5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas

ortogonales.

Recta tangente y recta normal a una curva en un punto.

Si una función posee una derivada en el punto , la curva tiene una tangente en el

punto cuya pendiente está dada por

.

Se sabe que la ecuación de la recta que pasa por un punto y con una pendiente dada es:

. Por lo tanto, si se sustituye la pendiente por la derivada, la ecuación de la

recta tangente en un punto de una curva es:

.

Recordando que si la recta tangente es horizontal. Si la recta tangente es vertical.

Una recta normal a una curva en uno de sus puntos es la recta que pasando por dicho punto es

perpendicular a la recta tangente en él.

La condición de perpedicularidad entre dos rectas cuyas pendientes son y es:

, esto es:

.

Si es la pendiente de una recta tangente y es la pendiente de la recta normal, ellas tienen

que cumplir la condición de perpendicularidad, es decir:

. Usando la derivada nos queda:

.

Ejercicio

Encuentre la ecuación de la recta tangente y la normal a la parábola en el punto (2, 3)

y dibuje un segmento de estas rectas.

Solución

La pendiente de la función en el punto (2, 3) se halla encontrando la derivada y evaluando para

:

Por lo tanto la pendiente de la recta tangente el punto (2, 3) es .

Usando la ecuación punto-pendiente de la recta y sustituyendo tenemos:

tangente

normal

2, 3

4 2 2 4

20

15

10

5

5

10

15

Asi:

Cuya gráfica correspondiente es:

Para encontrar la recta normal a la curva primero hallamos su

pendiente:

Usando la ecuación punto-pendiente de la recta y sustituyendo

tenemos:

La gráfica correspondiente a la curva normal es mostrada en la

figura de la derecha.

Ejemplo de uso de software:

y x2 1

punto de

tangencia

y 4 x 5

4 2 2 4

20

15

10

5

5

10

15

Usando el ejemplo anterior graficar la función, la recta tangente, la normal y marcar el punto con

un circulo. A continuación se muestran los comandos a usar en Mathematica.

Ejercicios para practicar en equipo:

Encuentre la ecuación de la recta tangente y la normal a las siguientes funciones en el punto

indicado y dibuje estas rectas.

1.

2.

Angulo entre dos curvas

Dadas dos curvas cualesquiera, el ángulo de intersección entre ellas está dado por el ángulo

formado por sus tangentes en el punto de intersección.

El procedimiento para obtener el ángulo de intersección entre dos curvas se sigue el siguiente

procedimiento:

1. Se calculan las coordenadas de los puntos de intersección, resolviendo las ecuaciones

formadas por las funciones.

2. Se derivan las ecuaciones para encontrar las pendientes de las tangentes de las curvas

para cada uno de los puntos de intersección.

3. Se aplica la siguiente expresión para encontrar el ángulo entre dos curvas

.

Ejemplo.

Hallar el ángulo de intersección entre las dos curvas: .

Solución.

y1 4 x2 5 x 7

y2 6 x2 2 x 5

(4/5,-11/25)

(-3/2,-11/2)

2 1 1 2

8

6

4

2

2

4

6

9.94°

0.5 1.0 1.5 2.0

2

1

0

1

2

3

4

Primero hallamos los puntos de intersección de las dos curvas y lo hacemos igualando ambas

funciones porque en el punto de intersección ambas funciones tienen la misma coordenada

Así, obtenemos: ,

Después de resolver la ecuación nos quedan dos soluciones

.

Sustituyendo en las funciones obtenemos las coordenadas en

.

Como lo podemos ver en la gráfica de las dos ecuaciones las soluciones anteriores corresponden a

los puntos de intersección.

La derivada de las funciones (la pendiente de las tangentes) en esos puntos es:

.

Sustituyendo para

El ángulo entre las rectas tangentes en el punto

:

Es:

El ángulo que se forma se puede observar en la figura de

la derecha.

Sustituyendo para

El ángulo entre las rectas tangentes en el punto

:

Es:

Ejemplo de uso de software:

Usando el ejemplo anterior graficar las funciones y las rectas tangentes. A continuación se

muestran los comandos a usar en Mathematica.

Ejercicios para resolver en equipo:

Hallar el ángulo de intersección entre las dos curvas y hacer las gráficas correspondientes de las

funciones y las rectas tangentes.

1.

2.

Curvas ortogonales

Se dice que las curvas de las funciones f(x) y g(x) que se intersectan en el punto P son ortogonales

si el ángulo entre ellas es de 90°, es decir, cuando las rectas tangentes de ambas funciones son en

dicho punto son perpendiculares entre sí. Por lo tanto en el punto de intersección de las curvas

ambas pendientes, o lo que es lo mismo las derivadas, en ese punto satisfacen:

Ejemplo:

Sean dos funciones y tales que se intersectan en (2, 2) como se ilustra en la figura.

Determinar si las funciones cumplen la condición de ortogonalidad y escribir las expresiones de

las rectas tangentes para ambas funciones en dicho punto.

Solución:

2

3E3 x 6 4

3

1

6E

3 x 6 11

6

0 1 2 3 40

1

2

3

4Las funciones son:

Cuyas derivadas son:

Cuando , tenemos:

Verificando la condición de ortonormalidad:

Por lo que se puede afirmar que las rectas son ortogonales en el punto de intersección (2, 2).

Para las rectas solicitadas se hallan usando el punto de intersección (2, 2) y la pendiente de cada

una de ellas. Usando la ecuación punto-pendiente de la recta y sustituyendo tenemos:

Para la función f:

Para la función g:

La gráfica de las funciones y sus rectas tangentes se muestran en la siguiente figura. El ángulo que

forman estas rectas se puede ver que es de 90°.

Ejemplo de uso de software:

Usando el ejemplo anterior graficar las funciones y las rectas tangentes. A continuación se

muestran los comandos a usar en Mathematica.

Ejercicios para resolverse en equipo:

Determinar si las funciones cumplen la condición de ortogonalidad en el punto de intersección y

escribir las expresiones de las rectas tangentes para ambas funciones en dicho punto, hacer una

gráfica conteniendo las funciones y las tangentes.

1.

2.

0 1 2 3 40

1

2

3

4