Construcción de La Recta Tangente a Una Curva

8/9/2019 Construccin de La Recta Tangente a Una Curva

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Clculo en fenmenos naturales y procesos sociales

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Construccin de la recta tangente a una curva,razn instantnea de cambio y la derivadade una funcinEl concepto de funcin matemtica nos permite repre-sentar mediante una grfica el comportamiento tantocualitativo como cuantitativo de los diversos fen-menos naturales y procesos sociales. Precisamente elconcepto de lmite y de derivada de una funcin se de-

ducen a partir del anlisis de dichos comportamientosy cambios intrnsecos en la naturaleza. De la mismaforma dichos conceptos permiten ampliar el horizon-te de problemas o situaciones que se pueden abordarmediante la herramienta matemtica y con el objetivoa prioride entender mejor nuestro entorno.

El problema de la construccin de rectas tangen-tes a curvas arbitrarias est ntimamente ligado con elproblema de la determinacin de la velocidad instan-tnea de un mvil, el cual se estudi ya en este libro. Elacierto de establecer dicha relacin se debe principal-mente a Newton, quien abord el problema de laconstruccin de rectas tangentes a una curva desdeuna forma diferente a la utilizada por los griegos.Newton se apoya en el uso de grficas, las propiedadesde las funciones y el anlisis racional de los procesosinfinitesimales implcitos. Si el problema consiste en

determinar la recta tangente a una curva arbitraria en-tonces se debe centrar en la determinacin de la pen-diente o inclinacin de dicha recta en un punto dadode la curva. Este razonamiento permiti desarrollar el mtodo de anlisis general,mismo que brinda la solucin al problema de la construccin de tangentes en cur-

vas arbitrarias. Lo anterior dio origen a la derivada de una funciny por consi-guiente a una de las herramientas ms poderosas de las matemticas, el llamadoClculo diferencial.

Ests trabajando para emplear tcnicas desarrolladas en lageometra elemental y la analtica, tales como la obtencin

de la pendiente de una recta a partir de dos puntos dados oempleando tringulos rectngulos, para obtener las rectas tangentes a

un punto dado en una curva que describa a los fenmenos y/o

procesos estudiados de manera autnoma y sistemtica. Tambinparaargumentar el comportamiento de los fenmenos naturales y procesos

sociales que inciden en tu vida cotidiana, empleando el concepto derazn de cambio, mtodos para obtener la recta tangente, as como la

pendiente de una recta tangente a un punto de la curva, parareconocer la variacin de una funcin (creciente o decreciente),

manteniendo una actitud participativa, sistemtica y reflexiva.

Los matemticos griegos abordaron el problema de laconstruccin de rectas tangentes a una curva arbitraria;para ellos result natural escoger construcciones de tan-gentes para las curvas cnicas (circunferencia, parbola,elipse e hiprbola), sin embargo el mtodo utilizado no eraun mtodo de anlisis general que ayudara en la determi-nacin de cualquier recta tangente a una curva arbitraria,

su mtodo dependa de las caractersticas geomtricas par-ticulares de cada figura o curva estudiada.


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U1EL MOVIMIENTO COMO RAZN DE CAMBIO Y LA DERIVADA

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8 A continuacin se plantea un problema real cu-yas repercusiones en la sociedad como en la na-

turaleza inciden de manera contundente. A partir de las

herramientas matemticas desarrolladas en secciones

anteriores, la situacin se analizar a lo largo de las dife-

rentes secciones de esta unidad de trabajo, corroborando

la importancia del clculo matemtico como generadorde conocimiento y de mtodo de anlisis para comprender mejor nuestro entorno.

Problema: Cambios en la cantidad de gases invernadero en la atmsfera.

Debido a que existen distintas fuentes naturales de gases de efecto invernadero, las

concentraciones de stos han fluctuado a lo largo de toda la historia de la Tierra. Sin

embargo las actividades humanas, especialmente las asociadas con la Revolucin In-

dustrial, han aumentado las emisiones de gases de efecto invernadero drsticamente

desde mediados del siglo . Dichas actividades han alterado la mezcla natural de una

amplia gama de gases que desempean un papel importante en la determinacin delclima. Nuestro objetivo ser analizar las alteraciones en los niveles de dixido de carbo-

no desde la era preindustrial.

Con base en la informacin que describe las mediciones directas de la concentra-

cin atmosfrica de dixido de carbono registradas desde 1958 hasta la fecha, mismas

que puedes encontrar en el enlace anterior y en otros sitios de Internet, establece:

1. El modelo matemtico a travs del uso del concepto de funcin que describa los ndices

de contaminacin y que permita identificar las tasas de variacin de crecimiento de di-

chos ndices en distintos periodos.Este ejemplo representa la utilidad que tiene el clculo matemtico en el estudio de

los fenmenos naturales y procesos sociales. Su estudio y tratamiento matemtico se

har a lo largo de la presente unidad.

Recuerda verificar tus respuestas en el Apndice 1

Descripcin de la pendiente de la recta

tangente a una curva, la derivada

La derivada de una funcin es una de las herramientasms poderosas en las matemticas y las ciencias apli-cadas. La definicin de la derivada se puede abordarde dos formas diferentes, la primera es geomtrica(como pendiente de la recta tangente a una curva) y lasegunda es a partir de una aplicacin f sica (como unatasa o razn instantnea de cambio).

Ests trabajando para utilizar de manera sistemtica elconcepto de razn de cambio como medio de anlisis del

comportamiento de fenmenos naturales y/o procesos socialespresentes en el entorno. Tambin para valorar la importancia del clculo

en el estudio del comportamiento de los fenmenos naturales yprocesos sociales, como concepto para simplificar el anlisis de

modelos matemticos que los representen.

Entra a la pgina siguiente,donde podrs conocer ms

sobre este tema: http://www.windows2universe.

org/earth/climate/greenhouse_effect_gases.html. [Consulta 06/12/2011]

Ms informacin en...

Ests trabajando para emplear tcnicas desarrolladasen la geometra elemental y la analtica, tales como

la obtencin de la pendiente de una recta a partir de dos puntosdados o empleando tringulos rectngulos, para obtener

las rectas tangentes a un punto dado en una curva que describaa los fenmenos y/o procesos estudiados de manera autnoma

y sistemtica.


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travs de los puntos ( )( )P x f x, y ( )( )+ + Q x x f x x, se ilustran en la figura 12.La lnea recta punteada, t, representa una posible recta tangenteen el puntoP.

Figura12 Rectas secantes y una tangente a la curva y=f (x).

Como se puede observar en la figura anterior, cuando x(incremento enx) se acer-ca cada vez ms y ms a cero, las rectas secantes tienden a la recta tangente l. Aho-ra bien, puesto que todas estas rectas pasan por el punto ( )( )P x f x, , sus ecuacionesse determinan encontrando las respectivas pendientes.

Observa que la pendiente de la recta secante mostrada en la grfica est de-

terminada por puntosPyP1,cuyas coordenadas son respectivamente, ( )( )x f x, y( )( )+ + x x f x x, .De la grfica se puede deducir que la pendiente de la secante est determinada

por la tangente, y por otra parte la tangente est definida como cateto opuesto en-tre cateto adyacente, de donde tenemos que ( )( ) ( )+ f x x f x es igual al catetoopuesto.

Asimismo, tenemos que ( )( )+ x x x es el cateto adyacente, mismo que es

igual a x; por lo tanto la pendiente de S1es igual a( )

( )

( ) ( )

( )

+

+

f x x f x

x x x

.

De la misma forma, la pendiente de las rectas secantes, msec, que pasan por lospuntos ( )( )P x f x, y ( )( )+ + Q x x f x x, (vase figura 13, donde x0) queda esta-

blecida mediante: m f x x

sec = = +( )cateto opuesto

cateto adyacente

( )

+ =

+( ) ( )f x

x x x

f x x f x

x

.

As pues, la recta tangente tendr una pendiente mtancada vez ms cercana ala pendiente de la recta secante msec, conforme x + x tiende a x, es decir, el

P

t


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incremento se hace cada vez ms pequeo (x0). Este es el concepto de lmite, una

vez ms. En otras palabras, se tiene que: ( ) ( ) ( )

= = +

m m

f x x f x

xlm lm

xtan sec

0

,siempre que el lmite exista.

La variacin de las pendientes de las secantes conforme el incremento se hacecada vez ms pequeo ofrece en cada paso una mejor aproximacin de la pendien-te de la recta tangente que buscamos. Estas aproximaciones, como ya observamosen la primera seccin de este libro al examinar la velocidad instantnea, son infini-

tas, por lo que este proceso tambin se conoce como razn instantnea de cambio.El lmite anterior es uno de los conceptos fundamentales de clculo. Se llama laderivada de la funcinfen el puntox.

Definicin 1 La derivada de una funcin: Seafuna funcin definida en un in-tervalo abierto que contiene al puntox. La derivada defenx, se escribef '(x),

est dada por: ( ) ( )

= +

f x

f x x fx

x' lm

x 0.

El smbolof '(x) se lee:fprima dex. La terminologaf '(x) existe, significa

que el lmite en la definicin 1 existe. Sif '(x) existe, se dice que la funcinfesdiferenciable enx, o bien que la funcinftiene derivada enx.

De esta forma, para determinar la ecuacin de la recta tangente a una curva arbi-traria se debe recordar que la ecuacin de la recta, o funcin lineal, tiene la siguiente

Figura13 Determinacin de la pendiente de las rectas secantes, m, que

pasan por los puntos Py O.


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forma: ( )= = +y f x mx b , donde mes la pendiente de la recta y bes la ordenadaal origen. A partir de la definicin 1. Cmo sera esta ecuacin para el puntox0?

Efectivamente, la ecuacin sera: ( )=m f x' 0 .Y si luego sustituyes en esa misma ecuacin con el valor dexo?

Claro, ahora tenemos esta ecuacin: ( )= +y f x x b' 0 .Ahora bien, la recta tangente que se desea determinar pasa por el punto

( )x y,0 0 , entonces este punto debe satisfacer la ecuacin: ( )= +y f x x b'0 0 0 .Observa que si se despeja bde esa ecuacin se tiene: ( )= b y f x x0 0 0 .Sustituye de nuevo en la ecuacin original a b.

En efecto, lo que nos queda despus de la sustitucin es:

( ) ( )= + y f x x y f x x' '0 0 0 0

,y agrupando se obtiene: ( ) ( ) = y y f x x x'0 0 0 .

Esta ltima ecuacin no es otra cosa que la ecuacin de una recta dadoun punto y la pendiente (derivada). Es decir, la derivada de una funcin represen-ta la pendiente de la recta que es tangente a la curva de dicha funcin en ciertopunto.

Al principio de la seccin dijimos que tambin se poda ver a la derivada como

una tasa o razn instantnea de cambio, veamos por qu.Consideremos una funcin arbitraria. Si el ejexrepresenta la distancia y el ejeyel tiempo, y ya que la velocidad es igual a la distancia entre el tiempo, entonces lainterpretacin, en este contexto, de las funciones es la siguiente:

La velocidad media es el cambio de la distancia cuando vara el tiempo, enotras palabras representa un incremento en la distancia entre un incremen-to en tiempo, es decir se puede aplicar el mismo anlisis anterior de los in-crementos cuando estudiamos la derivada.

Ahora bien, los incrementos van a darse tanto en la distancia como en el tiem-po, y adems se va a dar un proceso al lmite. Teniendo todo esto en cuenta, la de-rivada se puede ver tambin como la velocidad instantnea de cualquier partculaen movimiento a lo largo de la grfica de la funcin.Lo anterior es precisamente lainterpretacin fsica de la derivada de una funcin y nos da como resultado la pen-diente de la recta tangente en cualquier punto de la curva.

A continuacin se describen las formas que nos han permitido abordar uno delos conceptos fundamentales del clculo, la derivada de una funcin.


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i) Recta tangente: la pendiente de la recta tangente a la grfica defen el pun-

to ( )( )x f x, es ( )f x .

( )=m f ' xtan

ii) La velocidad instantnea: si un punto Pse mueve sobre una lnea de talforma que su coordenada en el tiempo tes d(t), entonces la velocidad ins-

tantnea en el tiempo tes d '(t).

( )( )=

+

=

V d t t dt

td tlm '

tinstantnea

0.

De esta forma se encontr un mtodo de anlisis general, la derivada, para la cons-truccin de tangentes y para la determinacin de la razn instantnea de cambio,en particular la velocidad instantnea.

Relacin entre continuidad y diferenciabilidad

de una funcin

En matemticas el concepto de continuidad tiene en gran parte el mismo significa-do que en el uso cotidiano. Decir que una funcin es continua enx=csignifica queno existe interrupcin en la grfica defen c, es decir, su grfica no se rompe en dosy tampoco hay agujeros, saltos o brechas.

Definicin de continuidad

Continuidad en un punto: Una funcinfes continua en c si se cumplen las trescondiciones siguientes:

1. f (c) est bien definida.2. ( ) f clmx c existe.3. ( ) ( ) f x f clmx c .

Continuidad sobre un intervalo abierto: una funcin es continua sobre unintervalo abierto (a, b) si es continua en cada punto del intervalo. Una funcinque es continua sobre la recta real (, ) es continua en todas partes.

En la siguiente figura se considera un intervalo abierto (a, b) que contiene unnmero real c. Si la funcin fest definida en todo el intervalo (a, b) , (exceptoposiblemente en c), y f no es continua en c, entonces se dice que f tiene una

Ests trabajandopara reconocer de

manera autnoma, enun modelo matemtico si el

fenmeno y/o proceso

descrito es continuo opresenta intervalos o valores

en donde no lo es pararepresentar su

comportamiento en elentorno.


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discontinuidaden c. Las discontinuidades se clasifican en dos categoras: evitablesy no evitables. Se dice que una discontinuidad en ces evitable, si fpuede hacersecontinua al definir (o volver a definir)f (c) de manera apropiada. Por ejemplo lasfunciones que se muestran en las figuras 14a y 14c tienen discontinuidades evita-bles en c, mientras que la funcin que se muestra en la figura 14b tiene una discon-tinuidad infinita (no evitable) en c.

Figura 14a, 14b y 14c a) Discontinuidad evitable, f (c)no est definida. b) Discontinuidad no evitable o infinita, el no existe.

c) Discontinuidad evitable, el .

Para comprender la continuidad sobre un intervalocerrado, en primer lugar es necesario plantear un tipode lmite llamado lmite lateral. El lmite desde la de-recha significa quextiende a cdesde valores mayoresque c, este lmite se denota como: =

+

xlm 0x

n

0

. (Lmitedesde la derecha.)

Ests trabajando para identificar el concepto de lmite deuna funcin al evaluar numricamente funciones (lineales,

cuadrticas, polinomiales, exponenciales y logartmicas) querepresenten un fenmeno fsico o proceso social como base para el

anlisis de stos.

a) b)

c)


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De manera anloga, el lmite desde la izquierda significa quextiende a cdesde

valores menores que c, este lmite se denota mediante: ( ) =

f x Llmx c

. (Lmite des-de la izquierda.)

Los lmites laterales son muy tiles al determinar el lmite de funciones que com-

prenden radicales. Por ejemplo, si nes un nmero par, entonces: =

+

xlm 0x

n

0

.

A continuacin se da una funcin en la que el comportamiento de sus lmiteslaterales llama mucho la atencin.

La funcin tiene ambos lmites laterales?, cul es su lmite por la derecha?, ycul es su lmite por la izquierda?

Escribe a continuacin lo que se puede deducir en cuanto a la continuidad de una

funcin cuando se da este comportamiento con sus lmites laterales.

Si tu respuesta fue algo similar a esto: si sus lmites laterales existen pero sondiferentes, entonces la funcin puede ser discontinua; cuando el lmite desde laizquierda no es igual al lmite desde la derecha, el lmite (bilateral) no existe, enton-ces vas muy bien, adelante.

El siguiente resultado presenta esto de manera ms explcita, y su demostra-cin se deduce directamente de la definicin de lmite lateral.

Teorema 0 Existencia de un lmite

Seanfuna funcin y cyLnmeros reales. El lmite de f (x), cuandoxtiende ac, esLsi y slo si ( ) =

f x Llmx c

y ( ) =

+

f x Llmx c

.


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El concepto de lmite lateral permite extender la definicin de continuidad ha-cia los intervalos cerrados. Bsicamente una funcin es continua sobre un inter-

valo cerrado si es continua en el interior del intervalo y posee continuidad lateralen los puntos extremos. Esto se expresa de manera formal de la siguiente forma:

Definicin de continuidad sobre un intervalo cerrado.

Una funcinfes continua sobre un intervalo cerrado [ ]a b, ,si es continua so-

bre el intervalo abierto (a, b) y ( ) ( )=

+

f x f almx a

y ( ) ( )=

f x f blmx b

.

La funcinfes continua desde la derechaen ay continua desde la izquier-daen b.

A partir de lo anterior y en trminos del concepto fundamental llamado lmite,la forma alternativa siguiente de la derivada de una funcin es til en la investiga-cin de la relacin entre diferenciabilidad y continuidad.

Definicin alterna de derivada. El lmite de Pierre de Fermat (1601-1665).

La derivada de la funcin fen ces ( ) ( ) ( )

=

f c

f x f c

x c' lm

x c, siempre que el

lmite exista (vase la figura 15).

Figura 15 Cuando el valor dextiende al valor de c, la recta secante tiende a la recta tangente.

Se debe observar que la existencia del lmite en esta forma alternativa requiere que

los dos lmites laterales,( ) ( )

f x f c

x clm

x c

y( ) ( )

+

f x f c

x clm

x c

existan y sean iguales.


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Estos lmites laterales se conocen como derivadas desde la izquierda ydesde laderecha, respectivamente. Se dice quefes diferenciable sobre el intervalo cerrado[ ]a b, si es diferenciable sobre (a, b) y si la derivada desde la derecha, en a, y laderivada desde la izquierda, en b, existen.

Si la funcin no es continua enx=c, tampoco es diferenciable en x =c. Por

ejemplo, la funcin mayor entero [ ]( )= f x x no es continua enx =0; por lo tan-to no es diferenciable enx =0 (vase la figura 18). El hecho se comprueba fcilmente

al observar que [ ]( ) ( )

= =

=

f x f

x

x

x xlm

0

0lm

0lm

1

x x x0 0 0(derivada desde

la izquierda) y[ ]( ) ( )

=

+ +

f x f

x

x

xlm

0

0lm

0

x x0 0(derivada desde la derecha).

Figura 16 La funcin mayor entero no es diferenciable enx =0 porque no es

continua en dicho punto.

Como se mostrar en el Teorema 1, la diferenciabilidad implica continuidad, sinembargo lo inverso no se cumple (ejemplo anterior). Es decir, es posible que unafuncin sea continua enx =cy no sea diferenciable enx =c. En los siguientes dos

ejemplos se ilustra esta posibilidad.

Ejemplo

Grfica de una funcin con un cambio brusco de direccin

La funcin f x x 3( ) = mostrada en la figura 17 es continua en x =3. Sin embargo, los lmites la-terales no son iguales:


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12

( ) ( )

=

=

+

=

f x f

x

x

x

x

xlm

3

3 lm

3 0

3 lm

3

3 1

x x x3 3 3

(derivada desde la izquierda) y

( ) ( )

=

=

=

+

+

f x f

x

x

x

x

xlm

3

3 lm

3 0

3 lm

3

3 1

x x x3 3 3

(derivada desde la derecha).Por lo tanto, la funcin fno es diferenciable en x =3 y la grfica de fno tiene recta tangente

en el punto (3, 0).

Figura 17 La funcin no es diferenciable enx =3 porque la derivada

desde la izquierda es distinta a la derivada desde la derecha (lmites laterales).

Ejemplo

Grfica de una funcin con recta tangente vertical

La funcin f x x x 31

3( ) = = es continua en x =0 , como se muestra en la figura 18. Sin embargo,

debido a que el lmite( ) ( )

=

= =

f x f

x

x

xx

lm0

0 lm

0lm

1

x x x0 0

1

3

0 2

3

es infinito, podemos concluir que

la recta tangente a la funcin f(x) en el puntox=0 es vertical (los lmites laterales coinciden y son

iguales a infinito). Por lo tanto, fno es diferenciable en x=0 .

(Contina...)


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A partir de los ejemplos anteriores se observa que una funcin no es diferenciableen cierto punto en el que su grfica tenga un cambio brusco de direccin o unarecta tangente vertical.

Teorema 1 La diferenciabilidad implica la continuidad.

Si la funciny=f (x) es diferenciable enx=c, entoncesfes continua enx =c.

Demostracin: Se debe probar que la funcin f (x) es continua enx =cal demos-trar quef (x) tiende af '(x) cuandox c. Para hacerlo, se aplica la diferenciabilidaddefenx =cy se considera el siguiente lmite:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =

=

f x f c x c f x f cx c

x c f x f cx c

lm lm lm lmx c x c x c x c

.

Se pueden separar los lmites anteriores ya que se sabe que la funcin es deri-vable y por lo tanto el segundo lmite existe: ( ) ( )= =f c0 ' 0 .

Figura 18 La funcin no es diferenciable enx=0 porque tiene una recta

tangente vertical en dicho punto (el lmite no existe).

(Continuacin...)


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En virtud de que la diferencia ( ) ( )f x f c tiende a cero cuando x c , se concluye que

( ) ( )= f x f clmx c . Por lo tanto, la funcinfes continua enx =c, lo que se quera demos-trar.

Para ilustrar el resultado anterior, vasela grfica 1 de la funcin identidad. Se reco-mienda que el anlisis recin hecho se hagatomando en cuenta este ejemplo.

La relacin entre la continuidad y la dife-renciabilidad puede resumirse como sigue:

1. Si una funcin es diferenciable en x =c,entonces es continua en x = c. De estemodo, la diferenciabilidad implica la con-tinuidad.

2. Es posible que una funcin sea continua

enx =c y no sea diferenciable en x =c.Por lo tanto, la continuidad no implica ladiferenciabilidad.

Vase la grfica 2 de la funcinx2, que ilus-tra los puntos anteriores.

En el caso de la funcin valor absoluto, dpor qu no es diferenciable, tanto de maneraintuitiva como de forma analtica.

Qu se necesitara para que fuese dife-renciable?

Resulta evidente que aplicar de forma rutinaria la definicin formal (lmite) dela derivada de una funcin para su clculo y determinacin sera un absurdo, sobretodo si consideramos funciones complejas en su expresin analtica. Para evitaresto se desarrollan una serie de teoremas y propiedades a partir de dicha defini-cin, lo que permite mediante algoritmos sencillos encontrar la derivada de unafuncin.

Grfica 1 Funcin de identidad.

Grfica 2 Funcinx2

.


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A continuacin se describen algunos de los resultados importantes que reper-cuten en el estudio y tratado ptimo de la derivada de una funcin.

Reglas bsicas de derivacin y razones de cambioAl modelar fenmenos naturales y procesos sociales tratamos con funciones querepresentan con expresiones matemticas la situacin o problema real; la pobla-

cin de Mxico (en millones de habitantes) se puede aproximar mediante la fun-cin lineal ( ) = +P t t1.65 48.2 , donde tson los aos transcurridos despus de 1970.

9 De acuerdo con este modelo lineal, responde las siguientes preguntas:

1. Cul fue el nmero de habitantes en Mxico al comienzo del siglo ?, coincide el re-

sultado anterior con los obtenidos a partir del censo de poblacin realizado en el ao

2000 por el INEGI? Justifica tu respuesta. Cul fue el nmero de habitantes en elao 2010? Coincide con los resultados del censo de poblacin de 2010 del INEGI?

Cul es el nmero de habitantes de Mxico que el modelo predice para el ao 2030?


Utiliza los resultados anteriores para graficar la funcin lineal, ( ) = +P t t1.65 48.2 .Ahora bien, haciendo uso de la definicin (1) podemos determinar la derivada de

la funcinP(t); el ejercicio que debes hacer es: ( ) ( ) ( )

= +

P x

P t t P t

t' lm

t 0

, don-

de: ( ) = +P t t1.65 48.2 y ( ) ( )+ = + +P t t t t1.65 48.2 .Pero, qu representa la derivada ( )P t' en el contexto descrito? Una vez que se

determina la derivada de la funcin linealP(t), se observa que el crecimiento de lapoblacin de Mxico es constante e igual a 1.65 para todo tiempo. El hecho de tra-tar con una funcin lineal implica que su derivada es una constante, sin embargo elnmero de habitantes de Mxico o de alguna otra poblacin, se puede representarmatemticamente a partir de una funcin ahora cuadrtica, pero que puede sercbica o de orden superior hasta n(nmero natural), e incluso a travs de la fun-cin exponencial o logaritmo.

Entonces se requiere contestar la siguiente pregunta: de qu forma ser elcrecimiento de dicha poblacin para cada tipo de modelo matemtico empleado?

Sobre las estadstacaspoblacionales y los datoscensales visita la pgina

del INEGI: http://www.inegi.org.mx.

Ms informacin en...


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Es decir, se requiere determinar la derivada de funciones en ocasiones del mismotipo y el hecho de utilizar la definicin 1 para cada caso resulta un tanto tortuoso,por ello se presentan a continuacin las principales reglas de derivacinde fun-ciones que permiten determinar las derivadas sin usar directamente la definicinde derivada utilizando lmites.

Regla de la funcin constante

Teorema 2 Regla de la constante

La derivada de una funcin constante es 0. Es decir, si ces cualquier

nmero real, entonces f c d

dxc'( ) = [ ]=0 .

Demostracin: Sea ( )=

f x c . Entonces, por la definicin 1 de la derivada de unafuncin en trminos de lmite, se tiene:

( ) ( ) ( )

= +

=

=

f x f x x f x

x

c c

x' lm lm 0

x x0 0,

lo que se quera demostrar.Este hecho puede corroborarse si se observa que una funcin constante es una

recta paralela al eje de lasx, por lo cual la recta tangente a esta funcin en cualquie-ra de sus puntos es ella misma, luego entonces, para obtener el valor de la derivada

bastar con obtener la pendiente de esta recta.Pero recordemos que para obtener la pendientede una recta podemos tomar dos puntos distin-tos sobre la recta y utilizar la formula: Pendiente

=

( )( )

y y

x x

2 1

2 1

, dondey1yy2son la segunda coorde-

nada de cada punto tomado de la recta, la cualpor ser la funcin constante sabemos que es la

misma, por lo tanto Pendiente =( )

=

00

2 1x x,

puesto que los valoresx1y x2son distintos si lospuntos son distintos.

Por lo tanto, la derivada de cualquier funcinconstante es 0.Grfica 3 f (x) = 3.


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Utilizando la definicin 1 de la derivada por medio del lmite, determina lasderivadas de las siguientes funciones. Reflexiona qu patrones se observan. Apartir de los resultados obtenidos escribe una conjetura acerca de la derivadade ( ) =f x xn .

a) ( ) =f x x1

b) ( ) =f x x2

c) f x( ) =x1

2

d) ( ) = f x x 1

Ejemplos

Uso de la regla constante

a) Si f x 8( )= , entoncesdf

dx f ' x 0( )= = .

b) Si y 3= , entonces y' 0=

c) Si d t k 2( )= , donde kes una constante, entonces d' t 0( )= .


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Lo cual demuestra el caso para un entero n1. Has ahora como ejercicio la de-mostracin para n1, para nentero negativo y para ncualquier nmero racional.

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

= +

=

+ +

+ +

= +

+ +

= + + + + =

f x x x x

x

x nx x n n x

x x x

x

nx n n x

x x nx nx

' lm lm

1

2...

lm 1

2... 0 0 ... 0

x

n n

x

n nn

n n

x

nn

n n n

0 0

1

22

0

1

21 1 1 .

Ejemplos

Uso de la regla de la potencia

a) Si f x x3( )= , entoncesdf

dx f ' x x 3

2( )= = .

b) Si yx

12

= , entonces y' dydx

ddx

x xx

2 22 3

3= = = =

.

c) Determinar la pendiente de la recta tangente a la curva g x x4( )= en el punto x=1. Solu-

cin: Como g' x x 4 3( )= , entonces para x = 1 se tiene que el valor de la pendiente es

m g' 1 4 1 43

( ) ( )= = = .

Regla del mltiplo constante de una funcin

Primero observemos el caso trivial en donde la constante kes igual a 0, entonces( ) =k f x 0, ( ) =f x 0, por lo cual es una funcin constante, y por el teorema anterior

sabemos que su derivada existe y es 0. Ahora para ejemplificar este hecho tomemosla funcin ( ) =f x x y una constante k 0 y sea la funcin ( ) ( )= =g x k f x k x.Como estas funciones son lneas rectas, igual que en el caso anterior, sabemos queel valor de su derivada es igual a la pendiente de la recta. Entonces en el caso de lafuncinfsabemos que esta pendiente es 1. En el caso de la funcingtenemos quela pendientes es igual a:

kx kx

x x

k x x

x xk

2

2

2

2

( )( )

=

( )

=

Por lo que multiplicar una funcin (que ya es derivable) por una constante dis-tinta de cero solamente cambia el valor de las pendientes en cada punto multipli-cndolo por la constante dada.

Analicemos una funcin cuadrtica.Completa la tabla sustituyendo los valores y grafica la funcin ( ) =f x x4 2 :


20/39


20

x 4x2

3 36

2

1

0

1

2

3

La funcin 4x2es diferenciable en todos sus puntos?, se preserva la continuidaden la funcin? Justifica tus respuestas.

Cmo vara la pendiente en cada uno de los puntos dex2con respecto a 4x2?Qu podras afirmar acerca de la pendiente de las tangentes de la funcin 4x2

con respecto de las tangentes en la funcinx2que anteriormente viste?

Teorema 4 Regla del mltiplo constante

Si ( )=y f x es una funcin diferenciable y kes un nmero real, entonces la

funcin ( )k f x tambin es diferenciable y y x d

dxk f x k f x' '( )= ( ) = ( ) .


21/39


21

Demostracin: de la aplicacin de la definicin (1) obtenemos:

De manera informal, la regla del mltiplo constante expresa que las constantespueden extraerse como factor del proceso de derivacin, incluso si aparecen en eldenominador. Ejemplos. Uso de la regla del mltiplo constante.

a) Si ( ) =g t t4 2 , entonces g t dg

dt

d

dtt

d

dtt t t'( )= = = = ( ) =4 4 4 2 8

2 2 .

b) Si f xx

( ) =3

2, entonces f x

df

dx

d

dxx

d

dxx x'( )= = = ( ) =

3 3 3 2

2 2 3 6

3x

c) Si yx

=

1

2 23

, entonces = =

=

= =

y

dy

dx

d

dxx

d

dxx x

x x

' 1

2

1

2

1

2

2

3

1

3

1

3

2

3

2

3

5

3

5

3

35

.

Regla de la suma y diferencia de funciones

Teorema 5 Regla de la suma y resta (diferencia)

La suma (o la resta) de dos funciones diferenciables es diferenciable y la deri-

vada de la suma es la suma (o resta) de sus derivadas:d

dxf x g x f x g x( ) ( ) = ( ) ( )' '

Demostracin: de la aplicacin de la definicin 1 para la regla de la suma de funcio-nes (la resta se prueba de forma similar) obtenemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

+ = + + + +

= + + +

= +

+

+

= +

+

+

= +

d

dxf x g x

f x x g x x f x g x

x

f x ax g x x f x g x

x

f x x f x

x

g x x g x

x

f x x f x

x

g x x g x

xf x g x

lm

lm

lm

lm lm ' '

x

x

x

x x

0

0

0

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

= +

=

+

= +

=

y x k f x x k f x

xk

f x x f x

x

k f x x f x

xk f x

' lm lm

lm '

x x

x

0 0

0


22/39


22

La regla de suma y resta se extiende para cualquier nmero finito de funciones.Por ejemplo, si ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + + F x f x g x h x r x s x , entonces

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + + F x f x g x h x r x s x' ' ' ' ' ' .

Ejemplos

Uso de la regla de la suma y resta

a) Si g' t t t 3 8 22

( ) = + , entonces g' t t t 3 8 22

( ) = +

b) Si f x x

x3

25

2

( ) = , entonces f ' x x 3 5( ) = .

c) Si yx

x x2

32

4

3= + , entonces y' x x

8

36 1

3 2= + .

Derivadas de las funciones seno y coseno

Para demostrar las reglas de derivacin de las funciones seno y coseno se utilizan

los siguientes resultados: ( )

= x

xlm

sen1x 0 y ( )

=

x

xlm

1 cos0x 0

Teorema 6 Derivadas de las funciones seno y coseno

( ) ( ) =d

dxx xsen cos

( ) ( ) = d

dxx xcos sen

Demostracin: a partir de la definicin de derivada de una funcin se tiene:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

= +

= +

=

=

= =

d

dxx

x x x

x

x x x x x

x

x x x x

x

x x

xx

x

x

x x x

sen lm sen sen

lm sen cos cos sen sen

lmcos sen sen 1 cos

lm cos sen

sen 1 cos

cos 1 sen 0 cos

x

x

x

x

0

0

0

0


23/39


23

Esta regla de derivacin se muestra grficamente en la figura 19. Se debe obser-var que para cada xla pendiente de la curva seno es igual al valor del coseno. Lademostracin de la regla para derivar la funcin coseno elabrala como ejercicio.

Figura 19 La derivada de la funcin seno es la funcin coseno.

De la misma forma que en las reglas anteriores, pero con tcnicas menos directastambin se demuestran las siguientes dos reglas:

Regla del producto de funciones

Teorema 7 Regla del producto

El producto de dos funciones diferenciablesfyges, en si mismo, diferenciable.Ms an, la derivada defges la primera funcin multiplicada por la derivadade la segunda, ms la segunda funcin multiplicada por la derivada de la pri-mera.

d

dxf x g x f x g x g x f x( ) ( ) = ( ) ( )+ ( ) ( )' ' .

Demostracin: Algunas demostraciones matemticas, como la que se realiza parala regla de la suma de funciones, son directas. Otras comprenden pasos de ingenioy habilidad matemtica. En esta demostracin se utiliza uno de estos pasos res-tar y sumar la misma cantidad, el cual se destaca a simple vista.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= + +

d

dxf x g x

f x x g x x f x g x

xlmx 0


24/39


24

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

= + + + + +

= + +

+

+

= + +

+

+

= + +

+ +

= +

f x x g x x f x x g x f x x g x f x g x

x

f x x g x x g x

xg x

f x x f x

x

f x x g x x g x

xg x

f x x f x

x

f x x g x x g xx

g x f x x f xx

f x g x g x f x

lm

lm

lm lm

lm lm lm lm

' '

x

x

x x

x x x x

0

0

0 0

0 0 0 0

La regla del producto se extiende para productos que comprendan ms de dosfactores. Por ejemplo, sif,gy hson funciones diferenciables dex, entonces

d

dx

f x g x h x f x g x h x f x g x( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( )+ ( ) ( )' ' hh x f x g x h x( )+ ( ) ( ) ( )' .

Ejemplos

Uso de la regla del producto

a) Si h t t t t 5 42( )( ) ( )= + , entonces

h' t t t d

dt t t

d

dt t t

t t t t h' t

t t t t t h' t

t t

5 4 5 4

4 5 4 1 2

4 4 5 10 4 8

12 18 5

2 2

2

2 2

2

( ) ( )

( )( ) ( )

[ ]( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

= + + +

= + + +

= + + +

= +

b) Si ( ) ( )=f x x x sen , entonces

[ ]( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

= +

= +

= +

f x d

dx x x

d

dx x f x

x x x f x

x x x

' sen sen '

cos sen 1 '

cos sen

c) Si ( ) ( )= y x x x5 cos 5 sen , entonces

( )

[ ]( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )

= +

= +

=

y x x d

dx x x

d

dx x

d

dx x

x x x x

x x

' 5 cos cos 5 5 sen

5 sen cos 5 5cos

5 se n


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25

Regla del cociente de funciones

Teorema 8 Regla del cociente

El cociente def

gde dos funciones diferenciablesfyges, en si mismo diferen-

ciable para todos los valores dexpara los que ( ) g x 0 . Ms an, la derivada

def

g se expresa por el denominador multiplicado por la derivada del nume-rador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador,todo dividido por el cuadrado del denominador.

d

dx

f x

g x

g x f x f x g x

g x

( )( )

=

( ) ( ) ( ) ( )

( )

' '

2

Demostracin: as como en la demostracin del teorema 7 la clave de sta es sumary restar la misma cantidad, de la aplicacin de la definicin 1 para la regla del co-ciente obtenemos:

[ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

=

+ +

= + +

+

= + +

+

=

+

+

+

=

+

+

+

=

d

dx

f x

g x

f x x

g x x

f x

g x

x

g x f x x f x g x x

x g x g x x

g x f x x f x g x f x g x x

x g x g g x

g x f x x f x

x

f x g x x g x

x

g x g x x

g xf x x f x

xf x

g x x g x

x

g x g x x

g x f x f x g x

g x

lm

lm

lm

lm lm

lm

lm lm

lm

' '

x

x

x

x x

x

x x

x

0

0

0

0 0

0

0 0

0

2


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26

Derivadas de las funciones trigonomtricas

A partir del teorema 6, es decir, del conocer las derivadas de las funciones seno ycoseno, es posible determinar las derivadas de las cuatro funciones trigonomtri-cas restantes.

Teorema 9 Derivadas de funciones trigonomtricas

d

dx

x xtan sec( ) = ( )2

d

dxx xcot csc( ) = ( )

2

d

dxx x xsec sec tan( ) = ( ) ( )

d

dxx x xcsc csc cot( ) = ( ) ( )

Demostracin: A partir de la regla del cociente y considerando que ( ) ( )( )

=x xx

tan sen

cosse obtiene:

[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

=

=+

= =

d

dxx

x x x x

x

x x

x

xx

tancos cos sen sen

cos

cos sen

cos

1

cossec

2

2 2

2

2

2

Ejemplo

Uso de la regla del cociente

Si f x x

x

3

2 1

2

( )=+

, entonces

( )

( )

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

=+ +

+

= +

+

= +

+

= +

+

f ' x

x d

dx x x

d

dx x

x

f ' x

x x x

x

f ' x

x x x

x

f ' x

x x

x

2 1 3 3 2 1

2 1

2 1 6 3 2

2 1

12 6 6

2 1

6 6

2 1

2 2

2

2

2

2 2

2

2

2


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27

La demostracin de las tres restantes partes del teorema realzalas ahora comoejercicio.

Regla de la cadena o derivada

de una funcin compuesta

Bsicamente la regla de la cadena expresa que si la funcinycambia du

dx

veces tan

rpido como u, y dicha funcin u cambia dudx

veces tan rpido comox, entonces la

funcinycambiady

du

du

dx

veces tan rpido comox.

Teorema 10 Regla de la cadena

Si ( )=y f u es una funcin diferenciable de uy ( )=u g x es una funcin dife-

renciable enx, entonces ( )( )=y f g x es una funcin diferenciable dexy

dy

dx

dy

du

du

dx=

O de forma equivalente:dy

dx

d

dxf g x f g x g x= ( )( ) = ( )( ) ( )' '

Demostracin: sea ( )( ) ( )=h x f g x . Entonces, si se aplica la forma alternativade la derivada de una funcin, es necesario demostrar que para x = c,

( )( ) ( ) ( )=h c f g c g c' ' ' .En esta demostracin se aplica una tcnica similar a la empleada anteriormen-

te, slo que ahora se multiplica y se divide por la misma cantidad (siempre distintade cero). Se debe observar que, en virtud de que la funcinges diferenciable, tam-

bin es continua y se concluye que ( ) ( )g x g c cuandox c. Supongamos que

( ) ( )g x g c para todo valor dex c, entonces:( ) ( )

( ) ( ) ( )

=

h c

f g x f g c

x c' lm

x c,

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )=

f g x f g c

g x g c

g x g c

x clmx c

,

( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) =

=

g x g cf g x f g c

g x g c

g x g c

x cf g c g clm lm ' '

x c x c


28/39


29/39


30/39


30

hemisferio sur. Este ciclo anual se muestra en el recuadro inserto en el grfico 3, atravs del promedio de la concentracin de CO2de cada mes en correspondenciacon los aos registrados. Este ciclo se conoce como la respiracinde la Tierra.

Grfico 3

La curva de Keeling muestra los datos de las mediciones directas de la concentra-cin atmosfrica de CO2de 1958 al ao 2009 (crdito: Robert A. Rohde) y el pro-

yecto de arte del calentamiento global (Global Warming Art Project). Para examinarla concentracin de CO2en la atmsfera antes de 1958, los cientficos se basan endatos obtenidos de las burbujas atrapadas en los hielos polares. Aunque no son tanprecisas como las mediciones directas en la atmsfera, estos datos se correlacionanbien con las mediciones directas durante los periodos en que los dos conjuntos dedatos se superponen, lo que nos proporciona la confianza de que los registros ob-

tenidos del hielo son extremadamente exactos. Los registros ms antiguos de losncleos (burbujas de aire) de hielo ahora se extienden hasta alrededor de un millnde aos. Durante los ltimos miles de aos, hasta el ltimo par de siglos, la concen-tracin de CO2promedio rondaba en el rango de 250 a 280 ppm. Los registros re-cabados de los ncleos de hielo indican que la concentracin de CO2no habasuperado las 300 ppm en por lo menos los ltimos 300,000 aos, como se mues-tra en el grfico 4. Estudios basados en registros geolgicos parecen indicar que laltima vez que la concentracin de CO2era tan alta como lo es hoy en da, era haceunos 20 millones de aos.

El grfico 4 muestra las variaciones en la concentracin de CO2en la atmsferadurante los ltimos 400 mil aos, como medida a partir de los registros obte-nidos en las burbujas de aire en los hielos polares. Desde la Revolucin Indus-trial, alrededor de 1800, la quema de combustibles fsiles ha provocado un drsticocrecimiento de CO2en la atmsfera, llegando a niveles sin precedentes. Este creci-miento exponencial se ha identificado como una de las causas principales del calen-tamiento global.

Respiracin: proceso de

intercambio en el que el

oxgeno se transforma en

dixido de carbono.

glosario

Disponible en el siguienteenlace, vase: http://www.

sio.ucsd.edu/.

Ms informacin en...

Visita la pgina electrnica:

http://www.globalwarmingart.com/wiki/

File:Mauna_Loa_Carbon_Dioxide_png.

Ms informacin en...


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31

Grfico 4 RobertA.Rohdeyelproyectodeartedelcalentamientoglobal.

El grfico 5, que incluye tanto medidas directas como los datos obtenidos de lasburbujas de aire en los hielos polares, muestra que los niveles de dixido de carbo-

no han ido en constante aumento desde al menos 1850, y han aumentado conside-rablemente a partir de 1950 (lnea curva en color azul). Este aumento correspondea un periodo de crecimiento dramtico de las emisiones de CO2 por la quemade combustibles fsiles que ha utilizado el ser humano a partir de la RevolucinIndustrial. De esta forma se hace evidente que la concentracin atmosfrica deCO2ha aumentado cerca de 35% por encima de los niveles preindustriales (desde280 hasta 380 ppm).

Grfico 5 La funcin f (t) representa la concentracin de dixido

de carbono en la atmsfera ndices de contaminacin.

Este grfico muestra las concentraciones promedio mundiales de dixido de car-bono durante un periodo de 250 aos desde 1750 hasta 2000. La lnea azul indica

U1


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32

las mediciones atmosfricas directas. Los puntos de colores indican los datos reco-gidos en los ncleos de hielo, cada color representa un ncleo de hielo de diferentespuntos de muestreo.

A partir de la informacin anterior, podemos utilizar el concepto de funcinpara modelar el problema. Si la concentracin de dixido de carbono en la atms-fera (ndices de contaminacin) se representa por la funcin ( ) = +f t e t0.0013 3.17 , en-tonces la derivada de dicha funcin es el crecimiento instantneo de la concentracinde CO2(tasa de variacin de los ndices de contaminacin) con respecto al tiempo.

10 Anlisis de informacin.Problema:Cambios en la cantidad de gases invernadero en la atmsfera en

tiempos recientes.

A continuacin se presenta el problema planteado previamente, que permite el es-

tudio de un fenmeno natural y proceso social a partir del uso adecuado de herramien-

tas matemticas descritas con anterioridad.

A partir de la informacin anterior podemos utilizar el concepto de funcin para el

anlisis de la informacin del problema de la actividad 8; la funcin (modelo matemti-

co) que representa los ndices de contaminacin es la siguiente: f t e t0.0013 3.17( ) = + , don-

de tes el tiempo en aos y f (t) se mide en ppm (partes por milln).

La grfica de la funcin se representa a continuacin:

Ests trabajandopara utilizar de

manera sistemtica elconcepto de razn de cambio

como medio de anlisisdel comportamiento de

fenmenos naturales y/o

procesos sociales presentesen el entorno. Tambin para

valorar la importancia delclculo en el estudio

del comportamiento de losfenmenos naturales

y procesos sociales, comoconcepto para simplificar

el anlisis de modelosmatemticos quelos representen.

Visita el enlace que tepodr dar mayoreselementos: Disponible:

http://www.windows2uni-verse.org/earth/climate/

greenhouse_effect_gases.html. [Consulta

06/12/2011].

Ms informacin en...

Grfico 6


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33

Responde a las siguientes preguntas haciendo uso de tus aprendizajes hasta este

momento.

1. Qu es el efecto invernadero?

2. Cules son los gases que ocasionan el efecto invernadero?

3. Es un fenmeno natural o un problema ocasionado por las actividades humanas? Expli-

ca tu respuesta.

4. Cul es la razn por la que el CO2es considerado un gas invernadero?

5. Cules son las principales fuentes naturales de emisin de CO2a la atmsfera?

6. Cules son las principales fuentes antropognicas de emisin de CO2a la atmsfera?

7. Qu consecuencias se pueden presentar si la tendencia de la concentracin de CO2enla atmsfera sigue en aumento?

8. Cul es el papel de la Revolucin Industrial en el aumento de la concentracin de dixido

de carbono?

9. En qu momento histrico se presenta un aumento desmedido en los ndices de con-

centracin de CO2y cules eran las actividades humanas que en ese momento se de-

sarrollaron?

U1


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34

10. Si el CO2 sigue aumentando de manera desmedida, cules seran las consecuencias

para la vida humana para el ao 2015?

11. Qu medidas emplearas para evitar el aumento de CO2en la atmsfera?

Con base en lo estudiado durante la unidad responde las siguientes preguntas.

1. Obtn la tasa de variacin de los ndices si t=2012; asimismo, compara la tasa de varia-

cin del ao 1880 (periodo de la 2 Revolucin Industrial) con la de 1940 (3 Revolucin

Industrial) y da el porcentaje en que se increment. Obtn el punto o rea ms crtico

para determinar la fecha en donde se logra apreciar un aumento significativo de CO2y en

el cual disminuy. Y calcula la rapidez con la cual el aumento de CO 2comenz a mostrar

consecuencias incidentes en la calidad de vida del ser humano.2. Elabora un resumen de cuando mucho dos cuartillas, donde la idea central sea la propo-

sicin de una solucin alternativa, desde un punto de vista social, con base en la informa-

cin obtenida acerca de este fenmeno.


Comportamiento de funciones, puntos crticos,mximos y mnimosCon las herramientas que hasta el momento has desarrollado podemos abordar conmayor capacidad el comportamiento de las funciones; tambin podemos resolverproblemas de optimizacin derivados de situaciones tcnicas, f sicas, tecnolgicaso simplemente numricas que puedan ser representados por curvas o en generalpor grficas de funciones.

Un aspecto central en el anlisis del comportamiento de las funciones tieneque ver con los conceptos de valores extremos, la concavidad, sus puntos crticos ysi la funcin es creciente o decreciente.

En el estudio de las parbolas por ejemplo la concavidad se localiza a partir delvrtice, determinando si dicha parbola abre hacia abajo, hacia arriba, hacia la de-recha o hacia la izquierda.

En cualquiera de estos casos las pendientes de las rectas tangentes, es decir laderivada evaluada en el vrtice es igual a cero y nos indican un cambio de compor-tamiento cualitativo y cuantitativo en la trayectoria descrita por la representacingrfica de la funcin.


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35

Para ejemplificar y definir los conceptos ms importantes en el comportamien-to de funciones matemticas consideraremos a continuacin el planteamiento ysolucin de dos problemas que no slo incentivan la definicin del concepto dederivada de una funcin, sino que en determinado tiempo motivaron el desarrollotecnolgico; su estudio permite describir los alcances de la aplicacin directa delclculo diferencial. El primero de los problemas parte del estudio de la cada librede un cuerpo o proyectil, fenmeno natural descrito en secciones anteriores.

El segundo hace referencia a un problema de optimizacin de recursos; maxi-

mizar el volumen de una caja. ste representa un ejemplo de las situaciones que altratarse y resolverse con clculo matemtico permiti desarrollar la industria apartir del siglo en Gran Bretaa y Europa continental.

Problemas referentes al comportamiento

de funciones y el uso de la derivada

Ests trabajando

para utilizar demanera sistemtica elconcepto de razn de cambio

como medio de anlisis delcomportamiento de

fenmenos naturales yprocesos sociales presentesen el entorno. Tambin para

utilizar la obtencin de laderivada para formar una

idea aproximada de la

variacin de la funcin de losfenmenos naturales y

procesos sociales a fin deexplicar y predecir situacioneso hechos de manera objetiva,propositiva, crtica y analtica.

Ejemplo 1

Comportamiento de funciones. La altura mxima y velocidadde impacto de un proyectil

El objetivo es determinar la velocidad de impacto con el suelo y la altura mxima que alcanzar un

proyectil lanzado verticalmente desde el nivel del piso con una velocidad inicial de 323.4 m/s.

Despus de hacer su recorrido, se impactar el proyectil con el suelo a la misma velocidad con la

que inici su recorrido?, o piensas que la velocidad de impacto con el suelo es mayor o menor a

la velocidad inicial? Justifica tus respuestas y compara con el resultado obtenido a continuacin.

De acuerdo con Galileo Galilei y la ecuacin 1, la funcin que describe la trayectoria de dicho

proyectil est dada por: d t . t . t 4 9 323 4t( ) = +

Y su derivada es: d' t ddt

d . t .9 8 323 4[ ]( ) = = + .

Con lo estudiando anteriormente, qu puedes decir respecto a lo que representa la derivada

en cualquier punto de la curva descrita por la funcin?

La respuesta correcta debe ser: es precisamente la velocidad instantnea del proyectil en todo

tiempo. SI as respondiste, sigues hacindolo muy bien.A partir de la grfica de la figura 20 se observa que el vrtice de la parbola representa la altura

mxima que alcanza dicho proyectil, a dicho punto se le llama mximode la funcin, qu carac-

terstica tiene este punto?

Efectivamente, ah la recta tangente a la curva es horizontal, es decir, la derivada es igual a

cero.(Contina...)

U1


36/39


36

Observa lo que pasa a la izquierda del valor tvdel vrtice, cmo son las pendientes de las rectas

tangentes?, qu implica que sean de esa forma?

Estamos de acuerdo si respondiste que son positivas e implica que la funcin es creciente.

Por el contrario, a la derecha de este punto tvdel vrtice, cmo es el comportamiento de las

pendientes y qu significa que se comporten as?

As es, las pendientes de las rectas tangentes son negativas lo cual implica que es una funcin

decreciente.

Del anlisis anterior puede deducirse entonces cundo una funcin es creciente o decrecien-

te. Exprsalo con tus propias palabras.

Si la derivada siempre es positiva (o negativa) entonces la funcin es creciente (o decreciente)

respectivamente.

Por lo tanto, si en el problema planteado hacemos la derivada igual a cero entonces obtene-

mos la coordenada tvdel vrtice, de modo que podernos determinar la altura mxima que alcanza

el proyectil. Es decir, d'(t)=0

. t . t .

.9 8 323 4 0

323 4

9 833v + = =

= s.

De lo que concluimos que la altura o distancia mxima es:

d t d . . d , . , . , .33 4 9 33 323 4 33 33 5 336 1 10 672 2 5 336 1v2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = + = + = m.

Figura 20 Grfica de la funcin distancia, d(t), que describe un proyectil lanzado verticalmente

desde el piso con una velocidad inicial de 323.4 m/s. La derivada de la funcin d' (t) est

representada por las pendientes de las rectas tangentes trazadas a la izquierda, derecha y sobreel vrtice de la parbola.

(Continuacin...)


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Es decir, el proyectil alcanza su altura mxima de 5,336.1 metros en 33 segundos, que no es

otra cosa que las coordenadas del vrtice de la parbola V t , d t , .33 53361v v( ) ( )( ) = .Por ltimo, para determinar la velocidad de impacto del proyectil con el suelo se evala la

derivada de la funcin en el tiempo de choque (una de las dos soluciones de la funcin distancia

y cuadrtica), identificado por t2en la figura 20.

Para encontrar las soluciones t1 y t2, utilizamos la frmula general de segundo grado:

t b b ac

a

4

2,1 2

2

=

.

A partir de la funcin distancia del proyectil se tiene que: a= 4.9, b= 323.4 y c= 0. Sustitu-

yendo valores tenemos:

t. . .

.t

. .

.t

. .

. .

323 4 323 4 4 4 9 0

2 4 9

323 4 323 4

9 8

323 4 323 4

9 8

0

9 80, ,1 2

2

1 2 1

( ) ( )( )

( )=

=

=

+

=

= s

t . .

.

.

.

323 4 323 4

9 8

646 8

9 8662 =

=

= s

Finalmente al evaluar t2=66 en la derivada de la funcin, se obtiene:

d' . . d' . . .66 9 8 66 323 4 66 646 8 323 4 323 4 s( ) ( ) ( )= + = + =

Que representa la velocidad instantnea o de impacto del proyectil con el suelo. Cabe sealar

que la velocidad con la que choca el proyectil con el suelo es la misma velocidad con la que inicisu recorrido. Para cualquier proyectil que se arroja verticalmente hacia arriba y sin contemplar la

resistencia del aire, siempre sucede que la velocidad inicial es igual a la velocidad de impacto con

el suelo o depende de otro factor?

Ejemplo 2

Comportamiento de funciones. El volumen mximo de una caja.

Un fabricante desea disear una caja de cartn sin tapa que contenga una base cuadrada a partirde una pieza de cartn de forma cuadrada cuyo lado es un metro. Cules son las dimensiones del

diseo para producir una caja con el volumen mximo?

Comprensin del problema

El volumen de la caja depender de los distintos ta-

maos de los cortes (de lado x) de las esquinas de la

pieza de cartn (cuadrados rojos de la figura 21).

Figura 21 Pieza cuadrada de cartn de un metro

de lado, utilizada para fabricar una caja sin tapa

superior, cortando cuadrados en sus cuatro esquinas,

y levantando los cuatro rectngulos resultantes, para

formar los laterales de la caja.

(Contina...)

U1


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38

Sl el volumen de la caja depende de los distintos tamaos de los cortes (de ladox) de las es-

quinas de la pieza de cartn, es importante que realices lo siguiente:

Describe cmo cambian sus dimensiones.

Piensa cmo va cambiando la forma de la caja de cartn para los distintos valores dex.

Busca una expresin para el volumen de la caja resultante.

Para determinar la expresin matemtica (funcin) que identifica el volumen de dicha caja de

cartn, cortamos un cuadrado de ladoxen cada esquina de la pieza de cartn y observamos que

el rea de la base de la caja estar determinada por la funcin:

A x x x x1 2 1 2 1 2 2

( ) ( )( ) ( )= = .

Y por lo tanto la funcin que representa el volumen de la caja es:

V x x x x x x 1 2 4 42 3 2( ) ( )= = +

En la figura 24 se ejemplifica la variacin del volumen de la caja a partir de determinado corte

de las esquinas de la pieza cuadrada de cartn.

Figura 22 Funcin rea y volumen que describen el problema de optimizacin de recursos

matemticamente.

A partir de la funcin volumen, arriba descrita, realiza lo siguiente:

Construye una tabla de valores que relacione la variable independiente,x, con la varia-

ble dependiente, V. Emplea un incremento en xde 0.5.

Crees que se alcanzar un volumen mximo para algn valor dex? Justifica tu respues-ta. En caso afirmativo, cul es dicho valor?

El poder del clculo diferencial

El volumen mximo de la caja de cartn lo obtendremos justo cuando la derivada de la funcin

volumen, V(x) sea igual a cero, es decir, cuando la recta tangente a la curva sea horizontal (con

(Continuacin...)


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pendiente cero). De esta forma la altura xde la caja queda determinada gracias al concepto de

derivada de una funcin, entonces derivando la funcin volumen obtenemos: V ' x x x 12 8 12( ) = + .El problema queda resuelto al hacer V' x 0( )= y determinar la variable x, que representa el

corte en las esquinas de la pieza cuadrada de cartn o altura de la caja, es decir, utilizando de nue-

vo la frmula general de segundo grado:

x b b ac

a

4

2,1 2

2

=

.

A partir de la funcin volumen de la caja se tiene que: a 12= , b 8= y c 1= . Sustituyendo

valores en la ecuacin anterior tenemos:

x x

8 8 4 12 1

2 12

8 16

24

8 4

24

12

24

1

2m,1 2

2

1

( ) ( )( )

( )=

=

=

+= = x

8 4

24

4

24

1

6m2 =

= =

Por lo tanto, el volumen mximo de la caja se obtiene cuando el corte de cada esquina en la

p i e z a

cuadrada de cartn es x 1

6= de metros (aproximada-

mente 16.6 centmetros). De esta forma el volumen

mximo en metros cbicos es:

V

. m

1

6

1

61 2

1

6

1

6

4

6

4

6

16

216

2

270 074

2 2

2

3

3

=

=

= = = = .

Por lo tanto, para un corte en cada esquina de la

pieza cuadrada de cartn de x m .1

616 6= cm, la pen-

diente de la recta tangente a la curva, V (x), es cero y

por lo tanto se tiene que V x . cm74000 3( )= es el volu-men mximo de la caja. En la figura 23 se observa

la grfica de la funcin volumen y dos de sus rectas

tangentes a la curva en puntos x ,V x( )( ) dados. Dedonde la pendiente de dichas rectas tangentes es la

derivada de la funcin volumen, V (x), dado un punto.

Figura 23a y 23b (a) El valor del volumen de la caja

es P=64.000 cm3

para un valor dex =10 cm, lapendiente de la recta tangente a la curva, V (x), no es

cero y por lo tanto no se tiene el volumen mximo.

(b) El valor del volumen de la caja es P=A=74,000

cm3para un valor de , la pendiente

de la recta tangente a la curva, V (x), es cero y por lo

tanto aqu s se tiene el volumen mximo de la caja.

a)

b)

Construcción de La Recta Tangente a Una Curva

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