Ecuaciones Diferenciales de primer orden

Exactas, Factor integrante, Lineales y de Bernoulli

04/03/2011 Centro de Enseñanza Técnica Industrial León G. Luis Angel No. Registro: 10310209 Salón: B 212

Ecuaciones Diferenciales Exactas Introducción: Si bien la ecuación simple de primer orden es separable, se puede resolver la ecuación de una manera alternativa reconociendo que la expresión del lado izquierdo de la igualdad es la diferencial de la función

; es decir, . En esta sección se examinan ecuaciones de primer orden en la forma diferencial

. Al aplicar una prueba simple a M y N, se determina si es una diferencial de una función . Si la

respuesta es afirmativa, f se construye mediante integración parcial. Sea la expresión: //forma ordinaria

Se dice que es exacta si: //la derivada parcial de respecto a es igual a la derivada de respecto a .

Existen varios procesos algebraicos para resolver la ecuación exacta, se resume mediante la expresión matemática:

Ejemplo: Solución de una ED Exacta

//la derivada parcial de M respecto a y es 2x

//la derivada parcial de N respecto a x es 2x

//por lo tanto si es exacta

//sustituimos y en la fórmula

//resolvemos la primera y la última Integración (que si nos damos cuenta, es la misma)

//realizamos la derivada parcial del resultado de la última integración

//simplificamos

//integramos y este es el resultado

Ecuaciones Diferenciales Exactas por factor integrante Sea la expresión: //forma ordinaria

//no es exacta

sea el factor que le permita a la expresión ser exacta.

ó

Ejemplo: Solución de una ED Exacta por factor integrante //forma ordinaria

//donde

//obtenemos la derivada parcial de M respecto a y

//obtenemos la derivada parcial de N respecto a x

//observamos que ambas derivadas no son iguales o que la expresión no es exacta

//Ahora nos enfocaremos a obtener el factor integrante aplicando la primera formula, pero nos damos cuenta de que no nos sirve, debido a que el resultado debe estar, en este caso, en términos sólo de x.

//aplicando la segunda fórmula, nos damos cuenta de que efectivamente nos sirve, porque en este caso el resultado está en términos de y como debe serlo.

//Obtenemos el factor integrante con su respectiva fórmula

//multiplicamos toda la expresión por el factor integrante

//simplificando

//derivamos parcialmente a M respecto a y, //derivamos parcialmente N respecto a x //nos damos cuenta de que el factor integrante permitió a la expresión ser exacta

//aplicamos la formula (es la misma fórmula que la de las exactas)

//resolvemos la primera y la ultima integral (que, como habíamos dicho anteriormente, se trata de la misma integral)

//derivamos parcialmente a x3 respecto a y

//integramos y listo

Ecuaciones Diferenciales Lineales

Introducción: Al examinar las ecuaciones lineales se continúa con la búsqueda de las soluciones de las ED de primer orden. Las ecuaciones diferenciales lineales son una familia en particular “amigable” de ecuaciones diferenciales en el sentido que, dad una ecuación lineal, ya sea de primer orden o de orden superior, siempre hay una buena probabilidad de que se pueda encontrar algún tipo de solución de la ecuación que se pueda considerar. Definición: Se dice que una ecuación diferencial de primer orden de la forma

es una ecuación lineal en la variable dependiente y. Cuando g(x) = 0, se dice que la ecuación lineal (1) es homogénea; de lo contrario, es no homogénea. Forma estándar: Al dividir ambos lados de (1) entre el coeficiente principal a1(x), se obtiene una forma más útil, la forma estándar, de una ecuación lineal:

Se busca una solución de (2) en un intervalo I para el cual ambas funciones coeficiente P y f son continuas. En la descripción que se hace a continuación se ilustra una propiedad y un procedimiento y se termina con una fórmula que representa la forma que debe tener toda solución de (2). Pero más que una fórmula, la propiedad y el procedimiento son importantes, porque estos dos conceptos llevan a las ecuaciones lineales de orden superior.

Propiedad: La ecuación diferencial (2) tiene la propiedad de que su solución es la suma de las dos soluciones: donde yc es una solución de la ecuación

homogénea afín

y yp es una solución particular de la ecuación no homogénea (2). Para ver esto, observe que

0 f(x) Ahora la ecuación no homogénea (3) también es separable. Este hecho permite encontrar yc al escribir la ecuación (3) como

e integrar. Resolviendo para y, se obtiene . Por

conveniencia se escribirá , donde . El hecho de

que se usará a continuación para determinar yp.

Procedimiento Ahora se puede hallar una solución particular de la ecuación (2) mediante un procedimiento que se conoce como variación de parámetros. La idea básica en este caso es encontrar una función µ de modo que

sea una solución de (2). En otras palabras, la suposición para yp es la misma que excepto que c se sustituye por el “parámetro variable” µ. Al sustituir en (2), se obtiene

Regla del producto

ó cero

por tanto

Luego de separar variables e integrar, se obtiene

Como , se ve que . Por consiguiente,

y

yc yp

Por consiguiente, si (2) tiene una solución, ésta debe ser de la forma (4). Por el contrario, es un ejercicio directo en la diferenciación comprobar que (4) constituye una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación (2).

No debe memorizar la fórmula que se proporciona en (4). Sin embargo, deberá recordar el término especial

porque se emplea en una forma equivalente pero más fácil de resolver (2). Si la ecuación (4) se multiplica por la ecuación (5),

y luego se deriva la ecuación (6)

se obtiene

Al dividir el último resultado entre , se obtiene la ecuación (2). Método de solución El método que se recomienda para resolver la ecuación (2) consiste en realidad en (6) a (8) resueltas en orden inverso. En otras palabras, si (2) se multiplica por la ecuación (5), se obtiene (8). El lado izquierdo de (8) se

reconoce como la antiderivada del producto de y y. Esto da lugar a (7). A continuación se integran ambos lados de la ecuación (7) para obtener la solución (6). Debido a que la ecuación (2) se resuelve integrando después de

multiplicar por , a esta función se le denomina factor integrante para la ecuación diferencial (este factor integrante se obtiene mediante otro procedimiento que aquí no se especifica). Por conveniencia se resume estos resultados, De nuevo se insiste en que no es necesario memorizar la fórmula (4) sino seguir cada vez el siguiente procedimiento. Solución de una ecuación diferencial lineal de primer orden

1. Escriba una ecuación lineal de la forma (1) en la forma estándar (2) 2. Identifique, a partir de la forma estándar, P(x) y luego determine el

factor integrante 3. Multiplique la forma estándar de la ecuación por el factor integrante.

El lado izquierdo de la ecuación resultante es automáticamente la derivada del factor integrante y y:

4. Integre ambos lados de ésta última ecuación. Ejemplo 1 Solución de una ED lineal homogénea Resuelva

Solución Esta ecuación lineal puede resolverse por separación de variables. Por otro lado, como la ecuación ya está en la forma estándar (2), se observa que

y, por tanto, el factor integrante es . Se multiplica la ecuación por este factor y se reconoce que

es lo mismo que

Al integrar ambos lados de la última ecuación se obtiene . Al despejar y se obtiene la solución explícita , - ∞ < x < ∞.

Ejemplo 2 Solución de una ED lineal no homogénea Resuelva

Solución: La ecuación homogénea relacionada para ésta ED se resolvió en el ejemplo 1. De nuevo la ecuación ya está en la forma estándar (2), y el factor

integrante aún es . Esta vez se multiplica la ecuación por este factor, y se obtiene

, que es lo mismo que

Al integrar ambos lados de la última ecuación, se obtiene

, o bien, , - ∞ < x < ∞.

La solución final del Ejemplo 2 es la suma de las dos soluciones:

, donde es la solución de la ecuación homogénea del Ejemplo 1

y es una solución particular de la ecuación no homogénea

. No es necesario preocuparse acerca de su una ecuación lineal es homogénea o no homogénea; cuando se sigue el procedimiento de solución descrito antes, una solución de la ecuación no homogénea necesariamente resulta ser . Sin embargo, la distinción entre

resolver una ED lineal homogénea y una no homogénea cobra importancia cuando se resuelven ecuaciones lineales de orden superior.

Ecuaciones de Bernoulli La ecuación diferencial

(1)

donde es cualquier número real, se llama ecuación de Bernoulli. Observe que par n=0 y n=1 la ecuación (1) es lineal. Para n≠0 y n≠1 la sustitución

reduce cualquier ecuación de la forma (1) en una ecuación lineal.

Ejemplo Solución de una ED de Bernoulli Resuelva

Solución: Primero la ecuación se escribe de nuevo como

dividido por x. Con n = 2 tenemos o . Entonces sustituimos

Regla de la cadena

en la ecuación dada se simplifica. El resultado es