EDO de Primer Orden: “Variables Separables”.

Integrantes: Felipe Arriagada Bustos

Matias Bruna Carvajal

Hugo Castro Sierra

Romulo Diaz Pasten

1)Comprobar que las siguientes ecuaciones diferenciales son homogéneas y resolverlas.

a) Se puede simplificar mas la ecuación.

Quedando

Notamos que el N es una estructura más simple entonces usamos la forma

Hacemos el reemplazo con la nueva variable.

 

 

Aplicamos integrales en ambos lados, obteniendo:

-

Se vuelve a usar las variables originales.

Ahora se despeja todo obteniendo

 

 

 

b)

Al desarrollar la ecuación obtenemos.

Al simplificar la expresión se obtiene.

Se reescribe la ecuación usando la nueva variable.

Ahora se desarrollara.

 

 

 

Ahora se reemplaza por los valores iniciales.

Ahora aplicamos la propiedad de los log se obtiene una solución implícita.

c)

Reemplazando según

 

Sustituyendo según el cambio

, C > 0

d)

Reemplazando e igualando según:

;

Igualamos las expresiones:

Reemplazando según el cambio

e)

t = 1 ;Homogénea grado 1

si

;Integrando a ambos lados de la ecuación obtenemos

, c > 0

2) Sea b ≠0. Probar que la sustitución z = ax+by + c transforma la ecuación y’ = f(ax+by + c) en una ecuación de variables separables. Aplicar este resultado para resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.

a) y’ = (x+y)2

y’ = f(ax+by+c) Sea z = ax+by+c → Por lo tanto y’= f(z)

y’ = (x+y) si z= x+y

y’ = (x+y) = f(x+y)

 

b)

z ;

; -

- /

; Pero