e−1

10 t , 0 ≤ t ≤ 20(

60e2 −60)

e−110 t , t > 20

i2(t)

i1(t)

2.4. Problema de mezclas

Ejemplo 2.4.1 Se disuelven inicialmente 50 libras (lb) de sal en un tanque que contiene 300 galones (gal)

de agua. Se bombea salmuera al tanque a razón de 3 galones por minuto, y luego la solución adecuadamente

mezclada se bombea se bombea fuera del tanque a razón de 3gal/min. Si la concentración de la solución que

entra es de 2lb/gal, determine la cantidad de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera. ¿Cuánta sal

hay después de 50min?,¿Cuánta después de un tiempo largo?.

Solución

- A(t) es la cantidad de sal, en cualquier instante, en el tanque.

- Sea t el tiempo,medido en minutos.

La rapidez con que cambia A(t) está dada por

dA

dt= (rapidez con que la solución entra)− (rapidez con que la solución sale)

dA

dt= R1 −R2

R1 =

(

3galmin

)

.

(

2lbgal

)

= 6

(

3lb

min

)

R2 =

(

3galmin

)

.

(

A lb300gal

)

=A

100

(

3lb

min

)

dA

dt= 6− A

100con la condición A(0) = 50

dA

dt+

A

100= 6 EDO lineal con p(x) =

1100

y f (x) = 6.

Solución de la EDO:

Ecuaciones diferenciales Rendón y García

Page 16: EDO Capitulo02

2.4. PROBLEMA DE MEZCLAS 36

e∫

p(t)dt = e∫ 1

100 dt = e1

100 t

e1

100 t dA

dt+ e

1100 t A

100= 6e

1100 t

e1

100 t .A = 600.e1

100 t +C

A = 600 +Ce−t/100

Cálculo de C:

Cuando t = 0 tenemos que A(0) = 50, de donde C = −550.

así se obtiene el modelo matemático:

A(t) = 600−550e−t/100.

¿Cuánta sal hay después de 50min?

Para t = 50 se tiene A(50) = 600−550e−50/100 = 266 lb.

¿Cuánta después de un tiempo largo?

Calculamos A cuando t → ∞, esto es:

lımt→∞

A(t) = lımt→∞

600−550e−t/100 = 600 lb.

50

600

t

A(t)

Ejemplo 2.4.2 En el ejemlo anterior.¿Qué sucede con la concentración de sal en el tanque? si la solución

adecuadamente mezclada se bombea hacia afuera a una velocidad menor de 2 gal/min.

Solución

- A(t) es la cantidad de sal, en cualquier instante, en el tanque.

- Sea t el tiempo,medido en minutos.

dA

dt= (rapidez con que la solución entra)− (rapidez con que la solución sale)

donde la solución se acumula con una rapidez de

(3−2)gal

min= (1)

gal

min

Después de t minutos hay 300 +(1)t galones de salmuera en el tanque y la rapidez con que la sal sale del

tanque es

R2 =

(

2galmin

)

.

(

A

300 +(1)t

lbgal

)

=2A

300 +(1)t

(

lbmin

)

Cálculo de la EDO:

dA

dt= R1 −R2

R1 =

(

3galmin

)

.

(

2lbgal

)

= 6

(

3lb

min

)

, permanece igual

dA

dt= 6− 2A

300 + tcon la condición A(0) = 50.

dA

dt+

2A

300 + t= 6 EDO lineal con p(x) =

2300 + t

y f (x) = 6.

Ecuaciones diferenciales Rendón y García

Page 17: EDO Capitulo02

2.4. PROBLEMA DE MEZCLAS 37

Solución de la EDO:

e∫

p(t)dt = e∫ 2

300+t dt = (300 + t)2

(300 + t)2 dA

dt+(300 + t)2 2A

300 + t= 6(300 + t)2

(300 + t)2.A = 6∫

(300 + t)2dt +C

A(t) = 2(300 + t)+C(300+ t)−2

Cálculo de C:

Cuando t = 0 tenemos que A(0) = 50, de donde

C = −4,95x10−7.

así se obtiene el modelo matemático:

A(t) = 2(300 + t)− (4,95x10−7)(300 + t)−2.

Ejemplo 2.4.3 Un tanque contiene 200 litros de un liquido en el cual se disuelven 30 gramos de sal. Una

salmuera que contiene 1 gr. de sal por litro se bombea al tanque con una intensidad de 4 litros por minuto;

la solución adecuadamente mezclada se bombea hacia afuera con la misma rapidez. Encuentre el número de

gramos A(t) de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera.

Solución

- A(t) es la cantidad de sal, en cualquier instante, en el tanque.

- Sea t el tiempo,medido en minutos.

La rapidez con que cambia A(t) está dada por

dA

dt= (rapidez con que la solución entra)− (rapidez con que la solución sale)

dA

dt= R1 −R2

R1 =

(

4lt

min

)

.(

1grlt

)

= 4( gr

min

)

R2 =

(

4lt

min

)

.

(

A gr200lt

)

=A

50

( grmin

)

dA

dt= 4− A

50con la condición A(0) = 30

dA

dt+

A

50= 4 EDO lineal con p(x) =

150

y f (x) = 4.

Ecuaciones diferenciales Rendón y García

Page 18: EDO Capitulo02

2.4. PROBLEMA DE MEZCLAS 38

Solución de la EDO:

e∫

p(t)dt = e∫ 1

50 dt = e150 t

e150 t dA

dt+ e

150 t A

50= 4e

150 t

e150 t .A = 200.e

150 t +C

A = 200 +Ce−t/50

Cálculo de C:

Cuando t = 0 tenemos que A(0) = 30, de donde C = −170.

así se obtiene el modelo matemático:

A(t) = 200−170e−t/50.

A(t)

30

Ejemplo 2.4.4 Resuelva el problema anterior suponiendo que se bombea agua pura.

Solución

- A(t) es la cantidad de sal, en cualquier instante, en el tanque.

- Sea t el tiempo,medido en minutos.

La rapidez con que cambia A(t) está dada por

dA

dt= (rapidez con que la solución entra)− (rapidez con que la solución sale)

dA

dt= R1 −R2

R1 =

(

4lt

min

)

.(

0grlt

)

= 0( gr

min

)

R2 =

(

4lt

min

)

.

(

A gr200lt

)

=A

50

( grmin

)

dA

dt= − A

50EDO lineal con la condición A(0) = 30

Solución de la EDO por separación de variables:

dA

A= −

dt

50

ln(A) = − t

50+C

A(t) = Ce−t/50

Cálculo de C:

Cuando t = 0 tenemos que A(0) = 30, de donde C = 30.

así se obtiene el modelo matemático:

A(t) = 30e−t/50.

A(t)

100 200

30

Ejemplo 2.4.5 Un tanque grande contiene 500 galones de agua pura. Una salmuera que contiene 2 lb de sal

por galón se bombea al tanque a razón de 5gal/min la solución adecuadamente mezclada se bombea hacia

afuera con la misma rapidez. Halle el número de libras de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera.

Ecuaciones diferenciales Rendón y García

Page 19: EDO Capitulo02

2.4. PROBLEMA DE MEZCLAS 39

Solución

- A(t) es la cantidad de sal, en cualquier instante, presente en la salmuera del tanque.

- Sea t el tiempo,medido en minutos.

La rapidez con que cambia A(t) está dada por

dA

dt= (rapidez con que la solución entra)− (rapidez con que la solución sale)

dA

dt= R1 −R2

R1 =

(

5galmin

)

.

(

2lbgal

)

= 10

(

lbmin

)

R2 =

(

5galmin

)

.

(

A lb500gal

)

=A

100

(

lbmin

)

asídA

dt= 10− A

100con la condición A(0) = 0

dA

dt+

A

100= 10 EDO lineal con p(x) =

1100

y f (x) = 10.

Solución de la EDO:

e∫

p(t)dt = e∫ 1

100 dt = e1

100 t

e1

100 t dA

dt+ e

1100 t A

100= 10e

1100 t

e1

100 t .A = 1000.e1

100 t +C

A = 1000 +Ce−t/100

A(t)

Cálculo de C:

Cuando t = 0 tenemos que A(0) = 0, de donde C = −1000.

así se obtiene el modelo matemático:

A(t) = 1000−1000e−t/100.

Ejemplo 2.4.6 Un tanque grande contiene 500 galones de agua pura. Una salmuera que contiene 2 lb de

sal por galón se bombea al tanque a razón de 5gal/min la solución adecuadamente mezclada se bombea

hacia afuera con un flujo de 10gal/min. Halle el número de libras de sal que hay en el tanque en un instante

cualquiera. ¿Cuándo se vacia el tanque?

Solución

- A(t) es la cantidad de sal, en cualquier instante, presente en la salmuera del tanque.

- Sea t el tiempo,medido en minutos.

La rapidez con que cambia A(t) está dada por

dA

dt= (rapidez con que la solución entra)− (rapidez con que la solución sale)

Ecuaciones diferenciales Rendón y García

Page 20: EDO Capitulo02

2.5. APLICACIONES A LA FÍSICA 40

dA

dt= R1 −R2

R1 =

(

5galmin

)

.

(

2lbgal

)

= 10

(

lbmin

)

R2 =

(

10galmin

)

.

(

A

500−5t

lbgal

)

=10A

500−5t

(

lbmin

)

asídA

dt= 10− 10A

500−5tcon la condición A(0) = 0

dA

dt+

10A

500−5t= 10 EDO lineal con p(x) =

10500−5t

y f (x) = 10.

Solución de la EDO:

e∫

p(t)dt = e∫ 10

500−5t dt = e−105 ln(500−5t) = (500−5t)−2

(500−5t)−2 dA

dt+(500−5t)−2 10A

500−5t= (500−5t)−2

(500−5t)−2.A =2

500−5t+C

A = 2(500−5t)+C(500−5t)2

Cálculo de C:

Cuando t = 0 tenemos que A(0) = 0, de donde C = −0,004.

así se obtiene el modelo matemático:

A(t) = 2(500−5t)−0,004(500−5t)2

¿Cuánto demorará el tanque en vaciarse?

lo cual es equivalente a preguntarse: ¿Cuándo se vacía el tanque?

matemáticamente buscamos A(t) = 0. Resolvemos la ecuación

(500−5t)(2−0,004(500−5t) = 0

2−2 +0,02t = 0 ∨ 500 = 5t

t = 0 ∨ t = 100min

El tanque demora en vaciarse 100 minutos.

t

A(t)

0 100

2.5. Aplicaciones a la física

La fuerza neta F sobre un cuerpo es F = mg− kv, donde m es la masa del objeto, g es la fuerza de gravedad

y kv es la fuerza debida a la resistencia del aire (k es una constante de proporcionalidad).

Además por la segunda ley de Newton, tenemos: F = mdv

dt; reemplazando en F = mg− kv

mdv

dt= mg− kv

Ejemplo 2.5.1 Un objeto que pesa 30 kg se deja caer desde una altura de 40 m, con una velocidad inicial

de 3 m/s. Supongamos que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del cuerpo. Se sabe que la

velocidad límite debe ser 40 m/s. Encuentre:

a) La expresión de la velocidad del objeto en un tiempo t

b) La expresión para la posición del cuerpo en un tiempo t y

Ecuaciones diferenciales Rendón y García

Page 21: EDO Capitulo02

2.5. APLICACIONES A LA FÍSICA 41

c) La velocidad al cabo de 8 segundos

a). Caída Libre

Denotemos con y(t) el espacio recorrido en el tiempo t por un cuerpo

que cae libremente bajo la acción de la gravedad. Entonces

y′ (t) = v(t) mide la velocidad del cuerpo

y′′ (t) = a (t) mide la aceleración del cuerpo

La ley de gravitación de Newton nos dice que

y′′ (t) = g, (2.6)

donde g denota la constante de gravitación universal. De 2.6 se deduce que

y′ (t) = gt + c, (2.7)

donde c es una constante. Si suponemos que en t = 0 la velocidad del cuerpo es conocida y denotada

por y′ (0) = v0, de 2.7 obtenemos que

y′ (t) = gt + v0. (2.8)

De 2.8 integrando con respecto a t obtenemos

y(t) =gt2

2+ v0t + c, (2.9)

donde c es una constante. Si suponemos que en t = 0 la posición del cuerpo es conocida y denotada

por y(0) = y0, de 2.9 obtenemos

y(t) =gt2

2+ v0t + y0. (2.10)

La ecuación 2.10 representa la solución al Problema de Valor Inicial

y′′ (t) = g (2.11)

y′ (0) = v0

y(0) = y0.

Si en la ecuación 2.10 suponemos que v0 = 0 y por simplicidad y0 = 0 estamos ante el caso de caída

libre y tendremos, por 2.8 y 2.10 que v =√

2gy.

b). Caída con movimiento retardado.

Si suponemos que el aire ejerce una resistencia proporcional a la veloci-

dad del cuerpo de masa m la segunda ley de Newton nos dice que

my′′ (t) = mg− ky′ (t) , k > 0. (2.12)

La ecuación (2.12) la escribimos así:

y′′ (t) = g− cy′ (t) , (2.13)

donde c = km

> 0. Puesto que v(t) = y′ (t) , (2.13) toma la forma

v′ (t) = g− cv(t) . (2.14)

Ecuaciones diferenciales Rendón y García

Page 22: EDO Capitulo02

2.5. APLICACIONES A LA FÍSICA 42

De (2.14) obtenemos que

−1c

ln(g− cv(t)) = t + c1,

para alguna constante c1, o también así

g− cv(t) = c2e−ct . (2.15)

Si suponemos que v(0) = 0 ( el cuerpo parte del reposo) (2.15) toma la forma

v(t) =g

c

(

1− e−ct)

. (2.16)

De (2.16) se deduce que lımt→∞ v(t) = gc, ésto es, la velocidad de caída tiende a estabilizarse.

d). Espejos parabólicos.Los espejos parabólicos tienen la siguiente propiedad:

un rayo de luz emitido desde su foco se refleja en la

dirección horizontal de su eje. Entonces α = β por la ley

de reflexión de la luz.

Veámoslo en la figura:

Además es claro que φ = β y θ = φ +α = 2β . Ahora,

tan θ =y

x(2.17)

tan2β =2 tanβ

1− tan2 β.

Puesto que tan β = dydx

de (2.17) obtenemos

y

x=

2 dydx

1−(

dydx

)2β

. (2.18)

De (2.18) obtenemosdy

dx=

−x±√

x2 + y2

y. (2.19)

La ecuación (2.19) la podemos escribir así:

±d(

x2 + y2)

2√

x2 + y2= dx. (2.20)

Integramos a ambos lados de (2.20) y obtenemos

±(

x2 + y2) = x+ c.

O también así:

x2 + y2 = x2 +2cx+ c2 . (2.21)

De (2.21) obtenemos que la solución y(x) de (2.19) satisface

y2 = 2cx+ c2,

lo cual nos indica la forma parabólica del espejo.

Ecuaciones diferenciales Rendón y García

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2.5. APLICACIONES A LA FÍSICA 43

2.5.1. Ejercicios propuestos

1. El uranio se descompone a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Si inicialmente hay 10

gramos y después de dos horas se ve que ha perdido el 5 % de su masa oroginal, halle la cantidad de

uranio después de 5 horas. Rpta: 8,781 gr.

2. En una reacción química, la sustancia M se transforma en otra sustancia a una velocidad proporcional

a la cantidad de M no transformada todavía. Si al inicio de la reacción había 200 gr de M y una hora

más tarde 75 gr, calcule el porcentaje de M transformada después de 2 horas. Rpta: 85,93 %

3. Sabemos que el material radioactivo se desintegra proporcionalmente a la cantidad existente en cada

momento. En una prueba realizada con 60 mg de este material, se observó que después de 3 horas,

solamente el 80 % de la masa permanecía en ese momento. Hallar:

a) ¿Qué cantidad permanece en 5 horas? Rpta: 41,365 mg

b) ¿En qué tiempo, la cantidad del material es 1/4 de la cantidad inicial? Rpta: 18,6 horas

4. Cierto material radioactivo se desintegra a una tasa proporcional a la cantidad presente. Si actualmente

se cuenta con 300 gr del material y después de 2 años se observa que el 14 % de la masa original se ha

desintegrado, halle el tiempo necesario para que se haya desintegrado un 30 % Rpta: 4,73 años

5. Se sabe que cierto material se desintegra a una razón proporcional a la cantidad presente. Si después

de una hora que el 20 % se ha desintegrado, halle la vida media del material. Rpta: 3,11 horas

6. En un cultivo de levadura la rapidez de cambio es proporcional a la cantidad existente. Si la cantidad de

cultivo se duplica en 4 horas, ¿qué cantidad puede esperarse al cabo de 12 horas, con la misma rapidez

de crecimiento? Rpta: 8 veces más

7. Gracias a cierto estudios realizados se sabe que la mosca del mediterraneo crece en proporción al

número presente en cada momento. Después de 2 horas de observación se forman 800 familias de

moscas y después de 5 horas se forman 2000 familias. Encuentre el número de familias que había al

inicio. Rpta: 434 familias

8. La población de cierta ciudad aumenta proporcionalmente al número de habitantes que hay en un

momento dado en ella. Si después de 5 años la población se ha triplicado y después de 8 años la

población es de 45000 habitantes, halle el número de habitantes que había inicialmente en la ciudad.

Rpta: 7760 habitantes

9. La tasa de crecimiento de una población es proporcional al número de sus habitantes. Si después de 18

años la población se ha duplicado y después de 25 años la población es de 200000 habitantes, halle:

a) El número inicial de habitantes. Rpta: 76372 habitantes

b) ¿Cuántos habitantes tendrá dentro de 100 años? Rpta: 3588954 habitantes

10. En cierto zoológico se ha observado que la cantidad de animales aumenta proporcionalmente al número

actual de dichos animales. Si después de 5 años su número se ha duplicado y después de 7 años el

número de animales es 576, halle el número de animales con que contaba el día de la inauguración del

jardín zoológico. Rpta: 218

11. Según la ley de enfriamiento de Newton, la velocidad a que se enfría una sustancia al aire libre es

proporcional a la diferencia de temperaturas de la sustancia y del aire. Si la temperatura del aire es 28o

y la sustancia se enfria de 100o a 80o en 12 minutos. ¿En que momento estará a una temperatura de

50o? Rpta: 43,72 minutos

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2.5. APLICACIONES A LA FÍSICA 44

12. La corriente sanguínea lleva un medicamento hacia el interior de un órgano a razón de 3cm3/seg y sale

de él a la misma velocidad. Se sabe que el volumen del órgano es de 125 cm3 y la concentración del

medicamento que entra es de 0,2gr/cm3. ¿Cuál es la concentración del medicamento en el órgano si

inicialmente no había vestigio alguno del medicamento?¿Cuándo la concentración será de 0,1gr/cm3?

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