Ecuaciones diferencialesEcuaciones lineales I Deﬁnicion.´ Una ecuacion diferencial de primer...

Introduccion EDOs de primer orden Ecuaciones lineales de orden superior Soluciones con series La Transformada de Laplace

Ecuaciones diferenciales

Roberto Carlos Cabrales

Dpto. de Ciencias BasicasU. del Bıo-Bıo, Chile.

[email protected]://rcabrales.wordpress.com

1er semestre de 2016.Ultima actualizacion: Miercoles 18 de Mayo de 2016.


Contenido

Introduccion

Ecuaciones de primer orden

Ecuaciones lineales de orden superior

Soluciones de ecuaciones lineales mediante series de potencia

La Transformada de Laplace


Definiciones

1. Una ecuacion diferencial ED es una ecuacion que contiene derivadas de una omas variables respecto a una o mas variables independientes.

2. Cualquier funcion φpxq, definida en un intervalo I (llamado intervalo de definicion,de existencia, validez, o dominio de la solucion) y que tiene al menos n derivadascontinuas en I, y que satisfaces la EDO se dice que es solucion de la ecuacion enel intervalo. Es decir, φ es tal que

F px , φpxq, φ1pxq, . . . , φpnqpxqq “ 0.

3. El grafico de la funcion φ se llama curva solucion de la EDO.

La forma general de expresar una EDO es

F px , y , y 1, . . . , ypnqq “ 0.

En particular, la ecuacion lineal de n-esimo orden se escribe en la forma:

anpxqdnydxn ` an´1pxq

dn´1ydxn´1 ` ¨ ¨ ¨ ` a1pxq

dydx` a0pxqy “ gpxq,


Clasificacion

Las ED se pueden clasificar segun

Tipo Pueden ser ordinarias (EDO) si la ecuacion solo contiene derivadasde una o mas variables dependientes de solamente una variableindependiente o parciales (EDP), cuando la ecuacion involucraderivadas parciales.

Orden El orden de una ED es el orden de la mayor derivada que aparece enla ecuacion. Se tienen entonces ED de primer, segundo, tercer, etcorden.

Linealidad Una EDO es lineal si la potencia que contiene la variable dependientey sus derivadas es igual a 1 y si los coeficientes que las acompananson constantes o dependen unicamente de la variable independiente.


A veces, estaremos interesados en calcular una solucion ypxq definida en algunintervalo I del siguiente problema de valor inicial

dnydxn “ f px , y , y 1, . . . , ypn´1qq,

ypx0q “ y0, y 1px0q “ y1, . . . , ypn´1qpx0q “ yn´1,

donde y0, y1, . . . , yn´1 son constantes reales conocidas. Los valores de ypxq y susprimeras n derivadas en x0 se llama condiciones iniciales.

Teorema Let R “ pa,bq ˆ pc,dq Ă R2 que contiene un punto px0, y0q en su interior. sif px , yq y Bf {By son continuas en R, entonces existe un intervaloI0 : px0 ´ h, x0 ` hq,h ą 0, contenido en ra,bs, y una unica funcion ypxq, definida en I0,que es solucion del PVI:

dydx“ f px , yq, ypx0q “ y0.

whether a solution exists and, when it does, whether it is the only solution of the prob-lem. Since we are going to consider first-orde differential equations in the next twochapters, we state here without proof a straightforward theorem that gives conditionsthat are sufficien to guarantee the existence and uniqueness of a solution of a first-ordeinitial-value problem of the form given in (2). We shall wait until Chapter 4 to addressthe question of existence and uniqueness of a second-order initial-value problem.

16 ● CHAPTER 1 INTRODUCTION TO DIFFERENTIAL EQUATIONS

xI0

R

a b

c

d

(x0, y0)

y

FIGURE 1.2.6 Rectangular region R

THEOREM 1.2.1 Existence of a Unique Solution

Let R be a rectangular region in the xy-plane defined by a! x! b, c! y! dthat contains the point (x0, y0) in its interior. If f (x, y) and "f!"y are continuouson R, then there exists some interval I0: (x0 # h, x0 $ h), h% 0, contained in[a, b], and a unique function y(x), defined on I0, that is a solution of the initial-value problem (2).

The foregoing result is one of the most popular existence and uniqueness theo-rems for first-order differential equations because the criteria of continuity of f (x, y)and "f!"y are relatively easy to check. The geometry of Theorem 1.2.1 is illustratedin Figure 1.2.6.

EXAMPLE 5 Example 4 Revisited

We saw in Example 4 that the differential equation dy!dx & xy1/2 possesses at leasttwo solutions whose graphs pass through (0, 0). Inspection of the functions

shows that they are continuous in the upper half-plane defined by y % 0. HenceTheorem 1.2.1 enables us to conclude that through any point (x0, y0), y0 % 0 in theupper half-plane there is some interval centered at x0 on which the given differentialequation has a unique solution. Thus, for example, even without solving it, we knowthat there exists some interval centered at 2 on which the initial-value problemdy!dx & xy1/2, y(2) & 1 has a unique solution.

In Example 1, Theorem 1.2.1 guarantees that there are no other solutions of theinitial-value problems y' & y, y(0) & 3 and y' & y, y(1) & #2 other than y & 3exand y & #2ex#1, respectively. This follows from the fact that f (x, y) & y and"f!"y & 1 are continuous throughout the entire xy-plane. It can be further shown thatthe interval I on which each solution is defined is #(, ().

Interval of Existence/Uniqueness Suppose y(x) represents a solution ofthe initial-value problem (2). The following three sets on the real x-axis may not bethe same: the domain of the function y(x), the interval I over which the solution y(x)is defined or exists, and the interval I0 of existence and uniqueness. Example 2 ofSection 1.1 illustrated the difference between the domain of a function and theinterval I of definition. Now suppose (x0, y0) is a point in the interior of the rectan-gular region R in Theorem 1.2.1. It turns out that the continuity of the functionf (x, y) on R by itself is sufficient to guarantee the existence of at least one solutionof dy!dx & f (x, y), y(x0) & y0, defined on some interval I. The interval I of definition for this initial-value problem is usually taken to be the largest interval contain-ing x0 over which the solution y(x) is defined and differentiable. The interval Idepends on both f (x, y) and the initial condition y(x0) & y0. See Problems 31–34 inExercises 1.2. The extra condition of continuity of the first partial derivative "f!"y

f (x, y) & xy1/2 and"f"y

&x

2y1/2

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Variables separables: Definicion y metodo de solucion

Una ecuacion diferencial de primer orden de la forma

dydx“ gpxqhpyq

se dice que es separable o de variables separables.Para resolverla, basta escribir la EDO en la forma

1hpyq

dy “ gpxqdx ,

y luego integrar, es decirż

1hpyq

dy “ż

gpxqdx .


Ecuaciones lineales I

Definicion. Una ecuacion diferencial de primer orden de la forma

a1pxqdydx` a0pxqy “ gpxq,

se llama una ecuacion lineal de primer orden. Al dividir por a1pxq obtenemos la formaestandar o normal

dydx` Ppxqy “ f pxq. (1)

Metodo de solucion. Se basa en encontrar una funcion µpxq llamada factor integrantetal que, al multiplicar el lado izquierdo de (1) por esta funcion se obtenga la derivadade un producto:

drµpxqypxqsdx

“ µpxqdydx`

dµpxqdx

y “ µpxqdydx` µpxqPpxqy .

Al comparar terminos en la segunda igualdad tenemos

dµpxqdx

“ µpxqPpxq, de donde µpxq “ expˆż

Ppxqdx˙


Ecuaciones lineales II

Al usar esta expresion de µpxq, obtenemos

dpµpxqydx

“ µpxqf pxq,

que es una EDO de variables separables. Entonces

ypxq “1

µpxq

ż

µpxqf pxqdx “1

µpxq

ż„

expˆż

Ppxqdx˙

f pxqdx ,

es la solucion general de (1).Ejemplos

1. Encontrar la solucion general de xdy ´ px6ex ` 4yqdx “ 0.

2. Resolver el problema de valor inicial y 1 ` y “ f pxq, yp0q “ 0 y donde

f pxq “

#

1, 0 ď x ď 1,0, x ą 1.


Ecuaciones exactas

Definicion. Sea f : R Ă R2 Ñ R. El diferencial de f “ f px , yq se define como

df “BfBx

dx `BfBy

dy .

Definicion. Una expresion de la forma Mpx , yqdx ` Npx , yqdy es un diferencial exactoen una region R Ă R2, si es el diferencial de alguna funcion f : R Ñ R tal que

df “ Mpx , yqdx ` Npx , yqdy .

Una ecuacion diferencial exacta es una ecuacion diferencial que se escribe en la forma

Mpx , yqdx ` Npx , yqdy “ 0

y ademas, la expresion del lado izquierdo es una diferencial exacta.

Teorema. Sean Mpx , yq y Npx , yq funciones con primeras derivadas parcialescontinuas en una region R. Una EDO es exacta si y solo si

BMBy

“BNBx

.

Metodo de solucion. Se basa en encontrar una funcion f px , yq que defina la solucionde forma implıcita en la forma f px , yq “ C, y tal que

Bf px , yqBx

“ Mpx , yq,Bf px , yqBy

“ Npx , yq.


Factor integrante

Supongamos que la ecuacion rMpx , yqdx ` rNpx , yqdy “ 0 no es exacta. Paratransformarla en una, multiplicamos por un factor integrante µ “ µpx , yq:

µ rMdx ` µrNdy “ 0,

Sean M “ µ rM y N “ µrN. Al forzar la igualdadBMBy

“BNBx

, obtenemos.

µB rMBy

`Bµ

ByrM “ µ

BrNBx`Bµ

BxrN , es decir, µ

«

B rMBy

´BrNBx

ff

“Bµ

BxrN ´

Bµ

ByrM .

Tenemos entonces que

1. SirMy ´ rNx

rNy µ dependen solo de x , entonces µpxq “ exp

«

ż

rMy ´ rNx

rNdx

ff

.

2. SirNx ´ rMy

rMy µ dependen solo de y , entonces µpyq “ exp

«

ż

rNx ´ rMy

rMdx

ff

.


Ecuaciones homogeneas

Si una funcion f es tal que f ptx , tyq “ tαf px , yq para algun α P R, se dice que f es unafuncion homogenea de grado α.Una ecuacion diferencial de la forma

Mpx , yqdx ` Npx , yqdy “ 0

se llama homogenea si las funciones M y N son homogeneas de igual grado, es decir

Mptx , tyq “ tαMpx , yq, Nptx , tyq “ tαNpx , yq.

Para resolver una ecuacion homogenea, se usa algunas de las siguientessustituciones

y “ ux , x “ vy .

En ambas situaciones, se obtiene una ecuacion de variables separables. En el primercaso, la ecuacion es

rMp1,uq ` Np1,uqusdx ` xdu “ 0,

mientras que en el segundo es

rNpv ,1q `Mpv ,1qvsdy ` ydv “ 0.


La ecuacion de Bernoulli

La ecuacion diferencialdydx` Ppxqy “ f pxqyn,

se llama ecuacion de Bernoulli. En este caso, usamos la sustitucion

upxq “ rypxqs1ń,

Por la regla de la cadena, tenemos que

dudx“ p1´ nqyń dy

dx.

Multiplicando la ecuacion diferencial por p1´ nqyń, tenemos

p1´ nqyń dydx` p1´ nqy1ńPpxq “ p1´ nqf pxq,

y se obtiene la ecuacion a una ecuacion lineal

dudx` p1´ nqPpxqupxq “ p1´ nqf pxq,


Ecuaciones con coeficientes lineales

La ecuacion diferencial de la forma

F pa1x ` b1y ` c1qdx `Gpa2x ` b2y ` c2qdy “ 0.

se puede transformar en homogenea o separable mediante un cambio de variables.Consideramos dos casos

1. Si las rectas a1x ` b1y ` c1 “ 0 y a2x ` b2y ` c2 “ 0 se cortan en un puntopα, βq, hacemos el cambio definido por

v “ x ´ α, w “ y ´ β,

y la ecuacion diferencial se convierte en homogenea.

2. Si las rectas a1x ` b1y ` c1 “ 0 y a2x ` b2y ` c2 “ 0 son paralelas (ocoinciden), hacemos el cambio definido por

z “ a1x ` b1y ,

y la ecuacion diferencial se convierte en separable.


Aplicaciones: Modelos de Mezclas

Considere la situacion ilustrada en la figura, donde se vierte una mezcla de sal y aguaen un tanque con agua (pura o mezclada) a una cierta tasa de entrada Rint y se dejasalir a una cierta tasa Rout . Si Aptq denota la cantidad de sal en el tanque en el tiempot , entonces la variacion de Aptq en el tanque se puede modelar como

dAdt“ Rint ´ Rout ,

donde Rint es el producto de la concentracion de sal que entra por la tasa de entradadel fluido.

Mixtures 7KH�PL[LQJ�RI�WZR�VDOW�VROXWLRQV�RI�GLIIHULQJ�FRQFHQWUDWLRQV�JLYHVULVH�WR�D�ILUVW�RUGHU GLIIHUHQWLDO�HTXDWLRQ�IRU�WKH�DPRXQW�RI�VDOW�FRQWDLQHG�LQ�WKH�PL[�WXUH��/HW�XV�VXSSRVH�WKDW�D�ODUJH�PL[LQJ�WDQN�LQLWLDOO\�KROGV��JDOORQV�RI�EULQH��WKDWLV��ZDWHU�LQ�ZKLFK�D�FHUWDLQ�QXPEHU�RI�SRXQGV�RI�VDOW�KDV�EHHQ�GLVVROYHG��$QRWKHUEULQH�VROXWLRQ�LV�SXPSHG�LQWR�WKH�ODUJH�WDQN�DW�D�UDWH�RI�� JDOORQV�SHU�PLQXWH��WKHFRQFHQWUDWLRQ�RI�WKH�VDOW�LQ�WKLV�LQIORZ LV��SRXQGV�SHU�JDOORQ��:KHQ�WKH�VROXWLRQ�LQWKH�WDQN�LV�ZHOO�VWLUUHG��LW�LV�SXPSHG�RXW�DW�WKH�VDPH�UDWH�DV�WKH�HQWHULQJ�VROXWLRQ��6HH)LJXUH��,I�$�W��GHQRWHV�WKH�DPRXQW�RI�VDOW��PHDVXUHG�LQ�SRXQGV��LQ�WKH�WDQN�DWWLPH�W��WKHQ�WKH�UDWH�DW�ZKLFK�$�W��FKDQJHV�LV�D�QHW�UDWH�

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1RZ��VLQFH�WKH�VROXWLRQ�LV�EHLQJ�SXPSHG�RXW�RI�WKH�WDQN�DW�WKH�VDPH�UDWH�WKDW�LW�LVSXPSHG�LQ��WKH�QXPEHU�RI�JDOORQV�RI�EULQH�LQ�WKH�WDQN�DW�WLPH�W LV�D�FRQVWDQW�� JDO�ORQV��+HQFH� WKH� FRQFHQWUDWLRQ� RI� WKH� VDOW� LQ� WKH� WDQN� DV�ZHOO� DV� LQ� WKH� RXWIORZ LVF�W� ! $�W�!��OE�JDO��VR�WKH�RXWSXW�UDWH�5RXW RI�VDOW�LV

7KH�QHW�UDWH��WKHQ�EHFRPHV

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,I�ULQ DQG�URXW GHQRWH�JHQHUDO�LQSXW�DQG�RXWSXW�UDWHV�RI�WKH�EULQH�VROXWLRQV� WKHQWKHUH�DUH�WKUHH�SRVVLELOLWLHV��ULQ ! URXW��ULQ " URXW��DQG�ULQ # URXW��,Q�WKH�DQDO\VLV�OHDG�LQJ�WR��ZH�KDYH�DVVXPHG�WKDW�ULQ ! URXW��,Q�WKH�ODWWHU�WZR�FDVHV�WKH�QXPEHU�RI�JDO�ORQV�RI�EULQH�LQ�WKH�WDQN�LV�HLWKHU�LQFUHDVLQJ��ULQ " URXW��RU�GHFUHDVLQJ��ULQ # URXW��DWWKH�QHW�UDWH�ULQ $ URXW��6HH�3UREOHPV��±��LQ�([HUFLVHV��

Draining a Tank ,Q�K\GURG\QDPLFV��7RUULFHOOL¶V�ODZ VWDWHV�WKDW�WKH�VSHHG�Y RIHIIOX[ RI�ZDWHU�WKRXJK�D�VKDUS�HGJHG�KROH�DW�WKH�ERWWRP�RI�D�WDQN�ILOOHG WR�D�GHSWK�KLV�WKH�VDPH�DV�WKH�VSHHG�WKDW�D�ERG\��LQ�WKLV�FDVH�D�GURS�RI�ZDWHU��ZRXOG�DFTXLUH�LQIDOOLQJ�IUHHO\�IURP�D�KHLJKW�K²WKDW�LV�� ZKHUH�J LV�WKH�DFFHOHUDWLRQ�GXH�WRJUDYLW\��7KLV�ODVW�H[SUHVVLRQ�FRPHV�IURP�HTXDWLQJ�WKH�NLQHWLF�HQHUJ\� ZLWK�WKHSRWHQWLDO�HQHUJ\�PJK DQG�VROYLQJ�IRU�Y� 6XSSRVH�D�WDQN�ILOOHGZLWK�ZDWHU�LV�DOORZHG�WRGUDLQ�WKURXJK�D�KROH�XQGHU�WKH�LQIOXHQFH RI�JUDYLW\��:H�ZRXOG�OLNH�WR�ILQ WKH�GHSWK�KRI�ZDWHU�UHPDLQLQJ�LQ�WKH�WDQN�DW�WLPH�W� &RQVLGHU�WKH�WDQN�VKRZQ�LQ )LJXUH��,IWKH� DUHD� RI� WKH� KROH� LV�$K �LQ� IW�� DQG� WKH� VSHHG� RI� WKH�ZDWHU� OHDYLQJ WKH� WDQN� LV

�LQ�IW�V��WKHQ�WKH�YROXPH�RI�ZDWHU�OHDYLQJ�WKH�WDQN�SHU�VHFRQG�LV��LQ�IW��V��7KXV�LI�9�W��GHQRWHV�WKH�YROXPH�RI�ZDWHU�LQ�WKH�WDQN�DW�WLPH�W��WKHQ

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$K1�JKY ! 1�JK

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RUG$GW

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5RXW�!�� OE�JDO� "��JDO�PLQ��!�� OE�PLQ�$�W�±±±±��$�W�±±±±��

FRQFHQWUDWLRQRI�VDOW

LQ�RXWIORRXWSXW�UDWHRI�EULQH

RXWSXW�UDWHRI�VDOW

FRQFHQWUDWLRQRI�VDOWLQ�LQIOR

LQSXW�UDWHRI�EULQH

LQSXW�UDWHRI�VDOW

5LQ�!��OE�JDO� "��JDO�PLQ��!��OE�PLQ��

G$GW

! "LQSXW�UDWHRI�VDOW # $ "RXWSXW�UDWHRI�VDOW # ! 5LQ $ 5RXW

24 ● CHAPTER 1 INTRODUCTION TO DIFFERENTIAL EQUATIONS

LQSXW�UDWH�RI�EULQH��JDO�PLQ

RXWSXW�UDWH�RI�EULQH��JDO�PLQ

FRQVWDQW��JDO

FIGURE 1.3.2 0L[LQJ�WDQN

K

$Z

$K

FIGURE 1.3.3 'UDLQLQJ�WDQN

'RQ¶W�FRQIXVH�WKHVH�V\PEROV�ZLWK�5LQ DQG�5RXW��ZKLFK�DUH�LQSXW�DQG�RXWSXW�UDWHV�RI�VDOW�

&RS\ULJKW��&HQJDJH�/HDUQLQJ��$OO�5LJKWV�5HVHUYHG��0D\�QRW�EH�FRSLHG��VFDQQHG��RU�GXSOLFDWHG��LQ�ZKROH�RU�LQ�SDUW��'XH�WR�HOHFWURQLF�ULJKWV��VRPH�WKLUG�SDUW\�FRQWHQW�PD\�EH�VXSSUHVVHG�IURP�WKH�H%RRN�DQG�RU�H&KDSWHU�V��(GLWRULDO�UHYLHZ�KDV�GHHPHG�WKDW�DQ\�VXSSUHVVHG�FRQWHQW�GRHV�QRW�PDWHULDOO\�DIIHFW�WKH�RYHUDOO�OHDUQLQJ�H[SHULHQFH��&HQJDJH�/HDUQLQJ�UHVHUYHV�WKH�ULJKW�WR�UHPRYH�DGGLWLRQDO�FRQWHQW�DW�DQ\�WLPH�LI�VXEVHTXHQW�ULJKWV�UHVWULFWLRQV�UHTXLUH�LW�


Aplicaciones: Modelos en dinamica de poblaciones

Los modelos de dinamica de poblaciones que consideraremos que se pueden escribiren la forma

dPdt“ Pf pPq, (2)

donde Pptq es la cantidad de individuos de cierta poblacion en el tiempo t y f es unafuncion conocida. En general, la ecuacion (2) es acompanada de una condicion inicial

Pp0q “ P0. (3)

Al tomar diferentes expresiones para f se obtienen varios modelos que son usados enla actualidad.


La ecuacion logıstica

Cuando f ppq “ a´ bP, donde a,b son constantes positivas, la ecuacion (2) se llamaecuacion logıstica y fue estudiada inicialmente por P.F. Verhulst. Si P0 ‰ a{b, lasolucion del problema de valor inicial (2)-(3) (llamada funcion logıstica) es

Pptq “aP0

bP0 ` pa´ bP0qe´at .

Notemos que si t Ñ8 entonces Pptq Ñ a{b y si t Ñ´8 entonces Pptq Ñ 0.Hay varias modificaciones de la ecuacion logıstica, entre las que tenemos

1.dPdt“ Ppa´ bPq ´ h.

2.dPdt“ Ppa´ b lnpPqq, llamada ecuacion diferencial de Gompertz, usada para

estudiar el crecimiento de poblaciones y de tumores solidos.


Aspectos teoricos I

Para una ED lineal de orden n, un problema con valores iniciales de n-esimo orden es

pPVIq

$

&

%


dn´1ydxn´1 ` ¨ ¨ ¨ ` a1pxq


ypx0q “ y0, y 1px0q “ y1, . . . , ypn´1qpx0q “ yn´1,

donde anpxq,an´1pxq, . . . ,a1pxq,a0pxq,gpxq son funciones conocidas e y0, y1, . . . , yn´1son constantes.

Existencia de solucion unica Sean anpxq,an´1pxq, . . . ,a1pxq,a0pxq,gpxq son funcionescontinuas en un intervalo I con anpxq ‰ 0 para cada x P I. Si x0 P I, entonces lasolucion ypxq del problema con valores iniciales (PVI) existe en el intervalo I y esunica.

Un problema con valores en la frontera, es cuando tenemos una ecuacion diferencialde orden 2 o mayor en la que la variable (o su derivada) se especifican en diferentespuntos (condiciones en la frontera). Por ejemplo

pPVF q

$

&

%

a2pxqd2ydx2 ` a1pxq


ypaq “ y0, ypbq “ y1,

Otras condiciones en la frontera son

1.y 1paq “ y0, ypbq “ y1, 2.ypaq “ y0, y 1pbq “ y1, 3.y 1paq “ y0, y 1pbq “ y1.


Aspectos teoricos II

Una ED lineal de n´esimo orden se dice que es homogenea si gpxq “ 0, es decir


dn´1ydxn´1 ` ¨ ¨ ¨ ` a1pxq

dydx` a0pxqy “ 0,

Principio de superposicion Sean y1, y2, . . . , yk soluciones de la ecuacion homogeneade n-esimo orden en I. Entonces

ypxq “ c1y1pxq ` c2y2pxq ` ¨ ¨ ¨ ` ck yk pxq,

con c1, c2, . . . , ck constantes, tambien es solucion.

Las siguientes nociones son importantes en la construccion de soluciones deecuaciones diferenciales.

Definicion. Se dice que un conjunto de funciones f1pxq, f2pxq, . . . , fk pxq es linealmentedependiente en un intervalo I si existen constantes c1, c2, . . . , ck no todas cero, talesque

c1f1pxq ` c2f2pxq ` ¨ ¨ ¨ ` ck fk pxq “ 0,

para toda x en I. Si el conjunto no es linealmente dependiente, se dice que eslinealmente independiente


Aspectos teoricos III

Ejemplos

1. f1pxq “ cos2pxq, f2pxq “ sen2pxq, f3pxq “ sec2pxq, f4pxq “ tan2pxq es linealmentedependiente en el intervalo p´π{2, π{2q.

2. f1pxq “ 1, f2pxq “ x , f3pxq “ x3 es linealmente independiente en, por ejemplo,p0,`8q.

Definicion. El Wronskiano de las funciones f1pxq, f2pxq, . . . , fnpxq es el determinante

W pf1, f2, . . . , fnq “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

f1 f2 ¨ ¨ ¨ fnf 11 f 12 ¨ ¨ ¨ f 1n...

......

f pn´1q1 f pn´1q

2 ¨ ¨ ¨ f pn´1qn

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Teorema (criterio para soluciones linealmente independientes). Un conjuntoy1, y2, . . . , yn de soluciones de la ecuacion diferencial lineal homogenea de n-esimooden en I, es linealmente independiente en I si y solo si W pf1, f2, . . . , fnq ‰ 0 para todax P I.

Definicion. Cualquier conjunto y1, y2, . . . , yn de n soluciones linealmenteindependientes de la ecuacion diferencial lineal homogenea de orden n en I, es unconjunto fundamental de soluciones en I.


Aspectos teoricos IV

Teorema (Existencia de un conjunto fundamental) Existe un conjunto fundamental desoluciones para la ecuacion diferencial lineal homogena de orden n en un intervalo I.

Teorema (Solucion general de la ecuacion homogenea) Sea y1, y2, . . . , yn un conjuntofundamental de soluciones de la ecuacion diferencial lineal homogena de orden n enun intervalo I. Entonces la solucion general de la ecuacion en I es

y “ c1y1pxq ` c2y2pxq ` ¨ ¨ ¨ ` cnynpxq,

donde c1, c2, . . . , cn son constantes arbitrarias.

Definicion Cualquier funcion yp libre de parametros arbitrarios que satisface la EDL nohomogenea (gpxq ‰ 0) se llama una solucion particular o integral de la ecuacion.

Teorema (Solucion general de la ecuacion no homogenea) Sea yp cualquier solucionparticular de la EDL no homogenea de orden n en I, y sea y1, y2, . . . , yn un conjuntofundamental de soluciones de la EDH asociada en I. La solucion general de laecuacion en I es

y “ c1y1pxq ` c2y2pxq ` ¨ ¨ ¨ ` cnynpxq ` yp ,

donde yc “ c1y1pxq ` c2y2pxq ` ¨ ¨ ¨ ` cnynpxq es la solucion general de la EDLH(llamada funcion complementaria) e yp es cualquier solucion particular de la EDL nohomogenea.


Aspectos teoricos VTeorema (Principio de superposici

on para ecuaciones no homogeneas)

. Sean yp1 , yp2 , . . . , ypk soluciones particulares de la ecuacion no homogenea den-esimo orden en un intervalor I correspondientes a k diferentes funcionesg1,g2, . . . ,gk . Es decir, suponga que yk es una solucion particular de la ED

anpxqypnq ` an´1pxqypn´1q ` ¨ ¨ ¨ ` a1pxqy 1 ` a0pxqy “ gi pxq,

donde i “ 1,2, . . . , k . Entonces

yppxq “ yp1 pxq ` yp2 pxq ` . . .` ypk

es una solucion paticular de

anpxqypnq ` an´1pxqypn´1q ` ¨ ¨ ¨ ` a1pxqy 1 ` a0pxqy “ g1pxq ` g2pxq ` ¨ ¨ ¨ ` gk pxq.


Metodo de Coeficientes indeterminados I

El metodo se usa para resolver la ecuacion de segundo orden

y2pxq ` ay 1pxq ` bypxq “ rpxq (4)

donde rpxq tiene una forma particular. La solucion general se busca en la forma

ypxq “ yhpxq ` yppxq, (5)

donde yhpxq es la solucion de la ecuacion homogenea y2pxq ` ay 1pxq ` bypxq “ 0 eyppxq es una solucion particular de (4).En este metodo se escoge una forma para yp que incluye coeficientes desconocidos(indeterminados) que se determina al sustituir la eleccion de yp en (4).Regla Basica Si rpxq es una de las funciones de la columna 1 de la tabla se elige lafuncion correspondiente yp de la segunda columna y se determinan sus coeficientesindeterminados sustituyendo yp y sus derivadas en (4).Ejemplo: y2 ´ y 1 ´ 2y “ 3e2x .

Termino en rpxq Eleccion de ypkeαx Ceαx

kxnpn “ 0,1, . . .q Anxn ` An´1xn´1 ` ¨ ¨ ¨ ` A1x ` A0k cospωxq, k senpωxq K cospωxq `M senpωxq

keαx cospωxq, keαx senpωxq eαx pA cospωxq ` B senpωxqq


Metodo de Coeficientes indeterminados II

Regla de modificacion Si un termino de la eleccion de yppxq resulta ser una solucionde la ecuacion homogenea asociada a (4), entonces se multiplica la eleccion de yp porx (o por x2 si esta solucion corresponde a una raız doble de la ecuacion caracterısticade la ecuacion homogenea.

Ejemplo: y2 ´ 3y 1 ` 2y “ ex .

Regla de la suma Si rpxq es una suma de las funciones listadas en la primera columnade la tabla, entonces se elige para yp la suma de las funciones de las filascorrespondientes de la segunda columna.

Ejemplo: y2 ` 4y 1 ` 4y “ 4 cospxq ` 3 senpxq.

Termino en rpxq Eleccion de ypkeαx Ceαx

kxnpn “ 0,1, . . .q Anxn ` An´1xn´1 ` ¨ ¨ ¨ ` A1x ` A0k cospωxq, k senpωxq K cospωxq `M senpωxq

keαx cospωxq, keαx senpωxq eαx pA cospωxq ` B senpωxqq


Metodo de Variacion de parametros

Como en el metodo anterior, se busca la solucion general de en la formaypxq “ yhpxq ` yppxq. La diferencia radica en que se supone que la forma de lasolucion particular es

yppxq “ upxqy1pxq ` vpxqy2pxq, (6)

donde y1pxq, y2pxq son las funciones que aparecen en la expresion de la soluciongeneral de la ecuacion homogenea asociada a (4). Derivando (6) se obtiene que

y 1p “ u1y1 ` uy 11 ` v 1y2 ` vy 12.

Al exigir que u1y1 ` v 1y2 “ 0, quedamos con y 1p “ uy 11 ` vy 12 y de esta formay2p “ u1y 11 ` uy21 ` v 1y 12 ` vy22 - Llevando estas expresiones a (4) y usando el hecho deque y1 e y2 son soluciones de la ecuacion homogenea se obtiene el siguiente sistema

u1y 11 ` v 1y 12 “ r , u1y 11 ` v 1y 12 “ 0.

cuya solucion (luego de integrar) es dada por

u “ ´ż

y2rW

dx , v “ż

y1rW

dx

donde W “ y1y 12 ´ y 11y2 es el Wronskiano.Ejemplos y2 ` 4y 1 ` 3y “ 65 cosp2xq; x2y2 ´ 2xy 1 ` 2y “ x4.


Las ecuaciones de Cauchy-Euler I

Una ecuacion lineal de la forma

anxn dnydxn ` an´1xn´1 dn´1y

dxn´1 ` ¨ ¨ ¨ ` a1xdydx` a0 “ gpxq, (7)

donde ak P R para k “ 0, . . . ,n, se llama ecuacion de Cauchy-Euler, cuya soluciongeneral es de la forma

yGpxq “ yHpxq ` yPpxq,

donde yHpxq es la solucion general de la ecuacion homogenea asociada a (7) e yPpxqes una solucion particular, que se puede calcular usando variacion de parametros.

Para ilustrar, consideremos el caso n “ 2. El calculo de yHpxq, supone que la forma delas soluciones de la ecuacion homogenea asociada a (7) son de la forma y “ xm. Alsustituir en (7) obtenemos la siguiente ecuacion auxiliar

a2m2 ` pa1 ´ a2qm` a0 “ 0.

Las dos raıces de la ecuacion anterior se clasifican de acuerdo a los siguientes casos:‚ Raıces reales diferentes,‚ Raıces reales iguales,‚ Raıces complejas y conjugadas.


Las ecuaciones de Cauchy-Euler I

Raıces reales diferentes. En este caso se tienen dos raıces m1 ‰ m2 y por lo tanto lasolucion general es

yhpxq “ C1xm1 ` C2xm2 .

Raıces reales iguales. Se obtiene una solucion dada por y1pxq “ xm1 . La segundasolucion y2pxq “ xm1 lnpxq se obtiene mediante el metodo de reduccion de orden, loque nos da como solucion general

yhpxq “ C1xm1 ` C2xm1 lnpxq.

Raıces complejas y conjugadas. En este caso, se tienen como raices m1 “ α` iβ ym2 “ α´ iβ. Entonces, por la identidad de Euler

x iβ ` xíβ “ “ eiβ lnpxq ` eíβ lnpxq

“ cospβ lnpxqq ` i senpβ lnpxqq ` cospβ lnpxqq ´ i senpβ lnpxqq

“ 2 cospβ lnpxqq,

y tambienx iβ ´ xíβ “ 2 senpβ lnpxqq.

Por lo tanto, la solucion general deseada es

yHpxq “ C1xα cospβ lnpxqq ` C2xα senpβ lnpxqq.


Repaso de series de potencias, 1

Una serie de potencias centrada en a es un serie de la forma

8ÿ

n“0

cnpx ´ aqn “ c0 ` c1px ´ aq ` c2px ´ aq2 ` c3px ´ aq3 ` ¨ ¨ ¨

donde x es la variable y cn los coeficientes. Si cn “f pnqpaq

n! la serie se llama serie deTaylor y si, ademas, a “ 0 se llama serie de McLaurin.

La expresion sn “ c0 ` c1px ´ aq ` c2px ´ aq2 ` ¨ ¨ ¨ ` c0 ` c1px ´ aq ` cnpx ´ aqn sellama la n-esima suma parcial de la serie. Una serie se dice convergente si la sucesionde sumas parciales es convergente. Si la serie no es convergente se llama divergente.

Teorema. Para una serie de potencias solo hay las siguientes posibilidades:

1. La serie converge solo cuando x “ a.

2. La serie converge para todo x .

3. Existe un numero R ą 0, llamado radio de convergencia de la serie, tal que laserie converge si |x ´ a| ă R y diverge si |x ´ a| ą R.

El intervalo de convergencia de la serie es el conjunto de todos los x donde la serieconverge. Se debe verificar si los extremos de dicho inervalo hacen parte o no delintervalo de convergencia. Dentro del intervalo de convergencia una serie esabsolutamente convergente, es decir, para todo x en el intervalo de convergencia laserie

ř8n“0 |cnpx ´ aqn| converge.


Repaso de Series de potencias, 2

La convergencia de una serie de potencia se puede estudiar usando la prueba decociente: si cn ‰ 0 para todo n y que

lımnÑ8

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

cn`1px ´ aqn`1

cnpx ´ aqn

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ |x ´ a| lımnÑ8

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

cn`1

cn

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ L.

Si L ă 1 la serie converge absolutamente, si L ą 1 la serie diverge y si L “ 1 la pruebano concluye nada.

Una serie de potencia define una funcion f pxq “ř8

n“0 cnpx ´ aqn para todo x en elintervalo de convergencia. Si R ą 0 o R “ 8 entonces f donde es diferenciable eintegrable en pa´ R,a` Rq o p´8,8q y se pueden calcular termino a termino.

Siř8

n“0 cnpx ´ aqn “ 0,R ą 0 para todo x en un intervalo abierto entonces cn “ 0para todo n.7

Una funcion f se llama analitica en un punto a si se puede representar mediante unaserie de potencias en x ´ a con un radio de convergencia positivo o infinito.


Algunas Series de potencias

Serie Radio de convergencia Intervalo de convergencia

ex “

8ÿ

n“0

1n!

xn R “ 8 p´8,8q

cospxq “8ÿ

n“0

p´1qn

p2nq!x2n R “ 8 p´8,8q

senpxq “8ÿ

n“0

p´1qn

p2n` 1q!x2n`1 R “ 8 p´8,8q

tan´1pxq “8ÿ

n“0

p´1qn

2n` 1x2n`1 R “ 1 r´1,1s

lnp1` xq “8ÿ

n“0

p´1qn`1

nxn R “ 1 p´1,1s

11´ x

“

8ÿ

n“0

xn R “ 1 p´1,1q


Soluciones alrededor de puntos ordinarios

Definicion. Un punto x0 se llama un punto ordinario de la ecuacion diferencial lineal desegunda orden homogenea a2pxqy2 ` a1pxqy 1 ` a0pxqy “ 0 si los coeficientes Ppxq yQpxq de la forma normal y2 ` Ppxqy 1 `Qpxqy “ 0 son funciones analiticas en x0. Unpunto que no es ordinario se llama punto singular de la ED.

Teorema Si x0 es un punto ordinario de la ED a2pxqy2 ` a1pxqy 1 ` a0pxqy “ 0,siempre podemos encontrar dos soluciones linealmente independientes en la forma deuna serie de potencias centrada en x0, es decir

y “8ÿ

n“0

cnpx ´ x0qn.

Una serie de potencia converge al menos en algun intervalo |x ´ x0| ă R, donde R esla distancia de x0 al punto singular mas cercano.

Definicion. Una solucion de la forma y “8ÿ

n“0

cnpx ´ x0qn se dice que es una solucion

alrededor de un punto ordinario x0. La distancia R del teorema anterior es el valormınimo o la cota inferior para el radio de convergencia.


Soluciones alrededor de puntos singulares, 1

Definicion. Un punto x0 singular de la ecuacion diferencial lineal de segunda ordenhomogenea a2pxqy2 ` a1pxqy 1 ` a0pxqy “ 0 se llama punto singular regular si lasfunciones ppxq “ px ´ x0qPpxq y qpxq “ px ´ x0q

2Qpxq son analiticas en x0. Un puntosingular que no es regular se llama punto singular irregular.

Cuando a2pxq,a1pxq,a0pxq son polinomios,x0 es punto singular regular, si el factorx ´ x0 aparece a lo mas elevado a la potencia uno en el denominador de Ppxq y a lomas elevado a la potencia dos en el denominador de Qpxq.

Teorema (de Frobenius). Si x0 es un punto singular regular de la EDa2pxqy2 ` a1pxqy 1 ` a0pxqy “ 0, entonces existe al menos una solucion de la forma

y “ px ´ x0qr8ÿ

n“0

cnpx ´ x0qn “

8ÿ

n“0

cnpx ´ x0qn`r . (8)

r es una constante a determinar. La serie converge en un intervalo 0 ă x ´ x0 ă R.


Soluciones alrededor de puntos singulares, 2

Si x0 es un punto singular regular de y2 ` Ppxqy 1 `Qpxqy “ 0, entonces la ecuacionindicial para este punto es

rpr ´ 1q ` a0r ` b0 “ 0,

donde a0 “ lımxÑx0 px ´ x0qPpxq, b0 “ lımxÑx0 px ´ x0q2Qpxq. Las raıces de la

ecuacion indicial se llaman raıces indiciales o exponentes.

Teorema. Sea x0 un punto singular regular de y2 ` Ppxqy 1 `Qpxqy “ 0 y sean r1 ě r2las raıces de la ecuacion indicial asociada.

1. Si r1 ´ r2 no es un entero, existen dos soluciones L.I. de la forma

y1pxq “8ÿ

n“0

anpx ´ x0qn`r1 ,a0 ‰ 0; y2pxq “

8ÿ

n“0

bnpx ´ x0qn`r2 ,b0 ‰ 0.

2. Si r1 “ r2, existen dos soluciones L.I. de la forma

y1pxq “8ÿ

n“0

anpx´x0qn`r1 ,a0 ‰ 0; y2pxq “ y1pxq lnpx´x0q`

8ÿ

n“1

bnpx´x0qn`r1 .

3. Si r1 ´ r2 es un entero positivo, existen dos soluciones L.I. de la forma

y1pxq “8ÿ

n“0

anpx ´ x0qn`r1 ; y2pxq “ Cy1pxq lnpx ´ x0q `

8ÿ

n“0

bnpx ´ x0qn`r1 ,

donde a0 ‰ 0, b0 ‰ 0 y C es una constante que podrıa anularse.


Definicion

Si f es una funcion definida para t ě 0, entonces la integral

Ltf ptqu “ż 8

0e´st f ptqdt (9)

es la transformada de Laplace de f siempre que la integral converja.

Algunas transformadas de Laplace

Lt1u “1s, Lttnu “

n!sn`1 ,n “ 1,2, . . . Ltcospatqu “

ss2 ` a2

Lteatu “1

s ´ a, Ltsenpatqu “

as2 ` a2 ,

Ltsenhpatqu “a

s2 ´ a2 , Ltcoshpatqu “s

s2 ´ a2 .


Transformada inversa de Laplace

Si F psq es la transformada de Laplace de una funcion f ptq, se dice que que f ptq es latransformada de Laplace inversa de F psq y se escribe f ptq “ L´1tF psqu.Usando esta definicion y la tabla de transformadas conocidas tenemos que

Algunas transformadas inversas de Laplace

L´1

"

1s

*

“ 1; L´1

"

n!sn`1

*

“ tn,n “ 1,2, . . . ; L´1

"

1s ´ a

*

“ eat ;

L´1

"

ss2 ` a2

*

“ cospatq; L´1

"

as2 ` a2

*

“ senpatq;

L´1

"

as2 ´ a2

*

“ senhpatq, L´1"

ss2 ´ a2

*

“ coshpatq.


Propiedades y primeros ejemplos

Los siguientes ejemplos ilustran el hecho de que la transformada de Laplace inversaes lineal, es decir,

L´1tαF1psq ` βF2psqu “ αL´1tF1psqu ` βL´1tF2psqu,

y tambien el uso de las fracciones parciales en su calculo.

Ejemplos Calcular las siguientes transformadas de Laplace inversas:

1. L´1"

´2s ` 6s2 ` 4

*

.

2. L´1"

s2 ` 6s ` 9ps ´ 1qps ´ 2qps ` 4q

*

.


Transformada de Laplace de la derivada

Supongamos que f 1 es continua y definida para todo t ě 0. Entonces al integrar porpartes tenemos que

Ltf 1ptqu “

ż 8

0e´st f 1ptqdt “ e´st f ptq

8

0` s

ż 8

0e´st f ptqdt

“ ´f p0q ` sLtf ptqu “ sF psq ´ f p0q.

donde se ha supuesto que e´st f ptq Ñ 0 cuando t Ñ8.

En general, tenemos que si f , f 1, . . . , f pn´1q son continuas en r0,8q y son de ordenexponencial, es decir para cada k “ 0, . . . ,n´ 1 existen constantes positivasMk , ck ,Tk tales que |f pkqptq| ď Mk eck t para todo t ą Tk , entonces

Ltf pnqptqu “ snF psq ´ sn´1f p0q ´ sn´2f 1p0q ´ ¨ ¨ ¨ ´ f pn´1qp0q,

donde F psq “ Ltfu.


Solucion de un problema de valor inicial

Para resolver un problema de valor inicial, seguimos los siguientes pasos

1. Paso 1. Si yptq representa la solucion buscada del problema de valor inicial, enprimer lugar aplicamos la transformada de Laplace a ambos lados de la EDO,considerando en el proceso las condiciones iniciales del problema.

2. Paso 2. Si Y psq “ Ltyptqu, despejamos Y psq en la ecuacion que se obtiene alrealizar el primer paso. Esta ecuacion es algebraica.

3. Paso 3. Aplicamos la transformada inversa de Laplace para calcularyptq “ L´1tY psqu, solucion del problema original.

Ejemplos Resolver los siguientes problemas de valor inicial

1. y 1 ` 3y “ 13 senp2tq, yp0q “ 6. Solucion: yptq “ 8e´3t ´ 2 cosp2tq ` 3 senp2tq.

2. y2 ´ 3y 1 ` 2y “ e´4t , yp0q “ 1, y 1p0q “ 5. Solucion:

yptq “´16

5et `

256

e2t `e´4t

30.


Teoremas de traslacion

Traslacion en el eje s Si Ltf ptqu “ F psq y a P R entonces Lteat f ptqu “ F ps ´ aq.

Ejemplos. Calcule las siguientes transformadas inversas de Laplace

L´1

"

2s ` 5ps ´ 3q2

*

; L´1

"

s{2` 5{3s2 ` 4s ` 6

*

.

Traslacion en el eje t SeaUpt ´ aq “

#

0, 0 ď t ă a,1, t ě a,

la funcion escalon unitario. Si

Ltf ptqu “ F psq y a P R entonces

Ltf pt ´ aqUpt ´ aqu “ e´asF psq,

Forma alternativa del teorema de traslacion en el eje t

LtgptqUpt ´ aqu “ e´asLtgpt ` aqu.

Ejemplos. Calcule la siguiente transformada inversa de Laplace

L´1

"

1s ´ 4

e´2s*

.

Ejemplo. Resuelva el PVI y 1 ` y “ f ptq, yp0q “ 5 donde f ptq “

#

0 0 ď t ď π,

3 cosptq, t ě π.


Propiedades adicionales

Derivadas de una transformada Si F psq “ Ltf ptqu y n “ 1,2,3, . . . entonces

Lttnf ptqu “ p´1qndn

dsn F psq.

Ejemplo Resuelva el siguiente problema de valores inicialesx2 ` 16x “ cosp4tq, xp0q “ 0, x 1p0q “ 1.

Definicion Sean f y g dos funciones continuas en r0,8q. El producto de convolucionde f y g o simplemente convolucion de f y g, es la funcion denotada por f ˚ g y que sedefine como

f ˚ g “ż t

0f pτqgpt ´ τqdτ.

Teorema de convolucion Si f y g son funciones continuas por tramos en r0,8q y deorden exponencial, entonces

Ltf ˚ gu “ Ltf ptquLtgptqu “ F psqGpsq.

Por lo tantoL´1tF psqGpsqu “ f ˚ g.


Transformada de una integral

Ejemplos Probar las siguientes igualdades

1. et ˚ senptq “ 12 p´ senptq ´ cosptq ` et q.

2. Ltet ˚ senptqu “ LtetuLtsenptqu “1

s ´ 11

s2 ` 1.

3. L"

1ps2 ` a2q2

*

“senpatq ´ at cospatq

2a3 .

Transformada de una integral

L

"ż t

0f pτqdτ

*

“F psq

s, de donde

ż t

0f pτqdτ “ L´1

"

F psqs

*

.

Ejemplo Resolver la siguiente ecuacion integral:

f ptq “ 3t2 ´ e´t ´

ż t

0f pτqet´τdτ.

Ecuaciones diferencialesEcuaciones lineales I Deﬁnicion.´ Una ecuacion diferencial de primer...

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