Ecuaciones de Maxwell

Teoría de Campos Electromagnéticos

Francisco A. Sandoval

fralbe

.com

Agenda

Ley de Faraday

Fuerza electromotriz estática y cinética

Corriente de desplazamiento

Versión definitiva de las ecuaciones de Maxwell

Potenciales variables en el tiempo

Campos armónicos en el tiempo

fralbe

.com

Quadrinho

fralbe

.com

Introducción

fralbe

.com

Introducción

Anteriormente, análisis de campos electromagnéticos

estáticos, o invariables en el tiempo.

Ahora, campos estáticos y magnéticos dinámicos, o

variables en el tiempo.

Campos dinámicos son interdependientes: campo eléctrico

variable en el tiempo implica necesariamente campo magnético

correspondientemente variable en el tiempo.

Poseen mayor valor práctico que los estáticos.

Campos dinámicos suelen deberse a cargas aceleradas o

corrientes variables en el tiempo. fralbe

.com

Introducción

Cargas estacionarias campos electrostáticos

Corrientes estacionarias campos magnetostáticos

Corrientes variables en el tiempo campos (u ondas) electromagnéticos

Diversos tipos de corriente variable en el tiempo: a) sinusoidal, b) rectangular, c) triangular

fralbe

.com

Ley de Faraday

fralbe

.com

Ley de Faraday

Faraday descubrió que la fuerza electromotriz

inducida, 𝑉𝑓𝑒 (en volts), en un circuito cerrado

es igual a la rapidez de cambio del

eslabonamiento de flujo magnético por el

circuito.

𝑉𝑓𝑒 = −𝑑𝜆

𝑑𝑡= −𝑁

𝑑𝜓

𝑑𝑡

𝑁, es el número de vueltas en el circuito

𝜓, flujo a través de cada una de ellas.

−, indica que el voltaje inducido es contrario al flujo que lo produce. (Ley de Lenz) fralbe

.com

Ley de Faraday

Campos eléctricos (hasta ahora) son causados por cargas

eléctricas.

Existen otros campos, producidos por fuerza

electromotriz.

Fuentes de fuerza electromotriz: generadores eléctricos,

baterías, pilas termoeléctricas, pilas de Grove, y pilas

fotovoltaicas. (convierten energía no eléctrica en eléctrica)

generador

fralbe

.com

Ley de Faraday

Circuito en el que se muestra un campo

generador de fuerza electromotriz 𝑬𝑓 y

un campo electrostático 𝑬𝑒

• La acción electroquímica de

la batería da como resultado

un campo producido por

fuerza electromotriz 𝑬𝑓.

• La acumulación de carga en

las terminales de la batería

causa asimismo un campo

electrostático 𝑬𝑒. • El campo eléctrico total en

cualquier punto es:

𝑬 = 𝑬𝑓 + 𝑬𝑒 fralbe

.com

Ley de Faraday

La fuerza electromotriz de la batería es la integral de línea del campo producido por esa fuerza

𝑉𝑓𝑒 = 𝑬𝑓 ∙ 𝑑𝒍𝑃

𝑁

= − 𝑬𝑒 ∙ 𝑑𝒍 = 𝐼𝑅𝑃

𝑁

Puede interpretarse como la diferencia de potencial 𝑉𝑃 − 𝑉𝑁 entre los terminales de la batería en circuito abierto.

1. Un campo electrostático 𝑬𝑒 no puede mantener una corriente estacionaria en un

circuito cerrado, ya que 𝑬𝑒 ∙ 𝑑𝒍𝐿= 0 = 𝐼𝑅

2. Un campo producido por fuerza electromotriz 𝑬𝑓 no es conservativo.

3. Excepto en electrostática, voltaje y diferencia de potencial por lo general no son

equivalentes.

fralbe

.com

Fuerza electromotriz estática y

cinética

fralbe

.com

Fuerza electromotriz estática y cinética

𝑉𝑓𝑒 = −𝑁𝑑𝜓

𝑑𝑡

En el caso de circuito de una vuelta (𝑁 = 1)

𝑉𝑓𝑒 = −𝑑𝜓

𝑑𝑡

En términos de 𝑬 y 𝑩.

𝑉𝑓𝑒 = 𝑬 ∙ 𝑑𝒍 = −𝑑

𝑑𝑡 𝑩 ∙ 𝑑𝑺𝑆𝐿

𝑆 es el área de la superficie del circuito delimitado por la trayectoria cerrada 𝐿.

Los campos eléctricos como magnéticos están presentes y se interrelacionan en un situación de variación de tiempo.

𝑑𝒍 y 𝑑𝑺 son acordes con la regla de la mano derecha y el teorema de Stokes.

fralbe

.com

Fuerza electromotriz estática y cinética

La variación de flujo con el tiempo, puede deberse a tres

causas:

1. Una espira estacionaria en un campo 𝑩 variable en el

tiempo.

2. Una espira de área variable en el tiempo en un campo 𝑩

estático.

3. Una espira de área variable en el tiempo en un campo 𝑩

variable en el tiempo.

fralbe

.com

Espira estacionaria en un campo 𝑩 variable

en el tiempo

Una espira conductora estacionaria se ubica en un campo magnético 𝑩 variable en el tiempo.

𝑉𝑓𝑒 = 𝑬 ∙ 𝑑𝒍 = − 𝜕𝑩

𝜕𝑡∙ 𝑑𝑺

𝑆𝐿

A esta fuerza electromotriz inducida por una corriente variable en el tiempo en una espira estacionaria se le llama fuerza electromotriz estática.

Aplicando teorema de Stoke al termino intermedio:

𝛻 × 𝑬 ∙ 𝑑𝑺 = − 𝜕𝑩

𝜕𝑡∙ 𝑑𝑺

𝑆𝐿

𝛻 × 𝑬 = −𝜕𝑩

𝜕𝑡 fra

lbe.co

m

Una espira de área variable en el tiempo en

un campo 𝑩 estático.

La fuerza sobre una carga en movimiento a una velocidad uniforme 𝒖 en un campo magnético 𝑩 es

𝑭𝑚 = 𝑄𝒖 × 𝑩

El campo eléctrico cinético 𝑬𝑚

𝑬𝑚 =𝑭𝑚𝑄= 𝒖 × 𝑩

Suponer que una espira conductora en movimiento a una velocidad uniforme 𝒖 se compone de gran número de electrones libres, la fuerza electromotriz inducida en ella es:

𝑉𝑓𝑒 = 𝑬𝒎 ∙ 𝑑𝒍𝐿

= 𝒖 × 𝑩 ∙ 𝑑𝒍𝑳

Fuerza electromotriz presente en máquinas eléctricas como motores, generadores y

alternadores.

Fuerza electromotriz cinética o

por corte de flujo. fralbe

.com

Una espira de área variable en el tiempo en

un campo 𝑩 estático.

Fuerza electromotriz inducida debida a

una espira en un campo 𝑩 estático

Precauciones:

1. La integral de esta ecuación es igual a cero a lo largo de la porción de la espira

en la que 𝒖 = 0.

2. La dirección de la corriente inducida es la misma que la de 𝑬𝑚 o 𝒖 × 𝑩. Los

límites de la integral de esta ecuación se seleccionan en la dirección opuesta a

la de la corriente inducida.

fralbe

.com

Una espira de área variable en el tiempo en

un campo 𝑩 variable en el tiempo.

Situación general, con presencia de fuerza electromotriz

estática y cinética.

fralbe

.com

Ejemplo 1- Enunciado

fralbe

.com

Ejemplo 1 - Solución

fralbe

.com

Ejemplo 1 - Solución

fralbe

.com

Corriente de Desplazamiento

fralbe

.com

Corriente de Desplazamiento

Reconsiderando ley de circuitos de Ampere, en función

de la variación en el tiempo:

𝛻 × 𝑯 = 𝑱

La divergencia del rotacional de un campo vectorial es

idéntica a cero.

𝛻 ∙ 𝛻 × 𝑯 = 0 = 𝛻 ∙ 𝑱

La continuidad de la corriente, exige que:

𝛻 ∙ 𝑱 = −𝜕𝜌𝑣𝜕𝑡≠ 0

Las ecuaciones anteriores son incompatibles respecto de

variación en el tiempo.

fra

lbe.co

m

Corriente de Desplazamiento Se añade un término a la ecuación:

𝛻 × 𝑯 = 0 = 𝑱 + 𝑱𝑑

La divergencia del rotacional de un vector es igual a cero.

𝛻 ∙ 𝛻 × 𝑯 = 0 = 𝛻 ∙ 𝑱 + 𝛻 ∙ 𝑱𝑑

𝛻 ∙ 𝑱𝑑 = −𝛻 ∙ 𝑱 =𝜕𝜌𝑣𝜕𝑡=𝜕

𝜕𝑡𝛻 ∙ 𝑫 = 𝛻 ∙

𝜕𝑫

𝜕𝑡

𝛻 × 𝑯 = 𝑱 +

𝜕𝑫

𝜕𝑡

𝑱𝑑 =𝜕𝑫

𝜕𝑡 Densidad de corriente de desplazamiento

𝑱, densidad de corriente de conducción fralbe

.com

Corriente de Desplazamiento

Inserción de 𝑱𝑑 , una de las mayores contribuciones de

Maxwell.

A bajas frecuencias 𝑱𝑑 suele ser insignificante en

comparación con 𝑱, pero en radiofrecuencias son

comparables.

La corriente de desplazamiento se define como:

fralbe

.com

Corriente de Desplazamiento La aplicación de la versión

estricta de la ley de circuitos de Ampère a la trayectoria cerrada 𝐿 de la figura (a) resulta:

𝐼, es la corriente a través del

conductor.

𝑆1, superficie plana delimitada por 𝐿.

Para la figura (b)

Por 𝑆2 no fluye corriente de

conducción.

Existe contradicción.

Dos superficies de integración que

demuestran la necesidad de 𝑱𝑑 en la ley

de los circuitos de Ampère. fralbe

.com

Corriente de Desplazamiento

Es necesario incluir la corriente de desplazamiento.

La densidad de corriente total es 𝑱 + 𝑱𝑑.

Para la figura (a), 𝑱𝑑 = 0.

Para la figura (b), 𝑱 = 0. De modo que:

fralbe

.com

Versión definitiva de las ecuaciones de Maxwell

fralbe

.com

Versión definitiva de las ecuaciones de

Maxwell

fralbe

.com

Versión definitiva de las ecuaciones de

Maxwell

fralbe

.com

Versión definitiva de las ecuaciones de

Maxwell

fralbe

.com

Campos Armónicos en el Tiempo

fralbe

.com

Campos Armónicos en el Tiempo

Además de ser de valor práctico, el análisis sinusoidal

puede prolongarse a la mayoría de las formas de ondas

por medio de técnicas de transformación de Fourier.

Los sinusoides son de fácil expresión en fasores.

Un campo armónico en el tiempo es el que varía periódica o sinusoidalmente en el

tiempo.

fralbe

.com

Fasores

𝑗 = −1

𝑥 parte real de 𝑧 𝑦 parte imaginaria de 𝑧 𝑟 es la magnitud de 𝑧

𝜙 es la fase de 𝑧

Un fasor 𝑧 es un número complejo que puede expresarse como

fralbe

.com

Fasores

Efectuar adición y substracción de fasores en forma rectangular, y la multiplicación y división en forma polar.

Propiedades básicas

Adición:

Sustracción:

Multiplicación:

División:

Raíz Cuadrada:

Conjugado complejo:

fralbe

.com

Campos Armónicos en el Tiempo

Ecuaciones de Maxwell para campos armónicos en el tiempo suponiendo el

factor de tiempo 𝑒𝑗𝜔𝑡 fra

lbe.co

m

Referencias

fralbe

.com

Bibliografía y Referencias

Sadiku, Matthew N. O. «Elementos de Electromagnetismo»,

Editorial Alfaomega, Oxford University Press, 2010.

fralbe

.com

Esta obra esta bajo licencia Creative Commons

de Reconocimiento, No Comercial y Sin Obras

Derivadas, Ecuador 3.0

www.creativecommons.org

www.fralbe.com fra

lbe.co

m