l. G. PETROVSKI

Lecciones sobre ecuaciones en

DERIVADAS PARCIALES

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. . ·-(!)"~"' INSTITUTO DEL LIBRO

La Habana, 1969

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ÍNDICE

Prólogo a la tercera .edición ................ , . . . . . . . . . IX

Del prólogo a la primera edición · ..................... .

Del prólogo a la segunda, edición .......................

CAPÍTULO I. Introducción. Clasificación de las ecuaciones ..

§ l. Definiciones. Ejemplos ..........•.... : ........ .

§ 2. Problema de Cauchy. Teorema de Kovalevskaya : .

§ 3. Generalización del problema de Cauchy. Concepto de éaracterística ....................... •'· ...... .

§ 4. · Sobre la unicidad de la s.olución del problema de Caúchy en la clase de funciones no analíticas ..... .

XI

XIII

1

1

23

45

60

§ 5,. Reducción a lá forma canónica en un punto y clasifi­caci~1! d~ la,s ..e.cuaciones de segundo orden con . una func1on mcogmta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

§ 6. Reducción a la forma canónica, en la vecindad de un punto, de una ecuación en derivadas p,arciales de se-gundo orden respecto a dos variables independientes 79

§ 7. ReduccicSn a la forma canónica de un ~isterna de ~1>ua­ciones lineales en derivadas parciales de primer orden respecto a dos variables independientes ......... , . . 92

CAPÍTULO 11. Ecuaciones hiperbólicas ... ; ........ : . . . . . 107

ÍNDICE

SECCION I

Pro?l.ema de Cauchy en la clase de funciones no anaht11;as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 -

§ 8. Planteamiento correcto del problema de Cauchy . . . . 107

, § 9. Concepto de soluciones generalizadas . . . . . . . . . . . . . 112

§ 10. Problema de Cauchy para sistemas hiperbólicos con-dos variaJ>l.es independientes .. : .............. : . . . · 118

§ ·11. Problema de Cauchy para la ecuación de ondas.· Ted-rema de la unicidad de la solución .............. ·: 132

\

§ 12. Fórmulas que dan la solución del.problema de Cauchy par4' la, ecuacjón de ondas ............ .". . . . . . . . . . 139

§ 13. ·Estudios de las fórmulas que dan la solución del pro-blema d~ ~au.chy .. : .................. : . . . . . . . . . 148

§ 14. Transf~rmación de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

§ 15. Fl,Uldamento~ ma~emátÍcos de la· teoría especial de la 1'elativicfud .. ·· ............................. : . . . . 168

§ 16. Reseña"d.~ lo~ resulfados principales de la teoría:·del problema de Cauchy y algunas ·investigaciones de las ero.aciones· hiperbólicas generales ............. : . . . 173

SECCION IÍ '. ~

Vibraciones de cuerpos finitos· . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

§ 17. Int~oducció~ ................... : ..... ·. . • . . . . . . . . 193

§ ]8. 1Jni~idad de la solu~ióri del problema míxto.... . . . . 198

~ 19. Dependencia continua eritre la solución y las condi-, ciones iniciales ........................... : . . . . . 202 . '

~ § 20. Método de Fourier para la ecuación de fa cuerda . . . 210

ÍNDICE VII

§ 21. Método general de ·Fourier ( consideracioi:ies previas) 219·

§ 22. Propiedades generales de las funciones propias y de los valores propios . : '. .... '. .......... ~ ....... : . . 225

§ 23. Fundamentación del método de Fourier .......... ' . 256

§ 24. Aplicación de la· función de Green al prpblei:na sobre· . los· valores propios y a la fondatnentaéión ·del método

de Fourier ................. :· ....... , ..... ·. . . • . 274

§ 25. Estudio de. las vibraciones de üna membrana .... ~. 291

§ 26. Resultádos complemen_tarios sobre l~s funciones pro-pias y la posibilidad de resolver el problema mixto ' para ecuaciones hiperbólicas ............... 1 • • • • • 304

CAPÍTULO 1u. Ecuaciones elípticas ........ : .... : . . . . . . . · 32{

§ 27. Introducción .. · ....... · .... ~..... . . . . . . . .... . . . . . . . 321

§ 28. Propíedad <le máximo y mínimo. y sus corolarios . .. . . 324

§ 29. Solueión del problema de Diri~let para el ~írculo . . 33.2

§ . 30. Teoremas sobre. las propi~dades principales de las funciones armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

§ 31. Demostración de la existencia de solución del pro-blema de Dirichlet ............. : ...... : ... : . . . . 356

§ 32. Problema exterior de Dirichlet

§ 33. Segundo problema de contorno ................. .

369

375

§ 34. Teoría del potencial ......................... ·. : 381

§ 35. Solución de problemas de contorno mediante poten-ciales ......................................... ·. 405

§ 36. Método de redes pa .. a la solución aproximada del problema de Dirichlet ............... : .... '. . . . . . . 430

§ 37. Reseña de algunos resultados para ecuaciones elípticas de tipo general ............. ,_. . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

. '

. VIII f N DI CE' .

cAPiTULO IV. · Ecuaeiones parabólicas ·457

§ ,38, Primer problema (;le contorno. Teorema de. máximo ·· .. yinínimo:· ..................... :·'.·············· 457

__.;,. § 39. Solución del primer problema dé contorno para ·un rectángulo, .po~ el mét()do de Fourier . . . . . . . . . . . . . 462

§ 40. :Problema dé Cauch~ ......... ·: . : ... : .. .. .. . .. . 467

§ 41. ~eseña <Je, .~studios. ulteriores de .las ecuaciones de tipo parabol~co . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

·ANEXO ............................................ § 42. Resolución 'del primer problema de .contÓrno para la

ecuación de la conducción de calor 'por el método .de. redes · .......................................... .

§ 43. Observaciones sobre el método de redes

479

479

500

... ..."• .... -\.,;

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DEL PRÓLOGO A LA PRIMERA EDICIÓN

He dictado estas conferencias varias veces para los estudiantes de matemática de la Facultad de Mecánica y Matemáticas de la Universidad Estatal de MÓscú y las he ampliado algo al preparar Ja edición.

Durante el trabajo sobre este libro me han ofrecido una gran ·ayuda K. S. Kuzmin, A. D. Myshkis, Z. Y. Shapiro, B. M. Le­vitan y M. l. Vishik. K. S. K uzmin me facilitó los apuntes dé mis clases. Especialmente considerable. ha sido la ayuda de 'Z. Y .. Shar piro, quien redactó el manuscrito y escribió totalmente los·§§ 22-25 así cpmo algunas partes de otros epígrafes. Sin esta ayuda, el libro no se hubiera editado aún. A. D. Myshkis y M. l. Vishik han leído todo él manuscrito y han. 'hecha varias observaciones importantes. Además, A: D. Myshkis escribió los -§§ 34; 35 y parte del·§ 4. B. M. Levitan ha escrito el subepígraie 3 del §' 26 . . A todos estoy profundamente agradecido.

9 de abril de 1950. J. PETROVSKI

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