Ecuaciones en derivadas parciales de Segundo Orden con dos variables

Ecuaciones en derivadas parciales de Segundo Orden con dos variables

Forma general

La naturaleza o tipo de una EDP puede ser

Hiperblica

Parablica

Elptica si

Muchas veces es necesario un cambio de coordenadas para simplificar la parte principal.

Si la EDP tiene coeficientes constantes en su parte principal, es posible reducirla a una forma cannica mediante un cambio lineal de las variables independientes.

Supongamos las nuevas coordenadas y ; expresemos ahora la EDP en funcin de ellas

de similar forma

Remplazando en la ecuacin principal y agrupndolos obtenemos:

sea:

y la parte principal se reduce a:

Si A = C = 0

A cualquiera de estas dos ecuaciones se les llama ecuacin caracterstica y nos sirve para hallar las curvas caractersticas de la EDP. (Si elegimos , sera inversa de la pendiente; si elegimos, sera la inversa de la pendiente )

Ejercicios

Determine la naturaleza de cada EDP

1)

2)

3)

4)

5)

Soluciones:

1) a = 3 b = 2 c = -1 Hiperblica

2) a = 1 b = -1 c = 1 Parablica

3) a = 4 b =0 c = 1 Elptica

4) a = 1 b = 2 c = 4 Parablica

5) a = 2 b = 0 c = 1 Elptica

Aplicacin del cambio de coordenada de la pagina 1

Practiquemos con la ecuacin de Euler

( I )

Hagamos el siguiente cambio p, q, r, s arbitrarios

luego al remplazar en ( I )

sea A = C = 0

hagamos p = 1, r =1

hallemos las races de q mediante la frmula cuadrtica

remplazando en el trmino central C ( las races de q y s son las mismas)

Supongamos que ( podra ser negativo o positivo ), entonces

Hallemos la forma o solucin general de u

luego

Caso I

Apliquemos los resultados hubiramos obtenido ,como es el caso de la ecuacin de ondas

hallemos las races

Caso II

Apliquemos los resultados hubiramos obtenido , tal es el caso de la Ecuacin de Laplace

Veamos de una vez la Ecuacin de Laplace

Otro ejemplo mas

Recordemos

Las races sirven para hallar la familia de curvas caractersticas o simplemente caractersticas de una ecuacin diferencial

La familia de caractersticas pueden ser usadas para definir un cambio de variables para transformar una ecuacin diferencial a una forma estndar ( cannica )

Ejemplo

donde elegiremos a = 9, b = 5, c = 1, ( tomando como inicio y no aunque pudo haberse tomado lo inverso )

La inversa de esta transformacin es

luego

Definimos as la nueva funcin

utilizando el cambio de variable tenemos

luego al sustituir obtenemos:

forma cannica

_1205002324.unknown

_1205005694.unknown

_1205009771.unknown

_1205037462.unknown

_1205038877.unknown

_1205039364.unknown

_1205039983.unknown

_1205039991.unknown

_1205039654.unknown

_1205039061.unknown

_1205039177.unknown

_1205038983.unknown

_1205038344.unknown

_1205038746.unknown

_1205037772.unknown

_1205037851.unknown

_1205037618.unknown

_1205036883.unknown

_1205036919.unknown

_1205037357.unknown

_1205036918.unknown

_1205036628.unknown

_1205036793.unknown

_1205036595.unknown

_1205007054.unknown

_1205009185.unknown

_1205009451.unknown

_1205007656.unknown

_1205006408.unknown

_1205006890.unknown

_1205006258.unknown

_1205006407.unknown

_1205002992.unknown

_1205004854.unknown

_1205005316.unknown

_1205005413.unknown

_1205005227.unknown

_1205003249.unknown

_1205003291.unknown

_1205003050.unknown

_1205002409.unknown

_1205002726.unknown

_1205002796.unknown

_1205002679.unknown

_1205002354.unknown

_1205002377.unknown

_1205002325.unknown

_1204988256.unknown

_1205001577.unknown

_1205001969.unknown

_1205001970.unknown

_1205001968.unknown

_1205001951.unknown

_1205000670.unknown

_1205000794.unknown

_1205000584.unknown

_1204985161.unknown

_1204986794.unknown

_1204986856.unknown

_1204985256.unknown

_1204984882.unknown

_1204984896.unknown

_1204984762.unknown

_1204984826.unknown