6886891 Cap1 Ecuaciones de Maxwell

7/29/2019 6886891 Cap1 Ecuaciones de Maxwell

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TEORA ELECTROMAGNTICA

CAPTULO 1

ECUACIONES DE MAXWELL

1.1 Introduccin a las ecuaciones de Maxwell.

Para el mejor aprovechamiento de este curso se recomienda haber estudiado las

relaciones electrostticas, con la ley experimental de Coulomb, los campos magnticos

estticos producidos por el movimiento de cargas, la distribucin de cargas estacionarias

y el movimiento uniforme de cargas (velocidad constante) , as como la relacin

entre campos elctricos y magnticos provocada por el movimiento relativo de cargas. Y

que un campo elctrico estable que acta sobre un conductor, forza en ste una corrienteestable, la cual provoca a su vez un campo magntico esttico.

En este curso vamos a considerar un caso ms general para los campos, es decir ,

consideraremos los campos que resultan del movimiento de cargas, el cual puede variar

con el tiempo .

Esto conduce a la propagacin de la energa en la forma de ondas electromagnticas.

Las ecuaciones de Maxwell en su forma general son:

Forma Integral Forma de Producto Punto

Ley de Faraday

Ley de Ampere

1er Ley de Gauss

2a Ley de Gauss

Donde:


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E = Intensidad de campo elctrico V/m

E = Flujo Elctrico en Coulombs

D = Densidad de flujo elctrico C/m2

H = Intensidad de campo magntico A/m

B = Densidad de flujo magntico Wb/m2 o T

m = Flujo Magntico Wb

JT = Densidad de corriente total A/m2

Jc = Densidad de corriente de conduccin A/m2

Jd = Densidad de corriente de desplazamiento A/m2

v = Densidad del volumen de carga C/m3

Todas las variables son vectores dependientes de x,y,z,t, por ejemplo E(x,y,z,t).

La compilacin de las ecuaciones y su consolidacin como conjunto, ms el desarrollo

del concepto de densidad de corriente de desplazamiento, se debe a James ClerkMaxwell, un fsico y matemtico escocs del siglo XIX.

A pesar de que l no descubri estas ecuaciones, el conjunto de ellas lleva su nombre

porque fu l quien compil los resultados obtenidos por Ampere, Faraday, Gauss,Coulomb y otros, e hizo importantes adiciones a la ley de Ampere (el concepto de

desplazamiento de corriente).

En este captulo vamos a estudiar cada una de estas ecuaciones por separado.

1.2 Ley de Faraday.

Sabemos que una corriente estable produce un campo magntico, en 1831 Michael

Faraday demostr que un campo magntico variante en el tiempo puede producir unacorriente elctrica. Quizs es ms exacto decir que lo que Faraday descubri fue que


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cuando se altera el flujo magntico que pasa por un circuito cerrado, entonces se induce

un voltaje o fuerza electromotriz (fem), la cual podra producir una corriente en estecircuito.

Otra forma de expresar la Ley de Faraday es: "La energa se puede transferir de un

circuito a otro, no conectado con el primero, a travs de un flujo magntico deenlace; entonces se dice que los dos circuitos estn magnticamente acoplados". Labase de esta accin magntica es la Ley de de Faraday de induccin electromagntica,ecuacin 1.1.

Figura. 1.1a

Figura. 1.1bFigura 1.1. Ilustracin de la relacin entre B y la corriente inducida.

La ley de Faraday se puede escribir de la siguiente manera:

o Volts Ecuacin 1.1

Donde mes el flujo magntico (en Webers) que pasa a travs de cualquier superficie Slimitada por el circuito (ruta cerrada C). El flujo que produce la corriente resultante (oinducida) se opone a los cambios en el flujo original. La ltima oracin es un enunciado

de la Ley de Lenz y es la que da el signo menos a la ecuacin de la fem, ecuacin 1.1.


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Es decir, que se induce un voltaje en un circuito cerrado cuando cambia el flujomagntico de enlace con este circuito; la fueraza electromotriz (fem) siempre existe enuna direccin tal que se opone al cambio de flujo.

La fuerza electromotriz es un voltaje debido a alguna forma de energa distinta a la

energa elctrica y se define como:

Ecuacin 1.2

Si el flujo se puede encontrar integrando la componente normal de la densidad de flujo,

sobre la superficie que nos interesa, entonces:

Ecuacin 1.3

Combinando estas tres ecuaciones (1.1, 1.2 y 1.3) obtenemos:

Ecuacin 1.4

El teorema de Stokes nos dice que :

Ecuacin 1.5

Aplicando el teorema de Stokes al lado izquierdo de la ecuacin 1.4 obtenemos

Ecuacin 1.6

Donde S1 y S2 son cualquier superficie abierta limitada por la ruta cerrada de la ecuacin

1.2 Ntese que s1 y s2 no son necesariamente la misma superficie, pero sus lmites s.

Si la ruta cerrada es fija o estacionaria, entonces S1 y S2 no son dependientes del tiempo.Si as ocurre, entonces podemos derivar a B dentro de la integral, parcialmente en el

tiempo:


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.

Entonces:

Ecuacin 1.7

La ecuacin anterior es vlida sin importar S1, ni S2, ni sus respectivos lmites; por lotanto, si S1 y S2 son idnticos, entonces la igualdad de la ecuacin 1.6 se cumple slo si

los integrandos son iguales. Por lo tanto:

Ecuacin 1.8

Y se deduce que E es no conservativo ( ). Esta es la forma diferencial de una de

las ecuaciones de Maxwell, la forma integral se obtiene de la ecuacin 1.4. con la S fija (

). Entonces:

Ecuacin 1.9

La primer ecuacin de Maxwell (ley de Faraday) para el caso electrosttico ( / t = 0),

en sus dos versiones, Forma integral y forma de producto punto. Se obtienen

inmediatamente:

Ecuacin 1.10

Ecuacin 1.11

Ejemplo Sugerido 2-1 Un lazo circular de 10 cm de radio se localiza en el espacio librejunto a un conductor que lleva una corriente senoidal de 0. 5 Amperes a 1 Khz . Calculeel voltaje inducido en un pequeo espacio del lazo si el conductor est a una distancia de

15 cm del centro del lazo.


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En este punto del curso vale la pena indicar claramente las propiedades del espacio libre

y las de un dielctrico perfecto:

Propiedaddel Medio

NombreEspacio

libreDielctrico

perfecto

Permitividad Permitividad

Totalo o

Permeabilidad Permeabilidad

Totalo o

rPermitividad

Relativa 1 1

rPermeabilidad

Relativa 1 1

Conductividad 0 0

v Densidad Volumtricade Carga 0 0

Tambin es importante recordar que en los materiales NO ferromagnticos r=1 y= o

Y en los materiales ferromagnticos r>1 y o.

1.3 Leyes de Gauss.

La ley de Gauss establece que "El flujo elctrico que pasa a travs de cualquiersuperficie cerrada es igual a la carga total que est dentro de la superficie" .

La importancia de la contribucin de Gauss no radica en establecer la ley, sino en darleuna expresin matemtica.

Si imaginamos una distribucin de carga, mostrada como una nube de cargas puntuales,

en la figura 1.2, rodeada por una superficie cerrada de cualquier forma. La superficie


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cerrada podra ser la superficie de algn material real, pero ms generalmente podra ser

cualquier superficie cerrada que deseemos visualizar. Si la carga total es Q, entoncespasarn Q Coulombs de flujo elctrico por el interior de la superficie. En cada punto de lasuperficie el vector de densidad de flujo elctrico D tendr un valorDs, donde elsubndice s nos recuerda que D debe evaluarse en la superficie, y Ds en general va a

variar en magnitud y direccin de un punto a otro de la superficie.

Ahora vamos a considerar un elemento incremental S de la superficie, el cual es tanpequeo que puede considerarse una porcin plana de la superficie, la completa

descripcin de s requiere no slo su magnitud, sino tambin su direccin, es decir, su

orientacin en el espacio .

En otras palabras S es una cantidad vectorial. La nica direccin que se le puede asociar

a S es la direccin de la normal al plano que es tangente a la superficie en el punto en

cuestin. Existen dos normales que podran asociarse a S, se selecciona la que "salga"

de la superficie cerrada.

Figura 1.2 Ilustracin de la obtencin de la ley de Gauss para campos elctricos.

Consideremos un elemento S en cualquier punto P y sea el ngulo que forman Ds conS , como se muestra en la figura 1.1. Entonces, el flujo que pasa a travs de S es el

producto de la componente normal de Ds y de s,

= flujo a travs de S = (Ds, normal)( s) = (DsCos S) Ecuacin 1.12

Si aplicamos la definicin de producto punto: A.B = |A||B|Cos AB.


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Entonces:

= Ds. S Ecuacin 1.13

El flujo total que pasa a travs de la superficie cerrada se obtiene sumando todas las

contribuciones diferenciales de flujo que pasan a travs de S

#9; #9; #9; Ecuacin 1.14

En el lmite, cuando el incremental de superficie (infinitesimal) S tiende a cero, la doblesumatoria se convierte en una doble integral:

Ecuacin 1.15

La integral resultante es una integral de superficie cerrada y puesto que ds siempre

involucra las diferenciales de dos coordenadas, entonces la integral es una doble integral,

se utiliza una S abajo del signo de la integral para indicar que es una integral desuperficie. Una ltima convencin es poner un pequeo crculo en el signo de la integral

para indicar que la integral se va a hacer sobre una superficie cerrada. Entonces la

formulacin matemtica de la ley de Gauss es:

Ecuacin 1.16

Ahora, la carga contenida podran ser varias cargas puntuales:

Ecuacin 1.17

O una carga lineal (que tiende de n a infinito).

Ecuacin 1.18

O una carga de superficie


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Ecuacin 1.19

O una carga de volumen

Ecuacin 1.20

La ltima forma es la ms usada y debemos estar de acuerdo en que es una generalizacinde las tres anteriores. La ley de Gauss se puede escribir como:

Ecuacin 1.21

Una expresin matemtica que simplemente quiere decir que "El flujo elctrico total

que puede pasar a travs de cualquier superficie cerrada es igual a la cargacontenida por esa superficie". Esta es la primer ley de Gauss y la tercer ecuacin deMaxwell.

Hemos obtenido la tercera ecuacin de Maxwell en su forma integral, para su forma enproducto punto aplicamos el teorema de la Divergencia a la parte izquierda de 1.21:

El teorema de la divergencia nos dice que:

Ecuacin 1.22

donde V es el volumen contenido o limitado por la superficie S.

Aplicando el teorema de la divergencia al lado izquierdo de la ecuacin 1.21:

Ecuacin 1.23

Como los volmenes en 1.23 son los mismos, entonces la igualdad se cumple slo si losintegrandos son iguales, as tenemos la forma puntual de la tercer ecuacin de Maxwell:

Ecuacin 1.24


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Para demostrar la segunda ley de Gauss (Llamada tambin Ley de Gauss para Campos

Magnticos) o Tercer ecuacin de Maxwell definimos

el vector de densidad de flujo magntico B como:

Ecuacin 1.25

Donde:

a) B se mide en Weber/m2 o en el SIU en Teslas (T), tambin se puede utilizar el Gauss(G) donde 1 Wb/m2 = 10E3 G.

b) , la permeabilidad en el espacio libre, es: =4 x 10-7Hy/m y H es equivalente a

A/m .

es la inductancia por unidad de longitud de una lnea de transmisin inmersa en el

medio al cual representa.

Haciendo una analoga entre B y D podemos definir a m como el flujo magntico quepasa por una superficie S (a la cual se le agreg el subndice m para indicar que es ladensidad de flujo magntico y diferenciarlo de el flujo elctrico E de (1.16)

tenemos:

Ecuacin 1.26

En (1.16) el flujo elctrico E es igual a Q la carga encerrada porS:

Ecuacin 1.27

La carga Q es la fuente de las lneas de flujo elctrico y estas lneas empiezan en cargaspositivas y terminan en cargas negativas.

Para las lneas de flujo magntico no se ha descubierto una fuente anloga a Q. Las lneas

de flujo magntico son cerradas y no terminan en una "carga magntica ". Por esta raznla ley de Gauss para campos magnticos es:

Ecuacin 1.28a

Como en 1.16, se aplica a 1.28 el teorema de la divergencia y se obtiene la forma puntualde la Segunda Ley de Gauss Ley de Gauss para Campos Magnticos o CuartaEcuacin de Maxwell:


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.B = 0 Ecuacin 1.28b

No se ha probado(1.16) ni (1.28), pero se ha sugeridosu validez. Y hay que hacer notar

que la densidad de flujo magntico Bes solenoidal ya que no tiene fuente.

Las siguientes relaciones son importantes:

D = E Ecuacin 1.29

B = HEcuacin 1.30

Jc = EEcuacin 1.31. Densidad de corriente de conduccin.

La permeabilidad total de un medio se compone de la permeabilidad relativa del medio,

r, (la cual carece de unidades) y la permeabilidad del espacio libre, o de manera similar

se

comporta la permitividad total de un medio, la cual se compone de la permitividad

relativa del medio, r, (la cual carece de unidades) y la permitividad del espacio libre, o,ver ecuaciones 23.1:

= r oEcuacin 1.32a

= r oEcuacin 1.32b

Donde:

o = (1/36)X10-9

Fd/m Y o= 4X10-7

Hy/m.

Ejemplo Sugerido:Sea D = ( 8x + 4x 3 )ax - 2y ay + 2z az C/m2 . Utilize la ley de Gausspara calcular la carga encerrada en la regin cbica: - a < xyz < a.


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1.4 Ley de Ampere y Corriente de Dezplazamiento.

La ley de Ampere (o quizs sea ms correcto decir la ley circuital de Ampere)

simplemente establece que la integral de lnea de H alrededor de cualquier ruta cerrada (o

la circulacin de H) es igual a la corriente encerrada por esa ruta. La ruta es

completamente arbitraria. La direccin de la corriente se encuentra aplicando la regla dela mano derecha, la ley en su expresin matemtica es:

Ecuacin 1.33

Esta expresin se puede derivar directamente de la ley de Biot-Savart, es unademostracin larga y tediosa, vamos a aceptar (1.33) como definicin para obtener la

segunda ecuacin de Maxwell en su forma puntual.

Si se aplica el teorema de Stokes al lado izquierdo de 1.33:

Ecuacin 1.34

Donde la superficie abierta S, est rodeada por el contorno C.

Ecuacin 1.35

Donde S1 es cualquiera de las posibles superficies abiertas definidas por la ruta deintegracin C, usada para la integral de lnea. Si substituimos la parte central de (1.35) enel lado izquierdo de (1.33) obtenemos :

Ecuacin 1.36

Puesto que la ley de Ampere establece que S1 y S2 son arbitrarias, podemos entonceshacerlas idnticas, pero an arbitrarias.

En este caso tenemos:

Ecuacin 1.37

Si S es arbitraria, los lmites de integracin pueden ser idnticos y en este caso laigualdad se cumple slo si los integrandos son iguales. Es decir, para que la igualdad se


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Ecuacin 1.44

Ecuacin 1.45

la cual es la segunda ecuacin de Maxwell en su forma de producto punto.

El trmino agregado, , fue la principal contribucin de Maxwell y debido a esta

contribucin se asocia su nombre con el conjunto de ecuaciones. Este trmino esobviamente una densidad de corriente (A/m2) , y as lo nombr Maxwell: Densidad deCorriente de Desplazamiento (derivada en el tiempo de la densidad de flujo elctrico).

A la corriente de desplazamiento de le denomina:

Ecuacin 1.46

En la mayora de las aplicaciones de baja frecuencia, la corriente de desplazamiento es

despreciada. Esta es una razn porque su presencia no fue fcil de verificar o detectar,

hasta que hubieron fuentes de alta frecuencia.

Para obtener la forma integral de la 2a ecuacin de Maxwell, hay que integrar ambos

lados de (1.45) sobre una superficie abierta fija, haciendo esto tenemos:

Ecuacin 1.47

Si aplicamos el teorema de Stokes al lado izquierdo de (1.46) tenemos.

Ecuacin 1.48

La cual es la forma integral de (1.45), la segunda ecuacin de Maxwell.


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Ejemplo Sugerido: Un dielctrico con prdidas tiene = 4 10- 7 H/m , = ( 10- 8 / 36 )F/m y = 2 x 10- 8 S/m . Si se tiene un campo elctrico E = 200 sen t az V/m en el

dielctrico.

a) A qu frecuencia tendrn iguales magnitudes la corriente de conduccin y la corrientede desplazamiento ?.

b) A esta frecuencia calcule la corriente de desplazamiento instantnea.

Solucin:

1.5 Campos de tipo Senoidal y fasores.

El mayor nfasis en nuestro estudio de las ecuaciones de Maxwell para campos variantes

en el tiempo se har con el comportamiento senoidal de la campos vectoriales. Para este

caso, los campos se van a escribir en la forma de fasores, lo cual va a simplificarnosconsiderablemente los detalles matemticos.

Para ilustrar este importante concepto, vamos a escribir el vector intensidad de campo

elctrico de la siguiente manera:

Ecuacin 1.49

Supongamos que cada uno de estos componentes tiene una variacin senoidal en el

tiempo (la cual vamos a suponer arbitrariamente que es cosenoidal) de la forma :

Ecuacin 1.49a

Ecuacin 1.49b

Ecuacin 1.49c


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Donde las magnitudes y los ngulos de fase de los

componentes son independientes del tiempo t, pero podran depender de las coordenadas

espaciales, por ejemplo, Cada una de estas formas en el tiempo la

vamos a escribir en forma fasorial, pro ejemplo, la forma fasorial de es:

Ecuacin 1.50

Y de manera similar se hace para los fasores:

Las ecuaciones en el dominio del tiempo se pueden obtener a partir de los fasores al

multiplicar por y tomando la parte real del resultado:

Ecuacin 1.51

En donde se aplic la identidad de Euler

y Ecuacin 1.52 a y b

Y Re(.) es la parte real de la cantidad compleja. El campo vectorial completo se puede

escribir de igual manera como:

Ecuacin 1.53

Ecuacin 1.53

Ecuacin 1.54

Con este resultado podemos definir la forma fasorial del campo vectorial como:

Ecuacin 1.55

Y (1.51) se puede escribir como:

Ecuacin 1.56


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Para resolver los problemas involucrados con la variacin senoidal de los campos

vectoriales, reemplazamos los campos vectoriales por sus formas fasoriales multiplicadas

por .

Ecuacin 1.57a

Ecuacin 1.57b

Ecuacin 1.57c

Ecuacin 1.57d

Ntese que la derivada con respecto al tiempo, de las formas (1.57) es equivalente a

multiplicarlas por j ; es decir:

Ecuacin 1.58

Esta importante propiedad permite una gran simplificacin en la solucin de estos

problemas. Si sustituimos (1.57) y (1.58) en las ecuaciones de Maxwell y cancelando ,

trmino comn a ambos lados de las ecuaciones, obtenemos:


Ecuacin 1.59a

Ecuacin 1.59b

Ecuacin 1.59c

Ecuacin 1.59d

El producto de cada fasor de campo vectorial y se puede ver como compuesto de dos

partes. Por ejemplo, la componente en X de se puede escribir como:


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Ecuacin 1.60

Ecuacin 1.60

Donde Im(.) denota la parte imaginaria de la cantidad compleja. De esta manera, es

la suma de dos trminos:

Ecuacin 1.61

Puesto que cada una de las ecuaciones de Maxwell es lineal, cada ecuacin en (1.59), al

multiplicarse por , se puede factorizar como la suma de dos ecuaciones:

una para las partes Re(.) y otra para las partes jIm(.). As, resolvemos para (1.42) yutilizamos la porcin deseada de la solucin. Por lo tanto, resolviendo (1.59) para las

cantidades fasoriales complejas obtenemos las formas en el dominio del

tiempo de las soluciones, simplemente multiplicando cada fasor por y tomando la

parte real del resultado.

Si el medio es lineal, homogneo e isotrpico (lo cual supondremos de aqu enadelante), (1.59) se vuelve:


Ecuacin 1.62a

Ecuacin 1.62b

Ecuacin 1.62c

Ecuacin 1.62d

Aqu la permitividad, permeabilidad y conductividad pueden ser funciones de la

frecuencia [ (f), (f), (f)], como ocurre para los medios materiales.


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Se va a utilizar ( ) para designar no slo las cantidades fasoriales complejas, sino

tambin otras cantidades que sean complejas.

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