Modelos de Primer Orden

Universidad Nacional José Faustino

Sánchez Carrión

Facultad De Ingeniería Química, Metalurgia

Y Ambiental

Escuela Profesional De Ingeniería

Química

Ejercicios de sistemas de Modelamiento de

Primer Orden y Orden superior

ALUMNOS:

JAMANCA ANTONIO, Edgar Martin

Responsable del curso de: Control e Instrumentación de Procesos Químicos del IX ciclo. Ing. Manuel José Jiménez Escobedo

Huacho – 03 De Enero Del 2011

“Universidad Nacional José Faustino Sánchez Carrión” Facultad de Ingeniería Química Metalurgía y Ambiental

Escuela Profesional de Ingeniería Química

Control e Instrumentación de Procesos Químicos 2

Ejercicio Nº1

Caso I.

Sea:

𝐴 → 𝐵 𝑛𝑜 𝑖𝑠𝑜𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑐𝑎

Desarrollar el modelo del sistema de control, para una cinética de 1º orden.

Solución

Para resolver el Modelamiento del proceso, se realizara siguiendo las estrategias siguientes.

Esquema de proceso

V

C(t)

Fi

Fo

Ci(t)

C(t)

Restricciones

Principios en el proceso

Balance de masa.

𝑉 (𝜕𝐶𝐴

𝜕𝑡) = 𝐹𝐶𝑖(𝑡) − 𝐹𝐶(𝑡) − 𝑉𝑟′′′(𝑡)

−𝑟′′′ = 𝑘0𝐶(𝑡) → 𝑅′′′(𝑠) = 𝐾0𝐶(𝑠)

𝑆𝐶(𝑠) = (𝐹

𝑉)𝐶𝑖(𝑆) − (

𝐹

𝑉)𝐶(𝑆) − 𝑅′′′(𝑠)

(𝑆 +𝐹

𝑉)𝐶(𝑠) = (

𝐹

𝑉)𝐶𝑖(𝑠) − 𝐾0𝐶(𝑠)

(𝑆 +𝐹

𝑉+ 𝐾0) 𝐶(𝑠) =

𝐹

𝑉𝐶𝑖(𝑠)

Para este caso tomaremos que:




𝛼 = (𝐹

𝑉+ 𝐾0)

Donde se obtendría:

𝐺 =(𝐹 𝑉⁄ )

𝑠 + 𝛼

Resolviendo la transformada de la expresión anterior:

𝐶(𝑡)

𝐶𝑖(𝑡)= (

𝐹

𝑉) 𝑒−𝛼𝑡

Modelos matemáticos

Para este proceso se utilizara los siguientes métodos matemáticos.

La transformada de Laplace

Algebra de Bloques

𝐶𝑖(𝑠) 𝐶(𝑠)




Ejercicio Nº2

Esquema de proceso

Balance de masa del tanque I

𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = ∑ 𝑖𝑛 − ∑𝑜𝑢𝑡 ± 𝐺𝑒𝑛 (1)

Donde en este sistema no existe la generación por alguna reacción química:

Por lo tanto la ecuación 1 sera de la siguiente manera:

𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = ∑𝑖𝑛 − ∑𝑜𝑢𝑡 (2)

(𝜕𝑀

𝜕𝑡) = ∑ �̇�0 − ∑�̇�1 (3)

𝐴. 𝜌 (𝜕ℎ1

𝜕𝑡) = 𝜌𝑞0 − 𝜌𝑞1 (4)

De la ecuación 4, se simplifica la densidad ya que en el sistema se entiende que la densidad no

varia, por lo tanto la expresión 4 se resume en la siguiente ecuación:

(𝜕ℎ1

𝜕𝑡) =

1

𝐴(𝑞0 − 𝑞1 ) (5)

Donde, se puede expresar que: C1=A1

(𝜕ℎ1

𝜕𝑡) =

1

𝐶1

(𝑞0 − 𝑞1 ) (6)

En la válvula:

𝑅1 =ℎ1

𝑞1

(7)

Balance de masa del tanque II

𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = ∑ 𝑖𝑛 − ∑𝑜𝑢𝑡 ± 𝐺𝑒𝑛 (8)

Donde en este sistema no existe la generación por alguna reacción química:

Por lo tanto la ecuación 1 sera de la siguiente manera:

𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = ∑𝑖𝑛 − ∑𝑜𝑢𝑡 (9)

(𝜕𝑀

𝜕𝑡) = ∑ �̇�0 − ∑�̇�1 (10)

𝐶1 𝐶2

𝑞0

𝑞1

𝑞2

𝑅1 𝑅2

Tanque I

Tanque II

𝑞3




𝐴. 𝜌 (𝜕ℎ1

𝜕𝑡) = 𝜌𝑞1 + 𝜌𝑞2 − 𝜌𝑞3 (11)

De la ecuación 4, se simplifica la densidad ya que en el sistema se entiende que la densidad no

varia, por lo tanto la expresión 4 se resume en la siguiente ecuación:

(𝜕ℎ1

𝜕𝑡) =

1

𝐴(𝑞1 + 𝑞2 − 𝑞3 ) (12)

Donde, se puede expresar que: C2=A2

(𝜕ℎ1

𝜕𝑡) =

1

𝐶2

(𝑞1 + 𝑞2 − 𝑞3 ) (13)

En la válvula:

𝑅2 =ℎ1 − ℎ2

𝑞3

(14)

𝐻1(𝑠) =1

𝑆𝐶[𝑄0(𝑠) − 𝑄1(𝑠)] (15)

𝑄1(𝑠) =𝐻1(𝑠)

𝑅1

(16)

𝐻2(𝑠) =1

𝑆𝐶2

[𝑄1(𝑠) + 𝑄2(𝑠) − 𝑄3(𝑠)] (17)

𝑄3(𝑠) =𝐻1(𝑠) − 𝐻2(𝑠)

𝑅2

(18)

Diagrama de Algebra de Bloques

De la ecuación 15

Grafica 1

De la ecuación 16

Grafica 2

𝑄2(𝑠)

𝐺1 =1

𝑆𝐶1

𝐺2

𝑄1(𝑠) 𝐻1(𝑠)

𝐺2 =

1

𝑅1

𝐺1

𝑄1(𝑠)

𝐻1(𝑠)




De la ecuación 17

Grafica 3

De la ecuación 18

Grafica 4

Reagrupando la graficas 1, 2, 3 y 4

𝐺3

𝐻2(𝑠)

𝑄1(𝑠)

𝑄2(𝑠)

𝑄3(𝑠)

𝐺3 =1

𝑆𝐶2

𝐺4 𝑄3(𝑠)

𝐻1(𝑠)

𝐻2(𝑠)

𝐺4 =1

𝑅2

𝑄3(𝑠)

𝑄0(𝑠)

𝑄1(𝑠)

𝑄2(𝑠)

𝑄3(𝑠)

H1

𝐻1

𝐺2

𝐺1 𝐺2

𝐺3

𝐺4

𝐺1 𝐺2

𝐺3

𝐺4




𝐺1𝐺2

1 + 𝑄1𝐺1𝐺2

𝐺3

𝐺4

𝐻1

𝐺2

𝐺1𝐺2

1 + 𝑄1𝐺1𝐺2

𝐺3

𝐺4

1 +𝐻1

𝐺2

𝐺1𝐺2

1 + 𝑄1𝐺1𝐺2

𝐺3𝐺4𝐺2 + 𝐻2𝐺3𝐺4

𝐺2

𝐺1𝐺2

1 + 𝑄1𝐺1𝐺2

𝐺3𝐺4𝐺2 + 𝐻2𝐺3𝐺4

𝐺2 + 𝑄3𝐺3𝐺4𝐺2 + 𝑄3𝐻2𝐺3𝐺4

[𝐺1𝐺2

1 + 𝑄1𝐺1𝐺2

] [𝑄3(𝐺3𝐺4𝐺2 + 𝐻2𝐺3𝐺4)

𝐺2 + 𝑄3𝐺3𝐺4𝐺2 + 𝑄3𝐻2𝐺3𝐺4

]

𝑄3(𝑠) 𝑄0(𝑠)




Ejercicio Nº3

Considere el proceso mostrado en la figura siguiente, en el cual el tanque es esférico con un

radio de 4 pies; el flujo nominal entrada y salida del tanque es de 30 000 lbm/hr; la densidad del

liquido es de 70 lbm/pie3; y el nivel de estado estacionario es de 5 pies. El volumen de una esfera

es 4𝜋𝑟3/3, y la relación entre volumen y altura se expresa mediante:

𝑉(𝑡) = 𝑉𝑇 [ℎ2(𝑡). (3𝑟 − ℎ(𝑡))

4𝑟3]

El flujo a través de las válvulas es:

𝑤(𝑡) = 500𝐶𝑣 . 𝑣𝑝(𝑡). √𝐺𝑓. ∆𝑝

Dónde:

𝑟 = 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎, 𝑝𝑖𝑒𝑠

𝑉(𝑡) = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝐿𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒, 𝑝𝑖𝑒3

𝑉𝑇 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒, 𝑝𝑖𝑒3

ℎ(𝑡) = 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒, 𝑝𝑖𝑒𝑠

𝑤(𝑡) = 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜, 𝑙𝑏𝑚/ℎ𝑟

𝐶𝑣 = 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎, 𝑔𝑝𝑚/𝑝𝑠𝑖1/2

𝐶𝑣1 = 20.2 𝑦 𝐶𝑣2 = 28.0

∆𝑝 = 𝐶𝑎𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎, 𝑝𝑠𝑖

𝐺𝑓 = 𝐺𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜

𝑣𝑝(𝑡) = 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎, 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎

La presión sobre el nivel del líquido se mantiene al valor constante de 50 psig. Obténganse las

funciones de transferencia que relacionan el nivel del líquido en el tanque, con los cambios de

posición de las válvulas 1 y 2. También se pueden graficar las ganancias y las constantes de

tiempo contra los diferentes niveles de operación cuando se mantiene constantes la posición de

las válvulas.

Solución:

Balance de masa total:

𝜌𝑑𝑉(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑤1(𝑡) − 𝑤2(𝑡) …𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.1

Válvulas:

𝑤(𝑡) = 500𝐶𝑣1𝑣𝑝1(𝑡)√∆𝑝1

𝐺…𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.2

𝑤(𝑡) = 500𝐶𝑣2𝑣𝑝2(𝑡)√∆𝑝2

𝐺…𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.3

∆𝑝2(𝑡) = 𝑝2 +𝜌. 𝑔. ℎ(𝑡)

144. 𝑔𝑐− 𝑝3 … 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.4




Relación de Volumen:

𝑉(𝑡) = 𝑉𝑇 [ℎ2(𝑡). (3𝑟 − ℎ(𝑡))

4𝑟3]… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.5

Lineal izando las ecuaciones no lineales:

𝑤2(𝑡) ≈ �̅�2 +𝜕𝑤2(𝑡)

𝜕𝑣𝑝2(𝑡)|𝑠𝑠

(𝑣𝑝2(𝑡) − 𝑣𝑝2̅̅ ̅̅ ̅) +𝜕𝑤2(𝑡)


(∆𝑝2(𝑡) − ∆𝑝2̅̅ ̅̅ ̅)

𝜕𝑤2(𝑡)


= 500𝐶𝑣2√∆𝑝2

𝐺= 𝐶1

𝜕𝑤2(𝑡)

𝜕∆𝑝2(𝑡)|𝑠𝑠

=1

2(500)𝐶𝑣2𝑣𝑝2̅̅ ̅̅ ̅ (

1

𝐺) [

∆𝑝2̅̅ ̅̅ ̅

𝐺]

−1/2

= 𝐶2

Entonces:

𝑤2(𝑡) ≈ �̅�2 + 𝐶1(𝑣𝑝2(𝑡) − 𝑣𝑝2̅̅ ̅̅ ̅) + 𝐶2(∆𝑝2(𝑡) − ∆𝑝2̅̅ ̅̅ ̅)… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.6

𝑉(𝑡) ≈ �̅� +𝜕𝑉(𝑡)

𝜕ℎ(𝑡) |

𝑠𝑠

(ℎ(𝑡) − ℎ̅)

𝜕𝑉(𝑡)

𝜕ℎ(𝑡)|𝑠𝑠

=𝑉𝑇

4𝑟3[6𝑟ℎ̅ − 3ℎ̅2] = 𝐶3

Entonces:

𝑉(𝑡) = �̅� + 𝐶3(ℎ(𝑡) − ℎ̅) …𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.7

Tenemos 5 Ecuaciones lineales (3.1), (3.2), (3.6), (3.4), (3.7); con 5 variables desconocidas:

Ahora:

𝑉𝑝2(𝑡) = 𝑣𝑝2(𝑡) − 𝑣𝑝̅̅̅̅ 2

∆𝑃2(𝑡) = ∆𝑝2(𝑡) − ∆𝑝̅̅̅̅2

𝐻(𝑡) = ℎ(𝑡) − ℎ̅

Sustituimos las variables de desviación en la ecuación (3.6) y (3.7):

𝑤2(𝑡) ≈ �̅�2 + 𝐶1. 𝑉𝑝2(𝑡) + 𝐶2. ∆𝑃2(𝑡) … 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.8

𝑉(𝑡) = �̅� + 𝐶3𝐻(𝑡) … 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.7

De (3.2):

𝑤1(𝑡) = 𝐶4. 𝑣𝑝1(𝑡) …𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.10

Dónde:

𝐶4 = 500𝐶𝑣1√∆𝑝1

𝐺

Sustituyendo (3.8), (3.9) y (3.10) en (3.1):

𝐶4𝑣𝑝1(𝑡) − �̅�2 − 𝐶1. 𝑉𝑝2(𝑡) − 𝐶2. ∆𝑃2(𝑡) = 𝜌𝐶3

𝑑𝐻(𝑡)

𝑑𝑡… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.11

De (4):

∆𝑃2(𝑡) = (𝑃2 − 𝑃3) +𝜌𝑔ℎ(𝑡)

144𝑔𝑐

…𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.12

Linalizando:

∆𝑃2̅̅ ̅̅ ̅ = (𝑃2 − 𝑃3) +

𝜌𝑔ℎ̅

144𝑔𝑐

… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.13

Sustituyendo (3.13) de (3.12) y usando la definición ∆𝑃2(𝑡)𝑦 𝐻(𝑡):

∆𝑃2(𝑡) =𝜌𝑔

144𝑔𝑐

𝐻(𝑡)… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.14




Sustituyendo (3.14) en (3.11):

𝐶4𝑣𝑝1(𝑡) − �̅�2 − 𝐶1. 𝑉𝑝2(𝑡) − 𝐶2.𝜌𝑔

144𝑔𝑐

𝐻(𝑡) = 𝜌𝐶3

𝑑𝐻(𝑡)

𝑑𝑡…𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.15

El balance de masa en estado estacionario:

�̅�1 − �̅�2 = 0

O

𝐶4𝑣𝑝1 − �̅�2 = 0… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.16

Sustituyendo (3.16) de (3.15):

𝐶4𝑣𝑝1(𝑡) − 𝐶1. 𝑉𝑃2(𝑡) − 𝐶2.𝜌𝑔

144𝑔𝑐

𝐻(𝑡) = 𝜌𝐶3

𝑑𝐻(𝑡)

𝑑𝑡

Dónde:

𝑉𝑃1(𝑡) = 𝑣𝑝2(𝑡) − 𝑣𝑝̅̅̅̅ 1

𝜏𝑑𝐻(𝑡)

𝑑𝑡+ 𝐻(𝑡) = 𝐾1𝑉𝑃1(𝑡) − 𝐾2𝑉𝑃2(𝑡)

Dónde:

𝜏 =𝐶3(144)𝑔𝑐

𝐶2𝑔

𝐾1 = 144. 𝑔𝑐 . 𝐶4

𝐶2. 𝜌. 𝑔

𝐾1 = 144. 𝑔𝑐 . 𝐶1

𝐶2. 𝜌. 𝑔

Y:

𝐻(𝑠)

𝑉𝑃1(𝑠)=

𝐾1

𝜏𝑆 + 1… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.17

𝐻(𝑠)

𝑉𝑃2(𝑠)=

𝐾2

𝜏𝑆 + 1…𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.18

Con:

𝜏 = 6.915ℎ; 𝐾1 = 77.43 𝑝𝑖𝑒;𝐾2 = −75.54 𝑝𝑖𝑒

Aplicando la función de forzamiento rampa a la señal de entrada del sistema a las ecuaciones (3.17):

𝐻(𝑠) =𝐾1𝑉𝑃1(𝑠)

𝜏𝑆 + 1

𝐻(𝑠) = (1

𝑆2)

𝐾1

(𝜏𝑆 + 1)

Descomponiendo por fracciones parciales tenemos:

𝐻(𝑠) = 𝐾1 [𝜏2

𝜏𝑆 + 1−

𝜏

𝑆+

1

𝑆2]

Aplicando la transformada de inversa de Laplace:

ℎ(𝑡) = ℒ−1{𝐻(𝑠)} = 𝐾1 [ℒ−1 {𝜏2

𝜏𝑆 + 1} − ℒ−1 {

𝜏

𝑆} + ℒ−1 {

1

𝑆2}]

Obtenemos:

ℎ(𝑡) = 𝐾1 [𝑡 − 𝜏 + 𝜏. 𝑒−(𝑡𝜏)]… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.19




Aplicando la función de forzamiento rampa a la señal de entrada del sistema a las ecuaciones (3.18):

𝐻(𝑠) =𝐾1𝑉𝑃2(𝑠)

𝜏𝑆 + 1

𝐻(𝑠) = (1

𝑆2)

𝐾2

(𝜏𝑆 + 1)

Descomponiendo por fracciones parciales tenemos:

𝐻(𝑠) = 𝐾2 [𝜏2

𝜏𝑆 + 1−

𝜏

𝑆+

1

𝑆2]

Aplicando la transformada de inversa de Laplace:

ℎ(𝑡) = ℒ−1{𝐻(𝑠)} = 𝐾2 [ℒ−1 {𝜏2

𝜏𝑆 + 1} − ℒ−1 {

𝜏

𝑆} + ℒ−1 {

1

𝑆2}]

Obtenemos:

ℎ(𝑡) = 𝐾2 [𝑡 − 𝜏 + 𝜏. 𝑒−(𝑡𝜏)]… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.20

Datos Experimentales para la ecuación 3.19:

Para: 𝜏 = 6.915ℎ; 𝐾1 = 77.43 𝑝𝑖𝑒

t h(t)

0 0

0.1 0.055718

0.2 0.221804

0.3 0.496674

0.4 0.878766

0.5 1.36654

0.6 1.95848

0.7 2.653089

0.8 3.448893

0.9 4.34444

1 5.338298

1.1 6.429055

1.2 7.61532

1.3 8.895722

1.4 10.26891

1.5 11.73355

1.6 13.28833

1.7 14.93195

1.8 16.66315

1.9 18.48066

2 20.38324

2.1 22.36968

2.2 24.43876

2.3 26.5893




2.4 28.82014

2.5 31.13012

2.6 33.5181

2.7 35.98296

2.8 38.52361

2.9 41.13894

3 43.8279

3.1 46.58941

Grafica N° 3.1:

Datos Experimentales para la ecuación 3.20:

Para: 𝜏 = 6.915ℎ; 𝐾2 = −75.54 𝑝𝑖𝑒

t h(t)

0 0

0.1 -0.05436

0.2 -0.21639

0.3 -0.48455

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

h(t

)

t

k1




0.4 -0.85732

0.5 -1.33318

0.6 -1.91068

0.7 -2.58833

0.8 -3.36471

0.9 -4.2384

1 -5.20799

1.1 -6.27213

1.2 -7.42944

1.3 -8.67858

1.4 -10.0183

1.7 -14.5675

1.8 -16.2564

1.9 -18.0296

2 -19.8857

2.1 -21.8237

2.2 -23.8422

2.3 -25.9403

2.4 -28.1167

2.5 -30.3703

2.6 -32.7

2.7 -35.1046

2.8 -37.5833

2.9 -40.1348

3 -42.7581

3.1 -45.4522




Grafica N° 3.2

Evaluando las dos graficas:

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

h(t

)

t

K2

-60

-40

-20

0

20

40

60

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

h(t

)

t

K1

K2




Ejercicio Nº4

Considérese el proceso que se muestra en la figura siguiente. En el cual se mezclan diferentes

corrientes. Las corrientes 5, 2 y 7 son soluciones de agua con el componente A; la corriente 1 es

de agua pura. En la tabla 8-4 aparecen los valores de estado estacionario para cada corriente.

Se deben determinar las siguientes funciones de transferencia con valores numéricos:

Solución

Para la solución de este problema de orden superior, se consulto la tabla 8-4

Volumen de los tanques: 𝑉1 = 𝑉2 = 𝑉3 = 7000 𝑔𝑎𝑙

Rango del transmisor de concentración: 0.3 a 0.7 fracciones de masa

Las características de la válvula de control son lineales, y se puede considerar que la caída de

presión a través de la misma es constante.

El rango del transmisor de flujo, 𝑞1(𝑡), es de 0 a 3800 gpm. La dinámica del transmisor y de la

válvula se puede considerar despreciable.

También se puede suponer que la densidad de todas las corrientes es similar:

Valores de estado estacionario

Corriente Flujo, gpm Fracción de masa (fm)

1 1900 0.0000

2 1000 0.9900

3 2400 0.1667




4 3400 0.4088

5 500 0.8000

6 3900 0.4718

7 500 0.9000

Tanque I

Estado inestable de Balance de masas - A

𝜌𝑓�̅�𝑥𝑠(𝑡) − 𝜌𝑓3(𝑡)𝑥3(𝑡) = 𝜌𝑉𝑑𝑥3

𝑑𝑡 (1)

Masa total de equilibrio

[𝑓�̅� + 𝑓1(𝑡) − 𝑓3(𝑡)]𝜌 = 0

𝑓�̅� + 𝑓1(𝑡) − 𝑓3(𝑡) = 0 (2)

Tanque II

Estado inestable de equilibrio de masa

𝜌𝑓3(𝑡)𝑥3(𝑡) + 𝜌𝑓2̅𝑥2(𝑡) − 𝜌𝑓4(𝑡)𝑥4 = 𝜌𝑉𝑑𝑥4(𝑡)

𝑑𝑡 (3)

Masa total de equilibrio

𝜌𝑓3(𝑡) + 𝜌𝑓2̅ − 𝜌𝑓4(𝑡) = 0

𝑓3(𝑡) + 𝑓2̅ − 𝑓4(𝑡) = 0 (4)

Tanque III

Estado inestable de equilibrio de masa-A

𝜌𝑓4(𝑡)𝑥4(𝑡) + 𝜌𝑓3̅�̅�3 − 𝜌𝑓6(𝑡)𝑥6(𝑡) = 𝜌𝑉𝑑𝑥6(𝑡)

𝑑𝑡 (5)

Masa total en equilibrio

𝜌𝑓4(𝑡) + 𝜌𝑓7̅ − 𝜌𝑓6(𝑡) = 0

𝜌𝑓4(𝑡) + 𝜌𝑓7̅ − 𝜌𝑓6(𝑡) = 0 (6)

De la ecuación 2

𝑓3(𝑡) = 𝑓5̅ + 𝑓1(𝑡)

Reemplazando en 1:

𝑓5̅𝑥5(𝑡) − 𝑓5̅𝑥3(𝑡) − 𝑓1(𝑡)𝑥3(𝑡) = 𝑉𝑑𝑥3(𝑡)

𝑑𝑡 (7)

De 4:

𝑓4(𝑡) = 𝑓3(𝑡) + 𝑓2̅

𝑓4(𝑡) = 𝑓5̅ + 𝑓1(𝑡) + 𝑓2̅

Reemplazando en 3:




𝑓5̅𝑥3(𝑡) + 𝑓1(𝑡)𝑥3(𝑡) + 𝑓2̅𝑥2(𝑡) − 𝑓5̅𝑥4(𝑡) − 𝑓1(𝑡)𝑥4(𝑡) − 𝑓2̅𝑥6(𝑡) = 𝑉𝑑𝑥4

𝑑𝑡 (8)

De 6

𝑓6(𝑡) = 𝑓4(𝑡) + 𝑓3̅

𝑓6 = 𝑓5̅ + 𝑓1(𝑡) + 𝑓2̅ + 𝑓3̅

Reemplazando 5

𝑓5̅𝑥4(𝑡) + 𝑓1(𝑡)𝑥4(𝑡) + 𝑓2̅𝑥4(𝑡) + 𝑓7̅𝑥7 − 𝑓5̅𝑥6(𝑡) − 𝑓1(𝑡)𝑥6(𝑡) − 𝑓2̅𝑥6(𝑡) − 𝑓7̅𝑥6(𝑡) = 𝑉𝑑𝑥6

𝑑𝑡 (9)

Linealizar términos no lineales:

𝑓1(𝑡)𝑥3(𝑡) ≈ 𝑓1̅�̅�3 + 𝑓1̅𝑥3(𝑡) + �̅�3𝐹1(𝑡) (10)

Donde:

𝑥3(𝑡) = 𝑥3(𝑡) − �̅�3

𝐹1(𝑡) = 𝑓1(𝑡) − 𝑓1̅

𝑓1(𝑡)𝑥4(𝑡) ≈ 𝑓1̅�̅�4 + 𝑓1̅𝑥4(𝑡) + �̅�4𝐹1(𝑡) (11)

Donde:

𝑥4(𝑡) = 𝑥4(𝑡) − �̅�4

𝑓1(𝑡)𝑥6(𝑡) ≈ 𝑓1̅�̅�6 + 𝑓1̅𝑥6(𝑡) + �̅�6𝐹1(𝑡) (12)

Donde:

𝑥6(𝑡) = 𝑥6(𝑡) − �̅�6

Reemplazando 10 en 7:

𝑓5̅𝑥5(𝑡) − 𝑓5̅𝑥3(𝑡) − 𝑓1̅�̅�3 − 𝑓1̅𝑥3(𝑡) − �̅�3𝐹1(𝑡) = 𝑉𝑑𝑥3(𝑡)

𝑑𝑡 (13)

Escribir una constante. Estado de balance de masa alrededor del tanque 1, restando que a

partir del 13 y reordenando

𝑖1̂𝑑𝑥3(𝑡)

𝑑𝑡+ 𝑥3(𝑡) = 𝑘1𝑥5(𝑡) − 𝑘2𝐹1(𝑡)

𝑋3(𝑠) =1

𝑖1̂𝑠 + 1[𝐾1𝑋5(𝑠) − 𝐾2𝐹1(𝑠)] (14)

Donde:

𝑖1̂ =𝑉

𝑓5̅ + 𝑓1̅=

7000𝑔𝑎𝑙

(500 + 1900)𝑔𝑝𝑚= 2.9187𝑚𝑖𝑛

𝑘1 =𝑓5̅

𝑓5̅ + 𝑓1̅=

500𝑔𝑝𝑚

(500 + 1900)𝑔𝑝𝑚= 0.2083

𝑘3 =�̅�3

𝑓5̅ + 𝑓1̅=

0.167

(500 + 1900)𝑔𝑝𝑚= 6.96 ∗ 10−5(𝑔𝑝𝑚)−1

Reemplazando 10 y 11 en la ecuación 8:

𝑓5̅𝑥3(𝑡) + 𝑓1̅�̅�3 + 𝑓1̅𝑥3(𝑡) + �̅�3𝐹1(𝑡) + 𝑓2̅𝑥2(𝑡) − 𝑓5̅𝑥4(𝑡) − 𝑓1̅�̅�4 − 𝑓1̅𝑥4(𝑡) − �̅�4𝐹1(𝑡) − 𝑓2̅𝑥4(𝑡) = 𝑉𝑑𝑥4(𝑡)

𝑑𝑡 (15)

Escribir una constante. Estado de equilibrio de masas en torno a un Componente tanque 2,

restando que a partir de (15) y reordenando




𝑖̂2𝑑𝑥4(𝑡)

𝑑𝑡+ 𝑥4(𝑡) = 𝑘3𝑥3(𝑡) + 𝑘4𝑥2(𝑡) − 𝑘5𝐹1(𝑡)

𝑥4(𝑠) =1

𝑖̂2𝑠 + 1[𝑘3𝑥3(𝑠) + 𝑘4𝑥2(𝑠) − 𝑘5𝐹1(𝑠)] (16)

Donde:

𝑖̂2 =𝑉

𝑓5̅ + 𝑓1̅ + 𝑓2̅

=7000𝑔𝑎𝑙

(500 + 1900 + 1000)𝑔𝑝𝑚= 2.0588𝑚𝑖𝑛

𝑘3 =𝑓5̅ + 𝑓1̅

𝑓5̅ + 𝑓1̅ + 𝑓2̅

=2400𝑔𝑝𝑚

3400𝑔𝑝𝑚= 0.7059

𝑘4 =𝑓2̅

𝑓5̅ + 𝑓1̅ + 𝑓2̅

=1000𝑔𝑝𝑚

3400𝑔𝑝𝑚= 0.2941

𝑘5 =�̅�4 + �̅�3

𝑓5̅ + 𝑓1̅ + 𝑓2̅

=0.409 − 0.167

3400𝑔𝑝𝑚= 7.11 ∗ 10−5(𝑔𝑝𝑚)−1

Reemplazando 11 + 12 en la ecuación 9:

𝑓5̅𝑥4(𝑡) + 𝑓1̅�̅�4 + 𝑓1̅𝑥4(𝑡) + �̅�4𝐹1(𝑡) + 𝑓2̅𝑥4(𝑡) + 𝑓7̅�̅�7 − 𝑓5̅𝑥6(𝑡) − 𝑓2̅𝑥6(𝑡) − 𝑓1̅�̅�6 − 𝑓1̅𝑥6(𝑡) − �̅�6𝐹1(𝑡) − 𝑓7̅𝑥6(𝑡) = 𝑉𝑑𝑥6

𝑑𝑡 (17)

Escribir una constante. Estado de equilibrio de masas en torno a un Componente tank3,

restando que a partir de (13) reordenando

𝑖̂3𝑑𝑥6(𝑡)

𝑑𝑡+ 𝑥6(𝑡) = 𝑘6𝑥4(𝑡) − 𝑘7𝐹1(𝑡)

𝑥6(𝑠) =1

𝑖̂3𝑠 + 1[𝑘6𝑥4(𝑠) − 𝑘7𝐹1(𝑠)] (18)

Donde:

𝑖̂3 =𝑉

𝑓5̅ + 𝑓1̅ + 𝑓2̅ + 𝑓7̅

=7000𝑔𝑎𝑙

(500 + 1900 + 1000 + 500)𝑔𝑝𝑚= 1.7948𝑚𝑖𝑛

𝑘6 =𝑓5̅ + 𝑓1̅ + 𝑓2̅

𝑓5̅ + 𝑓1̅ + 𝑓2̅ + 𝑓7̅

=3400𝑔𝑝𝑚

3900𝑔𝑝𝑚= 0.8718

𝑘7 =�̅�6 − �̅�4

𝑓5̅ + 𝑓1̅ + 𝑓2̅ + 𝑓7̅

=0.472 − 0.409

3900𝑔𝑝𝑚= 1.615 ∗ 10−5(𝑔𝑝𝑚)−1

Reemplazando 14 en 16

𝑥4(𝑠) =𝑘1𝑘3

(𝑖1̂𝑠 + 1)(𝑖̂2𝑠 + 1)𝑋5(𝑠) +

𝐾4

𝑖̂2𝑠 + 1𝑋2(𝑠) −

𝐾8(𝑖̂4𝑠 + 1)

(𝑖1̂𝑠 + 1)(𝑖̂2𝑠 + 1)𝐹1(𝑠) (19)

Reemplazando 19 en 18:

𝑋6(𝑠) =𝐾6𝐾1𝐾3

(𝑖1̂𝑠 + 1)(𝑖̂2𝑠 + 1)(𝑖̂3𝑠 + 1)𝑋5(𝑠) +

𝐾6𝐾4

(𝑖̂2𝑠 + 1)(𝑖̂3𝑠 + 1)𝑋2(𝑠)

−[𝐾6𝐾8(𝑖̂4𝑠 + 1) + 𝐾3(𝑖1̂𝑠 + 1)(𝑖̂2𝑠 + 1)]

(𝑖1̂𝑠 + 1)(𝑖̂2𝑠 + 1)(𝑖3̂𝑠 + 1)𝐹1(𝑠) (20)

Las tres funciones de transferencia deseada se pueden obtener a partir del 20:

𝐾8 = 𝐾5 + 𝐾2𝐾3




𝑖̂4 =𝐾5

𝐾8

Ejercicio Nº5

Sistemas dinámicos de Primer Orden

1. Función Escalón

Dada la función siguiente:

𝑌(𝑠) = 𝑋(𝑠). 𝐺(𝑠) …𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1.1

Evaluamos las funciones:

𝑌(𝑠) = (1

𝑆) (

1

𝜏𝑆 + 1)… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1.2

Descomponemos en fracciones parciales:

𝑌(𝑠) =1

(𝑆)(𝜏𝑆 + 1)=

𝐴

𝑆+

𝐵

𝜏𝑆 + 1𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1.3

Entonces igualando ecuaciones:

1

(𝑆)(𝜏𝑆 + 1)=

𝐴(𝜏𝑆 + 1) + 𝐵𝑆

(𝑆)(𝜏𝑆 + 1)…𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1.4

Por identidad se obtiene:

1 = 𝐴(𝜏𝑆 + 1) + 𝐵𝑆 … 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1.5

1 = 𝑆(𝐴𝜏 + 𝐵) + 𝐴 …𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1.6

Dónde:

𝐴 = 1

𝐴𝜏 + 𝐵 = 0 → 𝐵 = −𝜏

Entonces obtenemos:




𝑌(𝑠) =1

(𝑆)(𝜏𝑆 + 1)=

1

𝑆−

𝜏

𝜏𝑆 + 1… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1.7

Aplicando Laplace inversa a la ecuación 1.7 se obtiene:

𝑦(𝑡) = ℒ−1{𝑌(𝑠)} = ℒ−1 {1

𝑆} − ℒ−1 {

𝜏

𝜏𝑆 + 1} …𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1.8

Aplicando un artificio a la ecuación 1.7:

𝑦(𝑡) = ℒ−1 {1

𝑆} − 𝜏. ℒ−1 {

1𝜏

𝑆 +1𝜏

}… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1.9

𝑦(𝑡) = 1 − 𝑒−(𝑡𝜏) …𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1.10

Dónde: 𝜏 = 0.1

t t/τ y(t)

0 0 0

0.01 0.1 0.09516258

0.02 0.2 0.18126925

0.03 0.3 0.25918178

0.04 0.4 0.32967995

0.05 0.5 0.39346934

0.06 0.6 0.45118836

0.07 0.7 0.5034147

0.08 0.8 0.55067104

0.09 0.9 0.59343034

0.1 1 0.63212056

0.11 1.1 0.66712892

0.12 1.2 0.69880579

0.13 1.3 0.72746821

0.14 1.4 0.75340304

0.15 1.5 0.77686984

0.16 1.6 0.79810348

0.17 1.7 0.81731648

0.18 1.8 0.83470111

0.19 1.9 0.85043138

0.2 2 0.86466472

0.21 2.1 0.87754357

0.22 2.2 0.88919684

0.23 2.3 0.89974116

0.24 2.4 0.90928205

0.25 2.5 0.917915

0.26 2.6 0.92572642

0.27 2.7 0.93279449

0.28 2.8 0.93918994

0.29 2.9 0.94497678

0.3 3 0.95021293

0.31 3.1 0.9549508

0.32 3.2 0.9592378

0.33 3.3 0.96311683

0.34 3.4 0.96662673

0.35 3.5 0.96980262

0.36 3.6 0.97267628

0.37 3.7 0.97527647

0.38 3.8 0.97762923

0.39 3.9 0.97975809

0.4 4 0.98168436

0.41 4.1 0.98342732

0.42 4.2 0.98500442

0.43 4.3 0.98643144

0.44 4.4 0.98772266

0.45 4.5 0.988891




0.46 4.6 0.98994816

0.47 4.7 0.99090472

0.48 4.8 0.99177025

0.49 4.9 0.99255342

0.5 5 0.99326205

0.51 5.1 0.99390325

0.52 5.2 0.99448344

0.53 5.3 0.99500841

0.54 5.4 0.99548342

0.55 5.5 0.99591323

0.56 5.6 0.99630214

0.57 5.7 0.99665403

0.58 5.8 0.99697245

0.59 5.9 0.99726056

0.6 6 0.99752125

0.61 6.1 0.99775713

0.62 6.2 0.99797057

0.63 6.3 0.9981637

Podemos observar en la gráfica:

Donde en t= 0,53 segundos llegamos al set point deseado.

2. Función Rampa Unitaria




0, 1

0.53, 0

0.53, 0.995008406

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-0.1 6E-16 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Título del gráfico

Series1

S.P

t




𝑌(𝑠) = (1

𝑆2) (

1

𝜏𝑆 + 1)…𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2.2

Descomponemos en fracciones parciales:

𝑌(𝑠) =1

(𝑆2)(𝜏𝑆 + 1)=

𝐴

𝜏𝑆 + 1+

𝐵

𝑆+

𝐶

𝑆2… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2.3

Entonces igualando ecuaciones:

1

(𝑆2)(𝜏𝑆 + 1)=

𝑆2(𝐴 + 𝐵𝜏) + 𝑆(𝐵 + 𝐶𝜏) + 𝐶

(𝑆2)(𝜏𝑆 + 1)… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2.4

Por identidad se obtiene:

1 = 𝑆2(𝐴 + 𝐵𝜏) + 𝑆(𝐵 + 𝐶𝜏) + 𝐶 … 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2.5

Dónde:

𝐴 = 𝜏2

𝐴 + 𝐵𝜏 = 0 → 𝐵 = −𝜏

𝐶 = 1

Entonces obtenemos:

𝑌(𝑠) =1

(𝑆2)(𝜏𝑆 + 1)=

𝜏2

𝜏𝑆 + 1−

𝜏

𝑆+

1

𝑆2…𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2.6

Aplicando Laplace inversa a la ecuación 2.6 se obtiene:

𝑦(𝑡) = ℒ−1{𝑌(𝑠)} = ℒ−1 {𝜏2

𝜏𝑆 + 1} − ℒ−1 {

𝜏

𝑆} + ℒ−1 {

1

𝑆2}…𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2.7

Donde se obtiene:

𝑦(𝑡) = 𝑡 − 𝜏 + 𝜏. 𝑒−(𝑡𝜏) … 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2.8

Evaluamos 𝝉 > 𝟏, obtenemos:

τ

1 2 3 5 7 9

t y(t) y(t) y(t) y(t) y(t) y(t)

0 0 0 0 0 0 0

0.1 0.00483742 0.00245885 0.0016483 0.00099337 0.0007109 0.0005535

0.2 0.01873075 0.00967484 0.00652096 0.0039472 0.00283013 0.00220585

0.3 0.04081822 0.02141595 0.01451225 0.00882267 0.00633771 0.0049449

0.4 0.07032005 0.03746151 0.02551996 0.01558173 0.01121396 0.00875865

0.5 0.10653066 0.05760157 0.03944517 0.02418709 0.01743946 0.01363522

0.6 0.14881164 0.08163644 0.05619226 0.03460218 0.02499507 0.01956287




0.7 0.1965853 0.10937618 0.0756687 0.04679118 0.03386193 0.02652997

0.8 0.24932896 0.14064009 0.09778502 0.06071894 0.04402143 0.03452506

0.9 0.30656966 0.1752563 0.12245466 0.07635106 0.05545525 0.04353676

1 0.36787944 0.21306132 0.14959393 0.09365377 0.0681453 0.05355385

1.1 0.43287108 0.25389962 0.17912186 0.11259399 0.08207377 0.06456522

1.2 0.50119421 0.29762327 0.21096014 0.13313931 0.09722309 0.07655987

1.3 0.57253179 0.34409155 0.24503302 0.15525793 0.11357595 0.08952695

1.4 0.64659696 0.39317061 0.28126726 0.17891871 0.13111527 0.10345571

1.5 0.72313016 0.44473311 0.31959198 0.2040911 0.14982423 0.11833552

1.6 0.80189652 0.49865793 0.35993866 0.23074519 0.16968623 0.13415588

1.7 0.88268352 0.55482986 0.40224101 0.25885161 0.19068492 0.15090639

1.8 0.96529889 0.61313932 0.44643491 0.28838163 0.21280418 0.16857678

1.9 1.04956862 0.67348205 0.49245835 0.31930705 0.23602812 0.18715687

2 1.13533528 0.73575888 0.54025136 0.35160023 0.26034105 0.20663663

2.1 1.22245643 0.7998755 0.58975591 0.3852341 0.28572754 0.2270061

2.2 1.31080316 0.86574217 0.6409159 0.42018211 0.31217237 0.24825545

2.3 1.40025884 0.93327354 0.69367706 0.45641823 0.33966051 0.27037498

2.4 1.49071795 1.00238842 0.74798689 0.49391696 0.36817717 0.29335505

2.5 1.582085 1.07300959 0.80379463 0.5326533 0.39770776 0.31718616

2.6 1.67427358 1.14506359 0.86105115 0.57260274 0.4282379 0.3418589

2.7 1.76720551 1.21848052 0.91970898 0.61374126 0.45975342 0.36736399

2.8 1.86081006 1.29319393 0.97972216 0.65604532 0.49224032 0.39369221

2.9 1.95502322 1.36914058 1.04104627 0.69949183 0.52568485 0.42083448

3 2.04978707 1.44626032 1.10363832 0.74405818 0.5600734 0.4487818

Cuando 𝝉 = 𝟏




Cuando 𝝉 = 𝟐

0

0.5

1

1.5

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

y(t)

t

tao=1




Cuando 𝝉 = 𝟑

Cuando 𝝉 = 𝟓

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

y(t)

t

tao=2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

y(t)

t

tao=3




Cuando 𝝉 = 𝟕

Cuando 𝝉 = 𝟗

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

y(t)

t

tao=5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

y(t)

t

tao=7




Evaluación de τ:

Sistemas Dinámicos de Segundo Orden

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

y(t)

t

tao=9

0

0.5

1

1.5

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

y(t)

t

tao=1

tao=2

tao=3

tao=5

tao=7

tao=9




3. Función Escalón




𝑌(𝑠) = (1

𝑆) (

1

𝑆2 + 𝜏𝑆 + 1)…𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.2

Hallando las raíces de la función G(s):

Donde utilizamos la siguiente ecuación:

𝑟1,𝑟2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.3

Entonces hallamos las raíces mediante la ecuación 3.3:

𝑟1 =−𝜏

2+

√𝜏2 − 4

2

𝑟1 =−𝜏

2−

√𝜏2 − 4

2

Reemplazamos en la ecuación 3.2:

𝑌(𝑠) =1 × 𝑟1 × 𝑟2

𝑆(𝑆 − 𝑟1)(𝑆 − 𝑟2)…𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.4

Resolvemos la ecuación compleja mediante la siguiente formula:

𝑦(𝑡) =𝐾

𝑎𝑏[1 +

1

𝑎 − 𝑏(𝑏𝑒𝑎𝑡 + 𝑎𝑒𝑏𝑡)]… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.5

Entonces reemplazamos ecuación 3.4:

𝑦(𝑡) =1 × 𝑟1 × 𝑟2

𝑟1 × 𝑟2[1 +

1

𝑟1 − 𝑟2(𝑟2𝑒

𝑟1𝑡 + 𝑟1𝑒𝑟2𝑡)]

𝑦(𝑡) = {1 +1

√𝜏2 − 4× [(

−𝜏

2−

√𝜏2 − 4

2) 𝑒

(−𝜏2

+√𝜏2−4

2)𝑡

+ [(−𝜏

2+

√𝜏2 − 4

2) 𝑒

(−𝜏2

−√𝜏2−4

2)𝑡

]]}

Simplificando la ecuación:




𝑦(𝑡) =

[

1 +1

2×

(

(−𝜏

√𝜏2 − 4− 1) 𝑒

(−𝜏2

+√𝜏2−4

2)𝑡

+ ((−𝜏

√𝜏2 − 4+ 1) 𝑒

(−𝜏2

−√𝜏2−4

2)𝑡

)

)

]

𝑦(𝑡) =

[

1 + 0.5 ×

(

(1 −𝜏

√𝜏2 − 4) 𝑒

(−𝜏2

−√𝜏2−4

2)𝑡

− ((1 +𝜏

√𝜏2 − 4) 𝑒

(−𝜏2

+√𝜏2−4

2)𝑡

)

)

]

𝑦(𝑡) =

[

1 − 0.5 ×

(

((1 +𝜏

√𝜏2 − 4) 𝑒

(−𝜏2

+√𝜏2−4

2)𝑡

+ (1 −𝜏

√𝜏2 − 4) 𝑒

(−𝜏2

−√𝜏2−4

2)𝑡

)

)

]

Entonces factorizando términos semejantes:

𝑦(𝑡) =

[

1 − 0.5 × 𝑒(−𝜏𝑡2

)

(

((1 +𝜏

√𝜏2 − 4) 𝑒

(√𝜏2−4

2)+ (1 −

𝜏

√𝜏2 − 4) 𝑒

(−√𝜏2−4

2))

)

]

Evaluamos 𝝉 > 𝟐, obtenemos:

τ

3 4 5 6

t y(t) y(t) y(t) y(t)

0 -1.83262 -3.16117 -5.33899 -8.94122

0.1 -1.43806 -2.40688 -3.93681 -6.36464

0.2 -1.09846 -1.78932 -2.84479 -4.45586

0.3 -0.80616 -1.2837 -1.99433 -3.0418

0.4 -0.55458 -0.86974 -1.33198 -1.99424

0.5 -0.33804 -0.53081 -0.81615 -1.21819

0.6 -0.15166 -0.25332 -0.41442 -0.64327

0.7 0.008758 -0.02613 -0.10155 -0.21737

0.8 0.14683 0.159874 0.142111 0.098153

0.9 0.26567 0.312163 0.331876 0.331895

1 0.367956 0.436846 0.479664 0.505056

1.1 0.455995 0.538929 0.594762 0.633336

1.2 0.531771 0.622507 0.6844 0.728369

1.3 0.596991 0.690935 0.754211 0.798771

1.4 0.653127 0.746959 0.808579 0.850926




1.5 0.701444 0.792827 0.850921 0.889563

1.6 0.74303 0.830381 0.883897 0.918186

1.7 0.778824 0.861128 0.909579 0.939391

1.8 0.809632 0.886301 0.92958 0.9551

1.9 0.836149 0.906911 0.945157 0.966737

2 0.858972 0.923785 0.957288 0.975358

2.1 0.878616 0.937601 0.966736 0.981745

2.2 0.895524 0.948912 0.974094 0.986476

2.3 0.910077 0.958173 0.979824 0.989981

2.4 0.922602 0.965755 0.984287 0.992578

2.5 0.933383 0.971962 0.987763 0.994502

2.6 0.942662 0.977045 0.99047 0.995927

2.7 0.950649 0.981206 0.992578 0.996982

2.8 0.957523 0.984613 0.99422 0.997765

2.9 0.96344 0.987402 0.995498 0.998344

3 0.968532 0.989685 0.996494 0.998773

3.1 0.972916 0.991555 0.99727 0.999091

3.2 0.976688 0.993086 0.997874 0.999327

3.3 0.979935 0.994339 0.998344 0.999501

3.4 0.98273 0.995365 0.99871 0.99963

3.5 0.985136 0.996206 0.998996 0.999726

3.6 0.987206 0.996893 0.999218 0.999797

3.7 0.988988 0.997456 0.999391 0.99985

3.8 0.990522 0.997918 0.999526 0.999889

3.9 0.991842 0.998295 0.99963 0.999918

4 0.992979 0.998604 0.999712 0.999939

4.1 0.993957 0.998857 0.999776 0.999955

4.2 0.994798 0.999064 0.999825 0.999966

4.3 0.995523 0.999234 0.999864 0.999975

4.4 0.996147 0.999373 0.999894 0.999982

4.5 0.996683 0.999486 0.999918 0.999986

4.6 0.997145 0.99958 0.999936 0.99999

Cuando 𝝉 = 𝟑




Cuando 𝝉 = 𝟒

Cuando 𝝉 = 𝟓

-2

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5

y(t)

t

tao=3

-3.4-3.2

-3-2.8-2.6-2.4-2.2

-2-1.8-1.6-1.4-1.2

-1-0.8-0.6-0.4-0.2

00.20.40.60.8

11.2

0 1 2 3 4 5

y(t)

t

tao=4




Cuando 𝝉 = 𝟔

-5.8-5.6-5.4-5.2

-5-4.8-4.6-4.4-4.2

-4-3.8-3.6-3.4-3.2

-3-2.8-2.6-2.4-2.2

-2-1.8-1.6-1.4-1.2

-1-0.8-0.6-0.4-0.2

00.20.40.60.8

11.2

0 1 2 3 4 5

y(t)

t

tao=5

-9.6-9.4-9.2-9-8.8-8.6-8.4-8.2-8-7.8-7.6-7.4-7.2-7-6.8-6.6-6.4-6.2-6-5.8-5.6-5.4-5.2-5-4.8-4.6-4.4-4.2-4-3.8-3.6-3.4-3.2-3-2.8-2.6-2.4-2.2-2-1.8-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811.2

0 1 2 3 4 5

y(t)

t

tao=6

Evaluacion de τ:

-10.8

-8.8

-6.8

-4.8

-2.8

-0.8

1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

y(t)

t

tao=3

tao=4

tao=5

tao=6

Modelos de Primer Orden

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