ECUACIONES DE MAXWELLLa sntesis del campo electromagntico

Hemos estudiado el campo elctrico y el magntico por separado as como lainterrelacin existente entre ambos campos.

Hagamos un repaso histrico:

Se conocen los fenmenos elctricos (electrizacin por frotamiento), conociendo que existan dos tipos: positiva y negativa. Al principio se creaque esta propiedad era por tener por exceso (positivo) o por defecto (negativo)un determinado fluido. No se conoce la existencia del electrn (partcula fundamental de la carga elctrica) hasta inicios del s. XX por Thonsom.Los signos iguales se repelan, los diferentes se atraan.Adems, se descubre que al moverse las cargas elctricas se producen corrientes elctricas.

2. Los fenmenos magnticos son conocidos desde la antigedad, a travs de un mineral, la magnetita. Tambin se conoce que existen dos tipos de polos,llamndose norte (similar al positivo) y sur (similar al negativo). Igual que en las cargas elctricas, los polos iguales se repelan, los diferentesse atraan.

LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO ELCTRICO

CONCLUSIONES:

Las cargas elctricas son los lugares donde nacen y muerenlas lneas del campo elctrico E.

2. Nos da las fuentes fundamentales del campo elctrico: las cargas.

3. El campo elctrico es una perturbacin creada por la presenciaDe cargas elctricas en el medio.

LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO MAGNTICO

Sin embargo, cuando se rompe un dipolo elctrico las cargas elctricaspersisten aisladas, sin embargo, al rompen un imn se crean dos imanes:no existen los monopolos magnticos (Nota: en el detector MOEDALdel LHC se est intentando aislar monopolos magnticos que modificaranesta expresin de la ley de Gauss para el B)

LEY DE FARADAYForma integral Forma diferencialEs la primera ecuacin en la que se mezclan los campos E y B.

Faraday experimentador excepcional- busca el fenmeno contrario al conseguidopor Oersted: producir campos magnticos a partir de campos elctricos.

Seran capaces los B crear campos E?

En este primer caso vemos como el rot v =0, ya que la pelota no rotara.En este segundo caso vemos como el rot v 0, ya que la pelota rotara en el sentido puesto

Este giro se puede representar a travs de un vector en direccin al eje ysentido de acuerdo con la regla del tornillo, por lo que cuando el rot E 0 habr turbulencia en el medio

En nuestro caso no sabemos como se mueve el aguaque hace girar la pelota, ya que muchas son las posibilidades que daran el mismo giro, pero s sabemos que debe haber agua movindose en contra de la pelota. No se sabe realmente qu es eso que se mueve peros saben que se mueve.

Imagnate el vaco sin ninguna carga- y colocas un imnmovindolo de un lado a otro.

Al variar el B, de acuerdo con la ley de Faraday, habr turbulenciasen el E y nuestra pelota imaginaria girar. Pero .. Qu E si estamos en el vaco y no hay q? ..

La ley de Faraday NO necesita que exista primero un E, ya que B (t) es capaz de producir un E de la nada. POR QU???

1 Son fenmenos empricos demostrados.2 Podemos pensar en el vaco como una piscina en calma, que no se detecta a priori, pero que cuando aparecen turbulencias s lo detectamos. Estas turbulencias pueden ser dedos formas:

Conclusin: un B variable en el tiempo crea un E incluso en AUSENCIADE CARGAS y el E producido es perpendicular al B (t).

LEY DE AMPRE - MAXWELLPropuesto por AmprePropuesto por MaxwellCuarta y ltima ecuacin de Maxwell Oersted fue el primero que en 1820Conect un cable y una pila observando que alrededor del cable aparecaUn campo magntico B que haca girar una brjula. No fue capaz de obtenerLa expresin matemtica para el E creado por la corriente elctrica peroS pudo describir sus propiedades:

El campo B aumentaba cuando lo haca la intensidad I El campo B aumentaba cuanto ms cerca estuviese el cable menor r 3. El campo B es perpendicular al cable, como si lo rodease.

La direccin de la corriente coincide con el ejede giro del rotacional y con la del campo B.

El agua sera el campo magntico y el eje serala corriente elctrica.

1 Teorema de Gauss para el campo elctrico: existen cargas elctricas aisladas, fuentes o sumideros delas lneas de campo.

2 Teorema de Gauss para el campo magntico:no existen los monopolos magnticos, siendo las lneasde campo cerradas.

3 Ley de Faraday: un campo B variable en el tiempocrea un E incluso en ausencia de cargas y son perpendiculares entre s.

4 Ley de Ampre-Maxwell: un campo Evariable en el tiempo crea un B inclusoen ausencia de cargas y son perpendicularesentre s.

Y esto tuvo muchas consecuencias.

LA LUZ COMO UNA ONDAo como un corpsculo????

Hemos estudiado como Maxwell se da cuenta que E y B estn relacionadosentre s, apareciendo el uno como consecuencia del otro sin necesidadde que existan cargas elctricas, por lo que especula un campo electromagntico en el que las ecuaciones que regan su comportamiento predecan que la interaccin entre ambos generara una onda en el espacio.

Manipulando sus ecuaciones se obtiene una ecuacin de onda electromagntica:

Fuentes primarias: cargas en reposo o en movimiento.

Fuentes secundarias: la variacin de los campos en el tiempo.

Si eliminamos toda la materia..

Se parecen mucho ms entre s si desaparece la materia!!!Pero no todo se anula sino que en el vaco siguen existiendo las fuentesSecundarias.

Entonces vemos que ambos campos estn interrelacionados, pero cmo podramos definir un campo sin tener presente el otro?

Imagina un punto con B (t) ya pensaremos despus cmo aparece esteprimer campo B- aumentando hacia la derecha cada vez ms. Por la ley de Faraday alrededor del punto aparecer un E rotacional en contrade ese B (t)

As aparece de la nada un E (t) que tambin vara con el tiempo porquelo hace el B que lo ha creado, por lo que, segn la ley de Ampre Maxwell se crear otro B (t)!!!! OTRO? Por lo que, por la ley deFaraday dar como consecuencia otro E (t), que crear a la su vez otroB (t) .

Pero vamos cmo son entre s estos E y B:

B1 ser antiparalelo a E1 por el signo menos de la ley de Faraday- que creara la vez un B2 paralelo a l la ley de Mapre-Maxwell es positiva- que ser a la vez antiparalelo al B1 original:

Energticamente podemos ver como que mientras el campo E1 empieza aCrecer al robar energa con la que creca el otro B1 , disminuyendo asSu ritmo de crecimiento, es l que induce B2 cada vez mayor y, por tanto, Pierde energa a su vez para alimentar al otro, creciendo menos.

Pero B2 no va en senntido de al B1 sino al contrario luego generar lo Mismo: B2 originar un E2 en contra de E1 y as sucesivamente

EL CAMPO EST OSCILANDO!!!!!B1E1E1B2E2B2E2BtotalBtotalBtotalBtotal

Ecuacin de cualquier ONDA Ecuacin obtenida anteriormenteINCREBLE!!!

LA TEORA DE LA RELATIVIDADqu ocurre cuando viajamos a la velocidad de la luz?????

A finales del s.XIX las leyes del movimiento estaban regidas por elPrincipio de la relatividad de Galileo: no hay forma de saber si un sistema est quieto o se mueve con velocidad constanteAlberto pensara que est quietoy que Ana es la que se acercaAna pensara que est quietay que Alberto es el que se acerca

Pero esto no se aplicaba a las ondas ya que las ondas electromagnticascomo la luz se mueven a una velocidad conocida: c, por lo que el quemide la velocidad de la luz es el que est quieto. As en 1900 el Principiode Relatividad (o de Equivalencia) no se aplicaba a la luz.Adems, las ondas conocidas como el sonido necesitaban de un mediomaterial para propagarse, as que la luz tambin y este supuesto terluminfero sera, adems, el sistema de referencia absoluto del Universoal estar quieto realmente.

En el experimento de Michelson y Morleyse hizo esto: medir la velocidad de la luz en dos direcciones distintas: la luz procedente de unafuente (A) se hace incidir en un semiespejo (B).parte de este rayo se refleja y llega al espejo Cy despus al observador, mientras que otra partede esa luz inicial pasa el semiespejo sin desviarsellegando al otro espejo C, que vuelve al observador.As, el rayo se divide en dos rayos perpendiculares entre s: uno se desplazaen la direccin de la Tierra y otro perpendicularmente a esta, con lo quela luz tendra que tener dos velocidades distintas pero esto no ocurra!!

Entonces cuando pareca que algo estaba mal lleg EINSTEIN que en1905 enuncia su Teora Especial de la Relatividad (TRE), con dos,en principio, sencillos postulados:

Todos los SR inerciales (v= cte) son equivalentes.La velocidad de la luz en el vaco es siempre la misma, independientemente de quin lo mida y quin la emita.El primer postulado es muy parecido a lo que yadeca Galileo: Si Ana y Alberto notan que se estnmoviendo uno respecto al otro es imposible queninguno de ellos sepa quin est parado y quin no. No tena sentido al no haber un punto de referencia fijo y en reposo de manera absoluta saber con certeza el estado de movimiento de unorespecto a otro. No puede haber ningn experimento que permita saber a Alberto si l est parado o no. Solo puede saber que se mueverespecto a Ana.

Adems, segn el segundo postulado si Ana mide la velocidad de la luz independientemente de su origen y cmo se mueva uno respecto a otrova a obtener 3x108 m/s..

Pero si pensamos que Alberto se mueve hacia Ana con una velocidad de200 000 km/s hacia Ana con una linterna, Alberto y Ana veran la luzalejarse o acercarse a 300 000 km/s????

Es una paradoja, que Einstein resolvera diciendo: es imposible hacerpreguntas absolutas: la realidad se convierte en lo observado por parte dealguien y sin ese alguien no podemos hablar de esa realidad. Pero sin embargo para nosotros parece que solo existe una realidad, verdad?Por ello se concluye, que esto suceder as porque las diferencias serntan pequeas (porque nuestra velocidad de unos respectoa otros es muy, muy pequea) que TODOS vemos casi lo mismo. Pero,qu ocurre cuando vamos a velocidades cercanas a la luz???

Una CONSECUENCIA de esto es la DILATACIN DEL TIEMPO. supn a Ana y Alberto en el vaco del espacio, lejos de cualquier objeto y que se estn moviendo uno respecto a otro a una velocidad constante,pasando Ana por delante de Alberto

Un rayo de luz rebota en los espejos haciendotic cada vez, como un reloj. Como la luz va a300 000 Km/s y recorre una distancia d fija, todoslos tics duran lo mismo (imaginemos que 1 s)

Por lo que la luz recorre un distancia mayor L y como la velocidad de la luzes constante para Alberto, . el rayo tarda ms tiempo en ir de un lugar aotro!!, con los que sus tics irn ms despacio con lo que para Alberto el tiempo de Ana est yendo ms despacio, pues todas las partculas interactan a la velocidad de la luz. (toda la informacin que recibes es a travsde la luz)

Por lo que cuanto ms rpido se mueva Ana ms lento le parece aAlberto que pasa el tiempo de Ana. Si Ana viajase a la velocidad de la luz. el rayo nunca podra alcanzar la otra pared!! Por lo que no habr tic y Anaparecer congelada para Alberto.

Esto le pasa a los FOTONES: al moverse a 3x108 m/s parece que para nuestroSR no cambian jams., el tiempo no pasa por ellos.

RELATIVIDAD DE SIMULTANEIDAD: hemos concluido que el Tiempo no es absoluto, depende del observador. Pero no solo se vemodificado el concepto de tiempo sino tambin el concepto desucesos simultneos, ya que no tiene sentido decir que dos cosas ocurren a la vez, ya que un observador puede decir que dos cosas ocurrena la vez, pero para otro observador este hecho no ocurre. VemosloAlberto est en el centro de un cubo de cristal,con dos espejos, uno delante y otro detrsde acuerdo con la perspectiva de Ana.Alberto enciende la luz y ve que esta sepropaga en todas las direcciones. Como el cubo est en reposo respecto a Alberto, l observa que la luz alcanza los espejos a la vez.

Pero, y para Ana? Segn ella, Alberto y el cubo se estn moviendorespecto a ella y pasan por delante suya. Alberto enciende la bombillapero para Ana cada rayo es diferente: el que va hacia delante debeperseguir el espejo pero el que va hacia detrs se lo encuentrahacia lPara Alberto al estar en reposola luz recorre la misma distanciapor lo que llegan los rayos a la vez.

Para Ana, al estar movindose elcubo respecto a ella, la luz deberecorrer ms hacia delante quehacia atrs y como c=cte, no llegana la vez.

Pero lo que se cumple es que en 2 SR existe la CASUALIDAD: si algoes causa de otra cosa en un SR (como que la bombilla se enciende y eso causaque los espejos brillen) ese algo SIEMPRE ocurre antes que su consecuenciaen otro SR (Ana nunca ver primero los espejos brillantes y despusencenderse la bombilla)

Bueno, ya hemos visto dos consecuencias de los dos postulados de la TeoraEspecial de la Relatividad: dilatacin del tiempo y relatividad de la Simultaneidad. Vamos con una tercera consecuencia: CONTRACCIN DELONGITUD. Para Ana la bombilla y el espejo estn en REPOSO, mientras que para Albertoes como si se estn ACERCANDO HACIA L.

Se enciende la bombilla. Alberto y Ana observan a la vez que un rayode luz llega a la pantalla y como pueden medir la distancia d bombilla-pantallay el tiempo que ha tardado en llegar la luz t, ambos pueden determinar lavelocidad c.Pero sabemos ya que Alberto y Ana no miden el mismo tiempo t sino queAlberto al estar en movimiento relativo medir un tiempo ms pequeo (t

Increble lo que ocurre, verdad? Pero ah no acaba todo. Otra consecuenciade estos dos postulados es: AUMENTO DE MASAAlberto y Ana tienen cada uno una pelota idntica que lanzan a la vezperpendicularmente a su movimiento. Como cada uno se consideraen reposo y al otro movindose hacia l, lo lanza perpendicularmentea la trayectoria del otro desde su SR pero oblicuamente respectoal otro.

XLanzan cada uno la bola de forma quechoquen a la mitad entre ambos cuandouno pasa junto al otro y les vuelve a lasmanos tras dicho choque. Para esto deben lanzar la pelota a la mismavelocidad respecto a cada uno.

Pero, qu observan ellos?

Ana (ella est en reposo y Alberto acercndose) lanza SU PELOTA a una velocidad inicial vY hacia abajo. Por otro lado, LA PELOTA de ALBERTO va oblicua v=cte -tiene una velocidad hacia la izquierda vX=cte y otra vY=cte hacia arriba que Alberto le ha dado-

Pero cuando Ana mira a Alberto, todo sucede ms rpido, por lo que la bolade Alberto baja ms rpido de lo que sube la suya, as que tras la colisinAna ve subir su pelota ms rpido y la de Alberto bajar ms despacio.Por otra parte de acuerdo con la teora de colisiones elsticas

Para que esto se cumpla la masa de la pelota de Alberto debe ser distintaa la suya!!! Debera tener una MASA MENOR (va ms rpido).

Desde luego, visto desde Alberto la bola de Ana tiene mayor masa y velocidadmenor tambin.Si la velocidad de Alberto es menor que la de la pelota de Ana, la masa de la pelota de Alberto tiene que ser mayor que la de Ana.

Ahora imaginemos que despus del choque Alberto acelerase. Ana vera ocurrir las cosas ms rpidas an y ms contrado (longitud) por lo queAlberto gastar ms energa para acelerar desde, por ejemplo, 210 000 km/shasta los 220 000 km/s que si lo hiciera de 200 000 km/s 210 000 km/s.

Por qu? Porque a 210 000 km/s su masa es ms grande que a 200 000 km/spor lo que cuesta ms acelerarla. As que a velocidad cercanas a la luz, lamasa sera INFINITA!!!!.

Y como cada vez que aceleras gastas ms energa (por tu mayor masa)JAMS PODRS ALCANZAR LA VELOCIDAD DE LA LUZ!!!!

ADICIN DE VELOCIDADES: segn Newton.

la velocidad total de la naranja sera de 400 000 km/s para Ana.

Ahora pensemos que Alberto tiene una linterna: Ana ver el rayo de luz alejarse a 500 000 km/s ??????? pero NO PUEDE SER de acuerdo con el segundo postulado!!!

Por tanto, no podemos sumar velocidades as como as desde la perspectiva de Einstein.

Recordemos el primer experimento.

Pero hay ms..

Efecto Doppler:Ana observar una velocidad total

Pero, y si Alberto se acerca a Ana en vez de alejarse?

PARADOJA DEL CORREDOR: vamos a imaginarnos ahora a Ana y Albertoy una granja cuadrada de 10x10 m. Esta granja tiene dos puertas, una enfrentede la otra. Ana est en reposo respecto a la granja que tiene una puerta abiertay otra cerrada.

Ahora Alberto, con un palo de 10 m de longitud corre hacia la puerta abiertaa 300 000 km/s, qu observarn cada uno de ellos?

Para Ana: como Alberto se mueve haciaella a una gran velocidad, la longitud de su palo es menor, por ej 6 m.Para Alberto: como Ana se mueve hacial a una gran velocidad, la longitud delgranero es menor por ej 6 m.

Para comprobar la relatividad a Ana se le ocurre colocar un dispositivo enla puerta abierta de forma que al pasar el extremo final del palo esta puertase cierra estando ambas cerradas- y un instante despus se abre la cerrada-quedando la primera cerrada y la segunda abierta ahora-

Para Ana Alberto lo consigue sin problemas, pero para Alberto no. Cmopuede ser esto si realmente la lgica nos hace pensar que midiendo el palo10 m y la granja 10 m s debera conseguirlo, tanto para uno como para otro?

ES UNA PARADOJA!!! Pero, entonces, cmo puedeser?Veamos, hemos estudiado ya que el tiempo es relativo yla simultaneidad de sucesos:Para Ana las puertas se cierran a la vez pues estn en reposorespecto a ella, pero para Alberto el tiempo no pasa igualal estar en movimiento respecto a ellas, por lo que los sucesos NO son SIMULTNEOS.

Para el SR de Alberto los sucesos de la puerta delantera ocurren antes que para Ana piensa en el reloj, la pared delantera est acercndose a l por lo que un rayo desde ese punto tardara menos en llegar por lo que eltiempo es ms rpido- Sin embargo, los sucesos de la puerta trasera ocurren despus que para el SR de Ana ahora la puerta trasera se aleja de l porlo que un rayo de luz tardara ms en llegar hasta Alberto-

De modo que Alberto ve las cosas pasar antes de tiempo en la puerta de saliday despus de tiempo en la puerta de entrada. La conclusin sera: si Ana ve lasdos puertas cerradas al mismo tiempo, y la segunda puerta abrirse inmediatamente despus de que se cierre la primera, Alberto ver lapuerta de salida abrirse antes de que se cierre la primera. Es decir: Alberto nunca ve las dos puertas cerradas

COSAS DE LA RELATIVIDAD!!!

Pero vamos a ver: no decas que la causalidad semantiene???????Si la puerta de salida se abre porque secierra la puerta de entrada, en el sistema deAlberto ocurre la consecuencia antes que la causa, la puerta de salida se abre antes de que se cierre lade entrada!No en el experimento mental que acabamos de realizar nunca se dice que una puerta se abra como consecuencia de que se cierre la otra. Para Ana se cierranlas dos puertas simultneamente., pero para Alberto no.

La cuestin es que el problema se complica bastante cuando se considera que una puerta se abra porque la otra se cierra, pero es posible razonar sobre ese caso, y voy a tratar de convencerte de que, incluso entonces, no hay contradicciones y la causalidad se mantiene.

Supongamos que Ana cierra la puerta de entrada cuando Alberto y el palo estn completamente dentro del granero y, en el momento en el que la puerta se cierra, una seal (por ejemplo, elctrica) ordena que se abra la puerta de salida.

En este caso, desde luego, Alberto se pega un buen porrazo contra la puerta de salida en su sistema de referencia, pues no le da tiempo a abrirse antes de que el extremo delantero del palo llegue a ella.

Pero, en ese caso, la puerta de salida no se abre inmediatamente: lo msrpido que la informacin puede llegar a ella desde la otra puerta esa la velocidad de la luz, en cuyo caso tardara unos 0,0000333segundosen abrirse, visto desde Ana... y el extremo delantero del palo slo tarda0,000017 segundos en llegar a la puerta de salida. Alberto se pega un tropezn en su propio sistema de referencia y en el de Ana. Dicho de otra manera y sin nmeros: si una puerta se abre comoconsecuencia de que se cierre la anterior, no da tiempo a que la causa se propague hasta la segunda puerta antes de que llegue Alberto, en ninguno de los dos sistemas de referencia.

La causalidad se mantiene.

PARADOJA DE LOS GEMELOS:

Ya vamos a despedirnos de nuestros Ana y Alberto y vamos a pensar ahora en dos gemelos idnticos: Jos y Miguel. Uno de ellos, Jos, decide viajar hasta un Planeta, Einstenon, que est a 10 aos de luz de la Tierra, tomando una naveque es capaz de viajar a 260 000 km/s (0,87c). Miguel se queda en la Tierra.

Qu ocurrir? Para Jos el tiempo de la nave es muy lento, ya que va acelerado,por lo que cuando vuelva a la Tierra se encontrar con su hermano gemeloMiguel que ser mucho ms anciano que l!!! Pero, para Miguel, el tiempotambin va acelerado, por lo que su tiempo ser ms lento, as que l serel viejo y Jos el joven. TENEMOS OTRA PARADOJA!!!!

Vamos a dar un reloj luminoso a cada uno de ellos, con un destello luminosocada segundo.

Segn Jos el viajero- la distancia al planeta no es de 10 aos-luz sinomenor, por ejemplo, de 5 aos-luz, por lo que al ir a 260 000 km/s deberecorrer a la ida 5 aos-luz (aprox. 5,77 aos) y lo mismo de vuelta, asque el tiempo total de viaje es de 11,55 aos.

Pero cuando Jos mira durante su viaje de ida a su hermano Miguel, los destellos de luz sern ms lentos (efecto Doppler) por un lado Joslo ve a cmara lenta por la dilatacin del tiempo y por otro lado el rayode luz debe perseguir a Jos para llevarle la informacin de la imagen-Cada destello del reloj de Miguel se producira para Jos cada 3,77 s.

Al llegar Jos al planeta aunque l haya experimentado 5,77 aos, el relojde su gemelo ha macado 3,77 veces menos: 1,55 aos.

Ahora cuando Jos da la vuelta, los destellos del reloj de su hermanogemelo se aceleran Miguel se est acercando a l- por lo que ahorason 3,77 veces ms rpido: cada 0,27 s. Por lo que Jos ahora ve lascosas a cmara rpida, por lo que para Alberto en vez de 5,77 aospasan 21,55 aos.As que segn el SR de Jos el tiempo que ha pasado es:Jos: 11,55 aos (5,77 aos ida- + 5,77 aos vuelta-.Alberto: 23,1 aos (1,55 aos ida- + 21,55 aos vuelta-)

Y en el SR de Miguel? Como respecto a l Jos se aleja, Miguel lo ve acmara lenta, ya que los destellos tardan ms tiempo en llegarle: cada 3,73 s.Aunque Jos d la vuelta (a los 11,55 aos a partir de Miguel), Miguel nove momentneamente acelerarse los destellos ya que esto ha sucedido a 10aos-luz de l, por lo que la aceleracin empieza a observarla a los 10aos de haber iniciado el viaje de vuelta. Mientras tanto a Miguel le estn llegando los destellos ralentizados.

Por lo que para Miguel, Jos est ralentizado durante 21,55 aos (11,55 aos+ 10 aos que tarda en llegar el primer destello acelerado) En ese tiempoal ir Jos a cmara lenta para l no habr pasado 21,55 aos sino 3,73 veces menos: 5,77 aos.

Despus de ese momento, Miguel ve a Jos acelerado pero slo un tiempomuy corto, Jos slo est ahora a 1,55 aos de la Tierra (11,55 aos deduracin para Alberto 10 aos que tarda el primer destello acelerado)

Estos 1,55 aos Miguel ve los destellos ms rpidos: 3,73 veces laluz va hacia Miguel- por lo que para l pasan 5,77 aos.

As que para el SR de Miguel el tiempo total que pasa para cada uno es:Miguel: 11,55 aos de ida + 11,55 aos vuelta= 23, 1 aos.Jos: 5,77 aos ralentizado- + 5,77 aos acelerado-= 11,55 aos.

EN AMBOS SISTEMAS PASA LO MISMO!!!

Alzando la mano dijo: -Dr. Einstein: yo no comprend todo lo que usted dijo y quisieraque me explique con detalle el significado de los trminos de la ecuacin nmero 3, que todava se puede ver arriba a la izquierda del pizarrn.

El chfer titube un solo instante, imperceptible para el pblico, y enseguidareplica: Mi querido profesor, me extraa que usted me haga esta pregunta. Lo que usted quiere saber, en realidad lo sabe cualquier persona. Es ms, mi chfer aqu presente se lo explicar.

Despus de ese da Albert deca que su chfer era brillante y contaba la historia cada vez que poda.